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Capitulo I - Lógica Matemática Todos los tópicos relativos a las matemáticas se razonan desde el punto de vista lógico y por lo tanto hay que tener muy en cuenta el enunciado de las proposiciones matemáticas y su consecuente validez. Nota: Validez significa que una proposición es verdadera o es falsa, pero nunca debe ocurrir que sea verdadero o falso a la vez. Enunciado: Se llama enunciado a toda frase u oración. Algunos enunciados son mandatos o interrogaciones o son expresiones de emoción. Otros en cambio son afirmaciones o negaciones que tienen la característica de ser verdadera o falsa. Ejemplos: a) ¿Qué estudia en la Universidad? b) Prohibido hacer bulla. c) Dos más tres, es igual a cinco. d) 5 > 8 e) x2 < 4y Proposición: Llamamos proposición a todo enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero (V) o de ser falso (F), pero nunca puede ser V y F a la vez. Notación: Denotaremos a las proposiciones con letras minúsculas: p, q, r, s, t. Si son “muchas” proposiciones entonces usaremos subíndices, tales como: p1, p2, p3, ..., pn q1, q2, q3, ..., qn Ejemplos: p : “dos más tres, es igual a cinco” q : “cinco es diferente de cero” t = “cuatro y diez son múltiples de diez” u = “2 es menor que 3 y 3 es múltiplo de 5” Si una proposición p es verdadera se dice que su validez o valor de verdad es v, se escribe V(p) = V o se lee “valor de verdad de p es igual a V”. Si una proposición p es falsa se dice que su validez o valor de verdad es F1 se escribe V(p) = F y se lee “valor de verdad de p es igual a F”. Ejemplo:

Proposición

Valor de Verdad

p : César Vallejo nació en París q : 2 + 3 < 10 – 3

V(p) = F V(q) = V

Enunciados Abiertos: Son expresiones que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso, es decir, no son proposiciones. Así, el enunciado x + 2 > 5 no se le puede atribuir el valor (V) o el valor de (F), a menos que reemplacemos la x por un número mayor que 3 en cuyo caso el enunciado se convierte en una proposición verdadera, o si el reemplazo se hace un número menor que 3, la proposición resulta falsa: Ejemplo: 1) x + y + z = 6 2) x es múltiplo de 4

Proposiciones Simples y Compuestas: Las proposiciones simples: Llamadas también proposiciones atómicas o elementales, son aquellos enunciados que tienen un solo sujeto y un solo predicado. Ejemplo: 1) Carlos Marx nació en Alemania. 2) La silla es de madera. Las proposiciones compuestas: Llamadas también proposiciones moleculares o coligativas, son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simplesEjemplo: 1) Carlos estudia Derecho o Contabilidad. 2) Si mañana el cielo está nublado, entonces lloverá.

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Propiedad Fundamental de las Proposiciones Compuestas: La verdad de la proposición compuesta depende de la verdad de cada una de las proposiciones componentes, sin que en esta dependencia de verdades tenga que ver la naturaleza, la significación o la estructura de la propiedad, a las proposiciones compuestas se les llama también funciones veritativas.

Conectivos Lógicos: Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos tenemos: La conjunción, disyunción, implicación, bicondicional, negación, contradicción, esto mostraremos en el siguiente cuadro. Nombre Conjunción Disyunción Implicación Bicondicional, equivalencia, doble implicación

Expresión Y O si ... entonces ... si y sólo si ...

Negación Contradicción

no ... no equivalente

Símbolo Lógico

∧ ∨ → ↔ ≡ ∼ ≡

Proposiciones Compuestas Lógicas: a)

Negación: Dada una proposición P, llamaremos la negación de p, a otra proposición que denotaremos por ∼ p, y que se le asigna el valor opuesto a p, y su tabla de verdad es: p

∼p

V F

F V

Ejemplo: 1. La tiza es blanca. Su negación es: no es cierto que la tiza es blanca. 2. Dada la proposición p = 5 x 7 = 35 Su negación: no es cierto que 5 x 7 = 35 b)

La Disyunción Inclusiva: Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción inclusiva o débil, es una proposición coligativa que resulta de unir las proposiciones p y q con el conectivo “o”, el cual se denota por el símbolo “∨”, se escribe “p ∨ q” y se lee “p o q”. La tabla de verdad para la disyunción es: p

q

V V V F F V F F Ejemplo: Juan habla inglés p

p∨q V V V F o V

Juan habla francés q

Maritza estudió italiano en un instituto p c)

o

quizá en Italia

V

q

Conjunción: La conjunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo “y” que se simboliza p y q, donde el principio lógico es “la conjunción p ∧ q es verdadero V, solo cuando p es verdadero y q es verdadero V, en todos los demás casos es falso”. Su tabla de verdad es: p

q

V V V F F V F F

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p∧q V F F F

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Ejemplo: Determinar el valor de verdad de la proposición “2 + 3 + 5 = 11 y 4 + 8 > 5 + 6” Si: p: 2 + 3 + 5 = 11 q: 4 + 8 > 5 + 6

⇒ ⇒

V(p) = F V(q) = V

∴ V (p ∧ q) = F Nota: Hay palabras como “pero”, “sin embargo”, “además”, “aunque”, “no obstante”, “a la vez”, etc. también une proposiciones conjuntivamente. d)

La Condicional: Dadas las proposiciones p y q, se denomina proposición condicional a la que resulta de unir p y q por el conectivo “si ... entonces ... ”, que se denota por el símbolo “→”, se escribe “p → q” y se lee “si p, entonces q”, donde el principio lógico es “la proposición implicativa es falso únicamente en el caso que la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa, siendo verdadera en todos los demás casos”. Su tabla de verdad es: p

q

p→q

V V V F F V F F

V F V V

A la proposición p se denomina antecedente y la proposición q consecuente. Ejemplo: Si Patricia consigue visa de turista, entonces viajará a Japón p

→

q

Ejemplo: Determinar el valor de verdad de la proposición: “Si los monos son humanos entonces la tierra es plana” p = los monos son humanos q = la tierra es plana ∴ V (p → q) = V

⇒ ⇒

V(p) = F V(q) = F

Ejemplo: Simbolizar: 1B es múltiplo de 2 puesto que es un N° par si: p = 18 es múltiplo de 2 q = 18 es número par Quedaría: q → p Ejemplo: De la falsedad de la proposición: (p → ∼ q) ∨ (∼ r → s) Determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares. a. (∼ p ∧ ∼ q) ∨ ∼ q b. (p → q) → [(p ∨ q) ∧ ∼ q] Solución: (p → ∼ q) ∨ [(∼ r → s] ≡ F F

F

p→∼q≡F p≡V

∼q≡F→q≡V •

(∼ p ∧ ∼ q) ∨ ∼ q (F ∧ F) ∨ F F∨F F

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∼r→s≡F ∼r ≡V ⇒ r≡F

r≡F

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(p → q) → [ (p ∨ q) ∧ ∼ q] (V → V) → [ (V ∨ V) ∧ F ] V →[ V ∧ F] V → F F

•

e)

La Bicondicional: La doble implicación o bicondicional de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta mediante el conectivo lógico “si y sólo si” y se simboliza p ↔ q son verdaderos V o son falsos F, en otros casos es falso F. Su tabla de verdad es: p

q

V V V F F V F F

p↔q V F F V

Ejemplo: Jack comprará una casa si y sólo si obtiene un préstamo del banco. p↔q f)

La Disyunción Exclusiva: La disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta mediante conectivo lógico “o” y se simboliza p ∆ q, donde ambas proposiciones p y q tengan valores de verdad opuestos y es falsa si ambas tienen idénticos valores. Su tabla de verdad es:

p

q

p∆q

V V V F F V F F

F V V F

Ejemplo: O Elvia es contadora o es administradora. p ∆ q

Proposiciones Compuestas: Mediante los conectivos lógicos se pueden combinar cualquier número finito de proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser conocidos, construyendo su tabla de verdad, en dicha tabla se puede indicar los valores resultantes de estas proposiciones compuestas para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de proposiciones compuestas. Ejemplo: La tabla de verdad de la proposición compuesta de: [ (p → q) ∧ (q → r) ] → (p → r) p

q

r

[(p → q)

∧

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

V V F F V V V V

V F F F V F V V

(q → r)] → V F V V V F V V

V V V V V V V V

(p → r) V F V F V V V V

Jerarquía de los Conectivos Lógicos: Si se tiene una proposición compuesta con varios conectivos lógicos, para realizar las operaciones primeramente se debe colocar los paréntesis adecuadamente empezando con las proposiciones que se encuentran dentro de los paréntesis anteriores, luego siguen todas las negaciones y se avanza de izquierda a derecha (los corchetes son considerados como paréntesis).

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Ejemplo: Hallar la tabla de valor de verdad de la proposición: [ p ∨ ( q → ∼ r) ] ∧ [ (∼ p ∨ r) ] ↔ ∼ q ] p

q

r

[ p ∨

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

V V V V F V V V

( q → ∼ r) ] ∧ F V V V F V V V

[(∼ p ∨ r)] ↔ ∼ q ]

F V V F F F V V

V F V F V V V V

F V V F F F V V

Tautologías, Contradicciones y Contingencias: a)

Tautologías: Son proposiciones compuestas que siempre son verdaderos cualquiera que sea el valor de las proposiciones componentes.

b)

Contradicciones: Son proposiciones compuestas que siempre son falsas cualquiera que sea el valor de las proposiciones compuestas.

c)

Contingencia: Son proposiciones compuestas que no son ni tautologías ni contradicciones, es decir, son proposiciones que en algunos casos es F y en otros V.

Ejemplos: Determinar si son tautología, contradicciones o contingencias. a) b) c)

∼ { ∼ [ p ∨ (∼ q → p) ] ∨ ∼ [ ( p ↔ q ) → (q ∧ ∼ p) ] [(∼p∨q)∧∼q]→∼p [ ∼ p ∧ ( q ∨ r ) ] ↔ [ (p ∨ r ) ∧ q ]

Solución: a)

b)

c)

p

q

∼

{ ∼ [p ∨ (∼q→p)]

V V F F

V F V F

V F V F

p

q

[(∼p ∨ q )

V V F F

V F V F

p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

F F F V

V F V V

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V V V F

V V V F

∼ [ (p↔q)

→ (q∧∼p) ]

F V F V

F V F F

V F V V

F V V F

∧ ∼q] → ∼ p F F F V

[∼p ∧(q∨r)] F F F F V V V F

∨

V V V F V V V F

V V V V

↔ F F V V V F F V

[ (p ∨ r) V V V V V F V F

∧q ] V V F F V F F F

F F V F

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Equivalencias Notables: 1.

Ley de Doble Negación: a) ∼ ( ∼ p ) ≡ p

2.

Ley de Idempotencia: a) p ∧ p ≡ p b) p ∨ p ≡ p

3.

Leyes Conmunitativas: a) ( p ∧ q ) ≡ ( q ∧ p ) b) ( p ∨ q ) ≡ ( q ∨ p ) c) p↔ q ≡ q↔p

4.

Leyes Asociativas: a) p ∧ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∧ q ) ∧ r b) p ∨ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∨ q ) ∨ r c) p ↔ ( q ↔ r ) ≡ ( p ↔ q ) ↔ r

5.

Leyes Distributivas: a) p ∧ ( q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q ) b) p ∨ ( q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q ) c) p → ( q ∧ r ) ≡ ( p → q d) p → ( q ∨ r ) ≡ ( p → q

∨( ∧( )∧ )∧

p∧r) p∨r) (p→r) (p→r)

6.

Leyes de Morgan: a) ∼ ( p ∧ q ) ≡ ∼ p ∨ ∼ q b) ∼ ( p ∨ q ) ≡ ∼ p ∧ ∼ q

7.

Leyes del Condicional: a) p → q ≡ ∼ p ∨ q b) ∼ ( p → q ) ≡ p ∧ ∼ q

8.

Las Leyes del Bicondicional: a) ( p ↔ q ) ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) b) ( p ↔ q ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∨ ∼ q )

9.

Ley a) b) c) d)

de la Absorción: p∧(p∨q) ≡ p p∧(∼p∨q) ≡ p∧q p∨(p∧q) ≡ p p ∨ (∼ p ∧ q ) ≡ p ∨ q

10. Leyes de Transposición: a) (p → q ) ≡ ∼ q → ∼ p b) p↔q ≡ ∼q↔∼p 11. Leyes de Exportación: a) ( p ∧ q ) → r ≡ p → ( q → r ) b) ( p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ..... ∧ pn ) → r ≡ ( p1, p2, ..... pn - 1 ) → (pn → r ) 12. Elementos Neutros para la Conjunción y Disyunción: a) p ∧ V ≡ p b) p ∨ F ≡ p 13. También: a) ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ∼ q ) ≡ p b) ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ∼ q ) ≡ p

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Circuitos Lógicos: Los circuitos lógicos se relacionan con el circuito eléctrico. Se identifica la verdad de la proposición con el paso de corriente y la falsedad de la proposición con la interrupción de la corriente. Cuando pasa la corriente:

(p)

Cuando no pasa la corriente:

(∼p)

En lógica: si p representa el paso de corriente ∼p, representa el no paso de corriente. Si: p

q

p interruptor q interruptor, conectados en SERIE Para que el foco se prenda (de Luz) p y q deben dejar pasar la corriente es decir los dos interruptores deben estar cerrados, hasta que uno de los interruptores esté abierto, entonces, no pasa corriente, por lo tanto el foco no se prenda. Este circuito corresponde a la tabla de valores de p ∧ q. Analizamos la tabla (p ∧ q) de valores de p ∨ q. p

q

V

V

(p ∧ q) -------------

V

Sí, prende el foco Cerrado

Cerrado F F

V Cerrado

No se prende Abierto F

F Abierto

V

No se prende

Cerrado F

F Abierto

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F Abierto

No se prende

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Si los interruptores se conectan en paralelo se obtiene un circuito que funciona mediante la tabla de valores de p ∨ q. p: Interruptores q: Interruptores Conectados en paralelo

p q p

q

p∨q V

V

V Cerrado

Sí, el foco se prende Pasa corriente

Cerrado V V

F Cerrado

Sí, el foco se prende Pasa corriente

Abierto V F

V Abierto

Sí, el foco se prende Pasa corriente

Cerrado F F

F Abierto

No, el foco no se prende No pasa

Abierto

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Cuantificadores: a)

Cuantificador Universal: Ejemplo: Enunciado abierto: p(x) = x + 3 múltiplo de 2 Para todo x + 3; es un número múltiplo de 2 En símbolo ∀ x + 3; es un número múltiplo de 2 Como observas, delante del enunciado abierto hemos escrito ∀ (Para todo), entonces el enunciado abierto con el símbolo ∀ se convierte en proposición. ∀ se le denomina cuantificador universal.

b)

Cuantificador Existencial: Ejemplo: Enunciado abierto: p(x) = x + 3 múltiplo de 2 Existe por lo menos un número x + 3 que es múltiplo de 2 Existe un número x + 3 que es múltiplo de 2 En símbolo ∃ x + 3 que es múltiplo de 2

Como observas, delante del enunciado abierto hemos escrito ∃ (existe) (Existe por lo menos), entonces el enunciado abierto con el símbolo ∃ se convierte en proposición. ∃ se le denomina cuantificador existencial. Ejercicios: 1.

Para el conjunto A = { 1; 2; 3; 4; 5 } tenemos: ∀ x ∈ A, 2x + 3 < 15 y se lee: “Cada x ∈ A” Cumple 2x + 3 < 15 ó “todo elemento x ∈ A” Cumple 2x + 3 < 15; y es una proposición verdadera ¿porqué? • ∃ x ∈ A / x2 + 4 < 12 es una proposición verdadera ¿porqué? ¿cómo se lee? • ∀ x ∈ A, x2 + 4 < 12 es una proposición falsa ¿porqué? • La proposición “Todo x de A cumple”: 3x + 1 < 5x – 2 denotamos: ∀ x ∈ A, 3x + 1 < 5x – 2 es una proposición falsa ¿porqué?

2.

Si A = { 1; 2; 3; 4; 5 } proposición: • ∃ x ∈ A / 3x + 4 = 14, es una proposición falsa ¿porqué? • ∃ x ∈ A, / x2 + 4 < 12, es verdadera ¿porqué? • ∃ x ∈ A / 2x + 1 < 10, es verdadera ¿porqué?

c)

Negación de Proposiciones con Cuantificadores Universales: Ejemplos:

1.

La negación de: ∀ x ∈ N, 2x + 3 = 7, es; ∃ x ∈ N / 2x + 3 = 7 que es verdadera, pues x = 2 cumple la propiedad

2.

Si A = { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 }, tenemos: • ∀ x ∈ A, x es primo, su negación es: ∃ x ∈ A / x no es primo, es una proposición verdadera, pues para x = 8 ó x = 6 que están en A se cumple la propiedad. Entonces: La negación de ∀ x ∈ A, p(x) es ∃ x ∈ A / ∼ p(x)

d)

Negación de Proposiciones con Cuantificador Existencial: Ejemplos:

1. 2. 3.

4.

Si ∃n, n ∈ N, n + 2 < 8 su negación es: ∀ n, n ∈ N, ∼ ( n + 2 ) < 8 Existe un x ∈ N, tal que x es número primo su negación es: Para todo x ∈ N, x no es primo. Sea A = { 1; 2; 3 } Si tenemos la proposición: ∃ x ∈ A; x + 5 = 8 Su negación es ∀ x ∈ A; no es cierto que x + 5 = 8 Entonces: La negación de ∃ x ∈ A, p (x), es: ∀ x ∈ A, ∼ p(x) Existe una ciudad del Perú que es la Capital; su negación es: Todas las ciudades del Perú no son la capital del Perú. ∃ ciudad Capital del Perú, su negación es, ∀ ciudad del Perú, no es la capital del Perú

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Ejercicios

1. a) b) c) d) e) f) g)

Si 4 + 3 = 7, entonces 6 + 4 = 10 La UJCM está en Moquegua o Tacna No es verdad que 3 + 3 = 7, si y sólo si 8 + 2 = 15 No es verdad que: 2 + 2 = 5 o que 2 + 2 = 4 4 + 8 = 12 y 9 – 4 = 5 La UJCM está en Tacna 3+4=7y3–1=1 2.

a) b) c) d) e)

Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: ( ( ( ( ( ( (

V) V) F) F) V) F) F)

Determinar si es una tautología, contradicción o contingencia:

∼{∼[p∨(∼q →p)] ∨ ∼ [(p↔∼ q)→(q∧∼ p)]} ∼p∧(q∨r)]↔[(p∨r)∧q] p→(r∨∼q)] (∼ p ∧ q ) → ∼ r ] ↔ [ r ∧ ∼ ( p ∨ ∼ q ) ] p→(q→r)]↔[(p∧∼r)→~q]

[ [ [ [

Solución: a)

El esquema molecular es igual a: [p∨(∼q →p)]∧

b)

p

q

[ p

V V F F

V F V F

V V F F

[(p↔∼ q)→(q∧∼ p)] ( ∼ q →p ) ] ∧ [ ( p ↔ ∼ q ) → ( q ∧ ∼p ) ]

∨ V V V F

V V V F

V F V F

F V V F

V F V V

↔

[ ( p

F F V V V F F V

V V V V V F V F

Es una CONTINGENCIA [∼p∧(q∨r)]↔[(p∨r)∧q] p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

[ ∼p

∧

(q∨r) ]

F F F F V V V V

F F F F V V V F

V V V F V V V F

p V V V V F F F F

→ V F V V V V V V

∴ CONTINGENCIA c)

F F V F

[p→(r∨∼q)] p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

[

∴ CONTINGENCIA

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(r∨∼q) ] V F V V V F V V

∨

r)∧q] V V F F V F F F

V V F F V V F F

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d)

[ (∼ p ∧ q ) → ∼ r ] ↔ [ r ∧ ∼ ( p ∨ ∼ q ) ] p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

∴

e)

[(∼p ∧ q) → ∼ r ] F F F F V V F F

V V V V F V V V

F V F V F V F V

↔ F F F F F F F F

[

r

∧ ∼(p∨∼q)]

V F V F V F V F

F F F F V F F F

F F F F V V F F

CONTRADICCIÓN

[p→(q→r)]↔[(p∧∼r)→q] p

q

r

V V V V F F F F

V V F F V V F F

V F V F V F V F

[

p

→

V V V V F F F F

V F V V V V V V

(q→r) ] ↔ V F V V V F V V

V V V V V V V V

[ ( p ∧ ∼r ) F V F V F F F F

→ V F V V V V V V

~q] F F V V F F V V

∴ TAUTOLOGÍA 3.

a) b) c)

El valor de verdad de: (p → ∼ q) ∨ ( ∼ r → s) es falso, determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares:

( ∼ p ∧ ∼ q) ∨ ∼ q (∼r∨q)↔[(∼q∨r)∧s] (p→q)→[(p∨q)∧∼q] Solución: (p → ∼ q) ∨ ( ∼ r → s) ≡ F ∼r→s≡F p→∼q≡F p≡V q≡V

r≡F s≡F

a)

( ∼ p ∧ ∼ q) ∨ ∼ q (F∧F) ∨ F F ∨ F F

b)

(∼r∨q)↔[(∼q∨r)∧s] (V∨V)↔[(F∨F)∧F] V↔(F∨F) V↔ F F

c)

(p→q)→[(p∨q)∧∼q] (V→V)→[(V∨V)∧F] V →(V ∧F) V →F F

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4.

Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas:

∼[∼ (p∧q)→∼q]∨q ∼[ (p∧q) ∨ ∼q ]∨q [∼(p ∧ q) ∧ q ]∨q [(∼p∨∼q)∧ q ]∨q q 5.

Si definimos “#” como ( p # q ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ∼ ( p ∧ q ). Hallar una expresión equivalente a p # q. (p#q)≡(p∨q)∧∼(p∧q) (p#q)≡(p∨q)∧ (∼p∨∼q) (p#q)≡[(p∨q)∧ ∼p] ∨ [(p∨q)∧ ∼q] ( p # q ) ≡ (∼ p ∧ q ) ∨ ( ∼ q ∧ ∼ p ] (p#q)≡ ∼( q→p)∨ (p#q)≡ ∼[ (p→q)∧

∼(p→q) ∼(q→p)]

(p#q)≡ ∼[ p↔q)] 6.

Demostrar que son equivalentes:

∼[∼p↔q ] ≡ (p↔q) ∼[(∼p∧q)∨(p∨ ∼q)] ∼(∼p∧q)∧ ∼(p∨ ∼q) (p ∨∼q)∧ (∼p ∧q) (q→p) ∧ (p→q) (q↔p) ∴ (p↔q) 7.

Simplificar: [ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ ∼ q ) ] ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q )

Solución: [(p∧q)∨(p∧∼q)]∨(∼p∧∼q) [ p∧(q ∨ ∼q)]∨(∼p∧∼q) [p∧V]∨(∼p∧∼q) p∨(∼p∧∼q) p∨∼q 8.

a) b) c)

Dadas las proposiciones:

q: “ 7 es un número racional” p y r cualquier proposición, además se sabe que: ∼ [ ( r ∨ q ) → ( r → p ) ] es verdadera. Hallar el valor de verdad de: r→(∼p∨∼q) [r↔(p∧q)]↔(q∧∼p) (r∨∼p)∧(q∨p) Solución: Del ejercicio tenemos que q ≡ F, además: (r∨q)→(r→p)≡F V

F

Por lo tanto: r∨q≡V

r→p≡F

r=V

r=V

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a)

q=F r→(∼p∨∼q) V→(V∨V) V→V V

p=F

b)

[r↔(p∧q)]↔(q∧∼p) [V↔(F∧F)]↔(F∧ V) (V↔F)↔F F↔F V

c)

(r∨∼p)∧(q∨p) (V∨V)∧(F∨F) V∧F F 9. Dado: [ ( p ↔ q ) ∧ (q → ∼ r ) ] → ( p → r ) ≡ F

a) b) c)

Encontrar el valor [p →(q→ r)] (p ∧ q∧ r) ↔ [p →(p∧ r)]

de verdad de: → p (p∨r) ↔ (p∧q)

Solución: Dado que: [ ( p ↔ q ) ∧ (q → ∼ r ) ] → ( p → r ) ≡ F V Por lo tanto: [ ( p ↔ q ) ∧ (q → ~ r ) ] ≡ V V p↔q p=V q=V

F

V ≡

q→∼r r=F

V

a)

[p →(q→ r)] [V→(V→ F)] [V →F] F

→ → → → V

b)

(p ∧ q∧ r) ↔ (p∨r) (V ∧ V∧ F) ↔ (V∨F) F ↔ V F

c)

[p →(p∧ r)] [V →(V∧ F)] (V → F) F

↔ ↔ ↔ ↔ F

≡

V

p V V V

(p∧q) (V∧V) V V

10. Simplificar a su mínima expresión:

∼{∼[∼(p∧q)∧(∼p∧∼q)]} Solución:

∼(p∧q)∧(∼p∧∼q) (∼p∨∼q)∧(∼p∧∼q) (∼p∨∼q)∧ ∼p∧∼q

∼p ∧ ∼q

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 11. Simplificar la siguiente expresión lógica:

[∼(∼p →q)↔∼(p∨q)] ∨ [p→(∼p∧q∧r)] Solución:

[∼(∼p →q)↔∼(p∨q)] ∨ [p→(∼p∧q∧r)] V ∨ (∼p) V (Tautología) 12. Simplificar la proposición: { [ p → (q ∧ ∼ r) ] ∧ [ p ∧ (q → r) ] } ∨ { (p ∧ q) ∨ [ r ∧ (∼r ∨ q) ∧ p ] }

Solución: Desarrollando la primera llave: [ p → (q ∧ ∼ r) ] ∧ [ p ∧ (q → r) ] [ ∼ p ∨ (q ∧ ∼ r) ] ∧ [ p ∧ ( ∼ q ∨ r ) ] [ ∼ p ∨ (q ∧ ∼ r) ] ∧ [ p ∧ ∼ ( q ∧ ∼ r ) ] [ ∼ p ∨ (q ∧ ∼ r) ] ∧ ∼ [ ∼ p ∨ ( q ∧ ∼ r ) ] F En la segunda llave tenemos: (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ∨ (p ∧ q) ∨ p∧ De las dos tenemos:

[ r ∧ (∼r ∨ q) ∧ p ] [(r∧ q) ∧p] [(p∧ q) ∧r] q

F∨(p∧q) p∧q 13. Dado: p*q ≡ { [ ( p → q ) → p ] ∨ q } ∧ p Simplificar: [(∼p∧r)*q ] *(p →q) Solución: p*q ≡ { [ ∼ ( ∼ p ∨ q ) ∨ q } ∧ p p*q ≡ { [ ( p ∧ ∼ q ) ∨ p ] ∨ q } ∧ p p*q ≡ { p ∨ q } ∧ p p*q ≡ p Reemplazando tenemos: [ (∼p∧r)*q] * (p↔q) (∼p∧r)*(p↔q)

∼p∧r 14. Dado: p @ q ≡ { ∼ p → [ p → ( q ∧ t ∧ r ) ] } ∧ p Simplificar: [ ( p → q ) @ ( q ∧ p ) ] @ ( p ↔ q ) Solución: p@q ≡{p ∨ [p→(q∧t∧r)]}∧p p@q ≡p

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Luego la expresión simplificada será: [(p→q)@(q∧p)] @ (p↔q) (p→q)@(p↔q) p→q ∼p∨q 15. Se define: p # q ≡ { p ↔ ( ∼ p ∧ ∼ q ) } ∨ p Simplificar: ( p # ∼ p ) # q Solución: p#q≡{p↔ (∼p∧∼q)} ∨p p#q≡{[p∧(∼p∧∼q)] ∨ ∼[p∨(∼p∧∼q)]}∨p p#q≡{(F)] ∨ ∼(p∨ ∼ q) }∨p p#q≡(∼p∧ ∼q) }∨p p#q≡ p ∨q Reemplazando tenemos: (p#∼p)#q (p∨ ∼p)∨q V∨q V (Tautología) 16. Si: p

q

p*q

V V F F

V F V F

F V F F

Simplificar:

[(∼p*q) ∨∼(p*q)]∨∼ p

Solución: Analizando la tabla tenemos que: p*q ≡ p∧∼q Reemplazando tenemos: [(∼p*q) ∨∼(p*q)]∨∼p [(∼p∧∼q) ∨∼(p∧∼q)]∨∼p [(∼p∧∼q) ∨ (∼p∨q)]∨∼p [(∼p∧∼q) ∨ ∼p∨q ]∨∼p (∼p∨q) ∨∼p

∼p∨∼q p→q 17. Si: p V V F F

q V F V F

Simplificar:

[(p*∼q)#p] ∧(q# ∼p)

p*q F F F V

Solución: De la tabla tenemos:

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p#q F V V V

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” p*q ≡ ∼(p∨q) ≡ ∼p∧∼q p#q ≡ ∼(p∧q) ≡ ∼p∨∼q Reemplazando tenemos: [(p*∼q)#p] ∧(q# ∼p) [(∼p∧q)#p] ∧(∼q∨p) [∼(∼p∧q)∨∼q] ∧(∼q∨p) [(p∨∼q)∨∼q] ∧(∼q∨p) (p∨∼q) ∧ (p∨∼q) p∨∼q 18. Si: p

q

p*q

V V F F

V F V F

F F V F

Hallar p # q en: p#q ≡ ∼ [{(p→q)*(q→p)}∨(p*q)] Solución: De la tabla tenemos que: p*q ≡ ∼ p∧q Reemplazando tenemos: p#q ≡ ∼ [{(p→q)∧(q→p)}∨(∼p∧q)] p#q ≡ ∼ [{(p∧q)∧(∼ q∨p)}∨(∼p∧q)] p#q ≡ ∼ [(p∧∼q) ∨ (∼p∧q)] p#q ≡ ∼ (p∧∼q) ∧ ∼ (∼p∧q) p#q ≡ (∼p∨q) ∧ (p∨ ∼q) p#q ≡ [(∼p∨q) ∧p] ∨ [(∼p∨q) ∧ ∼q] p#q ≡ (p∧q) ∨ (∼p∧ ∼q) 19. Simplificar el siguiente circuito: ∼p ∼q p

∼r

p q

∼p

q Solución:

[ ( ∼ p ∧ ∼ q ) ∨ (p ∨ q) ] ∧ { p ∨ [ q ∧ ( ∼ r ∨ ∼ p ) ] } [ (p ∨ ∼ q ) ] ∧ [ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ( ∼ r ∨ ∼ p ) ) ] V∧[(p ∨ q)∧ V V∧(p∨q) p∨q p q

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20. Simplificar el circuito: P

∼q

r

q

q

∼r

∼r

q

r

q

Solución: { ( p ∨ q ) ∧ [ ( r ∧ ∼ q ) ∨ (q ∨ ∼ r) ] } ∨ [ ( ∼ r ∧ q ) ∨ ( r ∧ ∼ q ) ] [(p∨ q)∧[(r∨q)∨∼r]}∨[(∼r∧q)∨(r∧∼q)] [(p∨ q)∧ V}∨[(∼r∧q)∨(r∧∼q)] (p∨ q)∨(∼ r∧q)∨(r∧∼ q) p∨ q ∨(q∧∼r)∨(r∧∼ q) p∨ q ∨(∼q∧ r) p∨ (q ∨ r) p∨q∨r p q r

21. Simplificar el circuito: p

q

r

q

∼q

r

∼p

∼q

r

Solución: (p∧q∧r)∨(p∧∼q∧r)∨ (∼p∧q∧r) [(p∧ r)∧q]∨[(p∧r)∧ ∼q](∼p∧∼q∧r) [(p∧ r)∧(q∨ ∼q] ∨ (∼p∧∼q∧r) (p∧ r)∨[r∧(∼p∧∼q) r∧ [p∨ (∼p∧∼q) r∧ (p∧∼q) p r

∼q

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22. Hallar “x” tal que:

p

q

p

q

p p

q

p

q

p

p x Sea equivalente a p. Solución: ( p ∧ q ) ∨ { p ∧ [ ( p∧q ) ∨ p ∧ ( p∧q ) ∨ p ∧ ( ( p∧q ) ∨ x ) ) ] } ≡ p (p∧q)∨{p ∧[ p∧p∧[(p∧q)∨x]]} ≡ p (p∧q)∨ p ∧[(p∧q)∧ x] ≡ p p∧[(p∧q)∨x] ≡ p [p∧q]∨(p ∧ x) ≡ p p∧(q ∨ x)≡ p x ≡ p 23. Representar gráficamente las siguientes expresiones: a)

p →q

≡ ∼p∨q

∼p

q b)

(p∨q)∧r p r q

c)

[p∨q∨(∼p∧∼q)] ∧ [(∼p∧q)∧p]

∼p

p q

∼p

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p

∼q

q

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24. Determinar la menor expresión que representa al circuito:

∼p ∼q

p

∼q p

q

p∧[∼p∨(∼q∨(p∧q))]∧∼q p∧[∼q ∨ ( p ∧ q ) ]∧∼q p∧[∼q∨p]∧∼q p∧∼q ∼(p→q) 25. Simplificar y hallar el equivalente a los circuitos dados. a)

r s

∼r ∼r ∼s p r

∼r {[(r∧s)∨(∼r∧∼s)]∧∼s}∨[r∧(p∨∼r)] {[(r∧s)∧ ∼s] ∨ [(∼r ∧ ∼s)∧ ∼s)]} ∨ (r ∧p) [(r∧ ∼s)∨∼s] ∨ (r ∧ p) ∼s ∨ (r ∧ p) ∼s p

r

b) p

q

∼q

∼p ∼q

p

p

∼q

q ∼p { [ (p ∨ ∼q) ∧ (q ∨ ∼p) ] ∨ [ (p ∧ ∼q) ∨ (p ∧ ∼p) ] } ∧ (p ∨ ∼q) [ ( p ∨ ∼ q ) ∧ ( q ∨ ∼ p ) ] ∨ (p ∨ ∼ q) p ∨ ∼q p

∼q

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c)

∼p

∼q

p

q

∼p

p q

∼p

∼p

p

[(∼p∧∼q)∨p∨q]∧[(p∧q)∨(∼p∧∼q)∨p]∧ ∼p [(∼q∨p)∨q]∧[ p∨(∼p∧∼q)∨p]∧ ∼p [ p∨ ∼q]∧ ∼p (∼p ∧ ∼q)

∼p

∼q

26. Simbolizar: “Si Juan participa en un comité electoral de la universidad entonces los estudiantes se enojarán con él, y si no participa en un comité electoral de la universidad entonces las autoridades universitarias se enojarán con él. Pero Juan participará en un comité electoral de la universidad o no participará. Por lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se enojarán con él. Solución: p = Juan participará en un comité electoral. q = Los estudiantes se enojarán con Juan. r = Las autoridades universitarias se enojarán con Juan. [(p→q)∧(∼p→r)∧(p∨∼p)]→(q∨r) 27. “Si Anita decía la verdad, entonces Sócrates corrompía a la juventud y si el tribunal lo ordenó equivocadamente, entonces Anita no es la culpable. Pero, Sócrates no corrompía a la juventud o Anita es la culpable. Por lo tanto Anita no decía la verdad o el tribunal no condenó a Sócrates equivocadamente”. Solución: p = Anita decía la verdad. q = Sócrates corrompía a la juventud. r = El tribunal condenó equivocadamente a Sócrates. s = Anita es culpable. [ ( p → q ) ∧ ( r → ∼ s ) ∧ (∼ q ∨ s ) ] → [ ∼ p ∨ ∼ r ]

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Problemas Propuestos 1.

Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. II. III. IV. V.

Si 3 + 2 = 7 entonces 4 + 4 = 8. No es verdad que 2 + 2 = 5, si y sólo si 4 + 4 = 0. París está en Inglaterra o Londres está en Francia. No es verdad que, 1 + 1 = 3 ó 2 + 1 = 3. Es falso que: si París está en Inglaterra, entonces Londres está en Francia.

a) VFFFF 2.

b) VVFFF

b) VFFV

d) VVVF

e) VVVV

c) (p ∨ q ) ↔ ∼ q

b) p ∨ q e) (p ∧ q ) ↔ p

La proposición: p ∧ { [ q ∧ ( q → r ) ] ∨ ∼ p ] es equivalente a: a) p ∧ q ∧ r d) p → ( q ∨ r )

b) p ∧ ( ∼q ) ∧ r e) ( p ∨ q ) ∧ r

c) p ∧ q ∧ ( ∼r )

La proposición [ ∼ p ∨ q → p ∧ q ] ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q ) equivale a: a) ∼ p ∨ q d) p ∧ ∼ q

6.

c) VFFF

La proposición: [ ∼ p → ( ∼ p ∧ q ) ] ↔ [ ∼ q ∧ ( p → ∼ q ) es equivalente a: a) (p ∨ q ) ↔ q d) (p ∧ q ) ↔ q

5.

e) VFFVF

p→(p∨q) ( p ∧ q ) → ( p ↔ q) (p∧q)→p ∼[(p∧q)→p]

a) VFVF

4.

d) VVFVV

Indicar el valor de verdad de: I. II. III. IV.

3.

c) VVFVF

b) p ∨ ∼ q e) p ∨ q

c) ∼ p ∧ q

a) Si ( p → ∼q ) ∨ ( ∼r → s) es falso, deducir el valor de: ( ∼p ∧ ∼q ) ∨ ∼p b) Si ∼p ∨ q es verdadera, q es falso, deducir el valor de verdad de: [∼ ( ∼p ∨ q ) r ] ∨ s a) VV

b) VF

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c) FV

d) FF

e) Faltan datos en (b)

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 7.

Si la proposición: ( r ∨ s) → [ ( p ∧ ∼s ) → ( p ∧ ∼q ) ] es falsa, entonces el valor de verdad de las proposiciones: I. ( p ∧ ∼ q ) ↔ r II. q ∧ ( ∼ p ∨ ∼s) III. [ ∼p → r ] ∨ ∼s a) VVV

8.

b) VFV

c) VFF

d) FVV

e) FVF

p(x): x2 = 16 q(x): x - 4 = 8 r(x): x2 - 4 > 5

Si

Hallar el valor de verdad de: [ ( p(1) ∧ p(3) ↔ ( r(2) ∨ p(3) ) ] [ ∼ ( p(2) ∨ q(2) ) ] [ ( p(2) ∧ ∼ q(12) ] ↔ r(4) [ ∼ p(4) → r (5) ] ∨ ∼q(4)

I. II. III.

a) VFV 9.

b) VFF

c) VVF

d) VVV

e) FVV

Sean m y n números reales, definimos: 3m + 1, si x es una proposición verdadera n p (x)

= 3n – 1, si ex es una proposición falsa m

Si: r: 4 < 2 ↔ - 1 = 0 s: -1 < 0 → x2 < 0 p(r) + p(s) = 21 Hallar el valor de: a) 1/3

m/n

+

b) 1/7

n/m c) 0

d) 11

e) 3

10. Sea U = { x ∈ R / 5 < x < 100 } el universo. Halle el valor de verdad de: I. ∃x, ∃y, ∀z / x + y > z II. ∀x, ∃y, ∀z / 2x – y < -z III. ∀x, ∃y, ∃z / 2x - y < 5z a) FVF

b) FFF

c) VVV

d) VVF

e) VFV

11. Sea U = { 1, 2, 3 } el conjunto universal. Hallar el valor de verdad de: I. ∃x, ∀y / x2 < y + 1 II. ∀x, ∃y / x2 + y2 < 12 III. ∀x, ∀y / x2 + y2 < 12 IV. ∃x, ∃y / x2 + y2 < 12 a) VFVF

b) VVFF

c) VVVF

d) VVVV

e) VVFV

12. Sea U = { 1, 2, 3, 4 } el conjunto universal. Hallar el valor de verdad de: A = [ ( ∼q ∧ ∼r ) Æ ( ∼p ∨ r) ] ↔ ( ∼p ∧ ∼q ) B = [ p ∧ { q ∨ ( q Æ r ) } ∧ ∼r ] Se sabe que: p: ∀x / x + 3 < 6 q: ∃x / 2x2 + x = 5 r: ∀x / x2 - 10 < 8 a) VV

b) VF

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c) FV

d) FF

e) N.A.

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 13. Si p y q son verdaderos, ¿para qué valores de r, el esquema siguiente es verdadero? ( r Æ p ) ↔ ( ∼q Æ r ) a) V d) No se puede determinar 14. Si definimos: p * q ≡ verdaderas? I. II. III. IV.

b) F e) Faltan datos

c) V o F

∼ ( p ∨ q ) ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son

p*q↔∼p p ↔ (p * p) * (q * q) p * (p * p) ↔ ∼ [ q Æ p ] ∼ (∼p ∨ q) ↔ p * (q * q)

a) Solo I y II d) Solo IV

b) Solo II e) Solo III

c) Ninguna

15. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. II. III.

[(qÆp)∧q]Æp [ ∼p ∧ (r Æ q) ] ↔ [ (p ∨ r) Æ (∼p ∧ q) ] [ (∼p ∨ ∼q) Æ q ] ↔ q

a) Solo I y II d) Solo I

b) Solo II y III e) N.A.

c) Todas

16. Determinar la menor expresión que representa al circuito. a)

p

∼p

q

∼q

∼p

Rpta.: ∼p

∼p

b)

∼q ∼p

p q c)

Rpta.: p ↔ q

p

q

∼p

∼q

p

q

Rpta.: p ∧ q

∼p

d)

∼q

p p e)

∼q Rpta.: ∼(pÆq)

q r s

∼s

∼r ∼s p r

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∼r

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∼p

f)

Rpta.: ∼s ∧ (p ∨ r) p q

∼q

∼p ∼p

p q

g)

g)

∼q p

p

q

∼q

∼p

p

∼q

q

∼p

p

Rpta.: ∼q ∧ ∼p

p

∼q Rpta. : p ∨ ∼q

q

∼p q

p q

∼q

∼p

Rpta. : p ∧ q

CLAVE DE RESPUESTAS: 1 a

2 d

3 c

4 a

5 b

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6 c

7 d

8 a

9 e

10 e

11 e

12 b

13 c

14 c

15 c