C´alculo: Polinomio de Taylor Antonio Garv´ın Curso 04/05

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El polinomio de Taylor

Nos detendremos especialmente en el teorema de Taylor, justificando la introducci´on del polinomio de Taylor como la mejor aproximaci´ on lineal, cuadr´atica, y en general polin´omica de una funci´on en un punto. Haremos ver qu´e consecuencias te´oricas y pr´acticas tiene el teorema de Taylor. Como ejemplo de las consecuencias te´oricas deduciremos el criterio sobre m´aximos y m´ınimos, y desde un punto de vista m´as pr´actico aproximaremos el valor de algunas funciones acotando el error cometido. Enunciaremos las propiedades m´as importantes sobre los polinomios de Taylor y propondremos y calcularemos los polinomios de Taylor de las funciones usuales. Si f es derivable en a se tiene f (x) − (f (a) + f 0 (a)(x − a)) =0 x→a x−a lim

en particular lim f (x) − (f (a) + f 0 (a)(x − a)) = 0 x→a

As´ı pues si x ' a entonces f (x) ' f (a) + f 0 (a)(x − a)

1.1

Ejemplo:

f (x) = ex , f 0 (x) = ex . Tomemos el punto a = 0. f (0) = f 0 (0) = e0 = 1 x'0

f (x) ' f (0) + f 0 (0)(x − 0)

ex ' 1 + 1(x − 0) = 1 + x Si tomamos por ejemplo x = 0.01 e0.01 ' 1 + 0.01 = 1.01 1

Fij´emonos que en realidad estamos aproximando una funci´on f por un polinomio de grado 1, p(x) = b0 + b1 (x − a)(= a0 + a1 x si lo queremos expresar en la forma habitual que es centrado en 0 en lugar de a, donde a0 = f (a) − f 0 (a)a y a1 = f 0 (a)x). Este polinomio p viene caracterizado por la siguiente propiedad: p tiene grado 1, p coincide con el valor de f en a, y la derivada de p, p0 , coincide con el valor de la derivada de f ,f 0 , en a. p(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a)

p0 (x) = f 0 (a)

p0 (a) = f 0 (a)

p(a) = f (a)

Evidentemente si f es derivable dos veces y f 00 (a) 6= 0 la segunda derivada de p no puede coincidir con la de f en a ya que al ser p de grado 1, todas sus derivadas son nulas a partir de 2 p00 (x) = 0 = p000 (x) = · · · = p(i) (x) i ≥ 2 Podr´ıamos sin embargo pensar en aproximar f por un polinomio de grado 2, en lugar de hacerlo con uno de grado 1. Es esperable que la aproximaci´ on sea mejor si le pedimos que se ” parezca m´as ” a f exigiendo adem´as que p00 (a) = f 00 (a). ¿C´omo debe ser este polinomio? Ser´a de la forma p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 para ciertos coeficientes ai ∈ R y deber´a cumplir que p(a) = f (a), p0 (a) = f 0 (a) y p00 (a) = f 00 (a). Por facilidad para el c´alculo de los coeficientes lo expresamos centrado en el punto a, esto es, en la forma p(x) = b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 y buscamos determinar los coeficientes bi . Como se tiene que p(x) = b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 ⇒ p(a) = b0 p0 (x) = b1 + 2b2 (x − a) ⇒ p0 (a) = b1 p00 (x) = 2b2 ⇒ p0 (a) = 2b2 para que se cumplan las condiciones sobre las primeras derivadas, los coeficientes deben ser p(a) = f (a) ⇒ b0 = f (a) p0 (a) = f 0 (a) ⇒ b1 = f 0 (a) p00 (a) = f 00 (a) ⇒ b2 =

f 00 (a) 2

Por tanto el polinomio es p(x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) + 2

f 00 (a) (x − a)2 2

Observemos que los polinomios de grado 0,1 y 2 que coinciden en a con f , con f y la derivada de f , y con f la derivada de f y la segunda derivada de f , son respectivamente p0 (x) = f (a),

p1 (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a)

p2 (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +

1.2

f 00 (a) (x − a)2 2

Ejemplo:

f (x) = log x, f 0 (x) = x1 , f 00 (x) = − x12 . Tomemos el punto a = 1. si x est´ a cerca de 1, log x ' 0 log x ' 0 + (log)0 (1)(x − 1) = 0 + 1(x − 1) = x − 1 1 1 log x ' 0 + (x − 1) + (log)00 (1)(x − 1)2 = (x − 1) − (x − 1)2 = 2 2 1 1 1 3 1 = (x − 1) − (x2 − 2x + 1) = x − 1 − x2 + x − = − x2 + 2x − 2 2 2 2 2 Podemos pensar en aproximar por polinomios de grado mayor, 3, 4, o en general de un grado cualquiera y es esperable que cuanto m´as se ”parezca” a la funci´on, mejoren sean las aproximaciones. As´ı pues la pregunta que nos hacemos es: ¿C´omo debe ser un polinomio de grado n para que coincidan en a sus derivadas, con todas las derivadas de f hasta orden n? Debe ser p(a) = f (a) p0 (a) = f 0 (a) p00 (a) = f 00 (a) .. . p(n) (a) = f (n) (a) Si expresamos centrado en a, el polinomio y sus derivadas son p(x) = b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 + b3 (x − a)3 + · · · + bn (x − a)n p0 (x) = b1 + 2b2 (x − a) + 3b3 (x − a)2 + · · · + nbn (x − a)n−1 3

p00 (x) = 2b2 + 3 · 2b3 (x − a) + · · · + n · (n − 1)bn (x − a)n−2 p000 (x) = 3 · 2b3 + · · · + n · (n − 1) · (n − 2)bn (x − a)n−3 .. . p(n) (x) = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1bn Evaluando en a p(a) = b0 p0 (a) = b1 p00 (a) = 2b2 p000 (a) = 3 · 2b3 .. . p(n) (a) = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1bn = n!bn Igualando b0 = f (a) b1 = f 0 (a) f 00 (a) 2 000 f (a) b3 = 3! .. . b2 =

bn =

f (n) (a) n!

El polinomio es p(x) = f (a)+f 0 (a)(x−a)+

f 000 (a) f (n) (a) f 00 (a) (x−a)2 + (x−a)3 +· · ·+ (x−a)n 2 3! n!

que podemos expresar como n X f (i) (a) i=0

i!

(x − a)i

siendo f (0) = f , f (1) = f 0 , f (2) = f 00 , f (3) = f 000 , etc. 4

1.3

Definici´ on:

Al polinomio as´ı construido que coincide con f y todas sus derivadas hasta el orden n en el punto x = a, se denomina polinomio de Taylor de orden n de la funci´on f en el punto a. Lo escribimos como Tn,f,a (x) Tn,f,a (x) =

n X f (i) (a) i=0

i!

(x−a)i = f (a)+f 0 (a)(x−a)+

f 00 (a) f (n) (a) (x−a)2 +· · ·+ (x−a)n 2 n!

La notaci´on se puede simplificar si se entiende por el contexto quien es el punto, la funci´on y el orden y podremos escribir Tn,f,a = Tn,f = Tn = T 1. Aproximar f (x) en el punto x = a f (x) ' Tn,f,a (x) 2. ¿Qu´e error se comete al aproximar f ? Rn,f,a (x) = f (x) − Tn,f,a (x) Si una funci´on es derivable se tiene que −T1 (x)

z }| { f (x) −f (a) − f 0 (a)(x − a) =0 lim x→a x−a o lo que es lo mismo R1 (x)

z }| { f (x) − T1 (x) x→a −→ 0, x−a

lim

x→a

R1 (x) =0 x−a

Intuitivamente esto puede ser interpretado como que para valores de x muy cercanos a a, el error R1 (x) es menor que la diferencia entre x y a, ya que para que el l´ımite sea 0 apartir de un lugar el numerador debe ser menor que el denominador. El siguiente resultado, que generaliza el hecho anterior, nos dice que cuanto mayor sea el orden la aproximaci´ on ser´a mejor.

5

1.4

Teorema:

Si f es n veces derivable ”cerca de a”(en un entorno de a) entonces, lim

x→a

Rn,f,a (x) =0 (x − a)n

Suponiendo solo un poco m´as podemos podemos incluso dar una estimaci´on del resto

1.5

Teorema:

Si f es (n + 1) veces derivable cerca de a, entonces 1. (Lagrange) Rn (x) =

f (n+1) (c) (x − a)n+1 (n + 1)!

c entre x y a

2. (Cauchy) Rn (x) =

f (n+1) (c) (x − c)n (x − a) c entre x y a n!

3. (Integral)

Z Rn (x) =

1.6

a

x

f (n+1) (t) (x − t)n dt n!

(I) Consecuencia:

Si | f (n+1) |≤ K entre a y x, entonces | Rn (x) |≤

1.7

K | x − a |n+1 (n + 1)!

Ejemplo:

Calculemos cos 36o con error menor que 10−4 . 36o = π/5rad, consideramos cos x en el punto x = π/5 Tenemos 0 = a ≤ x = π/5 ≤ 1 f (x) = cos x f 0 (x) = − sen x f 00 (x) = − cos x 6

f 000 (x) = sen x

f (4) (x) = cos x f (5) (x) = − sen x f (6) (x) = − cos x

f (7) (x) = sen x · · ·

f (0) = 1 f 0 (0) = 0 f 00 (0) = −1 f 000 (0) = 0 f (4) (0) = 1 f (5) (0) = 0

T2n,cos x,0 (x) = f (0)+f 0 (0)(x−0)+

···

f 00 (0) f 000 (0) f (2n) (0) (x−0)2 + (x−0)3 +· · ·+ (x−0)2n 2 3! (2n)!

−1 2 1 4 x2n T2n,cos x,0 (x) = |{z} 1 + x + x + · · · + (−1)n 4 (2n)! | 2{z } |{z} (n=0) (n=1)

T2n,cos x,0 (x) = 1 −

(n=2)

x2n x2 x4 x6 x8 + − + − · · · + (−1)n 2 4! 6! 8! (2n)! f (π/5) ' T2n (π/5)

f (π/5) = T2n (π/5) + R2n (π/5)

| R2n (π/5) |=|

(cos x)2n+1 (c) 1 1 (π/5−0)2n+1 |≤ (π/5)2n+1 ≤ (2n + 1)! (2n + 1)! (2n + 1)! ¿

1 < 10−4 ? (2n + 1)!

1 < 10−4 ⇐⇒ (2n + 1)! > 104 (2n + 1)! Si n = 4, 9! > 8! = 40.320 > 104 . n=4 cos π/5 = T8 (π/5) + ² con ² < 10−4 cos π/5 = 1 −

(π/5)2 (π/5)4 (π/5)6 (π/5)8 + − + +² 2 4! 6! 8!

7

1.8

(II) Consecuencia:

Si f es (n + 1) veces derivable cerca de a y si f 0 (a) = f 00 (a) = · · · = f (n−1) (a) = 0, y f (n) (a) 6= 0 Entonces: 1. Si n es par y f (n) (a) > 0 =⇒ a es un m´ınimo local. 2. Si n es par y f (n) (a) < 0 =⇒ a es un m´aximo local. 3. Si n es impar =⇒ a es un punto de inflexi´on.

1.9

Propiedades:

α, β ∈ R, f y g funciones. (1) Tn (αf + βg) = αTn (f ) + βTn (g) (2) Tn (f · g) = Tn (f ) · Tn (g)−{t´erminos de orden > n} (3) Tn (f /g) =

Tn (f ) ”haciendo divisi´on larga hasta n” Tn (g)

(4) Tn (f ◦ g) = Tn (f ) ◦ Tn (g)−{t´erminos de orden > n} (5) [Tn (f )]0 = Tn−1 (f 0 ) Z x Z x Tn (f )(t)dt = Tn+1 ( )f (t)dt (6) a

Z

a

(6)’

Z Tn (f ) = Tn+1 ( f ) + K,

1.10

Algunos ejemplos:

K ∈ R.

Vamos a calcular los polinomios de Taylor de: ex , sen x, cos x,

1 , − log(1 − x), log(1 − x), log(1 + x), 1−x

1 , arctag (x), senh (x), cosh(x) 1 + x2 ex 8

(en x = 0)

Inmediato x2 x3 xn + + ··· + 2! 3! n!

Tn,ex ,0 (x) = 1 + x + sen x

f (x) = sen x f 0 (x) = cos x f 00 (x) = − sen x 0 f iv f viii

T2n+1, sen ,0 (x) = x −

1 0 fv

f 000 (x) = − cos x

−1

f vi

f ix

f vii ···

x3 x5 x7 x2n+1 + − + · · · + (−1)n 3! 5! 7! (2n + 1)!

cos x Ya lo hemos hecho. Veamoslo de otra forma. [Tn (f )]0 = Tn−1 (f 0 ) T2n (cos(x)) = (T2n+1 ( sen (x))0 = (x − =1− 1 1−x

x2 x4 x6 x2n + − + · · · + (−1)n 2 4! 6! (2n)!

Tn (1) = 1, Tn (

x3 x5 x2n+1 0 + − · · · + (−1)n ) = 3! 5! (2n + 1)!

Tn (1 − x) = 1 − x

1 Tn (1) )= ” por divisi´on larga hasta n” 1−x Tn (1 − x)

1 | 1−x −(1 − x) 1 + x + x2 + · · · + xn | x −(x − x2 ) x2 −(x2 − x3 ) x3 · · · xn −(xn − xn+1 ) 9

xn+1 Tn,

1 ,0 1−x

(x) = 1 + x + x2 + · · · + xn

1/(1 + x) Se puede hacer por divisi´on larga. Hagamoslo de otra forma: (−x)

R −→ R x 7→ −x

(1/(1−x))

−→ 7→

R 1/(1 − (−x)) =

|

1 1+x

↑ (

1 1 )=( ) ◦ (−x) 1+x 1−x

Tn (1/(1 + x)) = Tn (1/(1 − x)) ◦ Tn (−x) = Tn (1/(1 − x)(Tn (−x)) = = Tn (1/(1 − x)(−x) = 1 + (−x) + (−x)2 + · · · + (−x)n = = 1 + −x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn − log(1 − x) −1 1 (log(1 − x))0 = , por tanto (− log(1 − x))0 = 1−x 1−x Z Z 1 Al ser Tn f = Tn+1 f + K, tomando f (x) = 1−x Z Tn+1 (− log(1 − x)) = =x+

Z Tn (1/(1 − x)) =

1 + x + x2 + · · · + xn =

x2 x3 xn+1 + + ··· +K 2 3 n+1

Como el t´ermino independiente del polinomio de Taylor de g en a es g(a), se tiene que K = 0, de donde Tn (− log(1 − x)) = x + log(1 − x)

10

x2 x3 xn + + ··· 2 3 n

Tn (αf ) = αTn (f ), α ∈ R, f una funci´on. Si tomamos α = −1 y f = − log(1 − x), se tiene Tn (log(1 − x)) = −x −

x2 x3 xn − − ··· − 2 3 n

log(1 + x) (−x)

R −→ R x 7→ −x

log(1−x)

−→ 7→

R log(1 − (−x)) = log(1 + x) ↑

|

Tn (log(1 + x)) = Tn (log(1 − x)) ◦ Tn (−x) = Tn (log(1 − x))(−x) (−x)2 (−x)3 (−x)n − + ··· + − = 2 3 n xn x2 x3 + + · · · + (−1)n+1 =x− 2 3 n

Tn (log(1 + x)) = −(−x) −

1/(1 + x2 ) Se puede hacer como Composici´on, (x2 )

R −→ R x 7→ x2

1/(1+x)

−→ 7→

1 ,0 1+x2

1 1+x2

↑

| o por ”Divisi´on larga” 1 | 1 + x2 En cualquier caso se obtiene: T2n,

R

(x) = 1 − x2 + x4 − x6 + x8 + · · · + (−1)n x2n

arctag (x) Integrando el resultado anterior, y salvo una constante C se tiene:

T2n+1, arctag

x,0 (x)

+C =x−

x3 x5 x7 x9 x2n+1 + − + + · · · + (−1)n 3 5 7 9 2n + 1

Por ser arctag (0) = 0 =⇒ C = 0. senh x y cosh x 11

ex − e−x 2 x e + e−x cosh x = 2 senh x =

Tex = 1 + x + Te−x = 1 − x + T2n+1, senh

x,0 (x)

x2 x3 x4 xn + + + ··· + 2! 3! 4! n!

x2 x3 x4 xn − + + · · · + (−1)n 2! 3! 4! n! =x+

T2n,cosh x,0 (x) = 1 +

x3 x5 x2n+1 + + ··· + 3! 5! (2n + 1)! x2 x4 x2n + + ··· + 2 4! (2n)!

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