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1. [ANDA] [JUN-A] De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos A(2,-1,0), B(-2,1,0) y C(0,1,2). a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene. b) Halla el área de dicho paralelogramo. c) Calcula el vértice D.

2. [ANDA] [JUN-B] Sean r y s las rectas dadas por: r 

x-1 y+1 z x+y-z = 6 , s = = . x+z = 3 -1 6 2

a) Determina el punto de intersección de ambas rectas. b) Calcula la ecuación general del plano que las contiene. 3. [ANDA] [SEP-A] Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-2) y D(1,2,0). a) Halla la ecuación del plano  determinado por los puntos A, B y C. b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. c) Calcula la distancia del punto D al plano .

4. [ANDA] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por

x-z = 0 . x+y+2 = 0

5. [ARAG] [JUN-A] a) Hallar el plano que contiene a la recta v de ecuación paramétrica v: (2,1,3) + t(2,1,0), y es perpendicular al plano de ecuación x+z = 2. b) Probar que los vectores {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} forman una base de 3 y dar las coordenadas del vector (1,-2,0) en la base anterior. 6. [ARAG] [JUN-B] Sea el haz de planos de ecuación (1+)x-y-z = 0, con parámetro real . a) Hallar los planos del haz que pasan por el punto P=(1,1,1) . b) Hallar los planos del haz cuya distancia al punto Q=(3,-2,1) es

3 2 . 2

c) Hallar los planos del haz que cumplen que el ángulo que forman con el eje OY tiene por seno el valor

6 . 6

x = 1+ y = -2-6 z = 2 a) Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por el punto P y corta a la recta r.

7. [ARAG] [SEP-A] Dado el punto P=(1,0,6) y la recta r:

b) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que contiene a la recta r anterior y a la recta r':

8. [ARAG] [SEP-B] a) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que es paralelo a la recta r:

x-z =0 2x-y-z = 10 x-1 z-3 =y= y que 2 4

contiene los puntos P=(1,1,1) y Q=(3,5,0). b) Calcule el ángulo que forman las dos rectas siguientes: r:

x-3 y-4 z+5 2x-y = -1 ; r': = = . 2x-z = -4 2 -1 2

9. [ASTU] [JUN-A] Encuentre una ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas, es paralelo al plano determinado por el punto P(1,-1,0) y la recta que pasa por el punto Q(2,2,2) y tiene vector director v = (1,2,3). x = 1+2t y = -5-5t ; 1: x+2y+3z-1 = 0 ; 2: x+2y+4z-2 = 0. z =-3+2t a) Determine la posición relativa de la recta respecto a cada uno de los planos. b) Determine la posición relativa de los dos planos.

10. [ASTU] [JUN-B] Se consideran la recta y planos siguientes: r:

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c) Calcule la distancia de r al plano 2. 11. [ASTU] [SEP-A] Considere los planos 1: 2x-y+z = 0 y 2: z-3 = 0. a) Estudie la posición relativa de 1 y 2. b) Encuentre, si es posible, una recta paralela a 1 y a 2 que pase por el punto (2,2,-1). 12. [ASTU] [SEP-B] a) Determine el valor de k para que los puntos A(0,2,1), B(1,-2,0), C(2,0,3) y D(1,1,k) se encuentren en el mismo plano. b) Halle la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por los puntos A, B y C. x y-1 z-3 x-2 y z+1 = = ; s = = . 1 -2 2 3 1 -1 a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan. b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas.

13. [C-LE] [JUN-A] Se consideran las rectas: r 

14. [C-LE] [JUN-B] Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2,1,3) y Q(1,3,1); los otros dos sobre una recta r que pasa por el punto R(-4,7,-6). a) Calcular la ecuación de la recta r. b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices. y+2 = z-1 y s  2 a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y corta a r y s. b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.

15. [C-LE] [SEP-A] Dados el punto A(2,1,1) y las rectas r  x =

x+y = 0 , se pide: x+z = 2

x = 3+2t y = -1-t . z=1 a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a la recta s. b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s.

16. [C-LE] [SEP-B] Sea s la recta de ecuaciones paramétricas

17. [C-MA] [JUN-A] a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano   x-y+3z = -3 con los ejes de coordenadas. b) Si llamamos A, B y C a los vértices del triángulo del apartado anterior, encuentra el valor del parámetro  para que el tetraedro de vértices A, B, C y D -2,2+,-3 tenga volumen mínimo. y+z = 0 x-y+az = 4 a) Encuentra el valor del parámetro aR para el que  y r son paralelos. b) Para el valor de a del apartado anterior, da la ecuación general del plano ' que contiene a r y es perpendicular a .

18. [C-MA] [JUN-B] Dados el plano   2x-z = 6 y la recta r 

19. [C-MA] [SEP-A] Dado el plano   x+y+2z = 7 y el punto P(1,0,0): a) Calcula el punto Q de  que hace mínima la distancia a P. b) Calcula el punto simétrico P' de P respecto del plano . x = 2 y = 3+  z = -1 a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r.

20. [C-MA] [SEP-B] Dado el punto P(1,0,0) y la recta r 

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b) Calcula la distancia de P a r. x = -1+ 5x-y+z = 2 , y = 3-4 () y r2: -5x+y+z = 0 z = -2+3 obtener las ecuaciones en forma continua y en forma paramétrica de la recta s que pasa por el punto de intersección de las rectas dadas y es perpendicular a ambas, explicando el procedimiento utilizado.

21. [CANA] [JUN-A] Dadas las rectas secantes: r1:

x = -1+3 y = -5 () y dado el punto P (2,-2,3) exterior a r, z = 2+2 a) Hallar la ecuación en forma general del plano p que los contiene, explicando el procedimiento utilizado. b) Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la recta s que pasa por P y es perpendicular al plano , explicando el procedimiento utilizado.

22. [CANA] [JUN-B] Dada la recta r:

23. [CANA] [SEP-A] Estudiar la posición relativa de las rectas r:

x-2 y+3 z = = y s: 3 -2 5

4x-2y+z = 0 2x-y+z = 5

(explicar el procedimiento utilizado) x = -1+3-2 () () y dado el punto P(0,3,-1) exterior a , obtener las ecuaciones en y = 4+ z = -2+2-5 forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano , explicando el procedimiento utilizado.

24. [CANA] [SEP-B] Dado el plano :

25. [CATA] [JUN] Diga para qué valor del parámetro m los planos 1: x-y+mz = 1, 2: x-y+z = m y 3: my+2z = 3 tienen como intersección una recta.

26. [CATA] [JUN] Dados el plano : x–y+2z–5 = 0 y la recta r:

x+y+z = 0 , 2x-y+z = 10

a) Calcule el punto de intersección entre el plano y la recta. b) Calcule la ecuación continua de la recta s que está contenida en el plano , es perpendicular a la recta r y corta la recta r. 27. [CATA] [JUN] Dados los puntos P = (1,0,0), Q = (0,2,0), R = (0,0,3) y S = (1,2,3): a) Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax +By +Cz +D=0) del plano que contiene los puntos P, Q y R. b) Compruebe si los cuatro puntos son coplanarios (es decir, si los cuatro están contenidos en un mismo plano).

28. [CATA] [SEP] Considere las siguientes rectas del espacio: r:

x+1 z-1 x-4 y-1 z-2 = y-1 = , s: = = . 2 -1 3 -1 2

a) Compruebe que son secantes. b) Calcule la ecuación continua de la recta que las corta y es perpendicular a las dos.

29. [EXTR] [JUN-B] Calcule la distancia del punto P=(3,-1,2) a la recta r:

x-y+z = 1 . x+z = 0

30. [EXTR] [SEP-A] Dados el plano  de ecuación x+z = 1 y los puntos A(1,0,0) y B(0,1,0), calcule los valores de c para los que el punto P(0,0,c) cumple "área del triángulo ABP" = "distancia de P a ".

31. [EXTR] [SEP-B] Sea  el plano determinado por los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,c), y la recta r:

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x-y = 3 . 2x-z = 3

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a) Obtenga la ecuación implícita de . b) Determine los valores de c para los que r y  son paralelos. c) Determine los valores de c para los que r y  son perpendiculares. 32. [MADR] [JUN-A] Dados los puntos P1(1,3,-1), P2(a,2,0), P3(1,5,4) y P4(2,0,2), se pide: a) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos esten en el mismo plano. b) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vertices en P1, P2, P3 ,P4 tenga volumen igual a 7. c) Hallar la ecuacion del plano cuyos puntos equidistan de P1 y de P3.

33. [MADR] [JUN-B] Dadas las rectas r1 

x-2 y-1 z = = y r2  3 -5 2

x = -1- y = 3+ , se pide: z=5

a) Estudiar su posicion relativa. b) Hallar la mínima distancia de r1 a r2. x-4 y-1 z-2 = = ,   2x+y-2z-7 = 0. -1 3 2 Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno.

34. [MADR] [SEP-A] Se dan la recta r y el plano , mediante: r 

x-1 y-2 z x+y = 4 = = , s , se pide: 2x+z = 4 2 2 -2 a) Hallar la ecuacion del plano que pasa por A(2,3,4) y es paralelo a las rectas r y s. b) Determinar la ecuacion de la recta que pasa por B(4,-1,2) y es perpendicular al plano hallado anteriormente.

35. [MADR] [SEP-A] Dadas las rectas r 

36. [MADR] [SEP-B] Dado el punto P(2,1,-1), se pide: a) Hallar el punto P' simetrico de P respecto del punto Q(3,0,2). b) Hallar el punto P'' simetrico de P respecto de la recta r  x-1 = y-1 = z. c) Hallar el punto P''' simetrico de P respecto del plano   x+y+z = 3.

37. [MURC] [JUN-A] Considere la recta r y el plano  dados por las ecuaciones r:

x+1 y-1 z-2 = = y : x-2y-z = 4. 2 -1 1

a) Calcule el ángulo que forman la recta r y el plano . b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano . x = 1+2- y = -3+ . z = 2+3 b) Determine la ecuación de la recta que es perpendicular al plano  y pasa por el punto (-1,2,3).

38. [MURC] [JUN-B] a) Halle la ecuación implícita (o general) del siguiente plano :

39. [MURC] [SEP-A] Determine la ecuación implícita (o general) del plano que contiene al punto A = (0,1,2) y es perpendicular a la 2x+y-z = -1 recta r: . x-y+z = 3

40. [MURC] [SEP-B] Considere las rectas r y s dadas por las ecuaciones r:

y z+6 x-5 y-1 z-6 x = = y s: = = . 3 -1 4 7 a-4 5a-6

a) Estudie la posición relativa de r y s en función del parámetro a. b) Calcule el punto de corte de r y s en los casos en que se corten. 41. [RIOJ] [JUN] Prueba que para cualquier valor de a  0, los planos x+ay-az = 0 y -x+2ay-2az = 0 se cortan en una recta r. Calcula la posición relativa de r respecto del plano que pasa por el origen de coordenadas y los puntos A(1,0,-6) y B(0,2,a+3) (se

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supone que a  0 para que esté definida). z-1 x+2 = y-1 = : 3 2 a) Calcula la ecuación del plano  formado por los puntos que equidistan (están a la misma distancia) de A y de B. b) Calcula la ecuación del plano ' paralelo a r y que pasa por A y B. c) Encuentra otro plano '' de modo que la intersección de , ' y '' sea exactamente un punto.

42. [RIOJ] [SEP] Para los puntos A(1,0,2) y B(-1,2,4) y la recta de ecuación

x = 1+2 y r2: y=  z = 2- a) Las coordenadas del punto de corte de r1 y r2.

43. [VALE] [JUN-A] Se dan las rectas r1:

x = -1 y = 1+ , siendo  y  parámetros reales. Calcular razonadamente: z = -1-2

b) La ecuación del plano que contiene esas dos rectas. c) La distancia del punto (0,0,1) a la recta r2.

44. [VALE] [JUN-B] Se da la recta r de ecuación r:

x-2y-2z = 1 y el plano  de ecuación : 2x+y+nz = p, donde n y p son dos x+5y-z = 0

parámetros reales. Obtener razonadamente: a) Todos los valores de n para los que la intersección de la recta r y el plano  es un punto. b) El valor de n y el valor de p para los que la recta r está contenida en el plano . c) El valor de n y todos los valores de p para los que la recta r no corta al plano .

45. [VALE] [SEP-A] En el espacio se tiene la recta r:

x+y-z = 1 y el plano : x+mz = 0 , donde m es un parámetro real. x-y-z = 0

Obtener razonadamente: a) Un vector director de la recta r. b) El valor de m para el que la recta r y el plano  son perpendiculares. c) El valor de m para el que la recta r y el plano  son paralelos. (3 puntos). d) La distancia entre r y  cuando se da a m el valor obtenido en el apartado c). 46. [VALE] [SEP-B] En el espacio se dan los planos ,  y  de ecuaciones: : 2x-y+z = 3; : x-y+z = 2; : 3x-y-az = b, siendo a y b parámetros reales, y la recta r intersección de los planos  y . Obtener razonadamente: a) Un punto, el vector director y las ecuaciones de la recta r. b) La ecuación del plano que contiene a la recta r y pasa por el punto (2,1, 3). c) Los valores de a y de b para que el plano  contenga a la recta r, intersección de los planos  y .

Soluciones x = 1+ 14 1. a) y = 2 b) 4 6 c) (4,-1,2) 2. a) (-1,11,4) b) 2x-y+4z-3 = 0 3. a) 2x+3y+z-1 = 0 c) 4. (-6,-1,1) 5. a) x-2y-z+3 = 0 b) (0,-2,3) 6. a) todos b) 21x-5y-16z 2 z = 1- x=1 b) 8x-y-7z-10 = 0 8. a) 17x-10y+6z+1 = 0 b) 63º36'44'' 9. 5x-y-z = 0 10. a) corta a 1 ; paralelo a 2 b) se = 0; y-z = 0 c) x+y-2z = 0; 2x-y-z = 0 7. a) y =  z = 6+3 x = 2+ 38 -91 20 8 cortan en una recta c) 21 11. se cortan en una recta b) y = 2+2 12. a) 2 b) 13. b) (x,y,z) = , , +(0,1,1) 14. a) (x,y,z) = (-4,7,-6)+(-1,2,-2) b) 38 98 7 7 z = -1 x = 1-7 x=1 3 11 -1 -3 3 30 b) x+2y-1 = 0 17. a) b) 18. a) b) 2x+5y+4z-8 = 0 19. a) (2,1,2) b) (3,2,4) 20. a) y = 14 b) 21. 2x-y-2z+3 = 0 c) (-1,1,0) 16. a) y = 0 2 2 2 5 z = -5 z = 5+ x = 2+k x = -5 x = -5k 11x+5y-15 = 0 x-2 x+2 z-3 x y-3 z+1 3x+y-4 = 0 = = ; 23. se cruzan 24. y = 3+11 ; = = ; 25. 1 26. a) y = -1+k 22. a) x-3y-9z+19 = 0 b) y = -2-3k ; 2x+5z+5 = 0 3y-z+9 = 0 1 -3 -9 -5 11 2 z = 3-9k z = -1+2 z = 1+3k x = 1+ x-4 y+3 z+1 5 2 1 1 4 10 -2 (4,-3,-1) b) = = 27. a) 6x+3y+2z-6 = 0 b) no 28. y = 2-7 29. 30. 31. a) cx+cy+z+c = 0 b) -1 c) 32. a) b) , c) 4x+10z-31 = 0 1 7 3 4 2 3 3 3 2 z = -5

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33. se cruzan;

b)

x = -1+3 y = 2-6 z = 3+

4 3 3

34.

2 8 , ,-3 , 3 3

14 2 , ,3 3 3

35. a) 3x-y+2z-11 = 0 b)

x = 4+3 y = -1- 36. a) (4,-1,5) b) (0,1,1) c) z = 2+2

8 5 -1 , , 3 3 3

37. 30º; x+y-z+2 = 0 38. a) 3x-6y+z-23 = 0

39. y+z-3 = 0 40. a) a = 4: secantes; a  4: se cruzan b) (8,0,10) 41. a = -1: contenida; a  -1: corta al plano 42. a) x-y-z+4 = 0 b) 2x+5y-3z+4 = 0 43.

a) (-1,-1,3) b) x-4y-2z+3 = 0 c) 1 44. a) n

-23 -23 9 -23 9 2 b) , c) n= ,p 45. a) (1,0,1) b) 1 c) -1 d) 7 7 7 7 7 4

46. a)

2x-y+z = 3 ; P(1,-1,0); w = (0,1,1) b) x+y-z = 0 c) -1, x-y+z = 2

4

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