CAPÍTULO 9: POTENCIA E INVERSIÓN (II) Dante Guerrero-Chanduví Piura, 2015

FACULTAD DE INGENIERÍA Área Departamental de Ingeniería Industrial y de Sistemas

CAPÍTULO 9: POTENCIA E INVERSIÓN (II)

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UNIVERSIDAD DE PIURA _________________________________________________________________________

Capítulo 9: Potencia e Inversión (II) B. Eje Radical de dos circunferencias

GEOMETRÍA FUNDAMENTAL Y TRIGONOMETRÍA CLASES _________________________________________________________________________ Elaborado por Dr. Ing. Dante Guerrero Universidad de Piura.

10 diapositivas

GFT

19/06/2015

CAPÍTULO IX: POTENCIA E INVERSIÓN

Starry Night Over the Rhone (Vincent Van Gogh)

A. EJE RADICAL

B. EJE RADICAL

DE DOS CIRCUNFERENCIAS

Es el lugar geométrico de puntos del plano que tienen igual potencia respecto a las dos circunferencias. TEOREMA IX-3

El eje radical de dos circunferencias no concéntricas es una recta perpendicular a la línea de centros. P T2 T1

d1

d2 r2

r1 O1

Dr.Ing. Dante Guerrero

O2

1

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19/06/2015

B. EJE RADICAL

DE DOS CIRCUNFERENCIAS DEMOSTRACIÓN TEOREMA IX-3

Sean d1, d2 las distancias de un punto P a los centros de dos circunferencias, y r1 y r2 los radios de ellas. Para que las potencias de P sean iguales: d12

-

r12

=

d22

-

P T2 T1

d1

d2 r2

r1 O1

O2

r22

d12 - d22 = r22 - r12 = Cte. Luego es necesario y suficiente que la diferencia de cuadrados de distancias a los dos centros sea constante. Se trata pues de una recta perpendicular a la línea de centros.

B. EJE RADICAL

DE DOS CIRCUNFERENCIAS Si las circunferencias son concéntricas, d1 = d2 ; y como los radios son distintos, no hay ningún punto que tenga igual potencia. Sin embargo, en atención a que los puntos muy lejanos van teniendo potencias de razón más semejante, se suele decir que el eje radical en ese caso es "la recta del infinito" del plano. COROLARIOS:

a. Si desde un punto del eje radical se pueden trazar tangentes a una de las circunferencias, se pueden trazar también tangentes, y de igual longitud, a la otra. b. Las tangentes comunes quedan divididas en dos partes iguales por el eje radical.

Dr.Ing. Dante Guerrero

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B. EJE RADICAL

DE DOS CIRCUNFERENCIAS

CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DEL EJE RADICAL Consideramos 4 casos: 1. Las circunferencias son secantes: entonces el eje radical es la recta que une los puntos de intersección (que tienen potencia igual, nula, respecto a las dos).

2. Las circunferencias son tangentes: entonces la tangente común es el eje radical. 3. Las circunferencias son exteriores. En este caso, trazamos las tangentes comunes y unimos sus puntos medios, obteniendo así el eje radical. 4. Las circunferencias son interiores. En este caso, buscaríamos un punto de igual potencia respecto a las dos, trazando dos tangentes de igual longitud t y buscando los puntos de la misma potencia, que están en m1 y m2.

B. EJE RADICAL

DE DOS CIRCUNFERENCIAS Caso 1 Las circunferencias son secantes: entonces el eje radical es la recta que une los puntos de intersección (que tienen potencia igual, nula, respecto a las dos). P

t

t d1

d2 r2

r1 O1

Dr.Ing. Dante Guerrero

O2

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B. EJE RADICAL

DE DOS CIRCUNFERENCIAS Caso 2 Las circunferencias son tangentes: entonces la tangente común es el eje radical. P

d1

O1

t

d2

t

r2

r1

O2

B. EJE RADICAL

DE DOS CIRCUNFERENCIAS Caso 3 Las circunferencias son exteriores. En este caso, trazamos las tangentes comunes y unimos sus puntos medios, obteniendo así el eje radical. P t t d1

d2

r2

r1 O1

Dr.Ing. Dante Guerrero

O2

4

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19/06/2015

B. EJE RADICAL

DE DOS CIRCUNFERENCIAS Caso 4 Las circunferencias son interiores. En este caso, buscaríamos un punto de igual potencia respecto a las dos, trazando dos tangentes de igual longitud t y buscando los puntos de la misma potencia, que están en m1 y m2. m1

m2

El punto de la intersección M, pertenece al eje radical.

t t

O1

Desde M trazamos la perpendicular a la línea de centros, que es el eje radical de las dos.

O2

M

B. EJE RADICAL

DE DOS CIRCUNFERENCIAS m1 m2

d1

O1

d2

t t

O2

M

Dr.Ing. Dante Guerrero

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