Sumber : google.com Gambar : ilustrasi investasi uang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak hal yang berhubungan dengan eksponen dan logaritma. Baik itu ekonomi, bisnis, pendidikan bahkan ketatanegaraan. Konsep eksponen digunakan untuk mendeskripsikan dan menyelesaikan permasalahan dunia. Misalnya dalam ekonomi digunakan untuk mendeskrisikan bunga uang, dalam ketatanegaraan digunakan untuk mendeskripsikan pertumbuhan penduduk. Dengan memahami eksponen dan logaritma, kalian akan lebih paham saat masuk ke jenjang yang lebih tinggi lagi. Jika kalian pernah mengikuti soal tentang tes Potensi Akademik, kalian akan melihat banyak soal terkait materi eksponen dan logaritma. Hal itu berarti eksponen dan logaritma juga menjadi salah satu tolok ukur dalam menentukan kemampuan akademik seseorang. Oleh karena itu, materi eksponen dan logaritma penting untuk dipahami

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

1

Kata Kunci • • •

Eksponen Bentuk akar Logaritma

Indikator • • • • • • •

Memahami defenisi eksponensial Memahami sifat-sifat eksponensial Memahami defenisi pertumbuhan Memahami grafik pertumbuhan Memahami peluruhan Memahami defenisi bentuk akar Memahami sifat-sifat akar

Capaian Pembelajaran Peserta didik dapat menggeneralisasi sifat-sifat bilangan berpangkat (termasuk bilangan pangkat pecahan)

2

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

P eta onsep K EKSPONEN 𝑎𝑛 = 𝑏

Sifat-sifat Eksponen

LOGARITMA

Pangkat bilangan bulat positif

𝑎log 𝑏

=𝑛 Sifat-sifat Logaritma

Pangkat bilangan bulat negatif

Pangkat bilangan bulat negatif

Bentuk Akar

𝑛

ξ𝑥

Eksponen dan Logaritma

Sifat-sifat akar

SMK/MAK

3

A.

EKSPONENSIAL

1. Konsep Eksponensial Untuk memahami konsep dari eksponensial, mari kita perhatikan permasalahan berikut ini.

Masalah 1.1 Universitas Nias mengadakan lomba catur untuk merayakan Hari Pendidikan Nasional. Mahasiswa yang mendaftar sebanyak 64 orang. Untuk memperoleh pemenang, lomba ini menggunakan sistem gugur. Pada babak pertama, semua peserta bertanding dan pemenangnya akan masuk pada babak selanjutnya. Peserta yang kalah langsung keluar dari turnamen, sehingga pada babak berikutnya, banyak peserta berkurang separuhnya, dan seterusnya, hingga pada babak akhir hanya ada satu pertemuan untuk menentukan sang juara. Berapakah banyak peserta lomba disetiap babak?

Alternatif Penyelesaian Dari masalah diatas, banyak peserta lomba yaitu 64 orang, sehingga pada babak pertama banyak pesertanya adalah 64 orang. Pada babak selanjutnya, banyak peserta berkurang separuh dari banyak peserta pada babak sebelumnya yaitu 32 orang. Demikian pula seterusnya hingga diperoleh pemenang. Untuk lebih memudahkan, berikut diuraikan dalam tabel.

4

Eksponen dan Logaritma

Babak Ke-

Jumlah Peserta

1

64

2

32

3

16

4

….

5

….

6

….

SMK/MAK

Masalah 1.1 membentuk sebuah pola perkalian sejenis dari bilangan 2 (dua), yang dapat dilihat pada tabel berikut. Babak Ke-

Jumlah Peserta

Pola

1

64

64 = 2×2×2×2×2×2

2

32

32 = 2×2×2×2×2

3

16

16 = 2×2×2×2

4

….

….

5

….

….

6

….

….

Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1.1 Untuk a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka an adalah hasil kali bilangan a sebanyak n kali, dapat ditulis: 𝒂𝒏 = 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 × … × 𝒂 n kali dengan an dibaca “a eksponen (pangkat) n”, dengan a disebut bilangan pokok (basis) dan n disebut eksponen (pangkat). Jumlah peserta setiap babak pada masalah 1.1 dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat yaitu sebagai berikut. Babak Ke-

Jumlah Peserta

1

64

64 = 2×2×2×2×2×2

26

2

32

32 = 2×2×2×2×2

25

3

16

16 = 2×2×2×2

24

4

….

….

….

5

….

….

….

6

….

….

….

Eksponen dan Logaritma

Pola

Bentuk Pangkat

SMK/MAK

5

2. Sifat-Sifat Bilangan Eksponen Untuk a, b bilangan real dan m, n bilangan bulat berlaku sifat-sifat berikut: a. am × an = am + n

e. (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚×𝑛

Contoh : 5

Contoh :

6

2 ×2 =2 =2 b.

𝑎𝑚 𝑎𝑛

5+6

(73 )5 = 73×5

11

= am – n , a ≠ 0

= 715 f. a0 = 1, a ≠ 0

Contoh :

Contoh :

34

80 = 1

32

= 34 – 2

1

g. a-n = 𝑎𝑛, a ≠ 0

= 32

Contoh :

c. (a × b)n = an × bn

1

3-5 = 35

Contoh : (4 × 2)3 = 43 × 23 𝑎 𝑛

𝑎𝑛

d. (𝑏 ) =

𝑏𝑛

,b≠0

Contoh : 3 5

35

(2) =

h.

1 𝑎−𝑛

= 𝑎𝑛 , a ≠ 0

Contoh : 1 = 53 5−3

25

Latihan 1.1 Sederhanakanlah bentuk perpangkatan berikut. a. p2 × p3 × p4 b. (x5)6 c. (8x2y)4 𝑎2 𝑏5

3

d. (𝑎5 𝑏2 ) 3

e.

6

(𝑎3 𝑏−3 )

(𝑎2 𝑏1)−1

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

B.

PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN

1. Pertumbuhan Pertumbuhan dapat diartikan sebagai perubahan kuantitatif pada materiil sesuatu sebagai akibat dari adanya pengaruh lingkungan. Perubahan kuantitatif yang dimaksud dapat berupa pembesaran atau penambahan dari tidak ada menjadi ada, dari kecil menjadi besar, dari sedikit menjadi banyak, dari sempit menjadi luas, dan sebagainya. Jadi pertumbuhan adalah berkembangnya suatu keadaan yang mengalami penambahan atau kenaikan secara eksponensial.

Masalah 1.2 Banyak penduduk suatu kota setiap tahun meningkat sekitar 1% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasarkan sensus penduduk pada tahun 2009, penduduk di kota tersebut berbanyak 100.000 orang. Hitung banyak penduduk pada akhir tahun 2012 !

Alternatif Penyelesaian Tahun

Banyak Penduduk

2009

100.000

2010

= 100.000 + (100.000 × 0,01) = 101.000

2011

= 101.000 + (101.000 × 0,01) = 102.010

2012

= 102.010 + (102.010 × 0,01) = 103.030,1

Bila keadaan awal dinyatakan dengan Mo , laju pertumbuhan dinyatakan dengan p dan lamanya pertumbuhan dengan n, maka: Periode n

Pertumbuhan

1

𝑀0 × 𝑝

Eksponen dan Logaritma

Mn 𝑀1 = 𝑀0 + 𝑀0 × 𝑝 = 𝑀0 (1 + 𝑝)

SMK/MAK

7

𝑀2 = 𝑀1 + 𝑀1 × 𝑝 𝑀1 × 𝑝

2

= 𝑀1 (1 + 𝑝) = 𝑀0 (1 + 𝑝)(1 + 𝑝) = 𝑀0 (1 + 𝑝)2 𝑀3 = 𝑀2 + 𝑀2 × 𝑝

𝑀2 × 𝑝

3

= 𝑀2 (1 + 𝑝) = 𝑀0 (1 + 𝑝)2 (1 + 𝑝) = 𝑀0 (1 + 𝑝)3

𝑀𝑛−1 × 𝑝

n

𝑀𝑛 = 𝑀0 (1 + 𝑝)𝑛

2. Peluruhan Peluruhan (penyusutan) adalah berubahnya suatu keadaan yang mengalami pengurangan atau penyusutan secara eksponensial. Peristiwa yang termasuk dalam peluruhan diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif dan penyusutan harga barang.

Masalah 1.3 Dita sedang mengalami infeksi pada telinganya. Dokter mendiagnosis bahwa mungkin terdapat 1.000.000 bakteri yang menginfeksi. Selanjutnya pemberian penisilin yang diresepkan dokter dapat membunuh 5% bakteri setiap 6 jam. Coba Anda hitung banyak bakteri setelah 24 jam pertama pemberian penisilin!

Alternatif Penyelesaian

Waktu(Jam)

8

Banyaknya Bakteri

0

1.000.000

6

= 1.000.000 − (1.000.000 × 0,05) = 950.000

12

= 950.000 − (950.000 × 0,05) = 902.5000

18

= 902.500 − (902.500 × 0,05) = 857.375

24

= 857.375 − (857.375 × 0,05) = 814.506,25

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

Bila keadaan awal dinyatakan dengan 𝑀𝑜 , laju peluruhan dengan p per periode dan lama peluruhan dengan n, maka keadaan setelah n periode: Periode n

Peluruhan

1

𝑀0 × 𝑝

Mn 𝑀1 = 𝑀0 − 𝑀0 × 𝑝 = 𝑀0 (1 − 𝑝) 𝑀2 = 𝑀1 − 𝑀1 × 𝑝

2

𝑀1 × 𝑝

= 𝑀1 (1 − 𝑝) = 𝑀0 (1 − 𝑝)(1 − 𝑝) = 𝑀0 (1 − 𝑝)2 𝑀3 = 𝑀2 − 𝑀2 × 𝑝

3

𝑀2 × 𝑝

= 𝑀2 (1 − 𝑝) = 𝑀0 (1 − 𝑝)2 (1 − 𝑝) = 𝑀0 (1 − 𝑝)3

n

𝑀𝑛−1 × 𝑝

𝑀𝑛 = 𝑀0 (1 − 𝑝)𝑛

Latihan 1.2

1. Banyaknya penduduk di suatu kota setiap tahun mengalami kenaikan 1% dari total penduduk di tahun sebelumnya. Menurut sensus penduduk tahun 2009, penduduk di kota tersebut sebanyak 100.000 orang. Hitunglah jumlah penduduk pada tahun 2010 dan 2020! 2. Kultur jaringan pada suatu uji laboratorium menampakkan bahwa 1 bakteri mampu membelah diri menjadi 2 dalam kurun waktu 2 jam. Pada awal kultur jaringan tersebut terdapat 1.000 bakteri. Tentukanlah jumlah bakteri setelah 20 jam! 3. Sebanyak 1.000 bakteri dilepaskan di sebuah cawan. Bakteri tersebut mampu membelah diri menjadi 2 kali lipat setiap 15 menit. Tentukan jumlah bakteri setelah 3 jam! 4. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.200.000.000. Jika setiap tahun harganya menurun sekitar 20% dari nilai tahun sebelumnya, tentukan harga kendaraan roda empat itu setelah dipakai selama 5 tahun.

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

9

C.

BENTUK AKAR DAN OPERASI BENTUK AKAR

1. Bentuk Akar Di SMP anda sudah mengenal serta menyebutkan bentuk akar dan sifatsifatnya. Anda pun telah mengenal bilangan rasional dan bilangan irasional (tidak rasional). Dengan menggunakan kalkulator yang mampu menampilkan sampai 9 desimal. ξ3 = 1.73205081 Sedangkan 1 2

= 0, 5

Perhatikan tampilan kalkulator saat Anda menekankan ξ3 dan

1 2

di atas.

Cobalah anda jelaskan mengapa ξ3 termasuk bilangan irasional sedangkan

1 2

termasuk bilangan rasional. Sesuaikan penjelasan Anda dengan penjelasan berikut? Bilangan ξ3 termasuk bilangan irasional karena tidak dapat dinyatakan dalam bentuk desimal berulang. Sedangkan

1 2

termasuk bilangan rasional karena dapat

dinyatakan dalam bentuk desimal berulang. Sekarang coba jelaskan, apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan rasional atau irasional. 3 7

3

, 𝜋, ξ5, ξ9, ξ12, 𝑑𝑎𝑛 ξ27 Perlu diketahui bahwa bilangan irasional umumnya terdapat pada bilangan

bentuk akar, tetapi tidak semua bentuk akar merupakan bilangan irasional.

a. Pemahaman Bentuk Akar Dalam bilangan bentuk akar (radikal), ada 3 bagian yang perlu diketahui, yaitu lambing bentuk akar, radikan, dan indeks. Secara umum, bentuk akar ditulis dalam bentuk: 𝒏

ξ𝒙

𝑛

( ξ𝑥 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑐𝑎 akar pangkat n dari a) Dengan n bilangan bulat lebih besar dari 1, disebut sebagai indeks, dan notasi “ξ “ disebut tanda akar. X disebut radikan (bilangan di bawah tanda akar), dengan x bilangan riil positif untuk n bilangan asli dan untuk n bilangan ganjil, x

10

dapat berupa bilangan riil negatif. Sebagai contoh, notasi untuk akar pangkat 3 Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

ditulis “ 3ξ𝑥 ", dan notasi untuk akar kuadrat ditulis “ 2ξ𝑥 ", atau lebih sering disingkat dengan "ξ𝑥". oleh karena itu, jika disebut bentuk akar saja, maka yang dimaksud adalah bentuk akar kuadrat. Dari penjelasan sebelumnya, ξ3 yang merupakan bilangan irasional termasuk bentuk akar. Bilangan seperti ξ16 dan √6,25 bukanlah bentuk akar. Ini karena 16 dan 6,25 termasuk bilangan kuadrat sehingga hasil penarikan akarnya akan memberikan decimal berulang. Perhatikan, ξ16 = ξ42 = 4 bisa ditulis 4,0000… √6,25 = √(2,5)2 = 2,5 bisa ditulis 2,50000… Cobalah sekarang mendefenisikan bentuk akar. Samakah defenisi Anda dengan defenisi berikut. Bentuk akar adalah jika bilangan yang terdapat di bawah tanda akar (“ξ ") bukan bilangan kuadrat. Dari defenisi di atas, manakah berikut ini yang merupakan bentuk akar: ξ6, ξ7, ξ8, ξ11, √1,25, √4,25, 𝑑𝑎𝑛 ξ25. Periksalah dengan menggunakan kalkulator Anda.

b. Sifat-Sifat dan Operasi Aljabar Bentuk Akar Sifat-sifat bentuk akar yaitu sebagai berrikut: Untuk a, b, p, dan q ∈ R berlaku sifat-sifat berikut: 1) ξ𝒂𝟐 = 𝒂 2) ξ𝒂 × 𝒃 = ξ𝒂 × ξ𝒃, 𝒂 ≥ 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒃 ≥ 𝟎 𝒂

ξ𝒂

3) √𝒃 = ; 𝒂 > 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒃 > 𝟎 ξ𝒃 4) 𝒑ξ𝒂 + 𝒒ξ𝒂 = (𝒑 + 𝒒)ξ𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 5) 𝒑ξ𝒂 − 𝒒ξ𝒂 = (𝒑 − 𝒒)ξ𝒂, 𝒂 ≥ 𝟎 6) 𝒑ξ𝒂 × 𝒒ξ𝒃 = 𝒑𝒒ξ𝒂 × 𝒃, 𝒂 ≥ 𝟎, 𝒃 ≥ 𝟎

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

11

Contoh Soal 1. Menyederhanakan bentuk akar dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar. Sederhanakan bentuk akar berikut: a. ξ12

e. 3ξ2 + 5ξ8 − ξ32

b. ξ8𝑥 5 , 𝑥 ≥ 0

f. 3ξ5𝑥(4ξ𝑥 − ξ5), 𝑥 ≥ 0

c. √48𝑥 6 𝑦 11 , 𝑦 ≥ 0

g. (2 + ξ2)(4 − ξ2)

d. 2ξ8 × ξ3

h. (4ξ3 − 3ξ5)(2ξ3 + ξ5)

Penyelesaian: a. ξ12 = ξ4 × 3 = ξ4 × ξ3 = 2ξ3 b. ξ8𝑥 5 = ξ8 × ξ𝑥 5 = ξ4 × 2. ξ𝑥 4 . 𝑥 = (ξ4. ξ2 × (√(𝑥 2 )2 . 𝑥) = (2ξ2)(𝑥 2 ξ𝑥) = 2𝑥 2 ξ2. 𝑥 = 2𝑥 2 ξ2𝑥 c. √48𝑥 6 𝑦 11 = √(16 × 3)(𝑥 3 )2 (𝑦 10. 𝑦) = ξ16. ξ3. √(𝑥 3 )2 . √𝑦10 . 𝑦 = 4ξ3. (𝑥 3 ). √𝑦 10 . √𝑦 = 4𝑥 3 . √(𝑦 5 )2 . (ξ3. √𝑦) = 4𝑥 3 . (𝑦 5 )√3𝑦 = 4𝑥 3 𝑦 5 √3𝑦 d. 2ξ8 × ξ3 = 2ξ4 × 2 × ξ3 = 2(ξ4. ξ2). = 2(2)2ξ2 × 3 = 4ξ6 e. 3ξ2 + 5ξ8 − ξ32 = 3ξ2 + 5ξ4 × 2 − ξ16 × 2 = 3ξ2 + 5(ξ4 × ξ2)– (ξ16. ξ2)

12

= 3ξ2 + 5(2ξ2)– (4ξ2) Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

= 3ξ2 + 10ξ2 − 4ξ2 = 9ξ2 f. 3ξ5𝑥(4ξ𝑥 − ξ5) = 3ξ5𝑥(4ξ𝑥) − 3ξ5𝑥(−ξ5) = 3 × 4√(5𝑥)(𝑥) − 3√(5𝑥)(𝑥) = 12ξ5𝑥 2 − 3ξ52 𝑥 = 12(𝑥ξ5) − 3(5ξ𝑥) = 12𝑥ξ5 − 15ξ𝑥 g. (2 + ξ2)(4 − ξ2) = 2(4 − ξ2) + ξ2(4 − ξ2) = 2(4) − 2(ξ2) + ξ2(4) + ξ2(−ξ2) = 8 − 2ξ2 + 4ξ2 − 2 = 6 + 2ξ2 h. (4ξ3 − 3ξ5)(2ξ3 + ξ5) = 4ξ3(2ξ3 + ξ5) − 3ξ5(2ξ3 + ξ5) = 4ξ3(2ξ3) + 4ξ3(ξ5) − 3ξ5(2ξ3) − 3ξ5(ξ5) = 8 × 3 + 4ξ15 − 6ξ15 − 3 × 5 = 24 − 2ξ15 − 15 = 9 − 2ξ15

c. Hubungan Bilangan Pangkat dan Akar 𝑚

Untuk setiap bilangan pangkat rasional 𝑛 , dimana m dan n adalah bilangan bulat dan n>0, didefinisikan, 𝑚

𝑚

𝑛

𝑎 𝑛 = ( 𝑛ξ𝑎)𝑚 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎 𝑛 = ξ𝑎𝑚 Bilangan akar merupakan kebalikan dari bentuk pangkat. Misalnya, dalam mencari nilai dari bilangan a pada dasarnya adalah mencari suatu bilangan yang jika dipangkatkan n akan menghasilkan a. Dengan begitu, akar menjadi invers atau operasi kebalikan dari akar bilangan pangkat.

2. Operasi Bentuk Akar a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan apabila mempunyai eksponen dan basis yang sama (bentuk akar yang sama). Untuk setiap p, q, r, adalah bilangan real dan r ≥ 0 berlaku sifat sifat berikut : p 𝑛ξ𝑟 + q 𝑛ξ𝑟 = (p+q) 𝑛ξ𝑟

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

13

p 𝑛ξ𝑟 - q 𝑛ξ𝑟= (p-q) 𝑛ξ𝑟 Contoh Soal : a. 3ξ5 + 4 ξ5 = (3 + 4) ξ5 = 7 ξ5 3

3

3

3

b. 2 ξ4 - 3 ξ4 = (2 – 3) ξ4 = - ξ4 c. 3 3ξ𝑥 - 3ξ𝑥 = (3 – 1) 3ξ𝑥 = 2 3ξ𝑥 d. ξ5+ ξ3= (tidak dapat di sederhanakan karena akarnya tidak senama) b. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar Pada pangkat pecahan, telah dinyatakan bahwa 𝒑

𝒒

𝒂𝒒 = ξ𝒂𝒑

Contoh Soal 3

a) ξ8

3

1

12

3 3

=2

= 6 (535 )

= 21

= 6 ξ512

35

=2 3

1

7

c) 3 ξ5 × 2 ξ5 = (3 × 2)( 53 × 57 )

3

= ξ23

3

3

3

3

b) 4 ξ5 × 2ξ7 = (4×2)( ξ5 × ξ7)

d)

2 ξ7 3 3ξ8

23 7

= 3 √8

3

= 8 ξ35

Latihan 1.3 1. Sederhanakan bentuk akar tersebut. a. 12ξ6 − 7ξ6 + 3ξ6 b. 6ξ5 + ξ5 − 20ξ5 c. ξ700 + ξ180 + ξ80 − ξ847 d. 2ξ150 − 3ξ54 − ξ294 + 3ξ486 e. ξ12 + ξ27 + ξ75

2. Sederhanakanlah bentuk akar berikut. a. ξ50 . ξ20

14

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

b. 2ξ3(2ξ40 + ξ12 c. (ξ2 + √5)(ξ2 − √5) d. (2ξ5 − 3√3)(2ξ5 + 3√3) e. (4ξ7)2 − (2ξ3)2

3. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut a. b.

(ξ12−ξ27)ξ3 1−ξ2 (ξ96 . 2ξ2)−2ξ3 4ξ3

4. Tentukan nilai x dari persamaan berikut. 1 6−𝑥

a. ξ3𝑥+3 = (3) 4

b. ξ8𝑥−5 = 44+2𝑥 c. 1288𝑥−2 = 210+𝑥 d. 645𝑥−1 = 163𝑥+3

C.

BENTUK AKAR DAN OPERASI BENTUK AKAR

1. Pengertian Logaritma Logaritma adalah invers atau kebalikan dari perpangkatan. Secara umum ditulis 𝑎𝑐 = 𝑏 ↔ 𝑎 log 𝑏 = 𝑐 dengan 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, a disebut dengan bilangan pokok logaritma atau basis, b disebut numerus, yaitu bilangan yang dilogaritmakan. 𝒂

𝐥𝐨𝐠 𝒃 = 𝒄 → dibaca “ log b basis a sama dengan c

Contoh : nyatakan bentuk pangkat berikut kedalam bentuk logaritma a. 32 = 9 1

b. 2−3 = 8 3

c. 10 = 1000

Info : apabila

nilai

dari

basis

logaritma adalah 10 maka tidak perlu ditulis.

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

15

Jawab : a. 32 = 9 ↔ 3 log 9 = 2 1

1

b. 2−3 = 8 ↔ 2 log 8 = −3 c. 103 = 1000 ↔ 10 log 1000 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢 log 1000 = 3

2. Sifat-Sifat Logaritma 𝑎

Sifat 1 :

log 𝑎 = 1

Contoh : a.

2

log 2 = 1

b.

3

log 3 = 1

Sifat 2 :

𝑎

log 𝑏𝑛 = 𝑛 𝑎 log 𝑏

Contoh : Tentukan hasil dari Jawab :

4

log 64 =

4

4

log 64

log(4)3

= 3 × 4 log 4 = 3(1) =3 Jadi, hasil dari Sifat 3 :

𝑎𝑚

4

log 64 = 3 1

log 𝑏 = 𝑚 𝑎 log 𝑏

Contoh : Tentukan hasil dari Jawab :

8

log 2 =

23

8

log 2 !

log 2

1

= 3 × 2 log 2 1

= 3 (1) 1

=3 Jadi, hasil dari

Sifat 4 :

𝑎𝑚

8

1

log 2 = 3 𝑛

log 𝑏𝑛 = 𝑚 𝑎 log 𝑏

Contoh : Tentukan hasil dari Jawab :

25

log 125 = =

16

Eksponen dan Logaritma

52

25

log 125 !

log 53

3 5 × log 5 2

SMK/MAK

3 (1) 2 3 = 2 =

Jadi, hasil dari

Sifat 5 :

𝑔

25

3

log 125 = 2 𝑔

log(𝑎 × 𝑏) =

log 𝑎 +

𝑔

log 𝑏

Contoh : sederhanakan logaritma berikut ini : a.

2

log 5 +

2

log 3

b.

3

log 8 +

3

log 3

2

log 3 =

Jawab : 2

a.

log 5 +

2

log(5 × 3)

= 2 log 15 3

b.

log 8 +

3

3

log 3 =

log(8 × 3)

= 3 log 24

Sifat 6 :

𝑔

𝑎

log(𝑏 ) =

𝑔

𝑔

log 𝑎 −

log 𝑏

Contoh : sederhanakan logaritma berikut ini : a.

2

log 25 −

b.

3

log 8 −

3

2

log 5

log 4

Jawab : 2

a.

log 25 −

2

2

log 5 =

25

log( 5 )

= 2 log 5

3

b.

log 8 −

3

log 4 =

3

8

log( ) 4

= 3 log 2

Sifat 7 :

𝑏

log 𝑎 =

𝑔 log 𝑎 𝑔 log 𝑏

Contoh : tentukan hasil dari 2

log 9

2 log 27

=

27

2 log 9 2 log 27

log 9

3

= (3) log(3)2

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK

17

2 3 × log 3 3 2 = (1) 3 2 = 3 =

2 log 9

Jadi, hasil dari

𝑏

Sifat 8 :

2 log 27

log 𝑎 =

2

=3 1

𝑎 log 𝑏

contoh : a. b.

2

log 5 = 1

8 log 3

=

Sifat 9 : 𝑔

3

1 5 log 2

log 8

𝑔 log 𝑎

=𝑎

Contoh : tentukan hasil dari 5

5 log 3

!

Jawab : 5

5 log 3

=3

Latihan 1.4 1. Ubahlah bentuk pangkat dibawah ini kedalam bentuk logaritma 1

a. 22 = ξ2 b. 24 = 16 1

c. (5)−2 = 25 2. Tentukan hasil dari logaritma dibawah ini !

18

a.

4

log 32

b.

3

log 81

c.

5

log 5ξ5

d.

625

e.

4

log 125 9

log 16

Eksponen dan Logaritma

SMK/MAK