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´ CALCULO. Hoja 15. Sistemas masa-resorte Consideremos un resorte de longitud l suspendido verticalmente de un soporte r´ıgido. Si colgamos de ´el una masa m, el resorte se alargar´a una cantidad, llamada elongaci´ on, que denotamos por ∆l (v´ease Figura 1).

Figure 1: Sistema masa-resorte. Movimiento arm´ onico simple o libre no amortiguado mx00 (t) + kx(t) = 0.

(1)

Ejemplo 1. Si situamos una masa de 5 kg en un resorte, ´este se alarga 10 cm. Liberamos la masa 8 cm por debajo de la posici´on de equilibrio. ¿Cu´al es la ecuaci´on del movimiento suponiendo un movimiento arm´onico simple? (T´omese el valor aproximado de g = 10 m/s2 ). Soluci´on: x(t) = 8 cos(10t).

Figure 2: Movimiento libre no amortiguado. Movimiento libre amortiguado mx00 (t) + cx0 (t) + kx(t) = 0.

(2)

La ecuaci´on caracter´ıstica se escribe como mλ2 + cλ + k = 0 cuyas ra´ıces son −c ±

√

c2 − 4km . 2m Dependiendo del signo de c2 − 4km distinguiremos tres casos: λ=

(3)

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(a) Sistema sobreamortiguado. Si c2 −4km > 0, tendremos dos ra´ıces reales distintas, √ √ −c + c2 − 4km −c − c2 − 4km λ1 = y λ2 = . 2m 2m La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (2) viene dada por x(t) = c1 eλ1 t + c2 eλ2 t .

(4)

Ejemplo 2. Supongamos que una masa de 1 kg alarga 5 m un resorte. Determinar la ecuaci´on del movimiento libre amortiguado si la masa se libera dos metros por debajo de la posici´on de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 m/s suponiendo que la fuerza amortiguadora es 3 veces la velocidad instant´anea. Soluci´on; x(t) = e−t + e−2t .

Figure 3: Sistema sobreamortiguado. (b) Sistema subamortiguado Si c2 − 4km < 0, tendremos como soluciones de la ecuaci´on caracter´ıstica (3) dos ra´ıces complejas conjugadas, √ √ −c + i 4km − c2 −c − i 4km − c2 λ1 = y λ2 = . 2m 2m La soluci´on de la ecuaci´on diferencial (2) viene dada ahora por √  √  2 2 4km − c 4km − c c c x(t) = c1 e− 2m t cos t + c2 e− 2m t sen t 2m 2m √

 = e

c − 2m t

c1 cos

 √  4km − c2 4km − c2 t + c2 sen t . 2m 2m

Ejemplo 3. Determinar la ecuaci´on del movimiento de un sistema masa-resorte para el caso m = 1 kg, c = 2 N s/m y k = 10 N/m suponiendo que la masa se libera desde la posici´on de equilibrio con una velocidad descendente de 3 m/s. Soluci´on: x(t) = e−t sen(3t).

Figure 4: Sistema subamortiguado.

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(c) Sistema cr´ıticamente amortiguado. Si c2 − 4km = 0, tendremos como soluci´on c de la ecuaci´on caracter´ıstica (3) una ra´ız real doble, λ = − . En este caso, la soluci´on 2m de (2) viene dada por x(t) = c1 eλt + c2 teλt = eλt (c1 + c2 t) .

(5)

Ejemplo 4. Una masa de 2 kg se sujeta a un resorte cuya constante es k = 2 N/m. Supongamos que sobre el sistema est´a actuando una fuerza amortiguadora que es igual a 4 veces la velocidad instant´anea. Determinar la ecuaci´on del movimiento si la masa se libera 1 m por debajo de la posici´on de equilibrio con una velocidad descendente de 1 m/s. Soluci´on: x(t) = e−2t (1 + 2t).

Figure 5: Sistema cr´ıticamente amortiguado. Ejemplo 5. Consideremos el mismo sistema masa-resorte del ejemplo anterior con las condiciones iniciales dadas por x(0) = 1 y x0 (0) = −3. Soluci´on: x(t) = e−t (1 − 2t).

Figure 6: Sistema cr´ıticamente amortiguado. Movimiento forzado amortiguado mx00 (t) + cx0 (t) + kx(t) = F (t).

(6)

Ejemplo 6. A un sistema masa-resorte amortiguado cuyos par´ametros son m = 1 kg, c = 4 N s/m y k = 3 N/m se le aplica una fuerza externa dada por F (t) = 5 cos t. Determinar la ecuaci´on que describe el movimiento del sistema suponiendo que x(0) = 0 y x0 (0) = 0. 3 1 5 Soluci´on: x(t) = − e−t + e−3t + cos t + sen t. 4 4 2 Movimiento forzado no amortiguado mx00 (t) + kx(t) = F (t).

(7)

Ejemplo 7. Al sujetar una masa de 2 kilogramos a un resorte cuya constante es k = 32 N/m, ´este queda en reposo en la posici´on de equilibrio. A partir de t = 0, se

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Figure 7: Movimiento forzado amortiguado.

aplica al sistema una fuerza externa dada por F (t) = 4 cos(2t). Encontrar la ecuaci´on del movimiento en ausencia de amortiguaci´on. 1 1 Soluci´on: x(t) = − cos(4t) + cos(2t) 6 6

Figure 8: Movimiento forzado no amortiguado. Ekjemplo 8. Consideremos el mismo sistema masa-resorte del ejemplo anterior al que se le aplica ahora una fuerza externa dada por F (t) = 3 cos(4t). 3 Soluci´on: x(t) = t sen(4t). 16 Como puede observarse en la Figura 9, en este caso se produce el fen´omeno de resonancia, ya que la frecuencia de la fuerza externa coincide con la del movimiento oscilatorio libre.

Figure 9: Movimiento forzado no amortiguado. Resonancia.

Ejercicios 1. Supongamos que una masa de 2 kg alarga 5 m un resorte. Determinar la ecuaci´on del movimiento libre amortiguado si la masa se libera 2 m por encima de su posici´on de equilibrio sin velocidad inicial suponiendo que la fuerza amortiguadora es 4 veces la velocidad instant´anea. Soluci´on: x(t) = −2e−t (cos t + sen t) 2. Consideremos una masa de 5 kg sujeta a un resorte de constante k = 20 N/m. Sobre este sistema est´a actuando una fuerza amortiguadora de constante c = 20 N s/m. Si la masa se suelta 2 m por debajo de su posici´on de equilibrio con una velocidad inicial descendente de 1 m/s, determ´ınese la ecuaci´on del movimiento del sistema. Soluci´on: x(t) = 2e−2t + 5te−2t

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3. Determinar la ecuaci´on del movimiento de un sistema masa-resorte formado por una masa de 8 kg suspendida de un muelle de constante k = 32 N/m suponiendo que, en ausencia de amortiguaci´on, act´ ua una fuerza externa dada por F (t) = 16 cos(4t). La masa se libera desde la posici´on de equilibrio con una velocidad inicial ascendente de 1 m/s. 1 1 1 cos(2t) − sen(2t) − cos(4t) 6 2 6 4. A un sistema masa-resorte no amortiguado cuyos par´ametros son m = 1 kg y k = 9 N/m se le aplica una fuerza externa dada por F (t) = 6 sen(3t). Determinar la ecuaci´on que describe el movimiento del sistema suponiendo que x(0) = 1 y x0 (0) = 0. Soluci´on: x(t) =

Soluci´on: x(t) = cos(3t) +

1 sen(3t) − t cos(3t) 3