Guía práctica de Algebra Lineal

CAPITULO I. INTRODUCCIÓN 1.1 Antecedentes.

En el plan 90 o Modelo rígido de las Facultades de Ingeniería la materia de Algebra Lineal como tal no existía, pero si se abordaba de alguna manera en las diversas materias que se impartían, por ejemplo en Matemáticas II para Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones o en Matemáticas III para Ingeniería Química. Cuando se impartía esta materia los maestros se apoyan en diversos autores, como el Francis Florey o Stanley I Grossman pero en ningún momento se elaboró un material específico que le pudiera servir de apoyo a los estudiantes. Hoy día la Experiencia Educativa se recomienda llevarla en el primer periodo o segundo y se supone que los chicos ya traen algunas nociones del bachillerato en cuanto a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de determinantes y vectores, etc., con esta información el estudiante aborda sin mucho problema las primeras dos unidades: matrices y determinantes y resolución de sistemas de ecuaciones lineales, pero cuando llega a los temas fuertes del algebra lineal, como: espacios vectoriales, espacios con producto interno, transformaciones lineales y valores propios el estudiantes se pierde, ya que en estos temas se parte de una definición formal, que el estudiante debe aprender a usar para demostrar propiedades de estos objetos. Se ha detectado en algunas investigaciones que una de las dificultades del aprendizaje del álgebra lineal está en esta manera de proceder, ya que si un estudiante no comprende bien una definición entonces ese estudiante tendrá problemas para entender conceptos, resolver problemas y demostrar propiedades asociadas a esa definición ( Sierpinska, 1996, Dorier, 2002, etc.).

Para su enseñanza en la actualidad existen infinidad de softwares (Derive, Mathematica, MatLab, MathCad, etc.) y calculadoras que ayudan a los estudiantes a resolver de una manera más rápida diversos cálculos algebraicos. Pero a pesar de esto los índices de aprobación en esta

1

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experiencia no son muy halagadores, por esta razón se debe de buscar alternativas de apoyo tanto a estudiantes como maestros.

1.2 Justificación

A partir de 1998 la Universidad Veracruzana empieza una reforma curricular buscando un nuevo modelo educativo que respondiera a la necesidad de actualizar su papel en el sistema de educación superior nacional, ya que se les reclama a las universidades mayor eficiencia y racionalidad y, al mismo tiempo calidad y pertinencia social en la educación que se imparte. (Jeny Beltran Casanova, propuesta del nuevo modelo educativo).

Para responder a esta demanda en Agosto del 2004 entra en vigor un nuevo Modelo Educativo en el área técnica. Este nuevo modelo llamado MEIF (Modelo Educativo Integral y Flexible) está centrado

en el estudiante,

buscando su formación integral y armónica, a través de un aprendizaje (basado en competencias) permanente en los diversos ámbitos de su quehacer profesional y de su vida personal.

Con la finalidad de formar alumnos autónomos y que el maestro sea ahora un facilitador del aprendizaje, se empieza a trabajar en el desarrollo de materiales que auxilien al estudiante a aprender por si solos, tal es el caso de la “guía de ejercicios prácticos”

1.3 Objetivo Hoy día las facultades del Área-Técnica está buscando el consolidarse como programas de calidad y para esto se debe acceder a nivel 1 de CIEES (Comités Interinstitucionales para la Evaluación de la Educación Superior) lo cual implica cumplir con una serie de indicadores, dentro de los cuales se encuentra la producción de materiales didácticos que apoyen al estudiante, razón por la cual el objetivo de este trabajo es:

Elaborar una guía de ejercicios prácticos de Algebra Lineal que les sirva de apoyo a los estudiantes que cursen dicha materia. 2

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1.4 Características y funciones esenciales Las funciones esenciales de esta guía de ejercicios prácticos son: 1. Servir de apoyo didáctico a los maestros que impartan dicha experiencia 2. Ser un apoyo de consulta para los estudiantes que estén cursando Algebra Lineal. 3. Servir de complemento a la bibliografía recomendada por el maestro.

Sus características son: 1. Estar redactada en un lenguaje claro y sencillo (de estudiante a estudiante). 2. Indicar la resolución de ejercicios paso a paso. 3. Proporcionar un software libre que apoya la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, graficación de la solución de sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y 3x3, cálculo de determinantes, multiplicación matricial e inversa de una matriz, espacios vectoriales y espacios con producto interno. 4. Proporcionar una serie de ejercicios para resolver que sirven como una retroalimentación a los temas vistos.

3

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CAPITULO II. MATRICES Y DETERMINANTES 2.1 Concepto de matriz Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853 En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Una matriz A de m x n es un arreglo rectangular de números acomodados en m renglones (filas o hileras) y n columnas:

El orden de la matriz anterior se indica cómo m x n. A menos que se indique lo contrario se considera que los elementos de una matriz son reales. La componente ij-ésima de A, denotado por aij, es el número que aparece en el

i-ésimo reglón y la j-ésima columna de A. Ocasionalmente, la matriz A

se escribirá

A= (aij). Las matrices se identifican mediante letras mayúsculas y

los elementos con letras minúsculas. Si A es una matriz de m x n con m = n, entonces A recibe el nombre de matriz cuadrada. Una matriz de m x n en la que todas sus componentes son ceros se llama matriz cero. Los elementos de una matriz se pueden representar entre paréntesis o corchetes. EJEMPLO 1.- Matrices de diferentes ordenes.

1)

2)

3)

4)

4

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5) EJEMPLO 2.- Componentes de una matriz. Hallar las componentes 1) a12; 2) a31 y

3) a22 de:

Solución: a12 = 3 así de manera similar a31 = 6 y a22 = -4. EJERCICIOS PROPUESTOS Hallar las componentes 1) a33; 2) a13 y 3) a11 de la siguiente matriz

2.2 Operaciones con matrices y sus propiedades Igualdad de Matrices Definición de la igualdad de matrices Dos matrices A=[aij] y B=[bij] son iguales si y solo si tienen el mismo orden (m x n) y aij= bij para 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. EJEMPLO 3.- Igualdad de Matrices. 1) Encuentre los valores de a11, a12, a21 y a22 en la siguiente igualdad matricial.

Solución: Dado que dos matrices son iguales sólo si sus elementos correspondientes son iguales, se concluye que a11 = 5, a12 =-6,

a21 =-1

a22 =8.

2) Encuentre los valores de x, y, z y w para que las siguientes matrices sean iguales.

5

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Son iguales si y solo si x + 3 = 0; y – 2 = -10; z = -8; w -1 = 1 de donde x = -3; y = -8; z= -8; y w = 2.

Suma de Matrices Definición de Suma de Matrices Si A= [aij] y B=[bij] son matrices de orden m x n, entonces sus suma es la matriz m x n definida como A+B= [aij+ bij]. Nota: La suma de dos matrices de órdenes diferentes no está definida. EJEMPLO 4.- Suma de Matrices 1) 2) 3)

4) L a suma de

no está definida, porque no

son del mismo orden.

Software Matemática Es un conjunto de herramientas que le ayudarán a conseguir que le ayudarán a conseguir que el aprendizaje

de las matemáticas resulte más fácil. Dicho

software cuenta con una guía en flash que explica de manera breve lo que este puede

hacer,

como

la

de

evaluar

expresiones

algebraicas,

realiza

representaciones de graficas tanto en 2D como 3D y resolución de ecuaciones, entre otras cosas.

6

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EJEMPLO USANDO MATEMATICA Suma de matrices:

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Multiplicación por Escalar Definición de Multiplicación Escalar Si A = [aij] es una matriz m x n y c es un escalar, entonces la multiplicación de la matriz por el escalar c es la matriz m x n definida por cA = [caij]. Para representar el producto escalar (-1)A se usa –A Si A y B son del mismo orden, entonces A – B representa la suma de A y (-1)B. Es decir, la resta de matrices A – B.

EJEMPLO 5.- Multiplicación por un Escalar y Resta de Matrices. Para las matrices y Encontrar 1. 3 A 2. –B 3. 3 A – B. Solución: 1.

2. –

3.

8

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Observación: A menudo es conveniente reescribir la multiplicación escalar cA factorizando c en todos los elementos de la matriz. Por ejemplo, a continuación se observa que el escalar ½ se ha factorizado.

EJEMPLO USANDO MATEMATICA Multiplicación por escalar:

Propiedades de la suma y multiplicación por un escalar Sean A, B y C matrices de orden m x n, k y m escalares cualquiera, entonces la suma y multiplicación por escalar cumplen con las siguientes propiedades: Propiedades para la suma 1. Propiedad cerradura 2. Propiedad conmutativa 3. Propiedad asociativa 4. Propiedad del elemento neutro. 5. Propiedad del elemento inverso.

A + B M mxn A+ B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A+0=0+A=A A + (-A) = -A + A = 0

Propiedades para la multiplicación por escalar 1. Propiedad de cerradura kA M mxn 2. (km)A = k(mA) = m(kA) 3. Propiedad distributiva para la suma por escalar (k + m)A = kA + kA 4. Propiedad distributiva para la suma matricial k(A + B) = kA + kB 5. Sea 1A = A1 = 1

Multiplicación de Matrices La tercera operación básica es la multiplicación de matrices. A primera vista, la siguiente definición puede parecer inusual. Sin

embargo, como se verá

9

Guía práctica de Algebra Lineal

después, esta definición del producto de dos matrices tiene muchas aplicaciones prácticas. Definición de Multiplicación de Matrices Si A =[aij] es una matriz m x n y B =[bij] es una matriz n x p, entonces el producto AB es una matriz m x p, dada por AB = [cij] Donde

Esta definición significa que el elemento en el i-ésimo reglón y en el j-ésima columna del producto AB se obtiene al multiplicar los elementos del i-ésimo renglón de A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de B y luego los resultados se suman. Este proceso se ilustra con el siguiente ejemplo. Nota: Para que 2 matrices A y B se puedan multiplicar el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B. Encuentre el producto AB, donde

Solución: Primero, observe que el producto AB está definido porque el orden de A es 3 x 2 y el de B es 2 x 2. Además, el producto AB será de orden 3 x 2 y es de la forma . Para determinar c11 (el elemento en el primer renglón y en la primera columna del producto), se multiplica los elementos correspondientes en el primer renglón de A y en la primera columna de B. Es decir,

Y así sucesivamente

10

Guía práctica de Algebra Lineal

Entonces matriz producto EJEMPLO 6.- Multiplicación de Matrices. 1)

2) 3) 4)

5) Observación: Nótese la diferencia entre los productos en los incisos 4) y 5) del ejemplo 6. En general, la multiplicación de matrices no es conmutativa. Es decir, casi nunca es cierto que el producto de AB sea igual al producto BA. EJEMPLO USANDO MATEMATICA

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Multiplicación de dos matrices que tiene diferente orden.

EJERCICIOS PROPUESTOS Efectué el cálculo indicado con 1) A+3B 2) 2A-B 3) 3B 4) Hallar una matriz C tal que

sea la matriz cero de 3 x 2.

Multiplica las siguientes matrices. 1)

2)

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2.3 Aplicaciones de Matrices Aplicación de la multiplicación de matrices. EJEMPLO 7.- Análisis de precios de comestibles. Suponga que uno quiere comparar el costo total de ciertos comestibles. La siguiente tabla, que puede ser vista como una matriz, que da el costo en centavos de una libra de cada uno de los productos en tres supermercados.

Si se compra 5 libras de carne, 3 lb de pan 10 lb, de papas, 4 lb de manzanas, y 2 lb de café, podemos representar las cantidades compradas por la matriz.

El costo total está dado por el producto

Veamos que el costo total en el supermercado 2 es 9 centavos más bajo que en el supermercado1 y 20 centavos menor que en el supermercado 3. En este caso las matrices, brindan una forma conveniente y resumida de enunciar y resolver el problema. La multiplicación matricial también es utilizable para obtener la potencia de una matriz cuyo proceso se ilustra con el ejemplo siguiente. EJEMPLO 8.- Para la matriz

hallar

13

Guía práctica de Algebra Lineal

Y así sucesivamente. En general se puede decir que A n

A n 1 A para

EJEMPLO USANDO MATEMATICA Calcule

, donde

Calcule

, donde

.

.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Calcule

donde

2) Calcule

, donde

3) Calcule

, donde

. . .

2.4 Tipos de Matrices. Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según sus características reciben nombres diferentes: Matriz Fila: Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden1 x n. EJEMPLO 9.-

Matriz Columna: Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m x 1.

14

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EJEMPLO10.-

.

Matriz Traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT. Si A= (aij) m×n , su transpuesta es At = (aij) nxm. EJEMPLO 11.- Hallar la transpuesta de la matriz

Propiedades de la Matriz Transpuesta. Supóngase que A = (aij) es una matriz de n x m y que B = (bij) es una matriz de m x p. Entonces, i. ii. (AB)t = BtAt iii. Si A y B son de n x m, entonces (A + B)t = At + Bt. Matriz Nula: Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por . EJEMPLO 12.-

Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At, aij = aji. EJEMPLO 13.observando que ambas matrices son iguales. Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que es el negativo de su traspuesta. 15

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A = -At, aij = -aji Necesariamente aii = 0. EJEMPLO 14.-

Matriz Identidad: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad. EJEMPLO 15.-

Matriz Triangular: Es una matriz que tiene todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal nulos, de acuerdo a esto se llama T. inferior ó T. superior respetivamente. EJEMPLO 16.1. Triangular superior

2. Triangular inferior

Matriz Normal: Una matriz es normal si conmuta (en la multiplicación) con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas son necesariamente normales.

EJEMPLO 17.-

16

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EJEMPLO USANDO MATEMATICA Obtención de la transpuesta de una matriz de 3 x 2:

EJERCICIOS PROPUESTOS Encuentre la transpuesta de las siguientes matrices: 1)

2)

3) Determine los números

tales que

sea simétrica.

17

Guía práctica de Algebra Lineal

4) Llena los espacios faltantes para que la matriz

sea

antisimétrica.

2.5 Inversa de una matriz Matriz Inversa: Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa denotada como A-1, si se verifica que A A-1 = A-1 A = I y cumple con las siguientes propiedades:

i. Sean A y B matrices invertibles. Entonces si AB es invertible se cumple que (AB)-1 = B-1A-1. ii. Si A es invertible, entonces At también es invertible y (At)-1 = (A-1)t. NOTA:

Para obtener una matriz inversa se manejan dos métodos: operaciones elementales y determinantes. Método de Operaciones Elementales. Para llevar a cabo este método se sigue el siguiente procedimiento: Paso 1. Escríbase la matriz aumentada (A I). Paso 2. Utilícese la reducción por renglones con el objetivo de reducir la matriz Paso 3. Decídase si A es invertible. a. Si A se puede reducir a la matriz identidad I, entonces A -1 será la matriz que aparece a la derecha de la barra vertical. b. Si la reducción por renglones de A lleva a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical, entonces A no es invertible. Para llevar a cabo la reducción por renglones se tiene que utilizar las operaciones elementales de reglón que son. i. Multiplicar (o dividir) un reglón por (o entre) un número distinto de cero. 18

Guía práctica de Algebra Lineal

ii. Sumar el múltiplo de un renglón a otro reglón. iii. Intercambiar dos renglones. EJEMPLO 18.- Sea

, calcúlese A-1 si existe.

Primero se escribe la matriz aumentada.

Y luego se efectúa la reducción por renglones:

Como A se ha reducido a I, se tiene

se factoriza

a fin de facilitar los cálculos.

Comprobación

19

Guía práctica de Algebra Lineal

PRECAUCIÓN. Como es muy fácil cometer errores numéricos al calcular A -1, es muy importante comprobar los cálculos asegurándose de que . EJEMPLO 19.- Sea

. Calcule A-1, si existe.

Solución:

Así,

Comprobación

EJEMPLO 20.- Una matriz que no es invertible. Sea

.

Calcule A-1, si existe. Solución: Procediendo como en el ejemplo anterior se tiene

20

Guía práctica de Algebra Lineal

Hasta aquí puede llegarse. La matriz A no se puede reducir a la matriz identidad, por lo que se concluye que A no es invertible. EJEMPLOS USANDO MATEMATICA Inversa de una matriz de 3 x 3:

Matriz que no tiene inversa:

EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular la inversa de las siguientes matrices: 1)

2)

3)

21

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2.6 Determinante de una matriz. Se definirá el determinante de una matriz n x n como una función que le asigna a una matriz de orden n, un número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por

A (las barras no significan valor absoluto).

El determinante de una matriz de orden 2 esta dado por

y para su

calculo es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secunadaria, esto es

EJEMPLO 21.-Hallar el valor de:

EJEMPLO USANDO MATEMATICA Hallar el determinante de la matriz

EJERCICIOS PROPUESTOS Hallar el valor de: 1)

2)

3)

22

Guía práctica de Algebra Lineal

2.7 Evaluación de una determinante 3 x 3 (regla de Sarrus). La regla de Sarrus permite calcular determinantes de orden 3 de una manera bastante fácil y sencilla recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus. Paso 1: Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se muestra a continuación.

Paso 2: Calcule los productos indicados por las flechas. Los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia abajo se toman con signo positivo, mientras los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia arriba se toman con signo negativo. EJEMPLO 22.- Calcular el siguiente de terminante de orden 3.

1)

2)

Nota: Esta regla solo aplica a determinantes de orden 3x3

23

Guía práctica de Algebra Lineal

EJEMPLO USANDO MATEMATICA

Hallar el determinante de la matriz

EJERCICIOS PROPUESTOS Encontrar el valor de los siguientes determinantes: 1)

2)

3)

2.8 Obtención de un determinante por Método de Cofactores. Cuando se requiere obtener el valor de un determinante de orden mayor a 3 se recomienda utilizar el método de cofactores o de propiedades de determinantes. Método de cofactores Para aplicar este método primero se definirán algunos conceptos previos: Una Submatriz aij es la que se obtiene al eliminar la fila i y columna j de la matriz

.

24

Guía práctica de Algebra Lineal

Por ejemplo dada la matriz

su submatriz

está dada por

. El cofactor

está dado por

Por ejemplo el cofactor

esta dado por

. Para obtener el valor de un determinante por el método de cofactores se utiliza una expansión que puede ser por filas o por columnas y que consiste en la suma de los productos de los elementos de la fila o columna por sus correspondientes cofactores. EJEMPLO 23.- Hallar el determinante de

utilizando el método

de cofactores. Resolviendo por expansión en la primera fila: Donde

Sustituyendo se tiene que

EJEMPLO 24.- Hallar el determinante de la siguiente matriz, utilizando cofactores.

Por expansión fila 4

25

Guía práctica de Algebra Lineal

Nota: para mayor facilidad en la aplicación de este método utilizar aquella fila o columna que tenga más elementos nulos.

Ejemplo 25.- Hallar el determinante de la siguiente matriz

Por expansión en columna 1

Donde

El cual al ser calculado por expansión en fila 4 nos queda

26

Guía práctica de Algebra Lineal

Entonces

EJEMPLOS USANDO MATEMATICA

Calcular el determinante de

Calcular el determinante de

.

.

EJERCICIOS PROPUESTOS Hallar el determinante de las siguientes matrices:

1)

27

Guía práctica de Algebra Lineal

2)

3)

2.9 Propiedades de los determinantes. Algunas propiedades importantes que tienen los determinantes, y que se enuncian sin demostración, son: 1. Si una matriz tiene una línea (fila) o columna de ceros, el determinante vale cero. Esta propiedad es evidente, puesto que por definición de determinante, basta elegir dicha línea para desarrollar y el determinante será 0. 2. Si una matriz tiene dos filas (o columnas) iguales o proporcionales, su determinante es nulo. 3. Si intercambiamos dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo, por ejemplo:

intercambiando la fila 3 con la 4 se tiene

4. Si multiplicamos todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante por un número, el determinante queda multiplicado por ese número. Por ejemplo:

28

Guía práctica de Algebra Lineal

Sabemos que

si multiplicamos la fila dos

por 2

entonces

.

5. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta,

6. El determinante de una matriz triangular superior es igual al producto de los elementos situados en la diagonal principal.

7. Si a una fila (o columna) de una matriz se le suma otra fila (o columna) multiplicada por un número, el determinante no cambia. Esta propiedad permite utilizar un método más sencillo para calcular determinantes de orden mayor que 3. Una estrategia a tener en cuenta en este caso de determinantes de orden 4 o superior, o incluso de orden 3 si la matriz es compleja, es el método de “hacer ceros”, puesto que el valor del determinante no varía al realizar a la matriz ciertas transformaciones elementales en filas (o columnas), como indica la propiedad 6 anterior, si bien hemos de ser cuidadosos al aplicar dicha propiedad. Así pues la mejor forma de calcular un determinante es hacer ceros en una fila o columna y desarrollar por dicha fila o columna, porque entonces sólo tendremos que calcular un cofactor. EJEMPLO 26.- Obtener el valor del determinante

utilizando

propiedades. Utilizando al 1 (de la posición

) como elemento pivote se tiene que:

Multiplicando la fila 2 por -2 y sumándoselo a la fila 3 y que el cambio vaya a parar a la fila 3, al mismo tiempo multiplicando la fila 2 por -3 y sumárselo a la fila 4 y que el cambio valla a la fila 4, se obtiene 29

Guía práctica de Algebra Lineal

El cual se puede resolver por cofactores por expansión en la columna 1, resultando

Donde

Con lo que Como hemos dicho, hemos de tener especial cuidado al aplicar esta regla con determinantes, puesto que no podemos hacer las mismas operaciones que con las matrices, lo que puede confundir.

EJEMPLO 27.- Si queremos calcular el determinante de

Mediante la regla de Sarrus es:

O bien haciendo ceros en la primera columna, multiplicando por -4 la fila uno y sumándole este resultado a la fila 3 se tiene

Utilizando cofactores por expansión en la columna 1 se llega a

Lo que es correcto. Sin embargo, si queremos hacer cero el 1 de la primera columna sería un error hacer -1 por la fila 3 y sumárselo a 4 por la fila 1, quedando 30

Guía práctica de Algebra Lineal

que al ser resultado por cofactores por expansión en la columna 1 queda como No obtenemos lo mismo, porque hemos multiplicado la fila sustituida por un número y eso altera el valor del determinante. Luego la fila a sustituir conviene no multiplicarla, como en el primer ejemplo, puesto que si no nos damos cuenta, podemos variar el valor del determinante. EJERCICIOS PROPUESTOS Utiliza propiedades de determinantes para encontrar el valor de:

1)

2)

3)

2.10 La inversa por determinantes Hay una estrecha relación entre la inversa de una matriz cuadrada y su determinante. De hecho se verifica que: Propiedad: Una matriz cuadrada A tiene inversa sí y solo sí |A|

0.

31

Guía práctica de Algebra Lineal

Además, en este caso, la matriz inversa de

, denotada como

se calcula

de la manera:

Donde denota la matriz adjunta de A, es decir, aquella que se obtiene al trasponer la matriz de cofactores.

EJEMPLO 28.- Calcular, si es posible, la inversa de la matriz

En primer lugar,

y por tanto

tiene inversa.

Calculando ahora la matriz de cofactores

Donde

Con lo que

y por lo tanto

De donde

32

Guía práctica de Algebra Lineal

EJEMPLO 29.- Calcula la inversa de la matriz

En primer lugar,

y por lo tanto A tiene inversa.

Calculando ahora la matriz del cofactores

Donde

Con lo que

y por lo tanto

De donde

33

Guía práctica de Algebra Lineal

EJEMPLO USANDO MATEMATICA

EJERCICIOS PROPUESTOS Calcula si es posible la inversa de las siguientes matrices: 1)

2)

3)

CAPITULO III. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1 Introducción A Sistemas De Ecuaciones Lineales La mayoría de las preguntas que se presentan en ingeniería, física, matematicas, economía y otras ciencias se reducen al problema de resolver un problema lineal. Se denomina sistema de

-ecuaciones lineales con -incognitas a un sistema

de ecuaciones de la forma:

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Guía práctica de Algebra Lineal

Los números sistema, y

son los coeficientes del son los términos constantes. Si todos los términos

constantes son cero, el sistema se llama homogéneo. Los sistemas lineales admiten una sencilla representación matricial. Así, podemos denotar

siendo:

Una solución (particular) de una ecuación es una sucesión de números que, cuando se sustituyen en las variables, produce una ecuación que es una identidad. El conjunto de todas las soluciones particulares se llama conjunto solución. Para describir todo el conjunto solución de una ecuación lineal, a menudo se utiliza una representación paramétrica. Un sistema de ecuaciones puede clasificarse según el número de soluciones de la siguiente manera:

35

Guía práctica de Algebra Lineal

Solucion De Un Sistema De Ecuaciones Lineales

Tiene Una O Mas Soluciones

No Tiene Solucion

COMPATIBLE

INCOMPATIBLE

Solucion Unica

Infinitas Soluciones

DETERMINADO

INDETERMINADO

A manera de introducción examinaremos un sistema

de la forma

Cada ecuación puede representarse de forma grafica como una recta en el plano. La pareja ordenada

será una solución del sistema si y solo si

yace en ambas rectas. Por ejemplo, considérense los sistemas

Soluciones: a) Este sistema tiene exactamente una solución,

y

. Esto se

puede interpretar que en el punto (1,0) las rectas se intersecan. El punto verde en la grafica es el punto de intersección.

36

Guía práctica de Algebra Lineal

b) Este sistema no tiene solución ya que es imposible que la uma de dos números sea 2 y 1 a la vez, esto quiere decir que se trata de 2 rectas paralelas, o sea, nunca habrá punto de intersección. c) Este sistema tiene infinitas soluciones, o sea que se trata de dos rectas que están una sobre otra (coincidentes), es por eso que se encuentran infinitos puntos de unión. Por esta misma razón solo se ve una recta en lugar de dos. A continuación se presentan las 3 soluciones graficas de los incisos anteriores.

a)

b)

c)

Ya con una introducción de los sistemas de ecuaciones lineales, se profundiza en sus métodos de resolución. A continuación se explicara cada método y se verán algunos ejemplos para reforzar el entendimiento.

37

Guía práctica de Algebra Lineal

A excepción de los problemas que se verán en las aplicaciones, cada ejemplo se resolverá de dos formas: manual y por software.

4.2 Eliminación Gaussiana Este método de resolución de sistemas de ecuaciones admite una fácil programación, lo que permite resolver un sistema con la ayuda de la computadora. La idea del método consiste en aplicar a la matriz ampliada del sistema transformaciones

elementales

sobre

las

filas

(no

pueden

realizarse

transformaciones columna) obteniendo, de esta forma, sistemas equivalentes al dado pero cada vez más manejables. Mediante transformaciones, se consigue obtener un sistema equivalente al dado que tiene por matriz de los coeficientes una matriz escalonada. La notación quedara simplificada empleando matrices ampliadas para representar en todo momento a los sistemas lineales equivalentes que resultan tras las transformaciones. El algoritmo sería el siguiente:

Sistema

Matriz Ampliada

Transformaciones Elementales

Solución

Sistema Equivalente

Matriz Triangular Superior

El funcionamiento del método se ilustra con los siguientes ejemplos:

38

Guía práctica de Algebra Lineal

EJEMPLO 27.- Resolver el sistema.

Y nuestro problema es encontrar los valores de

.

Primero construimos nuestra matriz de coeficientes.

Este método, también conocido como de eliminaciones sucesivas o método de escalonamiento comienza restando múltiplos de la primera ecuación (fila) a las restantes, con el fin de eliminar una incógnita, en este caso, la

de las

ultimas ecuaciones. Para ello: El coeficiente de

en la primera ecuación se le llama pivote (en este caso el

2). En la mayoría de los casos es conveniente, por razones de cálculo, multiplicar nuestra primera ecuación por un numero que convierta a nuestro pivote en 1 ó también podemos cambiar nuestra fila por otra en la cual el primer número sea 1 (en este ejemplo lo dejaremos así). Para resolver nuestro sistema realizamos las siguientes operaciones (transformaciones elementales sobre filas): Sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por -2.

Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por 1.

En el segundo paso, ignoramos la primera ecuación y aplicamos el proceso a las dos ecuaciones restantes, donde las incógnitas son En este caso, el pivote es -1 (coeficiente de

y .

en la segunda ecuación).

Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por 3.

39

Guía práctica de Algebra Lineal

Y llegamos al sistema equivalente:

Ahora el proceso de eliminación esta completo. Hay un orden evidente para resolver este sistema: de la última ecuación obtenemos:

Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación obtenemos:

Y por último, sustituyendo ambos resultados en la primera ecuación, se obtiene

Resolviendo mediante software:

Los resultados de la resolución manual y por software son iguales, p queda comprobado. Este proceso para obtener los valores de las incógnitas, se conoce con el nombre de sustitución regresiva. Es fácil entender cómo podemos extender la idea de la eliminación gaussiana a un sistema de

-ecuaciones con

-

incógnitas:

40

Guía práctica de Algebra Lineal

I.

En un primer paso, utilizamos múltiplos de la primera ecuación para anular todos los coeficientes bajo el primer pivote.

II.

A continuación, se anula la segunda columna bajo el segundo pivote, etc.

III.

La última columna contiene solo a la última de las incógnitas.

IV.

La sustitución regresiva conduce a la solución en sentido contrario, es decir, comenzando por la última incógnita hasta llegar a la primera.

Veamos dos ejemplos más.

EJEMPLO 28.- Resolver el sistema:

Primero obtenemos matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema.

Procedemos a escalonar la matriz ampliada del sistema como lo hicimos en el ejercicio anterior: Sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por -2.

Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por -1.

Así como lo hicimos en el ejemplo anterior, al terminar de convertir en ceros las posiciones debajo de nuestro pivote procedemos a cambiar éste, es decir, ignoramos a la primera ecuación y ocupamos como pivote a la segunda ecuación, en este caso el nuevo pivote es -1 (coeficiente de

en la segunda

ecuación). Continuamos con el último paso: Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por -1. 41

Guía práctica de Algebra Lineal

La presencia de la última fila de ceros indica que existían dos ecuaciones proporcionales en el último paso (la segunda y tercera ecuaciones son idénticas) por lo que puede ser eliminada del sistema equivalente:

La sustitución regresiva, proporciona los valores:

En este ejemplo existe una relación de dependencia entre las variables

e .

Si tomamos un valor cualquiera para , este determina otro para la . Existen infinitas soluciones en este caso, que podemos expresar de forma paramétrica como:

Se dice que

actúa como variable independiente y

son variables

dependientes. Estamos ante un sistema compatible indeterminado. Ahora se comprobara el resultado por el software:

42

Guía práctica de Algebra Lineal

Por lo tanto queda comprobado.

EJEMPLO 29.- Resolver el sistema:

Primero obtenemos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema.

Procedemos a escalonar la matriz ampliada del sistema como lo hicimos en los ejercicios anteriores: Sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por -3.

43

Guía práctica de Algebra Lineal

Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por -2.

Así como lo hicimos en el ejemplo anterior, al terminar de convertir en ceros las posiciones debajo de nuestro pivote procedemos a cambiar éste, es decir, ignoramos a la primera ecuación y ocupamos como pivote a la segunda ecuación, en este caso el nuevo pivote es 1 (coeficiente de

en la segunda

ecuación). Continuamos con el último paso: Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por -1.

La última fila representa la ecuación:

Lo que produce un sistema incompatible ya que:

Por tanto no hay soluciones para nuestro sistema original.

Comprobando por software que el sistema es incompatible:

44

Guía práctica de Algebra Lineal

A continuación se proponen algunos ejercicios para su resolución. Resuelva los sistemas dados por el método de eliminación Gaussiana y comprobar los resultados mediante el software. Ejercicio 1.-

Ejercicio 2.-

Ejercicio 3.-

45

Guía práctica de Algebra Lineal

3.3 Método de Gauss – Jordan La eliminación de Gauss-Jordan o Método de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en convertir la matriz aumentada en una matriz reducida por renglones y a partir de ésta interpretar directamente la solución del sistema. Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana (incluyendo el pivoteo), pero con el objetivo de finalizar con una matriz de la siguiente forma:

Para lograr esto, se usa la técnica del pivoteo con la única diferencia que el pivote se usa para hacer ceros hacia abajo y hacia arriba. Resolveremos el siguiente sistema lineal: EJEMPLO 30.- Resolver mediante el sistema de Gauss – Jordan.

Primero construimos nuestra matriz de coeficientes y nuestra matriz ampliada del sistema.

Habitualmente, cuando los cálculos se realizan a mano, con objeto de reducir la cantidad

de

anotaciones,

se

realizan

transformaciones

elementales

paralelamente a varias filas a la vez. Por otra parte, también es deseable evitar, en la medida de lo posible, la manipulación de fracciones. Haciendo las transformaciones de fila correspondientes:

46

Guía práctica de Algebra Lineal

Así, obtenemos nuestro sistema equivalente como sigue:

Por tanto la solución del sistema es:

Comprobando los resultados obtenidos:

Por lo tanto, se han comprobado los resultados. EJEMPLO 31.- Resolver por el método de Gauss – Jordan.

Primero construimos nuestra matriz de coeficientes y nuestra matriz ampliada del sistema.

47

Guía práctica de Algebra Lineal

Haciendo las transformaciones de fila correspondientes: Sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por -2.

Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por -2.

Sumamos a la cuarta ecuación la primera multiplicada por -1.

Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por .

Sumamos a la cuarta ecuación la segunda multiplicada por .

Sumamos a la cuarta ecuación la tercera multiplicada por -1.

48

Guía práctica de Algebra Lineal

Al contener solo ceros, ignoramos la última ecuación y utilizamos como nuevo pivote a la tercera. Multiplicamos a la ecuación 3 por

.

Sumamos a la segunda la tercera multiplicada por 5.

Sumamos a la primera ecuación la tercera multiplicada por -2.

Multiplicamos a la segunda ecuación por .

Sumamos a la primera la segunda ecuación multiplicada por -1.

El sistema equivalente es el siguiente

Hemos ignorado el último renglón que consta totalmente de ceros. Al despejar en cada ecuación la incógnita correspondiente a la entrada principal de cada renglón del sistema equivalente, obtenemos:

Lo cual se puede expresar en forma paramétrica como:

49

Guía práctica de Algebra Lineal

Comprobando la solución:

Por lo tanto, queda demostrado. A continuación se presentan algunos ejercicios para su resolución. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordan y comprobar los resultados mediante el software. Ejercicio 1.-

Ejercicio 2.-

Ejercicio 3.-

50

Guía práctica de Algebra Lineal

3.4 Sistemas homogéneos Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es homogéneo cuando todos sus términos independientes son nulos, es decir, es un sistema del tipo:

También podemos escribir en forma matricial como:

Un sistema como este (homogéneo) siempre tiene al menos una solución, a saber,

. Generalmente esta solución cero se le llama solución trivial.

Vemos que un sistema homogéneo es siempre consistente, pues siempre tiene la solución trivial. Como

siempre es una solución, solamente hay dos

posibilidades: la solución cero es la única solución ó hay un número infinito de soluciones además de la solución cero (las soluciones distintas de la solución cero se conocen como las soluciones no triviales).

EJEMPLO 32.- Resolver el siguiente sistema, por el método de Gauss Jordan:

Primero construimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema.

Ahora empezamos con las transformaciones:

Sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por 1.

Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por -2.

51

Guía práctica de Algebra Lineal

Multiplicamos a la ecuación 2 por .

Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por 3.

Multiplicamos a la tercera ecuación por

.

Sumamos a la segunda ecuación la tercera multiplicada por -1.

Sumamos a la primera ecuación la tercera multiplicada por -3.

Sumamos a la primera ecuación la segunda multiplicada por -2.

Por lo tanto, la solución del sistema es

Lo cual significa que el sistema homogéneo dado solo tiene la solución trivial. Comprobando con el software

52

Guía práctica de Algebra Lineal

La cual concuerda con nuestros resultados anteriores.

EJEMPLO 33.- Resolver el siguiente sistema por el método de eliminación Gaussiana:

Primero construimos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema.

Resolviendo: Intercambiamos la ecuación 1 y la ecuación 2.

53

Guía práctica de Algebra Lineal

Sumamos a la segunda ecuación la primera multiplicada por -2.

Sumamos a la tercera ecuación la primera multiplicada por -3.

Multiplicamos a la segunda ecuación por

.

Sumamos a la tercera ecuación la segunda multiplicada por 7.

Multiplicamos a la tercera ecuación por .

Con lo que resulta el sistema equivalente:

Los pivotes se encuentran sobre las tres primeras columnas por lo que tomaremos como variables dependientes

, resultando

la única variable

independiente. El sistema homogéneo es compatible; presenta infinitas soluciones

(aparte

de

la

solución

cero)

que

podemos

expresar,

paramétricamente, como:

Comprobando los resultados:

54

Guía práctica de Algebra Lineal

Por lo tanto queda comprobado. A continuación se presentan algunos ejercicios para su resolución. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales homogeneos por el método de Gauss-Jordan o eliminación Gaussiana y comprobar los resultados mediante el software.

Ejercicio 1.-

Ejercicio 2.-

Ejercicio 3.-

55

Guía práctica de Algebra Lineal

3.5 Matriz inversa La teoría general de matrices encuentra una de sus aplicaciones más inmediatas en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales con múltiples incógnitas. Aunque posteriormente fue objeto de un extenso desarrollo teórico, este campo de las matemáticas surgió en realidad como un instrumento de cálculo para facilitar las operaciones algebraicas complejas. Un procedimiento rápido para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices es el llamado método de la matriz inversa. Esta técnica consiste en multiplicar por la izquierda los dos miembros de la expresión matricial del sistema de ecuaciones por la matriz inversa de la de los coeficientes (si existe). De este modo:

Cuando la matriz de los coeficientes no es invertible, el sistema no tiene solución (es incompatible). Consideremos un sistema de

ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya

expresión general es la siguiente:

Este sistema se puede escribir en forma matricial del siguiente modo: La matriz

se llama

matriz del sistema, es de dimensión

elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz columna, de dimensión último, la matriz

,

. y sus

es una matriz

formada por las incógnitas del sistema. Por

es otra matriz columna, de dimensión

, formada por los

términos independientes. Es decir:

Si el determinante de la matriz tiene inversa (

es distinto de cero

, la matriz A

). Por lo tanto, podemos calcular la matriz de las incógnitas

del siguiente modo:

56

Guía práctica de Algebra Lineal

Es decir, para calcular la matriz columna de las incógnitas ( ), multiplicamos la inversa de la matriz

(

) por la matriz columna de los términos

independientes, obteniéndose otra matriz columna de la misma dimensión que . A continuación veremos el primer ejemplo:

EJEMPLO 34.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante matriz inversa.

Solución.

Comprobamos en primer lugar, si la matriz A es invertible, es decir, si su determinante es distinto de cero y, en este caso calculamos su inversa. Calculando la determinante de A. Entonces la matriz es invertible Al comprobar que nuestra matriz es invertible, entonces se puede resolver por el método de la matriz inversa como sigue: Se junta la matriz

con la matriz identidad para formar la matriz:

Ahora aplicando operaciones elementales en los renglones, se intenta escribir esta matriz en la forma

como sigue, este proceso se lleva a cabo con

el método de Gauss - Jordan que vimos anteriormente: Se suma -2 veces la primera fila a la segunda fila.

Se suma -3 veces la primera fila a la segunda fila.

57

Guía práctica de Algebra Lineal

Se multiplica

veces la segunda fila.

Se suma 3 veces la segunda fila a la tercera.

Se multiplica

Se suma

veces la tercera fila.

veces la tercera fila a la segunda.

Se suma -5 veces la tercera fila a la primera.

Se suma -2 veces la segunda fila a la primera.

58

Guía práctica de Algebra Lineal

Por consiguiente, la matriz

Finalmente, tenemos que

Para obtener a

, entonces:

multiplicamos la matriz

por la primer fila de la matriz

.

Para obtener a matriz

multiplicamos la matriz

por la segunda fila de la

.

Para obtener a

multiplicamos la matriz

por la tercera fila de la matriz

.

Comprobamos los resultados con el software

59

Guía práctica de Algebra Lineal

EJEMPLO 34.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante matriz inversa.

Solución.

Comprobamos en primer lugar, si la matriz A es invertible, es decir, si su determinante es distinto de cero y, en este caso calculamos su inversa. Calculando la determinante de A. Entonces la matriz es invertible Al comprobar que nuestra matriz es invertible, entonces se puede resolver por el método de la matriz inversa como sigue: Se junta la matriz

con la matriz identidad para formar la matriz:

60

Guía práctica de Algebra Lineal

Ahora aplicando operaciones elementales en los renglones, se intenta escribir esta matriz en la forma

como sigue:

Se suma la primera fila a la segunda:

Se suma -2 veces la primera fila a la tercera:

Se suma la segunda fila a la tercera:

Se multiplica por a la tercera fila:

Se suma -3 veces la tercera fila a la segunda:

Se suma -3 veces la tercera fila a la primera:

Se suma 2 veces la segunda fila a la primera:

61

Guía práctica de Algebra Lineal

Por consiguiente, la matriz

Finalmente, tenemos que

, entonces:

Para resolver este producto haremos los siguientes pasos: Para obtener a

multiplicamos la matriz

por la primer fila de la matriz

.

Para obtener a matriz

multiplicamos la matriz

por la segunda fila de la

.

Para obtener a

multiplicamos la matriz

por la tercera fila de la matriz

.

Comprobando los resultados obtenidos:

62

Guía práctica de Algebra Lineal

Por lo tanto se han comprobado los resultados.

Este método es importante, pero no es muy práctico para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Es decir, representa más trabajo intentar determinar y luego multiplicar por

que simplemente resolver el sistema por medio

de eliminación Gaussiana con sustitución hacia atrás como lo vimos anteriormente. Sin embargo, una situación en la que se podría considerar una aplicación de este método seria como método de cómputo, cuando hubiera muchos sistemas de ecuaciones lineales, todos con la misma matriz de coeficientes. En este caso, podría determinarse una sola vez la matriz inversa y resolver luego cada sistema al calcular el producto

.

A continuación se demuestra esto con un ejemplo:

63

Guía práctica de Algebra Lineal

EJEMPLO 34.- Utilice una matriz inversa para resolver los siguientes sistemas:

Solución: Como podemos ver los tres sistemas tienen la misma matriz de coeficientes y es la siguiente.

Comprobamos en primer lugar, si la matriz

es invertible, es decir, si su

determinante es distinto de cero y, en este caso calculamos su inversa. Calculando la determinante de A. Entonces la matriz es invertible A continuación seguimos el proceso para obtener la matriz inversa como en los ejemplos anteriores. Se junta la matriz

con la matriz identidad para formar la matriz:

Ahora aplicando operaciones elementales en los renglones, se intenta escribir esta matriz en la forma

como sigue:

Se multiplica por a la primera fila.

Se suma -3 veces la primera fila a la segunda.

Se suma -2 veces la primera fila a la tercera.

64

Guía práctica de Algebra Lineal

Se multiplica

veces la segunda fila.

Se suma -1 veces la segunda fila a la tercera.

Se multiplica -3 veces la tercera fila.

Se suma

veces la tercera fila a la segunda.

Se suma

veces la tercera fila a la primera.

Se suma

veces la segunda fila a la primera.

65

Guía práctica de Algebra Lineal

Por consiguiente, la matriz Una vez que calculamos la matriz inversa por el método de Gauss – Jordan, tenemos que para resolver cada sistema se usa la multiplicación matricial como se muestra a continuación: a)

La solución del primer sistema es:

y

b)

La solución del segundo sistema es:

y

c)

La solución del tercer sistema es:

y

Comprobando los resultados de los 3 sistemas a)

66

Guía práctica de Algebra Lineal

El primer sistema ha sido comprobado.

b)

67

Guía práctica de Algebra Lineal

c)

Y es en este tipo de situaciones en donde el método de la matriz inversa demuestra su utilidad y efectividad.

68

Guía práctica de Algebra Lineal

A continuación se presentan algunos ejercicios para su resolución. Resolver los sistemas de ecuaciones lineales por el método de matriz inversa y comprobar los resultados mediante el software. Ejercicio 1.

Ejercicio 2.

Ejercicio 3. Use una matriz inversa para resolver los sistemas de ecuaciones lineales dados.

3.6 Método de Cramer El método de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes: El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones según la regla de Cramer son los siguientes: 1. Hallar la matriz ampliada

asociada al sistema de ecuaciones, esto

es (como ya lo habíamos visto): que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones.

2. Calcular el determinante de A (

).

3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en: 69

Guía práctica de Algebra Lineal

a. Ir sustituyendo la primera columna del

por los términos

independientes; b. Dividir el resultado de este determinante entre el

para

hallar el valor de la primera incógnita; c. Continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas. Considere el sistema de n ecuaciones en n incognitas:

El cual puede ser escrito en la forma

Supongamos que dada por

. Entonces el sistema tiene una única solución . Podemos desarrollar un método para encontrar esta

solución sin reducción de renglones y sin el cálculo de

, estamos hablando

de la regla de Cramer. A continuación veremos unos ejemplos explicados paso por paso.

EJEMPLO 35.- Resolver el sistema lineal por la regla de Cramer.

Construimos nuestra matriz de coeficientes.

Obtenemos el valor del determinante de A (este tiene que ser diferente de 0 para continuar en caso contrario no se puede resolver por este método).

70

Guía práctica de Algebra Lineal

Ahora para resolver

sustituimos la primera columna de la matriz de

coeficientes por los valores de los términos independientes y obtenemos el valor del nuevo determinante:

Para obtener el valor de

dividimos el valor el determinante de

entre el

determinante de , esto es:

Lo mismo se hace para obtener :

Y así mismo para obtener :

71

Guía práctica de Algebra Lineal

Entonces la solución del sistema lineal es:

Comprobando por software

Con lo cual queda comprobado.

EJEMPLO 36.- Resolver el siguiente sistema por la regla de Sarrus.

Construimos nuestra matriz de coeficientes:

72

Guía práctica de Algebra Lineal

Obtenemos el valor del determinante de A (este tiene que ser diferente de 0 para continuar en caso contrario no se puede resolver por este método). La resolución de determinantes de 4x4 se vio en el capítulo 1.

Ahora para resolver

sustituimos la primera columna de la matriz de

coeficientes por los valores de los términos independientes y obtenemos el valor del nuevo determinante:

Para obtener el valor de

dividimos el valor el determinante de

entre el

determinante de , esto es:

Lo mismo se hace para obtener :

73

Guía práctica de Algebra Lineal

Igualmente para obtener :

De la misma manera calculamos a

:

Finalmente las soluciones de nuestro sistema de ecuaciones son:

Comprobando resultados:

74

Guía práctica de Algebra Lineal

Así queda comprobado.

75

Guía práctica de Algebra Lineal

3.7 Aplicaciones Las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales son muy diversas, por ejemplo podemos utilizarlos en el análisis de una red eléctrica, en un ajuste polinomial de curvas, en la química, en la economía y hasta en casos de nuestra vida cotidiana.

Además de ser una herramienta de apoyo en el

desarrollo de varias Experiencias Educativas del programa. A continuación se describirán las aplicaciones mencionadas en el párrafo anterior. Nota: todos los sistemas de los ejemplos de aplicaciones se resolverán por medio del software Matemáticas de Microsoft.

***Análisis de redes*** Las redes compuestas de ramificaciones y nodos se usan como modelos en campos tan variados como economía, análisis de tránsito vehicular e ingeniería eléctrica. En estos modelos se asume que el flujo total hacia un nodo es igual al flujo que sale de él. Dado que cada nodo en una red origina una ecuación lineal, el flujo se puede analizar a través de una red compuesta por varios nodos al resolver un sistema de ecuaciones lineales. Es posible observar como el tipo de análisis de redes presentado en los siguientes ejemplos puede usarse en problemas relacionados con el flujo de vehículos por las calles de una ciudad o con el flujo de agua a través de un sistema de irrigación. Esto se ejemplificara con los siguientes ejercicios.

Ejemplo1. Establezca un sistema de ecuaciones lineales para representar la red mostrada en la siguiente figura y resuelva.

76

Guía práctica de Algebra Lineal

Cada una de los 5 nodos origina una ecuación lineal como se muestra a continuación:

Reacomodando nuestro sistema, se tiene que:

Analizando nuestro sistema vemos que está compuesto por 5 ecuaciones y 5 incognitas.

A continuación se resuelve este sistema mediante el software:

77

Guía práctica de Algebra Lineal

La solución es paramétrica, en otras palabras, tiene infinitas soluciones. Dando un valor parametrico a

Así dándole un valor a

, se tiene que

se pueden saber los valores de las otras incógnitas.

Ejemplo 2.- En la siguiente figura se muestra el flujo de tráfico (en vehículos por hora) que circula por una red de calles.

a) Resuelva el sistema para b) Encuentre el flujo vehicular cuando c) Encuentre el flujo vehicular cuando

. . 78

Guía práctica de Algebra Lineal

Solución. Resolviendo el inciso (a). El primer paso es armar el sistema de ecuaciones lineales a partir de la figura, recordando que es una ecuación por nodo, este quedaría como sigue:

Analizando nuestro sistema vemos que posee 4 ecuaciones y 4 incognitas, reacomodando términos se tiene que:

Aplicando el software, se tiene

79

Guía práctica de Algebra Lineal

Soluciones:

Nuevamente tenemos un sistema parametrico, el cual tiene a independiente y a

y

como variable

como variables dependientes. Solo queda

expresar la solución en forma parametrica, así que:

Resolviendo el inciso (b). 80

Guía práctica de Algebra Lineal

En este inciso nos dan el valor

de la variable independiente que en este caso

es 0, al sustituirla en nuestras soluciones, tenemos que:

La interpretación que le debemos dar al sigo negativo del resultado de

es

que la dirección de la flecha es en sentido opuesto, es decir, el flujo de carros es 100 pero en dirección inversa a la que tiene la flecha de

.

Resolviendo el inciso (c). Repitiendo lo que se hizo en el ejercicio anterior pero con un valor

, se

tiene que:

***Análisis de una red eléctrica*** Otro tipo de red a la cual suele aplicarse el análisis de redes es la red eléctrica. En un análisis de este sistema se usan dos propiedades de las redes eléctricas conocidas como leyes de Kirchhoff. 1. Toda la corriente que fluye hacia un nodo debe fluir hacia fuera de el. 2. La suma de los productos

( es la corriente y

es la resistencia)

alrededor de una trayectoria cerrada es igual a la tensión total en la trayectoria. En una red eléctrica, la corriente se mide en unidades Amperes, la resistencia en ohms y el producto de la corriente y la resistencia en unidades volt. En las baterías la corriente fluye hacia afuera de la terminal denotada por la línea más larga o del signo positivo al negativo. Ejemplo 1.- determine las corrientes

e

de la red eléctrica mostrada en la

siguiente figura.

81

Guía práctica de Algebra Lineal

Trayectoria 1 Nodo 1

Nodo 2 Trayectoria 2

Solución. Al aplicar la primera ley de kirchhoff en el nodo 1 se tiene (la cual es la misma ecuación del nodo 2, así que se ocupa solo una).

Al aplicar la segunda ley de kirchhoff a las 2 trayectorias se tiene que

Por lo tanto, al juntar las ecuaciones de la primera y la segunda ley se tiene el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incognitas:

A continuación se resuelve:

82

Guía práctica de Algebra Lineal

Las corrientes entonces son

ampere,

Ejemplo 2.- determine las corrientes

amperes e

e

ampere.

para la red de la siguiente

figura. Solución. Al aplicar la primera ley de Kirchhoff a los cuatro nodos se tiene que

Al aplicar la segunda ley de Kirchhoff a las tres trayectorias se tiene que

Al juntar las ecuaciones obtenidas en la primera y segunda ley de Kirchhoff se obtiene un sistema de 7 ecuaciones y 6 incognitas. Se arma la matriz ampliada y se resuelve.

83

Guía práctica de Algebra Lineal

Resolviendo el sistema.

***Ajuste polinomial de curvas*** Ejemplo.- Determine el polinomio

cuya grafica pasa por

los puntos (1,4), (2,0) y (3,12). Solución: al sustituir

y

en

e igualar los resultados con los valores

respectivos de , se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales en las variables

y

.

Así, se obtiene el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas como sigue

A continuación se resuelve el sistema

84

Guía práctica de Algebra Lineal

Lo cual significa que el polinomio es:

Graficando el polinomio en el mismo software tenemos:

Ejemplo.- Encuentre un polinomio que se ajuste a los puntos (-2,3), (-1,5), (0,1), (1,4) y (2,10). Primero se construyen el polinomio con los datos dados, como se puede ver son cuatro puntos, entonces nuestro polinomio quedaría como sigue:

85

Guía práctica de Algebra Lineal

Y el sistema de ecuaciones correspondiente se obtendrá al sustituir cada pareja de datos, y es el siguiente:

Igualando cada ecuación con su valor en y, se obtiene el sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas como sigue.

Insertamos el sistema en nuestro software.

86

Guía práctica de Algebra Lineal

Por lo tanto se obtiene los valores de los coeficientes del polinomio de cuarto grado se sustituye estos valores en la ecuación del polinomio y quedaría como sigue:

Sacando

como factor común para simplificar el polinomio:

Obteniendo la grafica:

87

Guía práctica de Algebra Lineal

***Procesos químicos*** Ejemplo.- Se necesitan tres ingredientes distintos

y

para producir una

determinada sustancia. Pero deben disolverse primero en agua, antes de ponerlos a reaccionar para producir la sustancia. La solución que contiene con 1.5 gramos por centímetro cubico cuya concentración es de 3.6

, combinada con la solución

y con la solución

con 5.3

25.07 gramos de la sustancia. Si las proporciones de soluciones

se

cambian

a

2.5,

4.3

y

2.4

forman y

,

en esas

respectivamente

(permaneciendo iguales los volúmenes), se obtienen 22.36 gramos de la sustancia. Por último, si las proporciones se cambian a 2.7, 5.5 y 3.2

,

respectivamente, se producen 28.14 gramos de la sustancia. ¿Cuáles son los volúmenes, en centímetros cúbicos, de las soluciones que contienen

y ?

Solución. Sean

y

contienen masa de

los centímetros cúbicos de volumen de las soluciones que y . Entonces, en el primer caso

y

es la masa de

es la masa de ,

es la

. Al sumarlas deben dar 25.07. Así,

. Este razonamiento se aplica para los demás casos. Entonces se tiene un sistema de 3 ecuaciones lineales y 3 incógnitas que se muestra a continuación.

Se introduce el sistema al software

88

Guía práctica de Algebra Lineal

Por consiguiente, los volúmenes de correspondientes de las 3 soluciones que contienen

y , son

y

.

***Balanceo de reacciones químicas*** Otra aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales en química es el balanceo de reacciones químicas. Es preciso introducir coeficientes enteros frente a cada uno de los reactivos, para que la cantidad de átomos de cada elemento sea igual en ambos lados de la ecuación.

Ejemplo 1. Balancea la siguiente reacción química.

Se calcularan los coeficientes de

y

que balanceen la ecuación

Solución. El número de átomos de un elemento debe ser el mismo en los dos lados de la expresión. Por ejemplo, en el caso del carbono vemos que del lado izquierdo existe 1 átomo de este elemento mientras que del lado derecho el número de átomos de carbono es solo 1, entonces se llega a la conclusión de que

.

Con este mismo razonamiento aplicado a todos los elementos, se llega al siguiente sistema de ecuaciones:

89

Guía práctica de Algebra Lineal

Reacomodando los términos tenemos que:

Como se puede ver este sistema es un sistema homogéneo y las soluciones de este pueden ser la trivial o soluciones infinitas.

Resolviendo el sistema con Matemáticas de Microsoft, se tiene que:

Como se puede apreciar la solución del sistema es paramétrica (infinitas soluciones). La variable independiente es

y las variables dependientes son

. Poniendo los resultados en forma paramétrica:

Ahora solo por ejemplificar supóngase que

, sustituyendo en las

soluciones se obtiene que:

Reduciendo

90

Guía práctica de Algebra Lineal

Y nuestra reacción quedaría de la siguiente forma:

Ejemplo 2.- Balancear la siguiente reacción química

Quitamos los paréntesis haciendo el producto y asignamos un coeficiente entero a cada uno de los reactivos

Obteniendo ecuación por elemento Para el

(calcio):

Para el

(silicio):

Para el

(fosforo):

Para el

(carbono):

Para el

(oxigeno):

La unión de todas las ecuaciones forma un sistema de 5 ecuaciones con 6 incognitas, el cual es el siguiente:

Introduciendo el sistema al software tenemos que:

91

Guía práctica de Algebra Lineal

La solución es parametrica, el número de soluciones es infinito. variable independiente y

y

(

variables dependientes. Hacemos que

Ahora damos un valor a

y

( ) es la

respectivamente)son las

y tenemos que:

el cual sea entero y de cómo resultados enteros en

cada uno de nuestros coeficientes ya que no se pueden tener exponentes fraccionarios en una reacción, a razón de que no existen fracciones de átomos. En este caso seria cualquier múltiplo de 10.

Al sustituir nuestros coeficientes en la reacción, quedaría como sigue:

92

Guía práctica de Algebra Lineal

***Estática y equilibrio de pesos*** Calcule los pesos

y

para balancear las palancas de la figura.

Solución. Para la solución de este problema recordaremos la ley de palanca de Arquímedes que nos dice: dos masas en una palanca se equilibran cuando sus pesos son inversamente proporcionales a sus distancias al punto de apoyo. Partiendo de este principio se tiene que: Para balancear las 2 palancas pequeñas, apegándose a la ley de arquimedes tenemos que

para la palanca de la izquierda, y

para la

derecha. Para equilibrar la palanca principal, se necesita que . De este modo se llegara al siguiente sistema homogéneo de tres ecuaciones con cuatro incongnitas:

Resolviendo el sistema por software se tiene:

93

Guía práctica de Algebra Lineal

Como se puede apreciar el sistema tiene infinitas soluciones (en forma paramétrica), esto quiere decir que hay infinidad de pesos que pueden equilibrar este sistema. Basándonos en un parámetro se tiene que:

Igual que en el ejemplo anterior se le dará un valor a

solo para ejemplificar,

entonces:

Ejemplo.- un cuadro de 2 kg de masa cuelga de dos cables que forman los ángulos que se muestran en la figura. Calcule los valores de las tensiones

y

.

94

Guía práctica de Algebra Lineal

Solución. Para resolver este problema debemos tomar en cuenta la 1era ley de equilibrio la cual nos dice: La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo en una dirección cualquiera es igual a cero. También debemos tener en cuenta que cada fuerza tiene sus componentes una en

y otra en .

Dibujando los diagramas de cuerpo libre:

Diagrama del cuadro

Diagrama de las tensiones

Para ocupar el valor del cuadro se tiene que convertir a fuerza, entonces:

Haciendo la sumatoria de fuerzas del cuadro

Descomponiendo las fuerzas de las tensiones en sus componentes.

Haciendo la sumatoria de fuerzas del nodo de las tensiones en el eje x: 95

Guía práctica de Algebra Lineal

Haciendo la sumatoria de fuerzas del nodo de las tensiones en el eje y:

Al juntar las dos ecuaciones obtenemos el sistema requerido.

A continuación se resuelve el sistema con el software:

***Fracciones parciales*** Calcule las constantes

y , tal que

Solución. Se debe cumplir que

Desarrollando 96

Guía práctica de Algebra Lineal

Agrupando

Igualando términos Como no tenemos coeficientes de obtiene que

en el término de la izquierda entonces se

, luego vemos que para el termino independiente 1 del

otro lado tenemos

. Por consiguiente se obtiene un sistema de 2

ecuaciones con 2 incognitas:

Al resolverlo se tiene

Con este resultado nuestra fracción quedaría como

Ejercicio.- Determinar la descomposición en fracciones parciales de

Solución. Factorizamos el denominador 97

Guía práctica de Algebra Lineal

Colocamos cada factor obtenido de la siguiente forma

Desarrollo el miembro de la izquierda

Factorizando

Igualando

Resolviendo el sistema

98

Guía práctica de Algebra Lineal

Con este resultado nuestra fracción quedaría como:

***Igualdad de polinomios*** Ejemplo.- Calcule

y

tales que los polinomios

y

sean iguales.

Solución. Los coeficientes de las potencias correspondientes de

deben ser iguales, así

que:

Igualando términos tenemos el siguiente sistema:

Reacomodando el sistema, podemos ver que es un sistema de 3 ecuaciones con tres incognitas, como sigue

Resolviendo el sistema por software se tiene 99

Guía práctica de Algebra Lineal

Estos serian los valores para que los dos polinomios fueran iguales.

A continuación se proponen una serie de ejercicios para ser resueltos manualmente por cualquier método antes visto y comprobados mediante el software Matematicas de Microsoft. Ejercicio 1.- por un acueducto fluye agua (en miles de metros cubicos por hora) como se muestra en la siguiente figura.

a) Resuelva este sistema para el caudal de agua representado por . b) Encuentre el patrón de flujo de la red cuando

.

c) Encuentre el patrón de flujo de la red cuando

y

.

Ejercicio 2.- El flujo de tráfico (en vehículos por hora) que circula por una red de calles se muestra en la figura siguiente. 100

Guía práctica de Algebra Lineal

a) Resuelva este sistema para

.

b) Encuentre el patrón de flujo vehicular cuando

y

c) Encuentre el patrón de flujo vehicular cuando

y

. .

Ejercicio 3.- Determine el polinomio cuya grafica pasa por los puntos (2,5), (3,2) y (4,5) y bosqueje la grafica del polinomio. Ejercicio 4.- Determine el polinomio cuya grafica pasa por los puntos (2,4), (3,6) y (5,10) y bosqueje la grafica del polinomio. Ejercicio 5.- Determine el polinomio cuya grafica pasa por los puntos (2,5), (3,0) y (4,20) y bosqueje la grafica del polinomio. Ejercicio 6.- Determine las corrientes

e

.

Trayectoria 1 Nodo 1

Nodo 2 Trayectoria 2

Ejercicio 7.- Determine las corrientes

e

. Los valores de

y

101

Guía práctica de Algebra Lineal

Ejercicio 8.- Determine las corrientes

e

. Los valores de

y

Ejercicio 9.- un cuadro de 10 kg de masa cuelga de dos cables que forman los ángulos que se muestran en la figura. Calcule los valores de las tensiones

y

.

Ejercicio 10.- Calcule los pesos

y

para balancear las palancas de

la figura.

102

Guía práctica de Algebra Lineal

Ejercicio.- Calcule los pesos

y

para balancear las palancas de la

figura.

Ejercicio.- Calcule las constantes

y

de modo que

Ejercicio.- Determinar la descomposición en fracciones parciales de

Ejercicio.- Determinar la descomposición en fracciones parciales de

A continuación unos ejercicios variados que necesitan la aplicación de sistemas. Ejercicio 11.- Una compañía de electrónica fabrica tres tipos de computadoras: Terio, Xtra y Cian. Para armar una Terio se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y dos horas mas para instalar sus programas. El tiempo requerido para la Xtra es 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probarla y 2 horas para instalarla. La Cian, la mas sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instlacion. Si la fabrica de esta compañía dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas 103

Guía práctica de Algebra Lineal

para probar y 320 horas para instalar. ¿Cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes? Ejercicio 12.- Una empresa internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este año viajo 3 veces. La primera vez cambio un total de $2550 con las siguientes tasas: 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos por dólar. La segunda vez cambio $2840 en total con las tasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dólar. La tercera vez, cambio un total de $2800 a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dólar. ¿Cuántos yenes, libras y marcos compro cada vez? Ejercicio 13.- Un padre desea distribuir sus bienes raíces, cuyo valor es $234000, entre sus cuatro hijas de la siguiente manera:

de las propiedades

deben dividirse por igual entre las hijas. Para el resto, cada hija debe recibir $3000 cada año hasta su vigésimo primer cumpleaños. Como entre ellas se llevan tres años, ¿Cuántos recibiría cada una de los bienes de su padre? ¿Qué edad tienen ahora esas hijas? Ejercicio 14.- El promedio de las temperaturas en las ciudades de Veracruz, Poza Rica y Xalapa, fue durante cierto dia de verano 30°C. En Poza Rica fue 6 grados mayor que el promedio de las temperaturas de las otras dos ciudades. En Xalapa fue 6 grados menos que la temperatura promedio en las otras 2 ciudades. ¿Cuál fue la temperatura en cada ciudad?

104

Guía práctica de Algebra Lineal

CAPITULO IV. ESPACIOS VECTORIALES 4.1 Espacios Vectoriales Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en el Algebra Lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las duplas de números reales así como de los vectores en el espacio Euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse. Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones.

4.1.1 Historia de los espacios vectoriales Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional.

105

Guía práctica de Algebra Lineal

Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector). Son elementos de

y

; el tratamiento mediante combinaciones lineales se

remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales. En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones. En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888. Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920 y por Hilbert.

4.1.2 Aplicaciones Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

106

Guía práctica de Algebra Lineal

4.1.3 Definición La definición de un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones: 1. Suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w.

2. Producto de un vector por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar como

que pertenece a

. El producto se denota

.

Que satisfacen las siguientes propiedades o axiomas ( vectores arbitrarios de

y

son

son escalares, respectivamente):

PROPIEDAD

SIGNIFICADO

Propiedades De La Suma 1.- Propiedad de cerradura

es un elemento único de

2.- Propiedad conmutativa 3.- Propiedad asociativa 4.- Propiedad del elemento neutro aditivo 5.- Propiedad del inverso aditivo Propiedades De La Multiplicación Por Escalar 6.- Propiedad de cerradura 7.- Propiedad conmutativa para el producto por escalar 8.- Propiedad distributiva bajo la suma escalar 9.- Propiedad distributiva bajo la suma vectorial 10.- Propiedad del elemento identidad

A continuación veremos algunos ejemplos: Ejemplo 53.- En el siguiente ejercicio demuestre que si definida como

, la suma

, y la multiplicación por escalar como 107

Guía práctica de Algebra Lineal

, es un espacio vectorial. Si no es un espacio vectorial di que propiedades no se cumplen. Probando propiedades de la suma. 1.- Propiedad de cerradura Sean

y

, entonces

2.- Propiedad conmutativa:

3.- Propiedad asociativa:

4.- Elemento neutro aditivo: Sea

, entonces

5.- Elemento inverso aditivo:

108

Guía práctica de Algebra Lineal

Probando propiedades de la multiplicación escalar. 6.- Propiedad de cerradura

7.- Propiedad

8.- Propiedad distributiva bajo la suma escalar:

9.- Propiedad distributiva bajo la suma vectorial:

10.- Elemento identidad:

, donde 1 es el número real 1.

En conclusión el conjunto dado no es espacio vectorial ya que no cumplió con las propiedades 2, 4, 5 y 8.

109

Guía práctica de Algebra Lineal

Ejemplo 54.-

es el conjunto de todos los pares ordenados

reales. La suma se define como multiplicación escalar como

de números , y la

. Determina si

es un espacio

vectorial.

Probando propiedades de la suma 1.- Propiedad de cerradura Sean

y

, entonces

2.- Propiedad conmutativa:

3.- Propiedad asociativa:

4.- Elemento neutro aditivo: Sea

, entonces

5.- Elemento inverso aditivo:

110

Guía práctica de Algebra Lineal

Probando propiedades de la multiplicación escalar. 6.- Propiedad de cerradura

7.- Propiedad

8.- Propiedad distributiva bajo la suma escalar:

9.- Propiedad distributiva bajo la suma vectorial:

10.- Elemento identidad:

, donde 1 es el número real 1.

En conclusión el conjunto dado no es espacio vectorial ya que no cumplió con las propiedades 2, 3, 4, 5 y 8.

111

Guía práctica de Algebra Lineal

Ejemplo 55.-

es el conjunto de todas las matrices

con componentes

reales. La suma es la suma habitual de matrices y la multiplicación escalar está definida por

.

Probando propiedades de la suma 1.- Propiedad de cerradura Sean

y

, entonces

2.- Propiedad conmutativa:

3.- Propiedad asociativa:

4.- Elemento neutro aditivo: Sea

, entonces

5.- Elemento inverso aditivo:

112

Guía práctica de Algebra Lineal

Probando propiedades de la multiplicación escalar.

6.- Propiedad de cerradura

7.- Propiedad

8.- Propiedad distributiva bajo la suma escalar:

9.- Propiedad distributiva bajo la suma vectorial:

10.- Elemento identidad:

, donde 1 es el número real 1. 113

Guía práctica de Algebra Lineal

En conclusión el conjunto dado es espacio vectorial ya que cumplió con las 10 propiedades.

Ejercicios propuestos. Comprobar si son espacios vectoriales. es el conjunto de todas las matrices

con componentes reales. La suma

definida por

y la multiplicación escalar está

definida por

.

es el conjunto de todas las matrices definida por por

con componentes reales. La suma y la multiplicación escalar está definida

.

es el conjunto de todos los pares ordenador suma definida por definida por

de números reales. La

y la multiplicación escalar está .

4.2 Subespacios Vectoriales En muchos problemas, un espacio vectorial consta de un subconjunto adecuado de vectores de algún espacio vectorial mayor. En este caso, necesitaremos verificar solo dos de los diez axiomas de espacios vectoriales. El resto que darán satisfechos automáticamente. Un subespacio de un espacio vectorial

es un subconjunto

de

que tiene 2

propiedades: 1. Es cerrado bajo la suma. 2. Es cerrado bajo el producto por escalar.

114

Guía práctica de Algebra Lineal

Las propiedades 1 y 2 garantizan que un subespacio

de

es en si mismo un

espacio vectorial, bajo las operaciones de espacio vectorial ya definidas en

.

Asi, todo subespacio es un espacio vectorial. Recíprocamente, todo espacio vectorial es un subespacio. A continuación veremos algunos ejemplos:

Ejemplo 56.- Determina si los siguientes conjuntos son Subespacios de los espacios dados. y

de

ó

Nota: Para resolver este tipo de ejercicios primeramente se va a resolver para valores particulares (números), si se cumple se generaliza y si no, se concluye que no es un subconjunto. Esto se aplicara en el primer ejemplo. 1.- Por demostrar que es cerrado bajo la suma Sean

y

2.- Por demostrar que es cerrado bajo el producto por escalar Sean

y

Como se cumplieron las dos condiciones diremos que

si es un subespacio

de , pero se debe demostrar para cualquier vector. 1.- Por demostrar que es cerrado bajo la suma Sean

y

2.- Por demostrar que es cerrado bajo el producto por escalar Sean

Por lo tanto

y

si es un subespacio vectorial de

.

Ejemplo 57.- Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial 115

Guía práctica de Algebra Lineal

de

ó

1.- Por demostrar que es cerrado bajo la suma Sean

Nota 1: Observa que

y

, entonces para generar

y

,a

y

se le da

cualquier valor y el valor resultante será el que tome . De esta misma forma se comprueba si

y

pertenecen a

.

Nota 2: Con una condición que falle el conjunto deja de ser un subespacio. Así que se detiene el proceso y queda de más demostrar la segunda propiedad.

Ejemplo 58.- Determine si el siguiente subconjunto de de

es un subespacio

.

Dándole valores cualquiera a las variables: Sean

nuestra primera pareja de valores, obtenemos

nuestra

primera matriz:

y

la segunda (valores tomados al azar), tenemos que:

1.- por demostrar que es cerrado bajo la suma

2.- Por demostrar que es cerrado bajo el producto por escalar Tomamos a

y un valor de escalar cualquiera en este caso

, entonces:

116

Guía práctica de Algebra Lineal

Por lo tanto el subconjunto del ejercicio anterior si es un subespacio de

Ejercicios propuestos. Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial de

ó

Demostrar que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial de

Determine si el siguiente subconjunto de

ó

es subespacio de

.

4.3 Combinación Lineal Un vector

de

se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores

si y solo si: , para algunos escalares, no todos cero.

Ejemplo 59.- Determina si

es combinación lineal de

y

.

Nota: Para que dos vectores sean iguales deben tener el mismo número de componentes y estas deben ser iguales, por lo tanto: Sistema de ecuaciones

Como la variable

en la segunda ecuación esta despejada y tiene un valor

numérico solo sustituimos su valor en cualquiera de las otras ecuaciones, esto es:

117

Guía práctica de Algebra Lineal

Entonces:

Y como se encontraron valores para

y

podemos decir que

si es

combinación lineal de los dos vectores dados.

Ejemplo 60.- Determina si y

es combinación lineal de

,

.

Igualando coeficientes

De donde

Como se encontraron valores para combinación lineal de

.

Ejemplo 61- Si

y

como combinación lineal de los vectores

y

entonces

si es

. Escriba y

.

Sistema de ecuaciones Resolviendo el sistema mediante el software:

118

Guía práctica de Algebra Lineal

Entonces

Escribiendo al vector

como una combinación lineal de los vectores

y

:

Ejercicios propuestos. Determinar si

es combinación lineal de los vectores

,

y

. Determinar si

es combinación lineal de los vectores

,

y

. Determinar si

es combinación lineal de los vectores y

Determinar cuáles vectores

,

. y

pueden expresarse como combinaciones

lineales de los vectores en .

1) 2) 119

Guía práctica de Algebra Lineal

3)

4.4 Conjunto Generador Un conjunto de vectores de un espacio vectorial

se dice que es generador si todo vector se puede escribir como la combinación lineal de ellos.

Ejemplo 62.- Demuestre que los vectores espacio

y

generan el

.

Por demostrar que todo vector de de

y

se puede escribir como combinación lineal

.

Entonces como se encontraron valores para lineal de

y

y si genera a

y

Por demostrar que todo vector de y

si es combinación

generan a

.

se puede escribir como combinación

.

Sea

con

Por lo tanto generan a

,

.

Ejemplo 63.- Determina si

lineal de

y

y

.

no es combinación lineal de

y

, por consecuente no

.

120

Guía práctica de Algebra Lineal

Ejemplo 64.- Demuestre que los vectores generan a

.

Por demostrar que todo vector de de

y

y

se puede escribir como combinación lineal

.

Sea

con

y

.

Sistema de ecuaciones Resolviendo el sistema

En este caso para que se cumpla la tercera fila los tres escalares deberían ser 0. Pero anteriormente vimos que para que se dé la combinación lineal no todos los valores son cero. Por lo tanto generan a

no es combinación lineal de

y

por consecuente no

.

Problemas propuestos. Determine si los siguientes conjuntos generan a

.

Determine si los siguientes conjuntos generan a

.

121

Guía práctica de Algebra Lineal

4.5 Independencia Y Dependencia Lineal Un conjunto no vacio vectorial

de vectores (diferentes) de un espacio

es linealmente dependiente (L.D.) si y solo si el vector 0 es una

combinación lineal de ellos, esto es:

La negación de la dependencia lineal es independencia lineal (L.I.).

Ejemplo 65.- Determine si los siguientes conjuntos de vectores son L.I. ó L.D.

Resolviendo el sistema por el software:

122

Guía práctica de Algebra Lineal

Nota: Cuando el sistema homogéneo tenga solución única los vectores serán L.I. y para la solución múltiple serán L.D.

Ejemplo 66.- Determina si el siguiente conjunto de vectores es L.I. ó L.D.

Sistema de ecuaciones Resolviendo el sistema

123

Guía práctica de Algebra Lineal

Como se aprecia a simple vista en el sistema, la variable

vale 0.

Entonces podemos reducir nuestro sistema de ecuaciones de un sistema

a un

y quedaría como sigue: Sistema de ecuaciones

De este sistema de ecuaciones apreciamos que una recta es paralela a la otra ya que sus coeficientes son múltiplos entre si. De la nota anterior concluimos que el conjunto de vectores es Linealmente Dependiente. Ejemplo 67.- Determina si el siguiente conjunto de vectores es L.I. ó L.D.

De las ecuaciones anteriores obtenemos que

.

Entonces nuestros vectores son Linealmente Independiente.

Ejercicios propuestos Determine cuales conjuntos de vectores son L.D ó L.I.

124

Guía práctica de Algebra Lineal

4.6 Base y dimensión ***Base*** Si

es un conjunto de vectores de un espacio vectorial , entonces

base para

es una

si y solo si

El espacio

es generado por .

es un conjunto linealmente independiente.

Ejemplo 68.- Demuestre que el conjuntos

es una base para

. Resolviendo para

.

Por comprobar que el espacio

es generado por .

Sistema de ecuaciones Resolviendo el sistema

De la cual nuestro sistema quedaría de la siguiente forma

Los valores de nuestras incógnitas son:

125

Guía práctica de Algebra Lineal

Por lo tanto

es combinación lineal de

y

, por consecuente genera a

. Por comprobar que

es un conjunto linealmente independiente.

Sistema de ecuaciones Resolviendo el sistema

De la cual nuestro sistema quedaría de la siguiente forma

Ya que se cumplieron las 2 condiciones llegamos a la conclusión de que una base de

.

Ejemplo 69.- Demuestre que el conjunto base para

es una

.

Resolviendo para

.

Por comprobar que el espacio

Por lo tanto genera a

es

es generado por

es combinación lineal de

.

y

, por consecuente

. 126

Guía práctica de Algebra Lineal

Por comprobar que

es un conjunto linealmente independiente.

Nota: Cuando el sistema homogéneo tenga solución única los vectores serán L.I. y para la solución múltiple serán L.D.

Ya que se cumplieron las 2 condiciones llegamos a la conclusión de que una base de

.

Ejemplo 70.- Demuestre que el siguiente conjunto es una base para

Por comprobar que el espacio

Por lo tanto genera a

es

.

es generado por .

es combinación lineal de

y

, por consecuente

.

Por comprobar que

es un conjunto linealmente independiente.

127

Guía práctica de Algebra Lineal

Ya que se cumplieron las 2 condiciones llegamos a la conclusión de que una base de

es

.

Ejercicios propuestos. Demuestre que cada uno de los conjuntos

,

y una base para

son

.

Demuestre que cada uno de los conjuntos y es una base para

(polinomios de segundo grado).

Demuestre que cada uno de los conjuntos y son una base para

.

***Dimensión*** Si un espacio vectorial número

tiene una base que consta de

se denomina dimensión de

vectores, entonces el

y se denota por

consta solamente del vector cero, entonces la dimensión de

. Si se define como

cero. Algunos ejemplos de esta definición son La dimensión de La dimensión de

con las operaciones normales es . con las operaciones normales es . 128

Guía práctica de Algebra Lineal

La dimensión de Si

con las operaciones normales es

es un subespacio de un espacio vectorial

puede demostrar que la dimensión de

.

-dimensional, entonces se

es finita y que la dimensión de

es

menor o igual que . Básicamente la dimensión se determina al hallar un conjunto de vectores linealmente independientes que genere el subespacio. Este conjunto es una base del subespacio; la dimensión del subespacio es el numero de vectores que hay en la base.

Ejemplo 71.- Determine las dimensiones de los siguientes subespacios de a) b)

y

.

son números reales}

es un numero real}

Solución: El objetivo es encontrar un conjunto de vectores linealmente independientes que genere el subespacio. a) Al escribir el vector representativo

Se observa que

como:

es generado por el conjunto

Por los temas anteriormente vistos se puede demostrar que este conjunto es linealmente independiente.

Sistema de ecuaciones Resolviendo directamente el sistema

129

Guía práctica de Algebra Lineal

Por tanto, es una base de bidimensional de

y se concluye que

.

b) Al escribir el vector representativo

Se observa que

es un subespacio

como:

es generado por el conjunto

vector para compararlo, así que,

. No existe otro

es un espacio unidimensional de

Ejemplo 72.- Encuentre la dimensión del subespacio de

.

generado por:

Solución. Aunque

es generado por el conjunto , este no es una base de

un conjunto linealmente dependiente. En particular una combinación lineal de

Esto significa que

y

porque es

puede expresarse como

en la siguiente forma:

es generado por el conjunto

. Además

es

linealmente independiente, ya que ningún vector es un múltiplo escalar de otro, así se concluye que la dimensión de

es 2.

Ejercicios propuestos. En los siguientes ejercicios determine la dimensión del espacio vectorial dado. a) b)

En los siguientes ejercicios encuentre una base y determine la dimensión de . a) b)

es un número real} es un número real}

En los siguientes ejercicios encuentre una base y determine la dimensión de . a)

es un número real}

130

Guía práctica de Algebra Lineal

b)

son número reales}

4.7 Rango de una matriz y sistemas de ecuaciones lineales. En este tema se verá el espacio vectorial generado por los vectores renglón o por los vectores columna de una matriz. Después se demuestra cómo se relacionan estos espacios con las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales. Para una matriz

, las -adas correspondientes a los renglones de

se

denominan vectores renglón de . Renglones vectores de A

De manera similar, las

-adas correspondientes a las columnas de

se

denominan vectores renglón de .

Ejemplo 73.- Determinar los vectores columna y los vectores renglón de la matriz .

Los vectores renglón son: (1,2,3) y (4,5,6) Los vectores columna son: (1,4), (2,5) y (3,6)

Ejemplo 74.- Determinar los vectores columna y los vectores renglón de la matriz .

131

Guía práctica de Algebra Lineal

Los vectores renglón son: (1,2,3), (4,5,6) y (7,8,9) Los vectores columna son: (1,4,7), (2,5,8) y (3,6,9) Ahora se tiene otra definición respecto al tema: a) El espacio renglón de

es el subespacio de

generado por los

es el subespacio de

generado por los

vectores del renglón de . b) El espacio columna de vectores columna de . Si una matriz

es equivalente por renglones a una matriz

entonces el espacio renglón de

,

es igual al espacio renglón de .

Ahora se verá cómo se obtiene una base para el espacio renglón de una matriz. Teorema.- Si una matriz

es equivalente por renglones a una matriz

esta en forma escalonada, entonces los vectores renglón de

que

diferentes de 0

forman una base del espacio renglón de . A continuación se resolverá un ejemplo para aclarar el teorema anterior.

Ejemplo 75.- Encuentre una base para el espacio renglón de

Solución. Mediante las operaciones elementales en los renglones,

vuelve a escribirse

en forma escalonada como se muestra a continuación:

132

Guía práctica de Algebra Lineal

Aplicando el teorema que se vio anteriormente se concluye que los vectores renglón

diferentes de cero,

y

,

forman una base del espacio renglón de . Ahora se verá una aplicación de este método.

Ejemplo 76.- Encuentre una base del espacio de

generado por

Solución. El primer paso es usar los tres vectores para construir los renglones de una matriz .

Después

se escribe en forma escalonada como en el ejemplo anterior.

Por lo tanto, los vectores renglón de

diferentes de cero,

, forman una base del espacio renglón de forman una base del subespacio generado por

y

. En otras palabras, .

Para encontrar una base del espacio columna de una matriz el método anterior a la transpuesta de

solo aplicamos

( ), en la cual la columnas se hacen

filas. Para ejemplificar este caso tomaremos la matriz

del ejemplo anterior.

133

Guía práctica de Algebra Lineal

Se escribe

en forma escalonada.

Entonces la base del espacio renglón de

seria:

y

, lo que equivale a afirmar que forman una base del espacio columna de . Con lo cual se presenta el siguiente teorema: Teorema.- Si

es una matriz

de la columna de

, entonces el espacio renglón y el espacio

tienen la misma dimensión.

La dimensión del espacio renglón (o columna) de una matriz tiene el siguiente nombre especial. Definición.- La dimensión del espacio renglón (o columna) de una matriz llama rango de

y se denota por

se

.

Ejemplo 77.- Encuentre el rango de la matriz

Solución. La matriz se convierte a la forma escalonada:

Como

tiene tres renglones diferentes de cero, entonces el rango de

es 3.

Ahora veremos cómo se relaciona todo esto con los sistemas de ecuaciones lineales tanto en los sistemas homogéneos como en los que no son homogéneos.

134

Guía práctica de Algebra Lineal

***Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales*** Los conceptos de espacios, renglón, columna y rango algunas veces tienen aplicaciones interesantes a sistemas de ecuaciones lineales. La notación

permite concebir el conjunto solución del sistema como un

subconjunto de

. Las soluciones de estos sistemas se escriben como -adas

y se denominan vectores solución. En primer lugar se hablara de los sistemas homogéneos para luego dar paso al análisis de los sistemas no homogéneos. A continuación se enuncia un teorema en el cual habla de las soluciones del sistema homogéneo. Teorema.- Si

es una matriz de

, entonces el conjunto de todas las

soluciones del sistema homogéneo de ecuaciones lineales

Es un subespacio de

, este subespacio se denomina espacio solución del

sistema.

Ejemplo 78.- determine el espacio solución del sistema

para la

siguiente matriz.

Solución. Comenzamos por hacer transformaciones elementales en los renglones de la matriz aumentada

. El objetivo es dejar la matriz aumentada en su forma

escalonada.

El sistema de ecuaciones que da esta matriz escalonada es

La solución de este sistema es paramétrica, ocupando a

y

como variables

independientes y asignándoles un parámetro a cada una, se tiene que: 135

Guía práctica de Algebra Lineal

Esto significa que el espacio solución de solución

consta de todos los vectores

de la forma:

Po lo tanto

y

forman una base y se puede

concluir que el espacio solución de dimensiones de

es un subespacio de dos

.

En el ejemplo anterior el rango de la matriz y la dimensión del espacio solución están relacionados. A continuación se generaliza esta situación. Teorema.- Si

es una matriz

espacio solución de

es

con rango , entonces la dimensio del . En donde

es el número de variables.

Ejemplo 79.- Determine la dimensión del espacio solución del siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales.

Solución. Se obtiene la matriz en forma escalonada reducida de este sistema.

Comprobaremos si la reducción de esta matriz a la escalonada es correcta con el software:

136

Guía práctica de Algebra Lineal

Por lo tanto, la matriz de coeficientes

tiene un rango igual a 3 y, por el

teorema anterior, se sabe que la dimensión del espacio solución es

.

***Soluciones de un sistema lineal no homogéneo*** El siguiente teorema describe como se puede usar el rango de una matriz para determinar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Teorema.- Sea

un sistema de ecuaciones lineales en

1) Si

variables.

, entonces el sistema tiene solución

única. 2) Si

, entonces el sistema tiene infinidad

de soluciones. 3) Si

, entonces el sistema no tiene solución.

Ejemplo 80.- Determine cuantas soluciones tiene cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

Solución. Resolviendo para el inciso (a). Construyendo la matriz de coeficientes del sistema y convirtiéndola a su forma escalonada:

137

Guía práctica de Algebra Lineal

Construyendo la matriz aumentada del sistema y convirtiéndola a su forma escalonada:

Entonces:

Por lo tanto: Este sistema es consistente, ya que el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de su matriz aumentada. Además, este sistema tiene solución única por que el rango de

es igual al número de variables.

Resolviendo para el inciso (b). Construyendo la matriz de coeficientes del sistema y convirtiéndola a su forma escalonada:

Construyendo la matriz aumentada del sistema y convirtiéndola a su forma escalonada:

Entonces:

Por lo tanto:

138

Guía práctica de Algebra Lineal

Este sistema es consistente, ya que el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de su matriz aumentada. Además, este sistema tiene infinidad de soluciones porque el rango de

es menor que el número de variables.

Resolviendo para el inciso (c). Construyendo la matriz de coeficientes del sistema y convirtiéndola a su forma escalonada:

Construyendo la matriz aumentada del sistema y convirtiéndola a su forma escalonada:

Entonces:

Por lo tanto: Este sistema es inconsistente (no tiene soluciones), ya que el rango de la matriz de coeficientes es menor al rango de su matriz aumentada.

Ejercicios propuestos. En los siguientes ejercicios, determine (a) el rango de la matriz, (b) una base del espacio renglón y (c) una base del espacio columna.

139

Guía práctica de Algebra Lineal

En los siguientes ejercicios, determine una base del subespacio de generado por .

En los siguientes ejercicios, encuentre una base y la dimensión de las siguientes matrices.

En los siguientes ejercicios encuentre, (a) una base, (b) la dimensión del espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales dado.

En los siguientes ejercicios encuentre, (a) una base, (b) la dimensión del espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales dado.

140

Guía práctica de Algebra Lineal

4.8 Coordenadas y cambios de base ***Coordenadas*** Si

es una base de un espacio vectorial

, entonces todo vector

puede

expresarse en una y solo una forma como una combinación lineal de vectores en

. Los coeficientes de la combinación lineal son las coordenadas de

con

respecto a . A continuación se concreta el párrafo anterior en la siguiente definición: Definición.- Sean vector en

una base de un espacio vectorial

un

tales que

Entonces los escalares respecto a la base vector en

En

y

se denominan coordenadas de

. El vector de coordenadas de

con respecto a

con es el

denotado por

, la notación de los vectores de coordenadas se conforma con la notación

usual para las componentes. En otras palabras, cuando un vector en escribe como

significa que las

con respecto a la base normal

de

se

son las coordenadas de

.

Así, se tiene

Donde

es la base normal de

.

Ejemplo 81.- Determine el vector de coordenadas de respecto a la base normal

en

con

.

Solución. Como

puede expresarse como

Entonces se observa que el vector de coordenadas de

con respecto a la base

normal es simplemente:

141

Guía práctica de Algebra Lineal

Así, las componentes de

son las mismas que sus coordenadas con respecto

a la base normal.

Ejemplo 82.- El vector de coordenadas de

en

con respecto a la base (no

normal)

Es

. Determine las coordenadas de

con respecto a la base

(normal)

Solución. Dado que

, se puede escribir

Además, como con respecto a

, se concluye que las coordenadas de están dadas por

Ejemplo 83.- Encuentre el vector de coordenadas de

en

con

respecto a la base (no normal)

Solución. Se escribe

como una combinación lineal de

y

.

Igualando las componentes, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales

Resolveremos este sistema mediante el software:

142

Guía práctica de Algebra Lineal

Por lo tanto, de

con respecto a

, y el vector de coordenadas es:

***Cambio de base*** Lo que se hizo en los 2 ejemplos anteriores se denomina cambio de base. Es decir, se tenían las coordenadas de un vector con respecto a una base

y se

solicito encontrar las coordenadas con respecto a otra base

Ejemplo 84.- Halle la matriz de transición de de

a

para las siguientes bases

. Y

Solución.

Primero se usan los vectores en las dos bases para formar las matrices

Después, se junta

con

para formar la matriz

eliminación de Gauss-Jordan para volver a escribir

y

.

y se usa la como

.

143

Guía práctica de Algebra Lineal

Ahora se tiene que calcular la inversa de

la cual calcularemos con el

software:

Entonces se concluye que la matriz de transición de

Una observación importante es si

a

es la base normal en

es:

, entonces la

matriz de transición está definida por: Caso 1: Pero si

es la base normal, entonces Caso 2:

Ejemplo 85.- Encuentre la matriz de transición de bases de

a

para las siguientes

. y

Solución. Se empieza por formar la matriz

Después usamos la eliminación de Gauss-Jordan para obtener

Así, se obtiene que

144

Guía práctica de Algebra Lineal

Ejercicios propuestos. En los siguientes ejercicios se da el vector de coordenadas de una base (no normal) de respecto a la base normal de

con respecto a

. Determine el vector de coordenadas de

con

.

1) 2) 3) 4) 5) Determine el vector de coordenadas de

en

con respecto a la base .

1) 2) 3) 4) 5) Determinar la matriz de transición de

a

.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

145

Guía práctica de Algebra Lineal

CAPITULO V. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO En matemáticas, un espacio con producto interior es un espacio vectorial con una operación adicional, el producto interno (también llamada producto escalar o producto punto). Los espacios vectoriales con producto interno generalizan el concepto de Espacio Euclidiano (el cual posee el producto escalar como producto interno) y se estudian en análisis funcional.

5.1 Longitud y producto punto en Rn Producto Escalar o Producto Punto Definición Sean Rn. El producto punto, o producto escalar, de

dos vectores cualesquiera en se define como

Nota: Cuando se habla del vector u ó v se pondrá en negro, para distinguir de una letra normal. Ejemplo 45.- Determine el producto punto entre los vectores:

De la propia definición del producto punto entre los vectores:

Nota: Es importante observar que el producto punto es sólo entre vectores de las misma dimensión: no entre un escalar y un vector; no entre dos vectores de diferentes dimensiónes. También debe observarse que el resultado del producto punto es un escalar, no un vector. Ejemplo 46.- Determine el producto punto entre los vectores:

EJEMPLO 47.- Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas: 1. 5. 2. 6. 3. 7. 4. 146

Guía práctica de Algebra Lineal

1. Indefinida porque

es un escalar.

2. Definida porque es una suma entre escalares. 3. Definida porque es un escalar por un vector. 4. Definida. 5. Definida: es un escalar al cubo. 6. Indefinida: lo que falla es la suma de escalar con vector. 7. Definida: es un producto entre escalares Propiedades del Producto Punto Si u, v, y w son vectores en Rn y c es un escalar, entonces se cumple las propiedades siguientes. 1. 2. 3. 4. 5. EJEMPLO USANDO MATEMATICA Determine el producto punto entre los vectores

:

Ortogonalidad Definición Dos vectores

y , se dice que son vectores ortogonales, si

Nota: Ortogonalidad es sinónimo de perpendicularidad, esto es, el que dos vectores sean ortogonales significa que el ángulo entre ellos es de . Ejemplo 48.-

Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales:

Los vectores

no son ortogonales debido a que

Los vectores

sí son ortogonales debido a que: 147

Guía práctica de Algebra Lineal

Longitud o norma Definición La norma de un vector

se define como

Donde EJEMPLO 49.- Determinar la norma del vector: Directamente de la definición:

EJEMPLO 50.- Determine la norma del vector:

Distancia entre vectores Definición La distancia euclidiana entre los vectores

, se define como

EJEMPLO 51.- Determine la distancia entre el punto

y el punto

Directamente de la definición tenemos:

EJEMPLO 52.- Determine la distancia entre el punto .

y el punto

Vector unitario Definición Un vector se dice vector unitario o simplemente unitario, si EJEMPLO 53.- Diga si los siguientes vectores son unitarios:

148

Guía práctica de Algebra Lineal

El vector

no es unitario debido a que:

Mientras que el vector

sí es unitario porque:

EJEMPLO 54.- Diga si los siguientes vectores son unitarios: Mientras que el vector

Mientras que el vector

Ángulo entre vectores Definición El ángulo entre vectores que cumple

sí es unitario porque:

no es unitario porque:

, se define como el único número

EJEMPLO 55.- Determine el ángulo entre los vectores Como

De donde:

de donde

EJEMPLO 56.- Determine el ángulo entre los vectores Como

.

De donde:

de donde 149

Guía práctica de Algebra Lineal

Desigualdad de Cauchy-Schwarz La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para cualquier dos vectores en

se cumple

Además, la igualdad se cumple si y sólo si los vectores

son múltiplos

escalares entre sí. EJEMPLO 57.- Verifique la desigualdad de Cauchy-Schwarz para Se tiene que y y como 1 < Por tanto, la desigualdad se cumple y se tiene EJEMPLO 58.-

Verifica la desigualdad de Cauchy-Schwarz para :

Se tiene y

Por tanto, la desigualdad se cumple y se tiene Desigualdad del Triangulo Para cualesquiera dos vectores

en Rn se cumple

EJEMPLO 59.- Verificar la desigualdad del triángulo para

150

Guía práctica de Algebra Lineal

Por tanto, la desigualdad si se cumple y se tiene EJEMPLO 60.- Verificar la desigualdad del triángulo para

Por tanto, la desigualdad si se cumple y se tiene EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Determine el producto punto entre los vectores:

2. Determine la norma de los vectores: 3. Determine la distancia entre el punto 4. Determinar la distancia entre el punto

y el punto y el punto

5. Diga si los siguientes vectores son unitarios: 6. Determine el ángulo entre los vectores 7. Determine el ángulo entre los vectores 8. Verifique la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad del triangulo para

9. Verificar la desigualdad de Cauchy-Schwarz

151

Guía práctica de Algebra Lineal

5.2 Espacios con producto interno En las secciones anteriores se ampliaron de

a

los conceptos de longitud,

distancia y ángulo. En esta sección se extenderán los conceptos mencionados a espacios vectoriales en general. Esto se lleva a cabo por medio del concepto de producto interior de dos vectores. Ya

se tiene un ejemplo de esto, el producto punto en

. Este producto,

llamado producto interior euclidiano, es sólo uno de muchos productos internos que es posible definir en

. Para distinguir

entre los productos

interno normal y otros posibles productos internos se usa la siguiente notación. producto punto (producto interno euclideano para

)

producto interno general para el espacio vectorial V. Para definir un producto interno se procede de la misma manera como se definió un espacio vectorial general. Es decir, se enumera una serie de axiomas que deben satisfacer para que una función pueda calificarse como un producto punto o interno.

Definición del Producto Interno Sea u, v y w vectores en un espacio vectorial V y sea c cualquier escalar. Un producto interno sobre V es una función que asocia un número real

con

cada par de vectores u y v cumple los siguientes axiomas. 1. 2. 3. 4. EJEMPLO 61.- Un Producto interno Diferente en R2 Demuestre que la siguiente función define un producto interno en R2. donde 1. Como el producto de números reales es conmutativo, se tiene 2. Sea Entonces

152

Guía práctica de Algebra Lineal

3. Si c es cualquier escalar, entonces 4. Como el cuadrado de un número real es no negativo, se tiene Además, esta expresión es igual a cero sí y sólo si ).

(es decir, sí y solo si

EJEMPLO 62.- Un producto interior definido por un integral definida. Sean f y g funciones continuas de valores reales en el espacio vectorial

Demuestre que

Define un producto interior sobre

1. 2.

3.

4. Dado que

para toda x, se tiene

Con

Sí y sólo si f es la función cero en Definición de norma, distancia y ángulo. Sean

y

vectores en espacio V con producto interior.

1. La norma (o longitud) de

es

153

Guía práctica de Algebra Lineal

2. La distancia entre

y

es

3. El ángulo entre dos vectores

4.

diferentes ceros está dada por

son ortogonales si

EJEMPLO 63.- Determinación de productos interiores Sean

polinomios en

Use el producto

interior para determinar lo siguiente. a)

b)

c)

Nota: Para mayor facilidad el polinomio queda como

en notación de vector

y el polinomio

Como Entonces a) b) La norma de q está dado por . c) La distancia entre p y q está dada por

EJEMPLO 64.- Aplicación del producto interior del producto interior (Calculo) Como

Aplique el producto interior definido y las funciones

en

para determinar lo siguiente a) a) Como

b) se tiene

154

Guía práctica de Algebra Lineal

Por lo tanto, b) Para determinar

. se escribe

Por consiguiente,

.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Para los siguientes vectores determine

para

producto interior definido en

2. Use las funciones f y g dadas en

para encontrar

para el producto interior dado por

, con

y 3. Use el producto interior entre polinomios en Para determinar

.

para los polinomios.

155

Guía práctica de Algebra Lineal

5.3 Bases ortonormales: proceso de ortogonalización de GramSchmidt. Definición Un conjunto S de vectores en un espacio V con producto interior se llama ortogonal si todo par de vectores en S es ortogonal. Si, además, cada vector en este conjunto es unitario, entonces S se denomina ortonormal. Para

, la definición anterior es de la forma Ortogonal

Ortonormal

Si S es una base, entonces se denomina base ortogonal o base ortonormal, respectivamente. Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt Este procedimiento se denomina proceso de ortonormalización de GramSchmidt, en honor del matemático danés Jorgen Pederson Gram (1850-1916) y del matemático alemán Erhardt Schmidt (1876-1959). Consta de tres pasos. 1. Empezar con una base del espacio con producto interno. No se requiere, que sea una base ortogonal ni que consta de vectores unitarios. 2. Convertir la base dada a una base ortogonal. 3. Normalizar cada uno de los vectores de la base ortogonal a fin de obtener una base ortonormal. Teorema 5.1 Proceso de Ortonormalización de Gram-schmidt 1. Sea 2. Sea

una base de un espacio V con producto interno. donde wi está dado por

156

Guía práctica de Algebra Lineal

Entonces,

es una base ortogonal de V.

3. Sea

Entonces el conjunto

es una base

ortonormal de V.

EJEMPLO 65.- Aplique el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt a la siguiente base de R2.

Al aplicar el proceso mencionado se obtiene

donde

Con lo que

El conjunto de

es una base ortogonal de R2. Al normalizar cada vector

se obtiene

157

Guía práctica de Algebra Lineal

Por tanto

es una base ortonormal de

.

EJEMPLO 66.- Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt a la siguiente base de R3.

Al aplicar el proceso mencionado se obtiene

donde

Con lo que

donde

Con loque

El conjunto de los vectores de

es una base ortogonal de R3. Al normalizar cada uno se obtiene

158

Guía práctica de Algebra Lineal

es una base ortonormal de R3.

Así,

EJERCICIOS PROPUESTOS Aplicar el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt a la siguiente base de Rn. 1.

2.

3.

5.4 Modelos matemáticos y análisis de mínimos cuadrados. Aproximaciones por Mínimos Cuadrados Muchos problemas de ciencias físicas e ingeniería implican una aproximación de una función f mediante otra función g. Si f está en producto interno de todas las funciones definidas sobre suele elegirse

de un subespacio w dado de

(el espacio con , entonces g Por ejemplo para

aproximar la función

Podría elegirse una de las formas siguientes para g. 1. 2. 3. Antes de analizar métodos para determinar la función g es necesario definir cómo una función puede aproximar “mejor” otra función. Una forma natural sería requerir que el área acotado por las gráficas de f y g sobre el intervalo ,

159

Guía práctica de Algebra Lineal

sea mínima con respecto a otras funciones en el subespacio W, como se observa en la figura 5.1. Sin embargo, como los integrados que implican valores absolutos a menudo son difíciles de evaluar, es más común elevar al cuadrado el integrado para obtener

Figura 5.1. Área acotada por la función f y g.

Definición de la Aproximación por Mínimos Cuadrados Sea f continua sobre

y sea w un subespacio de

. Una

función g

en w se denomina aproximación por mínimos cuadrados de f con respecto a w si el valor de

es mínimo con respecto a todos los demás funciones en W.

160

Guía práctica de Algebra Lineal

EJEMPLO 67.- Encuentre la aproximación por mininos cuadrados para

Para esta aproximación es necesario determinar las constantes

que

minimizan el valor de

Al evaluar esta integral, se tiene

Ahora, considerando que

es una función de las variables

del cálculo se determinan los valores

de

, por medio

que minimizar a

.

Específicamente, igualando a cero las derivadas parciales

se obtiene las dos ecuaciones lineales siguientes en

161

Guía práctica de Algebra Lineal

La solución de este sistema con el software matemática.

De donde

Por consiguiente, la mejor aproximación lineal intervalo

para

sobre

el

está dada por

En la figura 5.2 se observa cómo queda la grafica de f y g sobre

162

Guía práctica de Algebra Lineal

Figura 5.2 Comportamiento de las graficas de f y g en

EJEMPLO 68.-

Determine la aproximación por mínimos cuadrados para

Para esta aproximación es necesario encontrar los valores de

que

minimizan el valor de

Al evaluar esta integral, se tiene

.

163

Guía práctica de Algebra Lineal

Ahora, considerando que

es una función de las variables

medio del cálculo se determinan los valores de

por

que minimizar a .

Específicamente, igualando a cero las derivadas parciales

se obtiene las tres ecuaciones lineales siguientes en

La solución de este sistema con el software matemática es

Con lo que

Por tanto, la función aproximación g es

En la figura 5.3 se comparan las gráficas de f y g.

164

Guía práctica de Algebra Lineal

Figura 5.3 Comportamiento de las graficas de f y g.

EJERCICIOS PROPUESTOS Encuentre la función de aproximación por mínimos cuadrados lineal g para función dada. 1. 2.

Encuentre la función de aproximación por mínimos cuadrados cuadrática g para función dada. 3. 4.

165

Guía práctica de Algebra Lineal

CAPITULO 6. APORTACIONES O CONTRIBUCIONES AL DESARROLLO DEL TRABAJO Hasta ahora la enseñanza en el MEIF ha seguido siendo tradicionalista (enfocada en el conocimiento que el maestro vierte sobre los alumnos) sin embargo esto no debe ser así, ya que el mismo modelo educativo exige que se enseñe con un sistema basado en las competencias que el estudiante posee para aprender (conocimientos previos, habilidades y actitudes).

Es de todos conocido que nuestros actuales estudiantes llegan a nuestra Universidad con un pleno dominio de la computación y que no es nada difícil para ellos el manejo de un software que les ayude a resolver sus problemas.

Así la aportación de esta Guía Práctica de Ejercicios a los estudiantes es la de servirles como un complemento a los conocimientos vistos en el aula, un apoyo para comprender mejor los temas, proporcionando definiciones redactadas en un lenguaje claro y sencillo, contar con una serie de ejercicios que les sirva de retroalimentación y un software libre que les ayude a resolver problemas propios de la experiencia.

La recomendación es que los maestros que impartan esta experiencia educativa utilicen esta Guía Práctica de Ejercicios como un complemento a la bibliografía que utilizan y ver el impacto que está tiene en los resultados obtenidos a final de semestre (numero de estudiantes aprobados en examen ordinario).

166

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