Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Campo Magnético Estacionario

Campos Estacionarios Los campos electromagnéticos estacionarios aparecen cuando no hay variaciones temporales, d/dt=0, pero se permite la existencia de corrientes. Las corrientes consideradas en estas condiciones reciben el nombre de corrientes estacionarias y deben cumplir la condición de no modificar las distribuciones de carga existentes. Se puede expresar matemáticamente esta condición partiendo de la ecuación de continuidad:

v ∂ρ ∇⋅ J + = 0 ∂t

∂ =0 ∂t

v ∇⋅ J = 0

Las corrientes estacionarias tienen divergencia nula. Ya se vio en el capítulo anterior que no pueden tener su origen en campos electrostáticos o culombianos.

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EyM 5-1

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Campos Estacionarios Con las condiciones mencionadas las ecuaciones de Maxwell quedan : r r r r ∂B(r , t ) r r ∇ × E (r , t ) = − ∇ × E (r ) = 0 ∂t r r v r r r r rr ∇ × H (r ) = J ∂D(r , t ) ∇ × H (r , t ) = J (r , t ) + r ∂t ∇⋅ D = ρ r r ∇⋅ D = ρ ∇⋅ B = 0 ∂ r r r =0 ∇⋅ B = 0 D = εE ∂t r r r r D = εE B = µH r r B = µH Se puede apreciar la existencia de dos sistemas de ecuaciones independientes: El del campo Eléctrico estacionario:

r r ∇ × E (r ) = 0 r ∇⋅ D = ρ r r D = εE

Y el del campo Magnético estacionario (magnetostático):

r r v ∇ × H (r ) = J r ∇⋅ B = 0 r r B = µH

Campo Magnetostático • Este capítulo se va a centrar en el campo magnetostático, puesto que el campo eléctrico estacionario se puede estudiar independientemente, como ya se ha hecho. • Conviene recordar que en la naturaleza no existen situaciones estacionarias, al igual que no existían situaciones estáticas. Lo que si existen son situaciones en que la velocidad de los fenómenos es lo suficientemente lenta como para que la aproximación de despreciar las variaciones con respecto al tiempo sea suficiente para conducir a buenos resultados.

r r v ∇ × H (r ) = J – La ley de Ampère es la que liga las fuentes con el campo. r ∇⋅B = 0

r r B = µH

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– La ecuación de la divergencia postula que las líneas de campo magnético son cerradas, o lo que es lo mismo, que no existen fuentes escalares (cargas magnéticas aisladas). – La ecuación de estado introduce el efecto de los medios.

EyM 5-2

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

El Potencial Vector Magnetoestático • El que la divergencia de un rotacional sea siempre nula y que la divergencia del campo magnético sea siempre nula permite suponer que el campo magnético pueda proceder de un potencial vector: r

⎫⎪ ∇⋅B = 0 r ⎬⇒ ∇ ⋅ ∇ × A = 0⎪⎭

(

)

r r B = ∇× A

• Esta definición del potencial vector deja un gran margen de libertad que será utilizado posteriormente definiendo su divergencia. • Llevando esta definición a la ley de Ampère en un medio lineal, homogéneo e isótropo:

r

r

(

r

r

r

)

r

µJ = ∇ × µH = ∇ × B = ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ ⋅ A − ∆A • Utilizando el grado de libertad de que se dispone se puede escoger: • con ello se obtiene:

r ∇⋅ A = 0

r r ∆A = − µJ

El Potencial Vector Magnetoestático • Trabajando en coordenadas cartesianas la ecuación del potencial vector se puede descomponer en ecuaciones similares a la ecuación de Poisson ya estudiada y resuelta para el caso de un medio lineal, isótropo, homogéneo e indefinido:

r r ∆A = − µJ

∆φ = −

ρ 1 v ⇒ φ (r ) = ε 4πε

∫∫∫ V

r r r r − r′

ρ (r ′)dV ′

r ⎧ J x (r ′)dV ′ ⎫ µ A µ J A ∆ = − ⇒ = r r x x ⎪ x 4π ∫∫∫ r − r ′ ⎪⎪ V ⎪ r r r ⎪⎪ J y (r ′)dV ′ ⎪⎪ µ ∆A = − µJ ⇒ ⎨∆Ay = − µJ y ⇒ Ay = r r ⎬ 4π ∫∫∫ r − r′ ⎪ V ⎪ r ⎪ µ J z (r ′)dV ′ ⎪ ⎪∆Az = − µJ z ⇒ Az = r r ⎪ 4π ∫∫∫ r − r ′ ⎪⎭ ⎪⎩ V

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r µ A= 4π

r r J (r ′)dV ′ r r ∫∫∫ r − r′ V

EyM 5-3

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

El Potencial Vector Magnetoestático – Análogamente se pueden obtener expresiones para corrientes superficiales y lineales:r r

r µ A= 4π

–

r J S (r ′)dS ′ ∫∫S rr − rr′

r µI A= 4π

dl ′

∫ rr − rr′

C

En la expresión para corrientes lineales el contenido vectorial de la corriente se ha transferido al diferencial de longitud, la integral se realiza en un contorno cerrado y la corriente es constante.

– La interpretación de su significado físico es difícil.

dA

– Un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribución diferencial a r v paralela dirección de la corriente. dA dl – En algunos casos es muy útil para calcular el flujo del campo magnético y representar las líneas de campo:

dA

dI dA

dA

r r r r r r Φ B = ∫∫ B ⋅ dS = ∫∫ ∇ × A ⋅ dS = ∫ A ⋅ dl S

S

C

Potencial Vector: Ejemplo • Sea una línea de corriente Io que circula a lo largo del eje z en sentido positivo. • Como la corriente sólo tiene componente z:

r A = Az zˆ

• Este problema es análogo al de una densidad de carga lineal sobre el eje z. La solución a este problema electroestático es:

r

φ (r ) = r r

⎛ µIo 1 ⎞ ln + K ⎟⎟ zˆ ρ ⎝ 2π ⎠

• Por analogía: A(r ) = Az zˆ = ⎜ ⎜

λ 1 ln + K 2πε ρ

• En este caso, al igual que en el problema electrostático, no se puede definir de forma unívoca el potencial vector. • Esta indefinición no impide calcular el campo magnético:

r r ⎛ 1 ∂ r r ∂ ⎞ µIo ⎟⎟ Az = − ϕˆ ϕˆ B(r ) = ∇ × A(r ) = ⎜⎜ ρˆ ρ ∂ϕ ∂ρ πρ 2 ⎝ ⎠ Se obtendrá de forma más simple utilizando la ley de Ampere

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EyM 5-4

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Campo M-E a partir de A – Para obtener el campo a partir del potencial vector basta con aplicar la definición: r r

r r r r J (r ′)dV ′ µ µ B(r ) = ∇ × A(r ) = ∇ × ∫∫∫ r r = r − r′ 4π 4π V′

⎛

r r ⎞

∫∫∫ ∇ × ⎜⎜ rr − rr′ J (r ′)⎟⎟dV ′ 1

⎝

V′

⎠

– Donde se ha invertido el orden de la integral y el rotacional.

r r r r r ∇ × UV = U∇ × V + ∇U × V ∇ × J (r ′) = 0 y que r puesto que el rotacional se aplica sobre r ′ r µ ⎛ 1 ⎞ r r µ B= ∇⎜⎜ r r ⎟⎟ × J (r ′)dV ′ = − ∫∫∫ 4π V ′ ⎝ r − r ′ ⎠ 4π r r 1 r − r′ – donde se ha aplicado: ∇ r r = − r r 3 r − r′ r − r′ – Aplicando que

∫∫∫ V′

r r r − r′ r r r r 3 × J (r ′)dV ′ r − r′

– Invirtiendo el orden del producto vectorial se obtiene la expresión r r r r definitiva: r

B=

µ 4π

∫∫∫ V′

J (r ′)× (r − r ′) dV ′ r r 3 r − r′

Ley de Biot-Savart • Adaptando para corrientes superficiales:

r µ B= 4π

r r r r J S (r ′)× (r − r ′) ∫∫S rr − rr′ 3 dS ′

• Y para corrientes filiformes:

r µI B= 4π

r r r dl ′ × (r − r ′) ∫ rr − rr′ 3 C

• Expresión que recibe el nombre de ley de Biot-Savart. – Observe que nuevamente se ha transferido el contenido vectorial de la corriente al diferencial de longitud, que la corriente es constante y cerrada y la forma poco formal de colocar el diferencial de longitud dentro de la expresión subintegral.

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EyM 5-5

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Campo M-E creado por un elemento de corriente. r r ⎧ J (r ′)dV ′ r r ⎪⎪ r r dI (r ′) = ⎨ J S (r ′)dS ′ ⎪ r r • Su contribución al campo será: v r r ⎪⎩ I (r ′)dl ′ r µ dI ′ × (r − r ′) dB = r r 3 4π r − r′

• Si se considera un elemento de corriente del tipo que sea:

• Perpendicular a la corriente. • Perpendicular al vector que une el elemento de corriente y el punto donde se calcula el campo. dB • Proporcional al seno del ángulo formado por la corriente y el vector del punto anterior. – No hay campo en la línea definida por el elemento dB de corriente.

dB

dI

dB

• Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. – Regla del dedo gordo de la mano derecha

Espira Circular • Sea la espira de la figura centrada en el eje z y contenida en

z = z0

• Para calcular el campo en el eje z habrá que aplicar la ley de BiotSavart r r r

r µI B= 4π

z

dl ′ × (r − r ′) r r 3 r − r′ C

∫

• En este caso:

a I

z

r a

r'

φ^' ^' ρ

r r r r = zzˆ ⎫ ⎧⎪r − r ′ = − aρˆ + ( z − z0 )zˆ r ⎬⇒⎨ r ′ = aρˆ + z0 zˆ ⎭ ⎪ rr − rr′ = a 2 + (z − z0 )2 ⎩ r r r r dl ′ = adϕ ′ϕˆ ⇒ dl ′ × (r − r ′) = [azˆ + ( z − z0 )ρˆ ]adϕ ′

O

• Sustituyendo ....

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Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Espira Circular • Sustituyendo:

v µI B( zzˆ ) = 0 4π

2π ⎡ 2π ⎤ (azˆ + (z − z0 )ρˆ )a dϕ ′ = µI 0 a ′ ˆ ( ) + − a z d z z ϕ ρˆdϕ ′⎥ ⎢ 0 3 3 ∫0 2 ∫ ∫ 2 2 2 4π [a 2 + ( z − z ) ] 2 ⎣ 0 0 ⎦ [a + (z − z0 ) ] 0

2π

2π

2π

0

0

∫ ρˆdϕ ′ =

• Y considerando que:

∫ (cos ϕ ′xˆ + sen ϕ ′yˆ )dϕ ′ = 0 v dB2

se cancelan las componentes radiales, ver figura.

v v r − r2′

• Finalmente:

v v d B1 + d B 2

v d B1

v v r − r1′ v d l1

v d l2

v a2 µI B(zzˆ ) = 0 2 a 2 + (z − z )2 0

[

]

3

zˆ 2

Problema (Sept-92) Considere una espira cuadrada de lado 2a, contenida en z=0, centrada en el origen de coordenadas, con los lados paralelos a los ejes X e Y, y por la que circula una corriente I0 . a) Calcule el campo magnético que crea sobre los puntos del eje Z. Si se sustituye esta espira por otra espira circular de radio a construida con el mismo tipo de hilo, situada en la misma posición y por la que circula la misma corriente: b) ¿Cuál de las dos crea un campo más intenso en el origen de coordenadas? c) ¿Cuál de las dos crea un campo más intenso en puntos lejanos ? a) Para obtener el potencial en el eje aplicamos la ley z P de Biot y Savart por tramos, comenzando por el (1). r r r dl = − xˆdx , , r ′ = xxˆ + ayˆ , , r = zzˆ I2 xˆ yˆ zˆ (2) r r r (1) (3) dl × (r − r ′) = − dx 0 0 = yˆ zdx + zˆadx y a a −x −a z (4)

Por simetría solo quedara, al final, componente z que es la que nos interesa obtener:

x

µI B z1 = 4π

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adx

a

∫ (x x=− a

2

+ a2 + z 2

)

3

2

x µIa = 4π (a 2 + z 2 )(x 2 + a 2 + z 2 )

1

a

= 2

x=− a

1 µIa 2 2π (a 2 + z 2 )(2a 2 + z 2 )

1

2

EyM 5-7

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Problema Al superponer los cuatro tramos la componente z se cuadruplica: 2µIa 2 1 Bz = 1 π (a 2 + z 2 )(2a 2 + z 2 ) 2 a2 µI BzO = b) El campo creado por la espira circular es: 3 2 (a 2 + z 2 ) 2 2µI µI Por tanto en z=0 será: Bz (0) = < BzO (0) = πa 2 2a c) En puntos lejanos creará un campo mayor la espira que tiene mayor superficie porque es la que tienen un momento dipolar magnético mayor. En este caso la espira cuadrada.

Potencial y Campo fuera del eje En un punto arbitrario, para la espira circular, el potencial vector es:

Aϕ =

cos(ϕ ′)dϕ ′ µIa ∫ π 2 4π (ρ − a cos ϕ ′)2 + a 2 sen 2ϕ ′ + z 2

[

]

1

= 2

µI 2π

0

Haciendo el cambio de variable ϕ=π-2θ se tiene:

µI π La función subintegral puede rescribirse como: Aϕ =

(

)

a 2sen 2θ − 1

donde: k 2

Aϕ =

µI π

=

a cos(ϕ ′)dϕ ′

π

∫ [ρ

2

π

+ a + z 2 − 2aρ cos ϕ ′ 2

(

]

1

2

)

a 2 sen 2θ − 1 dθ

∫ [(ρ + a ) 2

+ z − 4aρsen 2θ

2

0

(

2

)

]

1

2

a 2sen 2θ − 1

[(ρ + a ) + z − 4aρsen θ ] ((ρ + a ) + z ) (1 − k sen θ ) 4 aρ = [(ρ + a ) + z ] Aún puede operarse un poco más y obtenerse: 2

2

2

2

2

1

2

2

2

π ⎤ µI a 1 ⎡⎛ k 2 ⎞ π 2 dθ 2 − ∫ 1 − k 2 senθ dθ ⎥ = ⎢⎜⎜1 − ⎟⎟ ∫0 2 0 2⎠ ρ k ⎣⎝ 1 − k senθ ⎦ π

1

2

2

2

1

2

⎤ a 1 ⎡⎛ k 2 ⎞ ⎢⎜⎜1 − ⎟⎟ K (k ) − E (k )⎥ ρ k ⎣⎝ 2⎠ ⎦

siendo K(k) y E(k) las integrales elípticas completas de 1ª y 2ª especie.

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EyM 5-8

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Líneas de Inducción Magnética Dado que el potencial solo tiene componente ϕ y es independiente de ϕ, tomando circunferencias concéntricas con el eje, la circulación de A será 2πρAϕ que es el valor del flujo de B. Representando las líneas de flujo constante se obtiene una representación de las líneas de campo como se indica en la figura. 1

0.5

0

0.5

1 2

1

0

1

2

B

Variación del Campo Como puede verse en la figura anterior el campo crece en las proximidades de la corriente. La inducción B puede obtenerse como: r r ∂A 1 ∂ (ρAϕ ) B = ∇ × A ⇒ Bρ = − ϕ , Bϕ = 0 , Bz = ∂z ρ ∂ρ Y teniendo en cuenta que:

Se obtienen: z µI Bρ = 2π ρ (a + ρ )2 + z 2

K (k ) ∂E (k ) E (k ) K (k ) ∂K (k ) E (k ) ,, = − = − k k k (1 − k 2 ) k ∂k ∂k zk 3 ∂k k k3 k3 ∂k ,, = =− − − 4aρ ∂ρ 2 ρ 4 ρ 4a ∂z

⎡ ⎤ a2 + ρ 2 + z2 µI E (k )⎥, ,Bz = ⎢− K (k ) + 2 2 2 π ( ) a − + z ρ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ a2 − ρ 2 − z2 K (k ) + E (k )⎥ ⎢ 2 2 2 2 ( ) a z − + ρ (a + ρ ) + z ⎣ ⎦ 1

En el eje solo hay componente z que vale (K(0)=E(0)=π/2): En el plano de la espira solo hay componente z de valor:

Bz ( z = 0 ) =

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µI 1 2π a + ρ

Bz

eje

=

a2 µI 2π (a 2 + z 2 )

3

2

⎡ ⎤ a2 − ρ 2 E (k )⎥ ⎢ K (k ) + 2 ( ) − a ρ ⎣ ⎦

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Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Variación del Campo Programando las expresiones anteriores se obtienen las variaciones del campo, normalizado, según z en ρ = 0 y según ρ en z=0 (a=1).

Variación radial en z=0

Variación en el eje z 1

Beje( z)

50

0.5

B( r) 2

1

0

1

0

2

z

0

0.5

1

1.5

2

r

Lineas de Campo de Tres Espiras Coaxiales Aplicando superposición se obtienen las líneas de flujo de tres espiras coaxiales iguales. 1

0.5

0

0.5

1 2

1

0

1

2

B

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Campo Magnético Estacionario

Solenoide Cilindrico Por integración del potencial de una espira se obtiene el potencial y el flujo de un solenoide. Se ha superpuesto la sección del solenoide. Se observa una importante imprecisión numérica debida a que en las proximidades del eje las integrales elípticas tienen valores muy próximos que hay que restar. 2

2

z

z

1

1

0

0

1

1

2

2 0

H

0.5

1

1.5

2

ρ

0

0.5

1

1.5

2

ρ

H

Solenoide Cilindrico 2

Para evitar las imprecisiones numéricas se ha programado directamente el cálculo del potencial vector sin utilizar las integrales elípticas.

z/a

1

La figura presenta las líneas de flujo en un semiplano ϕ constante. Puede observarse el quiebro de las líneas de flujo al atravesar la corriente superficial del solenoide 0 y la tendencia hacia la uniformidad del campo en el interior del mismo. 1

2 0

H

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1

ρ/a

2

EyM 5-11

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Solenoide Cilíndrico z

14 12 10 8 6 4

v r

y v r′

2 0 1 0.5 0

0

-0.5

-0.5 -1 -1

En el eje z:

• Se trata de un arrollamiento sobre un cilindro de radio a en forma de hélice de paso p (distancia entre dos hilos a lo largo de la generatriz). • Las ecuaciones paramétricas de la hélice son p ⎧ ⎪ x = a cos ϕ ⎪ ⎨ y = a sin ϕ ⎪ pϕ x ⎪⎩ z = 2π Usando la Ley de Biot y Savart r 1 pdϕ ′ v µI dl ′ × (rv − rv ′) 0.5 zˆ B= 3 v v ∫ ′ 2π C 4π r − r′ r dϕ ′ r dl ′ pdϕ ′ dl ′ = adϕ ′ϕˆ + zˆ adϕ ′ϕˆ 2π

v r = zzˆ pϕ ′ ⎞ v v ⎛ pϕ ′ zˆ r − r ′ = −aρˆ + ⎜ z − v ⎟ zˆ r ′ = aρˆ + 2π ⎠ ⎝ 2π r v v pϕ ′ ⎞ pdϕ ′ ⎛ ϕˆ dl ′ × (r − r ′) = a 2 dϕ ′ zˆ + adϕ ′⎜ z − ⎟ ρˆ − a 2 2π π ⎝ ⎠

Solenoide Cilíndrico • Al integrar en cada vuelta (p.e entre 0 y 2π) solo queda la componente según z y las otras dos se anulan.

r v v pϕ ′ ⎞ pdϕ ′ ⎛ dl ′ × (r − r ′) = a 2 dϕ ′ zˆ + adϕ ′⎜ z − ϕˆ ⎟ ρˆ − a 2π ⎠ 2π ⎝

• La componente según z es igual que la de la espira plana.

v µnI a2 B= 2 a 2 + ( z )2

[

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]

3

zˆ 2

EyM 5-12

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Solenoide Cilíndrico Finito • Se trata de un apilamiento de espiras por las que circula la misma corriente I. • Se define por el radio de las espiras, a, el número de espiras por unidad de altura, n, y su altura, h. • Normalmente se construye enrollando un hilo sobre un núcleo y se desprecia el efecto del paso de arrollamiento y de los hilos de conexión. • Si los hilos están muy juntos se puede suponer que la corriente está distribuida uniformemente sobre la superficie lateral. Así, suponiendo que el eje del solenoide es el eje z: v v I T = ∫ J S ⋅ ϕˆdz = nhI J S = J ϕϕˆ = nIϕˆ

I a

h

h

• Por todo ello se puede aplicar:

v µ B= 4π

v v v v J S (r ′)× (r − r ′) ∫∫S rv − rv′ 3 dS ′

También puede considerarse el solenoide como un apilamiento de espiras de radio a y corriente dI=nIdz´ que producen un campo en el eje:

v µnIdz ′ a2 dB = 2 2 a 2 + ( z − z ′)

[

]

3

zˆ 2

Solenoide Cilíndrico Finito Siguiendo el primer procedimiento:

z

• Limitando el cálculo al eje z:

r r r ⎧⎪r − r ′ = − aρˆ ′ + ( z − z ′)zˆ r = zzˆ ⎫ r ⎬ ⇒ ⎨r r 2 2 r ′ = aρˆ ′ + z ′zˆ ⎭ ⎪⎩ r − r ′ = a + ( z − z ′) v r r r J (r ′)× (r − r ′) = [azˆ + (z − z ′)ρˆ ′]nI

• Tomando el origen de coordenadas en el centro del solenoide:

v µnI B(zzˆ ) = 4π

h 2 2π

∫ ∫

−h 2 0

azˆ + ( z − z ′)ρˆ ′

[a

2

+ ( z − z ′)

2

]

3

r a

r'

φ^'

^' ρ

O

adϕ ′dz ′

2

• Integrando en ϕ’ considerando que:

2π

∫ ρˆ ′dϕ ′ = 0 0

v µna 2 I B(zzˆ ) = 2

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dz ′

h2

∫

−h 2

[a

2

+ (z′ − z )

2

]

3

zˆ 2

Con el segundo procedimiento se plantea esta ecuación.

EyM 5-13

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Solenoide Cilíndrico Finito

∫ (x

y aplicando:

dx 2

+a

)

2 32

x

= a

2

x2 + a2

se obtiene finalmente: h 2

z′ − z

r µnI B(zzˆ ) = 2

a 2 + (z′ − z )

zˆ =

2 −

h 2

µnI ⎛⎜

h 2− z

2 ⎜ a 2 + (h 2 − z )2 ⎝

• Si el solenoide estuviera centrado en zc

h 2+ z

+

a 2 + (h 2 + z )

2

⎞ ⎟ zˆ ⎟ ⎠

:

r h 2 + zc − z h 2 − zc + z µnI ⎛⎜ + B(z ) = 2 2 ⎜ 2 2 2 a + (h 2 − zc + z ) ⎝ a + (h 2 + zc − z )

⎞ ⎟ zˆ ⎟ ⎠

zc

h

α

• Donde los términos del corchete se pueden interpretar como los cosenos de los ángulos de la figura:

r µnI (cos α − cos β )zˆ B(z ) = 2

β

z

O

Solenoide Cilíndrico Finito • Es inmediato que si el solenoide es muy largo, el campo en un punto de su eje dentro de él y alejado de los extremos tiende a:

r lim B(z ) h →∞

zc − h < z < zc + h 2 2

= lim α →0 β →π

µnI 2

(cosα − cos β )zˆ = µnIzˆ

• Mientras que el campo en en centro de sus extremos tiende justo al valor mitad:

(

v lim B zc + h h →∞

(

v lim B zc − h h →∞

2

2

) = lim µ2nI (cosα − cos β )zˆ = µ2nI zˆ α =π 2 β →π

zc

) = lim µ2nI (cosα − cos β )zˆ = µ2nI zˆ α →0 β =π 2

z

2

a=1 h=20

h

α

β

O B( z) 1

0 0

5

10

15

20

z

16/01/2008

EyM 5-14

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Otros Tipos de Solenoides Arrollando espiras sobre superficies con simetría de revolución entorno a un eje pueden formarse solenoides de distintos tipos como cónicos, esféricos, etc.

I I

I

I

La densidad de arrollamiento se expresa en número de espiras por unidad de longitud a lo largo de la generatriz.

Campo M-E a partir de la Ley de Ampère • Algunos problemas con determinadas geometrías pueden resolverse directamente a partir de la ley de Ampère en forma integral: r r r r v v v v

∇ × H = J ⇒ ∫∫ ∇ × H ⋅ dS = ∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS = I S

C

S

• De forma similar a lo que ocurría en Electrostática con la ley de Gauss, para poder calcular el campo a partir de la ley de Ampère es necesario que el campo tenga una variación sencilla a lo largo del contorno escogido. • Los casos que se van a estudiar son: – Distribuciones de corriente con simetría de translación en una dirección y simetría de revolución alrededor de un eje con esa dirección. – El solenoide indefinido. – Hoja indefinida de corriente.

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EyM 5-15

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución • Normalmente se escoge que el eje de simetría coincida con eje z. • Por la simetría de translación no puede haber r r variación con z: H = H (ρ , ϕ ) • Al estar todos los elementos de corriente orientados según z no se genera campo con r componente z: H = H ρ (ρ , ϕ )ρˆ + H ϕ (ρ , ϕ )ϕˆ

v J = J z (ρ )zˆ

• Por la simetría de revolución el campo no es función de ϕ, salvo la variación propia de ϕ$ : r H = H ρ (ρ )ρˆ + H ϕ (ρ )ϕˆ • No puede haber componente radial porque no r se cumpliría: ∇⋅B = 0 – Se puede comprobar calculando el flujo en una superficie como la de la figura adjunta. En ella se supone que el campo tiene componente radial. r H = H ϕ (ρ )ϕˆ • En definitiva:

Distribuciones de corriente axiales con simetría de revolución v H = H ϕ ( ρ )ϕˆ

• Escogiendo contornos que sean circunferencias en planos z=cte y centradas en el eje z: ⎫ ⎪ C S ⎪ 2π ⎪ ⎪ ⎬ ⇒ ∫0 H ϕϕˆ ⋅ ϕˆρdϕ = 2πρH ϕ ⎪ ρ ⎪ r r ∫∫S J ⋅ dS = 2π ∫0 J z ρdρ = I (ρ )⎪⎪⎭ r

r

r

r

∫ H ⋅ dl = ∫∫ J ⋅ dS

Hϕ =

I (ρ ) 2πρ

Z

v J = J z ( ρ )zˆ

• donde I(ρ) es la corriente que fluye a través del contorno: ρ

I (ρ ) = 2π ∫ J z ρ dρ

• Por tanto:

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r I (ρ ) H= ϕˆ 2πρ

0

EyM 5-16

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Línea de Corriente Indefinida • En el caso de una linea de corriente indefinida de valor I que circule sobre el eje z: I(ρ)=I. r I H= ϕˆ – Por lo tanto: 2πρ • En el caso de que la corriente se distribuya uniformemente en un hilo de radio a: r ⎧ I πa 2 zˆ ; 0 ≤ ρ < a J = J z ( ρ )zˆ = ⎨ 0 ; aa:

d

Lext µ d µ ⎛d ⎞ ln⎜ ⎟ ≅ ln = m π a 2π ⎝ a ⎠

2

Linea Bifilar usando el Flujo A partir del potencial vector con solo componente z se puede obtener el flujo como líneas de Az constante. En la figura puede observarse como las líneas de flujo cortan la superficie de los conductores por lo que la autoinducción obtenida a partir del flujo no representa exactamente la autoinducción externa. 2

Línea de integración del flujo 1

Zona de la que no se ha tenido en cuenta la energía almacenada

0

1

2 4

2

0

2

4

B

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EyM 5-36

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Linea Bifilar usando el Flujo Sin embargo cuando la separación entre conductores es mucho mayor que el radio de los mismos las líneas de flujo se ajustan más a la superficie de los conductores como puede verse en la figura adjunta.

1 0 1

8

6

4

2

0

2

4

6

8

B

Por tanto se comete menos error al obtener la autoinducción por el método del flujo.

Linea Bifilar usando el Flujo La figura compara los valores normalizados de autoinducción (πL/µ) en función de la relación d/a para las expresiones exacta (Le) y aproximada (La) por unidad de longitud. 4

Le( d) 2 La( d)

0 2

4

6

8

µ ⎛d ⎞ µ ⎛d ⎞ ln⎜ ⎟ = ln⎜ ⎟ Le = 2π ⎝ a ⎠ π ⎝ a ⎠ µ ⎛d −a⎞ La = ln⎜ ⎟ π ⎝ a ⎠ 2

El error relativo cometido al usar la expresión aproximada es menor del 5% para d/a > 10.

10

12

14

16

18

20

d 30 25 20 e( d) 15 10 5 0 4

6

8

10

12

14

16

18

20

d

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Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Autoinducción de un Solenoide Toroidal Sea un arrollamiento sobre un toroide de sección transversal rectangular como el indicado en la figura de radios a y b y altura d. El arrollamiento es de N espiras totales y la corriente que circula es de I amperios. Por simetría y aplicando la regla de la mano derecha el campo solo puede tener componente ϕ en cada punto. Además su valor debe ser d constante en cualquier circunferencia ρ = cte. b r a H = H ϕ ( ρ )ϕˆ Aplicando el teorema de Ampere a circunferencias de radios mayores que b o menores que a se ve que el campo es nulo en el exterior del toroide. En el interior se obtiene: r NI ϕˆ H ϕ (ρ ) ⋅ 2πρ = NI ⇒ H = πρ 2 El flujo en cada espira es: a

ρ

⎛ NI ⎞ µNId b ln ϕˆ ⎟⎟ ⋅ ϕˆdρdz = a 2π ⎝ 2πρ ⎠ El flujo de las N espiras será n NΦ es µN 2 d b = ln L= veces el anterior. La I a 2π autoinducción por tanto es:

b

Φ es = ∫

d

∫

b

z =0 ρ = a

µ ⎜⎜

Superficie de integración para el Cálculo de Flujo del Solenoide En un solenoide cilíndrico de N espiras el flujo es N veces el de una espira.

14 12 10

Suponiendo el campo constante en el interior del solenoide será.

8 6

Φ B = µnIπa 2 ⋅ N

4 2 0 1 0.5

1 0.5

0

L=

ΦB = µnNπa 2 I

0

-0.5

-0.5 -1 -1

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Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Problema Sean dos espiras cuadradas de lado L metros, situadas la primera con el centro en el origen y contenida en el plano x=0, y la segunda con centro en el punto P (r,θ,ϕ) y contenida en un plano z=cte., tal como se muestra en la figura. Calcular el coeficiente de inducción mutua entre ambas espiras para r>>L. Consideramos la segunda espira en el campo lejano de la primera, que calcularemos a partir de su momento dipolar. Además se considera que el campo en toda esta espira es igual a su valor en P. Por tanto el flujo del campo de la 1ª en la 2ª será: r Φ B1, 2 = ∫∫ B1 (P ) ⋅ zˆdxdy = B1z (P )L2

z

θ L

L

L

P 2

r

1

L

r rr r r µ ⎡ 3(m ⋅ r )r m ⎤ r r B1 = − 3⎥ m ⋅ zˆ = 0 m = IL2 xˆ ⎢ r ⎦ 4π ⎣ r 5 r rˆ = cos θzˆ + senθ cos ϕxˆ + senθsenϕyˆ m ⋅ rˆ = msenθ cos ϕ

y

ϕ

x

µ 3IL2 r 2 senθ cosϕ cosθ r5 4π Φ B1, 2 3µL4 senθ cosθ cosϕ L12 = = I 4πr 3

Por tanto: B1z = Φ B1, 2 =

µ 3IL4 senθ cosθ cosϕ 4π r3

Inducción Mutua entre 2 Espiras Calcular la inducción mutua entre dos espiras filiformes coaxiales de radios a y b separadas una distancia d como indica la figura. z br

C2

dl2 r r r1 − r2

d

a C1

y

r dl1

x ϕ$ 2

Por tanto: L12 =

ϕ$ 1 θ

La inducción mutua, por la fórmula de Neumann es: r r µ dl1 ⋅ dl2 L12 = r r 4π ∫C1 ∫C2 r1 − r2 Puede verse fácilmente que: r r r dl1 = adϕϕˆ1 ⎫ r ⎬ ⇒ dl1 ⋅ dl2 = abdϕdθϕˆ1 ⋅ ϕˆ 2 = abdϕdθ cosθ dl2 = bdθϕˆ 2 ⎭ r r r1 − r2 = d 2 + a 2 + b 2 − 2ab cosθ

ϕ

µ 4π π

= µab ∫

2π

∫ϕ

θ =0

=0

bdϕ ∫

2π

a cosθdθ

d 2 + a 2 + b 2 − 2ab cosθ cosθdθ

θ =0

=

d 2 + a 2 + b 2 − 2ab cosθ

Que o bien se expresa en términos de integrales elípticas o se integra numéricamente.

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EyM 5-39

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Inducción Mutua entre 2 Espiras La figura representa la inducción mutua normalizada (L12/µa) en función de la separación entre espiras normalizada al radio de la mayor (d/a) y tomando como parámetro la relación entre sus radios (b/a). La inducción mutua siempre es máxima cuando las espiras son coplanares (d=0). Si las dos espiras son de radios muy parecidos (b/a~1) la inducción mutua crece muy rápidamente cuando se hacen coplanares (d=0). 6

L12( 1.01, d )

4

b/a=1.01

L12( 1.5, d )

b/a=1.5 b/a=2

L12( 2, d ) 2

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

d

d/a

Autoinducción de la Espira La autoinducción de una espira circular de radio r formada por un conductor de radio a, como se indica en la figura, puede obtenerse a partir del flujo. El campo creado por esta espira de radio a puede obtenerse aproximadamente como el creado por una espira filiforme a lo largo de r.

r

2a

El coeficiente de autoinducción externo puede pues aproximarse por el coeficiente de inducción mutua entre dos espiras filiformes coplanarias de radios r y r-a. De acuerdo con lo visto anteriormente será: π cosθdθ Lext ≅ µr (r − a )∫ 2 θ =0 2 2 d + r + (r − a ) − 2r (r − a ) cosθ

Una aproximación a la anterior expresión, obtenida expresándola en términos de integrales elípticas y aproximándolas para valores grandes de r/a, es: ⎛ ⎛ r⎞ ⎞ Lext ≅ µr ⎜⎜ ln⎜ 8 ⎟ − 2 ⎟⎟ ⎝ ⎝ a⎠ ⎠ µ 2πr Una aproximación para la autoinducción interna será: Lin ≅ 8π

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EyM 5-40

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Autoinducción de la Espira La figura adjunta representa la autoinducción externa normalizada (L11/µa) en función del radio normalizado (r/a) para las dos expresiones anteriores.

L11/µa

1000

100 L11( r) L11a( r ) 10

1 1

10

100

r r/a

Autoinducción de la Espira El error cometido al tomar la expresión aproximada en lugar de la exacta se representa en la siguiente figura:

%

20

15

e( r) 10

5

0 0

20

40

60

80

100

r r/a

El error cometido al tomar la expresión aproximada en lugar de la exacta es menor del 5% para r/a > 15.

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EyM 5-41

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Efectos Mecánicos Se recordará la expresión de la fuerza de Lorentz (fuerza del campo electromagnético sobre una carga q en movimiento, con velocidad v) dada por: r r r r F = q E+v×B Si en un conductor se tienen N cargas por unidad de volumen que constituyen una corriente de densidad J, la fuerza sobre la corriente por unidad de volumen será: r r ⎛ Nq ⎞ r r r r r dl r r v dF = Nqv × B = Nq lˆ × B = ⎜ lˆ ⎟ × B(dSdl ) = J × Bdv B dt dSdt dS ⎝ ⎠ dl Por tanto la fuerza sobre una distribución de r corrientes J en el seno de un campo B es: r r r J F = ∫∫∫ J × Bdv V V r r r En el caso de que la corriente sea filiforme será: F = I ∫ dl × B

(

)

C

Por la identificación realizada entre corrientes elementales y dipolos magnéticos, teniendo en cuenta la analogía con electrostática, r r r la fuerza vendrá r r r T = m× B dada por: y el par por: F = ∇ m⋅ B

(

)

Completando la analogía, la energía de interacción entre las rcorrientes de r r momento m y un campo B será: Wm,int = −m ⋅ B y la fuerza: F = −∇(Wm ,int )

Ejemplo 1 Fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes filiformes paralelas e indefinidas. r µI µI1 r r La corriente I1 crea un campo: B1 = 1 ϕˆ = (u1 × r ) 2 r 2 πr 2 π I2 I1 siendo u1 un vector unitario en la dirección de la corriente I1 . r r

La fuerza sobre un elemento de I2 será: r r r r r dF = I 2 dl2 × B1 = I 2 dl2u2 × B1 La fuerza unitaria será por tanto: r 0 r dF r r r78 r r r r r⎤ µ I1 I 2 r r r µ I1 I 2 ⎡ 6 ⎢ ( ) ( = I 2u2 × B1 = × × = f = u u r u 2 ⋅ r )u1 − (u 2 ⋅ u1 )r ⎥ = 2 1 2 2 2π r 2π r ⎢ dl2 ⎣ ⎦⎥

=−

µ I1 I 2 r r r (u2 ⋅ u1 )r = − µ I1I 2 (ur2 ⋅ ur1 )rˆ 2 2π r 2π r

Si las dos corrientes llevan el mismo sentido la fuerza será de atracción, mientras que si llevan sentidos contrarios la fuerza será de repulsión.

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EyM 5-42

Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Ejemplo 2 Calcular la fuerza entre una corriente IH por un hilo rectilíneo indefinido y una IE por una espira circular situada en un plano que contiene al hilo. z

IE ϕ$ x

u$ r α dl

r IH

R d

Para calcular la fuerza es más fácil obtener el campo que crea el hilo en los puntos de la r espira que lo contrario. Será: B = µI H ϕˆ H 2πr La fuerza sobre un elemento de corriente de la espira será: r r x r µI I µI I Rdα dF = I E dl × BH = H E Rdα (− αˆ × ϕˆ ) = H E uˆ 2πr 2πr uˆ = cos αxˆ + senαzˆ Pero: r = d + R cos α

La componente z de la fuerza, que debe anularse por simetría: 2π ⎤ µI I R 2π senαdα µI I R ⎡ 1 Fz = H E ∫ = H E ⎢− ln(d + R cos α ) ⎥ = 0 α 0 = 2π d + R cos α 2π ⎢⎣ R 0 ⎥ ⎦ En cuanto a la componente x:

Fx =

µI H I E R 2π cos αdα 2π ∫α =0 d + R cos α

Ejemplo 2 Haciendo el cambio de variables tg(α/2)=x y descomponiendo en fracciones se obtiene: 2π R cos αdα ⎡ ⎤ d ∫α =0 d + R cosα = 2π ⎢⎣1 − d 2 − R 2 ⎥⎦ ⎡ ⎤ d Por tanto: Fx = µI H I E ⎢1 − ⎥ 2 2 d −R ⎦ ⎣ Si la separación d es mucho mayor que el radio de la espira d>>R, esta podrá r considerarse como un dipolo: m = πR 2 I Eϕˆ r r r µI µI I R 2 ∂ ⎛ 1 ⎞ µI I R 2 xˆ ⎛ ⎞ = H E =− H E F = ∇ m ⋅ BH = ∇⎜ πR 2 I Eϕˆ ⋅ H ϕˆ ⎟ ⎜ ⎟ xˆ 2 ∂x ⎝ x ⎠ x = d 2πx ⎠ x = d 2 d2 ⎝

(

)

Pero si en Fx se desarrolla en serie:

(d

2

− R2 )

− 12

=

1 ⎡ R2 ⎤ ⎢1 − ⎥ d ⎣ d2 ⎦

− 12

=

⎤ 1 ⎡ 1 R2 + L⎥ ⎢1 − d ⎣ 2 d2 ⎦

⎡ ⎤⎤ µI I R 2 1 ⎡ 1 R2 + L⎥ ⎥ ≅ − H E2 Fx = µI H I E ⎢1 − d ⎢1 − 2 d⎣ 2d 2d ⎦⎦ ⎣

que coincide con el resultado anterior.

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Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Ejercicio Un cable coaxial tiene un conductor interior cilíndrico de radio a y uno exterior de radio b y espesor despreciable como se indica en la figura. Entre ambos hay un dieléctrico de permitividad ε y permeabilidad µ0, el conductor exterior está a masa, el interior a potencial V voltios y circula una corriente de I amperios en sentidos contrarios en cada conductor y distribuida uniformemente en cada uno de ellos.

r Si rlos conductores son eléctricos perfectos calcule E y H en la región entre conductores a < ρ < b. (2p). I V

Por simetría el potencial solo depende de ρ por lo que

I

a

∆φ =

b z

φ=

1 ∂ ⎛ ∂φ ⎞ ⎜ρ ⎟=0 ρ ∂ρ ⎜⎝ ∂ρ ⎟⎠

ρ

∂φ =A ∂ρ

r Por tanto el campo E será: r ∂φ A ρˆ = − ρˆ = E = −∇φ = − ∂ρ ρ

⎛b⎞ V ln⎜ ⎟ ⎛ b ⎞ ⎜⎝ ρ ⎟⎠ ln⎜ ⎟ ⎝a⎠

φ = A ln ρ + B

V 1 ρˆ ⎛b⎞ ρ ln⎜ ⎟ ⎝a⎠

r H

Cont r I ϕˆ H= 2πρ Calcule el vector de Poynting y su flujo a través del plano z=0 en la región a < ρ < b. (2p) r r r El vector de Poynting se define como P = E × H r r r V 1 I VI (ρˆ × ϕˆ ) = zˆ P = E×H = ⎛ b ⎞ ρ 2πρ ⎛b⎞ ln⎜ ⎟ 2π ln⎜ ⎟ ρ 2 ⎝a⎠ ⎝a⎠

r Por otra parte, aplicando Ampere, el campo H resulta:

Por lo tanto el flujo pedido será: r

r

b

2π

r

r

∫∫ P ⋅ dS = ρ∫ ϕ∫ (E × H )⋅ zˆρdρdϕ = = a =0

ρd ρ VI 2π = VI ⎛ b ⎞ ∫a ρ 2 2π ln⎜ ⎟ ⎝a⎠ b

Calcule la densidad superficial de carga en el conductor interior. (2p) Obtenga la capacidad por unidad de longitud del cable. (2p)

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Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Cont Si la región h < z < h+L, a < ρ < b, 0 < ϕ < α se rellena con un material de conductividad σ calcule el valor de su resistencia. (2p) r r V σ J = σE = ρˆ La densidad de corriente en la región pedida es: ⎛b⎞ ρ ln⎜ ⎟ ⎝a⎠ La corriente total es por tanto:

r r h+ L I = ∫∫ J ⋅ dS = ∫ z =h

α

ασVL V σ ρˆ ⋅ ρˆdzadϕ = b a ⎛ ⎞ ⎛b⎞ = 0 ln ln⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a ⎝ ⎠ ⎝a⎠

∫ ϕ

⎛b⎞ ln⎜ ⎟ V a R= = ⎝ ⎠ I ασL

Y la resistencia será

Ejercicio Una línea biplaca está formada por dos cintas metálicas, planas, paralelas, de espesor despreciable, anchura w, longitud indefinida y separadas d. Entre ambos hay un dieléctrico de permitividad ε0 y permeabilidad µ0, el conductor superior está a masa, el inferior a potencial V voltios y circula una corriente de I amperios en sentidos contrarios en cada conductor y distribuida uniformemente en cada uno de ellos como se indica en la figura. Suponiendo w>>d pueden despreciarse los efectos de borde. Si los conductores son eléctricos perfectos calcule y en la región entre conductores I I yˆ (aproxime las placas por hojas indefinidas de carga y de corriente). (2p) w Calcule el vector de Poynting y su flujo a través del plano z=0 en la región –w/2 < x < w/2, -d/2 < zˆ y < d/2. (2p) Obtenga la capacidad por unidad de longitud del cable (C). (1p) d

xˆ

V

Calcule la energía del campo magnético almacenada por unidad de longitud en la región, la autoinducción por unidad de longitud de la línea (L) y el producto LC. (3p)

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Electricidad y Magnetismo

Campo Magnético Estacionario

Cont. Si la región h < z < h+L, –w/2 < x < w/2, -d/2 < y < d/2 se rellena con un material de conductividad σ calcule el valor de su resistencia (R) así como el producto RC. (2p)

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