CAMPO ELECTROSTÁTICO

2.3

En esta unidad, primera del Electromagnetismo, se hará una introducción a la física de las cargas eléctricas estacionarias, es decir, en reposo respecto al observador, en la que se estudiarán los siguientes aspectos: • Carga eléctrica y sus propiedades. Distribuciones de carga. Aislantes y conductores y carga por contacto y por inducción. • Descripción vectorial del campo electrostático. El punto de partida lo constituye la ley de Coulomb de la interacción eléctrica para pasar a un concepto más amplio: el campo eléctrico. Se introducirán las líneas de campo eléctrico para intentar visualizarlo. Finalmente se obtendrá la poderosa, tanto desde el punto de vista teórico como práctico, ley de Gauss del campo eléctrico. • Descripción escalar del campo electrostático: mediante la energía potencial y el potencial electrostático y su relación con el trabajo eléctrico. Se introducirán las equipotenciales como una forma de visualización del potencial electrostático. • Conexión entre las descripciones vectorial y escalar del campo electrostático. • Un breve análisis del movimiento de cargas puntuales en campos uniformes. • Algunas analogías y diferencias entre los campos gravitatorio y electrostático.

1. LA CARGA ELÉCTRICA Las primeras observaciones sobre los fenómenos eléctricos fueron realizadas por los antiguos griegos que ya sabían que el ámbar frotado con lana adquiría la propiedad de atraer cuerpos ligeros. Se dice que el ámbar está electrizado, o que tiene carga eléctrica, o que está cargado eléctricamente. Términos que derivan del vocablo griego elektron, que significa ámbar. La carga eléctrica, representada por q, es una cualidad de algunas partículas con propiedades que forman parte de las bases en las que se asienta la física moderna y que se analizan a continuación: 1.1. Existe en dos variedades de carga eléctrica: positiva y negativa Alrededor de 1750, el científico y estadista norteamericano Benjamín Franklin (1706S1790) introdujo el convenio de que el vidrio recibía carga positiva (+) cuando se frotaba con un paño de seda, adquiriendo ésta carga negativa (S). Con el conocimiento actual de la estructura de la materia, sabemos que son los electrones los portadores de una de las dos variedades de carga y los protones los de la otra variedad; ambos con la misma carga pero con signos opuestos. En el átomo neutro, el número de protones (en el núcleo) es igual al número de electrones (en la corteza), y puesto que la materia está formada por átomos, será eléctricamente neutra en circunstancias normales, con una carga eléctrica neta nula. Dicha materia puede adquirir carga neta no nula dependiendo de si se le agrega electrones o si se le quita electrones (a esta ganancia o pérdida de electrones se denomina ionización). Observar que normalmente entran en juego los electrones: se requiere poca energía para agregar o quitar electrones de la corteza del átomo, mientras que acceder al núcleo para agregar o quitar protones requiere muchísima energía. Cuando el vidrio se frota con el paño de seda, se transfieren electrones del vidrio a la seda a través de las superficies en contacto, resultando la seda con más electrones que protones y el vidrio con menos electrones que protones. Para ser consecuentes con el convenio de Franklin de que la carga neta del vidrio es positiva y la de la seda negativa, debemos asignar carga positiva al protón y carga negativa al electrón, siendo por tanto el signo de las cargas un mero convenio arbitrario. La carga eléctrica la representaremos con el símbolo q, que engloba un valor numérico, un signo y unas determinadas unidades. Es un escalar con signo.

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Campo electrostático S 1

1.2. Las cargas eléctricas interaccionan entre sí Aunque los fenómenos eléctricos se conocían desde la antigüedad, fue en 1730 cuando el francés Charles Du Fay demostró que los cuerpos cargados interaccionan entre sí. A esta fuerza a distancia entre cargas eléctricas estacionarias se denomina fuerza eléctrica, F e , que puede ser de atracción o de repulsión, dependiendo de los signos relativos de las cargas que interaccionan: Fe atractiva: qiAqj < 0 (dos cargas con signos opuestos) Fe repulsiva: qiAqj > 0 (dos cargas con el mismo signo) Además de la fuerza eléctrica entre cargas eléctricas hay otras fuerzas que dependen de su movimiento relativo y que son el origen de los fenómenos magnéticos que se tratarán en unidades posteriores. 1.3. La carga eléctrica se conserva La carga eléctrica neta en un sistema aislado permanece constante, en el sentido de que la carga neta total no puede ser creada ni destruida y entendiendo por sistema aislado aquél cuyos límites no pueden ser atravesados por la materia. En el interior del sistema puede existir transferencia de carga entre los cuerpos que forman dicho sistema. Es un principio de conservación que se cumple en todas las observaciones realizadas y constituye una de las bases de las ecuaciones de los campos eléctricos y magnéticos. Además la carga neta de un sistema es un invariante relativista (a diferencia de la masa, longitud, energía, etc), es decir, observadores en distintos sistemas de referencia miden la misma cantidad de carga neta, así como tampoco influye el movimiento de los portadores de carga, existiendo pruebas experimentales, tales como la neutralidad eléctrica en átomos y moléculas en los cuales los movimientos de sus portadores de carga (electrones y protones) no influyen en dicha neutralidad. 1.4. La carga eléctrica está cuantizada La cantidad más pequeña de carga eléctrica es la de un electrón (o de un protón). Como la carga neta de un cuerpo se debe a un defecto o a un exceso de electrones, dicha carga neta es un múltiplo entero del valor absoluto de la carga de un electrón, e: q neta = ±n |e| Los hechos de que las cantidades de carga del electrón y del protón sean exactamente iguales con signos opuestos y de que la carga de un cuerpo está cuantizada están apoyados por numerosas pruebas experimentales. Durante el siglo XIX y principios del XX se realizaron muchos trabajos experimentales para determinar la carga del electrón y su masa. Se pueden destacar a Michael Faraday (1833) con la electrólisis; a J.J. Thomson con la medida directa del cociente e/m en 1897 a partir del estudio de las descargas eléctricas en gases y a Millikan en 1909 que con el famoso experimento de la gota de aceite determinó con precisión aceptable el valor y signo de e. La unidad natural de carga es el electrón. Sin embargo, en el SI es el culombio, C, de tal forma que: qeS . S1,602A10S19 C qp+ . +1,602A10S19 C El culombio se define en el SI a partir del amperio a través de la expresión i =

dq de tal forma dt

que 1 culombio es la cantidad de carga que atraviesa la sección de un conductor por el que circula una corriente de 1 amperio en un intervalo de 1 segundo. Como el culombio es una unidad de carga normalmente demasiado grande en electrostática, en su lugar se usa el microculombio (1 µC = 10S6 C), el nanoculombio (1 nC = 10S9 C) y el picoculombio (1 pC = 10S12 C), de acuerdo con las experiencias que se manejan en electrostática.

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Campo electrostático S 2

2. CARGAS PUNTUALES Y DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA ELÉCTRICA Cuando se trabaja con partículas cargadas, como electrones, protones, iones, etc., se puede considerar a dichas cargas como puntuales (carga concentrada en un punto geométrico del espacio). Pero también se pueden considerar puntuales aquellas para las que calculamos magnitudes eléctricas a distancias mucho mayores que las dimensiones del cuerpo con carga neta. La carga de un electrón (o un protón) es tan pequeña (y el número de Avogadro tan grande) que su cuantización no se pone de manifiesto a nivel macroscópico: Así, un cuerpo con una carga neta de S100 nC contiene unos 6,24A1011 electrones en exceso. Podemos, por tanto, considerar que las cargas netas macroscópicas están distribuidas de forma continua (están muy cerca unas de otras en comparación con las demás distancias de interés) y manejar elementos diferenciales de carga, dq, siempre que se cumpla e n dq n q Dicha carga neta puede estar repartida a lo largo de una dimensión (densidad lineal de carga), en dos dimensiones (densidad superficial de carga) o en tres dimensiones (densidad volúmica de carga).

2.1. Densidad lineal de carga Si la carga neta está repartida de forma continua a lo largo de un hilo, tendremos una densidad lineal de carga que se simboliza por λ , representando la cantidad de carga por unidad de longitud. En un elemento diferencial de longitud, dl, tendremos un elemento diferencial de carga, dq. Así:

λ=

dq dl

[1]

con unidades de C/m en el SI. La cantidad de carga neta a lo largo de un tramo del hilo se obtiene despejando dq de [1] e integrando

q = ∫ dq = ∫ λ dl

[2]

Si la carga está uniformemente repartida a lo largo del hilo, la densidad lineal de carga λ será constante, facilitando la resolución de la integral [2].

2.2. Densidad superficial de carga Se produce cuando la carga neta está distribuida de forma continua a lo largo de una lámina sin espesor. Dicha densidad superficial se simboliza por σ que representa la cantidad de carga por unidad de superficie. Siendo dS un elemento de superficie, tendremos:

σ =

dq dS

[3]

con unidades de C/m2 en el SI. Si la carga neta está uniformemente repartida a lo largo de la lámina, la densidad superficial de carga σ será constante.

2.3. Densidad volúmica de carga Cuando la carga neta está distribuida en un volumen, se introduce la densidad volúmica de carga, ρ , como la carga por unidad de volumen:

ρ=

dq dV

[4]

con unidades de C/m3 en el SI. En la Fig.1 tenemos dos ejemplos de secciones transversales de cuerpos esféricos con densidades volúmicas de carga. En el Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

b

a Fig.1

Campo electrostático S 3

primero, la densidad es constante porque la carga está uniformemente distribuida por todo el volumen. En el segundo (a mayor nivel de gris, más carga), la densidad volúmica de carga es una función del radio de la esfera, ρ (r ) , porque la densidad de carga aumenta con el radio. Tanto en un caso como en el otro (y en otros no mencionados), las dos esferas cargadas se comportan como cargas puntuales iguales a las cargas netas concentradas en el centro cuando calculamos magnitudes electrostáticas fuera del cuerpo (¡aunque dichos cálculos se refieran a puntos muy próximos al cuerpo!), como se demostrará al aplicar la ley de Gauss a dichas distribuciones de carga. Para cualquier tipo de distribución continua de carga, el elemento de carga dq es tan pequeño que se comporta como carga puntual, para lo cual los elementos de línea (dl), de superficie (dS) o de volumen (dV) deben ser pequeños desde el punto de vista macroscópico, pero lo suficientemente grandes a escala microscópica para que puedan contener el número suficiente de cargas netas para cumplir con la condición de que dicha carga varíe de forma continua con respecto a la posición, porque de lo contrario habría mucho espacio vacío con fluctuaciones muy grandes en los valores de la densidad de carga, dejando de ser la densidad de carga un concepto útil.

3. AISLANTES Y CONDUCTORES Y CARGA POR CONTACTO Y POR INDUCCIÓN Una vez que un cuerpo ha adquirido carga eléctrica neta, lo que suceda después depende de si el material es aislante o dieléctrico como el vidrio, plástico, madera, ebonita, etc. o conductor como los metales. 3.1. Aislantes La diferencia está en la movilidad de los portadores de carga: los aislantes ideales no permiten la movilidad de portadores de carga, por lo que la carga neta de un aislante permanece en la zona en la que se colocó inicialmente. 3.2. Conductores La evolución de la carga neta en un material conductor es completamente diferente porque éstos permiten la movilidad de la carga eléctrica por todo el cuerpo. En un período de tiempo muy pequeño, la carga neta suministrada al conductor se moverá hacia la superficie del mismo, si inicialmente no estaba allí, debido a las fuerzas eléctricas repulsivas entre cargas del mismo signo y se a b distribuirá por toda la superficie, cesando el movimiento Fig.2 de las cargas, sean positivas o negativas. Es decir, en un conductor cargado en equilibrio electrostático (el equilibrio electrostático implica que las cargas tienen que estar en reposo), la carga neta se distribuye por la superficie, quedando eléctricamente neutro el interior del cuerpo. En la Fig.2a se supone que se puede depositar una cierta cantidad de carga negativa en el interior de una esfera conductora (se representa su sección), que debido a la repulsión eléctrica, dichas cargas se desplazan para distribuirse a lo largo de la superficie (Fig.2b), distribución que será uniforme por tener simetría esférica. A lo largo de la unidad se profundizará más sobre la distribución de carga libre en conductores en equilibrio electrostático.

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Campo electrostático S 4

3.3. Carga por contacto Es posible comunicar carga eléctrica a cualquier sólido frotándolo con otra substancia. El frotamiento sirve sólo para establecer un buen contacto entre muchos puntos de las superficies, pasando electrones de una a la otra. Así, al frotar una barra de ebonita con piel, la ebonita adquiere carga neta negativa que permanece localizada por ser un material aislante. Esta carga se detecta al hacer contacto con la esfera del electroscopio (Fig.3), formado por dos láminas delgadas unidas a una varilla que termina en esfera, todo ello metálico y dentro de un recipiente aislante para que las corrientes de aire no afecten a las láminas. Antes del contacto las láminas cuelgan juntas verticalmente. Después del contacto, parte de la carga negativa de la ebonita se transfiere a la esfera y se propagan por la varilla y las láminas, separándose éstas en virtud de la repulsión entre cargas del mismo signo.

Barra de ebonita cargada

Electroscopio Fig.3

3.4. Carga por inducción En el procedimiento anterior se ha cargado el electroscopio por contacto, pasando parte de la carga eléctrica de la ebonita al electroscopio. Hay otro procedimiento para cargar un metal con la barra de ebonita sin hacer contacto en el cual el metal adquiere carga neta de signo opuesto a la de la ebonita sin perder ésta carga. Este método se denomina carga por inducción o inducción electrostática. Para ello analicemos el proceso de carga por inducción en una esfera metálica. Tengamos en cuenta que en el modelo clásico de la conducción eléctrica, un metal se describe como una disposición regular tridimensional de iones con un gran número de electrones libres formando una nube electrónica con libertad de movimiento por todo el material. En la Fig.4a se representa la sección transversal de una esfera metálica neutra. Cuando se le aproxima una barra de ebonita cargada negativamente provoca, por repulsión, que parte de la nube electrónica de la esfera se desplace a la superficie de la misma opuesta a la barra, existiendo un exceso de carga negativa en dicha zona. Esto origina una pérdida de carga negativa (queda un exceso de carga positiva) en la superficie de la esfera próxima a la barra (b). Tales excesos de carga se denominan cargas inducidas. Obsérvese que no existió transferencia de carga de la barra de ebonita a la esfera y que ésta sigue siendo eléctricamente neutra. Las cargas inducidas permanecerán mientras mantengamos cerca la barra cargada. ebonita

a

b

c Fig.4

Tierra

d

e

En (c) se conecta a tierra (que significa poner en contacto el conductor con el suelo mediante un hilo metálico, la piel húmeda de una persona, etc., pues la propia Tierra constituye un conductor que para muchos propósitos puede considerarse como infinitamente grande), pasando los electrones de la esfera a la Tierra. En (d) se ha eliminado la conexión a tierra y en (e) se aparta la barra de ebonita con lo que resulta una esfera metálica cargada por inducción con carga neta positiva (defecto de electrones) distribuida uniformemente por la superficie de la misma. En la Fig.5 se describe un procedimiento para cargar por inducción con cargas de signos opuestos Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 5

dos esferas metálicas. En (a) y (b) las esferas están en contacto. En (e) las esferas están lo suficientemente separadas para que no exista influencia mutua.

a

b

c Fig.5

e

d

4. LEY DE COULOMB Puesto que la fuerza eléctrica es una fuerza a distancia entre cargas, cabe esperar que dependa del inverso de la distancia al cuadrado como en la ley de Newton de la gravitación universal. Esta simetría fue sugerida por Daniel Bernoulli en 1760. También, por simetría, cabe esperar que la fuerza eléctrica dependa del producto de las dos cargas que interaccionan, suposición que se complica con el signo de las cargas. La confirmación de estas hipótesis fue realizada por Charles Augustin de Coulomb que enunció la ley en 1786 después de medir, con una balanza de torsión, la fuerza entre pequeñas esferas cargadas. La ley de Coulomb para la fuerza eléctrica entre dos cargas estacionarias se expresa en formato vectorial como:

r qi q j r Fei sobre j = K 2 Roij Rij

[5]

que nos da la fuerza que ejerce la carga i sobre la carga j separadas por una distancia R que es el módulo de

r r Rij , siendo éste el vector relativo de posición que se dirige de i a j, y R0ij su correspondiente vector

unitario. Se supone que las cargas se mantienen en reposo por fuerzas mecánicas de algún tipo, fuerzas que no están contempladas en la Fig.6 en donde se presentan ejemplos en función del signo de las cargas que interaccionan. r r r r r r Fei sobre j Fei sobre j R0ij R0ij Rij Rij +qi

+qj

-qi

+qj c

a r R0ij

-qi

r R0ij

r Fei sobre j

r Rij -qj

r Rij

r Fei sobre j

+qi

b

-qj d

Fig.6

4.1. Características de la fuerza eléctrica dada por la ley de Coulomb a. Es directamente proporcional al producto de las dos cargas que interaccionan. Es aplicable a cargas puntuales (lo que es una idealización, aunque válida si las dimensiones de los cuerpos cargados son muy pequeñas comparadas con la distancia entre ellos) y a cargas esféricas con distribución radial de carga. b. Disminuye con el inverso de la distancia de separación entre cargas al cuadrado. Si las cargas son esféricas con distribuciones radiales de carga, dicha distancia se toma de centro a centro. Es de largo alcance, aplicable para distancias mayores que unos 10S14 m, pues a distancias inferiores predominan las fuerzas nucleares. Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 6

c. Tiene como dirección la recta que une a ambas cargas, con sentido que depende del signo del producto escalar de las cargas: repulsiva si las dos cargas tienen el mismo signo, atractiva si tienen distinto signo. Su módulo está dado por la expresión

| qi || q j | [6] Fei sobre j = K Rij2 r r d. Al tener la forma F = f ( R ) ⋅ R0 es una fuerza central , y al depender su módulo del inverso de la distancia al cuadrado (es una fuerza newtoniana), es, por tanto, conservativa. Por ello, el trabajo que realiza la fuerza eléctrica se puede expresar como una disminución de la energía potencial eléctrica Ue:

WA→ B =

r RB r RA

∫

r r Fe ⋅ dR = − ∆ U e = U e A − U eB

e. Cumple la ley de acciónSreacción (Fig.7):

r r Fei sobre j = − Fe j sobre i

[8]

[7]

r Fej sobre i +qi

r Rij

r Fei sobre j +qj

Fig.7 En este punto pueden aparecer dificultades de tipo teórico: ¿Cómo y en cuánto tiempo se transmite la información de la interacción “a distancia” de la primera a la segunda carga y, una vez que la segunda experimenta dicha interacción, cómo y en cuánto tiempo se transmite la información de la segunda a la primera?. Recordemos que existe un límite para la velocidad de propagación de la información en el universo, que es la velocidad de la luz en el vacío, c, por lo cual las fuerzas de acción y reacción en las interacciones “a distancia” no serán simultáneas. Pero esto puede llevarnos a que no se cumpla el principio de acciónSreacción. Pensemos en dos cargas separadas: Hagamos que la primera sufra un movimiento repentino, como una oscilación, por lo que se acelera. La segunda carga comenzará a oscilar, pero con cierto retraso. Debido a este retraso, la fuerza que ejerce la primera sobre la segunda no estará acompañada por una fuerza igual y opuesta de la segunda sobre la primera, lo que parece violar la ley de acciónSreacción. De alguna manera tiene que haber una solución a esta posible incongruencia, teniendo en cuenta que la ley de acciónSreacción es una consecuencia del principio fundamental de la conservación de la cantidad de movimiento y de la manera en como se ha definido la fuerza a partir de la cantidad de movimiento. La respuesta vendrá con la introducción del concepto de campo eléctrico. f. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria (unas 1036 veces), a pesar de que la primera nos parece menos familiar que la segunda. Pero no hay que olvidar que las fuerzas eléctricas son responsables de la estructura atómica, de que no resbalemos de una silla cuando estamos sentados, de que nuestro calzado no se Substancia gr deslice en el suelo al caminar, etc. Vacío 1 La constante de la ley de Coulomb , K , a diferencia de la g. Aire (seco, sin CO2) 1,0005 constante de la gravitación (G), depende del medio en que se encuentren inmersas las cargas a través de un parámetro Agua (a 20 ºC) 80,1 eléctrico de dicho medio llamado constante dieléctrica del Vidrio para ventanas 7,0 medio o permitividad del medio, ε , tal que:

K=

1 4πε

[9]

Madera 2S8 Permitividad relativa de algunas substancias

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Campo electrostático S 7

ε0 ,

En el caso de que el medio sea el vacío (o el aire, aproximadamente) se representa por tomándola como referencia para definir la permitividad relativa (adimensional), distinto del vacío:

εr =

ε r , de otro medio

ε ε0

[10]

Las permitividades dieléctricas se determinan experimentalmente, obteniendo para el vacío S12

S1

ε0

S2

= 8,854A10 C N m , resultando que para nuestros propósitos es suficientemente exacto utilizar el siguiente valor de la constante de la ley de Coulomb en el vacío (al substituir en [9]): K0 = 9A109 NAm2/C2 [11] 2

r r Rij Teniendo en cuenta que R0 = , en los cálculos suele resultar más fácil utilizar la expresión Rij r qi q j r Fei sobre j = K 3 Rij Rij

[12]

porque no hay que calcular el vector relativo unitario de posición, aunque la expresión [5] es más adecuada para el tratamiento teórico.

5. UNA APLICACIÓN DE LA LEY DE COULOMB 5.1. Fuerza que ejerce una distribución discreta de cargas sobre otra carga r Supongamos que tenemos un conjunto n de cargas Fn puntuales o que se puedan considerar puntuales: q1, q2, ..., qn fijas (mediante algún tipo de fuerza no eléctrica) +q formando una distribución discreta de cargas. Además r tenemos, fuera de la distribución, una carga q puntual o r R 1 +q1 r que se puede considerar puntual (Fig.8). Cada una de las F 2 Rn r cargas de la distribución qi ejerce una fuerza eléctrica R2 sobre la carga q, cuya expresión está dada por la ley de Coulomb. Suponiendo que se cumple el principio de -q2 +q n superposición e independencia de las fuerzas, la fuerza eléctrica total que ejercen las cargas de la distribución

r Fesobre q , estará dada por la suma

sobre la carga q,

r F1

Fig.8

vectorial de las fuerzas individuales:

r r Fesobre q = Feq

1

sobre q

r + Feq

2

r + .... + F eqn sobre q sobre q

[13]

es decir, teniendo en cuenta [5]:

r q1q r q2 q r qnq r Fesobre q = K 2 R01 + K 2 R02 + ....+ K 2 R0n R1 R2 Rn que de forma resumida: n n r qqr qq r Fesobre q = K ∑ i 2 R0i = K ∑ i 3 Ri i = 1 Ri i = 1 Ri

[14]

[15]

r

siendo Ri el vector relativo de posición que se dirige de la carga i a la carga q sobre la cual se calcula la fuerza. Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 8

Ejemplo 1 Sea una distribución de tres cargas puntuales de 2, 4 y S8 nC situadas en los puntos (S1, 0), (0, S1) y (0, 1) m del plano xSy respectivamente. El medio es el vacío. Calcular la fuerza que ejerce dicha distribución sobre una carga de S3 nC cuando se sitúa en el punto P(1, 0) m.

y (0,1)

q3= -8 nC

r R3 r R1

(-1,0)

q= -3 nC P(1,0) x

q1=2 nC Existiendo varios procedimientos para llegar al resultado, se utilizará la expresión analítica

r qq r F = K0 ∑ i 3 Ri , para lo cual Ri

r R2 (0,-1)

procederemos en etapas: 1. Se sitúan las cargas en los puntos respectivos del plano xSy (Fig.9). 2. Se dibujan los vectores relativos de posición (se dirigen siempre de la carga fuente al punto P). 3. Se expresan analíticamente los vectores de posición:

q2=4 nC

Fig.9

r r R1 = 2i m r r r R2 = (i + j ) m r r r R3 = (i − j ) m

4. Se calculan los módulo de los vectores anteriores:

R1 = 2 m R2 = R3 = 2 m 5. Se calcula la fuerza que cada carga de la distribución ejerce sobre la carga situada en P, utilizando la expresión

r qq r Fi = K0 i 3 Ri , substituyendo en ella los valores correspondientes (la carga se Ri

substituye por su valor y signo): −9 −9 r r r 9 2 ⋅ 10 ( − 3) ⋅ 10 −9 F1 = 9 ⋅ 10 2 i = − 13 , 50 ⋅ 10 i N 23 −9 −9 r r r r r 9 4 ⋅ 10 ( − 3) ⋅ 10 F2 = 9 ⋅ 10 (i + j ) = − 38,18 ⋅ 10 − 9 (i + j ) N 3 2

( )

−9 −9 r r r r r 9 − 8 ⋅ 10 ( − 3) ⋅ 10 −9 F3 = 9 ⋅ 10 ( i − j ) = 76 , 37 ⋅ 10 ( i − j) N 3 2

( )

6. La fuerza total ejercida sobre la carga de 5 nC estará dada por la suma vectorial de las fuerzas anteriores:

r r r F = (24,7i − 115 j )10 − 9 N

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Campo electrostático S 9

6. CAMPO ELÉCTRICO. INTENSIDAD DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO Examinemos la fuerza eléctrica que ejerce una carga puntual q, que denominaremos carga fuente, sobre una carga puntual qp, o carga de prueba, situada en el punto P. La ley de Coulomb nos dice que la fuerza que ejerce q sobre qp está dada por la expresión [5] (en el caso de que sean puntuales o se puedan considerar como tales): r r r F r qq p r R0 P eq sobre qp R [16] Feq sobre q p = K 2 R0 R q qp Puesto que esta fuerza es directamente proporcional a la Fig.10 carga de prueba, podemos dividir la fuerza entre la carga de prueba. A este cociente de la fuerza sobre la carga de prueba por unidad de carga de prueba se denomina intensidad del campo eléctrico, representada por

r E=

r Fesobre q

p

r E:

[17]

qp

de donde obtenemos la ley de Coulomb de la intensidad del campo eléctrico producida por una carga fuente puntual (o que se pueda considerar como tal: en el exterior de distribuciones esféricas de carga siendo R la distancia al centro de la distribución) a una distancia R de la misma: r r r r q r R0 P E R E = K 2 R0 [18]

R

q

o, más práctica para los cálculos:

a

r q r E= K 3R R

[19]

r

r

r

R0 Se obtiene así una magnitud eléctrica vectorial definida en E P R cada punto del espacio que rodea a la carga fuente y que depende -q únicamente de ésta (y del medio), con dirección radial y sentido b que depende del signo de la carga fuente (Fig.11). El módulo de Fig.11 la intensidad del campo eléctrico en cada punto es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado a la carga fuente, con unidades de N/C en el SI (o de V/m, como veremos más adelante). A la región del espacio en la que está definida una intensidad de campo eléctrico en cada punto se le denomina campo eléctrico, que es un campo vectorial. Si en una región del espacio en la que existe un campo eléctrico colocamos una carga de prueba qp, ésta experimenta una fuerza eléctrica que se obtiene a partir de la definición de intensidad de campo (expresión [17]):

r r Fe sobre q p = q p E

[20]

fuerza que tiene la misma dirección que la intensidad del campo eléctrico en el punto en el que colocamos qp, con sentido dependiente del signo de qp. Tenemos así otra definición (operativa) de campo eléctrico: existirá campo eléctrico en un región del espacio si al colocar en ella una carga de prueba experimenta una fuerza.

r A partir de la definición de E (expresión [17]) obtenemos el procedimiento para medir la intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio: situar una carga de prueba qp en reposo en el punto en cuestión, medir la fuerza eléctrica que actúa sobre ella y obtener la intensidad de campo como

r E=

r Fesobre q p qp

. Procedimiento con el cual se debe tener cuidado, pues la carga de prueba puede alterar

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Campo electrostático S 10

la distribución de las cargas fuente que originan el campo: Por ejemplo, si el campo está producido por una distribución de cargas situadas en la superficie de un conductor, existirá una redistribución de dichas cargas si en sus proximidades colocamos la carga fuente, con lo cual se ha alterado la intensidad de campo que queríamos medir. Se ha sustituido el cálculo directo de la fuerza eléctrica de la ley de Coulomb entre una carga fuente y una carga de prueba por un procedimiento en dos etapas: primero se calcula la intensidad del campo eléctrico originado por la carga fuente, y segundo, se calcula la fuerza eléctrica que ejerce el campo eléctrico sobre la carga de prueba. Por ello, el conjunto de las ecuaciones de la intensidad del campo eléctrico [18] y la fuerza eléctrica en función de la intensidad del campo eléctrico [17], son totalmente equivalentes a la expresión de la fuerza eléctrica de la ley de Coulomb [5]. Este procedimiento en dos etapas tiene ventajas de cálculo: Permite calcular distintas fuerzas eléctricas sobre distintas cargas de prueba que coloquemos en un punto dado del campo eléctrico, lo que constituye un ahorro de cálculo frente a la ley de Coulomb. Además no es necesario conocer cómo es o en dónde está situada la carga (o cargas) fuente que originaron el campo eléctrico, sólo es necesario conocer la intensidad del campo eléctrico en el punto en el que se coloca la carga de prueba. Además tiene ventajas teóricas: El hecho de obtener expresiones que sólo dependen de las cargas fuente facilita la obtención y manejo de las expresiones de los campos electromagnéticos. Por otra parte, se resuelven las dificultades del concepto de “interacción a distancia” planteadas al analizar la ley de Coulomb: En el proceso en dos etapas que hemos introducido con el concepto de campo eléctrico, la carga oscilante produce un campo eléctrico oscilante que actúa de medio de propagación de la oscilación, interactuando ésta con la segunda carga, que la hace oscilar. El campo transporta momento lineal de la primera a la segunda carga mediante los paquetes de radiación electromagnética denominados “fotones” emitidos por una carga y absorbidos por la otra, cumpliéndose la ley de acciónSreacción en cada interacción “fotón”Scarga. En este sentido, el campo eléctrico funciona como intermediario entre las dos cargas. Parece que el campo eléctrico se ha introducido como una herramienta puramente formal (que facilita el cálculo) o conceptual (que resuelve los inconvenientes planteados por la interacción a distancia). Pero el hecho de que se pueda calcular la intensidad del campo eléctrico producida por cargas fuente en un punto del espacio, exista o no carga en dicho punto, nos puede llevar a pensar que el campo eléctrico es una entidad física que se extiende en todo el espacio: en este sentido, la carga fuente modifica las propiedades del espacio que la rodea, siendo la intensidad de campo una medida de dicha perturbación. De hecho, existen campos eléctricos variables con el tiempo sin cargas fuente.

7. ALGUNAS APLICACIONES DE LA LEY DE COULOMB DE LA INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO r En 7.1. Intensidad de campo eléctrico originada por una r distribución discreta de cargas puntuales o E1 equivalentes P r Supongamos que tenemos un conjunto n de cargas r R 1 +q1 E2 puntuales o que se puedan considerar puntuales: q1, q2, r r ..., qn fijas (mediante algún tipo de fuerza no eléctrica) R n R2 formando una distribución discreta de cargas. Cada una -q2 de estas cargas origina en el punto P una intensidad de +qn campo eléctrico, independientemente de todas las otras cargas, siendo la intensidad de campo resultante en el punto P la suma vectorial de las intensidades de campo Fig.12 Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 11

individuales (Fig.12); esto es el principio de superposición e independencia aplicado al campo eléctrico. Teniendo en cuenta la expresión de la intensidad de campo originada por cada carga [11], la intensidad total en el punto P será:

r r r r E = E1 + E2 + ...+ En =

n

r E ∑ i

[21]

i =1

r q r q r q r E = K 12 R01 + K 22 R02 + ...+ K n2 R0n R1 R2 Rn

[22]

que de forma resumida: n n r qi r q r [23] E = K ∑ 2 R0i = K ∑ i3 Ri i = 1 Ri i =1 Ri r siendo Ri el vector relativo de posición que se dirige de la carga i al punto P en el cual se calcula la

intensidad del campo.

Ejemplo 2 Sea una distribución de tres cargas puntuales de 2, 4 y S8 nC situadas en los puntos (S1, 0), (0, S 1) y (0, 1) m del plano x Sy respectivamente. El medio es el vacío. Calcular: a. La intensidad del campo eléctrico que origina esta distribución en el punto P(1, 0) m. b. La fuerza que ejerce dicha distribución sobre una carga de S3 nC cuando se sitúa en el punto P. c. La fuerza que ejerce dicha distribución sobre una carga de 5 nC cuando se sitúa en el punto P.

y (0,1)

r R3 r R1

(-1,0)

utilizará

la

r q r E = K0 ∑ i3 Ri , Ri

expresión

P(1,0) x

q1=2 nC

r R2 (0,-1)

a. Se

q3= -8 nC

q2=4 nC

analítica Fig.13

para

lo

cual

procederemos en etapas: 1. Se sitúan las cargas en los puntos respectivos del plano xSy (Fig.13). 2. Se dibujan los vectores relativos de posición (se dirigen de la carga fuente al punto P). 3. Se expresan analíticamente los vectores de posición:

r R1 = r R2 = r R3 =

r 2i m r r (i + j ) m r r (i − j ) m

4. Se calculan los módulo de los vectores anteriores:

R1 = 2 m R2 = R3 = 2 m 5. Se calcula la intensidad de campo originada por cada carga en el punto P, utilizando la expresión Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 12

r q r Ei = K0 i3 Ri , substituyendo en ella los valores correspondientes (la carga se substituye por Ri su valor y signo): −9 r r r N 9 2 ⋅ 10 E1 = 9 ⋅ 10 2i = 4,5i 3 C 2 −9 r r r N 4 ⋅ 10 r r E 2 = 9 ⋅ 109 3 (i + j ) = 12,73(i + j ) C 2

( )

−9 r r r r r N 9 − 8 ⋅ 10 E 3 = 9 ⋅ 10 ( i − j ) = − 25 , 46 ( i − j) 3 C 2

( )

6. La intensidad total del campo eléctrico en el punto P vendrá dada por la suma vectorial de las intensidades anteriores:

r r r N E P = ( − 8,23i + 38,2 j ) C b. La fuerza que ejerce la distribución sobre una carga de S3 nC que se sitúa en P se puede calcular a través de la fuerza que ejerce la intensidad del campo en P (originada por la distribución) sobre la carga que se sitúa en dicho punto:

r r r r F = qE P = − 3 ⋅ 10 − 9 ( − 8,23i + 38,2 j ) r r r F = (24,7i − 115 j )10 − 9 N

siendo, evidentemente, el mismo resultado que el del ejemplo 1. c. De la misma forma que en el apartado anterior, se obtiene:

r r r r F = qE P = 5 ⋅ 10 − 9 ( − 8,23i + 38,2 j ) r r r F = ( − 42,1i + 191 j )10 − 9 N

Los dos últimos apartados resaltan la ventaja de calcular primero la intensidad de campo para después calcular la fuerza sobre una carga a partir de la interacción del campo con dicha carga.

7.2. Intensidad de campo eléctrico originada por una distribución continua y uniforme de carga Es frecuente encontrar cargas fuentes que están distribuidas de forma continua. En estas situaciones, se divide la distribución de carga en elementos infinitesimales dq, considerando a cada uno de estos elementos como carga puntual que origina un elemento infinitesimal de intensidad de campo el punto P que está dada por la expresión

r dq r dE = K 2 R0 R

r dE en [24]

que es la ley de Coulomb en forma diferencial de la intensidad del campo eléctrico [18], con módulo

dE = K

dq R2

[25]

La intensidad total de campo eléctrico en el punto P será la suma (al cumplirse los principios de superposición e independencia) de las intensidades infinitesimales producidas por todos los elementos de carga; esto es, una integral Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 13

r r r R0 E = ∫ dE = K ∫ 2 dq R

[26]

extendida a toda la distribución, que dependiendo del tipo, se substituye dq por λ dl , σ dS o ρ dV . Puesto que es una integral de una expresión vectorial, puede ser difícil su evaluación, a menos que la distribución de carga tenga un alto grado de simetría. Con la ley de Gauss, que se desarrollará más adelante, se pueden calcular intensidades de campo eléctrico en ciertas distribuciones simétricas de una forma más fácil.

Ejemplo 3 Calcular la intensidad del campo eléctrico a una distancia x medida perpendicularmente a una distribución continua, lineal, infinita y uniforme de carga eléctrica situada a lo largo del eje y.

Supongamos que la carga se distribuye a lo largo del eje y, desde S ∞ hasta + ∞ , y que al ser uniforme, la densidad lineal de carga es constante:

λ=

r dE y

dq dq = = cte . En la Fig.14 está representado dl dy

el elemento infinitesimal de intensidad de campo en el punto P, que está a una distancia x medida perpendicularmente a la distribución lineal, originado por el elemento infinitesimal de carga dq situado en la dy posición Sy. Este elemento de campo se descompone en una componente sobre el eje x y otra sobre el eje y, tal que

r dE

x

θ θ

-y

P

r R

r dE x

x

dq

r r r r r dE = dE x + dE y = dE x i + dE y j .

Teniendo en cuenta la Fig.14,

K

y

Fig.14

r r r dE = dE ⋅ cosθ ⋅ i + dE ⋅ sin θ ⋅ j , que al substituir dE por

dq λ dy = K , integrando y sacando las constantes fuera de la integral, se obtiene R2 R2 r r +∞ cosθ ⋅ dy r +∞ sin θ ⋅ dy dE = i Kλ ∫ + jKλ ∫ 2 R R2 −∞ −∞ Para resolver las integrales anteriores hay que reducir las tres variables (y, R, θ ) del integrando a

una sola, siendo lo más conveniente dejar los integrandos en función del ángulo. A partir de la Fig.14

y , de donde y = x tan θ y derivando y respecto a θ (teniendo en cuenta que x es x dy x x constante): = de donde despejamos d y = dθ que se substituye en los dθ cos2 θ cos2 θ x x2 2 integrandos. También de la Fig.14 se obtiene cosθ = , de donde R = que se substituye R cos2 θ se tiene

tan θ =

en los integrandos. Cambiando los límites de integración en función de la variable

y = −∞ , θ = −

π 2

y cuando

y = +∞ , θ = +

π 2

θ

(cuando

) y con las substituciones anteriores se obtiene

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Campo electrostático S 14

π  + π2  + 2 r r r λ  E = K  i ∫ cosθ ⋅ dθ + j ∫ sin θ ⋅ dθ  x π  − π2  − 2 π π r + +  r λ r 2 E = K  i ⋅ sin θ ] π − j ⋅ cosθ ] π2  − −  x 2 2 r λ r r E = 2K i + 0 j x

es decir:

r λ r E = 2K i x de donde se deduce que la intensidad de campo es inversamente proporcional a la distancia a la distribución y es perpendicular a ella. El que no exista componente en la dirección paralela a la distribución era de esperar por consideraciones de simetría: todo elemento dq situado en Sy tiene otro elemento simétrico dq en +y, por lo cual las componentes en la dirección y de la intensidad de campo en P tienen el mismo módulo pero sentidos opuestos por lo que se anulan.

8. UNA FORMA DE VISUALIZAR EL CAMPO ELÉCTRICO: LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO Puesto que el campo eléctrico es un campo vectorial, para visualizarlo se necesita representar un vector intensidad de campo eléctrico en cada punto del espacio (en donde exista un campo, pues pueden existir puntos en los que no esté definido –por ejemplo, en la posición que ocupa una carga puntual– o porque es nulo –por ejemplo, el punto medio entre dos cargas iguales–), lo que exige una representación tridimensional, una gran cantidad de trabajo y el resultado sería de difícil interpretación. A Michael Faraday (1791S1867) se le debe la visualización del campo eléctrico en función de las denominadas líneas de campo eléctrico. 8.1. Propiedades de las líneas de campo eléctrico r a. Son líneas imaginarias orientadas, continuas (excepto en E singularidades como en una carga puntual, o puntos en donde se anula el campo, etc.), cuyas tangentes, en cualquier punto, tienen la dirección de la intensidad del campo en dicho punto (Fig.15). Fig.15 Las cargas de prueba qp que se coloquen en una región en la que existe un campo eléctrico experimentarán una fuerza eléctrica, de acuerdo con la expresión r r

Fe sobre q p = q p E , que tendrá el mismo sentido que el de la intensidad de campo en el caso de

cargas de prueba positivas (Fig.16a) o el contrario en el caso de las negativas (Fig.16b). r r r r Fesobre q E E p Fesobre −q p

-qp

+qp a

b Fig.16

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Campo electrostático S 15

Las cargas de prueba positivas al abandonarlas en un campo eléctrico, se mueven en el mismo sentido que las líneas de campo. Las cargas de prueba negativas al abandonarlas en un campo eléctrico, se mueven en sentido contrario a las líneas del campo. b. Las líneas de campo eléctrico de una carga puntual son radiales y uniformemente distribuidas alrededor de la carga. Con sentido hacia fuera de la carga las originadas por cargas positivas y hacia la carga las originadas por cargas negativas; sentido que es consecuencia de la expresión de la intensidad de campo eléctrico

r q r E = K 2 R0 . Las cargas positivas son manantiales de líneas de R

campo, las negativas son sumideros. Por ello, las líneas de campo eléctrico son abiertas por ser conservativo el campo electrostático.

r E

r E

-q

+q

Fig.17 Las Fig.17 corresponden a la representación en el plano de las líneas de campo eléctrico de cargas puntuales aisladas. En realidad, estas líneas abarcan todo el espacio tridimensional. Se puede observar que la representación del campo eléctrico mediante líneas de campo no permite obtener de una forma directa la intensidad del mismo en un punto dado del campo, aunque da la información de la dirección y sentido de la intensidad del campo en un punto por el cual pase una línea de campo.

+2q

+q

Fig.18 Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 16

c. El número total de líneas de campo eléctrico de una carga puntual es proporcional a la cantidad de carga, escogiendo la constante de proporcionalidad de forma que suministre la mejor visualización. En la Fig.18 están representadas 8 líneas para la carga +q y 16 líneas para la carga +2q. El que por un punto dado no pase una línea de campo no quiere decir que no exista allí intensidad de campo eléctrico. Normalmente sólo se representan unas pocas líneas, las suficientes para no complicar el gráfico y hacernos una idea de cómo es el campo eléctrico. d. A mayor número de líneas de campo representadas en una región del campo eléctrico, mayor intensidad del mismo, consecuencia de un concepto más general llamado flujo de campo eléctrico, que se puede interpretar como la medida de la densidad de líneas de campo que atraviesan una superficie perpendicular a dicho campo, concepto que se profundizará más adelante. r En las gráficas anteriores en las que se E+ representan líneas de campo eléctrico de cargas puntuales aisladas se puede apreciar fácilmente r esta propiedad: las líneas de campo están más r E E− próximas unas a las otras en las cercanías de las cargas, pues en esas regiones la intensidad de campo es alta; a medida que nos alejamos de las +q -q cargas, las líneas de campo se separan porque la intensidad de campo decrece. Obsérvese que dos líneas de campo no se pueden cruzar porque el campo eléctrico tiene una dirección única en un punto particular, por lo que sólo una línea de campo puede pasar por ese punto. Fig.19 También tengamos en cuenta que, en general, una partícula cargada de prueba no se mueve a lo largo de una línea de campo, pues como se ve en la Fig.16, la aceleración de esa carga de prueba es tangente a la línea de campo en ese punto y para poder seguir la trayectoria curvada de la línea de campo necesitaría además tener aceleración normal, que no tiene.

8.2. Dipolo eléctrico y momento dipolar En la Fig.19 se muestran algunas líneas de campo eléctrico en las proximidades de un dipolo eléctrico, formado éste por dos cargas iguales, de signos opuestos y separadas por una distancia d, pequeña en comparación con las distancias de las cargas a un observador. En cada punto del espacio que rodea al dipolo existe una intensidad de campo eléctrico tangente a la línea de campo que pasa por dicho punto. Esta intensidad es la resultante de las intensidades de campo producidas por la carga positiva y por la carga negativa en el punto en cuestión, resultado de los principios de superposición e independencia aplicados al campo eléctrico. Se define el momento dipolar eléctrico carga negativa a la positiva:

-q

r p como un vector de módulo p = qAd y con sentido de la d r p

+q

Fig.20 El momento dipolar eléctrico de una molécula, que es una medida de la asimetría de carga, se obtiene experimentalmente y, junto con otros parámetros, contribuye a la determinación de la estructura molecular: distancias y ángulos de enlace, coeficientes de las funciones de onda, etc. Según el momento dipolar, las moléculas se clasifican en apolares (no tienen momento dipolar) y polares (con momento Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 17

dipolar). Así, en los enlaces HSO de la molécula de agua hay una separación parcial de la carga electrónica en el enlace covalente, soportando el O una carga parcial negativa, − δ , por tener una mayor electronegatividad que el H, que soporta una carga parcial positiva, + δ . Puesto que existen dos enlaces HSO, cada H soporta una carga parcial + δ y el O una carga parcial total − 2δ . De este modo, en la molécula existen dos momentos dipolares de enlace, iguales en módulo, originados por los dos enlaces HSO. La molécula de agua tiene dos estructuras geométricas teóricamente posibles: lineal o angular,

+δ H

r p

−δ − δ r O p

+δ H

+δ H

r ptotal = 0

−δ − δ r O p r p r ptotal ≠ 0

+δ H

b

a Fig.21

siendo la angular la correcta, ya que la molécula de agua tiene momento dipolar resultante.

8.3. Otros ejemplos de representación del campo eléctrico mediante líneas de campo En los ejemplos de la Fig.22 no se cumplen exactamente todas las propiedades enunciadas para las representaciones mediante líneas de campo eléctrico, al menos en lo que se refiere a la propiedad d): del gráfico se deduce que el campo eléctrico es más intenso en las regiones A que en las B, por tener la región A mayor densidad de líneas. Justamente ocurre lo contrario: el campo es más intenso en B que en A. Ello es debido a que el flujo del campo eléctrico es un concepto tridimensional, que no se puede plasmar en una representación gráfica bidimensional. Aún las representaciones tridimensionales de líneas de campo eléctrico, tales como los anaglifos, requieren un elevado número de líneas para que la densidad de las mismas represente, al menos de forma aproximada, la intensidad de campo eléctrico.

A

A

B

+q

+q

B

+3q

+q

Fig.22

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Campo electrostático S 18

9. LEY DE GAUSS DEL CAMPO ELÉCTRICO La descripción cualitativa del campo eléctrico mediante líneas de campo está relacionada con la ecuación matemática denominada ley de Gauss (Karl Friedrich Gauss, físico y matemático alemán, 1775S1855), que relaciona la intensidad del campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley tiene ventajas significativas frente a la ley de Coulomb de la intensidad del campo eléctrico, pues: a. Permite cálculos de intensidades de campo relativamente fáciles para ciertas distribuciones de carga. b. Suministra una visión particularmente clara de ciertas propiedades básicas del campo. c. Es aplicable a cualquier distribución de carga, independientemente de su estado de movimiento, lo que sirve, a su vez, para definir la cantidad de carga neta en una región. 9.1. Vector superficie elemental Toda superficie elemental dS se caracteriza, para su empleo en el cálculo

r dS

r vectorial, por un vector dS , tal que su módulo dS es igual al área de la superficie

(por definición) y su dirección es perpendicular a la superficie (Fig.23). El sentido es arbitrario cuando se trata de una superficie plana, en otro caso se dirige de la parte cóncava a la convexa.

9.2. Ángulo plano y ángulo sólido Fig.23 El elemento de ángulo plano ordinario, dθ (Fig.24), se define como el cociente (adimensional) entre el elemento de longitud de arco de circunferencia, dl, y el radio de la misma: dl dl dθ = [27]

dθ R

R

con unidades de radianes (rad) en el SI. El ángulo plano total subtendido por una circunferencia es θ

=

Lcircunferencia 2π R = = 2π rad . De otra forma, R R

la integral de línea cerrada de

dθ es 2π rad: θ =

∫ dθ = 2π

rad . Este

linea

Fig.24

ángulo total es independiente de la forma de la trayectoria cerrada escogida, siempre se obtendrá el mismo resultado: 2π rad . De forma semejante, en el espacio se define el elemento de ángulo sólido, dΩ (Fig.25), como el cociente (adimensional) entre el elemento de superficie sobre una superficie esférica (normal al radio), dSn , y el radio de la esfera al cuadrado:

dΩ =

dSn R2

dS dΩ

r r dS ⋅ R0 [Su expresión general es dΩ = ] [28] R2

R

siendo su unidad el estereorradián (sr) en el SI, que es el ángulo sólido total subtendido por una superficie de 1 m2 sobre una esfera de radio 1 m. El ángulo sólido total subtendido por una esfera es

Sesfera 4π R 2 Ω = = = 4π sr , es decir, R2 R2

Ω =

∫ dΩ = 4π

sr

Fig.25 [29]

superficie

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Campo electrostático S 19

independientemente de la forma de la superficie cerrada. El símbolo I corresponde a una integral abierta (a lo largo de una línea o superficie, según se especifique en la parte inferior de dicho símbolo, o si no se especifica, basta con observar la variable respecto a la que se integra). Por el contrario, el símbolo Š, con el círculo sobre el del integral, corresponde a una integral cerrada (a lo largo de una línea o superficie cerrada, según el caso).

r dS

9.3. Flujo elemental de un campo vectorial a través de una superficie elemental abierta Supongamos que en una región del espacio existe un campo

r vectorial A , representado en la Fig.26 por sus líneas de campo, r y una superficie elemental dS . Se llama flujo elemental del campo a través de dicha superficie al producto escalar r r [30] dΦ = A ⋅ dS

θ

r dSn

r A

Fig.26

es decir, igual al producto del módulo del campo por la proyección de la superficie sobre un plano normal a la dirección del campo: dΦ = A ⋅ dS ⋅ cosθ = A ⋅ dSn [31] Puesto que la densidad de líneas de campo es directamente proporcional al módulo del mismo, se concluye que el flujo elemental representa el número de líneas de campo que atraviesan un elemento de superficie normal al campo.

9.4. Flujo total de un campo vectorial a través de una superficie cerrada Para calcular el flujo total a través de una superficie cerrada (que encierra un volumen) S, se integra el flujo elemental para toda la superficie cerrada:

Φ super. cerrada =

∫

r r A ⋅ dS =

super.

∫

A ⋅ dS ⋅ cos θ =

super.

∫ A ⋅ dS

n

[32]

super.

obteniéndose el flujo neto, que en términos de líneas de campo significa el número de líneas de campo que salen de la superficie cerrada menos el número de líneas de campo que entran en dicha superficie cerrada. Teniendo en cuenta la definición de ángulo sólido (expresión [28]), la integral anterior se puede escribir:

Φ super. cerrada =

∫ A⋅ R

2

⋅ dΩ

[33]

super.

para lo cual se necesita conocer la expresión del módulo A.

9.5. Flujo total a través de una superficie cerrada para un campo inversamente proporcional a la distancia al cuadrado Es el caso de los campos gravitatorio y electrostático de masas y cargas puntuales, respectivamente, pues para ellos se puede expresar A como

A = cte

1 R2

[34]

siendo cte = SGAm cte = KAq

en el campo gravitatorio en el campo electrostático

Substituyendo A en la integral del flujo total y teniendo en cuenta lo dicho para el ángulo sólido total subtendido:

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Campo electrostático S 20

Φ super. cerrada = cte

1 2 2 R d Ω = cte ∫ dΩ = cte ⋅ 4π R super. super.

∫

[35]

9.6. Ley de Gauss Así, para el campo electrostático producido por una carga puntual interior a la superficie cerrada, substituyendo la cte y teniendo en cuenta que K =

Φ super. cerrada =

1 , se obtiene: 4π ε 0

r r q E ∫ ⋅ dS = ε 0 super.

[36]

que constituye una primera aproximación a la ley de Gauss del campo eléctrico. El resultado anterior tiene una serie de propiedades interesantes que hacen de la ley de Gauss una herramienta muy potente: a. La ley de Gauss es consecuencia de que la intensidad del campo eléctrico debido a una carga puntual aislada varía exactamente con la inversa del cuadrado de la distancia desde la carga, dependencia que es una propiedad de la naturaleza que se conoce con mucha precisión. Si la dependencia fuera distinta no se podría escribir la expresión tan sencilla Φ super.cerrada =

q . ε0

b. El flujo neto es directamente proporcional a la carga interior a la superficie cerrada. Ésta era una de las propiedades en las que se basaba la visualización del campo eléctrico a través de las líneas de campo: cuánto mayor sea la carga puntual, mayor será el flujo neto a través de una superficie que encierre a la carga, y puesto que el flujo es una medida del número de líneas de campo que atraviesan la superficie cerrada, más líneas tendremos que dibujar para representar el campo eléctrico. S

S

+q

+2q

Fig.27 En la Fig.27, la superficie cerrada escogida es esférica e igual en ambos casos. El flujo neto en el primero es de 8 unidades (8 líneas de campo que salen de la superficie cerrada). El flujo neto en el segundo es de 16 unidades. La razón está en que en el segundo la carga interior es doble que en el primero.

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Campo electrostático S 21

c. El flujo neto no depende de la forma de la superficie cerrada. En la Fig.28 se tiene un campo eléctrico producido por una carga puntual. Están dibujadas unas cuantas líneas de campo y dos superficies cerradas, una esférica, S1, y otra irregular, S2. El balance neto del flujo es el siguiente:

S2

S1 Superficie

Líneas que entran

Líneas que salen

Flujo neto

S1

0

8

+8

S2

2

10

+8

Esta independencia de la forma de la superficie cerrada se deduce fácilmente si de la expresión [36] si escogemos el primero y el último término:

Φ super.cerrada =

+q

Fig.28

q ε0

[37]

en donde no aparece la integral de superficie cerrada. d. El flujo neto no depende de como esté distribuida la carga dentro de la superficie cerrada. Se puede deducir cualitativamente a partir de la Fig.28: si se desplaza la carga +q dentro de los volúmenes encerrados por S1 o S2, el flujo neto no se altera. También es consecuencia de la última expresión [37]. e. Las cargas externas a una superficie cerrada no influyen en el flujo neto. En la Fig.29 se ha escogido una superficie S3 tal que la carga +q está fuera de dicha superficie. Haciendo un recuento de las líneas de campo que salen y entran en S3 deducimos que el flujo es nulo, independientemente de la forma de la superficie.

S3 +q

Cuestión 1 Si el flujo neto a través de una superficie cerrada es nulo ¿podemos afirmar que la intensidad del campo eléctrico es nula en todos los puntos de la superficie cerrada? Fig.29 Se acaba de ver un caso ejemplificado en la Fig.29 en donde el flujo neto es nulo porque no hay carga en el interior de la superficie cerrada, existiendo no obstante campo eléctrico a lo largo de dicha superficie. En este caso, la integral

∫

r r E ⋅ dS se anula.

super.

Pero el que la integral se anule no significa que el integrando sea nulo, sino que la integral de la intensidad del campo eléctrico, no nula en este caso, a lo largo de la superficie cerrada se hace cero. En este caso la ley de Gauss no permite obtener ninguna información sobre la intensidad del campo eléctrico a lo largo de la superficie cerrada.

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Campo electrostático S 22

f. El flujo neto depende de la carga neta interior a la superficie cerrada. Hasta aquí sólo se hizo referencia a una carga puntual interior a la superficie cerrada, pero la ley de Gauss se puede generalizar a la carga neta interior como consecuencia del cumplimiento del principio de superposición e independencia del campo eléctrico, sea cual sea la distribución de las cargas. Su cumplimiento se observa en la Fig.30 en donde el flujo neto se debe a la contribución de las dos cargas en el interior de la superficie cerrada S. La última propiedad permite escribir finalmente la forma integral definitiva de la ley de Gauss para el campo eléctrico:

Φ neto =

∫

r r E ⋅ dS =

super.

S

q neta interior super. cerrada

ε0

[38]

que aunque para su deducción se partió de la ley de Coulomb de la intensidad del campo eléctrico de una carga puntual, es en cierto modo más general que la ley de Coulomb, pues es aplicable a cualquier distribución de carga y tanto a campos electrostáticos como no electrostáticos. En la expresión de la ley de Gauss, la carga es la total neta en el interior de la superficie cerrada imaginaria llamada superficie gaussiana; su elemento de superficie es el que aparece en el

r

+q

+q

Fig.30

r

integrando, dS . La intensidad de campo E del integrando es la intensidad de campo total en los puntos de la superficie gaussiana, el cual incluye las contribuciones de las cargas tanto interiores como exteriores a la superficie gaussiana. En la Fig.29 de la Cuestión 1 tenemos un ejemplo en el que la intensidad de campo a lo largo de la superficie gaussiana se debe a cargas externas a dicha superficie, pues no existe carga neta en el interior de la misma. La ley de Gauss para el campo eléctrico [38] expresa pues que el flujo eléctrico total a través de una superficie gaussiana es igual a la carga eléctrica neta en el interior de dicha superficie dividida entre ε 0 y también igual a la integral del campo eléctrico a lo largo de dicha superficie.

9.7. Elección de una superficie gaussiana adecuada Una de las finalidades de la ley de Gauss consiste en calcular la intensidad del campo eléctrico debida a la carga neta conociendo la distribución de dicha carga. Para ello es necesario resolver la integral

∫

r r E ⋅ dS lo que exige escoger en primer lugar una superficie gaussiana que encierre a la

super.

carga de interés. Pero no todas las superficies gaussianas son adecuadas, ya que muchas de ellas puede que no faciliten la resolución de la integral anterior, o hacerla irresoluble. Por tanto es necesario escoger una superficie gaussiana adecuada, es decir, que cumpla alguna de las siguientes condiciones para facilitar la resolución de la integral: a. Que la superficie esté orientada tal que

r

r

que E ⋅ dS

r E en todas sus partes sea tangente a la superficie, es decir

= 0.

b. Que la superficie esté orientada tal que

r E en todas sus partes sea normal a la superficie y que el

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Campo electrostático S 23

r

r

módulo E sea constante en toda la superficie. Así tendremos que E ⋅ dS = E ⋅ dS ⋅ cosθ = E ⋅ dS y al ser E constante sale fuera de la integral, simplificándola al máximo:

∫

r r E ⋅ dS = E

super.

∫ dS = E ⋅ S

[39]

super.

Algunas veces es necesario escoger una superficie cerrada en la que no se cumpla ninguna de las propiedades anteriores en toda la superficie. Como la integral de superficie cerrada se puede escribir como suma de integrales de superficie abierta:

r r E ⋅ dS =

∫ super. cerrada

∫

r r E1 ⋅ dS1 +

super. abierta 1

∫

r r E2 ⋅ dS2 + ...+

super. abierta 2

∫

r r En ⋅ dSn

[40]

super. abierta n

puede ser útil para calcular la intensidad del campo eléctrico si en cada una de las superficies se cumple alguna de las dos propiedades anteriores.

10. ALGUNAS APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS 10.1. Intensidad del campo eléctrico originado por una carga puntual Se desea determinar la intensidad del campo eléctrico en el punto P a una distancia R de la carga puntual +q (Fig.31). La superficie gaussiana adecuada es una esfera de radio R, superficie S y centrada en la carga: la intensidad de campo en todos los puntos de la superficie tendrá el mismo módulo por estar éstos a la misma distancia de la carga y además es normal a la superficie en cualquier punto de ésta. r Aplicando la ley de Gauss: E P S r r q r E ⋅ dS = [41] R ε 0 super. +q

∫

gaussiana

∫ E ⋅ dS ⋅ cosθ = super. gaussiana

q ε0

[42]

Fig.31

r

r

siendo cosθ = 1 para cualquier punto de la superficie de la esfera por formar E y dS un ángulo de 0º, y al tener en cuenta que el módulo de la intensidad de campo es constante a lo largo de la superficie de la esfera: q E ∫ dS = [43] ε0 super. gaussiana

teniendo en cuenta que la integral de superficie cerrada a lo largo de la superficie gaussiana es el área de la esfera:

E ⋅ Ssuper.

=

gaussiana

al ser

q ε0

[44]

= 4π R 2 y despejando E:

Ssuper. gaussiana

E=

1 q 4π ε 0 R 2

[45]

se obtiene el módulo de la intensidad de campo a una distancia R de la carga puntual, que es la misma expresión que la del módulo de la intensidad de campo cuando se aplica la ley de Coulomb [18]. Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

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10.2. Intensidad de campo eléctrico de una corteza esférica dieléctrica con distribución de carga neta con simetría esférica. Supongamos una corteza esférica aislante de radio externo Re y radio interno Ri (tiene espesor), con una carga neta +q distribuida uniformemente en el volumen de la corteza, es decir, densidad volúmica de carga constante:

ρ=

q = cte. V

Se obtendrá por separado la intensidad del campo eléctrico en el exterior y en el interior de la corteza, con la observación de que el análisis y los resultados también son válidos para el caso de que la corteza no tenga espesor (la carga estaría distribuida uniformemente a lo largo de la superficie externa de la esfera), dejando para el siguiente apartado el análisis del campo eléctrico en el volumen de la corteza. a. Puntos sobre la superficie externa de la corteza y puntos externos a la misma: R $ Re (Fig.32a. Todas las representaciones de la Fig.32 son secciones transversales) Como superficie gaussiana adecuada se escoge una esfera de radio R, de superficie S, exterior y concéntrica a la corteza esférica cargada. La intensidad de campo es normal a la superficie esférica gaussiana, como se puede deducir por simetría, y con módulo constante en todos sus puntos, encerrando la superficie gaussiana una carga total q. Aplicando la ley de Gauss de la misma forma que en el apartado anterior, se llega a:

E ext =

1 q q 2 = K 4πε 0 R R2

R ≥ Re

[46]

expresión idéntica a la intensidad de campo producida por una carga puntual: la intensidad de campo en el exterior de la corteza esférica con distribución simétrica de carga es la misma que la intensidad de campo producida por una carga puntual situada en el centro de la corteza y equivalente a la carga total de la distribución, que justifica lo que se viene diciendo en esta unidad sobre la equivalencia entre cargas puntuales y cargas con simetría esférica, consecuencia otra vez más de la dependencia del campo eléctrico (y de la fuerza eléctrica) con el inverso de la distancia al cuadrado. r S E ext R r dS r r E int dS Re Ri S R R i

a

b Fig.32

c

b. Puntos internos a la corteza cargada: R < Ri El interior de la corteza es una esfera en la que no existe carga, pero está rodeada por una capa de carga. Tenemos que contestar a la siguiente pregunta: dicha capa esférica de carga (la de la corteza), con distribución uniforme, ¿contribuye a la existencia de campo eléctrico en el interior de la corteza?. Para ello, supongamos que la carga de la corteza sí contribuye a la existencia de un

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r campo E int en el interior. Puesto que la distribución de carga en la corteza tiene simetría esférica, no queda otra solución para la dirección de dicho hipotético campo interno que ser normal a la superficie de la corteza (y dirigido hacia el centro de la esfera cuando la carga de la corteza es positiva), Fig.32b. Escojamos una superficie gaussiana de radio R (esfera concéntrica a la corteza) por dentro de la superficie interna de la corteza (Fig.32b, en la que también se representa un elemento de superficie gaussiana) y apliquemos la ley de Gauss:

r qint r [47] E ⋅ d S = int ∫ ε 0 super. r r en donde E int ⋅ dS = E int ⋅ dS ⋅ cosθ = E int ⋅ dS , pues cos θ = 1 por tener la intensidad de campo y el elemento de superficie la misma dirección a lo largo de toda la superficie gaussiana. Además, Eint es constante en módulo a lo largo de dicha superficie por lo que sale fuera de la integral:

Eint

∫ dS = super.

qint ε0

[48]

en donde la integral de superficie a los largo de toda la superficie gaussiana es la superficie de la esfera S:

E int ⋅ S =

q int ε0

[49]

Puesto que en el interior de la corteza no existe carga, qint = 0, en consecuencia EintAS = 0 en todos los puntos de la superficie gaussiana y, al no ser nula la superficie S, se concluye que: r E int = 0 R < Ri [50] resultado que no es más que una consecuencia de la simetría del problema. Nótese que en este caso, la corteza cargada no ejercería fuerza eléctrica sobre una carga que se situara en cualquier punto interno. En la Fig.32c se representan algunas líneas de campo (en el plano) originadas por la corteza con carga neta positiva. Si ésta fuese negativa, la única diferencia es que las líneas de campo tendrían sentido opuesto.

+q Ejemplo 4 En la Fig.33 se representa la sección transversal de la corteza del apartado anterior. En el borde se dispusieron seis cargas positivas iguales e igualmente espaciadas (en los vértices de un hexaedro). Trazando tres líneas de campo por cada carga se trató de visualizar el campo eléctrico resultante. Aunque se partió de muy pocas cargas, se observa que el campo eléctrico tiende a ser nulo en el interior. A medida que se utilicen más cargas dispuestas en el borde, menos penetrarán las líneas de campo en el interior. Cuando el número de cargas en el borde sea

+q

+q

+q

+q +q

Fig.33

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suficientemente grande como para considerar a la distribución continua, el campo eléctrico se hará nulo en el interior.

10.3. Intensidad de campo eléctrico de una esfera dieléctrica con densidad volúmica de carga constante r La distribución continua de carga se encuentra en el interior de E una esfera de radio R0 tal que su densidad volúmica de carga es S constante:

ρ=

q = cte , siendo q la carga total y V el volumen de V

la esfera. Consideremos dos casos a efectos de cálculo de la intensidad de campo:

R

+q

R0

a. Puntos sobre la superficie de la esfera cargada y puntos externos a ella: R $ R0 (Fig.34) Como superficie gaussiana adecuada se escoge una esfera de Fig.34 radio R, de superficie S, exterior y concéntrica a la esfera cargada. La intensidad de campo es normal a la superficie esférica gaussiana, como se puede deducir por simetría, y con módulo constante en todos sus puntos, encerrando la superficie gaussiana una carga total q. Aplicando la ley de Gauss de la misma forma que en el apartado 10.1, se llega a:

E ext =

1 q q 2 = K 4πε 0 R R2

R ≥ R0

[51]

expresión idéntica a la intensidad de campo producida por una carga puntual y a la de una corteza esférica cargada fuera de ella, tal como se analizó en el apartado anterior, con el mismo resultado que en este último: la intensidad de campo en el exterior de la esfera con distribución simétrica de carga es la misma que la intensidad de campo producida por una carga puntual situada en el centro de la esfera y equivalente a la carga total de la distribución. En este ejemplo se supuso que la distribución volúmica de carga es constante, pero también las distribuciones radiales y esféricas de carga, ρ = ρ ( r ) , cumplen con la condición de simetría esférica. b. Puntos interiores a la esfera cargada: R < R0 (Fig.35) Se escoge como superficie gaussiana una superficie esférica de radio R, interior a la superficie cargada. La carga interior a la superficie gaussiana, al ser la densidad volúmica constante, es

qint = ρ ⋅ Vint = ρ

4 3 π R . Teniendo en cuenta que la intensidad de campo producido por esta carga 3

qint es normal a la superficie gaussiana, como se puede deducir también por simetría, y que la carga de la capa externa (entre R y R0) no contribuye al campo en el interior (resultado que se obtuvo en el apartado 10.2.b), la ley de Gauss queda:

4 ρ π R3 E⋅S = 3 [52] ε0 2 siendo S = 4π R , el área de la superficie gaussiana interior a la esfera cargada. ρ R 3ε 0

R0

qint Rr Eint

Fig.35

Despejando E se obtiene:

E int =

S

R ≤ R0

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[53]

Campo electrostático S 27

aumentando linealmente el módulo de la intensidad de campo con la distancia al centro de la esfera. Este resultado se puede expresar en función de la carga total de la esfera cargada, al tener en cuenta que

q q = , que al substituir en la expresión anterior: V 4 3 πR 3 0 1 qR = qR = K R ≤ R0 4πε 0 R03 R03

ρ=

E int

permitiendo así la comparación con la expresión del módulo del campo fuera de la esfera. Cuando nos situamos en la superficie de la esfera, se hace R=R0, que al substituir en esta última expresión del módulo del campo en el interior se obtiene el mismo resultado que al substituir en la expresión del módulo del campo en el exterior, indicativo de que el campo es continuo a través de la superficie de la esfera cargada.

E q K 2 R0

[54]

Esuperficie Eint

En la Fig.36 se resumen los módulos de las intensidades de campo en los tres casos: en el interior, en la superficie y en el exterior. Los resultados anteriores se podrían obtener integrando la ley de Coulomb de la intensidad del campo eléctrico para distribuciones (expresión [25]), pero como se puede intuir, sería un procedimiento bastante más difícil que el que se ha utilizado aquí.

Eext

R

R0

Fig.36

10.4. Campo eléctrico creado por una lámina dieléctrica cargada, plana e infinita La carga neta estará distribuida en ambas superficies de la lámina, y por ser ésta infinita, la densidad superficial de carga será uniforme, siendo la carga neta contenida en una superficie S la que se obtiene por la expresión q = σ S . Por simetría –recuérdese que la lámina es plana e infinita– (véase el Ejemplo 3 en el que se deduce que no existe componente del r campo paralela a la distribución lineal de carga) sólo existe r E E componente del campo en la dirección perpendicular a la lámina. En la Fig.37 se representa la lámina vista de perfil (supuesta infinita), con la carga neta supuesta positiva, distribuida Fig.37 uniformemente a lo largo de la superficie. Se origina un campo eléctrico, representado en dicha figura por unas cuantas líneas de campo, normales a la lámina, estando determinado así tanto la dirección como el sentido del campo eléctrico a ambos lados de la lámina, por lo que sólo queda por determinar su módulo.

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Campo electrostático S 28

r dSlateral

Nos basaremos en la ley de Gauss para determinar el módulo σ del campo eléctrico, r para lo cual se r dS base derecha escogerá u n a dS base izquierda superficie gaussiana r a de c ua da , por r E E ejemplo, un cilindro de base S, normal a la lámina, y tal que ésta divide al cilindro en Fig.38 dos partes iguales (Fig.38). Puesto que las dos bases extremas del cilindro están a la misma distancia de la lámina, el módulo de la intensidad de campo será igual para las dos bases. Aplicando la ley de Gauss:

r r qint E ⋅ dS = ∫ ε0 super.cilindro

[55]

siendo qint = σ S la carga neta de la superficie S cortada por el cilindro. Puesto que la superficie cerrada del cilindro está formada por una superficie lateral y por dos bases de los extremos, la integral de superficie cerrada a lo largo del cilindro de la ley de Gauss se descompondrá en tres integrales:

r r E ⋅ dS base

∫

+

izquierda

base izquierda

∫

r r E ⋅ dSbase

+

derecha

base derecha

r r σS E ⋅ d S = ∫ lateral ε0 lateral

[56]

La tercera integral de [56] es nula por ser la intensidad de campo perpendicular al elemento de

∫

superficie lateral:

r r E ⋅ dSlateral =

lateral

∫ E ⋅ dS

lateral

⋅ cos 90º = 0 .

lateral

En las dos primeras integrales de [56], la intensidad de campo y el elemento de superficie de la base son paralelos y ambos tienen el mismo sentido. Además, como se vio antes, el módulo de la intensidad del campo es constante en toda la superficie de la base, por lo cual cada una de las dos primeras integrales de [56] se puede escribir como:

∫

r r E ⋅ dSbase =

base

∫ base

E ⋅ dSbase ⋅ cos 0º = E ∫ dSbase = E ⋅ S

[57]

base

y como son dos las integrales con el mismo resultado, se tiene:

2 ES =

σS ε0

[58]

de donde el módulo de la intensidad del campo eléctrico a ambos lados de la lámina está dado por

E=

σ 2ε 0

[59]

Del resultado, que se utilizará en la unidad Capacidad y condensadores para calcular el campo eléctrico en el interior de un condensador plano (aunque allí se aplicará a una lámina conductora), se deduce que el módulo del campo eléctrico es constante: no depende de la distancia del punto en el que calculamos el campo a la lámina.

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Campo electrostático S 29

Se obtiene así una región del espacio de campo eléctrico uniforme,

r

en la cual E = cte , es decir, la intensidad de campo es constante en dirección, módulo y sentido. Estos campos eléctricos se visualizan, como era de esperar, por líneas de campo paralelas entre si (Fig.39).

r E Fig.39

En la práctica, las láminas son de extensión finita por lo que la densidad de carga no será exactamente uniforme y las líneas de campo, por tanto, no serán paralelas. De todas formas, el análisis anterior es aplicable en buena aproximación a estas láminas finitas cuando se analiza el campo eléctrico en la zona central de la lámina y a distancias pequeñas de ésta comparada con las dimensiones de la misma. Así, en la Fig.40 se dispusieron 21 cargas positivas iguales en línea y en equilibrio electrostático (las cargas de los Fig.40 extremos están fijas en los extremos de un segmento soporte y las cargas interiores situadas de tal forma que la intensidad de campo en cada una de ellas es nula. En esta situación, la energía potencial eléctrica del sistema de cargas Sconcepto que se verá más adelanteS es mínima), y se representaron dos líneas de campo por carga para simular el comportamiento del campo eléctrico producido por una lámina horizontal finita, vista de perfil.

10.5. Campo eléctrico y distribución de carga en un conductor en equilibrio electrostático Un medio conductor permite la movilidad de portadores de carga, tanto de la carga libre (un electrón como mínimo por átomo en metales, iones en disoluciones electrolíticas, etc.) como de la carga neta (exceso de carga). Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando no hay movimiento neto de la carga (tanto libre como neta) dentro del conductor. Pues bien, un conductor en equilibrio electrostático tiene cuatro propiedades muy importantes. En este apartado se deducirán las tres primeras y en el apartado 14.3 la restante. • La primera propiedad dice que el campo eléctrico es nulo en todo punto interior a un conductor en equilibrio electrostático, es decir:

r E int = 0

[60] pues si el campo interno no fuese nulo, ejercería una fuerza eléctrica sobre cualquier carga (tanto libre como neta) del interior del conductor, contradiciendo la condición de equilibrio electrostático que hemos impuesto. Si el conductor sólo contiene carga libre (es neutro, no está cargado), dicha carga libre se encontrará distribuida uniformemente por todo el volumen del conductor. • La segunda propiedad se refiere a los conductores cargados en equilibrio electrostático: la carga neta se encuentra en la superficie. En la Fig.41 se representa la sección transversal de un conductor con carga neta de geometría arbitraria y una superficie gaussiana (línea a trazos) exactamente en el borde interno de la superficie del conductor. Puesto que el campo interno es nulo, también lo es en todos los puntos de la superficie gaussiana, pues ésta es interna al conductor. Así, en Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

S r Eint. = 0

Fig.41 Campo electrostático S 30

cualquier parte de la superficie gaussiana tendremos ley de Gauss:

r r E ⋅ dS = 0 , con un flujo neto nulo. Al aplicar la

r r q neta int. E ∫ ⋅ dS = ε 0 = 0 super.

[61]

gaussiana

por ser el integrando nulo, lo que exige que la carga neta interior al conductor sea nula, [62] q neta int. = 0 resultado que se puede deducir intuitivamente al considerar el hecho de que cargas iguales se repelen. Si la carga neta no se encuentra en el volumen interno del conductor, la única solución es que se encuentre en la superficie del mismo (Fig.42), originando una densidad superficial de carga σ uniforme en conductores con simetría esférica, variable a lo largo de la superficie del conductor en otros casos tal que la carga tiende a concentrarse en regiones donde la curvatura de la superficie es mayor.

qneta int.=0

Fig.42

• La tercera propiedad hace referencia a las propiedades del campo justo fuera de la superficie del conductor con carga neta en equilibrio electrostático: no existe componente tangencial del campo a lo largo de la superficie, sólo existe componente normal con valor

σ . ε0

En el exterior del conductor existirá un campo eléctrico originado por la densidad superficial de carga neta. Ahora nos interesaremos por las características de dicho campo, fundamentalmente sobre la superficie externa del conductor. r En

En la Fig.43a se muestra una

r intensidad de campo E en un punto cualquiera de la superficie externa y que forma un cierto ángulo con la misma. Esta intensidad se puede descomponer en dos componentes:

r una normal a la superficie, En y r otra tangente, Et . Esta última

r E dS

r E r Et

a

b Fig.43

componente representa una intensidad de campo a lo largo de la superficie del conductor, es decir, que la carga neta de la superficie estaría sometida a una fuerza eléctrica a lo largo de la superficie, lo que representa una movilidad de dicha carga por la superficie, violando la condición de equilibrio electrostático. Se deduce así que la intensidad del campo eléctrico en la superficie externa del conductor tiene que ser normal a la misma,

r

no pudiendo existir componente tangencial: E t = 0 . Una vez conocida la dirección de la intensidad de campo en la superficie, analicemos su módulo. En la Fig.43b se muestra una superficie gaussiana cilíndrica que es atravesada por la superficie del conductor que contiene un elemento de carga neta

r

dq = σ ⋅ dS , cilindro con una base de superficie elemental dS lo suficientemente pequeña para que las líneas de campo sean paralelas y el módulo del campo constante. Aplicando la ley de Gauss en forma diferencial:

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Campo electrostático S 31

E n super. ext.dS =

σ ⋅ dS ε0

[63]

de donde se obtiene el módulo de la intensidad de campo en la superficie externa del conductor:

E n super. ext. =

σ ε0

[64]

siendo la intensidad de campo normal a la superficie del conductor y directamente proporcional a la densidad de carga local neta (la densidad de carga neta no tiene porque ser constante a lo largo de toda la superficie por lo que En tampoco). En las proximidades del exterior de la superficie del conductor tendremos una densidad de líneas de campo que será tanto mayor cuanto más grande sea dicha densidad de carga. Es interesante notar que se obtuvieron conclusiones importantes sobre la carga y el campo eléctrico para este ejemplo (más adelante se obtendrán las relativas al potencial eléctrico) aplicando la ley de Gauss a un caso que carece completamente de simetría, conclusiones que no se pueden obtener aplicando la ley de Coulomb porque para aplicarla se necesita conocer cómo está distribuida la carga eléctrica. Dejaremos para el apartado 14.4 el análisis, también de un conductor con carga neta en equilibrio electrostático, pero con una cavidad interna, pues se necesita el concepto de potencial eléctrico.

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Campo electrostático S 32

11. ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA En esta segunda parte de la unidad se hará un tratamiento escalar del campo electrostático que nos dará un punto de vista complementario al tratamiento vectorial que se realizó hasta ahora. El enfoque escalar, a través de los conceptos energía potencial eléctrica y potencial electrostático, aportará una mejor comprensión de los fenómenos relacionados con los campos electrostáticos y una nueva herramienta para la resolución de determinados problemas utilizando las relaciones de energía. r 11.1. Variación de la energía potencial Fei sobre j eléctrica A qj B Consideremos dos cargas eléctricas puntuales r (Fig. 44, en la que qi y qj tienen el mismo signo): dR r r RA qi fija mediante algún tipo de fuerza no R r representada en la figura, y qj que se mueve desde R r B la posición A hasta la posición B bajo la acción R0 únicamente de la fuerza eléctrica de qi sobre qj. Puesto que qj experimenta un desplazamiento por acción de una fuerza eléctrica, ésta realiza trabajo qi eléctrico sobre qj. Este trabajo, al tener en cuenta Fig.44 que la fuerza eléctrica es conservativa, se puede expresar como una disminución de la energía potencial eléctrica, Ue:

Wque realiza Fre i sobre j = para desplazar q j desde A hasta B

∫

r RB r RA

r r Fei sobre j ⋅ dR = − ∆ U e = U eA − U eB

[65]

Nótese, tal como se indica en la expresión, que al moverse qj bajo la acción de una fuerza de campo conservativo, la energía potencial de qj disminuye (signo negativo delante de ∆Ue). Puesto que la energía mecánica tiene que mantenerse constante cuando las únicas fuerzas que realizan trabajo son conservativas, si disminuye la energía potencial de qj, su energía cinética aumentará. La integral de la expresión anterior, semejante a la obtenida en el campo gravitatorio, al substituir

r

r

la expresión de la fuerza eléctrica dada por la ley de Coulomb y al tener en cuenta que R0 ⋅ dR = dR (demostrado cuando se calculó la energía potencial gravitatoria), es:

∫

r RB r RA

r r r r r RB R RB dR  1 1  Fei sobre j ⋅ dR = Kqi q j ∫ r 02 dR = Kqi q j ∫ = Kq q  −  i j RA R RA R 2  RA RB 

[66]

por lo que la disminución de energía potencial eléctrica queda:

 1 1 − ∆ U e = U eA − U eB = Kqi q j  −   RA RB 

[67]

es decir, en función de las posiciones inicial y final de qj sin que importe el camino seguido por qj al pasar de A a B, tal como era de esperar por proceder de un campo conservativo. Para que qj realice el camino inverso (de B a A, en el supuesto dado en la Fig.44 en la cual qi y qj tienen el mismo signo) tendremos que aplicar sobre qj una fuerza externa que compense a la fuerza eléctrica (tardando por tanto un tiempo infinito en el proceso) que actúa sobre qj. En este caso realizamos un trabajo sobre qj en contra de la fuerza eléctrica del campo, incrementando la energía potencial eléctrica de qj. Este trabajo externo sobre qj es: Wque realiza Fr = Wque realiza Fr = − ∆ U e = − (U eB − U eA ) [68] externa sobre q j

para desplazar q j desde B hasta A

ei sobre j

para desplazar q j desde A hasta B

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Campo electrostático S 33

11.2. Energía potencial eléctrica de un sistema de dos cargas puntuales (o equivalentes) Habitualmente se trabaja con energías potenciales U, en lugar de las variaciones de energía potencial. Puesto que la física clásica a lo sumo permite calcular variaciones de energía potencial y no sus valores absolutos, lo que se hace es definir una energía potencial de referencia, siendo lo usual tomar energía potencial nula cuando la distancia de separación es infinita. Así, hagamos que qj se desplace desde A hasta el infinito y hagamos U4 = 0 (podría tomar otro valor cualquiera, pero sería molesto arrastrar dicho valor en los cálculos). Para ello basta con substituir RB por 4 en la expresión de la variación de la energía potencial:

 1 1 U eA − 0 = Kqi q j  −   RA ∞ 

[69]

es decir:

U eA = K

qi q j

[70]

RA

expresión que podemos reescribir sin hacer referencia al punto concreto A como:

Ue = K

qi q j

tomando U e = 0 para R = ∞

Rij

[71]

siendo Rij la distancia (valor siempre positivo por ser un módulo) entre qi y qj. Esta expresión es válida para cargas puntuales o distribuciones esféricas de carga en las condiciones señaladas para la ley de Coulomb de la fuerza eléctrica (apartado 4.1.a). Ue Téngase en cuenta que la Ue dada por la qi·qj > 0 expresión [71] es una energía potencial eléctrica relativa a la referencia energía potencial eléctrica nula cuando las cargas están separadas una qi distancia infinita, aunque a menudo no se explicite Rij el adjetivo “relativa”. qi·qj < 0 En cuanto al significado de Ue podemos interpretarlo como el trabajo realizado por el campo Fig.45 eléctrico cuando la carga qj se desplaza desde la posición Rij hasta el infinito, manteniendo fija a qi:

U e = Wque realiza Fre

i sobre j

para desplazar q j desde Rij de qi hasta el ∞

=

∫

∞ r Rij

r r Fei sobre j dR

[72]

Pero también admite la interpretación inversa respecto a la carga que se mueve: el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando la carga qi se desplaza desde la posición Rij hasta el infinito, manteniendo fija a qj. En ambos casos, independientemente del camino seguido por la carga que en ese momento se mueve. La simetría anterior permite considerar a Ue como la energía potencial eléctrica relativa mutua del sistema formado por dos cargas, en vez de asignarla a una u otra carga, es decir, compartida por las dos cargas. En este sentido, Ue representa el trabajo que realiza el campo eléctrico para deshacer la distribución de cargas: desde una situación inicial en la que están separadas por una distancia Rij entre ellas a una situación final en la que están separadas por una distancia infinita, en donde se ha tomado la referencia de energía potencial nula. Por tanto SUe representará el trabajo externo que tendremos que realizar sobre las dos cargas para aproximarlas (desde una situación inicial de no interacción Sdistancia de separación infinitaS hasta una distancia de separación Rij). Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 34

En cuanto a los valores numéricos de Ue, pueden ser: • Positivos, cuando las cargas tienen el mismo signo: qiAqj > 0. En este caso Ue disminuye al aumentar la separación entre cargas. Esto es coherente, pues las cargas se repelen y evolucionan, bajo la acción del campo, hacia energías potenciales menores. • Nulos, cuando la distancia de separación entre cargas es infinita. • Negativos, si las cargas tienen distinto signo: qiAqj < 0. En este caso Ue disminuye (con valores negativos) al aproximarse las cargas, ya que se atraen. En la Fig.45 están representadas la características citadas anteriormente.

11.3. Energía potencial eléctrica de un sistema de n cargas puntuales (o equivalentes) Comenzaremos con un caso concreto: Reuniendo tres cargas puntuales (supongamos todas ellas positivas) en varias etapas para configurar un sistema de dichas cargas (Fig.46), analizando en cada una de las etapas la energía potencial del sistema. En primer lugar supongamos que tenemos una carga puntual fija q1. A continuación traemos la carga q2 desde el infinito hasta la distancia R12 de q1 y fijamos q2 en esa posición. En este proceso se realizó trabajo externo sobre q2, pasando de ser nula la energía potencial inicial (q1 y q2 estaban separadas por una distancia infinita), a adquirir el sistema una energía potencial (relativa) Ue12:

U e12 = K

q1q 2 R12

[73]

En la siguiente etapa traemos q3 desde el infinito a las proximidades de q1 y q2 y fijamos q3 en una posición tal que las distancias a q1 y q2 son respectivamente R13 y R23. En este proceso se realizó trabajo externo sobre q3 para vencer la repulsión de q1 y q2, por lo que la energía potencial del sistema aumenta en Ue13 + Ue23:

U e13 + U e23

q1q3 q2q3 = K + K R13 R23

q1

R12 q2 R 13

R 23

[74]

q3

La energía potencial eléctrica total del sistema formado por las tres cargas, queda finalmente:

U e = U e12 + U e13 + U e23

q1q 2 q1q 3 q2q3 = K +K +K 7[5] R12 R13 R23

Fig.46

resultado que es independiente del orden seguido en la colocación de las cargas. En este caso el orden fue 1, 2 y 3. El resultado sería el mismo si comenzáramos por la carga 3, después la 1 y finalmente la 2. Se debe tener en cuenta, además, que el proceso de llevar cada una de las cargas desde el infinito hasta su posición en el sistema se debe realizar lentamente, de tal forma que siempre estén en equilibrio las fuerzas eléctricas y mecánicas. Así no existe aceleración y, por tanto, se prescinde de la variación en la energía cinética. Generalizando el procedimiento, incluyendo a cargas de cualquier signo, la energía potencial eléctrica (relativa) de un sistema formado por n cargas puntuales (o equivalentes) es:

Ue =

∑ todos los pares

U eij = K

∑ todos los pares

qi q j Rij

[76]

que representa el trabajo externo que debemos realizar para formar el sistema de n cargas o el trabajo que realiza el campo eléctrico para romper (llevar las cargas desde sus posiciones en el sistema hasta una separación infinita entre ellas) el sistema de n cargas. Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 35

Otra forma equivalente a la expresión [76] es: n q 1 n n 1 n n qi q j 1 n j U e = ∑ ∑ U eij = K ∑ ∑ = K ∑ qi ∑ 2 i =1 j =1 2 i =1 j = 1 Rij 2 i =1 j =1 Rij j≠i

j≠i

en donde se ha introducido el factor

[77]

j≠i

1 porque las parejas están contabilizadas dos veces (una como 2

ij y la otra como ji). Otra forma alternativa: n −1

Ue = K∑

n

∑

i =1 j =i +1

qi q j

[78]

Rij

Ejemplo 5 Calcular la energía potencial del sistema de cuatro cargas puntuales q1 = 2 nC, q2 = 4 nC, q3 = S8 nC y q4 = S3 nC fijas en los puntos (S1, 0), (0, S1), (0, 1) y (1, 0) m respectivamente del plano xSy. El medio es el vacío. Aplicamos la expresión [76] a este caso, analizando el número de q1 todas las posibles parejas (sin repetición), en este caso seis, siendo la energía potencial relativa del sistema: Ue = Ue12 + Ue13 + Ue14 + Ue23 + Ue24 + Ue34

q q qq qq qq qq qq  Ue = K 1 2 + 1 3 + 1 4 + 2 3 + 2 4 + 3 4  R13 R14 R23 R24 R34   R12

y q3

q4 x

q2 Fig.47

siendo las distancias:

R12 = R13 = R24 = R34 =

2

y

R14 = R23 = 2

Substituyendo estas distancias y los valores de las cargas (incluyendo el signo) en la expresión de Ue se obtiene:

 2 ⋅ 4 2 ⋅ ( − 8) 2 ⋅ ( − 3) 4 ⋅ ( − 8) 4 ⋅ ( − 3) ( − 8) ⋅ ( − 3)  − 9 U e = 9 ⋅ 109  + + + + + 10 ⋅ 10 − 9  2 2 2 2 2  2  Ue = S145,5A10S9 J que representa el trabajo que realizan las fuerzas del campo eléctrico para romper el sistema de cargas. Como el resultado es negativo, el sistema es más estable que el de referencia (separación infinita, en la cual se tomó energía potencial cero). Por ello, para romper el sistema tenemos que realizar trabajo externo.

12. POTENCIAL ELECTROSTÁTICO La descripción vectorial del campo eléctrico la realizábamos a través de dos magnitudes: una, la fuerza eléctrica, que depende de dos cargas, y la otra, la intensidad del campo eléctrico, que depende de la carga fuente. Pues bien, en el tratamiento escalar realizado hasta aquí se ha encontrado la energía potencial eléctrica, que depende de dos cargas, es decir, el equivalente a la fuerza eléctrica en la descripción vectorial. Nos falta, entonces, la magnitud escalar que dependa de una sola carga, esto es, el potencial electrostático. Para deducirlo, seguiremos un camino similar al de la obtención de la intensidad de campo a partir de la fuerza: obteníamos la intensidad de campo dividiendo la fuerza sobre la carga de prueba entre la carga de prueba. Pedro L. Rodríguez Porca, Antonio A. Rivas Menéndez. http://usuarios.lycos.es/explorar

Campo electrostático S 36

12.1. Potencial electrostático Hagamos lo mismo aquí: la energía potencial eléctrica (relativa) de un sistema formado por dos cargas puntuales, q y qp, separadas una distancia R es:

Ue = K

qq p

[79]

R

Definimos el potencial electrostático (o potencial escalar ) V como la energía potencial eléctrica por unidad de carga de la carga de prueba:

V =

Ue qp

[80]

por lo que al dividir [79] entre qp se obtiene

V = K

q R

tomando V = 0 para R = ∞

[81]

que nos da el potencial electrostático relativo V originado por una carga puntual fuente q (o una q>0 distribución esférica de carga en las mismas condiciones que para la intensidad de campo) a una distancia R de la misma. Nótese que el potencial q eléctrico depende únicamente de la carga fuente q (y el signo de dicho potencial en un punto del espacio es q0

r E

+q

r E

+qp - qp

-q

+qp - qp

V