2º BT M at II CS Bloque1:ALGEBRA Problemas Tema 1: Matrices 1.-Dadas las siguientes matrices −1 2 B= 3 −6

1 2 3 4 A= 5 6 7 8

2 C= 1

22 105 11 D = 114 115 12 45 151 52

a)Indica el orden de cada una. b)Expresa el valor de a13,b21 y c21 ,d12,d31 y d23 c)¿Qué elementos forman la segunda columna de A? ¿Y la segunda fila de B? e)Asigna subíndices a los elementos de D de valor inferior a 50. 2.-Escribe las siguientes matrices: a)Una matriz de orden 2 x 3 que cumpla aij = i + j. b)Una matriz de orden 1x3 tal que a ij =i2 - j .c)Una matriz de orden 3x2 tal que aij =(-1)i+j j . d)Una matriz de orden 3 que cumpla aij

i+ j

si i = j

i− j

si i ≠ j

.e)Una matriz 3 x 3 definida por aij =2i .3j .

3.- Clasifica, atendiendo a su forma y a sus elementos las matrices siguientes: 1 a) 0 f ) (0

2 1 0 b) −1 0 1 0

1 g) 0

0)

0

c)

1 3 2

3 0 −1

2 −1 1

0 −2

1 d) 0 0

h)

0 0 0

0 0 1

e ) ( −7

1 3 −1

4

3

1 1 1 i) 2 1 0

2) 1 j) 0 0

1 1 −3 2 0 1

4.-¿Cuales de las siguientes afirmaciones son correctas? a)Toda matriz diagonal es triangular superior b)Toda matriz diagonal es simétrica c)Toda matriz triangular superior e inferior es diagonal. d)Toda matriz nula es simétrica. 5.-¿Qué condición debe cumplir A para que exista A.At? ¿y At.A? 6.-Escribe las matrices traspuestas de todas las matrices del problema 3. 7.-Halla el valor o valores que deben tomar las incógnitas x, y, z, a, b, c, d para que las matrices x+y y−2

2a a −3 +b 0 2−a +c b + c − 1 a + 2c − d

y − z +1 x + z −1

sean a) Nulas b)Simétricas c)Unidad

1 2 0 3 −1 3 B= y C= calcula: −2 3 1 2 0 −2 c) 2A-3B d) A-2B+3C e) At-2B+Ct f) (A+B+C)t

8.-Dadas las matrices A= a) A+B-C b) A-B+C

9.-Halla la matriz A que satisface la igualdad 3

1 2

5 8

6 1 = 4 −2

0 7

g) 3A.At-B

4 + 2A 3

10.-Sean las matrices 0 A= 1 1

1 0 1

1 1 0

2 0 B = −1 3 1 −4

0 1 1

1 C= 2 0

−1 3 4

D=

4 0

−1 2 5 3

1 E= 2 1

2 F = −5 1

3 1 0

0 4 0

1 −2 −3

calcula: a) 3A-2B b) (A+B)t c) (A.B).C d) C.D e) D.C f) Dt.F g) Et.E h) At-B2 i)Los productos posibles entre A,D y E . 2 1 11.-Dada la matriz A = ;calcula dos números x e y para que se verifique A + x A +y I2= 0 2 3 (0 es la matriz nula). 1

1

0

12.- Sea M la matriz M = 0 1 1 2

matrices J , J

3

yJ

1994

0

.

Problemas Álgebra Pág 1

0

1

.Calcula la matriz J tal que M =J+I3.Calcula también las

2º BT M at II CS 13.-Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n, ¿Son ciertas, en general, las igualdades siguientes? a) (A+B)2=A2+2AB+B2 . b) (A-B)2=A2 -2AB+B2 . c) (A+B)(A-B)=A2-B2 0 −1 14.-Para la matriz A= , calcula A50 y A97 .Encuentra los valores de a y b para que la 1 0 a 0 matriz A conmute con la matriz B = . b 1 2 1 −1 −1 15.-Dadas las matrices A= y B= , calcula : a) (A+B)2 ; b) A2+2AB+B2 ; −1 1 1 1 c)¿Por qué los resultados no son iguales? (Zaragoza, 1995) 16.-Calcula las siguientes potencias de matrices 0 1 1 0

2000

;

1 0 0

n

1 1 1 1 ; 1 1

1 1/ 7 1/7 0 1 0 0 0 1

35

;

1 0 1 1 1 0

0 1 1

n

;

4 −3 −3

5 −4 −4

−1 1 0

128

;

1 0 2

0 1 0

0 0 1

n

.

1 x 0 1 8 8 y B= . Halla x para que A2 + B2= . 2 1 1 2 6 12 18.-Comprueba que A2-A-2I3=0, siendo A la matriz A del ejer 10, y 0 la matriz nula de orden 3. 19.-Si A es una matriz 3xn y B es una matriz 4xp, halla n y p para que se puedan efectuar los productos AB y BA. 20.-Sea A de dimensión 3x2. ¿Existe B tal que A.B sea una matriz fila? b)¿ Y para B.A? 21.-Supuesta la emigración anual, entre las comunidades autónomas de Galicia (GA), Castilla-León (CL), Comunidad Valenciana (CV) y resto del Estado (RE) reflejada en la siguiente matriz, donde se indica, en cada fila, qué tanto por ciento de la población respectiva ha emigrado a cada uno de los territorios. Además, la población, en el año 1995, de esas comunidades está dada por la matriz fila (2´7, 25, 4, 30´8) (en millones) GA CL CV RE Suponiendo que la población total y las tasas de emigración se GA 96 0.4 1.2 2.4 mantienen constantes, halla la distribución de la población en los años CL 0.5 93 2 4.5 1996 y 1997 . CV 0 0.2 97 2.8 RE 0.1 0.7 1.2 98 22.-Una fábrica produce tres tipos de productos A, B y C, distribuyendo su producción entre cuatro clientes. En el mes de marzo el primer cliente ha adquirido 9 unidades de A, 5 de B y 2 de C; el segundo cliente 3 , 8 y 0, respectivamente; el tercero no compró nada y el cuarto 6 , 7 y 1 unidades, respectivamente. En abril, el cuarto cliente no hizo pedido alguno, el tercer cliente compró 4 unidades de cada artículo, mientras que los otros dos duplicaron el número de unidades adquiridas en marzo. a)Construye las matrices 4x3 correspondientes a las ventas de los meses de marzo y abril. b)Si los precios de los artículos en miles de pesetas por unidad son 10, 8 y 9 respectivamente, calcula lo que factura la fábrica a cada cliente por sus pedidos en los meses de marzo y abril. (Castilla-La M ancha, 1996) 2 −1 23.-Sea la matriz A= y B = 2A-I2. Calcula Bn 2 −1 17.-Considera las matrices A=

A

24.-Elabora la matriz R del grafo de la figura las matrices R2 y R2+R

Problemas Álgebra Pág 2

B

Calcula e interpreta

C D

2º BT M at II CS 25.-Una fábrica de alimentos produce dos tipos de turrones X e Y. Se elaboran de tres calidades: Normal, Extra y Suprema, al precio, en pts, da cada unidad que muestra la matriz A. Si cada día se producen las unidades que se indican en B, a)Calcula los producto A.B y B.A .b)¿Qué información suministra la diagonal principal de A.B y B.A? N E S X Y N 1000 900 X 400 500 800 A= B= E 600 500 Y 450 600 1000 S 300 200 26.-Encuentra una matriz X que verifique 2X-B2=AB, siendo A,B las mismas que en el ejercicio 10. (Extremadura,96) 27.-Encuentra la dimensión de la matriz A para que pueda realizarse el producto 1 2 6 3 − 1 . A. 1 −1 0 2 28.-Una empresa fabrica tres tipos de artículos: A, B y C. Los precios de coste de cada unidad son 600, 920, y 1.430 pts, respectivamente. Los correspondientes precios de venta de una unidad de cada artículo son 1800, 2800 y 4000 pts. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625 y 842, respectivamente. Sabiendo que las matrices de costes e ingresos, C e I, son diagonales, y que la matriz de ventas ,V, es una matriz fila: a)Determina las matrices C. , I y V .b)Obtén, a partir de las matrices anteriores, la matriz de ingresos anuales correspondiente a los tres artículos, la matriz de gastos anuales y la matriz de beneficios anuales. (M adrid, 1996) . 1 1 0 3 1 7 29.-¿Existe algún valor de n que verifique +n = 2 −1 2 1 6 1 2 30.-Si A es una matriz A tal que A =A y B=2 A - I, demuestra que B2=I. 31.-0btener los valores de x, y, z que verifiquen la siguiente ecuación matricial: 1 1 1 1 y 2 .X + 2 1 = 0 z −1 0 1 0 2 −1 verifique A2 =A a b 33.-Demuestra que si A.B=A y B.A=B, siendo A y B matrices cuadradas de orden n, entonces A2=A 34.-Halla por el método de Gauss el rango de las siguientes matrices: 1 2 5 6 1 −2 5 − 15 8 5 −1 2 0 −1 4 4 a) b) c) d) 3 0 14 3 0 −1 3 4 −5 3 −3 3 −3 −4 0 0 2 3 5 3 1 2 0 −7 −1 0 2 3 6 5 4 3 2 10 − 2 e) f) 3 − 5 1 8 g) h) 3 4 6 3 −1 0 1 2 4 − 35 5 3 4 6 2 0 1 3 4 35.-Escribe, si es posible, tres matrices de dimensión 3x4, que tengan rango 2, 1 y 4. Razona la respuesta. 36.-Sea A una matriz de orden 2x2 cuyo rango es 2. ¿Puede variar su rango si le añadimos una fila o una columna? 32.-Encontrar números a y b de forma que la matriz A=

Problemas Álgebra Pág 3

2º BT M at II CS 37.-Una matriz de 3 filas y 3 columnas tiene rango 3. Si suprimimos una fila y una columna, ¿podemos asegurar que el rango de la matriz resultante será 2? 38.-Calcula por Gauss el rango de las siguientes matrices 2 3 5 3 6 −2 −1 0 2 3 1 1 1 1 1 0 0 21 9 10 a) 3 4 6 3 b) d ) 0 1 1 e) 2 1 1 3 7 1 − 5 0 1 3 4 0 0 1 − 1 1 −2 8 0 1 2 4 2 1 4 6 −2 2 0 −1 3 2 5 1 f ) −3 1 2 g) 4 6 1 0 −1 1 1 0 0 10 −1 7 8 6 1 39.- Hallar el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro a 1 a) 1 5

−2 1 −1

1 3 a

2a b) 2 2

1 a 1

1 1 a

2 c) 2 a

0 1 1

1 f) 2 3

−2 4 −3

3 0 a

1 g) 1 a

2 1 0

a a 1

−1 h) 1 2

1 3 10

0 3 3

1 1 2 0 1 3

a−2 d) 1 2 0 a

1 i) 1 2

−1 −1 1

1 1 3 l) 2 3 4 3 4 a 40.-Comprueba, en ambos apartados, si la inversa de la matriz A es la matriz 5 −4 −6 3 2 4 3 2 −1 a) A = − 9 8 11 B = 2 1 −1 b) A = − 1 2 3 y B = 1 −1 − 1 1 1 4 −3 1 3 1 k) −a

0 e) 3 1

a+2 2 −1 2 a

a j) 0 a

1 1 1

0 3 1

a 1

41.-La inversa de la matriz

1 2 3 5

es de la siguiente forma

B, − 3 /8 7 / 8 − 1 3/ 4 − 3/ 4 1 − 5 /8 9 / 8 − 1

−5 a 3 b

Encuentra a y b

(M urcia,1998 42.-Calcula, comprobando previamente si existen, las matrices inversas de las siguientes: 2 −3 2 −3 2 1 1 2 −1 3 0 a) b) c) d) 1 1 −4 6 0 −1 1 2 e) 2 1 0 1 0 −1 1 f) 2 3

−1 2 a

1 3 1

2 3 3 1 1 2

1 g) 2 1

2 2 2 1 4 5

Problemas Álgebra Pág 4

2 h) 1

3 4 2 3

−1 1 2 i) 1 10 3 4 1 1

2 3 4 j) 5 6 7 8 9 10

3 k) 1 2

2 −4 2 −3 −1 0

2º BT M at II CS 2 1 −1 B= .a)Calcula la matriz inversa de A.B .b)Halla el 3 0 1 producto de la inversa de B por la inversa de A. ¿ Qué relación existe entre la matriz del apartado anterior y esta matriz? Justifica la respuesta. (M adrid,1995). y 0 44.-Determina aquellos valores de y para los que la matriz Z= verifica la 0 2 ecuación Z 2-5/2.Z + I = 0, siendo I la matriz identidad de orden 2 y 0 la matriz nula de orden 2. Halla, para dichos valores, Z -1. (Castellón, 1994) 1 0 −1 45.-Con la matriz A= 0 m 3 .Averigua los valores del parámetro m para que exista A -1. 4 1 −m -1 Calcula A para m = 4. 46.-Idem que el problema 45 para las matrices 1 1 m 1 2 −3 1 2 −1 1 0 4 m 0 0 a) m 0 − 1 b) 0 1 2 c) 2 − 1 1 d) 0 m 4 e) 1 m + 1 1 − 6 −1 0 m 0 1 3 4 −m −1 3 m 1 0 m −1 43.-Sean las matrices A =

1 2

0 2 −1 47.-Dada la matriz A = 0 0 1 , prueba que A3 es la matriz nula. Demuestra después que la 0 0 0 2 matriz I3+A+A es la matriz inversa de I3-A 48.-Halla el número real c para que las matrices A-cI y i/c(A-I) sean inversas, siendo I la matriz 1 1 1 1 1 1 1 1 unidad de orden 4 y A = 1 1 1 1 1 1 1 1 49.-Resuelve los sistemas matriciales siguientes, en los que las incógnitas X e Y son matrices. 14 5 − 15 2 −1 3 X + 2Y = 3X + Y = − 4 −3 4 1 −3 a) b) 0 −3 8 5 − 30 X − 2Y = 6X − Y = 1 −1 2 − 21 13 −2 1 0 X − 2Y = 4 −2 1 c) d) 2 4 4 −1 1 −1 − X + 3Y = X = Y 3 0 1 0 0 1 50.- Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales, en las que la incógnita X es una matriz 1 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 2 0 0 1 1 0 a) 1 2 0 .X + 0 1 0 = 2 5 2 b) X 0 1 0 = 1 1 2 . 0 1 0 1 2 4 0 0 1 0 1 3 0 0 1 2 0 1 0 1 2 3 X − 5Y =

2 7

X .B = A + B c)

A=

1 1 1 1

B=

0 −1 −1 0

Problemas Álgebra Pág 5

2 d) 1

3 1 1 X= −3 2 −1

1 0 0 1 0 0 e) 7 1 0 X = 0 1 0 11 7 1 0 0 1

2º BT M at II CS AX + B = C

−1 3 4 1 -1 3 f) X + = 1 −3 0 −1 2 5

g)

A=

1 1 2 1

1 1 0 1 2 1

B=

C=

0 1 1 1 1 3

2

1 0 −1 1 0 −1 1 0 −1 2 −1 4 −3 1 2 h) 3X + 4. = i) 3 X − 1 1 1 = 1 1 0 . 1 1 1 3 0 1 0 2 2 0 0 1 0 0 2 0 0 1 51.-Para la matriz a) del ejercicio 46, a)Halla los valores de m para los cuales A no tiene inversa. b) Para m=2, obtén , si existe, la matriz X que cumple X.A=(1 0 -1). 52.-Sean dos matrices cuadradas A y B: a) ¿Tienen la misma solución las ecuaciones A.X=B y X.A=B?.Razona la respuesta. b)¿Puede ocurrir que una tenga solución y la otra no? c)Resuelve ambas ecuaciones para A =

3 1 −1 1

B=

y

2 5 4 10

53.-Sean las matrices A y B definidas como A =

(Burgos, Castilla y León, 1995).

1 1 1 1

B=

y

0 −1 −1 0

. Halla una matriz X tal

que X.B=A+B 3 1 1 2 1 0 B= 0 1 C= D= .Resolver, 3 4 −3 5 −1 2 indicando los pasos seguidos , la ecuación matricial AB + CX =2D ( Zaragoza ,1995)

−2 0 1 54.- Dadas las matrices A = 1 −1 5

55.-Considerar las matrices A =

2 1 −1 1

B=

−1 1

−1 1

.Se pide:

a) Comprobar que no se cumple la siguiente igualdad (A + B)2 = A2 + B 2+ 2AB. ¿Cuál es la razón de que no se cumpla? b) Considerar el sistema de ecuaciones lineales B

x 1 = y 1

. Discutir si existe solución y en caso

afirmativo resolverlo. Interpretar geometricamente el sistema. ( Zaragoza, septiembre 96) 56.-Considerar la ecuación matricial X

2 2 2 =2 2 2 m +m 4

1 0

con m un parámetro real. Se pide:

¿Para qué valores del parámetro m existe una única matriz X que verifica la ecuación anterior? b) Si es posible, resolver la ecuación matricial para m = 0. c) Si es posible, resolver la ecuación matricial para m = 1. (Zaragoza , junio 2001) 1 1 3 57.- Considerar la matriz A siendo m un parámetro real A = 2 3 4 .Calcular el rango de A 3 4 m según los valores del parámetro m (Zaragoza, junio 97) 58.- Considerar las matrices A = que verifique A2X= (BC)/2

Problemas Álgebra Pág 6

2 1

0 1

B=

1 1 −1 3

2 1

(Zaragoza, septiembre 2000)

−1 C= 1 6

3 1 2

determinar una matriz X

2º BT M at II CS Bloque 1: Algebra Problemas Tema 2: S istemas de ecuaciones 1.-Resuelve por los métodos de sustitución, igualación y reducción los sistemas a)

x+y =6

b)

2x − 12 + 2y = 0

6x + 2y = 8

c)

3x = 3 - y

3x + y = 4

d)

5y - x = 4

7x - y = 8 y+ x = 0

2.-Resuelve por el método gráfico los siguientes sistemas y clasifícalos a)

2x - y = -1

b)

x + 3y = 10

2x - y = -3

c)

- 4x + 2y = 6

-2x + y = 4 2x - y = 3

3.-Determina la posición relativa de las rectas a)r: 2x-4y=5 d)r: x =y

s: -x +2y-3=0

s:4x-4y=0

b) r: x +y =5 s: 2x+ 2y =3 e) r: x-y =0

s:2x + y =6

c)r: -5x +3y=0 s: x-2y=-7 t:4x-3y=2

4.-¿Cuál debe ser el valor de a para que el par (2,4) sea solución del siguiente sistema

ax + y = −30 x −5y = a −1

?

5.-Di si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta o poniendo un contraejemplo: a)Un sistema de ecuaciones que tiene más incógnitas que ecuaciones es siempre compatible determinado. b)Si en un sistema tenemos más ecuaciones que incógnitas, éste será compatible determinado. c)Un sistema homogéneo tiene siempre como solución (0,0,0,...,0) d)Un sistema que tiene el mismo número de incógnitas que de ecuaciones es compatible determinado. e)Si dos sistemas son equivalentes, entonces siempre tienen el mismo número de ecuaciones f)Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener exactamente dos soluciones. g)Un sistema que tenga menos ecuaciones que incógnitas es siempre incompatible. h)Si al resolver un sistema de n ecuaciones y n incógnitas observamos que es compatible determinado, entonces ha de tener n soluciones. i)Si en un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas que es compatible determinado cambiamos una de las ecuaciones por otra, el sistema resultante es siempre compatible determinado. j)Si en un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas que es compatible determinado cambiamos los términos independientes, entonces el nuevo sistema es incompatible. k)Un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas puede ser compatible determinado. 6.-Considera los siguientes sistemas: ax + by + cz = d

ax + by + cz = d´

a´ x + b´y + c´z = e

a´x + b´ y + c´z = e´

a´´ x + b´´y + c´´z = f

a´´x + b´´ y + c ´´z = f ´

Problemas Álgebra Pág 7

2º BT M at II CS Estos dos sistemas sólo varían en los términos independientes. Si el primero tiene infinitas soluciones, ¿Puede ser el segundo compatible determinado? Si el primero es compatible indeterminado, ¿Cómo será el segundo? 7.-Si el rango de la matriz ampliada de un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas es cuatro, ¿es cierto que este sistema es compatible determinado porque el coincide el número de incógnitas con el rango de la matriz ampliada? 8.-¿Podrías decir algo sobre la compatibilidad de un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas si el rango de su matriz ampliada es cuatro? Razona tu respuesta. 9.-El rango de la matriz de los coeficientes de un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas es dos. ¿cuándo será el sistema compatible? x + 2y = 3

10.-a)Resuelve el sistema

b)Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo

x −y = 4

compatible c)Añade una tercera ecuación de modo que sea incompatible d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso. 11.-Discutir si los siguientes sistemas tienen solución y, en caso afirmativo, resolverlos. x + 2y - 3z = 3 a)

2x - y + z = -1

3x + y + 5z = 4

x + y - 3z = -6

b)

- 4x - y + z + 5 = 0

x + y + 2z = 5 2x - y - 3z = 3

x + y - 2z = 5

l)

2x - y + z - t = 0 x + 2y - z + t = 0

4x - 3y - 3z = 7 Canarias,9 6

5y + 2z = 3

x + 3y - z = 4

2x - y + 3z = 1 3x + 2y - z = 5

2x + y = 3 q)

y - 2x = − 6

r)

3y - 6x = -3 Andal ucia,95

2x - y + 4z = 7

s)

4x + y = 9 Canarias,9 5

x+ y = 5

x 3y − =5 2 4

k)

2x − 3y = 5

ñ)

- x + 2y = 7

x - y + z +t = 4 o)

3x + y = 0

x + y + z- t = 5 x - y - z+ t = 6 6x - 3y - 3z + 2t = 32 Cas - La Mancha, 95

2x - y = 1 - 3x + 2y = 0

2x + y = 1

x - 2y - 2z + t = 4

x + y - 2z = 1

x+ y + z = 0 2x + 2y - z = 0

j)

x 2y + =1 3 3

- x - 2y + 2z = 3

x - 2y + z = 2 2x + y - 5z = 3

i)

3x = 3y

n)

e)

2x - 3y = -1

x- y = 0

- x + y+ z = 2

m)

4x - y + z = 0

x + 3y + z = -2

x+ y- z = 1

x + 3y + 2z - t = 1

p)

h)

4y - 2z = 24

x + y+ z + t = 2

d)

x + 3y - 4z = 3

- x+ y + z = 7 g)

-x + 2y + z = 4

2x - 5z = 3

c)

- 3y + 5z = 7

3x - z = 4 f)

x - 3y - z = 0

2x + y - 3z + 7 = 4 x - 2y + 2z - t = 3 x - 3y + 3z - 3t = 2

x+y = 6 t)

2x + y = 5 4x + 3y = 11 Canarias,9 5

3 x + 4 y − 5z = 6

12.-Sea el sistema de ecuaciones lineales

x− y+ z =0

Se pide:

x− y = 2

a)Discutir si existe solución y, en caso afirmativo, resolverlo. b)M odificando una sola de las tres ecuaciones transformar el sistema dado en un sistema compatible indeterminado y resolverlo. Razonar la respuesta. (Zaragoza,1996) 13.-Considerar la matriz

1 1 3 A= 2 3 4 3 4 m

,siendo m un parámetro real. Se pide:

a) Calcular el rango de A según los valores de m.

Problemas Álgebra Pág 8

2º BT M at II CS b) Considerar el sistema de ecuaciones lineales

x 0 A. y = 0 z 0

Discutir el sistema según los

valores de m. En caso afirmativo, resolver el sistema. c) Para m=7, considerar el sistema de ecuaciones lineales

x 2 A. y = 0 z 3

.Discutir si existe

solución.(Zaragoza,1996) 14.-Sean

A=

2 1 −1 1

y

B=

−1 −1 1 1

Considerar el sistema de ecuaciones lineales

B.

x 1 = y 1

Discutir si

existe solución y en caso afirmativo, resolverlo. Interpretar geométricamente el sistema. (Zaragoza, 1995) 15.- Considerar la matriz

1 1 1 A = 1 −1 1 1 1 −1

a)Calcular el rango de A. b)Discutir si existe solución y resolver, caso de que sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: A.X=B, siendo X=(x y z)t y B =(0,0,0)t c)Cambiando una sola ecuación, convertir el sistema de ecuaciones lineales del apartado b) en un sistema que tenga infinitas soluciones. Calcular dichas soluciones.(Zaragoza, 1993) 16.-Discutir los siguientes sistemas según los valores del parámetro a, y resolverlos en los casos en que sea posible: 2x - y + 3z = 5 a)

x + 2y - z = 4

x+y+z = 7 b)

4x + 3y + z = a

- ax + y - 2z = 0

- 2x - 3y + z = 6

c)

3x + az = 14

h)

- x - 3y + 3z = 0

- x + y + 2z = 1 3x - y + az = 2a

x+y+z = 0

Murcia,199 7

m)

n)

x + (a + a)y = a

ax + y + 3z = 4 ax + y - 7z = 3

x +y -z = 2 ax + y + z = 0

x+y+ z=1 r)

ax + z = 0 La Rioja, 1996

4x + 2y = a

ax + ( a − 1)y + z = a

2x − y - z = 2

x- y + z = 0

i)

x+y+z = a+1

x + y + az = 1

d)

4x + 5y + az = 8

x + 2y - z = a

x - 2y + z = 0 g)

- 2x + y = 6

x + y - 5z = 4

j)

ax + 8y = 14 6x - 2y + 10 = 0

3x + ( 2a + 3)y = 1 - 3ax + y = 1

x − y + 2z = 1 2x + y + az = 0

e)

ax − y = 11 x - 4y = a

x + 2y = a

f)

k)

3x + y = 1 4x - y = a Andaluc ia, 1995

x + y + az = 0 - x + 2y - z = 0

x - 2y = 1

x+y = 7 o)

2x - y + 3z = 0

- 2x - y = -4

Cantabria, 1995

x- y−z = a ñ)

x+ y =3

l)

x -y =1 - x + 2y = a

Salamanca, 1995

x + y + z = a -1 p)

2x + y + az = a

2x - y + z = 0 q)

x + ay + z = 1

x + 2y + z = 0 s)

x + ( a + 2 )y + 2z = 0 x + (2 - a)y + (a - 2)z = 0

17.-En cierta estantería de una biblioteca hay novelas, libros de teatro y de poesía. Hay tantas novelas como libros de teatro y de poesía juntos, y el número de libros de poesía es el triple que el de teatro. Si en total hay 176 libros en la estantería, ¿cuántos son de cada género? 18.-Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. Cada cahíz de trigo se vende a cuatro denarios, cada cahíz de cebada, a dos denarios, y cada uno de mijo se vende a 0,5 denarios. Si se venden 100 cahíces y se obtiene por la venta 100 denarios, ¿cuántos cahíces de cada especie se han vendido? Interpreta la solución.(La M ancha,91)

Problemas Álgebra Pág 9

x + 2 y - 3z = 0 3x - 4y - az = 0

2º BT M at II CS 19.- Invirtiendo un millón de euros en acciones de tipo A y dos millones en acciones de tipo B, obtendríamos unos intereses anuales totales de 280.000 euros, y si invertimos dos millones en A y uno en B, obtendremos 260.000. ¿Cuáles serían los intereses si se invierten tres millones en A y cinco millones en B? (País Vasco, 1992) 20.-Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 3.525 euros. Calcula cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 15 euros, cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que ha pagado el 20% es el doble del número de viajeros que paga el billete entero.(León, 1992) 21.-Encuentra un número de tres cifras que verifique las siguientes propiedades: La suma de sus cifras es 24; si se intercambian las cifras de las unidades y de las decenas, el número disminuye en nueve unidades y si se intercambian las cifras de las centenas y de las decenas, el número disminuye en 90 unidades. Justifica la respuesta.(M urcia, 1996) 22.-La suma de las dos cifras de un número es nueve. Si invertimos el orden, el número aumenta en 45 unidades. ¿De qué número se tata? 23.-Una marca comercial utiliza tres ingredientes(A, B y C) en la elaboración de tres tipos de pizzas (P1,P2 y P3). P1 se elabora con una unidad de A, dos de B y dos de C; P2 con dos unidades de A, una de B y una de C; P3 con dos unidades de A, una de B y dos de C. El precio de venta es de 12 para P1, 10,25 para P2 y 12,25 para P3. Sabiendo que el margen comercial (beneficio) es de 4 en cada una de ellas, ¿qué le cuesta a dicha marca comercial cada unidad de A, B y C? (Extremadura,1995) 24.-La suma de las edades de un padre y sus dos hijos es de 81 años. El hijo mayor tiene cuatro años más que su hermano. Hace cinco años, la edad del padre era el doble de la suma de las edades de los dos hijos. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? 25.-En una hamburguesería, una limonada, dos hamburguesas y un filete de pollo cuestan 11,50 . El precio de dos limonadas y el de una hamburguesa es de 6 . Si por tres limonadas y tres filetes de pollo hemos tenido que pagar 16,50 , ¿Cuánto cuesta un filete de pollo? 26.-La suma de las tres cifras de un número es ocho. Sabiendo que la cifra de las centenas es igual que la de las decenas, y que ambas suman la cifra de las unidades, averigua dicho número. 27.-De un triángulo de 24 cm de perímetro sabemos que el lado pequeño mide el triple de la diferencia de los otros dos lados, y la suma de las medidas del lado pequeño y del mediano es igual a la medida del lado mayor más cuatro centímetros. ¿Cuánto miden los tres lados? 28.-Lucía ha realizado tres pruebas escritas de una asignatura y la nota media de las tres ha sido 8,5 puntos. Si la nota media de las dos primeras es 8 y la nota media de las dos últimas es 9, halla la calificación de cada una de las tres pruebas. 29.-Dos amigos invierten 2.000 cada uno. El primero coloca una cantidad A al 4% de interés, una cantidad B al 5% y el resto, al 6%. El otro invierte la misma cantidad A al 5%, la B al 6% y el resto al 4%. Determina las cantidades A, B y C sabiendo que el primero obtiene unos intereses de 105,50 y el segundo de 95 . 30.-Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino de 10 grados (10 por ciento de alcohol). Si, por el contrario, se mezclan 20 litros de blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 grados. ¿Qué graduación tendrá una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de tinto? 31.-Los animales de un laboratorio deben mantenerse bajo una dieta estricta. Cada anima! recibe 10 g de proteínas y 3 g de grasas. Se dispone de dos tipos de alimentos: el tipo A con el 5% de proteínas y 3% de grasas y el tipo B con el 10% de proteínas y 1% de grasa. ¿Cuántos gramos de cada alimento pueden utilizarse para obtener la dieta correcta del animal?

Problemas Álgebra Pág 10

2º BT M at II CS 32.-Por una mezcla de 8 Kg de café con 2 Kg de achicoria se han pagado 13,24 Calcular el precio del Kg de café y del Kg de achicoria, sabiendo que si mezclase 1 Kg de cada clase costaría la mezcla 1,82 33.-¿Cuántos litros de leche con 35% de grasa ha de mezclarse con leche de 4% de grasa para obtener 20 litros de leche con 25% de grasa? 34.-Un orfebre tiene dos lingotes: el primero contiene 720 g de oro y 80 g de cobre, y el segundo contiene 400 g de oro y 100 g de cobre. ¿Qué cantidad deberá tomar de cada uno de ellos para formar otro lingote que pese 640 g y cuya ley sea 0,825? . 35.- Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 . Como no todos disponen del mismo dinero deciden pagar de la siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 que paga B, C paga 3 . ¿Cuánto paga cada uno de los tres amigos? (Zaragoza, 1995) 36.-Un aficionado a la bolsa invirtió 20.000 en acciones de tres empresas A,B y C. Al cabo de un año la empresa A pagó el 6% del dinero invertido. la B el 8% y la C el 10%. Como consecuencia de ello, el aficionado a la bolsa cobró un total de 1.624 . Además en la empresa C invirtió el doble que en la A. Se pide: a)Calcular cuánto invirtió en cada empresa. Razonar la respuesta b)Prescindiendo del último dato, es decir, de que el aficionado invirtió en la empresa C el doble que en la A, ¿cuál sería la respuesta? (Zaragoza, 1993) 37.-Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1,0) y (-2,3) 38.-En una confitería envasan los bombones en cajas de 250 g, 500 g y 1 Kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total, habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 g) que de tamaño mediano (500 g). Sabiendo que el precio del Kilogramo de bombones son 40 y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1.250 , determina cuántas cajas se han envasado de cada tipo (Oviedo,1996) 39.-Un vinatero posee tres tipos de vino con precios por litro de 0´30, 0´40 y 0´70 , respectivamente. ¿Cómo debería mezclarlos para obtener un litro de vino cuyo precio fuese de 0´50 por litro, teniendo en cuenta que debe emplear doble cantidad del vino de 0´40 por litro que del vino que sólo cuesta 0´30 por litro? (Salamanca, 1996). 40.-Si una persona tenía en total 3900 pesetas en monedas de 25,50 y 100 pts, de modo que tenía el doble de monedas de 25 que de 100 pesetas, y dos monedas menos de 50 que de 100 pts, ¿Cuántas monedas tenía de cada valor?

Problemas Álgebra Pág 11

2º BT M at II CS Bloque 1: Álgebra Problemas Tema 3: Programación lineal 1.-Resuelve las siguientes inecuaciones: x ≥ −1 2

a) 5x + 6 -

b)

x -3 > 5x − 7 2

c) 3.(x - 3) ≥ 1 + 5x

d) 2 -

x + 2x > 1 − x 3

e)

x 1 5 + ≥ x 2 3 2

f) x - 3 ≤ x

2.-Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita +

≥x

a)

+

x ≥1 2x > 1

x + 1> 2x + 3 x −3≥4 3 2x + 5 > x + 7 3x + 1 ≤ 4x + 2 +

+

≥ +

≤ x > 2

≤ + +

< +

>

+

x −6≤5 3

> > ≤

3.-Representa gráficamente la solución de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas x>y )

x ≥0

y≥ 0 x 3

≤

b)

y

y≥ 0 x ≤ 3y

3x + y > 2

x d)

2

+ y − 3≤

x+ y 2

x 3 -3x; x +3y >5. a)Representar gráficamente la región S. b)Considerar la función f(x,y)= x +3y. Calcular, si existen, los valores de (x, y) que hacen máxima y los que hacen mínima la función f(x,y) en la región S. Razonar la respuesta. c)Suponer que en la tercera inecuación se cambia la desigualdad, es decir las inecuaciones que definen S son: x-y-1 < 0; y > 3-3x ; x +3y < 5. ¿cuáles son ahora las respuestas del apartado b? Razonar la respuesta. (Zaragoza, 1996) 7.-a)En un problema de programación lineal, ¿qué diferencia hay entre solución factible y solución óptima? b)Sea S la región del plano definida por las cinco inecuaciones siguientes: x-y > -2; x + 2y < 6; 2x +y < 6; x>0; y>0. Se pide: b1)Representar gráficamente la región S y calcular sus vértices. b2)Considerar la función f(x ,y)=x + y. Calcular los valores de (x,y) que hacen mínima y los que hacen máxima la función f(x,y) en la región S. Razonar la respuesta. b3)Considerar la función g(x,y) = -2x-4y. Calcular los valores de (x,y) que hacen mínima y los que hacen máxima la función g(x, y) en la región S. Razonar la respuesta. (Zaragoza, 1994) 8.-Una empresa prepara y embala cajas de naranjas y limones para su distribución en el mercado. El precio de embalaje es de 20 por caja de naranjas y 15 por caja de limones. Sabemos que el número de cajas embaladas de limones no supera en más de 200 unidades al número de cajas embaladas de naranjas; y que en total, el número de cajas embaladas no supera las 600, y las de limones no es inferior a 200 unidades. ¿Qué numero de cajas de cada tipo hemos de embalar para que el coste sea mínimo? 9.-Se necesita una dieta que proporcione a un animal 3000 calorías y 80 unidades de proteínas por día. En el mercado hay dos alimentos básicos que pueden usarse para preparar la dieta. El alimento I cuesta 20 / Kg, contiene 600 calorías y dos unidades de proteínas. El alimento II cuesta 10 / Kg, contiene 50 calorías y ocho unidades de proteínas. Formula razonadamente el problema de determinar la combinación más barata de alimentos que satisfagan las necesidades de la dieta. (Castilla y León,1995) 10.-En cierta Comunidad Autónoma existen dos zonas forestales, una al norte y otra al sur. Con el fin de poder luchar contra los incendios que se esperan durante el verano, se decide colocar una serie de puntos de control. Debido a las condiciones especiales del terreno, en cada puesto de la zona norte necesitamos dos vigilantes, dos bomberos, dos todoterrenos y una inversión de cinco millones de euros; mientras que en la zona sur necesitamos un vigilante, cuatro bomberos, un todoterreno y una inversión de diez millones. Si esta comunidad dispone de diez vigilantes, dieciséis bomberos, siete todoterrenos y cien millones de euros, ¿cuál es el número máximo de puestos de control que podemos establecer en cada zona? 11.-En una empresas se produce queso y mantequilla. Para fabricar una unidad de queso se necesitan 10 unidades de leche y 6 unidades de mano de obra y para fabricar una unidad de mantequilla se utilizan 5 de leche y 8 de mano de obra. La empresa dispone cada día de 200 Problemas Álgebra Pág 13

2º BT M at II CS unidades de leche y 150 de mano de obra. Sabiendo que una unidad de queso se vende a 4 y una de mantequilla a 2,50 y que se vende todo lo que se produce, se pide: a)¿cuántas unidades de queso y de mantequilla se han de producir diariamente para que el beneficio sea máximo? Explicar los pasos seguidos para obtener la solución. b)Suponer que la empresa decide no producir más de 13 unidades de queso, ¿cambia la solución del apartado a)? Razonar la respuesta y en caso de que varíe, calcular la nueva solución del problema. (Zaragoza, 1996) 12.-Un granjero tiene dos almacenes de patatas, A1 y A2 que contienen 20 y 12 toneladas de patatas, respectivamente. Recibe encargos de tres clientes, C1 ,C2 y C3 de 8, 10 y 14 toneladas. Las distancias entre los almacenes y los clientes (en Kilómetros) se dan en la tabla adjunta. Suponiendo que el coste del transporte es una cantidad fija por Kilómetro y tonelada, ¿Cómo tendrán que distribuirse las patatas para minimizar el coste? Razona el planteamiento del problema y la técnica usada para su resolución. A1 A2

C1 2 6

C2 3 2

C3 4 4

13.-En un hospital se quiere elaborar una dieta alimenticia para un determinado grupo de enfermos con dos alimentos A y B. Estos alimentos contienen tres principios nutritivos: N1 ,N2 y N3. Una unidad de A vale 1 y contiene 2 unidades de N1, 1 de N2 y 1 de N3. Una unidad de B vale 2,40 y contiene 1, 3 y 2 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Un enfermo de este grupo necesita diariamente al menos 4, 6 y 5 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Se pide: a)Plantear un problema de programación lineal que permita determinar las cantidades de alimentos A y B que dan lugar a la dieta de coste mínimo. b)Resolver el problema. (Zaragoza, 1995) 14.-Un destacamento de 2400 marineros debe ir desde Rota hasta Bosnia utilizando para su traslado barcos LST y LPD; además necesitan transportar 60.000 Kilos de ayuda humanitaria. Cada barco LST puede transportar además de 300 marineros, 5.000 Kilos de ayuda, mientras que cada barco LPD puede transportar 700 marineros y 12.000 Kg de ayuda. Si el consumo por día es de 100 litros de gasóleo en un barco LST y de 150 litros en uno LPD, halla el número de barcos de cada tipo necesarios para minimizar el coste de gasóleo. 15.-En una empresa informática se ha de contratar un máximo de 60 horas de cálculo. La hora de cálculo en alta precisión cuesta 50 y la hora de cálculo en baja precisión cuesta 30 . La empresa exige contratar un mínimo de 36 horas y sólo permite contratar 10 horas de alta precisión como máximo. ¿De qué forma debemos hacer el contrato para que el coste sea mínimo, sabiendo que debemos contratar, como mínimo, seis horas de alta precisión? (Valencia,1996) 16.-Un fabricante de alfombras dispone de las siguientes existencias: 500 Kg de color azul, 400 Kg de color verde y 225 Kg de color rojo. Desea fabricar dos tipos de alfombras A y B. Para fabricar una de tipo A se necesitan 1 Kg de lana azul y 2 Kg de lana verde y para fabricar una de tipo B 2 Kg de lana azul, 1 Kg de lana verde y 1 Kg de lana roja. Cada alfombra de tipo A se vende por 20 y cada una de tipo B por 30 . Se supone que se vende todo lo que se fabrica. Se pide: a)¿Cuántas alfombras de cada tipo se han de fabricar para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es ese beneficio máximo? Explicar los pasos obtenidos para obtener la solución. b)¿Qué cantidad de lana de cada color quedará cuando se fabrique el número de alfombras que proporciona el beneficio máximo? (Zaragoza, 1995) 2 17.-Disponemos de 32.000 m de terreno para hacer una urbanización. En ella queremos construir chalés con piscina en parcelas de 600 m2 y sólo chalés en parcelas de 400 m2. El número de chalés

Problemas Álgebra Pág 14

2º BT M at II CS del segundo tipo no queremos que sea mayor que el de los del primero, pero del primer tipo no debemos realizar más del doble que del segundo tipo. Además, debido a un encargo que ya tenemos, hemos de realizar al menos cinco chalés del segundo tipo. Si los beneficios obtenidos por un chalé del primer tipo son el doble que los obtenidos por un chalé del segundo, ¿cuántos chalés de cada tipo tenemos que hacer para obtener unas ganancias máximas? 18.-Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que con cada unidad de vino se obtiene un beneficio de 8 , y con cada unidad de vinagre uno de 2 . (Andalucía,1996) 19.-Una compañía aérea tiene 2 aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B, pero no puede pasar de 120 vuelos y el avión B no puede hacer más de 180. Entre los dos aviones han de realizar al menos 60 vuelos y como mucho 200. Se pide: a)Si en cada vuelo del avión A la empresa gana 3.000 y en cada vuelo del avión B 2.000, ¿cuántos vuelos debe realizar cada avión para maximizar los beneficios de la empresa?(Explicar los pasos seguidos) b)¿Se puede quitar alguna restricción sin que la solución varíe? Razonar la respuesta. 20.-Un veterinario recomienda para un gato una dieta diaria en la que deben aparecer al menos cinco unidades de hidrato de carbono, dieciséis de proteínas y siete de grasas. En el mercado existen dos productos, A y B, cuya composición por cada diez gramos de producto es la proporcionada por la tabla adjunta. Si el precio de una caja de 100 gramos del producto A es de 5 y el de una caja de 200 gramos del producto B es de 7 , ¿cuántas cajas conviene comprar de cada tipo para tener el mínimo coste, teniendo en cuenta que el tratamiento hay que realizarlo durante veinte días?

Producto A Producto B

Hidratos de carbono 4 5

Proteinas

Grasas

6 4

2 3

21.-Una persona dispone para invertir en bolsa de 20 millones de euros y desea comprar dos tipos de acciones; A y B. Las acciones A dan un 8% de rendimiento y las B un 10%. Existen topes legales que impiden invertir más de siete millones en las acciones A y obligan a invertir al menos tres millones en las del tipo B. Si el inversionista quiere comprar al menos tantas acciones del tipo A como del B, ¿cómo ha de realizar su inversión para obtener el máximo rendimiento? (M urcia,1995) 22.-Los alumnos de un conservatorio de música deciden formar una orquesta. Los gustos del público exigen que haya siempre mayor o igual número de instrumentos de cuerda que de viento, y que el número de instrumentos de cuerda no debe superar el doble del número de instrumentos de viento. En total hay disponibles 20 instrumentos de viento y 30 de cuerda. Los empresarios pagan a la orquesta 250 por cada instrumento de viento y 200 por cada uno de cuerda. Se pide: a)¿De cuántos instrumentos de cuerda y cuántos de viento se debe componer la orquesta para obtener el máximo beneficio? b)Si se suprime la restricción del número total disponible de instrumentos de viento, ¿varía la respuesta en el apartado a)? Razonar la respuesta. En caso de que varíe, calcular la nueva solución.

Problemas Álgebra Pág 15

2º BT M at II CS c)Si se suprime tanto la restricción del número total disponible de instrumentos de viento como de cuerda, ¿qué ocurre con el beneficio? Razonar la respuesta. (Zaragoza, 1994) 23.-Una cadena de supermercados tiene dos almacenes en Valladolid y Segovia desde los que envía productos hasta sus supermercados en Soria, Burgos y Logroño. Sabemos que esta cadena tiene disponibles 2500 productos en cada uno de los almacenes, y que Soria necesita 2000 de dichos productos, Burgos 1800 y Logroño 1200. Indica cómo debe realizarse la distribución para que el coste sea mínimo, si el coste de envío del producto viene dado por la siguiente tabla: Valladolid S egovia

S oria 15 1

Burgos 10 15

Logroño 18 20

24.-Se quiere llevar de excursión a 370 alumnos. Para ello se contratan autocares de una empresa. La empresa tiene 5 autocares de 30 plazas y 8 de 40 plazas, pero dispone sólo de 10 conductores. El alquiler de los autocares grandes es de 70 y el de los pequeños es de 50 . Calcula cuántos autocares de cada clase deben alquilarse para que la excursión resulte lo más barata posible. (País Vasco,1996) 25.-Un camión puede transportar como máximo 9 toneladas de mercancía por viaje. En un cierto viaje desea transportar el menos 4 toneladas de la mercancía A, y un peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A. Sabiendo que se cobra 30 por tonelada de A transportada y 20 por tonelada de B, se quiere saber cuántas toneladas de A y B se deben cargar en el camión para obtener la ganancia máxima. (Zaragoza, 1993) 26.-Un agricultor posee 60 áreas de terreno, que quiere plantar con limoneros y almendros. Cada área de limoneros necesita anualmente 36 m3 de agua a 0,45 el m3, 24 en mano de obra y 20 Kilos de abono con un coste de 0,30 por Kilo. Sin embargo, el área de almendros necesita anualmente 2 m3 de agua, 60 de mano de obra y 5 Kilos de abono. Se espera vender el Kilo de limones a 0,30 , con una producción media por área de unos 400 Kilos de limones, además se espera que el precio de la almendra sea de 3 el Kilo, con una producción media por área de unos 40 Kilos. Se dispone de 460 m3 de agua al año y el agricultor tiene un presupuesto de 100 por área; ¿cuántas áreas de cada tipo debe plantar para obtener unos ingresos finales máximos? 27.-Un fabricante de muebles hace dos tipos de sillas A y B. Cada silla del tipo A requiere 8 horas de trabajo, y cada una del tipo B, 5 horas. Los materiales para el tipo A cuestan 40 y para el tipo B, 50 . En cada silla A gana 17,50 y en cada una de B, 15 . El fabricante tiene que tener en cuenta las siguientes restricciones: Tiene que fabricar, al menos, 15 del tipo A y 10 del tipo B a la semana; sólo puede trabajar un máximo de 320 horas por semana y el coste del material por semana no puede exceder los 2.000 . Calcula el número de sillas de cada clase que ha de fabricar para obtener beneficios máximos. (León,1995) 28.-Una empresa dispone de 200 ordenadores de la marca A y 150 de la marca B, 150 impresoras de la marca A y 150 de la B y 250 equipos multimedia. Para ponerlas a la venta ofrece dos posibilidades: a)Equipo multimedia con ordenador e impresora marca A y b) Equipo multimedia con ordenador e impresora marca B. Con una venta del primer lote obtendría una ganancia de 200 , mientras que en una del segundo lote, la ganancia es de 150 . ¿cuántos lotes de cada tipo convendrá preparar para obtener una ganancia máxima?

Problemas Álgebra Pág 16

2º BT M at II CS EJERCICIOS DE LA P.A.U. : MATRICES Y SISTEMAS 1 1 1 1.- (S eptiembre 93/94) Considerar la matriz A = 1 − 1 1 1 1 −1 a) Calcular el rango de A. b) Discutir si existe solución y resolver, caso de que sea posible, el siguiente sistema de ecuaciones 0 lineales : A y = 0 z 0 c) Cambiando una sola ecuación, convertir el sistema de ecuaciones lineales del apartado b en un sistema que tenga infinitas soluciones. Calcular dichas soluciones. x

2 1 −1 − 1 y B= Se pide : −1 1 1 1 a) Comprobar que no se cumple la siguiente igualdad (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB. ¿Cuál es la razón de que no se cumpla ? x 1 b) Considerar el sistema de ecuaciones lineales B = . Discutir si existe solución y, en caso y 1 afirmativo, resolverlo. Interpretar geométricamente el sistema. 2.- (S eptiembre 95/96) Considerar las matrices A =

1 1 3 3.- (Junio 96/97) Dada la matriz A = 2 3 4 siendo m un parámetro real. Se pide : 3 4 m a) Calcular el rango de A según los valores del parámetro m. 0 b) Considerar el sistema de ecuaciones lineales A y = 0 . Discutir si existe solución según los valores z 0 del parámetro m. En caso afirmativo, resolver el sistema. x

2 c) Para m = 7, considerar el sistema de ecuaciones lineales A y = 0 Discutir si existe solución. z 3 x

3x + 4 y − 5z = 6 4.- (S eptiembre 96/97) Sea el sistema de ecuaciones lineales x − y + z = 0 Se pide : x−y =2 a) Discutir si existe solución y, en caso afirmativo, resolverlo. b) M odificando una sola de las tres ecuaciones transformar el sistema dado en un sistema compatible indeterminado y resolverlo. Razonar la respuesta. 5.- (Junio 97/98) a) Considerar una matriz A de orden m x n con m ≠ n . Razonar si se puede calcular la expresión A At - At A siendo At la matriz traspuesta de A.

Problemas Álgebra Pág 17

2º BT M at II CS 1 0 −1 , resolver por el método de Gauss : 2 1 1 i) el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es At A. ii) el sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A At.

b) Considerar la matriz A =

6.- (junio 98/99) considerar la ecuación matricial : X

2 2

2 2 =2 m+m 4

1 , con m un parámetro real. 0

Se pide : a) ¿Para qué valores del parámetro m existe una única matriz X que verifica la ecuación anterior ? b) Si es posible, resolver la ecuación matricial para m = 0. c) Si es posible, resolver la ecuación matricial para m = 1. 1 0 1 7.- (Junio 99/00) Sea la matriz A = 2 1 1 , con b un parámetro real. Se pide : 1 0 b 0 a) Para qué valores del parámetro b el sistema de ecuaciones lineales A y = 0 tiene solo la solución x z 0 = y = z = 0 ? Justificar la respuesta. x

1 b) Para b = -1, resolver si es posible el sistema de ecuaciones lineales A y = 1 . z 1 x

2 0 1 1 2 8.- (S eptiembre 99/00) Considerar las matrices A = ,B = ,C = 1 1 −1 3 1 a) Determinar una matriz X que verifique : A2 X =

−1 3 1 1 . Se pide : 6 2

1 BC . 2

0 b) Considerar el sistema de ecuaciones lineales (C B) y = 0 . Discutir si existe solución y, en caso z 0 afirmativo, resolverlo por el método de Gauss. x

− x − y + 3z = 0 9.- (S eptiembre 2001) Dado el sistema de ecuaciones lineales : 2 x + bz = 0 con b un parámetro 2y + 4z = 0 real, calcular : a) el rango de la matriz de los coeficientes del sistema según los valores del parámetro b. b) los valores del parámetro b para los que el sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado y hallar la solución del sistema para los valores de b calculados. c) los valores del parámetro b para los que el sistema de ecuaciones lineales es compatible indeterminado y hallar las soluciones del sistema para los valores de b calculados. 10.- (S eptiembre 2001/2002) Problemas Álgebra Pág 18

2º BT M at II CS (a − 3) x + by + cz = − 5 a) Se considera el sistema bx − ay + 10z = 17 ax + z = c + 6 Calcular, mediante el método de Gauss, los posibles valores que pueden tomar los parámetros a, b y c para que el sistema tenga por solución x = 1, y = -3, z = -1 2 −1 3 4 2 1 b) Con las matrices A = ,B= y C= comprobar la propiedad asociativa del 5 3 4 4 2 −1 producto de matrices. 1 2 3 10.- (Junio 2003) Se considera la matriz A = 1 3 3 , siendo a un parámetro real. 2 5 a a) Calcular el rango de A según los valores del parámetro a. 0 0 0

x b)

Discutir si existe solución del sistema A

y

=

z

según los valores de a. En caso afirmativo,

resolverlo. 0 c) Para a = 6, discutir si existe solución del sistema A y = 1 z 0 x

12.- (Junio 93/94) Un aficionado a Bolsa invirtió 2.000.000 de pesetas en acciones de tres empresas A, B y C. Al cabo de un año la empresa A pagó el 6% del dinero invertido, la B el 8% y la C el 10%. Como consecuencia de ello, el aficionado a la bolsa cobró un total de 162.000 pesetas. Además en la empresa C invirtió el doble que el la A. Se pide : a) Calcular cuanto invirtió en cada empresa. b) Prescindiendo del último dato, es decir de que el aficionado invirtió en la empresa C el doble que en la A, ¿cuál sería la respuesta ? 13.- (Junio 95/96) Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 8.600 pesetas. Como no todos disponen del mismo dinero deciden pagar de la siguiente manera : A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 pesetas que paga B, C paga tres pesetas. Se pide : a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona. b) Resolver el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss. 14.- (S eptiembre 97/98) Se considera un número de tres cifras del que se sabe que la suma de sus tres cifras es 12, el doble de la cifra de las decenas es igual a la suma de las otras dos cifras y, por último, se sabe que la cifra de las centenas es tres más la mitad de la cifra de las decenas. Se pide : a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales con el que se determine dicho número. b) Resolver, utilizando el método de Gauss, el sistema de ecuaciones lineales planteado en el apartado a) c) ¿Cuál es la solución del problema si no se considera la última condición ? 15.- (Junio 2000/2001) En una librería hubo la semana pasada una promoción de tres libros : una novela, un libro de poesía y un cuento. Se vendieron 200 ejemplares de la novela, 100 de poesía y 150 de cuentos. Sabiendo que la librería ingresó por dicha promoción 8600 euros, que el precio de un ejemplar de poesía y del cuento es igual al precio de una novela, se pide : a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para determinar el precio al que se vendió cada libro. Problemas Álgebra Pág 19

2º BT M at II CS b) Resolver el sistema de ecuaciones planteado por el método de Gauss. 16.- (Junio 2002) En una empresa trabajan 160 personas y todas ellas deben hacerse un reconocimiento médico en el plazo de tres días. El primer día se lo hace la tercera parte de los que se lo hacen durante los otros dos día. El segundo día y el tercero se lo hacen el mismo número de personas. Se pide : a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales que permita calcular el número de trabajadores que se hacen el reconocimiento cada día. b) Resolver el sistema de ecuaciones lineales propuesto en el apartado anterior por el método de Gauss. 17.- (S eptiembre 2003) Una empresa de juguetes fabrica bicicletas, triciclos y coches. Se sabe que va a necesitar 945 ruedas, que desea fabricar 280 juguetes en total y que se fabricarán 10 bicicletas menos que triciclos. a) Plantear un sistema de ecuaciones lineales para determinar el número de juguetes de cada tipo que va a fabricar. b) Resolver el sistema anterior por el método de Gauss. c) ¿Cuál es la relación entre el número de bicicletas y el de coches que se van a fabricar si no se considera la última condición ? 0

1

1 3 0 1

18.- (Junio 2004) Se consideran las matrices A= − 3 1 , B= 2

1

2 −4

a) Calcular AB y BA b) Discutir si existe solución del sistema AB

x 2 y = 5 z 0

.En caso afirmativo , resolverlo utilizando el

método de Gauss. 19.- (Septiembre 2004) Se consideran las matrices A=

1 0 1

0 0 2 1 2 2

, B=

−3 2 0 0 1 2 0 2 3

y C=

− 3 −1 0 1 0 4 2 1 3

a) Utilizando la matriz inversa de A, determinar una matriz X tal que AX=B+C b) Discutir si existe solución del sistema B.

x 2 y = 1 z 2

.En caso afirmativo , resolverlo utilizando el método

de Gauss. 20 (Junio 2005) En un taller de joyeria se fabrican collares con 50, 75 y 80 perlas y para ello se utilizan en su totalidad 17.500 perlas y 240 cierres. a) ¿Cuántos collares de cada tamaño se han de fabricar si se desean tantos collares de tamaño mediano como la media aritmetica del número de collares grandes y pequeños? b) Sin tener en cuenta la condición del apartado anterior, ¿es posible fabricar el mismo número de collares de cada tamaño? 2 x − y + z = −3 21.-(S eptiembre 2005) a) M ediante cálculo matricial, discuta y resuelva el sistema: 2 x + 3 y − z = 1 2 x + 7 y − 3z = 5 1 5 b) Calcula la matriz X solución de la ecuación 2 X + −3 2

Problemas Álgebra Pág 20

2

=

−1 4 4 1

2º BT M at II CS PROGRAMACIÓN LINEAL: P.A.U. 1.- (Junio 94/95) a) En un problema de programación lineal, qué diferencia hay entre solución factible y solución óptima. b) Sea S la región del plano definida por las cinco inecuaciones siguientes : x - y ≥ −2 x + 2y ≤ 6 2x + y ≤ 6 x≥ 0 y ≥0 Se pide : B1) Representar gráficamente la región S y calcular sus vértices. B2) Considerar la función f(x,y) = x + y. Calcular los valores de (x , y) que hacen mínima y los que hacen máxima la función en la región S. Razonar la respuesta. B3) Considerar la función g(x,y) = -2x - 4y. Calcular los valores de (x,y) que hacen mínima y los que hacen máxima la función g(x,y) en la región S. Razonar la respuesta. 2.- (Junio 96/97) Sea S la región del plano definida por las tres inecuaciones siguientes : x- y - 1 ≤0 y ≥ 3 − 3x x + 3y ≥ 5 a) Representar gráficamente la región S. b) Considerar la función f(x,y) = x + 3y. Calcular, si existen, los valores de (x,y) que hacen máxima y los que hacen mínima la función f(x,y) en la región S. Razonar la respuesta. c) Suponer que en la tercera inecuación se cambia la desigualdad, es decir las inecuaciones que definen S son : x - y - 1 ≤ 0 ; y ≥ 3 − 3x ; x + 3y ≤ 5 ¿Cuáles son ahora las respuestas del apartado b) ? Razonar la respuesta. 3.- (Junio 97/98) Considerar las inecuaciones : y - x ≥ −2 ; - x - y ≤ 2 ; 3x + y ≤ 3 . Se pide : a) Representar gráficamente el conjunto S definido por estas inecuaciones. b) Determinar si f(x,y) = 3x - 2y alcanza un valor máximo y un valor mínimo en S y, en caso afirmativo, calcular dichos valores y los puntos donde se alcanzan. c) Determinar si f(x,y) = -6x + 4y alcanza un valor máximo y un valor mínimo en S y, en caso afirmativo, calcular dichos valores y los puntos donde se alcanzan. 4.- (Junio 93/94) Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses de 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero solo de 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiles de cada autobús de los grandes cuesta 8000 pesetas y el de cada uno de los pequeños 6000 pesetas. Se quiere saber cuántos autobuses de cada clase se tiene que alquilar para que el coste del viaje sea mínimo. Para ello se pide : a) Plantear el problema que se debe resolver (función objetivo y restricciones) b) Representar la región factible. c) resolver el problema, explicando los pasos seguidos hasta obtener la solución. 5.- (S eptiembre 93/94) Un camión puede transportar como máximo 9 toneladas de mercancía por viaje. En un cierto viaje desea transportar al menos 4 toneladas de la mercancía A, y un peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A. Sabiendo que se cobra 3000 pesetas por tonelada de A transportada y 2000 pesetas por tonelada de B, se quiere saber cuantas toneladas de A y B se deben cargar en el camión para obtener la ganancia máxima. 6.- (Junio 94/95) Los alumnos de un conservatorio de música deciden formar una orquesta. Los gustos del público exigen que haya siempre mayor o igual número de instrumentos de cuerda que de viento, y que el número de instrumentos de cuerda no debe superar el doble del número de instrumentos de viento. En total hay disponibles 20 instrumentos de viento y 30 de cuerda. Los empresarios pagan a la orquesta 25.000 pesetas por cada instrumento de viento y 20.000 por cada uno de cuerda. Se pide : a) ¿De cuántos instrumentos de cuerda y cuántos de viento se debe componer la orquesta para obtener el máximo beneficio ? b) Si se suprime la restricción del número total disponible de instrumentos de viento ¿varía la respuesta Problemas Álgebra Pág 21

2º BT M at II CS en el apartado a) ?. Razonar la respuesta. En caso de que varíe, calcular la nueva solución. c) Si se suprime tanto la restricción del número total disponible de instrumentos de viento como de cuerda ¿qué ocurre con el beneficio ?.Razonar la respuesta. 7.- (S eptiembre 94/95) Una compañía aérea tiene 2 aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer mas veces el trayecto que el avión B, pero no puede pasar de 120 vuelos y el avión B no puede hacer más de 180. Entre los dos aviones han de realizar al menos 60 vuelos y como mucho 200. Se pide : a) Si en cada vuelo del avión A la empresa gana 300.000 pesetas y en cada vuelo del avión B 200.000 ¿cuántos vuelos debe realizar cada avión para maximizar los beneficios de la empresa ? b) ¿Se puede quitar alguna restricción sin que la solución varíe ? Razonar la respuesta. c) Si en cada vuelo el avión A consume el doble de litros de gasolina que el avión B, ¿cuántos vuelos ha de hacer cada avión para que el consumo de gasolina sea mínimo ? 8.- (Junio 95/96). Un fabricante de alfombras dispone de las siguientes existencias de lana : 500 kg. de color azul, 400 Kg. de color verde y 225 Kg. de color rojo. Desea fabricar dos tipos de alfombras A y B. Para fabricar una de tipo A se necesitan 1 Kg. de lana azul y 2 Kg. de lana verde y para fabricar una de tipo B 2 Kg. de lana azul, 1 Kg. de lana verde y 1 Kg. de lana roja. Cada alfombra de tipo A se vende por 2.000 pesetas y cada una de tipo B por 3.000 pesetas. Se supone que se vende todo lo que se fabrica. Se pide : a) ¿Cuantas alfombras de cada tipo se han de fabricar para que el beneficio sea máximo ?¿cuál es ese beneficio máximo ?. Explicar los pasos seguidos para obtener la solución. b) ¿Que cantidad de lana de cada color quedará cuando se fabrique el número de alfombras que proporciona el máximo beneficio ? 9.- (S eptiembre 95/96). En un hospital se quiere elaborar una dieta alimenticia para un determinado grupo de enfermos con dos alimentos A y B. Estos alimentos contienen tres principios nutritivos : N1, N2 y N3. Una unidad de A vale 100 pesetas y contiene 2 unidades de N1, 1 de N2 y 1 de N3 respectivamente. Una unidad de B vale 240 pesetas y contiene 1, 3 y 2 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Un enfermo de este grupo necesita diariamente al menos 4, 6 y 5 unidades de N1, N2 y N3 respectivamente. Se pide : a) Plantear un problema de programación lineal que permita determinar las cantidades de alimentos A y B que dan lugar a la dieta de coste mínimo. b) Resolver el problema planteado en el apartado anterior. 10.- (S eptiembre 96/97). En una empresa se produce queso y mantequilla. Para fabricar una unidad de queso se necesitan 10 unidades de leche y 6 unidades de mano de obra y para fabricar una unidad de mantequilla se utilizan 5 de leche y 8 de mano de obra. La empresa dispone cada día de 200 unidades de leche y 150 de mano de obra. Sabiendo que una unidad de queso se vende a 400 pesetas y una de mantequilla a 250 y que se vende todo lo que se produce, se pide : a) ¿Cuántas unidades de queso y de mantequilla se han de producir diariamente para que el beneficio sea máximo ? Explicar los pasos seguidos para obtener la solución. b) Suponer que la empresa decide no producir más de 13 unidades de queso, ¿cambia la solución del apartado a) ?.Razonar la respuesta y en caso de que varíe, calcular la nueva solución del problema. 11.- (Junio 98/99). Una empresa se dedica a la producción de frascos de perfume y de agua de colonia a partir de tres factores productivos, F1, F2 y F3. Para fabricar un frasco de perfume, se utilizan 1 unidad de F1 y 2 de F2, y para fabricar 1 frasco de agua de colonia se utilizan 2 unidades de F1 y 4 de F3. Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfume es de 5000 pesetas, de uno de agua de colonia es de 2.000 pesetas y que la empresa dispone de 240 unidades de F1, 360 de F2 y 440 de F3 : a) Calcular el número de frascos de cada tipo que debe fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. Problemas Álgebra Pág 22

2º BT M at II CS b) ¿Se consumen todas las existencias de F1, F2 y F3 en la producción de los frascos que maximiza los beneficios ? 12.- (S eptiembre 98/99). Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta mínima que consiste en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitaminas diarias. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2,5 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que cada kilo de pienso compuesto proporciona 1 de hierro y 2 de vitaminas. Sabiendo que el kilo de maíz vale 30 pesetas y el pienso compuesto 52 pesetas, se pide : a)¿Cuál es la composición de la dieta diaria que minimiza los costes del granjero ? Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. b) ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el mercado el granjero no pudiera disponer de más de 1 kilo diario de pienso compuesto ? Razonar la respuesta. 13.- (Junio 99/00). Un colegio prepara una excursión a la montaña para 114 alumnos. Para ello dispone de 8 vehículos de 6 plazas cada uno y otros 8 de 15 plazas, pero para el día de la excursión sólo dispone de 10 conductores. El viaje de ida y vuelta con un vehículo de 6 plazas cuesta 800 pesetas y con uno de 15 plazas 2100 pesetas. Calcular cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar el colegio para que el coste del transporte sea mínimo. Explicar los pasos seguidos para obtener la solución. 14.- (S eptiembre 99/00). Una empresa produce dos tipos de bolsos A y B. La producción de un bolso de tipo A requiere 3 unidades de materia prima y 5 horas de trabajo. Por otra parte, la producción de un bolso de tipo B requiere 2 unidades de materia prima y 4 horas de trabajo. La empresa en cuestión dispone cada día de 180 unidades de materia prima y 320 horas de trabajo. Sabiendo que cada bolso de tipo A produce un beneficio de 4 unidades monetarias, cada bolso de tipo B 3 unidades monetarias y que se vende todo lo que se produce, a)calcular cuántos bolsos de cada tipo se han de producir diariamente para que el beneficio sea máximo. b) Suponer que cambian los beneficios producidos por cada tipo de bolso, siendo el que produce uno de tipo A 3 unid y uno de tipo B de 2.¿varía la solución del apartado a) ? 15.- (Junio 2000/2001) El tratamiento de cierta enfermedad requiere la administración de dos complejos vitamínicos, C1 y C2. Cada semana es preciso consumir al menos 450 mg de C1 y 200 mg de C2. Estos complejos se presentan en dos comprimidos diferentes : el comprimido de color rojo que cuesta 25 pesetas la unidad y que contiene 15 mg de C1 y 25 mg de C2 y el comprimido de color azul que también cuesta 25 pesetas la unidad y que contiene 28 mg de C1 y 10 mg de C2. ¿Cuántos comprimidos de cada color debe tomar un individuo en una semana para que el coste del tratamiento sea mínimo ?. Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. 16.- (S eptiembre 2001) Un talles de cerámica produce jarrones y ceniceros de los que obtiene unos beneficios unitarios de 5 y 6 unidades monetarias, respectivamente. La producción de dichos artículos se realiza a partir de dos factores productivos F1 y F2, de los que se utilizan 4 y 2 unidades, respectivamente, por cada jarrón y 2 y 3 unidades por cada cenicero. Sabiendo que la disponibilidad semanal de F1 es de 110 unidades y de F2 es de 85 unidades, el taller quiere saber : a)¿Cuántos jarrones y ceniceros debe producir con los recursos de que dispone para maximizar sus beneficios semanales ?. Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. b) Si a partir de un estudio de mercado se concluye que existe más demanda de jarrones que de ceniceros, ¿afectará esta circunstancia a la producción del taller si su objetivo sigue siendo maximizar sus beneficios ? 17.- (Junio 2001) Un jardinero que debe fumigar al menos una hectárea de césped y una hectárea de arbolado, puede utilizar para ello dos tipos de productos concentrados, A y B. Un litro del producto A cuesta 30.000 pesetas y un litro del producto B cuesta 14.000 pesetas. Con cada litro del producto A se pueden fumigar dos hectáreas de césped y seis hectáreas de arbolado, Problemas Álgebra Pág 23

2º BT M at II CS mientras que con cada litro del producto B se pueden fumigar dos hectáreas de césped y una de arbolado. ¿Qué cantidad debe emplear de cada producto para que el gasto sea mínimo ? Calcular dicho gasto mínimo. 18.- (Junio 2002) Se considera la función f(x,y) = x + 3y, se pide : a) Razonar si f(x , y) alcanza un valor máximo y uno mínimo en el conjunto

{

S = ( x , y ) / 2 x + y ≤ 4, x + 3 y ≤ 7, x ≥ 0, y ≥ 0 } . En caso afirmativo, calcular dichos valores y los puntos en los que se alcanzan. b) Razonar si f(x,y) alcanza un valor máximo y uno mínimo en el conjunto

{

T = 2 x + y ≥ 4, x + 3y ≥ 7 , x ≥ 0, y ≥ 0 se alcanzan.

} . En caso afirmativo, calcular dichos valores y los puntos en que

19.- (S eptiembre 2002) Una empresa se dedica a la producción de dos tipos de tejidos A y B utilizando como materias primas algodón, poliéster y seda. Se dispone de 60 unidades de algodón, de 35 de seda y de 80 de poliéster y se sabe que las unidades da cada materia prima necesarias para la producción de 1 rollo de cada tipo de tejido vienen dadas en la siguiente tabla. Algodón poliéster seda A 1 2 0 B 3 2 1 a) Calcular el beneficio total máximo, sabiendo que el beneficio obtenido de un rollo de tejido A es de 50 euros y del B es de 70. Explicar los pasos seguidos para obtener la solución. b) ¿Se obtendrías excedente de alguna materia prima ?. En caso afirmativo decir cuántas unidades. c) ¿Cambiaría la solución del apartado a) si al menos hubiera que producir 15 rollos del tejido A ? Razonar la respuesta. 20.- (Junio 93) Una empresa edita un libro en dos tipos de formato “normal” y de “bolsillo”, de un ejemplar del primer formato se obtiene un beneficio de 5 unidades monetarias y de un ejemplar del segundo 3. La producción de un ejemplar normal requiere 8 unidades de materia prima y 4 unidades de tiempo y la de bolsillo 4 unidades de materia prima y 3 de tiempo, disponiendo para ello de 800 unidades de materia prima y 480 unidades de tiempo. a) ¿Cuántos ejemplares de cada formato se han de editar para que el beneficio total sea máximo ?. Explicar los pasos obtenidos para obtener la solución. b) Si el beneficio de producir un ejemplar normal fuera de 4 unidades monetarias. ¿Podría cambiar la solución del apartado anterior ?. Razonar la respuesta. 21.- (S eptiembre 93) Sea T la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones : y - x - 1 ≤ 0 y + x - 4 ≤ 0 2y ≥ 3 - x a) Representar gráficamente la región T. b) Se considera la función f(x , y) = 2y + x. Calcular, si existen, los puntos (x,y) que dan el valor máximo de f(x,y) y los que dan el valor mínimo de f(x,y) en T. c) ¿Cuál sería la respuesta del apartado anterior si se agrega la desigualdad y ≥ 0 ? 22.-( Junio 2004) Se considera la función f(x,y)= x- y a) Representar el conjunto A= {(x , y ) | 3x + y ≥ 15, y − x ≤ −5, 2x + 3y ≤ 60, y ≥ 0} y calcular el valor máximo de f(x,y) en A.¿Alguna de las desigualdades que definen al conjunto A se podría eliminar de forma que siguiera siendo el mismo conjunto? a) Decir si la función f(x,y) alcanza valor máximo en el conjunto B= {(x , y ) | 3x + y ≤ 15, x − y ≥ 5, x ≥ 0}.En caso afirmativo calcular dicho valor . Problemas Álgebra Pág 24

2º BT M at II CS 23.- (S eptiembre 2004) Un industrial comercializa botijos decorados y botijos sin decorar . El tiempo necesario para fabricar un botijo es de una hora y para decorarlo se necesita otra hora.El beneficio por botijo es de 10 si esta decorado y de 6 si no lo está y se trabaja un máximo de 500 horas mensuales. a) Plantear y resolver un problema de programación lineal que permita calcular cuántos botijos de cada tipo se han de fabricar al mes para que el beneficio total sea máximo. a) ¿Cambiaría la solución del apartado anterior si no se desean fabricar más de 300 botijos sin decorar? En caso afirmativo calcularla. b) Calcular la solución apartado a) y decir en qué puntos se alcanza , si el beneficio por botijo no decorado es de 5 . 24.(Junio 2005) Sea T la región del plano determinada por las siguientes inecuaciones −2≤ y y ≤ 2x + 2 y + 2x ≤ 6 a) Represente gráficamente la región T. 2x − y b) Se considera la función f(x,y)= . Calcule, si existen, los puntos (x,y), que dan el valor 2 máximo de f(x,y) y los que dan el valor mínimo de f(x,y) en T. c) Calcule las respuestas del apartado anterior si en T se cambia la desigualdad y ≤ 2 x + 2 por x ≥ 2 25.-(S eptiembre 2005) Un agricultor dispone de 9 hectáreas para sembrar 2 productos A y B. Para el producto A desea destinar como mucho 8 hectáreas. Por cada hectárea sembrada con A y B se obtiene respectivamente un beneficio de 150 y 100 . a) Si se quiere que la superficie correspondiente a B no sea mayor que la mitad que ocupará A, plantee y resuelva un problema de programación lineal que permita averiguar el número de hectáreas que se han de dedicar a cada producto para maximizar el beneficio total. b) ¿Cuál es la solución si el beneficio por hectárea es de 125 independientemente de que este sembrada con a o con B y no se tiene en cuenta la restricción del apartado a)?

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