Cap´ıtulo 7: L´ogica de predicados y cuantificadores por G3 Agosto 2014

Resumen A menudo interesa afirmar que todos, o que solo algunos individuos de cierto universo, o solo uno, cumplen alguna propiedad. El c´alculo proposicional no es suficiente para expresar todas las afirmaciones que requerimos en estos casos, ni para decidir sus valores de verdad. Introducimos aqu´ı los elementos b´asicos del c´alculo de predicados y los cuantificadores l´ ogicos, como las herramientas para abordar esta problem´ atica.

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Motivaci´ on

Pensemos el siguiente (t´ıpico) razonamiento: Todos los hombres son mortales. S´ocrates es un hombre. Por tanto S´ ocrates es mortal. Nadie podr´ıa dudar de la validez de este argumento. Intentemos formalizarlo seg´ un el c´alculo proposicional: Definimos las proposiciones p : Todos los hombres son mortales. q : S´ ocrates es un hombre. r : S´ ocrates es mortal 1

Entonces el razonamiento del p´arrado anterior es del tipo siguiente: p q

(1)

∴ r. Luego, el razonamiento sobre la mortalidad de S´ocrates es v´alido u ´nicamente si (1) es V en todo caso. Pero eso no sucede, puesto que la implicaci´on (1) es contingente. La l´ ogica proposicional es entonces incompetente para fundamentar este ejemplo sencillo. Pensemos en otro (t´ıpico) razonamiento: S´ ocrates es un hombre. S´ocrates es griego. Por lo tanto, algunos hombres son griegos. Solo un loco pondr´ıa en duda la validez de este argumento. No obstante, del mismo modo que antes, podemos ver r´apidamente de que la l´ ogica proposicional no sirve para fundamentar la validez efectiva de este argumento. ¿Qu´e sucede aqu´ı? Vemos que la estructura del primer razonamiento es del tipo Todos los X son Y . Z es X. Por tanto X es Z. Mientras que el segundo es del tipo X es Y . X es Z. Por tanto, existe alg´ un Y tal que es Z. No podemos demostrar la validez de estos argumentos s´olo con la l´ogica proposicional, porque ´esta no depende de las relaciones entre las premisas y la conclusi´ on, sino de relaciones entre ciertos objetos que satisfacen las proposiciones que intervienen en las premisas y la conclusi´on. En estas notas exploraremos, muy b´asicamente, las herreamientas que nos permiten dilucidar la validez de estos argumentos. 2

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Predicados

Definici´ on 1. Un predicado es un enunciado que expresa una propiedad entre ciertos objetos. Un predicado se denota con el s´ımbolo p(x) (tambi´en usamos q(x), s(x), P (x), Q(x), etc.) donde p representa la propiedad en cuesti´ on, y x es una variable que representa a los objetos a los que se refiere el predicado p. En general, si un predicado se refiere a n objetos, entonces escribimos p(x1 , ..., xn ). Usamos predicados para representar propiedades de un solo objeto, o bien propiedades y relaciones entre diversos objetos. Ejemplo 1. Los siguientes son ejemplos de predicados:

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1. p(x) : x2 − 7x + 10 = 0.

4. r(x) : x es un conjunto finito.

2. q(x, y) : x es divisor de y.

5. T (x, y, z) : si x ≤ y y y ≤ z entonces x ≤ z.

3. S(x) : x2 es impar.

6, u(x) : x > 0.

Predicados y proposiciones

Los predicados no son por s´ı mismos proposiciones. Un predicado p(x) no significa nada, a menos que ubiquemos la variable x dentro de un rango de significados. Por ejemplo, los predicados “p(x) : x ≥ 5”

y

“q(x, y) : 3x = y”

no son proposiciones puesto que no se puede afirmar de ellas ning´ un valor de verdad. En cambio, si tomamos x = 0, entonces “p(0) : 0 ≥ 5” es una proposici´ on F , pero “p(10) : 10 ≥ 5” es V. Tambi´en “q(1, 2) : 3 · 1 = 2” es F, pero “q(0, 0) : 3 · 0 = 0” es V. Por otra parte, ser´ıa bastante absurdo si la variable x fuese elegida dentro del rango dado por los siete colores del arcoiris. No esperamos que una expresi´ on como “azul ≥ 5” tenga sentido.

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Hemos motivado as´ı la siguiente definici´on. Definici´ on 2. Si p(x) es un predicado, llamaremos universo local de significados (o simplemente universo de significados, o bien, universo de intrepretaci´on) al rango U de valores que puede tomar la variable x, de tal forma que, para cada valor particular x = c dentro del universo de significados U, p(c) es una proposici´ on, que puede interpretarse desde U como V o F . Ejemplo 2. Consideremos p(x, y) : x es divisor de y. Si nuestro universo de significados es el conjunto de los n´ umeros enteros Z, entonces p(−2, 6) es una proposici´ on verdadera y p(12, 6) es falsa. Ejemplo 3. Sea p(x) : 2 < 3. Sobre el universo de los n´ umeros naturales N, (o cualquier otro universo que contenga a N y admita la relaci´ on de orden usual, como por ejemplo R), se tiene que para cualquier x, p(x) es de hecho una proposici´ on V. A este tipo de predicados suele llam´ arseles predicados “constantes”, o de “aridad” cero. Observaci´ on 1. Note que seg´ un los ejemplos anteriores, para una misma proposici´ on podemos considerar m´ as de un universo de significados. Observaci´ on 2. El universo de significados puede ser un conjunto, como los n´ umeros enteros Z o los n´ umeros reales R. Otras veces el universo local es tan grande que no puede ser abarcado en ning´ un conjunto (como el “conjunto” de todos los conjuntos, el cual en realidad, no es un conjunto). Veremos m´ as detalles de esta observaci´ on un poco adelante en el curso. Convenci´ on. Si queremos decir que para alg´ un x sucede que p(x) es una proposici´ on verdadera, a veces s´olo escribimos p(x), y obviamos la frase “es verdadera”. Si en cambio, queremos decir que p(x) es falsa, entonces algunas veces s´ olo escribimos ¬p(x). Por ejemplo, consideremos el predicado “p(x) : x es par”, sobre el universo de los n´ umeros naturales N. Si tomamos x como alg´ un m´ ultiplo de 6, entonces p(x). Si por el contrario, tomamos x alg´ un impar, entonces ¬p(x). M´as espec´ıficamente, tenemos por ejemplo que p(12) y ¬p(9). 4

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Cuantificadores

A partir de un predicado y un universo de significados podemos construir nuevas proposiciones mediante un proceso que llamamos de “cuantificaci´on”. Cuantificador universal ∀. Sea p(x) un predicado. Si nos intersa afirmar que todos los elementos de un determinado universo local satisface p(x), entonces bastar´ a escribir cualquiera de la siguientes frases “para todo x, p(x)”, “p(x), para cualquier x”, “p(x), para cada x”. Todas estas frases se abrevian usando el s´ımbolo ∀, el cual se lee “para todo”, escribiendo la cadena de s´ımbolos: ∀ x (p(x)).

(2)

El s´ımbolo ∀ es conocido como cuantificador universal. En una expresi´on como (2), decimos que la variable x est´a gobernada por el cuantificador universal. Valor de verdad del cuantificador universal ∀. Dentro de un universo de significados, la f´ ormula (2) es una proposici´on (aquella que afirma que p(x) es V, para cada x). El valor de verdad de dicha proposici´on depender´ a de si, en efecto, p(x) es V sin importar el valor que asuma x dentro del universo local que estemos considerando. Por tanto, postulamos el siguiente principio:    es V si, y s´olo si, p(x) es V para cada x. ∀x(p(x))   es F si, y s´olo si, p(x) es F para al menos un x. Cuantificador existencial ∃. Si en cambio s´olo nos intersa afirmar que existe al menos un valor para x para el cual p(x) es una proposici´on V, entonces bastar´ a escribir cualquiera de las siguientes frases: “existe x tal que p(x)”, “para alg´ un x, p(x)”, “p(x), para al menos un x”. 5

Lo cual se abrevia con s´ımbolo ∃, el cual se lee “existe”, escribiendo ∃ x (p(x)).

(3)

El s´ımbolo ∃ es conocido como cuantificador existencial. En una expresi´on del tipo (3), decimos que la variable x est´a gobernada por el cuantificador existencial. Valor de verdad del cuantificador existencial ∃. Dentro de un universo de significados, la f´ ormula (3) es una proposici´on (aquella que afirma que p(x) es V, para al menos un x). El valor de verdad de dicha proposici´on depender´ a de si, en efecto, existe al menos un valor para x para el cual p(x) es una proposici´ on V. Por tanto, postulamos el siguiente principio:    es V si, y s´olo si, p(x) es V para alg´ un x. ∃x(p(x))   es F si, y s´olo si, p(x) es F para cada x. Cuantificador existencial u ´ nico ∃!. Es com´ un tambi´en la necesidad de afirmar que existe un u ´nico objeto x para el cual la proposici´on p(x) es V. Esto es denotado como ∃!x(p(x)), (4) lo cual se lee “existe un u ´nico x tal que p(x)”. Valor de verdad del cuantificador u ´ nico existencial ∃!. Dentro de un universo de significados, la f´ormula (4) es una proposici´on (aquella que afirma que p(x) es V, para un u ´nico x). El valor de verdad de dicha proposici´ on depender´ a de si, en efecto, existe exactamente un valor para x para el cual p(x) es una proposici´on V. Por tanto, postulamos el siguiente principio:    es V si, y s´olo si, p(x) es V para un u ´nico x.       es F si, y s´olo si, p(x) es F para cada x, ∃x!(p(x))    o bien p(x) y p(y) son proposiciones V,      para al menos dos x y y distintos.

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Ejemplo 4. Sobre el universo de los n´ umeros reales R, 1. ∀x(x2 ≥ 0) es una proposici´ on V, 2. ∃x(x2 + 1 = 0) es una proposici´ on F, 3. ∃!x(x2 = 0) es una proposici´ on V.

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Formaci´ on de predicados y proposiciones por medio de predicados

Un predicado es tambi´en llamado f´ ormula bien formada, abreviado fbf. Hay reglas sint´ acticas precisas para construir predicados (fbf’s). Aqu´ı no nos detendremos nosotros en esos detalles. Confiaremos siempre en nuestra experiencia y buen sentido para construir e indentificar predicados (fbf’s). ´ Unicamente mantendremos siempre presente la siguiente observaci´on para formar predicados: Supongamos que p(x) es un predicado. Sea q cualquier proposici´ on que pueda interpretarse sobre alg´ un universo de significados. Entonces los siguientes son tambi´en predicados: p0 (x) : ¬p(x) p1 (x) : p(x) ∨ q, p2 (x) : p(x) ∧ q, p3 (x) : p(x) ⇒ q p4 (x) : q ⇒ p(x). En general, si F es cualquiera de los conectivos binarios, entonces son predicados. p(x)Fq y qFp(x) M´ as generalmente, si p(x) y q(x) son predicados, y F es un conectivo binario, entonces p(x)Fq(x)

y

son tambi´en predicados. 7

q(x)Fp(x),

Ejemplo 5. Supongamos que p(x), q(x) y r(s) son predicados. Entonces los siguientes son tambi´en predicados: p(x) ∧ q(x) ⇒ r(x),

p(x) ⇔ q(x),

p(x) ∨ [q(x) ⇒ r(x)].

Por otro lado, si p(x, y) es un predicado con dos variables, entonces podemos formar nuevos predicados con los cuantificadores, de la siguiente manera, q(y) : ∀ x (p(x, y)) y r(y) : ∃ x (p(x, y)). Note que en estos casos, solo la variable x de p(x, y) est´a gobernada por alguno de los cuantificadores. Decimos que y es una variable libre Ejemplo 6. Sea p(x, y) : x es divisor de y, sobre el universo de los n´ umeros enteros Z. Entonces el predicado q(y) : ∀ x (p(x, y)), se interpreta como: “todo entero es divisor de y”. Obviamente, no importa cual sea el valor de y, q(x) es una proposic´ on falsa. Por otra parte, el predicado r(y) : ∃ x (p(x, y)), se interpreta con la oraci´ on: “existe un divisor de y”. Obviamente, no importa cual sea el valor de y, r(y) es una proposici´ on verdadera. Ejemplo 7. Sea p(x, y) : x + y = 0 y consideremos el conjunto Z como universo. Entonces la proposici´ on ∀x∃y!(p(x, y)), la cual se lee “para todo entero x, existe un u ´nico entero y, tal que x+y = 0, es verdadera. Los predicados y los cuantificadores sirven tambi´en para representar simb´ olicamente propiedades inherentes a un determinado universo local. Las herramientas son los conectivos de la l´ogica proposicional que ya estudiamos. 8

Ejemplo 8. Sean los predicados p(x, y, z) : xy = z, q(x, y) : x = y, r(x, y) : x > y. Consideremos como universo local el conjunto Z de los n´ umeros enteros. Traduciremos a lenguaje simb´ olico las siguientes proposiciones. 1. Si y = 1, entonces xy = x para cualquier x.   ∀y q(y, 1) ⇒ ∀x(p(x, y, x)) . 2. Si xy 6= 0, entonces x = 0 y y = 0.   ∀x∀y ¬p(x, y, 0) ⇒ ¬q(x, 0) ∧ ¬q(0, y) . 3. 5x = 0 si, y s´ olo si, x = 0.  ∀x p(5, x, 0) ⇔ q(x, 2)]. 4. No existe soluci´ on para x2 = y, a menos que y ≥ 0.  ∀y r(0, y) ⇒ ¬(∃x(p(x, x, y)]. 5. No es cierto que x = y y x < y.   ∀x∀y ¬q(x, y) ∧ r(y, x) . Algunas veces un predicado p(x) puede contener par´ametros, los cuales no son necesariamente elementos del universo de significados desde donde interpretamos p(x). Tales par´ametros determinan tambi´en el valor de verdad que asignamos a p(x) para cada x. Enlistamos un par de ejemplos: Ejemplo 9. Sea f : R → R una funci´ on. Sobre le universo de los n´ umeros reales, el valor de verdad de los enunciados (1) ∀x(f es continua en x)

y 9

(2) ∃x(f es continua en x),

depende de las caracter´ısticas propias de f . En este caso, el predicado p(x) : “f es continua en x”, contiene el par´ ametro f , el cual pertenece al universo de todas las funciones reales de variable real. Note entonces que, de hecho, (1) y (2) son predicados que interpretamos sobre dicho universo. Por ejemplo, si f (x) = x2 , entonces las proposiciones (1) y (2) se convirten en proposiciones verdaderas. Pero si f (x) = max{n ∈ Z : x < n} (la funci´ on escal´ on), entonces (1) es F pero (2) es V (¿por qu´e?). Ejemplo 10. Sean a, b ∈ R. Sobre el universo de los n´ umeros reales, el valor de verdad de los enunciados (1) ∀x(ax + b = 0)

y

(2) ∃x(ax + b = 0),

depende de a y b. En este caso, el predicado, p(x) : ax + b = 0 contiene los par´ ametros a y b. Note entonces que, de hecho, (1) y (2), son predicados que interpretamos sobre el universo R2 = R × R. Por ejemplo, si a = 0 y b = 0, entonces (1) y (2) son proposiciones verdaderas. Si a = 1 y b = 0, entonces (1) es F y (2) es V. Si a = 0 y b = 1, entonces (1) y (2) son F.

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C´ alculo de predicados

Sobre el c´ alculo de predicados y cuantificadores pueden probarse reglas generales, del mismo modo que hicimos para el c´alculo proposicional.

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Primero enunciamos una regla de reemplazo para cuantificadores. Teorema 1 (Reemplazo). Sean p(x) y q(x) predicados. Sobre un mismo universo de significados cualquiera, si para todo valor particular de x, p(x) es (l´ ogicamente) equivalente a q(x), entonces se cumplen las equivalencias ∀x(p(x)) ≡ ∀x(q(x)) ∃x(p(x)) ≡ ∃x(q(x)). Demostraci´ on. Si para cada x, p(x) tiene la misma tabla de valores de verdad que q(x), entonces ∀x(p(x)) tiene la misma tabla que ∀x(q(x)). Ahora, supongamos que ∃x(p(x)) es V, entonces p(x) es V para alg´ un x, por lo cual, q(x) es V para ese mismo valor x, as´ı que ∃x(q(x)) es V. De modo rec´ıproco, si ∃x(p(x)) es F, entonces para cada x, p(x) es F, por lo cual, q(x) para cada x. As´ı que ∃x(q(x)) es F. Ahora mostramos que los cuantificadores ∀ y ∃ son operadores rec´ıprocos en el sentido siguiente. Teorema 2 (Negaci´ on de los cuantificadores, Leyes de De Morgan). Sea p(x) un predicado. Entonces, independientemente del universo de significados, se cumplen las equivalencias ¬∀x(p(x)) ≡ ∃x(¬p(x)), ¬∃x(p(x)) ≡ ∀x(¬p(x)). Demostraci´ on. Para la primera equivalencia, mostraremos que ¬∀x(p(x)) y ∃x(¬p(x)) tienen la misma tabla de valores de verdad. Supongamos que ¬(∀x(p(x))) es V. Entonces ∀x(p(x)) es F. Por lo tanto, debe existir alg´ un x tal que no cumple p(x), es decir, para alg´ un x, ¬p(x). Por tanto, ∃x(¬p(x)) es V. En cuanto a la segunda equivalencia, tenemos, ∃x(p(x)) ≡ ∃x(¬(¬p(x)))

(reemplazo)

≡ ¬∀x(¬p(x)).

(primera equivalencia).

Por lo tanto, ¬(∃x(p(x))) ≡ ∀x(¬p(x)). 11

Ejemplo 11. Sea la proposici´ on (sobre el universo R) ∀x∀y∃z(x < z < y). Construimos la negaci´ on de esta proposici´ on como sigue: ¬∀x∀y∃z(x < z < y) ≡ ∃x(¬∀y∃z(x < z < y)) ≡ ∃x∃y(¬∃z(x < z < y)) ≡ ∃x∃y∀z¬(x < z < y). Ahora, (x < z < y) ≡ (x < z) ∧ (z < y). Por lo tanto, ¬(x < z < y) ≡ (z ≤ x) ∨ (y ≤ z). De este modo, ¬∀x∀y∃z(x < z < y) ≡ ∃x∃y∀z((z ≤ x) ∨ (y ≤ z)). Ahora mostramos una forma equivalente para el cuantificador existencial u ´nico, a partir de los cuantificadores universal y existencial Teorema 3. Sea p(x) un predicado. Entonces sobre cualquier universo de significados se cumple la equivalencia ∃!x(p(x)) ≡ [∃x(p(x))] ∧ [∀x∀y(p(x) ∧ p(y) ⇒ x = y)]. Demostraci´ on. Supongamos que ∃!x(p(x)) es V. Es claro as´ı que ∃x(p(x)) es V. Pero la condici´ on de existencia es u ´nica, por lo que para cada x y cada y, no puede ocurrir que x 6= y, al mismo tiempo que ocurre p(x) y p(y). Es decir, la proposici´ on ¬[(p(x) ∧ q(y)) ∨ ¬(x = y)] es V. Pero, [p(x) ∧ q(y) ⇒ x = y] ≡ ¬[(p(x) ∧ q(y)) ∨ ¬(x = y)]. De modo que ∀x∀y(p(x) ∧ p(y) ⇒ x = y) es V.

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De modo an´ alogo, supongamos que ∃!x(p(x)) es F. Entonces, o bien ∃x(p(x)) es F, o bien, ∃x∃y(p(x) ∧ p(y) ∧ (x 6= y)) es V. En este u ´ltimo caso, note que (p(x) ∧ p(y)) ∧ (x 6= y) ≡ ¬[¬(p(x) ∧ q(x)) ∨ (x = y)] ≡ ¬(p(x) ∧ q(x) ⇒ x = y]. de donde ∃x∃y(p(x) ∧ p(y) ∧ (x 6= y)) ≡ ∃x∃y ¬(p(x) ∧ q(x) ⇒ x = y) ≡ ∃x[¬∀y(p(x) ∧ q(x) ⇒ x = y)] ≡ ¬∀x∀y(p(x) ∧ q(x) ⇒ x = y). Por lo tanto, ∀x∀y(p(x) ∧ q(x) ⇒ x = y) es F . Enunciamos otras equivalencias importantes. Teorema 4. Sea p(x) un predicado y sea q una proposici´ on. Entonces se cumplen las siguientes equivalencias (independientemente del universo de significados). (i) ∀x[p(x) ∨ q] ≡ [∀x(p(x))] ∨ q. (ii) ∃x[p(x) ∨ q] ≡ [∃x(p(x))] ∨ q (iii) ∀x[p(x) ∧ q] ≡ [∀x(p(x))] ∧ q. (iv) ∃x[p(x) ∧ q] ≡ [∃x(p(x))] ∧ q. Demostraci´ on. (i). Probaremos que ∀x[p(x) ∨ q] y [∀x(p(x))] ∨ q tienen la misma tabla de valores de verdad. Supongamos que ∀x[p(x) ∨ q] es V. Entonces para cada x, p(x) ∨ q es V. Por tanto, para todo x, p(x) es V, o bien q es V. Analizamos entonces dos casos: Caso 1. Si ∀x(p(x)) es V, entonces es claro que [∀x(p(x))] ∨ q es V. Caso 2. Si ∀x(p(x)) es F (i.e., no es cierto que p(x) es V para todo x), entonces q es V, pero esto implica de inmediato que [∀x(p(x))] ∨ q es V. En ambos casos, concluimos que [∀x(p(x))] ∨ q] es V. 13

Supongamos que ∀x[p(x) ∨ q] es F, entonces para al menos un x, sucede que p(x) ∨ q es F. Se sigue que para al menos un x, p(x) es F y q es F. Luego, ∀x(p(x)) es F y q es F. Esto es, [∀x(p(x))] ∨ q es F. Para probar (ii), mostraremos tambi´en que ∃x[p(x) ∨ q] y [∃x(p(x))] ∨ q tienen la misma tabla de valores de verdad. Supongamos que ∃x[p(x) ∨ q] es V. Significa esto que para alg´ un x, p(x) ∨ q es V, es decir, p(x) es V o bien q es V. Analizamos dos casos: Caso 1. Supongamos que ∃x(p(x)) es F. Entonces, p(x) es F, para todo x. As´ı que q es V, y por tanto, [∃x(p(x))] ∨ q es V. Caso 2. Si ∃x(p(x)) es V, es inmediato que [∃x(p(x))] ∨ q es V. De forma an´ aloga, si ∃x[p(x) ∨ q] es F, entonces p(x) ∨ q es F, para todo x. Esto es, para cada x, tanto p(x) como q son F. Luego, ∃x(p(x)) es F y q es F, y por tanto [∃x(p(x))] ∨ q es F. Para probar (iii), procedemos as´ı: ∀x[p(x) ∧ q] ≡ ∀x[¬¬p(x) ∧ ¬¬q] ≡ ∀x[¬(¬p(x) ∨ ¬q)] ≡ ¬∃x(¬p(x) ∨ ¬q) ≡ ¬ ([∃x(¬p(x))] ∨ ¬q) ≡ [¬∃x(¬p(x))] ∧ ¬¬q ≡ [∀x(¬¬p(x)] ∧ q ≡ [∀x(p(x))] ∧ q. Para probar (iv) se procede de forma an´aloga. Se deja como ejercicio. Corolario 1. Sea p(x) un predicado y q una proposici´ on. Entonces se cumplen las siguientes equivalencias, independientemente del universo de significados: i) [∀x(p(x))] ⇒ q ≡ ∃x[p(x) ⇒ q] ii) ∀x[q ⇒ p(x)] ≡ q ⇒ [∀x(p(x))].

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Demostraci´ on. (i). Tenemos, [∀x(p(x))] ⇒ q ≡ ¬[∀x(p(x))] ∨ q

(reemplazo)

≡ [∃x(¬p(x))] ∨ q

(De Morgan)

≡ ∃x[¬p(x) ∨ q]

(teorema anterior)

≡ ∃x[p(x) ⇒ q]

(reemplazo).

La prueba de (ii) es an´ aloga, se deja como ejercicio. Desde luego, podemos enunciar y probar reglas de inferencia usando predicados. Ejemplo 12. Sen p(x) y q(x) predicados. Probaremos que el siguiente razonamiento es v´ alido (independientemente del universo de significados) ∀x(p(x) ⇒ q(x)) p(a) ∴ q(a). Debemos probar que la implicaci´ on [∀x(p(x) ⇒ q(x))] ∧ p(a) ⇒ q(a), es tautolog´ıa. Pues bien, la u ´nica manera en que esta implicaci´ on sea F es que la proposici´ on [∀x(p(x) ⇒ q(x))] ∧ p(a) sea V y q(a) sea F. Veamos si esto es posible: Si [∀x(p(x) ⇒ q(x))]∧p(a) es V, entonces ∀x(p(x) ⇒ q(x)) y p(a) son V. Es decir, por un lado, para todo x, si p(x) entonces q(x) es una afirmaci´ on V. En particular, si p(a) entonces q(a), es una afirmaci´ on V. Como p(a) es V, se sigue que q(a) es V. De modo que [∀x(p(x) ⇒ q(x))] ∧ p(a) ⇒ q(a) nunca es F, y por ello es una tautolog´ıa.

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