CAPITULO 3

ELEMENTOS DIFRACTIVOS GENERADOS POR COMPUTADORA

3.1 Introducción A continuación se argumentan las razones para emplear una computadora y un graficador binario para elaborar interferogramas sintéticos. Es decir, para producir interferometría generada por computadora. Para este objetivo se discute el uso de paquetería de “Visual Basic” y “Corel Draw”. Además se describe el proceso de foto reducción de los patrones binarios de los elementos difractivos de un prisma, una lente cilíndrica, una lente esférica y un axicón La primera observación relevante para este capitulo es reconocer que no necesariamente tienen que existir físicamente las fases α 1 ( x, y ) y α 2 ( x, y ) para construir el patrón de interferencia usando la ecuación 2.10. Ya que con las herramientas computacionales es posible crear cualquier tipo de rejilla binaria. Debido a que la aplicación de mayor interés fue la holografía, entonces es también conocida por sus siglas en ingles CGH como computer generated holography [1]. Herramienta basada en la generación de pantallas difractantes o comúnmente llamado interferograma cuya transmitancia es la deseada por el usuario. Dicha pantalla es creada en tres pasos. Primero con el cálculo de una función que represente la interferencia de un frente de onda de referencia y el frente de onda deseado,

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ya descrito en el capitulo anterior. En segundo lugar se substituyen las líneas delgadas por líneas con factor de relleno de ½ y con la ayuda de paquetes de cómputo se genera una gráfica binaria que cumpla con los sitios geométricos que describe la función previamente deducida. Por último se lleva a cabo una foto-reducción de la gráfica en una película delgada, la cual pasará finalmente a ser una pantalla difractante; principal interés de uso para la CGH en esta tesis.

3.2 Generación de pantallas binarias En el capítulo anterior se describió ya el proceso para obtener los sitios geométricos del interferograma. A continuación se discuten los argumentos necesarios para darles un ancho determinado a los sitios geométricos a graficar. Este ancho es denominado factor de relleno y también se discuten los beneficios del uso de patrones binarios con un factor de relleno de 1/2. y

x Transmitancia 1

x Periodo Figura 3.1 Tren de pulsos cuadrado y su transmitancia

La generación por computadora de una rejilla cosinusoidal requiere complicadas herramientas de “software”, además de una impresora de gran calidad y una película con una amplia escala de grises para su foto reducción. Por lo que se opta por una aproximación

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con una rejilla binaria, formada por un tren de pulsos cuadrado de periodo y ancho finito, figura 3.1. Para la ilustración 3.1 el ancho de la línea blanca y la negra es el mismo pero puede no serlo, y esto se ve reflejado en la distribución de irradiancia de los órdenes de difracción. Por lo que conviene definir un cociente de abertura o factor de relleno ε, como un número real entre cero y uno que resulta del cociente del periodo y el ancho de la transmitancia máxima, como muestra la ecuación 3.1.

ε = x0 / d Transmitancia

( 3.1)

x0

1

x

Periodo (d) Gráfica 3.1 Amplitud de dos trenes de pulsos cuadrado

Como ya se mencionó en el capitulo anterior, son los coeficientes de la serie los que van a definir la distribución de irradiancia en el patrón de difracción, por lo que se requiere de su cálculo. Suponiendo que la función de transmitancia vale uno dentro del periodo de máxima transmitancia, la integral para encontrar los coeficientes se vería de la siguiente manera: an =

1 d

εd / 2

∫ ε

(1)e

− i 2πx

n d

dx

( 3.2)

− d /2

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Solamente es necesario hacer la integral dentro del intervelo asociado a x0; ya que fuera de este vale cero. Dado que la función de transmitancia es periódica, el resultado de la integración se muestra en la ecuación 3.3. an = ε [sinc(nε )]

( 3.3)

Es conveniente seleccionar el factor de relleno ε, como inversamente proporcional a un numero entero ε = 1/N. De este modo es posible garantizar que para el orden n = N, el coeficiente de fourier es cero. Es decir

an =

1 N

n ⎤ ⎡ ⎢⎣sinc( N )⎥⎦ ,

( 3.4)

Por lo que para n = N

aN =

1 ⋅0 = 0, N

( 3.5)

Lo anterior es ejemplificado en la gráfica 3.2 para un factor de relleno de (a) 1/3 y (b) 1/4.

a)

b)

Gráfica 3.2 Patrón de difracción de una rejilla con factor de relleno de (a) 1/3 y (b) 1/4.

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Gráfica 3.3 Patrón de difracción de una rejilla con factor de relleno de ½

Como se verá en el capitulo 4, se tiene la necesidad de facilitar el filtraje espacial del orden uno y administrarle suficiente energía por lo que se considera el uso de un factor de relleno de 1/2. Por lo que los órdenes de difracción pares están ausentes en el patrón de difracción de Fraunhofer, como se observa en la gráfica 3.3.

3.3 Generación de Gráficas En esta sección es donde la holografía generada por computadora toma su nombre. Por medio de herramientas computacionales se construye una gráfica que contenga en grandes rasgos las propiedades de la interferencia grabada en un holograma convencional. Con la ayuda de la paquetería de “Visual Basic”, se programa un macro que dibuje líneas o elipses en la paquetería de “Corel Draw”. En dicho macro podemos variar la distancia, grosor y/o la posición de las líneas según la necesidad del usuario. A continuación se presenta el código con su descripción correspondiente a cada comando. Sub Macro1() ' Description: 29

Dim x As Double b=1 For b = 1 To 190 // El numero de líneas deseadas r = (2.5 * (3 * (b ^ 0.5) + ((b - 1) ^ 0.5))) / 20 // El patrón de separación entre las líneas a = (5 * ((b ^ 0.5) - ((b - 1) ^ 0.5))) / 20 // El patrón del ancho se las líneas Dim s1 As Shape Set s1 = ActiveLayer.CreateEllipse2(4.25, 5.5, r, r, 90#, 90#, False) //Tipo de objeto s1.Fill.ApplyNoFill

geométrico deseado, líneas o elipses

s1.Outline.SetProperties a, OutlineStyles(0), CreateCMYKColor(0, 0, 0, 100), ArrowHeads(0), ArrowHeads(0), False, False, cdrOutlineButtLineCaps, cdrOutlineMiterLineJoin, 0#, 100 Next b End Sub

Ya sea que se requieran líneas o círculos, la función que determine los lugares geométricos a graficar debe de ser traducida a un algoritmo computacional que pueda entender el programa. En el ejemplo anterior el patrón de separación entre líneas corresponde a la función donde el periodo va cambiando al cuadrado, o sea es el interferograma de una lente esférica, como se ve en la figura 3.2. En la figura 3.3 se puede apreciar el interferograma de un prisma, en la figura 3.4 una lente cilíndrica y en la 3.5 el axicón. Las imágenes con las que se realizaron los experimentos fueron impresas en ploter con calidad de 600 dpi, difieren a éstas en su calidad por propósitos prácticos de presentación.

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Figura. 3.2 CGH de una lente esférica.

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Figura. 3.3 CGH de un prisma

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Figura 3.4 CGH de una lente cilíndrica

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Figura 3.5 CGH de un axicón.

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A pesar de que se generaron pantallas difractantes de los CGHs mencionados anteriormente, el de interés en esta tesis es el CGH del axicón, formado por 200 círculos concéntricos. En la figura 3.6 se puede apreciar la fotografía de éste.

Figura 3.6 (Izq.) CGH del axicón y su diseñador, (der.) Carlos Macías. Después del proceso de foto-reducción el elemento final es la rejilla mostrada en la figura 3.7. Cuyo periodo es de 50 micras

Figura 3.7 Rejilla circular La calidad de esta rejilla es discutida en el capítulo 4 al estudiar el patrón de difracción de Fraunhofer que produce. 35

3.4 Foto-reducción El proceso de fabricación de un elemento difractivo, consiste en grabar una imagen sobre una película fotográfica de alto contraste. En este caso la imagen deseada es el CGH y la grabación es llevada a cabo al fotografiar el mismo. Primeramente se coloca el CGH a ser reducido sobre una superficie plana previamente adecuada con cuatro foto-lámparas de 250 watts cada una para asegurar una iluminación homogénea. Se coloca una cámara fotográfica de manera perpendicular al interferograma a una distancia “d” de ésta, como se muestra en la figura 3.8. La cámara es cargada con la película de alto contraste Kodalith (marca registrada de Kodak) de ASA 12, y se coloca el diafragma abierto en 8 para obtener el máximo contraste. Se hace uso de un filtro Kenko C8 de 49mm para dejar pasar un cierto rango de luz donde la película tiene su máxima sensibilidad. Posteriormente, se enfoca con la ayuda de un visor de ángulo recto y con la ayuda de un luxómetro, se colocan las lámparas de tal manera que el CGH a fotografiar esté uniformemente iluminado. Cámara 250 W

250 W

250 W

250 W

d

CGH Figura 3.8 Dispositivo de foto-reducción

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Antes de fotografiar el CGH la cámara debe ser caracterizada. Para ello se toma una tira de exposiciones en diferentes tiempos con la misma iluminación con el fin de conocer la marca del exposímetro (+,o,-) de la cámara que da el contraste deseado. Finalmente se fotografía según marque el exposímetro de la cámara, arriba del tiempo ideal (+), en el tiempo (o) o por debajo(-). Los tiempos recomendados con una iluminación de 1500 luxas a la distancia de 1 metro son 1/30, 1/15 y 1/8 de segundo, ya que el ASA es muy pequeño (el tiempo de reacción es muy lento).

Figura 3.9 Proceso de revelado

Una vez terminado de exponer la película fotográfica, de se dispone a revelarla con la ayuda de un tanque en revelado, figura 3.9. En completa oscuridad la película es extraída del magazine e insertada en un carrete y guardada en un tanque de revelado adecuado. Se revela con revelador Kodak D-11 durante 4 minutos a una temperatura de 20°C en continua agitación para luego darle un baño de paro con agua durante dos minutos y medio, finalizando con el fijador (fijador Kodak, parte A + B, 9.25:1) durante 2 minutos y medio. Una vez que la película ha secado a temperatura ambiente es recortada y colocada dentro de porta-diapositivas con el fin de darles protección y su manipulación sea más eficaz, como se muestra en la figura 3.10. 37

Figura 3.10 Enmascarado

Comúnmente, la calidad de impresión utilizada en los CGH es de 23.6 puntos por milímetro (600 dpi) y la escala de fotoreducción es de 8:1 por lo que si se utiliza una película fotográfica con resolución de 300 líneas/mm, todavía se está dentro de la resolución en un 63%. En otras palabras, por más pequeño que pueda imprimirse el periodo deseado en una hoja tamaño carta, la película tiene la suficiente resolución para grabarlo. Ahora bien, si se logra utilizar toda la resolución posible de la película, el 63% o sea 189 líneas/mm y todas ellas están iluminadas por una luz monocromática (N), por ejemplo, luz roja de 632.8nm de longitud de onda, y se observa a una distancia d = 1000mm, puede encontrarse con la ecuación 3.4 que el poder de resolución cromático o resolvencia es de 300 líneas para el primer orden de difracción, m = 1. R=

λ = mN ∆λ

( 3.6)

De ahí puede concluirse que ∆λ = 3.34 nm lo cual correspondería a un espaciamiento linear de 0.65mm en la pantalla de observación. También pudiéndose observar hasta el quinto orden a un ángulo de 73º del orden cero.

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Cabe mencionar que dependiendo de la exposición y revelado del negativo como rejilla es importante volver a medir el factor de llenado ya que éste puede modificarse por el tiempo de exposición y/o el revelado. Con esto queda concluida la discusión experimental de la creación de rejillas y su aproximación teórica. En el siguiente capitulo, los coeficientes encontrados son filtrados espacialmente con la ayuda de una computadora óptica coherente; y de esta manera construir una rejilla cosinusoidal a partir de una rejilla binaria.

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Referencias [1] W.H. Lee. “Computer-generated holograms”, Appl. Opt., 18 3661-3669, (1979). [2] J. Goodman, “Introduction to Fourier optics”, (McGraw-Hill, San Francisco, 1968), pp. [3] J. Dyson, “Circular and spiral diffraction gratings”, Royal Soc. of London, 248, 93106 (1958). [4] O. Bryngdahl y A.W. Lohmann, “Interferograms are image holograms”, J. Opt. Soc. Am. 58, 141-142 (1968). [5] E. Hecht, “Optics”, (Addison-Wesley, EUA, 1989), pp. [6] S. H. Lee, “Computer generated holography: an introduction”, Appl. Opt., 26, 4350 (1987).

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