CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

C0MPRENSIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CON EL APOYO DEL SOFTWARE GEOGEBRA EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE EN EL GRADO SÉPTIMO

YAIR ALFONSO CALDERA VERA JUAN DAVID VARGAS FLÓREZ

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES MEDELLÍN 2016

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CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

COMPRENSIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CON EL APOYO DEL SOFTWARE GEOGEBRA EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE EN EL GRADO SÉPTIMO

YAIR ALFONSO CALDERA VERA JUAN DAVID VARGAS FLÓREZ

Trabajo de Profundización para Optar al Título de Magister en Enseñanza de las Matemáticas

Asesor Mg. RODRIGO ANTONIO RENDÓN RAMÍREZ

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES MEDELLÍN 2016

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AGRADECIMIENTOS

A nuestro asesor el Mg. Rodrigo Rendón por su oportuna colaboración en la elaboración de este trabajo.

A la profesora Flor Jurado por su apoyo y enseñanza durante toda la maestría.

A todos los profesores que nos enseñaron, ellos también hicieron que esto fuera posible al impartirnos su enseñanza y experiencia.

A la Universidad de Antioquia por brindarnos la oportunidad de realizarnos profesionalmente.

A la Institución Educativa Liceo Caucasia y su rector Germán Mercado, por abrirnos las puertas para la ejecución de la intervención que hizo posible es trabajo.

A los estudiantes que hicieron parte de todo este trabajo, desde la aplicación de la prueba diagnóstica hasta la aplicación de la entrevista.

A nuestros familiares que fueron un gran apoyo y nos comprendieron en los momentos que nos apartamos de ellos por las exigencias académicas.

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RESUMEN Con este trabajo se intervinieron 4 estudiantes de la Institución Educativa Liceo Caucasia de grado séptimo del municipio de Caucasia, esto con la intención de afianzar el concepto de cuadrilátero y sus respectivas propiedades con ayuda del software GeoGebra.

Enmarcado dentro del modelo de van Hiele, se realizó una prueba diagnóstica para identificar los estudiantes que se ubican en el Nivel 0 de razonamiento (Predescriptivo), con base en estos resultados se elaboraron unos descriptores de nivel para el estudio de cuadriláteros, y así, poder crear la guía de enseñanza que se aplicó a los cuatro casos seleccionados, de tal forma, que ellos mismos pudieran ir concluyendo sobre las propiedades de los distintos cuadriláteros hasta llevarlos al Nivel II de razonamiento (Análisis).

Luego, se elaboró y aplicó una entrevista para validar los conocimientos obtenidos con el desarrollo de la guía y el cumplimiento de los descriptores que ubican a los estudiantes en el nivel II de razonamiento dentro del modelo de van Hiele.

Los resultados finales nos permitieron concluir que enmarcar el trabajo en el modelo de van Hiele fue un acierto y que el uso de las nuevas tecnologías favorecen la adquisición de nuevos conocimientos y aumentan la motivación de los estudiantes.

Palabras claves: Cuadriláteros, GeoGebra, modelo de van Hiele, guía de enseñanza.

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Contenido 1.

2.

CONTEXTUALIZACIÓN DEL ESTUDIO ........................................................................ 13 1.1

Introducción ................................................................................................................... 13

1.2

Justificación.................................................................................................................... 14

1.3

Pregunta Problematizadora ............................................................................................ 16

1.4

Objetivos ........................................................................................................................ 16

1.4.1

Objetivo General. .................................................................................................... 16

1.4.2

Objetivos Específicos.............................................................................................. 16

MARCO TEÓRICO.............................................................................................................. 18 2.1 Modelo de van Hiele: Antecedentes y Pertinencia para el Presente Estudio. ..................... 19 2.2 Nomenclatura del Modelo de van Hiele. ............................................................................ 20 2.3 Características de cada uno de los niveles del Modelo de van Hiele.................................. 21 2.3.1 Nivel 0 Predescriptivo.................................................................................................. 21 2.3.2 Nivel I, Reconocimiento Visual. .................................................................................. 22 2.3.3 Nivel II, Análisis. ......................................................................................................... 22 2.3.4 Nivel III, Clasificación, Relación. ............................................................................... 23 2.3.5 Nivel IV: Deducción Formal. ...................................................................................... 24 2.4 Características de cada una las Fases del Modelo de van Hiele ......................................... 25 2.4.1 Fase 1: Preguntas/Información. ................................................................................... 25 2.4.2 Fase 2: Orientación Dirigida. ....................................................................................... 26

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2.4.3 Fase 3: Explicitación. ................................................................................................... 26 2.4.4 Fase 4: Orientación Libre............................................................................................. 26 2.4.5 Fase 5: Integración. ...................................................................................................... 26 2.5 Investigaciones Relacionadas con el Modelo de van Hiele en Educación Matemática ..... 27 2.6 El uso de las TIC en la Enseñanza de las Matemáticas ...................................................... 29 2.6.1 Ventajas Pedagógicas y Didácticas de las TIC. ........................................................... 30 2.6.2 GeoGebra. .................................................................................................................... 30 3.

LOS CUADRILÁTEROS ...................................................................................................... 34 3.1 Introducción ........................................................................................................................ 34 3.2 Aproximación Histórica a los Cuadriláteros ....................................................................... 34 3.3 Forma Actual de Presentarse el Concepto de Cuadrilátero en la Escuela .......................... 35 3.3.1 Los Cuadriláteros. ........................................................................................................ 35 3.3.2 Relaciones entre los Tipos de Cuadriláteros. ............................................................... 39 3.3.3 Perímetro de Cuadriláteros. ......................................................................................... 42 3.3.4 Área de Cuadriláteros. ................................................................................................. 44 3.4 Aspectos Legales ................................................................................................................ 47

4.

DISEÑO METODOLÓGICO ............................................................................................... 48 4.1 Introducción ........................................................................................................................ 48 4.2 El Paradigma de la Investigación Cualitativa ..................................................................... 48 4.3 El Estudio de Casos como Método de Investigación .......................................................... 49

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4.3.1 Población y Muestra. ................................................................................................... 50 4.3.2 Instrumentos para la Recolección de la Información. .................................................. 51 4.3.3 Análisis de la información. .......................................................................................... 55 4.4 Descriptores de nivel para la Comprensión de Cuadriláteros ............................................. 56 4.4.1 Nivel 0 Predescriptivo.................................................................................................. 56 4.4.2 Nivel I, De Reconocimiento Visual. ............................................................................ 56 4.4.3 Nivel II, de análisis. ..................................................................................................... 57 5.

ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES ........................................................ 58 5.1 Prueba Diagnóstica ............................................................................................................. 58 5.2 Resultados de la prueba diagnóstica ................................................................................... 60 5.3 Guía de Enseñanza .............................................................................................................. 67 5.4 Entrevista ............................................................................................................................ 78 5.5 Observación ........................................................................................................................ 85 5.6 Triangulación de la Información ......................................................................................... 87 5.7 Conclusiones ....................................................................................................................... 88

LISTA DE REFERENCIAS ......................................................................................................... 92 ANEXOS ...................................................................................................................................... 94 Anexo 1: Prueba Diagnóstica.................................................................................................... 94 Anexo 2: Guía de Enseñanza .................................................................................................... 99 Anexo 3: Entrevista Semiestructurada .................................................................................... 117

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Anexo 4: Consentimiento Informado Padres o Acudientes .................................................... 124

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Índice de Figuras

Figura 1. GeoGebra ...................................................................................................................... 32 Figura 2. Barra de menú ............................................................................................................... 32 Figura 3. Menú archivo ................................................................................................................ 33 Figura 4. Barra de herramientas ................................................................................................... 33 Figura 5. Cuadrilátero .................................................................................................................. 36 Figura 6. Paralelogramo ............................................................................................................... 37 Figura 7. Rectángulo .................................................................................................................... 37 Figura 8. Rombo........................................................................................................................... 37 Figura 9. Trapecio ........................................................................................................................ 38 Figura 10. Trapecio Isósceles ....................................................................................................... 38 Figura 11. Trapecio Rectángulo. .................................................................................................. 39 Figura 12. Trapecio Escaleno. ...................................................................................................... 39 Figura 13. Cuadrado. .................................................................................................................... 41 Figura 14. Clasificación de los cuadriláteros ............................................................................... 42 Figura 15. Perímetro de un paralelogramo ................................................................................... 43 Figura 16. Perímetro de un rectángulo ......................................................................................... 43 Figura 17. Perímetro de un rombo ............................................................................................... 44 Figura 18. Perímetro de un trapecio isósceles .............................................................................. 44 Figura 19. Área de un paralelogramo ........................................................................................... 45 Figura 20. Área de un rectángulo ................................................................................................. 46 Figura 21. Área de un rombo ....................................................................................................... 46 Figura 22. Área de un trapecio ..................................................................................................... 47

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Figura 23. Estructura de la guía de enseñanza ............................................................................. 53 Figura 24. Diagrama circular de prueba diagnóstica.................................................................... 62

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Índice de Tablas Tabla 1. Estructura recursiva de los modelos de van Hiele .......................................................... 24 Tabla 2. Fases de aprendizajes y características ........................................................................... 27 Tabla 3. Tabulación de prueba diagnóstica................................................................................... 61 Tabla 4. Resultados y conclusiones del a prueba diagnóstica ...................................................... 62 Tabla 5. Resultados y conclusiones de la guía de enseñanza ....................................................... 71 Tabla 6. Resultados y conclusiones de la entrevista ..................................................................... 80

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Índice de Imágenes Imagen 1. Aplicación de la prueba diagnóstica ............................................................................ 58 Imagen 2. Respuesta de Cami a la actividad 9 de la prueba diagnóstica ...................................... 59 Imagen 3. Prueba diagnóstica ....................................................................................................... 60 Imagen 4. Respuesta de Pedro a la actividad 9 de la prueba diagnóstica ..................................... 66 Imagen 5. Aplicación de la guía ................................................................................................... 67 Imagen 6. Respuesta de Cami a la actividad 17............................................................................ 68 Imagen 7. Respuesta de Cami a la actividad 18............................................................................ 69 Imagen 8. Respuestas de Cami a las actividades 19 y 20 ............................................................. 69 Imagen 9. Construcción de Cami para actividad 19 y 20 ............................................................. 70 Imagen 10. Respuesta de Manuel a la actividad 30 ...................................................................... 70 Imagen 11. Aplicación de la entrevista ......................................................................................... 79 Imagen 12. Definición de paralelogramo del caso Cami en la prueba diagnóstica ...................... 79 Imagen 13. Definición de paralelogramo del caso Cami en la guía de enseñanza ....................... 80

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1. CONTEXTUALIZACIÓN DEL ESTUDIO 1.1 Introducción

Con una prueba diagnóstica se identificó el manejo de los elementos básicos de la geometría por parte de 25 estudiantes de grado séptimo de la Institución Educativa Liceo Caucasia (IELC), necesarios para al estudio de los cuadriláteros, sus propiedades y clasificación; específicamente, del paralelogramo, el rectángulo, el rombo y el trapecio. Esta prueba permitió ubicar a los estudiantes en un nivel de razonamiento de acuerdo al modelo de van Hiele y, al tiempo, escoger los 4 casos con quienes se realizó la intervención completa, que fueron 4 estudiantes ubicados en el nivel 0 o pre descriptivo, que muestren habilidades comunicativas para facilitar la recolección y análisis de datos. A partir de aquí, se creó una guía de enseñanza, formada por una secuencia de ejercicios que se trabajaron con ayuda del software de geometría dinámica GeoGebra, para poder llevar al segundo nivel de razonamiento dentro del modelo de van Hiele a los estudiantes que se intervengan, pasando en un primer momento por el Nivel I. Para evidenciar este progreso se desarrollaron unos descriptores de los niveles 0, I y II planteados para el estudio de cuadriláteros en el marco del modelo de van Hiele, y así, indicar si el estudiante comprende el concepto de cuadrilátero, su clasificación, propiedades e identificación en situaciones físicas de su entorno. Esta guía de enseñanza podrá ser implementada por docentes no sólo de la IELC, sino, cualquier docente interesado en afianzar el concepto de cuadriláteros dentro del pensamiento espacial y sistemas geométricos en cualquier grado de la básica secundaria o media.

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1.2 Justificación

La geometría es una disciplina que se aplica en muchos aspectos de la vida diaria. Su ejercitación promueve en los estudiantes el desarrollo de habilidades cognoscitivas, pensamiento crítico, necesidad de precisión, razonamiento lógico y resolución de problemas. (Zambrano, 2005). Por esto, ha surgido la preocupación por el entendimiento de la geometría, considerando que debe existir comprensión, conocimiento y compromiso para que se puedan generar transformaciones en lo que se refiere a la enseñanza y aprendizaje de esta línea de la matemática. Así, para el estudio de la geometría el modelo de van Hiele se mantiene vigente a pesar que data de finales de los años 50, esto se debe a que sus niveles se han adaptado a la didáctica actual de la geometría. Sus niveles y fases han sido de gran importancia para la elaboración de currículos, los niveles secuencian los contenidos y las fases las actividades que se deben desarrollar para poder pasar de un nivel a otro en la comprensión de un concepto de la geometría. Ahora bien, al contextualizar nuestra propuesta de intervención, en los grupos de grado séptimo de la IELC se trabaja una intensidad horaria para matemáticas de cinco horas semanales, de las cuales, los profesores dedican cuatro a la aritmética y tan solo una al estudio de la geometría, este es un primer indicador del distanciamiento de la geometría en el área de las matemáticas en la IELC. Adicionalmente, el tiempo destinado para trabajar la geometría se ve afectado por la necesidad de recuperar las clases perdidas de aritmética, es así como la importancia queda relegada a un segundo orden. Cabe también mencionar, que en la IELC no se favorece el uso Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TIC), en la enseñanza de las matemáticas, y más específicamente, de la geometría, lo cual es un retroceso teniendo en cuenta la gran variedad de

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investigaciones y estudios que han traído consigo el desarrollo de distintos software, guías de enseñanza y modelos cognitivos para el desarrollo de las competencias del pensamiento espacial y sistemas geométricos. Todo esto ha influido en que los estudiantes muestren poco conocimiento y manejo de los conceptos básicos de la geometría para grado sexto y séptimo de acuerdo a los estándares básicos de competencias de matemáticas creados por el Ministerio de Educación Nacional (MEN), además, que no reconozcan la importancia de la geometría en su desarrollo académico y cognitivo, y cómo esta se manifiesta en su entorno físico y contexto, de aquí se desprende un desinterés y desconocimiento en el estudio de la geometría durante toda la básica secundaria y media. Basados en lo anterior, pretendemos que esta guía de enseñanza pase de ser una propuesta de intervención y se convierta en una herramienta útil, práctica y de fácil manejo para los docentes de la geometría en grado séptimo de esta institución, y por qué no, de las demás instituciones. También queremos que esta propuesta sea llamativa para los estudiantes, teniendo en cuenta que son la razón de ser de la enseñanza, y que al interactuar con la geometría a través del GeoGebra puedan interiorizar y comprender a largo plazo la definición, clasificación de los cuadriláteros. Se pretende que la herramienta digital GeoGebra facilite la realización de las distintas construcciones de cuadriláteros y las transformaciones que se les pueden aplicar, para que los estudiantes interactúen y comprendan los distintos conceptos geométricos y propiedades de los cuadriláteros.

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1.3 Pregunta Problematizadora

Con la intención de afrontar y dar solución a toda la problemática mencionada anteriormente, se planteó la siguiente pregunta. ¿Cómo mejorar la comprensión del concepto de cuadrilátero, su clasificación y propiedades con ayuda del GeoGebra para que los estudiantes del grado séptimo de la IELC se puedan ubicar en el nivel II de razonamiento en el modelo de van Hiele?

1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo General.

Mejorar la comprensión del concepto de cuadrilátero, su clasificación y propiedades con ayuda del GeoGebra para que los estudiantes del grado séptimo de la IELC se puedan ubicar en el nivel II de razonamiento en el modelo de van Hiele 1.4.2 Objetivos Específicos.

Aplicar una prueba diagnóstica que permita la identificación del nivel de comprensión de los estudiantes frente a los cuadriláteros, mediante el uso de los descriptores de nivel, seleccionados para este estudio.

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Desarrollar una Guía de Enseñanza basada en la utilización del software libre GeoGebra, como herramienta metodológica que permita a los estudiantes el mejoramiento del nivel de comprensión de los cuadriláteros. Analizar los resultados obtenidos en la aplicación de la prueba diagnóstica y la guía de enseñanza para la verificación del progreso de los estudiantes en la escala del modelo Van Hiele.

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2. MARCO TEÓRICO

Cesar y Ramón (2011) afirman que al resolver un problema se involucra la conjugación de varios aspectos como lo son: la experiencia previa, el conocimiento y la intuición, que permitirán la re-elaboración conceptos y relaciones.

El trabajo con objetos bidimensionales y tridimensionales y sus movimientos y transformaciones permite integrar nociones sobre volumen, área y perímetro, lo cual a su vez posibilita conexiones con los sistemas métricos o de medida y con las nociones de simetría, semejanza y congruencia, entre otras. Así, la geometría activa se presenta como una alternativa para refinar el pensamiento espacial, en tanto se constituye en herramienta privilegiada de exploración y de representación del espacio. (MEN, 2006, pág. 62). Por lo tanto, la enseñanza de la geometría como desarrollo del pensamiento espacial en los estudiantes implica tener claro cuáles son los objetos matemáticos fundamentales, partiendo de la lógica racional en la cual la geometría hace uso de una teoría desarrollada bajo el razonamiento deductivo o la experimental basada en la curiosidad, búsqueda y descubrimiento de los estudiantes que aprenden los conceptos a partir de su experiencia del mundo en que viven. Por otra parte, (Godino, 2004, pág. 103), expone en sus estándares de contenidos matemáticos para los niveles de educación infantil a bachillerato, que: los programas de geometría deberían capacitar a los estudiantes para: Analizar las características y propiedades de las formas geométricas de dos y tres dimensiones y desarrollar argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas; especificar posiciones

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y describir relaciones espaciales usando geometría de coordenadas y otro sistema de representación; aplicar transformaciones y usar la simetría para analizar situaciones matemáticas; usar la visualización, el razonamiento espacial, y la modelización geométrica para resolver problemas. La guía de enseñanza propuesta se desarrolla en el marco del modelo de razonamiento de los profesores van Hiele. 2.1 Modelo de van Hiele: Antecedentes y Pertinencia para el Presente Estudio.

Los profesores esposos Pierre van Hiele y Dina van Hiele-Geldolf buscaban: primero determinar la forma cómo se produce la evolución del razonamiento geométrico en

los

estudiantes y luego plantearon buscar la manera cómo ayudar a mejorar la calidad del razonamiento geométrico en los estudiantes. Como resultado de sus reflexiones plantearon un método de enseñanza y aprendizaje de la geometría, llamado el modelo de van Hiele, el cual plantea como estrategia unos niveles y unas fases a tener en cuenta para la enseñanza de la geometría. A pesar de que el modelo educativo de van Hiele fue un trabajo realizada por los esposos van Hiele a finales de los años 50, ha sido un referente teórico de los pedagogos de la geometría hasta la actualidad, esto es posible porque el modelo se deja adaptar a la didáctica actual y ofrece herramientas muy importantes y bien desarrolladas como lo son los niveles de razonamiento, que permiten secuenciar los contenidos y da parámetros para identificar en cuál de estos niveles se encuentran los estudiantes; y las fases, que permiten diseñar el proceder en las unidades didácticas. De acuerdo a lo anterior, en este estudio se pretende intervenir 25 estudiantes de grado séptimo, de los cuáles se seleccionarán 4 estudiantes para el Estudio de Casos; primero con

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una prueba diagnóstica se identificarán 4 estudiantes que se ubiquen en el Nivel 0, luego se buscará facilitarles su ascenso al nivel II del modelo mediante el trabajo con la guía de enseñanza, guía que se desarrollará con ayuda del software libre GeoGebra, de tal forma que ellos mismos formulen preguntas, saquen conclusiones y sean artífices del concepto de cuadrilátero, sus propiedades y características. 2.2 Nomenclatura del Modelo de van Hiele.

Inicialmente los profesores van Hiele, en su propuesta de investigación enunciaron cinco niveles. Según este modelo los niveles de razonamiento están dados de una manera secuencial ascendente, donde es indispensable para acceder de un nivel a otro tener en cuenta algunas características tales como un lenguaje en particular, la utilización de unos símbolos y de unos métodos de inferencia específicos. Es decir, los niveles de razonamiento describen los distintos tipos de capacidades de razonamiento que pueda tener un estudiante en la geometría a lo largo de su formación. Es importante destacar que desde el momento en que se da a conocer el modelo de razonamiento en los años 50 muchos autores e incluso los mismos profesores van Hiele han propuestos algunos cambios pero conservando los mismos cinco niveles. Inicialmente los profesores van Hiele plantearon los cinco niveles desde el nivel predescriptivo o nivel 0 y niveles I, II, III y IV; en las que muchos de los autores coinciden en darle la importancia y el desarrollo de los tres primeros niveles como mínimo en las que se pueden evidenciar en el estudiante la comprensión del concepto desarrollado. Para el desarrollo y la puesta en marcha de nuestra propuesta tendremos en cuenta la nomenclatura de los niveles de

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razonamiento según el modelo de van Hiele, hecha por el autor J. Llorens, en la cual toma como referencia el nivel predescriptivo o nivel 0. Este autor remembra los niveles de la siguiente manera: Nivel 0, Predescriptivo. Nivel I, de reconocimiento visual. Nivel II, de análisis Nivel III, de clasificación, de relación. Nivel IV, de deducción formal. 2.3 Características de cada uno de los niveles del Modelo de van Hiele.

A continuación se citan algunas característica generales de cada uno de los niveles de razonamiento según el modelo de van Hiele. Luego, para el desarrollo de nuestra propuesta, se construyeron unas características específicas, descriptores, que permiten reconocer en el estudiante la ubicación de cada de esos niveles. 2.3.1 Nivel 0 Predescriptivo. Según el modelo, aquí los objetos se presentan como elementos básicos para su estudio; en esta parte el estudiante hace un reconocimiento de los elementos geométricos a estudiar. 

Los objetos se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus atributos y componentes.

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Se describen por su apariencia física mediante descripciones meramente visuales y asemejándoles a elementos familiares del entorno (parece una rueda, es como una ventana, etc.). No hay lenguaje geométrico básico para llamar las figuras por su nombre correcto.



No reconocen de forma explícita componentes y propiedades de los objetos motivo de trabajo. 2.3.2 Nivel I, Reconocimiento Visual. El estudiante está en capacidad de reconocer unos elementos básicos que permite manejar

un vocabulario de acuerdo a los conceptos. Veamos algunas características específicas según (Jurado & Londoño, 2005). 

Los estudiantes reconocen las figuras geométricas por su apariencia global.



Perciben las figuras como objetos individuales, sin abstraer sus propiedades para relacionarlas con otras figuras del mismo tipo.



Pueden aprender cierto vocabulario que identifican las figuras geométricas (tal como cuadrado, rectángulo y otras).



Describen las figuras geométricas por semejanza con otros objetos que no necesariamente son figuras geométricas, ni del tipo de las que están describiendo.



Identifican la forma de la figura o la propia figura como un todo, sin distinguir partes que la formen, ni las propiedades matemáticas que las caracterizan. 2.3.3 Nivel II, Análisis.

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Es un nivel donde el estudiante relaciona los elementos básicos con una serie de propiedades del objeto geométrico que le permite realizar un análisis de lo que se está haciendo. Veamos algunas características específicas según (Jurado & Londoño, 2005). 

Los estudiantes analizan las partes o elementos que componen una figura geométrica y sus propiedades.



Por la observación de esas partes, puede deducir otras propiedades de las figuras, generalizándolas a las figuras de una determinada clase.



No relaciona las distintas propiedades de las figuras geométricas, por lo que no pueden hacer clasificaciones de esas figuras basándose en sus propiedades.



Las deducciones y extensión de propiedades tienen un carácter informal. 2.3.4 Nivel III, Clasificación, Relación. En este nivel el estudiante con el objeto realiza ordenaciones parciales (sucesiones). De la

cual relaciona los elementos básicos de estudio y analiza sus propiedades para luego dar conceptos tratados. 

En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, viendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas.



Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomática de las matemáticas.



Se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados partiendo de proposiciones o premisas distintas, lo que permite entender que se puedan realizar distintas formas de demostraciones para obtener un mismo resultado.

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2.3.5 Nivel IV: Deducción Formal. El estudiante analiza el concepto para poner a disposición en cualquier situación que le permita resolver dicha situación. 

Los estudiantes pueden analizar varios sistemas deductivos y relacionarlos.



Conocen propiedades de un sistema deductivo tales como la consistencia, la independencia y la completitud de sus postulados.



Los estudiantes conocen y valoran la importancia de la precisión al tratar con los fundamentos y con las interrelaciones de estructuras axiomáticas formales.

Como se puede observar en la descripción de los niveles hay una jerarquización entre cada uno de ellos, lo cual implica una secuencialidad para su desarrollo; es decir, no se puede abordar el nivel III, sin antes el estudiante haber pasado por el nivel II. Para mayor comprensión de la idea anterior veamos como (Jaime & Gutiérrez, 1990) realiza un cuadro que ilustra las principales característica de cada nivel de razonamiento según el modelo de van Hiele. La siguiente tabla nos muestra la estructura recursiva que da entre los niveles del modelo de van Hiele. Fuente: (Jaime & Gutiérrez, 1990) Tabla 1. Estructura recursiva de los modelos de van Hiele NIVELES ELEMENTOS EXPLÍCITOS Elementos básicos del N 0: Predescriptivo estudio: figuras y objetos.

N I: Reconocimiento Visual

Partes y propiedades de las figuras y objetos.

ELEMENTOS IMPLÍCITOS Partes y propiedades de las figuras y objetos. Implicaciones entre las propiedades de figuras y objetos, es decir, enunciados que relacionan las propiedades.

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N II: Análisis

N III: Clasificación

N IV: Deducción Formal

Implicaciones entre propiedades de figuras y objetos Deducción formal de teoremas.

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Deducción formal de teoremas. Demostraciones. Relación entre los teoremas (Sistemas axiomáticos)

Relación entre los teoremas y entre los sistemas axiomáticos.

2.4 Características de cada una las Fases del Modelo de van Hiele

Ahora bien, dentro de cada nivel se dan cinco fases que son las que finalmente ayudan a que el estudiante pase de un nivel de razonamiento a otro, estas fases son: 

Fase 1: preguntas/Información.



Fase 2: Orientación dirigida.



Fase 3: Explicitación.



Fase 4: Orientación libre.



Fase 5: Integración.

2.4.1 Fase 1: Preguntas/Información. El profesor indica a sus alumnos sobre el campo de estudio que van a trabajar, como por ejemplo los conceptos que van a manejar, que problemas, materiales. Esta fase es oral, se tiene mucho en cuenta lo que el estudiante dice o escribe acerca del concepto o el objeto a tratar; mediante preguntas adecuadas para identificar el punto de partida y realizar una ruta que permita el normal desarrollo de las actividades y fases siguientes; se puede realizar por medio de test, entrevista individualizada. Cabe destacar son importantes tanto las respuestas como las preguntas que puedan surgir de los estudiantes.

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2.4.2 Fase 2: Orientación Dirigida. Los alumnos comienzan a explorar el campo de estudio resolviendo problemas y actividades basadas en el material proporcionado por el profesor. Como su nombre lo dice el docente juega un papel importante en cuanto dirige, es decir su capacidad didáctica y secuenciada puede hacer que en el transcurso de la conceptualización trabajada se obtengan resultados muy positivos con relación al tiempo que se requiere para alcanzar el siguiente nivel. 2.4.3 Fase 3: Explicitación. Los alumnos intercambian sus experiencias, comentan lo que han observado, explican cómo han resuelto las actividades, etc., todo ello dentro de un contexto de diálogo en el grupo. El docente en su rol va encaminando a que el estudiante vaya descubriendo el conocimiento, sus actividades van dirigidas a corregir el lenguaje según sea el nivel donde se estén desarrollando las actividades. 2.4.4 Fase 4: Orientación Libre. Los alumnos deberán ahora aplicar y combinar los conocimientos que han adquirido en las fases anteriores para resolver actividades más complicadas. En esta fase los alumnos conocen el campo de estudio, pero todavía deben perfeccionar el conocimiento del mismo, tanto de contenidos como de habilidades de razonamiento. 2.4.5 Fase 5: Integración. Los nuevos conceptos y habilidades que los alumnos han aprendido en las fases anteriores están asimilados, pero aún deben adquirir una visión general de los contenidos y métodos, relacionando los nuevos conocimientos con otros campos que hayan estudiado

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anteriormente. La siguiente tabla nos muestra de manera resumida y precisa las distintas fases con sus propiedades. Fuente: (Aravena & Carlos, 2013) Tabla 2. Fases de aprendizajes y características FASES

CARACTERÍSTICAS

Fase 1: Información

Se coloca el énfasis en la visualización y en la comparación de objetos, se enuncian características de manera informal.

Fase 2: Orientación dirigida

Identificación de características, reconocimiento de propiedades y establecimiento de relaciones.

Fase 3: Explicitación

Intercambio de experiencias, comentar las regularidades encontradas, las propiedades, explicitación del trabajo realizado.

Fase 4: Orientación libre

Aplicación de los conocimientos a situaciones nuevas, pero con estructura comparada. Problemas más abiertos, más complejos, con una, varias o ninguna solución. Consolidación de las etapas anteriores.

Fase 5: Integración

Visión global de lo aprendido, integrando los nuevos conocimientos y métodos de trabajo. Se trabaja de la organización de los conceptos, definiciones, propiedades o relaciones adquiridas en las fases anteriores.

2.5 Investigaciones Relacionadas con el Modelo de van Hiele en Educación Matemática

En Madrid el investigador Sordo, en su tesis de doctorado, tenía como objetivo central la dotación al estudiante de las herramientas fundamentales que le permitan manejar e interpretar

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los principales elementos de la geometría métrica con el fin de que analice y resuelva problemas propios de ella. Según Sordo, el uso de software para la enseñanza de las matemáticas y el uso de las nuevas tecnologías puede fortalecer los procesos formativos de los estudiantes. (Sordo, 2005) Un segundo referente y antecedente, es un artículo hecho por el

Profesor Rider

Goncalves, en el que se da una reflexión acerca de las necesidades por parte de profesores y estudiantes de promover una enseñanza - aprendizaje más significativo. Además, habla de la dificultad de que los docentes comprendan los contenidos geométricos y la frustración por parte de ellos al percatarse que los alumnos no identifican y/o diferencian los conceptos y propiedades de los contenidos tratados en el área. (Goncalves, 2006) Un último referente es una tesis de maestría, que tiene por objetivo diseñar una propuesta didáctica para la enseñanza de los cuadriláteros basada en las fases de aprendizaje del modelo de van Hiele, propuesta que está apoyada en el software de geometría dinámica GeoGebra. El autor utiliza el modelo de van Hiele como marco teórico y propone a partir de este modelo niveles de desarrollo del pensamiento geométrico. (Maguiña, 2013). Teniendo en cuenta los autores mencionados anteriormente, Maguiña en su propuesta es la que tiene mayor relación con nuestro objetivo en nuestra propuesta ya que a través de esta propuesta didáctica se logró que los estudiantes incrementaran los grados de adquisición en los niveles de visualización, análisis y deducción informal, de acuerdo al Modelo Van Hiele. Esta propuesta se desarrolló atendiendo una población de diez estudiantes de cuarto de secundaria en la capital de Perú (Lima), en consecuencia, los estudiantes se ubicaban en un nivel de formación superior y a punto de transitar al grado décimo de enseñanza media. (Maguiña, 2013).

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Consecuentemente, nuestra propuesta trabaja con una población escolar diferente, son 4 estudiantes de grado séptimo de educación básica secundaria de la Institución Educativa Liceo Caucasia, del municipio de Caucasia, Bajo Cauca Antioqueño; una institución educativa ubicada en un contexto marcado por factores socioculturales que influyen de forma directa en el rendimiento escolar de los estudiantes liceístas. Adicionalmente, nuestra propuesta plantea el uso de descriptores de nivel para evidenciar

si los estudiantes avanzan en sus niveles de

razonamiento matemático.

2.6 El uso de las TIC en la Enseñanza de las Matemáticas

El pensamiento matemático no está enraizado específicamente sobre los fundamentos de la matemática ni en la práctica exclusiva de los matemáticos, sino que trata de todas las formas posibles de construir ideas matemáticas, incluidas aquellas que provienen del contexto. Sin embargo, es importante reconocer que el pensamiento matemático está estructurado a partir de cinco tipos de pensamiento: el numérico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional, los cuales pueden desarrollarse en los estudiantes mediante el uso de las TIC, teniendo en cuenta los avances tecnológicos, el uso masivo de la tecnología por parte de los jóvenes y las numerosas investigaciones que se han realizado para poder incluirlas en la enseñanza. Para que un docente de área pueda integrar efectivamente las TIC en sus procesos de enseñanza/aprendizaje, este debe atender tres aspectos fundamentales: 

Adquirir competencias básicas en uso de las TIC.

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Disponer de estrategias pedagógicas adecuadas que le permitan utilizar el potencial transformador de las TIC para mejorar el aprendizaje de sus estudiantes.



Desarrollar competencias para llevar a cabo, cada vez mejor, el proceso de integración efectiva de las TIC en sus asignaturas. 2.6.1 Ventajas Pedagógicas y Didácticas de las TIC.

En contraste con la educación tradicional, las opciones pedagógicas y didácticas apoyadas en las nuevas TIC ofrecen las siguientes ventajas de acuerdo al MEN: 

Más centradas en los intereses y posibilidades del alumno.



Pueden estimular más el pensamiento crítico.



Utilizan múltiples medios para presentar información.



Ofrecen condiciones adecuadas para el aprendizaje cooperativo.



Permiten que el maestro privilegie su rol como facilitador de aprendizaje.



Hacen del alumno un aprendiz más activo.



Estimulan y ofrecen condiciones para el aprendizaje exploratorio.



Fomentan un estilo de aprendizaje más libre y autónomo. Según (Riveros & Mendoza, 2005), las experiencias de enseñanza desarrolladas con las

TIC han demostrado ser altamente motivantes para los alumnos y eficaces en el logro de ciertos aprendizajes comparada con los procesos tradicionales de enseñanza, basados en la tecnología impresa. 2.6.2 GeoGebra. Es un software de matemáticas, desarrollado por Markus Hohenwarter de la Universidad de Salzburgo, que permite trabajar geometría, álgebra y cálculo. Es un programa interactivo

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especialmente diseñado para la enseñanza y aprendizaje de álgebra y geometría a nivel de secundaria. Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica, permite realizar construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente. Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra tiene la potencia de manejar con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares de una función, como raíces o extremos. Teniendo en cuenta que en los tres primeros niveles de razonamiento del modelo de van Hiele, niveles 0, I y II, la visualización juega un papel importante, el GeoGebra será una herramienta que facilitará que el estudiante cumpla con los descriptores de cada uno de estos niveles y pueda avanzar hasta el nivel II, esto se logrará a través de la interacción directa del estudiante con los cuadriláteros, ya sea construyéndolos, modificándolos, trasladándolos o simplemente determinando sus propiedades, de paralelismo o congruencia, con las herramientas que el GeoGebra dispone para esto. El estudiante podrá hacer una diversidad de cosas con el GeoGebra, tales como: 

Construir en forma precisa y rápida.



Razonar y comprender a cerca de las relaciones geométricas entre diferentes objetos.



Modificar el aspecto gráfico de una figura, usando simplemente el mouse.



Calcular medidas de segmentos o ángulos.



Manipular figuras geométricas y observar las semejanzas y diferencias entre ellas.

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Repetir las construcciones las veces que ellos necesiten hacer.

Este software de matemática dinámica ofrece una interfaz fácil para cualquier usuario, en ella se pueden identificar la barra de menú, barra de herramientas, vista algebraica y vista gráfica, y la barra de entrada.

Figura 1. GeoGebra

2.6.2.1 Barra de Menú.

Figura 2. Barra de menú

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Para esta propuesta, es necesario fundamentalmente el menú archivo, de este se usa el submenú Nuevo para crear documentos en blanco, y el submenú Exportar para guardar las imágenes con las figuras creadas.

Figura 3. Menú archivo

2.6.2.2 Barra de Herramientas.

Figura 4. Barra de herramientas

Los íconos de la barra de herramientas se usan de manera directa en la elaboración de los distintos cuadriláteros que plantea la guía en su secuencia de ejercicios, dentro de todos estos, serán fundamentales las herramientas para arrastrar figuras, ubicar puntos, trazar segmentos,

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rectas, construir polígonos, polígonos regulares, trazar rectas paralelas o segmentos con longitudes conocidas, medir segmentos, medir ángulos, entre otros.

3. LOS CUADRILÁTEROS 3.1 Introducción

El pensamiento espacial definido en los lineamientos curriculares como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales (MEN, 1998, pág. 56), constituye un componente indispensable del pensamiento matemático, hace referencia a la percepción, intuitiva o racional, del entorno propio y de los objetos que hay en él. En relación con esto también se plantean nociones alusivas a los cuadriláteros, el modelo geométrico de Van Hiele y GeoGebra. 3.2 Aproximación Histórica a los Cuadriláteros Empecemos por dar una definición de Geometría; (del griego geo, “tierra”; metrein, “medir”), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, el origen de este término es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, cuyas tareas eran la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de las construcciones. La geometría creció de manera empírica en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. la escuela pitagórica colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. La geometría demostrativa de los griegos, que se

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ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días. Euclides fue el primero, al menos quien se cree hasta el momento, en definir de manera explícita el concepto de polígonos y en dar una clasificación de los cuadriláteros en el primer libro de su obra. De los polígonos convexos dice “Son figuras rectilíneas las comprendidas por rectas. Triláteras, las comprendidas por tres; cuadriláteras las por cuatro; multiláteras las comprendidas por más de cuatro” (Micelli & Crespo, 2014, pág. 846). Respecto a los cuadriláteros dijo “De entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular; rectángulo es la que es rectangular pero no equilátera; rombo la que es equilátera, pero no rectangular; el romboide la que tiene los ángulos y los lados opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular, y llámense trapecios a las demás figuras cuadriláteras” (Micelli & Crespo, 2014, pág. 846). Esta clasificación es excluyente y por tanto en la actualidad se han dado otras definiciones que permiten que un cuadrilátero encaje en varios de estos tipos de cuadriláteros simultáneamente, por ejemplo, que el cuadrado sea a la vez rectángulo y rombo. (Casey, 2007), fue el primero en ajustar esta definición. 3.3 Forma Actual de Presentarse el Concepto de Cuadrilátero en la Escuela

3.3.1 Los Cuadriláteros. Cuadrilátero, este vocablo procede del latín, de la palabra “quadrilaterus” que traduce “tiene cuatro lados.” En síntesis, es un polígono que tiene cuatro lados.

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Figura 5. Cuadrilátero

De acuerdo a esta figura se tiene que: ̅̅̅̅ , 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ y 𝐷𝐴 ̅̅̅̅ son los lados del cuadrilátero. Los segmentos ̅̅̅̅ 𝐴𝐵, 𝐵𝐶 ̂ son los ángulos interiores. Los ángulos 𝐴̂, 𝐵̂, 𝐶̂ y 𝐷 Los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 son los vértices. ̅̅̅̅ y 𝐵𝐷 ̅̅̅̅ , que se obtienen al unir los vértices opuestos del cuadrilátero, son las Los segmentos 𝐴𝐶 diagonales. A continuación, se ofrece una definición de cada una de las tipologías que se desarrollarán en este trabajo: paralelogramo, rectángulo, rombo y trapecio. 3.3.1.1 Paralelogramo. Cuadrilátero con los dos pares de lados opuestos paralelos y congruentes.

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Figura 6. Paralelogramo

3.3.1.2 Rectángulo. Cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos, es decir, equiángulo.

Figura 7. Rectángulo

3.3.1.3 Rombo. Cuadrilátero con los cuatro lados congruentes, es decir, equilátero.

Figura 8. Rombo

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CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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3.3.1.4Trapecio. Cuadrilátero que posee un par de lados paralelos, estos lados se denominan base mayor y base menor.

Figura 9. Trapecio

Los trapecios se pueden clasificar en tres tipos distintos dependiendo de las longitudes de sus lados o ángulos. 3.3.1.4.1 Trapecio Isósceles. Trapecio en el que los dos lados distintos de las bases son congruentes.

Figura 10. Trapecio Isósceles

En la Figura 10, ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ∥ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 y ̅̅̅̅ 𝐴𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 .

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3.3.1.4.2 Trapecio Rectángulo. Trapecio en el que uno de los lados es perpendicular a las bases.

Figura 11. Trapecio Rectángulo.

3.3.1.4.3 trapecio Escaleno. Trapecio en el que todos sus lados tienen medidas distintas.

Figura 12. Trapecio Escaleno.

3.3.2 Relaciones entre los Tipos de Cuadriláteros. Dado que las definiciones de estos cuatro tipos de cuadriláteros no son excluyentes, puede suceder que un cuadrilátero pertenezca de manera simultánea a más de una de estas tipologías, se puede dar incluso el caso de que un cuadrilátero pertenezca a los cuatro tipos de cuadriláteros. Vamos a mirar las relaciones que existen entre estos.

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3.3.2.1 Paralelogramo-Rectángulo. Todo rectángulo cumple que los lados opuestos son paralelos y congruentes, es decir, cumplen con las condiciones para ser paralelogramos, por tanto, se tiene que todo rectángulo es un paralelogramo. Por otro lado, ¿será que todo paralelogramo es rectángulo?, la respuesta es no, el hecho de que los lados opuestos sean paralelos no garantiza que los cuatro ángulos del paralelogramo sean rectos. Ver Figura 6. 3.3.2.2 Paralelogramo-Rombo. Todo rombo cumple que los cuatro lados son congruentes y que los dos pares de lados opuestos son paralelos, de donde se concluye que todo rombo es paralelogramo. En el sentido opuesto no ocurre lo mismo, no se puede garantizar que los cuatro lados de un paralelogramo sean congruentes, por tanto, no todo paralelogramo es rombo. Ver figura 6. 3.3.2.3 Paralelogramo-Trapecio. La definición de trapecio menciona que tienen un par de lados paralelos, pero esto no indica que los otros dos lados deban ser necesariamente no paralelos, en ese orden de ideas, se tiene que todo paralelogramo se puede considerar como un trapecio donde los dos lados distintos a las bases son también paralelos. La reciprocidad no se da en este caso, no se puede considerar todo trapecio como un paralelogramo, un ejemplo de esto se puede ver en la Figura 9. 3.3.2.4 Rectángulo-Rombo. La característica principal de un rectángulo es que todos sus ángulos son rectos, es decir, es equiángulo; y la principal de un rombo es que todos sus lados son congruentes, en otras palabras, es equilátero. Ahora, pensemos en un cuadrilátero que sea tanto equiángulo como equilátero, este cuadrilátero recibe el nombre de Cuadrado.

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Figura 13. Cuadrado.

Precisamente el cuadrado es un cuadrilátero que pertenece a las cuatro tipologías de cuadriláteros estudiados. 3.3.2.5 Rectángulo-Trapecio. Ya se dijo que todo rectángulo es paralelogramo y que todo paralelogramo es trapecio, de aquí se concluye que todo rectángulo es trapecio; pero, no viceversa. 3.3.2.6 Rombo-Trapecio. De manera análoga a la anterior, como todo rombo es paralelogramo se concluye que todo rombo es un trapecio. Todo lo anterior se puede representar mediante el siguiente diagrama.

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Figura 14. Clasificación de los cuadriláteros

3.3.3 Perímetro de Cuadriláteros. El perímetro de un polígono corresponde a la suma de las longitudes de todos sus lados, esta definición aplica también para cuadriláteros teniendo en cuenta que los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Considerando las propiedades que cumplen los lados de los cuadriláteros se pueden obtener unas formas específicas para determinar el perímetro de estos. 3.3.3.1 Perímetro de un Paralelogramo. Dado que los lados opuestos en un paralelogramo son congruentes, se tiene que el perímetro es el doble de la suma de dos lados adyacentes.

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Figura 15. Perímetro de un paralelogramo 3.3.3.2 Perímetro de un Rectángulo. Teniendo en cuenta que el rectángulo es a la vez un paralelogramo, su perímetro corresponde al doble de la suma de dos lados adyacentes, es decir, el doble de la suma de la base y la altura.

Figura 16. Perímetro de un rectángulo

3.3.3.3 Perímetro de un Rombo. Dado que el rombo tiene sus cuatro lados congruentes, es decir, con la misma longitud, entonces su perímetro corresponde a cuatro veces la longitud de uno de sus lados.

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Figura 17. Perímetro de un rombo

3.3.3.4 Perímetro de un trapecio. En los trapecios, solo el trapecio isósceles tiene dos lados congruentes, los demás no tienen ninguna fórmula especial.

Figura 18. Perímetro de un trapecio isósceles

3.3.4 Área de Cuadriláteros. El área de un polígono es la medida, en unidades cuadradas, de la superficie delimitada por los lados del polígono. Para hallar el área de los cuadriláteros se han podido determinar

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ciertas fórmulas, esto es posible por las propiedades de perpendicularidad, paralelismo y congruencia que cumplen los lados. 3.3.4.1 Área de un Paralelogramo. El área de un paralelogramo se determina con el producto de la longitud del lado tomado como base y la altura, donde la altura es el segmento perpendicular trazado desde la base hasta el lado opuesto.

Figura 19. Área de un paralelogramo

3.3.4.2 Área de un rectángulo. Los rectángulos son paralelogramos también, el área se determina con la misma fórmula, con la particularidad de que la altura es el lado adyacente a la base dado que es perpendicular a la base.

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Figura 20. Área de un rectángulo

3.3.4.3 Área de un Rombo. Se determina mediante el producto de las longitudes de sus diagonales. Recordemos que las diagonales se intersecan de manera perpendicular.

Figura 21. Área de un rombo

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3.3.4.4 Área de un Trapecio. Para determinar el área de un trapecio se necesitan las longitudes de las bases, que son los lados paralelos, y la de la altura que es la perpendicular trazada de una base a otra. Para esto se multiplica el promedio de las bases con la altura.

Figura 22. Área de un trapecio 3.4 Aspectos Legales

El pensamiento espacial definido en los Lineamientos Curriculares del MEN, como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas traducciones o representaciones materiales (MEN, 1998, pág. 56), constituye un componente indispensable del pensamiento matemático, hace referencia a la percepción, intuitiva o racional, del entorno propio y de los objetos que hay en él. Por otro lado, el MEN junto al Ministerio de las TIC están creando herramientas y contenidos digitales, y dotando las instituciones para que la educación se dinamice a través del uso de las TIC y así la enseñanza-aprendizaje en general, y en particular de las matemáticas, sea más significativas.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE 4.

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DISEÑO METODOLÓGICO

4.1 Introducción

En esta etapa de la propuesta mostramos la manera como desarrollamos esta investigación; en primera instancia, se estableció como enfoque de investigación el Paradigma Cualitativo; seguidamente, el contexto que enmarca la investigación; en tercera instancia, se aclara el método de investigación usado para el logro de los propósitos investigativos; en un cuarto momento, la descripción de los sujetos que hicieron parte de esta investigación; como quinto, tenemos las técnicas para recolección de los datos de investigación, y finalmente, en un sexto momento, la manera como se analizó la información obtenida mediante la categorización y triangulación de los hallazgos. 4.2 El Paradigma de la Investigación Cualitativa

Para el desarrollo de nuestra propuesta de investigación se utilizó la metodología de Investigación Cualitativa, la cual tiene por objeto el análisis de los fenómenos a través de técnicas, como la observación participante y el análisis de los documentos que nos brinda el trabajo que se hizo inicialmente. Además de ello, lo que se busca es caracterizar, estudiar y profundizar una situación concreta; en la cual no buscamos las causas del problema sino más bien la comprensión del objeto de estudio para la conceptualización de los cuadriláteros, en los estudiantes; basados en el modelo de razonamiento de van Hiele. (Fernández, 2002). En la metodología cualitativa el abordaje de los enfoques de investigación en el terreno de las ciencias sociales busca establecer cuáles son las ópticas que se han desarrollado para concebir y mirar las distintas realidades que componen el orden de lo humano, así

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como también comprender la lógica de los caminos, que se han construido para producir, intencionada y metódicamente conocimiento sobre ellas. (Casimilas, 1996, pág. 27) Desde este punto de partida, reconocemos como realidad la forma en que los estudiantes responden a los asuntos matemáticos y los relacionan con su contexto, en este caso, cuatro estudiantes de grado séptimo con facilidades discursivas específicas; esta particularidad permite que al narrar exista una inmersión total en los sujetos estudiados. Además, la investigación cualitativa estudia la asociación o relación entre variables en contextos estructurales y situacionales, reconoce la profundidad de las realidades, se caracteriza por ser subjetiva, exploratoria, de razonamiento inductivo, descriptiva; sus datos son profundos e inferidos, direccionada hacia el proceso, para así generar comunicación directa entre el investigado y el investigador con el fin de

facilitar el análisis de factores sociales en un

contexto habitual. (Folgueiras, 2013). De allí cabe decir que la manera de plantear el problema y cómo se quiere dar solución a este son elementos claves para el desarrollo de dicha metodología en el ámbito educativo, la interacción del investigador-investigado con la realidad son los que generan conocimientos del tema y aportes para la solución de dicho problema, de esta interacción se tuvo en cuenta la observación y las situaciones que rodean al estudiante para llevarlos al nivel II de razonamiento del modelo de van Hiele. En nuestro caso, la realidad es vista desde las dificultades que presentan los estudiantes con los diferentes conceptos y propiedades de los cuadriláteros. 4.3 El Estudio de Casos como Método de Investigación

En el desarrollo de nuestro trabajo se realizó un estudio de casos para conocer la realidad en campo de la geometría, más exactamente, en el concepto de cuadriláteros que

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manejan cuatro estudiantes de grado séptimo de la IELC. En ese mismo orden de ideas, (Stake, 1998) sostiene que un caso constituye un espacio de contextualización, reflexión e interpretación de la información proporcionada por la comunidad involucrada, así como la realidad vista desde la posición del investigador frente a los sucesos o acontecimientos en los que se ve involucrado; además, de considerar la validez de la interpretación del caso a partir de la triangulación vista como espacio para aclarar posibles cuestionamiento a lo planteado dentro del análisis. 4.3.1 Población y Muestra.

Para el desarrollo de la propuesta se tomó un grupo de 25 estudiantes del grado séptimo de la Institución Educativa Liceo Caucasia, institución de educación básica y media de carácter oficial. A estos estudiantes, se les aplicó una prueba diagnóstica la cual buscaba identificar quiénes se encontraban en el nivel 0, según el modelo de razonamiento de van Hiele. A partir del análisis de la prueba, logramos constatar que cuatro de éstos se encontraban en dicho nivel 0. Éstos además de la disponibilidad e interés que mostraron frente al desarrollo de la propuesta, se caracterizaron por tener facilidades discursivas para expresar sus inquietudes y sugerencias, al mismo tiempo, establecer reflexiones con relación a sus avances, aciertos y desaciertos que lograron emerger mientras realizaban las actividades establecidas en la guía de enseñanza. Con la intención de proteger la identidad de los estudiantes, que hacen parte de la muestra, optamos por llamarlos Cami, Pedro, Manuel y Martha. Vale aclarar que, en el Anexo 4 se encuentra el consentimiento de los padres, los cuales autorizan la participación de sus hijos en todas las etapas de la investigación. Esta propuesta de trabajo, pretende llevar a los estudiantes desde el nivel 0 del modelo de van Hiele hasta el nivel 2, a través de un camino que posibilite la comprensión, la gestión

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individual y grupal del aprendizaje y el reconocimiento de las falencias que no les permitían una correcta comprensión de los conceptos sobre cuadriláteros por parte de los estudiantes seleccionados para el estudio. Cabe anotar que elegimos estos tres niveles porque permiten el desarrollo de la propuesta en un entorno esencialmente visual y además el paso por dichos niveles se beneficia con el manejo del software libre GeoGebra que permite una interacción bastante dinámica entre los estudiantes. El programa y la comprensión de conceptos. Por último, un asunto no menos importante son las categorías que se pudieron establecer a partir del análisis: conceptos relacionados con cuadriláteros, definiciones formales de las distintas tipologías e identificación de propiedades y relaciones. 4.3.2 Instrumentos para la Recolección de la Información. Avanzando en nuestro proceso de recolección de datos, diseñamos unas estrategias que nos ayudaron a obtener y analizar la información, estas fueron: La Prueba Diagnóstica, la Observación directa, la revisión de documentos producidos por los estudiantes en el desarrollo de la Guía de Aprendizaje y la Entrevista Semiestructurada. Para el logro de este propósito, acordamos un consentimiento informado por parte de los padres de familia

de los estudiantes participantes en la investigación, documento que nos

permitió el uso de la información obtenida en los instrumentos, de una manera clara y respetuosa. Con el propósito de lograr nuestros fines investigativos, implementamos las siguientes técnicas e instrumentos.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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4.3.2.1 La Prueba Diagnóstica. Esta fue elaborada en general buscando las evidencias de comprensión que nos permitieran saber en qué nivel del Modelo de van Hiele estaban los 25 estudiantes del grado séptimo en el cuál fue aplicada la misma; de ella se seleccionarían aquellos estudiantes que estuvieran ubicados en el nivel cero de acuerdo con los descriptores para el concepto de cuadriláteros, los demás se descartan ya que nuestra intencionalidad es permitirles a los estudiantes del nivel cero avanzar al nivel uno, superarlo y llegar hasta el nivel dos del Modelo. La prueba consta de preguntas abiertas, de reconocimiento teórico del tema, de reconocimiento visual de los cuadriláteros y de clasificación y relación entre los mismos de acuerdo con conceptos asociados con ellos. 4.3.2.2 Guía de Aprendizaje. Una vez hecha la recolección de información Aportada por la prueba inicial, ésta se llevó a una rejilla en la cual pudimos ubicar los cuatro casos que se encontraron comprendiendo en el nivel cero, con dicha información se planeó la elaboración de la Guía de Enseñanza, la cual les permita a estos estudiantes reflexionar con mayor profundidad sobre los cuadriláteros, reconocer sus elementos característicos, las relaciones que hay entre ellos, las propiedades que cumplen los cuatro cuadriláteros elegidos y las relaciones más complejas que se pueden establecer con los mismos, todo siempre en el nivel de dificultad propio del grado séptimo en que se encuentran los estudiantes. El apoyo del GeoGebra, es fundamental en esta parte ya que los aspectos de carácter visual son básicos para la comprensión en estos primeros tres niveles, además la manipulación

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que permite el programa le brinda un ambiente dinámico a dicho trabajo y les permite a los estudiantes interactuar con el objeto matemático.

Componente teórico

Materiales y recursos

Objetivos

Guía de Enseñanza

Actividades

Descriptores de nivel

Figura 23. Estructura de la guía de enseñanza

4.3.2.3 La Observación. Ésta se realizó en forma continua durante todas las etapas del trabajo de campo, fundamentalmente buscó reconocer en el contexto, aspectos tan importantes como los espacios físicos en los cuáles se desarrolla el proceso de enseñanza y de aprendizaje de los estudiantes; las interacciones comunes y cotidianas que se dan entre ellos en el dinámico y fundamental aspecto llamado socialización del aprendizaje, ya que estamos de acuerdo con el MEN, en los Lineamientos Curriculares, cuando establece la importancia de la construcción colectiva del aprendizaje de conceptos matemáticos; y además buscamos conocer las actitudes y aptitudes mostradas por los cuatro estudiantes seleccionados al enfrentarse a pruebas, entrevistas, uso de

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las TIC y lenguaje cotidiano y técnico adoptado por ellos frente al trabajo con rectángulos, paralelogramos, rombos y trapecios. 4.3.2.4 Entrevista Semiestructurada. En esta fase se concluye el trabajo de campo diseñado para esta intervención, la entrevista se diseña con la intencionalidad de reconocer las evidencias de comprensión y el progreso mostrado por los cuatro casos al finalizar todas las etapas del trabajo; en la entrevista se eligen preguntan que vuelvan la mirada sobre los conocimientos básicos, el reconocimiento y clasificación de los cuadriláteros, la habilidad de los estudiantes para construirlos con el GeoGebra y recrearlos en forma física con la ayuda de papel, tijeras y regla. El progreso en el lenguaje utilizado es una evidencia de comprensión fundamental, abandonar expresiones cotidianas y reemplazarlas por términos técnicos, son buena forma de constatar avance y comprensión de conceptos. Por su carácter semiestructurado, la entrevista nos permitió incluir otras preguntas en el discurrir de la misma y cuando la situación lo ameritaba para garantizar que los estudiantes supieran lo que se les indagaba y reorientar el curso de la misma, si podía estancarse debido a alguna situación como poco manejo de términos, o falta de claridad en lo que se pedía en algunos momentos. Finalmente, podemos decir que con la aplicación estratégica de estas tres técnicas y sus respectivos instrumentos, nos acercamos de una manera significativa y veraz a la solución del problema de investigación.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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4.3.3 Análisis de la información. Para el análisis de la información, seguimos a Coffey & Atkinson (1994), y tuvimos en cuenta los siguientes aspectos: la descripción de la prueba diagnóstica y los descriptores de nivel, entrevistas y observaciones; a través de un análisis inicial de la información, y el análisis posterior donde se interpretan los datos obtenidos luego de la aplicación de la guía y usando como recursos los descriptores de nivel, entrevistas y observaciones. Estos dos momentos se consolidaron con el propósito de fortalecer los lazos entre la comprensión del concepto de cuadrilátero, su clasificación y propiedades, y el software GeoGebra; con la iniciativa de dar paso a los estudiantes a que eleven el nivel II de razonamiento según el modelo de van Hiele. 4.3.3.1 Fase 1 Análisis inicial. En un primer momento, partimos de unas categorías iniciales: conocimiento de los cuadriláteros y nivel de razonamiento, desde este orden de ideas, aplicamos el instrumento diagnóstico (Anexo 1) y las observaciones, todo esto nos permitió verter la información obtenida en unas rejillas que luego nos sirvieron de base para reconstruir y describir nuestros hallazgos iniciales y determinar la manera cómo surgían las categorías de entrada. 4.3.3.1 Fase 2 Análisis posterior. Finalmente, en la fase de análisis que busca trascender el contenido descriptivo, visualizando las categorías emergentes: conceptos relacionados con cuadriláteros, definiciones formales de las distintas tipologías e identificación de propiedades y relaciones. Esta sábana categorial, favoreció cruzar la información entre las diferentes categorías emergentes que surgieron luego de la aplicación de la guía de aprendizaje (Anexo 2) y el análisis de los descriptores, de tal manera que rastreamos y seleccionamos la información más relevante, suministrada por los estudiantes a través de las entrevistas y las observaciones realizadas, para

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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determinar la manera cómo surgían los hallazgos y se evidenciaba el ascenso entre los niveles 0, I y II según el modelo de razonamiento de van Hiele. 4.4 Descriptores de nivel para la Comprensión de Cuadriláteros

4.4.1 Nivel 0 Predescriptivo. 

Identifican de un grupo de figuras las que son polígonos y de estas las que son cuadriláteros.



Identifican en su entorno objetos que representan cuadriláteros.



Clasifican una colección de cuadriláteros de acuerdo con sus similitudes de forma que logran visualizar.



Construyen cuadriláteros con ayuda del software GeoGebra.

DE SEPARACIÓN 

No reconocen de forma explícita componentes y propiedades de los cuadriláteros

4.4.2 Nivel I, De Reconocimiento Visual. 

Identifican características generales en los rectángulos, paralelogramos, rombos y trapecios (que tienen cuatro lados, cuatro ángulos y cuatro vértices)



Reconocen los cuadriláteros basándose en sus elementos constitutivos.



Establecen semejanzas y diferencias entre los cuadriláteros usando un lenguaje cotidiano (No técnico).



Construyen un cuadrilátero a partir de su definición general y a partir de las propiedades observadas.

DE SEPARACIÓN 

No clasifican los cuadriláteros de acuerdo sus propiedades.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

57

4.4.3 Nivel II, de análisis. 

Determinan las propiedades de un cuadrilátero y lo clasifican en el grupo que corresponde, atendiendo a sus características propias.



Comprueban que un paralelogramo los lados opuestos son paralelos.



Establecen semejanzas y diferencias entre los cuadriláteros usando un lenguaje técnico propios de cada concepto.



Identifican las propiedades de un paralelogramo.

DE SEPARACIÓN 

No logran establecer relaciones entre un teorema y otro sobre cuadriláteros.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE 5.

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ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES

5.1 Prueba Diagnóstica

(Anexo 1) La prueba diagnóstica se aplicó a un grupo inicial de 25 estudiantes del grado séptimo de la IELC, escogidos con varias intenciones, como primero ver los conocimientos previos necesarios que estos tienen para el estudio de cuadriláteros, como segundo, ubicarlos en uno de los niveles de razonamiento del modelo de van Hiele de acuerdo a los descriptores de nivel que construimos para el estudio del concepto y propiedades del cuadrilátero, y como tercero identificar las habilidades comunicativas que tienen los estudiantes para expresarse en estos cuestionarios.

Imagen 1. Aplicación de la prueba diagnóstica

De aquí, se escogieron los cuatro casos que tuvieran los conocimientos previos, se ubicaran en el nivel 0 de razonamiento del modelo de van Hiele de acuerdo a los descriptores de nivel diseñados respecto al estudio de los cuadriláteros y que tuvieran habilidades para

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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comunicarse de manera efectiva, es decir, que se expresaran de tal forma que pudiéramos entender de manera clara sus ideas y se nos facilitara el análisis de estas. Con estos cuatro casos es que se continuó la intervención mediante la aplicación de la guía de enseñanza conformada por una serie de ejercicios diseñados de tal manera que pudieran adquirir conocimientos y sacar conclusiones propias del concepto de cuadrilátero, su clasificación y propiedades, de acuerdo con los descriptores de nivel propuestos.

Imagen 2. Respuesta de Cami a la actividad 9 de la prueba diagnóstica

La prueba diagnóstica está conformada por ejercicios que están en una secuencia en la que el grado de complejidad va aumentando de acuerdo al nivel al que corresponde el descriptor que se pretende identificar si cumple o no el estudiante. Primero se tienen ejercicios de observación y clasificación de figuras, en los que el estudiante identifica polígonos, clasifica cuadriláteros de acuerdo a similitudes de forma y no de tamaño, muestra si conoce o no el nombre de algunos tipos de polígonos y nombra elementos de su entorno que tengan la forma de cuadriláteros; en estos ejercicios todavía no se está indagando sobre el uso del lenguaje formal referente a cuadriláteros. Luego de estos ejercicios se tienen preguntas abiertas en las que el estudiante debe mostrar si conoce o no los elementos que conforman un cuadrilátero, las

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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características del paralelogramo, rectángulo, rombo y trapecio, y la definición de estas tipologías; se pretende identificar en las respuestas que dan a estos ejercicios si usan o no el lenguaje formal para nombrar tanto los elementos que conforman un cuadrilátero como para definir y caracterizar los tipos de cuadriláteros. Como tercero, se tienen preguntas abiertas sobre la relación que existe entre cada uno de los cuatro tipos de cuadriláteros que se estudian en esta propuesta, las propiedades adicionales que se desprenden de la misma definición y las que se desprenden al asignarle algunas características específicas a los lados y/o ángulos de cada uno de estos cuadriláteros, y sobre la suma de los ángulos interiores, perímetro y área de un polígono.

Imagen 3. Prueba diagnóstica

5.2 Resultados de la prueba diagnóstica

La siguiente tabla nos resume los resultados obtenidos en la aplicación de la prueba diagnóstica.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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Tabla 3. Tabulación de prueba diagnóstica PREGUNTA CORRECTAS INCORRECTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

8 1 13 9 19 4 19 4 3 3 0 3 9 11 9 8 0 0 0 0 1 9 8 0 1

14 15 12 15 5 15 1 8 20 13 10 12 6 3 5 11 4 6 3 5 11 4 5 8 3

SIN CONTESTAR 3 9 0 1 1 6 5 13 2 9 15 10 10 11 11 6 21 19 22 20 13 12 12 17 21

Fueron 25 preguntas realizadas a 25 estudiantes para un total de 625 preguntas, de las cuales, 142 fueron contestadas correctamente, 214 incorrectamente y 269 no contestadas. La mayoría de las preguntadas contestadas correctamente corresponden a preguntas de observación, selección y que no involucran el uso de lenguaje formal; las contestadas incorrectamente eran en gran parte de definciones formales y que involucraban lenguaje técnico; y las no contestadas correspondían a la comprensión de la relación y caracterización de los distintos tipos de cuadriláteros, a la definición y comprensión de propiedades inherentes a los cuadriláteros como

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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lo es el área y el perímetro. En el siguiente diagrama circular se puede observar la información anterior de manera porcentual; tan solo el 23% fueron contestadas correctamente, o equivalentemente, el 77% de las preguntas als contestaron incorrectamente o no las contestaron.

Prueba Diagnóstica 23% 43% 34%

Correctas

Incorrectas

No contestadas

Figura 24. Diagrama circular de prueba diagnóstica

A continuación se presenta una rejilla donde se describen los resultados obtenidos en las observaciones realizadas a los estudiantes, tratando de visualizar las primeras categorías que se usaron para iniciar la propuesta, estas son: conocimiento de los cuadriláteros y nivel de razonamiento. TABLA CON RESUMEN DE LOS DATOS OBTENIDOS EN LA OBSERVACIÓN DE LA PRUEBA DIAGNÓSTICA SOBRE CUADRILÁTEROS, PARA LOS CUATRO CASOS DEL ESTUDIO. Tabla 4. Resultados y conclusiones del a prueba diagnóstica

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

Categorías

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Estudiante 1 Cami Identifica solo los polígonos simples convexos y no da la definición de polígono. Conoce el nombre de algunos pero no relaciona el prefijo del nombre con el número de Conocimient lados del os polígono. previos Conoce algunos elementos de los polígonos.

Estudiante 2 Martha Reconoce solo los polígonos simples convexos de un grupo de figuras, no da la definición de polígono y solo conoce el nombre de algunos polígonos. Conoce algunos elementos de los polígonos.

Estudiante 3 Manuel Reconoce de un grupo de figuras todas las que son polígonos. Conoce el nombre de algunos polígonos aunque a veces confunde la relación entre el prefijo del nombre y el número de lados del polígono. No conoce la definición de polígono. Conoce algunos elementos de los polígonos.

Estudiante 4 Pedro Reconoce de un grupo de figuras todas las que son polígonos. Conoce el nombre de algunos polígonos y la relación entre el prefijo del nombre y el número de lados del polígono. No conoce la definición de polígono. Conoce algunos elementos de los polígonos.

Conclusión

Identifica de un grupo de figuras las que son cuadriláteros y Reconocimie encuentra nto similitudes de de forma entre cuadriláteros estos. Nombra algunos elementos de los cuadriláteros.

Identifica de un grupo de figuras las que son cuadriláteros y encuentra similitudes de forma solo en algunos cuadriláteros. Menciona algunos elementos que conforman un

Identifica de un grupo de figuras las que son cuadriláteros y encuentra similitudes de forma solo en algunos cuadriláteros. Reconoce en su entorno objetos y figuras que

Identifica de un grupo de figuras las que son cuadriláteros y encuentra similitudes de forma entre estos. Reconoce en su entorno objetos y figuras que tienen forma

Estos resultados muestran que los estudiantes conocen algunos nombres de los cuadrilátero s, pero no sus definiciones formales o

De acuerdo con los resultados anteriores puede notarse que los estudiantes presentan conocimient os primitivos básicos sobre los polígonos y cuadrilátero s, sin entrar a diferenciarlo s profundame nte, ni tampoco establece similitudes, semejanzas o diferencias entre ellos.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE Reconoce en su entorno objetos y figuras que tienen forma de cuadriláteros.

Manejo de lenguaje técnico propio del modelo de van Hiele

Diferenciaci ón de los Cuadrilátero s

Conoce los nombres de algunos polígonos y cuadriláteros y sus partes: lados y vértices; pero no se refiere correctamente a perpendiculari dad, paralelismo, congruencia, polígono regular, diagonal entre otros. Al momento de dar alguna definición no usa lenguaje formal.

Conoce los nombres de los cuadriláteros que se estudiarán en la propuesta, pero no su caracterización y la relación que existe entre estos

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cuadrilátero. Reconoce en su entorno objetos y figuras que tienen forma de cuadriláteros. Conoce el nombre de algunos polígonos y cuadriláteros, menciona vértices, lados y longitud; pero no congruencia, paralelismo, diagonal, perpendiculari dad. No da definiciones formales.

tienen forma de propiedades. de cuadriláteros. cuadriláteros. Identifica algunos elementos de los cuadriláteros No usa el lenguaje formal para referirse a las definiciones y características de los polígonos y cuadriláteros aunque conozca algunos nombres. No maneja conceptos como diagonal, perpendiculari dad, paralelismo, congruencia, entre otros.

No conoce el nombre del rombo y los que conoce no los define ni caracteriza con el lenguaje formal. Confunde perpendiculari dad con paralelismo.

Menciona el cuadrado, rectángulo, rombo y el paralelogramo, pero no el trapecio. No los define correctamente y confunde sus características.

Solo conoce el nombre del rombo, rectángulo y trapecio. No caracteriza correctamente las distintas tipologías y no identifica ninguna

Conoce el nombre del paralelogramo , cuadrado, trapecio, trapezoide y rectángulo, pero no el del rombo. No los define, no los

Uno de los principales rasgos que caracteriza la comprensió n es el manejo del lenguaje propio del objeto matemático que se trabaja, es notable que este aspecto no se ha desarrollado en ninguno de los cuatro casos, lo cual es un indicio más de su ubicación en el nivel cero del modelo En nuestra experiencia docente hemos podido constatar que la mayoría de los estudiantes del grado

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE tipos de No encuentra relación entre caracteriza cuadriláteros. relaciones estas. correctamente entre estos ni identifica tipos de las relaciones cuadriláteros. entre estas tipologías.

Conceptos asociados; área, perímetro, semejanzas

Tiene nociones vagas de lo que es el área y perímetro, pero no conoce ninguna de las fórmulas para determinarlas. Identifica algunos cuadriláteros semejantes por su forma, pero no conoce la definición formal de semejanza de triángulos.

Solo tiene noción de lo que es perímetro. No conoce ninguna de las fórmulas para determinar perímetros o áreas. Identifica algunos cuadriláteros semejantes por su forma, pero no conoce la definición formal de semejanza de triángulos.

Tiene una noción de lo que es perímetro. No define formalmente estos conceptos y conoce algunas fórmulas de áreas sin relacionarlas con el tipo de cuadrilátero al que corresponden. Identifica algunos cuadriláteros semejantes por su forma, pero no conoce la definición

Tiene nociones vagas de lo que es el perímetro y el área de un cuadrilátero. No conoce ninguna de las fórmulas para determinar áreas o perímetro de los cuadriláteros. Identifica algunos cuadriláteros semejantes por su forma, pero no conoce la definición formal de

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séptimo, no establece similitudes y diferencias entre los cuadrilátero s, esta actividad cognitiva es síntoma de comprensió n cercana a la formalizació ny abstracción, y corresponde ría a niveles superiores del modelo. Puede notarse que conceptos como los de área. Perímetro. Semejanza entre otros, no son del dominio de los casos, es de esperarse ya que su conocimient o de los cuadrilátero s de nuestro estudio es básico y se limita más a visualizar formas y asociarlas con

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

66

formal de semejanza de nombres. semejanza de triángulos. triángulos.

Como puede concluirse, los cuatro casos presentan conocimiento básicos sobre los cuadriláteros, los identifican gráficamente, los clasifican por forma y tamaño, y pueden construirlos con la ayuda del GeoGebra, por estas razones se evidencia su posicionamiento en el nivel Pre descriptivo del Modelo de Van Hiele. Por el contrario, no alcanzan los descriptores propios de los niveles de reconocimiento visual y de Análisis, ya que no reconocen los elementos propios de los rectángulos, rombos, paralelogramos y trapecios; se les dificulta reconocer y calcular áreas y perímetros de los mismos; no establecen semejanzas y diferencias entre los mismos debidas a sus atributos y formas; falta reconocimiento de paralelismo y perpendicularidad entre los lados de los cuadriláteros y no conciben la posibilidad de transformar unos de ellos en otros, gracias a sus formas, superficies, áreas y características comunes. La respuesta que da Pedro a la pregunta 9 de la prueba diagnóstica evidencia que tiene un estereotipo de lo que es un rectángulo, que no conoce su definición, no conoce sus propiedades y que no usa un lenguaje formal.

Imagen 4. Respuesta de Pedro a la actividad 9 de la prueba diagnóstica

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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5.3 Guía de Enseñanza

(Anexo 2) A partir de los resultados y conclusiones obtenidas de la prueba diagnóstica, se elaboró la guía de enseñanza para lograr que los estudiantes superen las dificultades y el desconocimiento de un lenguaje técnico, conceptos relacionados con cuadriláteros, definiciones formales de las distintas tipologías, propiedades y relaciones.

Imagen 5. Aplicación de la guía

La guía de Enseñanza se elaboró con base en los descriptores de los tres niveles, con la intencionalidad de que los estudiantes puedan enfrentarse con preguntas y situaciones que los hagan reflexionar sobre los cuadriláteros y llegar más profundamente a conocer sus propiedades, conceptos asociados y características comunes, así como sus diferencias.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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Un correcto aporte de información, que guíe sus reflexiones, situaciones que les permitan pensar sus respuestas y replantearlas si es necesario, la posibilidad de construir los cuadriláteros con el GeoGebra y manipularlos libremente a la vez que el programa les aporta respuestas y datos sobre longitudes, áreas y relaciones; se convierten en elementos claves para hacer que los estudiantes comprendan los cuadriláteros como objetos matemáticos, los identifiquen, clasifiquen y relacionen, pudiendo así transitar por los niveles y alcanzar el manejo que se persigue con la aplicación de la Guía de Aprendizaje. La guía iba induciendo a que los estudiantes mismos mejoraran sus definiciones, incluyendo el uso formal del lenguaje, por ejemplo en la siguiente imagen se observa la definición que da inicialmente de rombos el caso Cami.

Imagen 6. Respuesta de Cami a la actividad 17

Esta definición, la cual es errónea porque solo está hablando del paralelismo de los lados opuestos, la ratifica en la selección que hace en la siguiente actividad

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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Imagen 7. Respuesta de Cami a la actividad 18

Pero luego de una actividad desarrollada en el GeoGebra con tres rombos que se le dieron ya construidos, en la cual el estudiante debía medir sus lados, ángulos y trazar paralelas a los lados; el estudiante pudo dar la definición correcta y las propiedades de los rombos, como se evidencia en la siguiente imagen.

Imagen 8. Respuestas de Cami a las actividades 19 y 20

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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Imagen 9. Construcción de Cami para actividad 19 y 20

Luego del estudio de las definiciones y propiedades de las cuatro tipologías estudiadas, los estudiantes manifestaron la comprensión de la relación entre estas con la siguiente actividad, los demás casos también lo lograron hacer correctamente.

Imagen 10. Respuesta de Manuel a la actividad 30

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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Así mismo, ellos fueron construyendo las fórmulas para hallar el área y el perímetro de los cuadriláteros estudiados a partir de unas actividades que les inculcaba la idea de contar unidades cuadradas (1𝑢2 ), para determinar el área de las tipologías de cuadriláteros estudiados y en general de cualquier polígono. TABLA CON RESUMEN DE LOS DATOS OBTENIDOS DE LA GUÍA DE ENSEÑANZA SOBRE CUADRILÁTEROS PARA LOS CUATRO CASOS DEL ESTUDIO Tabla 5. Resultados y conclusiones de la guía de enseñanza Estudiante 1 Cami Define correctamente lo que es un cuadrilátero y los distintos tipos de cuadriláteros. Conoce las propiedades de sus lados y ángulos. Hace el uso correcto Propiedade de s de los cuantificadores cuadrilátero para enunciar s propiedades de los cuadriláteros. Construye con ayuda del GeoGebra cualquier tipo de cuadrilátero dada su definición o propiedades Categorías

Estudiante 2 Martha Conoce las definiciones de las distintas tipologías de cuadriláteros y enuncia sus propiedades. Dadas ciertas propiedades identifica el tipo de cuadrilátero al que corresponden . Construye las distintas tipologías con ayuda del GeoGebra y logra verificar que cumplan las propiedades

Estudiante 3 Manuel Define cada tipo de cuadrilátero y lo relaciona con las propiedades de sus lados y ángulos. Construye las distintas tipologías de cuadriláteros con ayuda del GeoGebra y constata que cumpla sus propiedades

Estudiante 4 Pedro Define correctamen te las distintas tipologías de cuadrilátero s y enuncia sus propiedades haciendo el uso de cuantificado res. Construye cuadrilátero s con ayuda del GeoGebra a partir del nombre del cuadrilátero o de algunas propiedades dadas

Conclusión Como puede constatarse en las respuestas, los cuatro casos pueden definir correctamen te cada uno de los cuatro cuadrilátero s, son capaces de diferenciarl os entre sí, y de otros tipos de polígonos en general. También se verifica que los estudiantes pueden usar

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

Conceptos asociados:

Conoce fórmula

el GeoGebra para construir cuadrilátero s dados sus nombres, y de allí diferencia en ellos sus partes, formas, propiedades . En el proceso contrario al anterior, los custro casos pueden tomar las propiedades enunciadas y construir los cuadrilátero s asociados con ellas. En cuanto al manejo y progreso en el lenguaje, aquí se evidencia la utilización de cuantificado res en la identificació n y caracterizaci ón de cuadrilátero s. la Conoce qué Conoce las Conoce las En esta del es el área de definiciones definiciones parte se

72

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE área y perímetro

área de un rectángulo y determina las fórmulas de los demás cuadriláteros al convertirlos en rectángulos con igual área. Define correctamente perímetro de un polígono, halla el perímetro de cuadriláteros con sus lados conocidos y determina expresiones generales para los distintos tipos de cuadriláteros

un polígono, las fórmulas para hallar el área de los cuadriláteros y halla el área de cuadriláteros. Define correctament e el perímetro de un polígono y halla perímetros de cuadriláteros de lados conocidos y halla las fórmulas del perímetro para cada tipo de cuadrilátero.

de área y perímetro de un polígono. Halla áreas y perímetros de cuadriláteros. Halla la fórmula del área de rectángulos y la de las demás tipologías convirtiéndol os en rectángulos sin modificar su área

de área y perímetro de un polígono. Halla áreas y perímetros de cuadrilátero s. Halla la fórmula del área de rectángulos y la de las demás tipologías convirtiénd olos en rectángulos sin modificar su área. Halla expresiones generales para el perímetro de los distintos cuadrilátero s

visualiza que los estudiantes han podido superar sus dificultades en la determinaci ón de áreas y perímetros, encuentran dichos valores cuando se les dan datos numéricos para ello, y además se acercan correctamen te a la determinaci ón de expresiones generales para áreas y perímetros de rectángulos, rombos, trapecios y paralelogra mos. En el nivel de análisis, los estudiantes son capaces de utilizar las propiedades y característic as propias

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CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

Manejo de lenguaje técnico

Usa el lenguaje técnico al momento de dar las definiciones formales de los distintos cuadriláteros y de mencionar las propiedades de estos. Usa correctamente los conceptos de congruencia, paralelismo, perpendiculari dad, perímetro, área.

Al momento de dar las definiciones y propiedades de los distintos cuadriláteros usa el lenguaje técnico. Conoce y usa los conceptos de congruencia, paralelismo, área, perímetro, ángulo recto, lados consecutivos, ángulos suplementari

Da las definiciones y propiedades de los distintos tipos de cuadriláteros usan los conceptos correctos y técnicos: lados, vértices, paralelos, perpendicular es, congruentes, rectos, consecutivos.

Se expresa de manera formal a la hora de definir cada una de las tipologías estudiadas. Maneja un vocabulario técnico al enunciar los elementos que conforman los polígonos y las propiedades de los cuadrilátero s.

de los cuatro cuadrilátero s para concebir el paso de los otros tres cuadrilátero s a rectángulos, utilizando correctamen te el GeoGebra para construir rectángulos de igual área que paralelogra mos, rombos y trapecios dados. Al trabajar en forma combinada con los aportes de información dados en la Guía de Enseñanza y la interacción que logaron establecer con el uso del GeoGebra, a los estudiantes de los cuatro casos se les facilitó el

74

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE os

Relación entre los distintos cuadrilátero s según sus

Maneja las relaciones de las distintas tipologías de cuadriláteros

paso del lenguaje cotidiano e intuitivo al caracterizar los cuadrilátero s, siendo capaces de utilizar correctamen te nombres técnicos asociados a ellos como: área. Perímetro, paralelos, perpendicul ares, ángulos rectos, consecutivo s, agudos, complement arios y suplementar ios entre otros. El paso de usar lenguaje cotidiano e intuitivo, a usar lenguaje técnico es una buena evidencia de comprensió n. Ubica un Comprende Entiende de Los cuatro mismo la relación manera estudiantes cuadrilátero inclusiva que correcta que logran en varias hay entre las las avances tipologías de definiciones definiciones notables en

75

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE propiedades según sus definiciones inclusivas y sus propiedades.

acuerdo a sus definiciones y propiedades. Conoce la relación de contención entre las distintas tipologías

de los distintos tipos de cuadriláteros y las propiedades que se desprenden de estas definiciones.

son inclusivas y así ubica un cuadrilátero en varias tipologías de acuerdo a sus propiedades . Usa esta relación para determinar el área o perímetro de una tipología a partir de otra

el análisis de las propiedades de los cuadrilátero s que primero identificaro n y constataron en forma visual, al final son capaces de abandonar la figura para hablar de cada cuadrilátero, las característic as que los hacen comunes, aquellas que diferencian e individualiz a a cada uno, y conciben la posibilidad de transformar un cuadrilátero en otros de ellos cuando se dan las condiciones adecuadas. Una vez construyen un cuadrilátero a partir de

76

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

77

otro con característic as similares en cuánto a su área, los cuatro casos pueden establecer cuando se conservan o cambian áreas, perímetros, relaciones entre los ángulos y los lados, entre otras. Al hacer un recorrido por los datos obtenidos en cada caso con las respuestas a la aplicación de la Guía de Enseñanza, puede evidenciarse que la comprensión de los cuatro casos frente a los cuatro cuadriláteros elegidos, progresó de manera positiva y notable. Cada estudiante muestra nuevamente su manejo de las definiciones y características de los cuadriláteros, los identifica de entre un grupo de ellos, los clasifica de acuerdo con propiedades dadas, los diferencia tomando como base otras propiedades y los construye usando el GeoGebra. Todas las anteriores son evidencias de comprensión en el nivel cero, predescriptivo, y de superación de éste avanzando al nivel uno. Los estudiantes pueden luego analizar y constatar las características y propiedades de cada uno de los cuatro cuadriláteros del estudio ayudados por el software GeoGebra, y por herramientas propias de la clase magistral como papel, regla, transportador y tijeras, posteriormente toman dichas propiedades y características y pueden hacer clasificaciones con ellas, establecer semejanzas y diferencias entre las mismas y entre las figuras; finalmente puede utilizar propiedades para construir el cuadrilátero que le corresponde. Todas las acciones

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

78

anteriores son propias de los descriptores del nivel uno de reconocimiento visual, y muestran acciones de análisis que les permite comprender en siguiente nivel. Finalmente, los cuatro casos lograron profundizar en acciones propias de los descriptores del nivel dos de Análisis, pues pueden tomar propiedades de los cuadriláteros y usarlas para establecer clasificaciones diversas, señalar semejanzas y diferencias, utilizar lenguaje técnico para referirse a elementos, propiedades y conceptos, y además pueden construir cuadriláteros a partir de otros con la misma área, constatando la utilidad aquí del axioma de la suma de áreas en la geometría Euclidiana. Los estudiantes de los cuatro casos logran entonces avanzar y comprender en los tres niveles propuestos de acuerdo con el modelo de Van Hiele, y muestran rasgos de comprensión que señalan su progreso en los descriptores de ellos, de acuerdo con lo que se proponía el presente trabajo. 5.4 Entrevista

(Anexo 3) Para poder validar el aprendizaje y el nivel de razonamiento de los cuatro casos después de la desarrollo de la guía, se les aplicó una entrevista semiestructurada teniendo en cuenta los descriptores de nivel diseñados para el estudio de los cuadriláteros, sus propiedades y relaciones.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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Imagen 11. Aplicación de la entrevista

La entrevista ratificó que hubo comprensión del objeto matemático de estudio, conocimiento de sus propiedades y adquisición de un lenguaje técnico correcto por parte de los casos, lo que permitió ubicar a los cuatro casos en el nivel II de razonamiento de acuerdo a los descriptores de nivel propuestos para esta intervención. Veamos, a modo de ejemplo, cómo mejoró el razonamiento el caso Cami.

Imagen 12. Definición de paralelogramo del caso Cami en la prueba diagnóstica

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

80

Imagen 13. Definición de paralelogramo del caso Cami en la guía de enseñanza

En la siguiente rejilla, que contiene las mismas categorías de la rejilla de la guía de enseñanza, se muestran los resultados obtenidos en la aplicación de la entrevista y las respectivas conclusiones para cada uno de los cuatro casos. TABLA CON RESUMEN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS DE LA APLICACIÓN DE LA ENTREVISTA SOBRE CUADRILÁTEROS PARA LOS CUATRO CASOS DEL ESTUDIO Tabla 6. Resultados y conclusiones de la entrevista Categorías Estudiante 1 Estudiante 2 Cami Martha Define Define correctamente lo correctamente lo que es un que es un cuadrilátero en cuadrilátero, términos de los pero al momento elementos que lo de definir las conforman. distintas Comprendió tipologías y Propiedade plenamente lo que enunciar sus s de los es la definición de propiedades cuadrilátero las cuatro muestra menos s tipologías y cuáles madurez, en el son propiedades uso de los que se desprenden cuantificadores de dicha debe detenerse definición. Tiene con frecuencia a claro que los reflexionar distintos sobre la verdad cuadriláteros de sus pueden tener asociaciones.

Estudiante 3 Manuel Define correctamente lo que es un cuadrilátero en términos de los elementos que lo conforman, y diferencia bien lo que es la definición y lo que son las propiedades que se obtienen a partir de la definición. No comete errores en el uso de cuantificadores. Tiene claro que los distintos

Estudiante 4 Pedro Define correctamente lo que es un cuadrilátero en términos de los elementos que lo conforman. Comprendió plenamente lo que es la definición de las cuatro tipologías y cuáles son propiedades que se desprenden de dicha definición. Tiene claro que los distintos cuadriláteros pueden tener

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE propiedades común.

Conceptos asociados: área y perímetro

Manejo de lenguaje técnico

Relación entre los

en Tiene claro que los distintos cuadriláteros pueden tener propiedades en común. Define Define correctamente lo correctamente lo que es el área y que es el área y perímetro de un perímetro de un polígono. Conoce polígono. y usa las fórmulas Conoce y usa las para hallar el área fórmulas para de las distintas hallar el área de tipologías. las distintas Compara áreas y tipologías. perímetros de Compara áreas y distintos perímetros de polígonos distintos correctamente. polígonos Pero cree que no correctamente. es posible Tiene claro que modificar un se puede cuadrilátero modificar un conservando el cuadrilátero mismo perímetro. conservando el mismo perímetro o área. Todas las Todas las definiciones las definiciones las enuncia usando el enuncia usando lenguaje formal. un lenguaje Usa un formal. Tiene un vocabulario vocabulario rico técnico correcto y que usa diverso para correctamente referirse a los en la elementos que caracterización conforman un de las diferentes cuadrilátero y las tipologías. propiedades que cumplen los lados y ángulos. Comprende las Al momento de relaciones que hay indicar las

cuadriláteros propiedades pueden tener común. propiedades en común.

en

Define correctamente área y perímetro de un polígono, y conoce las fórmulas para el área de las tipologías estudiadas. Compara áreas y perímetros muy bien. Modifica cuadriláteros en otros con la misma área o perímetro. Pero dice que el hecho de que tengan los mismos lados implica que tienen la misma área

Define correctamente área y perímetro de un polígono, y conoce las fórmulas para el área de las tipologías estudiadas. Compara áreas y perímetros muy bien. Modifica cuadriláteros en otros con la misma área o perímetro.

Todas las definiciones de las tipologías estudiadas las enuncia correctamente, pero al momento de enunciar las propiedades de éstos confunde algunos conceptos, por ejemplo, congruencia con paralelismo. Entiende las relaciones que

Todas las definiciones las enuncia usando el lenguaje formal y un vocabulario técnico correcto y diverso para referirse a los elementos que conforman un cuadrilátero y las propiedades que cumplen los lados y ángulos. Comprende correctamente las

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CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE distintos cuadrilátero s según sus propiedades

entre las distintas tipologías a partir de sus definiciones, aunque cometió un error al decir que un rombo no puede ser rectángulo, también, al decir que al modificar uno en otro se le modifica obligatoriamente el perímetro. Convierte un cuadrilátero en otro con el uso de tijeras y pegante.

relaciones que hay entre las distintas tipologías no comete errores con los cuantificadores, entiende que por ejemplo, algunos rectángulos son rombos, pero luego concluye erróneamente que un rombo no puede ser rectángulo. Sabe convertir una tipología en otra con el uso de tijeras y pegante.

hay entre las distintas tipologías, pero tiene algunas dificultades para utilizar los cuantificadores y decidir cuando siguen siendo válidos al cambiar o pasar de un cuadrilátero a otro. Logra recortar un cuadrilátero y convertirlo en otra tipología conservando la misma área.

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relaciones que hay entre las distintas tipologías. Al momento de explicar las relaciones que hay entre los distintos cuadriláteros usa acertadamente los cuantificadores. Logra modificar con tijeras un cuadrilátero hasta convertirlo en otro y explica las nuevas propiedades.

Análisis Cami En este caso, el estudiante Identifica claramente los cuadriláteros de entre un grupo de rectángulos, los clasifica e identifica en objetos del entorno, determina los elementos característicos de rombos, rectángulos, trapecios y paralelogramos; puede construirlos con la ayuda del GeoGebra y establece semejanzas y diferencias entre ellos. Al superar eficientemente el nivel cero y uno del modelo de Van Hiele, vemos que puede realizar asociaciones entre propiedades de los cuadriláteros para identificar las que son comunes a todos y las que los diferencian y además logra utilizar lenguaje técnico en dicha identificación y asociación; pero el proceso de conservar el área de la figura cambiando la forma le trae dificultades para concebir que puede conservarse el perímetro, o que hay necesariamente pérdida de algunas de las relaciones de paralelismo y perpendicularidad.

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Este estudiante ha superado los descriptores para el nivel dos gracias a su trabajo en la Guía de Aprendizaje y a las preguntas que problematizan sus conocimientos y comprensión, dadas en la entrevista, pero es notable que aún necesita tiempo y más interacción con el programa y los conceptos para madurar procesos más complejos y no evidentes en la visualización como es el caso de los que el Modelo de Van Hiele señala en los niveles posteriores al segundo. Análisis Caso Martha Esta estudiante tiene ahora un buen manejo de la conceptualización propia de los cuadriláteros, los clasifica, diferencia, busca sus elementos y determina para cada uno propiedades como el área y el perímetro; además puede utilizar el software para construir los cuadriláteros e interactuar con ellos. Todos los descriptores del nivel de Reconocimiento Visual son superados correctamente por Martha, quien puede reconocer el cuadrilátero, si se le aportan sus propiedades y características, establece semejanzas y diferencias entre cuadriláteros y usa cuantificadores para relacionarlos. En el caso del nivel de Análisis logra establecer relaciones entre propiedades de los cuadriláteros, utiliza lenguaje técnico en la caracterización y clasificación; se nota que debe tener más tiempo de práctica en la utilización de cuantificadores para evitar las dudas al momento de utilizarlos cuando trata de relacionar entre sí las figuras. Análisis Caso Manuel En el caso de Manuel, existe un buen manejo de la parte visual y los procesos de conocimiento que allí se involucran, él puede construir, diferenciar, clasificar y determinar propiedades comunes y diferencias entre sí para los cuatro cuadriláteros del estudio.

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En el caso de los cuantificadores tiene buena utilización de ellos en la definición y caracterización de los mismos, pero conserva algunas dificultades para determinar analíticamente si ellos siguen siendo correctos cuando para de un cuadrilátero a otro. Enuncia y aplica correctamente las propiedades y teoremas asociadas con cada cuadrilátero, pero aún muestra la necesidad de mayor interacción con las figuras y el programa a la hora de pasar de un cuadrilátero a otro y determinar si se conservan o no perímetros y áreas entre otros. Análisis Caso Pedro El estudiante de este caso puede diferenciar y clasificar correctamente los cuadriláteros de un grupo de polígonos, y alcanza a identificar y determinar propiedades y elementos constitutivos de rectángulos, paralelogramos, rombos y trapecios. En los procesos asociados con el nivel uno reconoce los cuatro cuadriláteros estableciendo claramente las propiedades y elementos constitutivos de los mismos, puede reconocer las semejanzas y diferencias entre ellos y construirlos correctamente con papel, regla y lápiz, a la vez que puede hacerlo también con la ayuda del GeoGebra. En los descriptores del nivel dos, el estudiante establece con claridad elementos y relaciones entre las partes de los cuadriláteros, define propiedades comunes y diferencias entre los mismos correctamente, establece las expresiones matemáticas asociadas con áreas y perímetros de los mismos, a la vez que puede construir cuadrilátero a partir de uno de ellos dado con la ayuda de sus partes y propiedades. Este caso utiliza un lenguaje técnico apropiado y diverso para clasificar y asociar los cuadriláteros entre sí y puede usar con solvencia los cuantificadores para definir, clasificar, caracterizar y relacionar entre sí los diferentes cuadriláteros.

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5.5 Observación

Cami Durante la prueba diagnóstica se notó muy seguro y no hizo preguntas de la interpretación de las actividades a pesar de que muchas las contestó incorrectamente o no las contestó, y no usaba un lenguaje técnico para las definiciones, pero mostró buen discurso en sus respuestas. Siempre se notó dispuesto e interesado en hacer parte de este trabajo. De igual forma, durante la aplicación de la guía de enseñanza se notó muy cómodo y participaba durante las orientaciones por parte de nosotros los docentes. En el momento de la inducción al manejo del GeoGebra aumentó su motivación y rápidamente entendía, ponía en práctica lo que se le enseñaba y compartía eso con sus compañeros, cuando veía la necesidad preguntaba. En ocasiones mostró exceso de confianza y por eso no seguía las indicaciones correctas, aun así, siempre se mostró muy receptivo y dispuesto. Durante la aplicación de la entrevista ratificó su buen desempeño y confianza, sus respuestas eran muy acertadas y tuvo muy pocos errores. Manifestó la satisfacción que le generó lo aprendido durante toda la intervención, tanto de cuadriláteros como del uso del GeoGebra. Martha En el momento que se le indicó que presentaría la prueba diagnóstica se mostró motivada, durante la aplicación se notó nerviosa y hacía preguntas. Duró bastante en terminarla pero dio algunas respuestas acertadas aunque no fueron muchas y usaba un lenguaje coloquial cuando intentaba dar algunas definiciones o trataba de enunciar propiedades, esto dio indicios de todas las falencias que tenía respecto al concepto de cuadriláteros y sus propiedades, y la pertinencia de esta intervención.

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Cuando se dio la inducción al uso del GeoGebra su interés aumentó notoriamente y ella misma proponía actividades con el GeoGebra y descubría el uso de algunas herramientas, eso fue algo que facilitó mucho su rápido aprendizaje. Así mismo, durante la aplicación de la guía se vio muy interesada y hacía muchas preguntas, ocasiones eso la mostraba insegura pero igual corregía rápido sus errores con las orientaciones por parte de los docentes. Finalmente, durante la entrevista evidenció que sí había podido ubicarse en el nivel II de razonamiento porque respondía correctamente de acuerdo a los descriptores de nivel, pero aun así quedaron algunos detalles pequeños por mejorar, los cuales con actividades sencillas se sanarían. Manuel En la aplicación de la prueba diagnóstica inicialmente mostró que tenía algunos conceptos previos, correspondientes al nivel I de razonamiento del modelo de van Hiele de acuerdo a los descriptores elaborados para este nivel, pero luego al verse inseguro las dejaba sin contestar. Aun así, después de terminada prueba hacía preguntas al respecto, precisamente esa curiosidad fue un factor que hizo que se tuviera en cuenta en las etapas siguientes de la intervención. El uso del GeoGebra lo motivó considerablemente, pero presentaba dificultades al momento de aprender el uso básico necesario para el desarrollo de la guía de enseñanza, fue lento en este aspecto pero logró aprender. En la aplicación de la guía de enseñanza presentó muchos errores en la interpretación de las actividades, pero con una simple orientación corregía esto, el interés estuvo siempre presente. Luego, durante el desarrollo de la entrevista evidenció el manejo correcto de las definiciones, propiedades y relaciones de las distintas tipologías, todo esto acompañado del uso

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de un lenguaje técnico, presentó pequeñas dificultades que se pueden mejorar fácilmente pero que no impiden que se ubique en el nivel II de razonamiento. Pedro Solo hizo dos preguntas durante la aplicación de la prueba diagnóstica, se mostró muy seguro de sí mismo y evidenció que tenía muchos conocimiento previos, al menos en cuanto las definiciones de las distintas tipologías, pero eran muy pocas las palabras técnicas que usaba. Fue el primero en terminar la prueba y el que más aciertos tuvo, aun así, se ubicó en el nivel I de razonamiento de acuerdo a los descriptores de nivel. Entendió muy rápido el uso de las herramientas del GeoGebra, sin necesidad de repetirle explicaciones cumplía con las actividades que le eran propuestas. En el desarrollo de la guía mostró seguridad y certeza, cuando era necesario compartía con sus compañeros las explicaciones de algunas actividades. De igual forma que en la aplicación de la prueba diagnóstica y de la guía, Pedro fue el que se mostró más seguro y se ubicó sin lugar a ninguna duda en el nivel II de razonamiento, sus respuestas eran rápidas y correctas. 5.6 Triangulación de la Información

Puede evidenciarse en los datos y la información obtenida tanto en la Prueba diagnóstica, como al hacer la intervención, que la aplicación de la Guía de Aprendizaje y el uso del programa GeoGebra, potencian mucho la comprensión de conceptos matemáticos por parte los estudiantes; las dificultades de manejo y comprensión de conceptos, evidenciadas en la prueba inicial, pudieron corregirse gracias al trabajo arduo y paciente de cada uno.

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Desde el principio se notó que los casos Cami y Pedro, eran los que mayor nivel de comprensión frente a los cuadriláteros mostraban, por eso es evidente su progreso frente a la aplicación de la Guía de Enseñanza y el uso del programa que les permitió interactuar con los cuadriláteros y corroborar o constatar propiedades y resultados obtenidos. En los casos Martha y Manuel, había inicialmente bastantes falencias conceptuales, a la vez que en la utilización del lenguaje formal frente a los cuadriláteros; gracias a la intervención se constata que ellos pudieron superar con mucha eficiencia los descriptores de los niveles cero y uno, en cuanto a los del nivel dos, tuvieron más dificultades para crear la seguridad necesaria en el uso de los cuantificadores y concebir la posibilidad de construir un cuadrilátero con otro ya dado. Estos dos casos, superaron también el nivel dos, pero se les nota la necesidad de tener más tiempo de práctica y trabajo con el programa y la Guía para alcanzar la seguridad y espontaneidad que ya los otros dos casos experimentan. Pudo también corroborarse que la utilización de entornos visuales, más dinámicos que la tradicional clase magistral, favorece mucho los tiempos en que los estudiantes superan dificultades y mantiene su motivación mucho más tiempo cuando se pretende que sus niveles de comprensión mejoren. La construcción y utilización de guías de aprendizaje es efectiva también para mejorar la comprensión de conceptos, en especial si éstas tienen fuertes contenidos visuales que apoyen los aportes de información propios de la clase de Geometría o Matemáticas.

5.7 Conclusiones

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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Inicialmente los estudiantes mostraron falencias en los conceptos básicos de la geometría y de los cuadriláteros. Con el desarrollo de la guía de enseñanza propuesta se ha logrado que los estudiantes comprendan el concepto de cuadrilátero, identifiquen sus elementos, reconozcan las propiedades y las relaciones de las distintas tipologías, adquirieran habilidades y destrezas en los procesos de construcción con el GeoGebra y desarrollaran habilidades para la generalización a partir de la visualización. Finalmente podemos concluir que:

1. La enseñanza de la geometría desde el modelo de van Hiele permite que el estudiante sea protagonista en la construcción de su conocimiento, debido a la participación activa en el proceso de enseñanza–aprendizaje, también, permite al docente conocer cómo evolucionan sus estudiantes en sus razonamientos. 2. Enmarcar la guía didáctica en las fases de aprendizaje del modelo de van Hiele a la luz de la teoría constructivista, permitió la adquisición de conocimientos conceptuales y procedimentales en el área de Geometría. 3. El programa GeoGebra, como herramienta metodológica favoreció el proceso de enseñanza–aprendizaje del concepto cuadrilátero, sus propiedades y relaciones, por su fácil manipulación permitió a los estudiantes realizar construcciones de manera precisa por medio de acciones sencillas. Además, contribuyó a la construcción de generalizaciones de las propiedades de las distintas tipologías. 4. Las actividades de la guía de enseñanza contribuyeron a un aprendizaje significativo por cuanto la participación por parte de los estudiantes fue activa; y aunque sus inferencias no las expresan con un lenguaje riguroso, dan

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muestras claras de que comprendían lo que estaban afirmando, esto se evidenció con el uso adecuado del lenguaje, que fue propio para cada nivel hasta ubicarse en el nivel II. 5. La implementación de esta guía le permite al profesor pasar de ser un trasmisor de conocimientos a estudiantes pasivos, a ser un orientador del aprendizaje en estudiantes activos. 6. La motivación que los estudiantes manifestaron por el uso del software GeoGebra para el aprendizaje del concepto de cuadriláteros, sus propiedades y relaciones, facilitó el desarrollo de la guía. 7. Con la aplicación de la propuesta se atenúan las dificultades en la enseñanza– aprendizaje de los cuadriláteros, debido al dinamismo que ofrece el GeoGebra, las facilidades para la construcción de elementos geométricos y la visualización de los problemas planteados. 8. La implementación de la propuesta mejora los procesos de razonamiento geométrico de los estudiantes participantes. Esto se hizo evidente con el dominio que mostraron en los procesos de visualización, donde identifican, describen y crean diferentes clases de cuadriláteros. Se suma a estas conclusiones el hecho de que elementos como: la elección de un marco teórico apropiado, la definición de una estructura clara para el diseño de una guía de enseñanza, la selección de unos recursos metodológicos pertinentes para el trabajo, permitieron dar respuesta a la pregunta de investigación, donde se indagaba acerca de ¿Cómo mejorar la comprensión del concepto de cuadrilátero, su clasificación y propiedades con ayuda del

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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GeoGebra para que los estudiantes del grado séptimo de la IELC se puedan ubicar en el nivel II de razonamiento en el modelo de van Hiele?

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LISTA DE REFERENCIAS

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MEN. (1998). Estándares básicos de competencias en matemáticas. Bogotá. MEN. (2006). Estándares Básicos de Competencias en Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadana. Bogotá: Cooperativa Editorial Magisterio. Micelli, M., & Crespo, C. (2014). ¿Existe más de una clasificación de cuadriláteros? ¿Por qué? Morales, C., & Majé, R. (2011). http://www.elitv.org. Obtenido de http://www.elitv.org/documentos/tesis/Tesis%20de%20Maestria%20Cesar%20y %20Ramon.pdf Riveros, V., & Mendoza, M. (2005). Bases Teóricas para el uso de las TIC en Educación. Encuentro Educacional, 315-336. Sordo, J. M. (2005). Estudio de una Estratégia Didáctica Basada en las Nuevas Tecnologías para la Enseñanza de la Geometría. Madrid: Universidad Complutense. Stake, R. (1998). Investigación con estudio de casos. Madrid: Morata S.L. Zambrano, M. (2005). Los niveles de razonamiento geométrico y la apercepción del método de fases de aprendizaje del modelo de van Hiele en estudiantes de educación integral de la UNEG.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE ANEXOS Anexo 1: Prueba Diagnóstica PRUEBA DIAGNÓSTICA 1. Del siguiente conjunto de figuras encierra las que son polígonos y de estas colorea las que sean cuadriláteros.

2. Mencione el nombre de los polígonos que conoce. Defina polígono con sus propias palabras

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CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

3. Colorea de un mismo color los cuadriláteros que tienen similitudes (De forma y no de tamaño).

4. Indique, para cada color, que similitud fue la que tuvo en cuenta para encerrarlos.

5. Diga, al menos cuatro elementos, objetos o figuras de su entorno (colegio, casa, barrio, etc.), que tengan forma de cuadriláteros.

6. ¿Qué elementos se pueden identificar en un cuadrilátero?

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CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

7. Mencione todos los cuadriláteros diferentes que conoce.

8. ¿Qué caracteriza a los paralelogramos? Defina paralelogramo con sus propias palabras

9. ¿Qué caracteriza a los rectángulos? Defina rectángulo con sus propias palabras

10. ¿Qué caracteriza a los rombos? Defina rombo con sus propias palabras

11. ¿Qué caracteriza a los trapecios? Defina trapecio con sus propias palabras

12. ¿Qué nombre recibe un cuadrilátero que tiene todos sus ángulos rectos?

13. ¿Cómo se llaman los cuadriláteros que tienen dos pares de lados paralelos?

96

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

97

14. ¿Cuánto suman los cuatro ángulos interiores de todo cuadrilátero?

15. ¿Todos los rectángulos son paralelogramos?

16. ¿Puede un rombo ser rectángulo? ¿Por qué?

17. Dado un cuadrilátero con los lados opuestos paralelos, ¿qué más se puede decir de estos

pares de lados?

18. ¿Qué propiedad cumplen los ángulos opuestos en un rombo?

19. ¿Qué tipo de cuadrilátero es aquel en el que los ángulos adyacentes son suplementarios?

20. ¿Qué propiedades cumplen los lados opuestos en un paralelogramo?

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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21. Define con tus palabras área de un polígono

22. Define con tus palabras perímetro de un polígono

23. ¿Existe alguna diferencia entre área y perímetro de un polígono?

24. ¿Con qué fórmulas calcularías las áreas del rombo, trapecio, paralelogramo y rectángulo?

25. ¿Qué similitud existe entre las superficies del rombo, rectángulo, paralelogramo y polígono? ¿Podría pasarse de una a otra cortando y pegando sus partes, sin modificar su área?

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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Anexo 2: Guía de Enseñanza GUÍA DE ENSEÑANZA TENGA EN CUENTA QUE: Los elementos que conforman un polígono son los lados, vértices y ángulos.

1. Teniendo en cuenta las figuras anteriores, defina con sus propias palabras lo que es un cuadrilátero. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

2. Construya con ayuda del GeoGebra cuatro cuadriláteros de diferente forma sin importar el tamaño.

LOGRADO (

)

NO LOGRADO (

)

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

100

3. Relaciona mediante líneas cada cuadrilátero de la columna izquierda con uno de la columna derecha de acuerdo a las similitudes de sus formas.

4. Construye con ayuda del GeoGebra y la herramienta “Polígono” similar a cada uno de los cuadriláteros de la columna izquierda. LOGRADO (

)

NO LOGRADO (

).

, un cuadrilátero

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

101

TENGA EN CUENTA QUE: Los vértices se nombran con letras mayúsculas del alfabeto latino (A, B, C,...), los lados con letras minúsculas (a, b, c,...), y los ángulos con el nombre del vértice precedido del símbolo ∡ (∡𝐴, ∡𝐵, ∡𝐶,…), o con letras del alfabeto latino (𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜃,…).

5. Construye en GeoGebra con ayuda de la herramienta

, dos cuadriláteros e indica el

nombre de los elementos que conforman a estos dos cuadriláteros. CUADRILÁTERO 1 Vértices: Lados: Ángulos:

_____________________ _____________________ _____________________

CUADRILÁTERO 2 ________________________ ________________________ ________________________

TENGA EN CUENTA QUE: Cuando dos segmentos o ángulos tienen la misma medida se dice que son congruentes ( ≅ ). Si dos segmentos o rectas tienen la misma pendiente (inclinación), se dice que son paralelos ( ∥ ). Si dos segmentos o rectas al intersecarse forman un ángulo recto se dice que son perpendiculares ( ⊥ ).

6. Indica si es verdadero (V) o falso (F) lo que se dice a continuación basándose en el cuadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷. ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ∥ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷

(

)

̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐴𝐷

(

)

̅̅̅̅ ≅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷

(

)

̅̅̅̅ ⊥ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ 𝐴𝐷

(

)

̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷

(

)

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

102

OBSERVA QUE:

̅̅̅̅, ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ , 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ ∥ 𝐼𝐽 ̅ , 𝐺𝐻 ̅̅̅̅ ⊥ 𝐸𝐹 ̅̅̅̅ , ̅̅̅̅ ̅̅̅̅. En esta figura, ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 ∥ 𝐺𝐻 𝐴𝐵 ⊥ 𝐸𝐹 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷

TENGA EN CUENTA QUE: Los distintos tipos de cuadriláteros de acuerdo a las propiedades que tienen sus lados y ángulos son: paralelogramo, rectángulo, rombo y trapecio.

7. Defina, para usted qué es un paralelogramo y diga cuáles son sus propiedades. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 8. Abra el archivo paralelogramos.ggb y a cada paralelogramo medirle los lados y segmentos con las herramientas “Ángulo” herramienta

y “Medida o Longitud”

; con la

verificar qué lados son paralelos. Indique todas las propiedades de lados

y ángulos que son generales en todos los paralelogramos de la figura. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ TENGA EN CUENTA QUE: Los paralelogramos se definen como cuadriláteros que tienen sus dos pares de lados opuestos paralelos

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

103

9. Dos ángulos son suplementarios si suman 𝟏𝟖𝟎°. ¿Los paralelogramos tienen ángulos suplementarios? Si la respuesta es sí, ¿son los consecutivos o los opuestos? ________________________________________________________________________

10. ¿Cuánto suman los cuatro ángulos de los paralelogramos? ________________________________________________________________________ 11. Indique del paralelogramo 𝐴𝐵𝐶𝐷 los lados que son paralelos o perpendiculares, y congruentes; y los ángulos que son congruentes o suplementarios. Asigna el mismo nombre a los ángulos congruentes.

_____________

_____________

_____________

_____________

_____________

_____________

_____________

_____________

12. Defina, para usted qué es un rectángulo e indique cuáles son sus propiedades. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

13. Abra el archivo rectángulos.ggb y a cada rectángulo medirle los lados y segmentos con las herramientas “Ángulo” herramienta “Paralela” “perpendicular”

y “Medida o Longitud”

respectivamente; con la

determine si hay lados paralelos y con la herramienta

verifique si los lados consecutivos son o no perpendiculares.

Indique que propiedades de los lados y ángulos observó que son comunes en todos rectángulos.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

TENGA EN CUENTA QUE: Los rectángulos son cuadriláteros con todos sus ángulos rectos.

14. Indique todas las propiedades que cumplen los rectángulos. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

15. ¿Los rectángulos tienen ángulos suplementarios? Si la respuesta es afirmativa, ¿Cuáles? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

16. Diga cuánto suman los cuatro ángulos interiores de los rectángulos ________________________________________________________________________

17. Defina qué es un rombo e indique las propiedades que cumple ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

18. De los siguientes cuadriláteros señale los que sean rombos.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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19. Abra el archivo rombos.ggb y a cada rombo medirle los lados y segmentos con las herramientas “Ángulo” herramienta “Paralela”

y “Medida o Longitud”

respectivamente; con la

verificar si los lados opuestos son o no paralelos y con la

herramienta “perpendicular”

verifique si los lados consecutivos son o no

perpendiculares. Indique las conclusiones generales de las propiedades de rombos. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

20. Defina qué es un rombo y diga cuáles son sus propiedades ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 21. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un rombo? ________________________________________________________________________

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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22. Dibuje en el GeoGebra dos trapecios que tengas diferencias de forma y no de tamaño. LOGRADO (

)

NO LOGRADO

(

)

23. Observe las siguientes figuras y señale las que sean trapecios

¿Qué tuvo en cuenta para seleccionarla o seleccionarlas? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ TENGA EN CUENTA QUE: Los trapecios son cuadriláteros que tienen al menos un par de lados paralelos.

24. ¿Cambia o no la selección de figuras en el ejercicio anterior teniendo en cuenta la definición que se le acabó de dar? Si la respuesta es positiva, indique cuáles son entonces los trapecios de esas seis figuras

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

107

______________________________________________________________________ 25. Relacione con una (X) las propiedades que se deben, pueden o no puedan cumplir los paralelogramos. PARALELOGRAMOS

PROPIEDADES

Debe cumplir

Puede cumplir

No puede cumplir

Un solo par de lados paralelos Dos

pares

de

lados

opuestos

paralelos Un solo par de ángulos congruentes

Los cuatro ángulos congruentes

Dos pares de ángulos opuestos congruentes Dos

ángulos

consecutivos

suplementarios Cuatro ángulos rectos

Cuatro lados congruentes

Dos

pares

de

lados

opuestos

congruentes Lados

consecutivos

perpendiculares

26. Relacione con una (X) las propiedades que se deben, pueden o no puedan cumplir los rectángulos. PROPIEDADES

RECTÁNGULOS Debe cumplir

Puede cumplir

No puede cumplir

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE Un solo par de lados paralelos Dos

pares

de

lados

opuestos

paralelos Un solo par de ángulos congruentes

Los cuatro ángulos congruentes

Dos pares de ángulos opuestos congruentes Dos

ángulos

consecutivos

suplementarios Cuatro ángulos rectos

Cuatro lados congruentes

Dos

pares

de

lados

opuestos

congruentes Lados

consecutivos

perpendiculares

27. Relacione con una (X) las propiedades que se deben, pueden o no puedan cumplir los rombos. ROMBOS

PROPIEDADES

Debe cumplir

Un solo par de lados paralelos Dos

pares

paralelos

de

lados

opuestos

Puede cumplir

No puede cumplir

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CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE Un solo par de ángulos congruentes

Los cuatro ángulos congruentes

Dos pares de ángulos opuestos congruentes Dos

ángulos

consecutivos

suplementarios Cuatro ángulos rectos

Cuatro lados congruentes

Dos

pares

de

lados

opuestos

congruentes Lados

consecutivos

perpendiculares

28. Relacione con una (X) las propiedades que se deben, pueden o no puedan cumplir los rombos. TRAPECIOS

PROPIEDADES

Debe cumplir

Un solo par de lados paralelos Dos

pares

de

lados

opuestos

paralelos Un solo par de ángulos congruentes

Los cuatro ángulos congruentes

Dos pares de ángulos opuestos

Puede cumplir

No puede cumplir

109

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

110

congruentes Dos

ángulos

consecutivos

suplementarios Cuatro ángulos rectos

Cuatro lados congruentes

Dos

pares

de

lados

opuestos

congruentes Lados

consecutivos

perpendiculares

29. Responda verdadero (V) o falso (F) para cada una de las siguientes afirmaciones a) Todo rectángulo es rombo

(

)

b) Todo paralelogramo es rectángulo

(

)

c) Todo rectángulo es paralelogramo

(

)

d) Todo paralelogramo es trapecio

(

)

e) Existen trapecios que son rectángulos

(

)

f) Ningún rombo es paralelogramo

(

)

g) Algunos rombos son rectángulos

(

)

h) Todos los cuadriláteros son rectángulos (

)

i) Todos los rombos son trapecios

(

)

j) Todos los rectángulos son trapecios

(

)

k) Todo rombo es paralelogramo

(

)

TENGA EN CUENTA QUE: Los cuadriláteros que son rectángulos y rombos a la vez se llaman CUADRADOS.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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30. Coloca en cada región del diagrama de Venn la palabra que corresponda, sin olvidarse del conjunto universal, para que se indiquen las relaciones que hay entre los distintos tipos de cuadriláteros. CUADRILÁTEROS

RECTÁNGULOS

TRAPECIOS

ROMBOS

PARALELOGRAMOS

CUADRADOS

31. Diga cuántos círculos hay en la primera figura y cuántos cuadros dentro del rectángulo de la segundad figura.

_______________________

___________________

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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32. ¿Usó algún procedimiento para contarlos rápidamente? Si la respuesta es sí, explíquelo. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

TENGA EN CUENTA QUE: El área de un polígono indica las unidades cuadradas que contiene en su interior.

33. De acuerdo a la definición anterior, diga cuál es el área de los siguiente rectángulos

________________________

__________________

34. De los siguientes rectángulos, determine entonces el área, o la expresión que la determinaría.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

_____A=________________

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___A=_________

35. ¿Sería posible convertir el siguiente paralelogramo en rectángulo recortándolo y sin modificar su área? Si la respuesta es sí, modifícalo en la cuadrícula del lado.

36. De acuerdo la figura que se obtuvo en la modificación anterior, ¿Cómo se determina el área de los siguientes paralelogramos?

_________A=__________

_____A=_________

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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37. Modifique el siguiente rombo hasta convertirlo en rectángulo sin que su área se modifique. Dibújelo en la cuadrícula del lado.

38. Considerando el rectángulo que se obtuvo en el ejercicio anterior y conociendo las medidas de las diagonales del siguiente rombo, indique cuál es la expresión que permite determinar el área de un rombo.

A= ____________

TENGA EN CUENTA QUE: El área de un trapecio se determina multiplicando el promedio de las bases por la altura.

39. Hallar el área de los siguientes trapecios

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

_________________________

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____________________________________

40. Defina qué es el perímetro de un polígono y halle el perímetro del siguiente polígono. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

41. Determine el perímetro de los siguientes polígonos

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

42. Escriba dentro de cada cuadrilátero la expresión que permite calcular su perímetro.

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Anexo 3: Entrevista Semiestructurada INTENCIONALIDAD DE LA ENTREVISTA Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en la Prueba Diagnóstica, los cuales evidencian las razones por las que los cuatro casos fueron ubicados en nivel cero, se diseñó la Guía de Aprendizaje, la cual buscaba permitirles avanzar a los siguientes niveles uno y dos. Una vez aplicada la Guía, se diseñó el siguiente guión de Entrevista Semiestructurada, el cual persigue corroborar los resultados obtenidos en la intervención anterior y saber cuál ha sido el nivel de avance de los estudiantes de acuerdo con el modelo de Van Hiele. La entrevista consta de una serie de preguntas que indagan primero por los conocimientos básicos de los estudiantes sobre los cuadriláteros seleccionados, luego se indaga por los conceptos asociados con ellos como es el caso de áreas y perímetros, habiendo pasado por propiedades de los mismos que relacionan sus ángulos, lados y diagonales entre otros. Al terminar la entrevista los estudiantes pudieron transitar por los tres niveles, y ser indagados por su progreso en cada uno de ello, constatando los descriptores seleccionados y la superación de dificultades mostradas en la prueba Diagnóstica.

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GUIÓN DE ENTREVISTA SEMIESTRUCTURADA 1. ¿Crees que todos los polígonos son cuadriláteros? , ¿Cuál es la explicación de tu respuesta?

2. Grafica con la ayuda del GeoGebra seis polígonos que sean cuadriláteros y cuatro que no lo sean

3. ¿Qué tienen en común los cuadriláteros en cuánto a sus lados y al valor y suma de sus ángulos interiores?

4. ¿Podrías encontrar en tu colegio y tu casa, objetos que sean rectángulos, rombos, paralelogramos y trapecios?

5. Dibuja los objetos del punto anterior y señala en cada uno sus lados, ángulos interiores, ángulos exteriores, vértices y diagonales.

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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6. ¿Todos los rectángulos, rombos, paralelogramos y trapecios tienen área?, ¿Cómo obtendrías dichas áreas?

7. ¿Todos los rectángulos, rombos, paralelogramos y trapecios tienen perímetro? , ¿Cómo calcularías su perímetro?

8. ¿Todos los rectángulos, rombos, paralelogramos y trapecios tienen vértices? , ¿Cómo hallarías las diagonales de cada figura de las cuatro?

9. Observa los siguientes cuadriláteros con detenimiento, ¿Crees qué es posible que todos o algunos de ellos puedan tener la misma área?

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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10. Observa los siguientes cuadriláteros con detenimiento, ¿Crees qué es posible que todos o algunos de ellos puedan tener el mismo perímetro?

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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11. ¿Podrías enunciar qué es un rectángulo y cuáles son sus características?

12. ¿Podrías enunciar qué es un rombo y cuáles son sus características?

13. ¿Podrías enunciar qué es un paralelogramo y cuáles son sus características?

14. ¿Podrías enunciar qué es un trapecio y cuáles son sus características?

15. ¿Es posible transformar un cuadrilátero en otro de los cuatro estudiados, si te aportan unas tijeras y puedes cortar y pegar los pedazos como consideres? Explica tu respuesta

16. Intenta con estos cuadriláteros que se te aportan, transformarlos en uno o en más de uno de los cuatro de nuestro estudio. (Cuadriláteros del final de la entrevista)

CUADRILÁTEROS EN EL MARCO DEL MODELO DE VAN HIELE

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17. De acuerdo con la actividad anterior responde, ¿Es posible que varios cuadriláteros diferentes tengan la misma área?

18. De acuerdo con la actividad anterior responde, ¿Es posible que un cuadrilátero transformado en otro diferente conserve el mismo perímetro que el inicial?

19. ¿Existen propiedades que sean comunes a más de un cuadrilátero?

20. ¿De acuerdo con sus propiedades, un rombo puede ser a la vez rectángulo?, ¿De acuerdo con sus propiedades, un paralelogramo puede ser a la vez trapecio?

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Anexo 4: Consentimiento Informado Padres o Acudientes

Caucasia ___________ de 20____

REF: Solicitud de autorización para desarrollar propuesta de intervención.

Yo___________________________________________________, __________________,

en

calidad

_______________________________________,

de

acudiente

con

documento

con del de

cc joven identidad

_________________, estudiante de la Institución Educativa Liceo Caucasia, lo autorizo para que participe en la intervención que hace parte del trabajo de grado para optar al título de magister en la Enseñanza de las Matemáticas de la Universidad de Antioquia del docente Juan David Vargas Flórez y su colega Yair Caldera Vera. Así mismo para que los encargados del trabajo y la Universidad de Antioquia puedan reproducir en todas sus modalidades, distribuyan y comuniquen públicamente en cualquier medio escrito, analógico, digital y/o en cualquier plataforma o publicaciones institucionales, las ideas e imágenes del acudido como evidencias que soporten esta intervención.

__________________________ Firma cc: