Capítulo 26 Física Nuclear

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Energía de enlace El núcleo de un átomo se designa mediante su símbolo químico, su número atómico Z y su número de masa A de la forma: A ZX

La unidad de masa atómica unificada u es la doceava parte de la masa −27 del átomo 12 kg. 6 C, y es igual a: 1 u = 1.660559 · 10 La masa se transforma en energía de acuerdo con la expresión: E = m c2 en donde c es la velocidad de la luz. Esta ecuación relaciona la energía de enlace con el defecto de masa. Las masas se suelen medir en unidades de energía (electrón-voltio) divididas por c2 . Se tiene: 1 u = 931.50 MeV/c2 .

Radiactividad En toda reacción nuclear se conserva el número de masa y el atómico. La radiación alfa está formada por núcleos de helio, y se produce en la reacción: A A−4 4 ZX → Z−2 Y +2 He La radiación beta está constituida por electrones, y corresponde a la reacción: A A − ZX → Z+1 Y + β + ν La partícula ν se denomina antineutrino, no posee carga eléctrica y tiene una masa o bien nula o bien extremadamente pequeña. Los rayos gamma son fotones de altísima energía y, se producen en la desexcitación de un núcleo atómico.

Desintegración radiactiva. Vida media El número de núcleos radiactivos de una muestra disminuye exponencialmente con el tiempo: N = N0 e−λt La vida media τ es la inversa de la constante de desintegración: τ=

1 λ

El período de semidesintegración T1/2 viene dado por: T1/2 =

ln 2 0.693 = λ λ

El período de semidesintegración efectivo Te en el cuerpo depende del biológico y del físico: 1 1 1 = + Te Tb Tf

Actividad La actividad de una muestra es el número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo: |dN | = N0 λe−λt dt El (Bq) es igual a un desintegración por segundo. El (Ci) son 3.7 · 1010 Bq.

Dosis La dosis absorbida D es la energía absorbida por unidad de masa. La unidad de dosis absorbida es el

(Gy). 1 Gy = J/kg = 100 rad.

La dosis equivalente H vale H = Q D, siendo Q el factor de calidad. La dosis equivalente se mide en

(Sv). 1 Sv = 100 rem.

La dosis de radiación D emitida por una muestra es: D=

RAt r2

R depende del tipo de radiación y suele medirse en mGy m2 /(h MBq).

Problema 26.1 Determina la energía de enlace del carbono–12 a partir de la definición de la unidad de masa atómica unificada u y de las masas del protón, neutrón y electrón.

Problema 26.2 Calcula la masa del 35 17 Cl sabiendo que su energía de enlace es de 289 MeV.

Problema 26.3 La masa del 20 10 Ne es de 19.986917 u. Determina la energía de enlace de dicho núcleo.

Problema 26.4 Completa los números y masas atómicos de la siguiente reacción nuclear: 30 15 P

+γ →

Si + p.

Problema 26.5 Completa la siguiente reacción nuclear: 27 13 Al

+α→

30 15 P

+ ···.

Problema 26.6 Determina el número atómico y el de masa del núcleo resultante después de que el isótopo 238 92 U emita tres partículas α y dos β.

Problema 26.7 Escribe la ecuación de desintegración del torio en radio– 224.

Problema 26.8 Escribe las ecuaciones de deintegración beta del oxígeno– 14 y del estroncio–90.

Problema 26.9 Escribe la reacción de desintegración del molibdeno–99 por emisión beta en tecnecio–99.

Problema 26.10 Originalmente tenemos 1018 núcleos radiactivos con un período de semidesintegración de 27 días. ¿Cuántos de esos núcleos quedarán después de un año?

Problema 26.11 Calcula la vida media y la constante de desintegración de un isótopo radiactivo con un período de semidesintegración de 6 horas.

Problema 26.12 El número de núcleos radiactivos de una sustancia se reduce a la décima parte en 30 días. ¿Cuál es su vida media?

Problema 26.13 Un isótopo posee una vida media de 6 horas. Inicialmente tenemos una muestra con 1021 núcleos de dicho isótopo. Calcula: (a) el período de semidesintegración del isótopo, (b) el número de isótopos radiactivos depués de 1 día, (c) la actividad de la muestra a las 12 horas.

Problema 26.14 Un radioisótopo posee un período de semidesintegración de 5 días. Actualmente tenemos una muestra del mismo de 10 gr. ¿Qué cantidad teníamos hace una semana?

Problema 26.15 Una de las reacciones de fisión del uranio–235 posibles da lugar a dos neutrones, estroncio–94 y xenon–140. Las masas nucleares del uranio–235, estroncio–94 y xenon–140 son, respectivamente, 234.9943 u, 93.9754 u y 139.9196 u. Determina: (a) la reacción nuclear, (b) la energía liberada por núcleo de uranio, (c) la cantidad de uranio necesaria por hora para mantener en funcionamiento una central que utilizara dicha reacción y poseyera una potencia bruta de 2 GW.

Problema 26.16 El iodo–131 posee un período de semidesintegración de 8 días y es eliminado del organismo con un período de semidesintegración biológico de 21 días. ¿Cuál es su período de semidesintegración efectivo?

Problema 26.17 Un gramo de radio–226 posee una actividad de 1 curie. ¿Cuál es la vida media del radio–226?

Problema 26.18 El período de semidesintegración del carbono–14 es de 5730 años. ¿Cuál es la actividad de una muestra que contiene 10 gr de carbono–14?

Problema 26.19 Inyectamos 4 cm3 de una disolución de iodo–131 en la sangre de un individuo. La actividad de dicha muestra es de 5 · 105 Bq. Veinte minutos despúes extraemos 5 cm3 de sangre del paciente y medimos que la actividad de esta muestra es de 400 Bq. ¿Cuál es el volumen total de sangre del paciente?

Problema 26.20 Una muestra de cobalto–60 posee una actividad de 2 MBq y está situada a 3 metros de nosotros durante 2 horas. Calcula: (a) el número de núcleos radiactivos de la muestra, (b) la dosis que recibimos en dicho período, (c) el porcentaje que representa dicha dosis sobre el total anual que recibimos proveniente de fuentes naturales.

26.1 Determina la energía de enlace del carbono–12 a partir de la definición de la unidad de masa atómica unificada u y de las masas del protón, neutrón y electrón.

El carbono-12 posee justo 12 u de masa, mientras que la suma de las masas por separado de sus componentes es: X

m = 6me + 6mp + 6mn = 6(0.0005486 + 1.007276 + 1.008665) = 12.098938 u.

La energía de enlace es la energía correspondiente a la diferencia de masas: E = ∆m c2 = (12.098938 − 12) 931.50 = 92.16 MeV.

26.2 Calcula la masa del MeV.

35 17

Cl sabiendo que su energía de enlace es de 289

El defecto de masa corresponde a la energía de enlace: ∆m =

E 289 = = 0.310252 u. 2 c 931.50

La masa total del 35 17 Cl es la suma de las masas de sus componentes menos el defecto de masa: m=

X

m − ∆m = 17(mp + me ) + 18mn − ∆m = 34.978736 u.

26.3 La masa del 20 10 Ne es de 19.986917 u. Determina la energía de enlace de dicho núcleo.

El defecto de masa del 20 10 Ne es: ∆m = 10(me + mp + mn ) − 19.986917 = 0.177980 u. La energía de enlace correspondiente es: E = ∆mc2 = 0.177980 · 931.50 = 165.788 MeV.

26.4 Completa los números y masas atómicos de la siguiente reacción nuclear: 30 15 P

+γ →

Si + p.

Sabemos que el número atómico del silicio es 14. El protón es 11 p. Por tanto, la reacción completa ha de ser: 30 15 P

+γ →

29 14 Si

+11 p.

26.5 Completa la siguiente reacción nuclear: 27 13 Al

+α→

30 15 P

+ ···.

La partícula α es lo mismo que 42 He. El número atómico de la partícula que falta es 13 + 2 − 15 = 0, y la masa atómica es 27 + 4 − 30 = 1. La partícula que falta es, por tanto, un neutrón y tenemos: 27 13 Al

+42 α →

30 15 P

+10 n.

26.6 Determina el número atómico y el de masa del núcleo resultante después de que el isótopo 238 92 U emita tres partículas α y dos β.

Las partículas α poseen 4 de masa atómica y 2 de número atómico. Las partículas β poseen 0 de masa atómica y −1 de número atómico. La masa atómica resultante es: A = 238 − 3 · 4 − 2 · 0 = 226. Y el número atómico final vale: Z = 92 − 3 · 2 − 2 (−1) = 88.

26.7 Escribe la ecuación de desintegración del torio en radio–224.

El torio posee 90 de número atómico y el radio 88. Se ha de tratar de desintegración α: 232 90 Th

→

228 88 Ra

+42 α.

26.8 Escribe las ecuaciones de desintegración beta del oxígeno–14 y del estroncio– 90.

El oxígeno pasará al siguiente elemento en la tabla periódica, el fluor: 14 8 O

→

14 9 F

+0−1 β.

El estroncio-90 experimentará la siguiente reacción: 90 38 Sr

→

90 39 Y

+0−1 β.

26.9 Escribe la reacción de desintegración del molibdeno–99 por emisión beta en tecnecio–99.

La reacción de desintegración del molibdeno en tecnecio es: 99 42 Mo

→

99 43 Tc

+0−1 β.

26.10 Originalmente tenemos 1018 núcleos radiactivos con un período de semidesintegración de 27 días. ¿Cuántos de esos núcleos quedarán después de un año?

La constante de desintegración de los núcleos será: λ=

0.693 0.693 = = 0.0257 días−1 . T1/2 27

Al cabo de un año, quedará un número de núcleos igual a: N = N0 e−λt = 1018 e−0.0257·365 = 8.53 · 1013 .

26.11 Calcula la vida media y la constante de desintegración de un isótopo radiactivo con un período de semidesintegración de 6 horas.

La constante de desintegración en función del período de semidesintegración es: 0.693 0.693 = = 0.1155 horas−1 . λ= T1/2 6 La vida media es la inversa de la constante de desintegración: τ=

1 1 = = 8.659 horas. λ 0.1155

26.12 El número de núcleos radiactivos de una sustancia se reduce a la décima parte en 30 días. ¿Cuál es su vida media?

El número de núcleos radiactivos en función de la vida media es: N = N0 e−t/τ =

N0 = N0 e−30/τ . 10

Por tanto, la vida media vale: τ=

30 = 13 días. ln 10

26.13 Un isótopo posee una vida media de 6 horas. Inicialmente tenemos una muestra con 1021 núcleos de dicho isótopo. Calcula: (a) el período de semidesintegración del isótopo, (b) el número de isótopos radiactivos depués de 1 día, (c) la actividad de la muestra a las 12 horas.

(a) El período de semidesintegración viene dado por: T1/2 = τ ln 2 = 6 · 0.693 = 4.16 horas. (b) Tras un día, queda un número de isótopos igual a: N = N0 e−t/τ = 1021 e−24/6 = 1.83 · 1019 . (c) La actividad de la muestra a las 12 horas será: |dN | N0 −t/τ 1021 −12/6 = e = e = 6.2 · 1015 Bq. dt τ 3600 · 6

26.14 Un radioisótopo posee un período de semidesintegración de 5 días. Actualmente tenemos una muestra del mismo de 10 gr. ¿Qué cantidad teníamos hace una semana?

La vida media del radioisótopo será: τ=

T1/2 5 = = 7.21 días. ln 2 0.693

Hace una semana tendríamos una cantidad igual a: N0 = N et/τ

=⇒

M0 = M et/τ = 10 e7/7.21 = 26.4 g.

26.15 Una de las reacciones de fisión del uranio–235 posibles da lugar a dos neutrones, estroncio–94 y xenon–140. Las masas nucleares del uranio–235, estroncio–94 y xenon–140 son, respectivamente, 234.9943 u, 93.9754 u y 139.9196 u. Determina: (a) la reacción nuclear, (b) la energía liberada por núcleo de uranio, (c) la cantidad de uranio necesaria por hora para mantener en funcionamiento una central que utilizara dicha reacción y poseyera una potencia bruta de 2 GW.

(a) La reacción nuclear es: 235 92 U

+10 n

→

94 38 Sr

1 +140 54 Xe + 20 n.

Es necesario un neutrón inicial que desencadene la reacción. (b) El defecto de masa de la reacción vale: ∆m = 93.9754 + 139.9196 + 1.0087 − 234.9943 = −0.0906 u. La energía liberada por núcleo de uranio es igual a la correspondiente al anterior defecto de masa: ∆E = 0.0906 · 931.50 = 84.394 MeV. (c) En una hora tenemos que obtener la siguiente energía: E = P t = 2 · 109 3600 = 7.2 · 1012 J. El número de átomos de uranio que hemos de fisionar para obtener esta energía es: E 7.2 · 1012 N= = = 5.33 · 1023 . 6 −19 ∆E 84.394 · 10 1.6 · 10

La masa correspondiente a estos átomos vale (el número de Avogadro es 6.022 · 1023 ): m=

5.33 · 1023 0.235 = 0.208 g. 6.022 · 1023

26.16 El iodo–131 posee un período de semidesintegración de 8 días y es eliminado del organismo con un período de semidesintegración biológico de 21 días. ¿Cuál es su período de semidesintegración efectivo?

El período de semidesintegración efectivo del iodo–131 en el organismo será: 1 1 1 1 1 = + = + = 0.172 Tef T1/2 Tb 8 21

=⇒

Tef = 5.79 días.

26.17 Un gramo de radio–226 posee una actividad de 1 curie. ¿Cuál es la vida media del radio–226?

En un gramo de radio–226 tenemos un número de átomos igual a: N=

NA 6.022 · 1023 = = 2.66 · 1021 . mM 226

La actividad en función de la vida media es: |dN | N = = 1 Cu = 3.7 · 1010 Bq. dt τ Por tanto, la vida media vale: 2.66 · 1021 τ= = 7.20 · 1010 s = 2283 años. 10 3.7 · 10

26.18 El período de semidesintegración del carbono–14 es de 5730 años. ¿Cuál es la actividad de una muestra que contiene 10 gr de carbono–14?

La vida media del carbono–14 será: τ=

T1/2 5730 · 365 · 24 · 3600 = = 2.61 · 1011 s. ln 2 0.693

El número de átomos de carbono–14 en una muestra de 10 g del mismo es: NA 6.022 · 1023 N= m= 10 = 4.30 · 1023 . mM 14 La actividad de la muestra será: |dN | N 4.30 · 1023 = = = 1.65 · 1012 Bq. dt τ 2.61 · 1011

26.19 Inyectamos 4 cm3 de una disolución de iodo–131 en la sangre de un individuo. La actividad de dicha muestra es de 5 · 105 Bq. Veinte minutos después extraemos 5 cm3 de sangre del paciente y medimos que la actividad de esta muestra es de 400 Bq. ¿Cuál es el volumen total de sangre del paciente?

Como el período de semidesintegración del iodo–131 es de 8 días podemos asociar toda la disminución de la actividad a la disolución de la muestra. Entonces, podemos suponer que todos los núcleos radiactivos de la muestra inicial se diluyen por toda la sangre y tenemos: 5 · 105 V = 5 = 6250 cm3 = 6.25 l. 400

26.20 Una muestra de cobalto–60 posee una actividad de 2 MBq y está situada a 3 metros de nosotros durante 2 horas. Calcula: (a) el número de núcleos radiactivos de la muestra, (b) la dosis que recibimos en dicho período, (c) el porcentaje que representa dicha dosis sobre el total anual que recibimos proveniente de fuentes naturales.

(a) La actividad de la muestra viene dada por: |dN | N = = 2 · 106 Bq. dt τ De aquí deducimos que el número de núcleos radiactivos es: N = 2 · 106

5.26 · 365 · 24 · 3600 = 4.79 · 1014 . 0.693

(b) La dosis de radiación que recibimos es: D=

RAt 0.36 · 2 · 2 = = 0.16 mGy. r2 3‘2

(c) Supondremos que recibimos una dosis anual de 2 mSv. Como el factor de calidad de los rayos γ es 1, el porcentaje de la dosis recibida, respecto del total anual, vale: 100

0.16 · 1 = 8 %. 2