C U R S O : MATEMÁTICA

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F

donde A, B ,C, D, E y F son números reales.

Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones. OBSERVACIÓN:

Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, sistema de ejes coordenados.

representa una línea recta en un

EJEMPLOS

1.

El par ordenado (5, 4) es solución del (los) sistema(s): I)

A) B) C) D) E)

2.

3x + 4y = 31 2x + 3y = 22 Sólo Sólo Sólo Sólo I , II

II)

x+y=9 -3x + 2y = -7

los valores de m y n deben ser, respectivamente 2 2 5 3 10

y y y y y

2x – y = 6 x–y=1

I I y II I y III II y III y III

Para que el par ordenado (2, 3) sea solución del sistema

A) B) C) D) E)

III)

5 6 2 5 3

mx – y = 7 x + ny = 8

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades.

i)

Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a ,b) es la solución del sistema (fig. 1).

ii)

Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (fig. 2).

iii)

Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (fig. 3). y

L1

y

Fig. 1

y

Fig. 2

L2

Fig. 3

L1 = L2 L2

L1 x

x

x

L1 ∩ L2 = (a, b)

L1 ∩ L2 = ∅ (vacío)

L1 ∩ L2 = L1 = L2

EJEMPLOS

1.

La solución gráfica del sistema A)

B) y

-6

2.

-3

2x + 3y = 12 -x + 3y = 3

es

C) y

D) y

y

4

4

4

4

2

2

2

2

3

6

x

2 3

6

x

-4

3

6

x

-3

E) y 4 2 3

6

x

La figura 4 es la solución gráfica del sistema A)

-x + y = -2 -x + y = 3

B)

-x + y = 2 x–y=3

C)

2x – 2y = 4 3x –3y = 3

D)

-3x + 3y = 2 x–y =3

E)

-x – y = -2 -x – y = 3

y 3

2

-3 -2

2

x Fig. 4

3

6

x

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos: sustitución y reducción. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita. MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita. EJEMPLOS

1.

Sea el sistema

x + y = -2 2x – 3y = -5

despejando x en una de las ecuaciones y sustituyéndola en la

otra, se obtiene: A) B) C) D) E) 2.

5y + 9 = 0 5y + 1 = 0 5y - 1 = 0 4y - 1 = 0 y-1=0

En el sistema obtiene A) B) C) D) E)

2x – y = -1 5x – 7y = 16

al eliminar la incógnita y por el método de reducción se

23 + 9x = 0 23 – 9x = 0 9x + 9 = 0 6x – 23 = 0 19x – 23 = 0

3

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Sea el sistema:

a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 .

i) El sistema tiene solución única si

Entonces: a1 ≠ a2

ii) El sistema tiene infinitas soluciones si

iii) El sistema no tiene solución si

b1 b2

a1 b c = 1 = 1 a2 b2 c2

a1 b c = 1 ≠ 1 a2 b2 c2

EJEMPLOS

1.

En el sistema

2x – ky = 5 4x – y = 15

, ¿qué condición debe cumplir k para que tenga solución

única?

2.

A)

k≠

1 1 = 2 1 =2 1 ≠ 2 1 ≠ 2

B)

k

C)

k

D)

k

E)

k

¿Para qué valor de k el sistema

A) B) C) D) E)

5x – ky = 2 3x + 2y = 3

4 3 10 3 2 10 3 5 -

4

no tiene solución?

APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

Los sistemas de ecuaciones tienen aplicación en problemas de planteo. Si el enunciado implica dos incógnitas, dicho problema podrá ser resuelto mediante un sistema de ecuaciones. Cómo por ejemplo: problemas de edades, de cifras o dígitos, etc. EJEMPLOS

1.

Un cuarto de la suma de dos números es 81 y un tercio de su diferencia es 54. El doble del menor es A) B) C) D) E)

2.

La edad de Juan es el doble que la de Fernando, y hace 5 años tenía el triple de la edad que tenía Fernando. ¿Cuál será la edad de Fernando dentro de 5 años? A) B) C) D) E)

3.

72 81 162 243 486

5 años 10 años 15 años 20 años 25 años

En un negocio se venden sólo bicicletas y triciclos. Entre bicicletas y triciclos hay 35 ruedas en total. El número de bicicletas menos el número de triciclos es 10. ¿Cuánto suman las bicicletas y los triciclos? A) B) C) D) E)

12 13 Menos de 12 Más de 13 Ninguna de las anteriores

5

EJERCICIOS

1.

Para que el par ordenado (1,-2) sea solución del sistema

t deben ser respectivamente k

2.

A) B)

6 6

C)

6

D) E)

2 2

Si

A) B) C) D) E)

3.

Si

A) B) C) D) E)

t 1 -1 1 3 1 -1

13x + 2y = 44 12x - y = 15 , entonces 12x = 2 9 24 59 108

cx + dy = c dx + cy = d

con c ≠ d, entonces x – y =

-1 1 c–d c+d c-d c-d c+d

6

kx - y = 4 2x + 3ty = -4

, los valores de k

y

4.

m+n =a

Si

m - n =b

A) B) C) D) E)

5.

Si A) B) C) D) E)

6.

Si

A) B) C) D) E)

, entonces 4mn =

a2 - b2 (a – b)2 (a + b)2 a–b 4a2 - 4b2

x - y - p =0 x - 2y + 3p = 0

, entonces

x = y

–2 5 4 2 5 4 5 5 4

ax + by = a2 + ab bx + ay = b2

+ ab

con a ≠ - b, entonces

0 a–b a+b (a – b)2 (a + b)2

7

x+y =

7.

Si el sistema de ecuaciones

A) B) C) D) E)

8.

9.

tiene solución única, entonces k es

Cualquier valor real Igual a -15 21 Igual a 2 21 Distinto de 2 Distinto de -15

Si el sistema A) B) C) D) E)

x - 3y = 2 5x + ky = 7

3x - 15y = 5 x + by = 4

no tiene solución, entonces

Igual a -5 Distinto de -12 Igual a -12 Distinto de –5 Igual a -45

Dado el sistema

2x - cy = 5 3y - 5 = -2x

.

Entonces,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

b es

10 , el sistema no tiene solución. 3 Si c = -3, el sistema tiene solución. Si c ≠ -3, el sistema tiene solución única. Si c =

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo II y III I, II y III

8

10.

La diferencia entre dos ángulos complementarios es 50º. mayor y el doble del menor es A) B) C) D) E)

11.

6 7 8 10 13

Hace 30 años Lotario tenía la mitad de la edad que tenía Lautaro y dentro de 15 años Lotario 4 de la edad que tendrá Lautaro. ¿Cuánto será la suma de las edades en cinco años tendrá 5 más? A) B) C) D) E)

13.

70º 110º 140º 160º 180º

Juan compra 13 fichas en un casino, entre verdes y rojas. Las fichas verdes valen $800 y las rojas valen $300. Si el total gastado en ellas fue $6.900, entonces ¿cuántas fichas verdes compró? A) B) C) D) E)

12.

Entonces, la suma entre el

90 años 95 años 105 años 110 años 115 años

¿Cuántas unidades mayor es x que y? (1)

2x = 3y + 12

(2)

2y = 2x – 14

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

9

14.

15.

El sistema

2x + 5y = 9 4x + ky = p

tiene infinitas soluciones si:

(1)

p = 18

(2)

k = 10

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

La colecta de la Cruz Roja en una escuela primaria reunió $45.000, sólo en monedas de $50 y $100. Se puede conocer el número de alumnos que tiene la escuela si: (1)

Todos los alumnos donaron una moneda.

(2)

El total de los alumnos es un múltiplo de 9.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

10

RESPUESTAS

Ejemplos Págs.

1 2 3 4 5

1

2

E D C E C

C A A B C

CLAVES PÁG. 6

3 1. 2. 3. 4. 5.

D

11

D C B A E

6. 7. 8. 9. 10.

C E A D B

11. 12. 13. 14. 15.

A E B C E