Capítulo 7 Leyes de escala

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Cambios de escala geométricos Las longitudes se relacionan entre sí a través de una ecuación del tipo: d = c1 L ∝ m1/3 en donde c1 es independiente del tamaño del objeto y m es la masa. Una superficie y una longitud están relacionadas por: S = c2 L2 ∝ m2/3 . Los volúmenes y las longitudes están relacionados por: V = c3 L3 ∝ m.

Semejanza elástica En el modelo de semejanza elástica los diámetros y las longitudes están relacionados por: d = c L2/3 . La masa es igual a: m = c d2 L. Los diámetros y las longitudes en función de la masa vienen dados por: d = c m3/8

y

L = c m1/4 .

Cualquier superficie lateral verifica: S ∝ d L ∝ m3/8 m1/4 = m5/8 = m0.625 .

Tasas metabólicas La ley de Kleiber nos dice que la tasa metabólica basal es proporcional a la sección transversal y, por tanto, va como: d2 ∝ (m3/8 )2 = m3/4 = m0.75 . La tasa metabólica máxima también es proporcional a m0.75 , con una constante de proporcionalidad diez veces mayor que la de la tasa basal. La fuerza muscular también va como m0.75 .

Leyes de escala en el sistema circulatorio La presión sanguínea es básicamente la misma para todos los animales. El caudal sanguíneo es proporcional a la tasa metabólica, o sea, a m3/4 . El período cardíaco es igual al volumen impulsado en un latido dividido por el caudal, proporcional a m/m3/4 = m1/4 . Va, por tanto, como una distancia longitudinal. El tiempo natural de los relojes biológicos de los mamíferos es proporcional a m1/4 . Las vidas medias de los animales son proporcionales a m1/4 . Por tanto, el número medio de latidos cardíacos es el mismo para todos los animales, aproximadamente igual a 1.5 · 109 .

Problema 7.1 Un cubo posee un área lateral total 27 veces mayor que la de otro de 0.2 m de arista. Calcula la arista y el volumen del primer cubo.

Problema 7.2 ¿Cuál es el radio de una esfera de masa 10 veces mayor que otra del mismo material y de 0.15 m de radio? ¿Cuál es el cociente entre las superficies esféricas de ambas esferas?

Problema 7.3 Tenemos dos cubos de un mismo material, y uno de ellos posee una masa 8 veces mayor que el otro. Le aplicamos a ambos una misma fuerza de compresión. ¿Cuál es la relación entre los acortamientos respectivos? Si, en vez de aplicar fuerzas iguales, ejerciésemos esfuerzos de compresión iguales, ¿cuál sería la relación entre los acortamientos?

Problema 7.4 La relación entre las alturas de dos árboles es de 2.5. Obtén la relación entre sus diámetros, suponiendo que satisfacen el modelo de semejanza elástica.

Problema 7.5 Un árbol es 2 m mayor que otro y su diámetro es doble que el de éste. ¿Cuál es la altura de ambos si satisfacen el modelo de semejanza elástica?

Problema 7.6 Un perro pesa el doble que otro, y su altura es un 20 % mayor que la de éste. ¿Verifican el modelo de semejanza elástica?

Problema 7.7 Dos animales son semejantes, según el modelo elástico, y la altura de uno de ellos es 10 cm mayor que la del otro y su masa doble que la de éste. ¿Cuánto miden ambos animales?

Problema 7.8 Supón exacto el modelo de semejanza elástica. Un animal posee una masa 10 veces mayor que la de otro. Determina la relación entre sus: (a) alturas, (b) secciones de las patas, (c) superficies corporales, (d) tasas metabólicas, (e) períodos cardíacos.

Problema 7.9 Deduce la dependencia de la masa, la tasa metabólica basal y el período cardíaco en función de la altura de una animal según el modelo de semejanza elástica.

Problema 7.10 La relación entre las tasas metabólicas de dos animales que satisfacen el modelo de semejanza elástica es de 4. Determina la relación entre sus: (a) masas, (b) alturas, (c) secciones de las patas, (d) períodos cardíacos, (e) vidas medias.

Problema 7.11 Demuestra que la altura que consiguen saltar los animales es independiente de su masa en el modelo de semejanza elástica. Sugerencia: compara la energía potencial en el punto más alto del salto con el trabajo que pueden realizar las patas, proporcional a su longitud por la fuerza muscular.

Problema 7.12 Haz una estimación de la vida media de una persona que posee un ritmo cardíaco de 65 pulsaciones por minuto, a partir del número total de latidos de los animales. ¿Es razonable el resultado?

Problema 7.13 Estima el período cardíaco de un animal que posea una vida media de 5 años.

7.1 Un cubo posee un área lateral total 27 veces mayor que la de otro de 0.2 m de arista. Calcula la arista y el volumen del primer cubo.

El área lateral total de un cubo es igual a 8L2 , siendo L la arista del mismo. Por tanto, la relación entre las áreas nos dice: 8L0 2 S0 = = 27 S 8L2

=⇒

L0 =

√ 27L = 1.04 m.

El volumen del cubo viene dado por: 3

V 0 = L0 = 1.043 = 1.12 m3 .

7.2 ¿Cuál es el radio de una esfera de masa 10 veces mayor que otra del mismo material y de 0.15 m de radio? ¿Cuál es el cociente entre las superficies esféricas de ambas esferas?

La relación entre las masas de las dos esferas es: 3

4 πR0 3  R0  m0 ρV 0 3 = = 4 3 = = 10 m ρV R πR 3 

y de aquí deducimos el radio de la esfera mayor: R0 = 101/3 R = 0.32 m. El cociente entre las superficies esféricas es: 2

S 0  R0  = = 4.62. S R 

7.3 Tenemos dos cubos de un mismo material, y uno de ellos posee una masa 8 veces mayor que el otro. Le aplicamos a ambos una misma fuerza de compresión. ¿Cuál es la relación entre los acortamientos respectivos? Si, en vez de aplicar fuerzas iguales, ejerciésemos esfuerzos de compresión iguales, ¿cuál sería la relación entre los acortamientos?

La relación entre las masas de los cubos es: m0 ρV 0 L0 3 = = 3 =8 m ρV L

=⇒

L0 = 2L.

La relación entre los acortamientos cuando aplicamos la misma fuerza es: ∆L0 L0 S L 1 = = 0= . 0 ∆L LS L 2 Si los esfuerzos de compresión, F/S, son iguales tenemos: ∆L0 L0 = = 2. ∆L L

7.4 La relación entre las alturas de dos árboles es de 2.5. Obtén la relación entre sus diámetros, suponiendo que satisfacen el modelo de semejanza elástica.

Según el modelo de semejanza elástica, los diámetros y las longitudes se relacionan por medio de d ∝ L3/2 . Por tanto: 3/2

d0  L0  = d L 

= 2.53/2 = 3.95.

7.5 Un árbol es 2 m mayor que otro y su diámetro es doble que el de éste. ¿Cuál es la altura de ambos si satisfacen el modelo de semejanza elástica?

El modelo de semejanza elástica nos permite obtener la relación entre las longitudes a partir de la de los diámetros: 2/3

L0  d0  = L d 

= 22/3 = 1.59.

La otra ecuación que sabemos es: L0 = L + 2

=⇒

1.59L = L + 2.

La altura del árbol más bajo es, por tanto: L=

2 = 3.4 m. 0.59

La altura del árbol más alto es L0 = 3.4 + 2 = 5.4 m.

7.6 Un perro pesa el doble que otro, y su altura es un 20 % mayor que la de éste. ¿Verifican el modelo de semejanza elástica?

La relación entre las alturas de dos perros, uno con masa doble que el otro y que verifiquen el modelo de semejanza elástica, ha de ser: 1/4

L0  m0  = L m 

= 21/4 = 1.19.

Los perros del enunciado no verifican el modelo de semejanza elástica de forma exacta. Para hacerlo la altura de uno debería de ser un 19 % mayor que la del otro.

7.7 Dos animales son semejantes, según el modelo elástico, y la altura de uno de ellos es 10 cm mayor que la del otro y su masa doble que la de éste. ¿Cuánto miden ambos animales?

La relación entre las alturas de los animales ha de ser: 1/4

L0  m0  = L m 

= 21/4 = 1.19.

Además, tenemos: L0 = L + 0.1. De donde deducimos: L=

0.1 = 0.53 m, 0.19

y L0 = 0.53 + 0.1 = 0.63 m.

7.8 Supón exacto el modelo de semejanza elástica. Un animal posee una masa 10 veces mayor que la de otro. Determina la relación entre sus: (a) alturas, (b) secciones de las patas, (c) superficies corporales, (d) tasas metabólicas, (e) períodos cardíacos.

(a) La relación entre alturas es: 1/4

L0  m 0  = L m 

= 101/4 = 1.78.

(b) Las secciones de las patas están relacionadas por: 2

6/8

S 0  d0  m0   = = S d m 



= 103/4 = 5.63.

(c) Las superficies corporales vienen dadas por: 5/8

S0 d0 L0  m0  = = S dL m 

= 105/8 = 4.21.

(d) Las tasas metabólicas son proporcionales a las secciones transversales, por eso el resultado coincide con el del apartado b): Tm0 = 5.63. Tm (e) Los períodos son proporcionales a las longitudes, por tanto, el resultado coincide con el del apartado a): T0 = 1.78. T

7.9 Deduce la dependencia de la masa, la tasa metabólica basal y el período cardíaco en función de la altura de una animal según el modelo de semejanza elástica.

Despejando la masa de la ecuación que nos da la altura, obtenemos: m = cL4 . La tasa metabólica basal irá como: Tm = cm3/4 = c0 L3 . El período cardíaco en función de la altura es: T = cL.

7.10 La relación entre las tasas metabólicas de dos animales que satisfacen el modelo de semejanza elástica es de 4. Determina la relación entre sus: (a) masas, (b) alturas, (c) secciones de las patas, (d) períodos cardíacos, (e) vidas medias.

(a) La relación entre las masas es: 4/3

m0  Tm0  = m Tm 

= 44/3 = 6.3.

(b) El cociente entre las alturas vale: 1/4

L0  m0  = L m 

= 6.31/4 = 1.6.

(c) Las secciones de las patas están relacionadas por: S0 T0 = m = 4. S Tm (d) Los períodos cardíacos vienen dados por: L0 T0 = = 1.6. T L (e) Las vidas medias son proporcionales a los períodos en general y el resultado es el mismo que el del apartado anterior.

7.11 Demuestra que la altura que consiguen saltar los animales es independiente de su masa en el modelo de semejanza elástica. Sugerencia: compara la energía potencial en el punto más alto del salto con el trabajo que pueden realizar las patas, proporcional a su longitud por la fuerza muscular.

La energía potencial en el punto más alto es mgh, siendo h la altura de salto. Dicha energía ha de ser igual al trabajo que pueden realizar las patas, dado por el producto de su longitud por su fuerza, ésta proporcional a la sección: mgh = LF = cLS = c0 m1/4 m3/4 = c0 m. De aquí deducimos que h es independiente de la masa: h = c00 m0 .

7.12 Haz una estimación de la vida media de una persona que posee un ritmo cardíaco de 65 pulsaciones por minuto, a partir del número total de latidos de los animales. ¿Es razonable el resultado?

Supongamos que el número de latidos total de la persona es de 1.5 · 109 . El tiempo en años que necesita para darlos es: T =

1.5 · 109 60 = 44. 365 · 24 · 3600 · 65

El tiempo es menor que la vida media humana, que gracias a la medicina y demás factores es comparativamente más larga que la de los otros animales.

7.13 Estima el período cardíaco de un animal que posea una vida media de 5 años.

Dividimos la vida media del animal por el número total de latidos para obtener su período cardíaco: Tc =

T 5 · 365 · 24 · 3600 = = 0.105 s. N 1.5 · 109

O sea, el animal debería latir unas 571 veces por minuto.