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Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN En los capítulos anteriores se analizó el cálculo diferencial, el cual trata sobre la tasa de cambio de las funciones. Diferenciación es el proceso de hallar la derivada F´(x) de una función F(x). Sin embargo, algunas veces en economía se conoce la tasa de cambio de una función F´(x) y lo que se desea es obtener la función F(x) o la función original. Así, el proceso inverso de la diferenciación es denominado integración o antidiferenciación. De esta forma, la función original F(x) es llamada integral o antiderivada de F´(x). En general, las integrales pueden clasificarse en indefinidas y definidas. 5.1 Integral Indefinida Haciendo f (x) = F´(x), la antiderivada de f (x) se expresa matemáticamente como:

∫ f ( x )dx = F ( x ) + c

(5.1)

El lado izquierdo de la expresión (5.1) se lee: “la integral indefinida de f de x con respecto a x”. El símbolo

∫

denota una integral mientras que “c” es la constante de

integración. 5.1.1 Reglas básicas de integración a) Regla 1: La integral de una constante k es:

∫ kdx = kx + c

(5.2)

Ejemplo 5-1. ∫ 5dx = 5x + c b) Regla 2: La integral de una potencia es:

1

n n+1 ∫ x dx = n + 1x + c

Ejemplo 5-2.

( n ≠ −1)

(5.3)

1

3 4 ∫ x dx = 4 x + c

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

125

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c) Regla 3: la integral de una función exponencial es:

akx ∫ a dx = k ln a + c kx

Ejemplo 5-3. ∫ 23x dx =

(5.4)

23x +c 3ln2

d) Regla 4: La integral de una función exponencial natural es:

kx ∫ e dx =

Ejemplo 5-4. ∫ 9e −3x dx = 9 ∫ e −3x dx =

ekx +c k

(5.5)

9e −3x +c −3

e) Regla 5: la integral de una función logarítmica es:

1

∫ x dx = ln x + c Ejemplo 5-5. ∫ 3x −1dx = 3 ∫

(x > 0)

(5.6)

1 dx = 3ln x + c x

5.1.2 Condiciones iniciales y condiciones de frontera En muchos problemas una condición inicial (y=y0 cuando x=0) o una condición de frontera (y=y0 cuando x=x0) es dada para determinar la constante de integración, c. Permitiendo una sola determinación de c. Por ejemplo, si

y = ∫ 2dx = 2x + c sustituyendo y = 11 cuando x = 3,hallamos el valor de c: 11 = 2(3) + c → c = 5 Por lo tanto, y = 2x + 5. Note que aun cuando c es especificado,

∫ 2dx

permanece

como integral indefinida porque x no esta especificado. Entonces, la integral 2x+5 puede asumirse como un infinito número de valores. CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

126

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5.2 Integral Definida El teorema fundamental del calculo establece que el valor numérico de una integral definida de una función continua f(x) tras un intervalo desde a-b esta dado por la integral indefinida F (x) + c evaluada al limite más alto de integración (b), menos la misma integral evaluada al limite más bajo de integración (a). Puesto que “c” es común a ambos, la constante de integración es eliminada en la sustracción b b ∫a f(x)dx = F(x) a = F(b) − F(a)

(5.7)

De esta forma, el área bajo de una función desde a hasta b puede ser expresada como una integral definida de f(x) tras un intervalo a hacia b, como se aprecia en el siguiente Gráfico 5-1. Gráfico 5-1 y

y=f(x)

0

a

b

x

Esta técnica tiene diversas aplicaciones en la economía puesto que permite obtener áreas de funciones continuas de una forma relativamente sencilla. De esta forma, las integrales definidas permiten obtener valores numéricos mientras que las integrales indefinidas solo permiten obtener funciones. Ejemplo 5-6. Las integrales definidas de (1) 4

2 4

4

∫1 10xdx

y (2)

3 3 ∫1 (4x + 6x)dx

= 5(4)2 − 5(1)2 = 75

(1)

∫1 10xdx = 5x

(2)

3 3 4 2 4 3 4 2 ∫1 (4x + 6x)dx = ⎡⎣ x + 3x ⎤⎦1 = ⎡⎣(3) + (3) ⎤⎦ − ⎡⎣(1) + 3(1) ⎤⎦ = 104

1

serán:

3

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

127

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5.3 Excedente del consumidor y el excedente del productor Una función de demanda P1 = f1(Q) como en el Gráfico 5-2a representa los diferentes precios que el consumidor esta dispuesto a pagar por diferentes cantidades de un bien. Si el mercado esta en equilibro en un punto como (Q0, P0), entonces los consumidores estarán dispuestos a pagar más de P0. El beneficio total para los consumidores esta representado por el área sombreada, la cual se denomina

excedente del consumidor, EC. Esta área equivale a la diferencia entre lo que el consumidor esta dispuesto a pagar y lo que realmente paga. Q

EC = ∫0 0 f1(Q)dQ − Q0P0

(5.8)

Una función de oferta P2 = f2(Q) como en el gráfico, representa el precio al cual diferentes cantidades de un bien será ofertado. Si el equilibrio de mercado sucede en (Q0, P0), los productores que ofertan a un precio menor a P0 se beneficiaran. Este beneficio o ganancia es llamado excedente del productor, EP, el cual equivale al área sombreada del Grafico 5-2b. Esta área equivale a la diferencia entre el precio que el productor vende y precio límite al cual el productor estaría dispuesto a vender su producto. Q

EP = Q0P0 − ∫0 0 f2 (Q)dQ Gráfico 5-2a

(5.9) Gráfico 5-2b

P

P

f2(Q)

P0

P0 f1(Q) Q0

Q

Q0

Q

Ejercicio 108: Dada una función de demanda, p = 42 – 5q – q2, y asumiendo que el precio de equilibrio es 6, obtenga el excedente del consumidor. Solución. Para encontrar el nivel de producción asociado a p = 6:

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

128

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42 – 5q – q2 = 6, q0 = 4 Ahora, el excedente del consumidor será: 4

(

)

EC = ∫0 42 − 5q − q2 dq − ( 4 )( 6 )

Gráfico 5-3

4

1 ⎤ ⎡ EC = ⎢ 42q − 2.5q2 − q3 ⎥ − 24 3 ⎦0 ⎣ EC = (168 − 40 − 21.3 ) − 0 − 24 = 82.7

p EC

6

p = 42 − 5q − q2 4

q

Ejercicio 109: Dada la función de oferta, p = (q+3)2, encuentre el excedente del productor cuando p0=81. Solución. 6

2

EP = ( 81)( 6 ) − ∫0 ( q + 3 ) dq

Gráfico 5-4

6

3⎤ ⎡1 EP = 486 − ⎢ ( q + 3 ) ⎥ ⎣3 ⎦0

p

EP = 252

EP p =

( q + 3 )2

81 6

q

Ejercicio 110: Dada la función de demanda pd = 25 – q2 y la función de oferta ps = 2q + 1 y asumiendo competencia perfecta, encuentre el a) Excedente del consumidor. CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

129

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b) Excedente del productor. Solución. En competencia perfecta, demanda = oferta:

2q + 1 = 25 − q2 de donde q0 = 4, lo que implica p0 = 9 a) Excedente del consumidor: 4

(

)

EC =∫0 25 − q2 dq − ( 9 )( 4 ) 4

1 ⎤ ⎡ EC = ⎢ 25q − q3 ⎥ − 36 3 ⎦0 ⎣ 1 3⎤ ⎡ EC = ⎢25 ( 4 ) − ( 4 ) ⎥ − 0 − 36 = 42.67 3 ⎣ ⎦ a) Excedente del productor 4

EP = ( 9 )( 4 ) − ∫0 ( 2q + 1) dq 4

EP = 36 − ⎡⎣ q2 + q⎤⎦ = 16 0 Gráfico 5-5 p 25

EC

ps = 2q + 1

9

1

EP

pd = 25 − q2 4

q

Ejercicio 111: Dadas las funciones de demanda y oferta:

P = 20 − 0.05q

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

(1)

130

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P = 2 + 0.0002q2

(2)

a) Halle el precio y la cantidad de equilibrio. Grafique.Determine el excedente del consumidor, el excedente del productor y el bienestar social. b) Si el precio de equilibrio aumenta 2 unidades, obtenga la variación del bienestar. •

Si se aplica un impuesto al productor de 4 unidades por unidad vendida.

c) Determine el nuevo precio y cantidad de equilibrio. Grafique d) Determine el nuevo excedente del consumidor, el excedente del productor, el bienestar social y la perdida de eficiencia social. Grafique e) ¿Qué monto del impuesto paga cada agente por unidad? f)

¿Cuál es la recaudación del gobierno? •

Si el gobierno ha decidido otorgar un subsidio de 3 unidades por unidad

vendida. g) Determine el nuevo precio y cantidad de equilibrio. Grafique h) Determine el nuevo excedente del consumidor, el excedente del productor, el bienestar social y la perdida de eficiencia social. Grafique i)

¿A cuanto asciende el gasto en subsidios del gobierno?

Solución. a) Para hallar el equilibrio debemos de igualar las ecuaciones (1) y (2) y resolver. Gráfico 5-6

20 – 0.05q = 2 + 0.0002q2 0.0002q2 + 0.05q – 18 = 0 q0 = 200

P0 = 10

P 20

P=2+0.0002q2

10

P=20-0.05q 2

200

400

q

b) El excedente del consumidor y el excedente del productor se hallará por integración, ya que tenemos una función de demanda no lineal.

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

131

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EC0 = ∫

200

0

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Gráfico 5-7

( 20 − 0.05q ) − 10q

0.05q2 EC0 = 20q − 2

200

− 10x200

P

0

EC0 = 1000

P=2+0.0002q2

20

EP0 = 10q − ∫

200

0

( 2 + 0.0002q ) dq 2

q3 EP0 = 10x200 + 2q − 0.0002 3

EC0

200

0

10

EP0 = 1066.67 B0 = EC0 + EP0

2

P=20-0.05q

EP0

B0 = 1000 + 1066.67

q

200

B0 = 2066.67

c) Si el precio aumenta 2 unidades con respecto al equilibrio, el nuevo precio es:

P1 = 12 y reemplazando en la ecuación de demanda, la cantidad demandada es q1 = 160 . EC1 = ∫

160

0

Gráfico 5-8

( 20 − 0.05q ) dq − (12 )(160 )

0.05 2 EC1 = 20q − q 2

160

− (12 )(160 )

0

EC1 = 640 EP1 = (12 )(160 ) − ∫

160

0

( 2 + 0.0002q ) dq

q3 EP1 = (12 )(160 ) − 2q + 0.0002 3

P P=2+0.0002q2

EC1

20

2

160

0

EP1 = 1326.93

12 10

B1 = EC1 + EP1 B1 = 640 + 1326.93

P=20-0.05q

2

EP1

B1 = 1966.93 160

200

q

La variación del bienestar será la diferencia de B1 - B0 = 1966.93 - 2066.67 = -99.74

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

132

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d) El gobierno decide aplicar un impuesto al productor de 4 unidades por unidad vendida lo cual genera una desigualdad en el precio que paga cada agente (PC ≠ Pp), nuestro nuevo equilibrio será: Pp = p C - t

(1)

Nuestras nuevas funciones de demanda y oferta serán: Demanda

Pp = 20 – 0.05q

(2)

Oferta

PC = 2 + 0.0002q2 + 4

(3)

Reemplazamos (2) y (3) en (1) y resolvemos la ecuación:

20 – 0.05q = 2 + 0.0002q2 + 4 0.0002q2 + 0.05q – 14 = 0 q2=167.62 Hallamos el precio para cada agente (consumidor y productor), reemplazando x en (2) y (1). PC = 20 - 0.05(167.62) PC = 11.62 Pp = PC - t

Pp = 11.62 - 4 = 7.62 Gráfico 5-9

P P=6+0.0002q2

P=2+0.0002q2 Pc= 11.62 10 Pp =7.62 P=20-0.05q

167.62 200

q

e) Por integración hallamos el excedente del consumidor y del productor, el bienestar y la pérdida de eficiencia social. CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

133

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EC 2 = ∫

167.62

0

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( 20 − 0.05q ) dq − 11.62q

EC2 = 20q −

0.05 2 q 2

167.62

EP2 = 11.62q − ∫

167.62

0

( 6 + 0.0002q ) dq 2

q3 EP2 = 11.62x167.62 − 6q − 0.0002 3

− 11.62x167.62

0

EC2 = 702.24

EP2 = 628.06 B2 = EC2 + EP2

B2

B2 = 702.24 + 628.06 B2 = 1330.3

La pérdida de eficiencia social será el triángulo ABC de la figura 5-7 y se hallará por una diferencia de integración de la función de demanda y oferta.

( 20 − 0.05q )dq − ∫167.62 ( 2 + 0.0002q2 )dq 167.62

PES2 = ∫

200

200

0.05q2 PES2 = 20q − 2

PES2

200

167.62

0.0002q3 − 2q + 3

200

167.62

PES2 = 350.012 -284.125 PES2 = 65.89 Gráfico 5-10

P

EC2

P=6+0.0002q2 P=2+0.0002q2

Tc Tp

Pc=11.62

A

Pe=10

B

Pp=7.62 6

C

P=20-0.05q

EP2

2 167.62

200

q

f) Para hallar el impuesto que asume cada agente por unidad, se observa en la gráfica: TCONSUMIDOR = PC – P*= 11.62 -10 = 1.62

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

134

167.62

0

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TPRODUCTOR = P* - PP = 10 – 7.62 = 2.38 g) La recaudación del gobierno al implantar este impuesto es 4x167.62=670.48 h) Si el gobierno otorga al productor un subsidio de 3 unidades por unidad vendida, genera también una desigualdad en el precio que paga cada agente ( Pc ≠ Pp ), nuestro nuevo equilibrio será: (1)

Pp = Pc + s Nuestras nuevas funciones de demanda y oferta serán: Demanda

Pp = 20 - 0.05q

(2)

Oferta

Pc = 2 + 0.0002q2 – 3

(3)

20 - 0.05q = 2 + 0.0002q2 - 3

Reemplazamos (2) y (3) en (1):

0.0002q2 +0.05q -21 = 0 q3 = 222.31 Hallamos el precio para cada agente reemplazando q en (2) y (1).

Pc = 20 – 0.05(222.31)

Pc = 8.88

Pp = Pc

Pp = 8.88 + 3 = 11.88

-

t

Gráfico 5-11 P 20 P=2+0.0002q2 P=-1+0.0002q2

PP = 11.88 10 Pc= 8.88 2

P=20-0.05q 200

222.31

400

q

i) Por integración hallamos el excedente del consumidor y del productor, el bienestar y la pérdida de eficiencia social. CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

135

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EC3 = ∫

222.31

0

EC3

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( 20 − 0.05q ) dq − 8.88q

0.05 2 EC3 = 20q − q 2

222.31

− 8.88x222.31

0

EC2 = 1236.54 222.31 EP2 = 8.88 * 70.71 + ⎡( 8.88x222.31 − 70.71) − ∫ ( −1 + 0.0002q2 ) dq⎤⎦⎥ 70.71 ⎣⎢

EP3

⎡ q3 EP2 = 627.91 + ⎢1346.199 − −q + 0.0002 3 ⎢⎣

222.31

70.71

⎤ ⎥ ⎥⎦

EP3 = 2437.12

B3 = EC3 + EP3 B3

B3 = 1236.54 + 2437.12 B3 = 3673.66

La pérdida de eficiencia social será el triángulo ABC de la figura 5-10 y se hallará por una diferencia de integración de la función de oferta y demanda.

PES3 = ∫

222.31

200

PES3

( 2 + 0.0002q )dq − ∫ 2

222.31

200

0.0002q3 PES3 = 2q + 3

222.31

200

( 20 − 0.05q )dq

0.05q2 − 20q − 2

222.31

200

PES3 = 243.75 - 210.66 = 33.09 Gráfico 5-12 P EC3 P=2+0.0002q2 P=-1+0.0002q2

B

PP = 11.88 10

A

Pc= 8.88

C P=20-0.05q

EP3

200 222.31

q

j) El gasto del gobierno por implantar el subsidio es: 3 x 222.31=666.93 CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

136

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5.4 Problemas resueltos La integral es ampliamente aplicada en la economía. Quizá su mayor uso es en el campo de la microeconomía, puesto que se utiliza para calcular el excedente del consumidor y el excedente del productor. Sobretodo en la valoración económica de los impactos ambientales Ejercicio 112: La tonelada de un mineral cuesta US$ 46. Los estudios indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 0.09 + 0.0006x2 US$/semana. ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas?. Solución. Como 10 dP = 0.09 + 0.0006x 2 ⇒ ∫ 0.09 + 0.0006x 2 dx dx 0

(

)

El precio dentro de 10 semanas será: 10

⎡ 0.0002x 3 ⎤ P = 46 + ⎢0.09x + ⎥ = 46 + 1.1 = 47.1 3 ⎣ ⎦0 Ejercicio 113: Obtenga la cantidad producida de maximiza la utilidad y las correspondiente utilidad total (asumiendo competencia perfecta) si IMg = 24 - 6q – q2 y CMg = 4 - 2q – q2 , siendo Img el ingreso marginal y Cmg, el costo marginal. Solución. Asumiendo competencia perfecta, las curvas de ingreso marginal y costo marginal se interceptan y determinan el precio y la cantidad demandada. Entonces, 24 - 6q – q2 = 4 – 2q –q2 q=5 Como UMg = IMg - CMg ( UMg: utilidad marginal) entonces, UMg = 20 – 4q

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

137

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El dato es la utilidad marginal ( UMg =

dU ) y se desea obtener es la utilidad total (U). dq

Entonces, es necesario “integrar” la primera función para (UMg) obtener la segunda función (U) o función original. 5

U = ∫0 ( 20 − 4q )dq 5

U = ⎡⎣20q − 2q2 ⎤⎦ = 50 0

Se ha evaluado desde 5 a 0 puesto que q = 5 es el valor que maximiza la utilidad, es decir, el punto máximo. Ejercicio 114: La tasa de inversión neta esta dada por I (t) = 140t3/4, y el stock inicial de capital en t = 0 es 150. Determine la función de capital K. Solución. La función K será:

K = ∫ 140t 3 4 dt = 140 ∫ t 3 4 dt ⎛4 ⎞ K = 140 ⎜ t 7 4 ⎟ + c = 80t 7 4 + c ⎝7 ⎠ pero c = K0 = 150 entonces, K = 80t7/4 + 150 Ejercicio 115: Hallar la cantidad producida que maximice la utilidad y determinar la utilidad total en dicho punto s las funciones de ingreso marginal y costo marginal son respectivamente, I´(x) = 25 - 5x - 2x2 C´(x) = 10 - 3x – x2 Solución. Una forma de solucionar es obtener el ingreso total y el costo total para luego obtener el beneficio y finalmente, determinar el máximo valor de la última función. La forma más directa es obtener el beneficio marginal y luego determinar el beneficio. Con esta última se determina el valor máximo. I´ - C´ = B´

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

138

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25 – 5x - 2x2 – (10 - 3x – x2) = B´ 15 – 2x –x2 = B´

(beneficio marginal)

Integrando B' se obtiene B:

B = ∫ (15 − 2x − x 2 )dx = 15x − x 2 −

x3 3

Determinando el máximo en B:

dB = 15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ x = 3 dx

Evaluando este valor en B se tiene 27.

Ejercicio 116: La propensión marginal a ahorrar es 1/3. Cuando la renta es cero el consumo es 11 millones. Hallar la función de consumo. Solución.

dc ds 2 = 1− = dx dx 3 2 2 c = ∫ dx = x + C 3 3 x = 0 ⇒ c(0) =11 ⇒ C = 11

Por lo tanto: c =

2 x + 11 3

Ejercicio 117: Si la función de demanda es P = 85 - 4x – x2, hallar el excedente del consumidor cuando a) x = 5 y b) P = 64 Solución. a) x = 5

5

EC = ∫ (85 − 4x − x 2 )dx − 5x40 0

EC = 133.3 b) P = 64

64 = 85 − 4x − x 2 (para obtener el valor de x) x=3

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

139

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3

EC = ∫ (85 − 4x − x 2 )dx − 3x64 0

EC = 36 Ejercicio 118: La cantidad demandada y el correspondiente precio –en competencia perfecta- se determinan con las funciones de demanda y oferta respectivamente:

Pd = 36 − x 2 y Po = 6 +

x2 . Determinar el excedente del consumidor y productor 4

Solución. Primero se determina el precio de equilibrio: Pd = Po

x2 4 De donde: x = 2 6 , P = 12 (coordenadas de integración) 36 − x 2 = 6 +

EC =

2 6

2 ∫ (36 − x )dx − (2 6)(12)

0

EC = 32 6 ≈ 78.4

EP = (2 6)(12) −

2 6

∫

0

(6 +

x2 )dx 4

EP = 8 6 ≈ 19.6 Ejercicio 119: Una compañía esta considerando la adición de vendedores a su nómina. El costo del empleo de vendedores adicionales es: 5y2 = 48x, donde “y” es el costo del empleo, “x” es el número de vendedores adicionales empleados, siendo el ingreso adicional: (R-2)2 = 4(x+10), donde R es el ingreso. La compañía empleará vendedores adicionales hasta cuando el costo de esta adición iguale al ingreso adicional. Se pide obtener: a) El número de vendedores adicionales (Recuerde que en este caso, Img = Cmg) y el costo respectivo b) Ingreso neto total (ingreso menos costo)

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

140

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y, R

5y2=48x

(R-2)2=4(x+10)

x

Solución.

De la primera condición: De la segunda condición:

5y 2 (costo marginal) 48 R2 x= − R − 9 (ingreso marginal) 4

x=

Igualando x, y además dado que R=y (Img = Cmg): 7y2 – 48y - 432 = 0 De donde: y=12 y entonces, x=15 Para encontrar el ingreso neto total solo se requiere encontrar el área entre la curva superior y la curva inferior, delimitada por el “equilibrio” (12,5). Es decir, el área encerrada entre ambas curvas que equivalen al ingreso marginal menos costo marginal. Note que la integración debe realizarse en el eje Y, y no en el eje X dado que la integración será en términos de y. Sea el ingreso total neto (ITN): 12 ⎛ 5 2 1 2 ⎞ y − y + y + 9) ⎟ dy ITN = ∫ ⎜ 4 ⎠ 0 ⎝ 48

12

⎡ y2 7 3⎤ ITN = ⎢ + 9y − y ⎥ = 72 + 108 − 84 = 96 144 ⎦ 0 ⎣2 Si hubo equivocación entre la diferencia de ambas curvas, es decir, en lugar de Cmg Img se planteó Img - Cmg el resultado sería el mismo pero con signo negativo. Nótese

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

141

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que en este caso lo correcto es la diferencia Cmg - Img porque estamos evaluando en el eje Y y no en el eje X, donde SI debería ser lo contrario. Ejercicio 120: Dadas las funciones de oferta y demanda: p = 20 – 0.05x y p = 2 + 0.0002x2, encuentre: a) Precio y cantidad de equilibrio b) Excedente del productor y excedente del consumidor y bienestar social c) Si el precio de equilibrio aumenta 2 unidades, obtenga la variación del bienestar Solución. a)

20 – 0.05x = 2 + 0.0002x2 0.0002x2 + 0.05x - 18 = 0 x0 = 200 ⇒ p0 = 10

b)

EC0 =

∫

200

0

(20 − 0.05x − 10)dx 200

EC0 = ⎡⎣10x − 0.025x 2 ⎤⎦ 0 EP0 =

∫

200

0

= 1000

(10 − (2 + 0.0002x 2 ))dx 200

⎛ x3 ⎞ EP0 = ⎜ 8x − 0.0002 ⎟ 2 ⎠0 ⎝

= 1067

B0 = EC0 + EP0 = 2067 c) Ahora: P1 = 12, reemplazando este precio en la función de demanda se tiene que: x1 = 160

EC1 =

∫

160

0

(20 − 0.05x)dx − (12)(160) 160

0.05 2 ⎤ ⎡ EC1 = ⎢ 20x − x ⎥ 2 ⎣ ⎦0

− (12)(160)

EC1 = 640 EP1 = p1x1 −

∫

x1

0

(2 + 0.0002x 2 )dx

EP1 = (12)(160) − CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

∫

160

0

(2 + 0.0002x 2 )dx 142

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160

EP1 = (12)(160) − ⎡⎣2x + 0.0002(x 3 / 3)⎤⎦

0

EP1 = (12) (160) – 593.07 = 1326.93 B1 = EC1 + EP1 = 640 +1326.93 = 1966.93 ∆B = B1 – B0 = 1966 - 2067 = -101 Ejercicio 121: La propensión marginal a ahorrar es 1/3. Cuando la renta es cero el consumo es 11 millones. Hallar la función de consumo. Solución. Por identidades sabemos que c = 1 - s, por lo tanto hallando su derivada se obtiene

dc ds 2 = 1− = , de allí por integración a la propensión marginal a consumir hallamos dx dx 3 2 2 la función de consumo c = ∫ dx = x + C (ecuación general), por último con los 3 3 datos dados en el problema se puede obtener la solución particular para la función de consumo x = 0 ⇒ c (0) =11 ⇒ C = 11. Por lo tanto: c =

2 x + 11 . 3

Ejercicio 122: Asuma que el kilo de huevo cuesta S/. 4.6. Los estudios indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 0.09 + 0.0006x2 soles x semana. ¿Cuánto costará el kilo de huevo dentro de 10 semanas? Solución. La tasa de cambio esta representada por la siguiente ecuación:

dp = 0.09 + 0.0006x 2 ⇒ dx

10

∫ (0.09 + 0.0006x

2

)dx

0

Es el aumento del precio en 10 semanas. Entonces, dentro de 10 semanas: 10

P = 4.6 +

∫ (0.09 + 0.0006x

2

)dx = 4.6 + 1.1 = 5.7

0

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

143

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5.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de monopolio se determina por la función de demanda p =

c=

1 (10 − q )2 y el costo total es 4

q3 + 5q . Determinar el excedente del consumidor. Rpta: 26/3 4

2. Cuando la maquina tiene x años, la tasa a la cual está cambiando su valor es de 220 (x – 10) soles por año. ¿En que cantidad se deprecia la maquina al cumplir dos años y cual es su precio de reventa en un tiempo si su costo fue de S/- 12,000. Rpta: S/. 3,960.

3. Dado dC dY = 0.6 +

0.1 y C = 45 cuando Y=0, obtenga la función de consumo, Y

3

C. Rpta: C = 0.6Y + 0.15 Y2/3 +45 4. La propensión marginal al ahorro esta dada por dS/sY = 0.5 – 0.2Y-1/2. Existe desahorro de 3.5 cuando el ingreso es 25, es decir, S = −3.5 cuando Y=25. Obtenga la función de ahorro. Rpta: S = 0.5Y – 0.4Y1/2 - 14. 5. El costo marginal esta dado por CM = dCT/cQ = 25 + 30Q – 9Q2. El costo fijo es 55. Encuentre (a) el costo total, (b) el costo medio y (c) la función costo variable. Rpta. (a) 25Q + 15Q2 - 3Q3 + 55, (b) 25 + 15Q – 3Q2+ 55/Q, (c) 25Q +15Q2 - 3Q3.

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

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