Clase-13 Logarítmos en base diez: El 10 se omite como base; es decir: log10 a = log a. Calculemos inicialmente el logaritmo en base 10 de las siguientes potencias de 10: (a) log 10.000 =

(f) log 0,1

(b) log 1.000 =

(g) log 0,01 =

(c) log 100

=

(h) log 0,001 =

(d) log 10

=

(i) log 0,0001 =

(e) log 1

=

=

(j) log 0,00001=

Se deduce que si la potencia de diez es mayor o igual que uno el logaritmo en base diez es igual al número de ceros que hay después de la unidad, a diferencia de estar la potencia de diez entre 0 y 1 donde el logaritmo en base diez es negativo e igual al número de cifras decimales que se encuentran después de la coma. Ejercicio: Reducir las expresiones con logaritmos de potencias de diez: (a) log 10.000 - log 0,01 - log 10 + log 0,001 =

(b) 3.log 0,0001 - 2.log 1.000 - 5.log 0,001 + 4.log 100 - 5.log 1 =

Para calcular en base diez el logaritmo de aquellos números que no sean potencia de diez, tendremos que determinar su característica y su mantisa, donde la suma de estos dos valores determina el valor del logaritmo de tal número; es decir: log n° = característica + mantisa La característica: Es un número entero, el que se obtiene a partir de la cantidad a la cuál se le extrae logaritmo, mediante los siguientes procedimientos: i) Si el número es mayor o igual que 1: La característica queda de- terminada por el número de cifras enteras que tenga la cantidad menos 1. Ejemplos: Para log 327 ; log 54 ; log 9 ; log 17,43 ; log 1,286 ; log 475,6 ; log 3528,92 ;

la característica es: la característica es: la característica es: la característica es: la característica es: la característica es: la característica es: (1)

ii) Si el número está comprendido entre 0 y 1: La característica es negativa e igual al número de ceros que hay antes de la primera cifra decimal significativa. Ejemplos: Para log 0,17

;

log 0,015 ;

la característica es: la característica es:

log 0,00049 ; la característica es: log 0,0875 ; la característica es: log 0,0032 ; la característica es: log 0,00007 ; la característica es: log 0,78564 ; la característica es: La mantisa: Es un valor decimal , el que se obtiene de una tabla de logaritmos o en muchos casos del valor de otro logaritmo; es decir le será dado. Ejemplo: Complete el siguiente cuadro, donde en base a las mantisas dadas, determine el valor de los logaritmos dados: Logaritmo

Característica

Mantisa

log 125

0,09691

log 0,47

0,67209

log 3,52

0,54654

log 0,0015

0,17609

log 36,75

0,56526

log 0,0523

0,71850

log 154,32

0,18842

log 0,0006

0,77815

Valor del logaritmo

(caracteristica+ mantisa)

De igual forma a la anterior se obtiene el valor de los logaritmos: (a) log 2 = 0,30103 ; lo que significa que: (b) log 3 = 0,47712 ; lo que significa que: (c) log 5 = 0,69897 ; lo que significa que: (d) log 7 = 0,84510 ; lo que significa que: En base al valor de logaritmos dados y aplicando las propiedades de los logaritmos, se puede obtener el valor de nuevos logaritmos: Ejemplos: (a) log 8 =

(b) log 14 =

(2)

(c) log 2

1  10

(d) log

15 

Propiedad: El logaritmo de aquellos números formados por las mismas cifras, anotadas en el mismo orden cambiando sólo la ubicación de la coma, se diferencian sólo en su característica, teniendo todos ellos la misma mantisa. Ejemplo: a) Si log 527 = 2,72181 ; calcular el valor de los logaritmos: Característica: Si log 527 = 2,72181  mantisa: log 52.700 = log 5.270 = log 52,7

=

log 5,27

=

log 0,527 = log 0,0527 = log 0,00527 = b) Si log 0,075 = -1,12493 ; calcular el valor de los logaritmos: Si log 0,075 = -1,12493 

Característica: mantisa:

log 75.000 = log 7500

=

log 750

=

log 75

=

log 7,5

=

log 0,75

=

log 0,0075 = Notar que: Si el valor del logaritmo es positivo, la mantisa coincide con la parte decimal de este, a diferencia de ser negativo el valor del logaritmo, donde la mantisa se obtiene mediante despejes. (3)

Ejercicios: En base al valor del logaritmo dado, determine el valor del logaritmo pedido: (a) Si log 2 = 0,30103

(i) log 200 = (ii) log 0,2 =

(b) Si log 0,03 =-1,52288

(i) log 30

=

(ii) log 0,003 =

Ejercicios Complementarios: 1) En base al valor de logaritmos dados, se puede obtener el valor de nuevos logaritmos aplicando las propiedades de estos. Si log 2 = 0,30103 ; log 3 = 0,47712 y log 5 = 0,69897 ; calcular el valor de: a) log 81 =

b) log

30 

c) log 2

1  2

2) Si log 57 = 1,7558 ; calcular el valor de los siguientes logaritmos: log 57 = 1,7558  Característica = Mantisa

=

log 5.700 = log 570 = log 5,7 = log 0,57 = log 0,057 = log 0,0057 = (4)

3) Si log 0,007 = -2,1549 ; calcular el valor de los siguientes logaritmos: log 0,007 = -2,1549 

Característica = Mantisa

=

log 7.000 = log 700 = log 70 = log 7 = log 0,7 = log 0,007 =

4)

Si

log

x2

=

0,6548

;

entonces 5)

Si

log

log 10x = ?

log 0,003 = ?

A) 1,3274 B) 1,6548 C) 2,6548 D) 3,274

A)-3,4472 B)-2,4472 C)-1,5228 D)-2,5228

E) 6,548

E)-3,5228

300.000

=

5,4772;

luego

6) Si log 3 = 0,47712. ¿Cuál(es) de las 7) Si log 0,015 = -1,824 ; luego el valor siguientes afirmaciones es (son) siempre de log 225 = ? verdadera(s)? l) log 3 3 = 0,15904 ll) log 300 = 2,47712 lll) log 9 = 0,95424

A) 1,176 B) 2,176 C) 2,352

A) Sólo l

D) Sólo ll y lll

D) 2,824

B) Sólo ll

E) Todas.

E) 3,648

C) Sólo l y ll 8) log

x ; es equivalente a: 2 x 1

A) log x - 2.log x + 1 B) log x - 2.log x – 1 C) log x - log(x+1) – log x-1) D) log x - 2.log (x - 1) E) log x – log (x+1) + log (x-1)

9) A) B) C) D) E) (5)

1 3  log b y   log b z  ? 4 4 1  log b yz 3 4 log b 4 yz 3 log b 3 y 4 z 4 log b 4 y 3 z 3  log b yz 4

Ejercicios Propuestos: 1) Reducir las siguientes expresiones logarítmicas en base diez: a) 3·log 0,01 - 5·log 0,0001 +2·log 1000 = b) 2  log 10 .000  3  log 1.000  4  log 0,00001

2) Completar el siguiente cuadro determinando las características y luego el valor de los logaritmos en base a las mantisas dadas: Logaritmo Característica

Mantisa

Log 32

0,50515

Log 5,72

0,75740

Log 345,7

0,53870

Log 0,12

0,07918

Log 0,063

0,79934

Log 0,007

0,84510

valor

3) Si log 5=0,70 ; log13=1,112 ; log 17=1,23 calcular el valor de los logaritmos: 4 a) log 65 = b) log 1 = 13

c) log

85 =

c) log 5 169 

4) En base al logaritmo dado obtener el valor de los logaritmos restantes en: i) Si log 327 = 2,51455 ; calcular: ii) Si log 0,0147 =-1,83268; calcular: (a) log 32700 =

(a) log 1470 =

(b) log 3270 =

(b) log 147 =

(c) log 32,7 =

(c) log 14,7 =

(d) log 3,27 =

(d) log 1,47 =

(e) log 0,327 =

(e) log 0,147 =

(f) log 0,0327 =

(f) log 0,00147 = (6)

5) Al tener las siguientes proposiciones; 6) Se tiene que 3·log x - 0,25·log y + 2 es determine cuál(es) es (son) verdadera(s): equivalente a: l) log (a + b) = log a + log b ll) log (a2- 1) = log (a + 1)+log (a - 1) lll) log (a2 - 2a + 1) = 2·log (a - 1) A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll

A) log

2 x3 4y

100 x 3 B) log 4y

C) log 

24 y

D) Sólo l y lll

D) 4,75log xy

E) Sólo ll y lll

E) Otra expresión

7) Si log 2 = 0,30 y log 3 = 0,48 ; se tiene 8) Si log 2 = 0,30 y log 3 = 0,48 ; se tiene que el valor de log 36 = ?

que log 108 = ?

A) 0,282

A) 2,04

B) 0,77

B) 2,34

C) 1,56

C) 2,40

D) 2·log 3

D) 2,43

E) 2·log 3 - log

E) 2,78

9) Si log x = a y log y = b ; el valor de 10) Si log x = y – log z ; entonces el log x2 + log y2 - logz z3 = ? A) a - b + 2

producto de “x” por “z” es: A) y

B) 2a + 2b - 3

B) z

C) 2a + b

C) y10

D) log 2

D) 10 y

E) Otra expresión.

E) log y

11) Si log 2 = 0,30103 y log 3 = 0,47712; 12) Si log 0,125 = -0,90309 ; entonces de entonces de las siguientes proposiciones las siguientes proposiciones es (son) es (son) verdadera(s):

verdadera(s):

l) log 0,5 = 0,69897

l) log 125 = 2,09691

ll) log 6 = 0,77815

ll) log 1,25 = 0,09691

lll) log 0,6 =-0,22185

lll) log 0,0125 = -1,90309

A) Sólo l y ll

A) Sólo l y ll

B) Sólo l y lll

B) Sólo l y lll

C) Sólo ll y lll

C) Sólo ll y lll

D) Todas

D) Todas

E) Ninguna.

E) Ninguna. (7)

Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-12 1) a) x =

11 4

2) a) 3 2) a) x =

5 4

b) x = 1

c) x =

b) 5 b) x = 6

7 2

19 8

59 11

d) x = 3

e) x =

c) 4

d) –5

e) –2

f) –2/3

c) x = 8

d) x = –2

e) x = 2

f) x =

f) x =

1 4

4) a) logp 4 +3·logp b + 2·logp c - logp 5 - 2·logpa 1 2 1 3 b) ·logp a + ·logp b - ·logp 2 - ·logp b 5 5 5 5

5) a) logp

6) C

a3

ab b) logp 5 cd

b·c3 7) C

8) E

9) A

10) A

(8)

11) C

12) C

13) A