CAPÍTULO III ANÁLISIS COMBINATORIO. 

Principio fundamental de conteo

Ejemplo: Un restaurante ofrece ensaladas por $3,75. Se puede elegir entre una ensalada de lechuga o una de espinacas. Después, existe la opción de un complemento de champiñones, frijoles o queso. Por último se puede optar por un aderezo de crema o de aceite y vinagre ¿De cuántas maneras se puede elaborar una ensalada?

TIPO

COMPLEMENTO

ADEREZO

COMBINACIÓN

Crema

1 lechuga, champiñones, crema

Aceite y vinagre Crema

2 lechuga, champiñones, aceite y vinagre

Aceite y vinagre Crema

4 lechuga, frijoles, aceite y vinagre

Aceite y vinagre Crema

6 lechuga, queso, aceite y vinagre

Aceite y vinagre Crema

8 espinacas, champiñones, aceite y vinagre

Aceite y vinagre Crema

10 espinacas, frijoles, aceite y vinagre

Aceite y vinagre

12 espinacas, queso, aceite y vinagre

Champiñones

Lechuga

3 lechuga, frijoles, crema

Frijoles 5 lechuga, queso, crema

Queso 7 espinacas, champiñones, crema

Champiñones

Espinacas

9 espinacas, frijoles, crema

Frijoles 11 espinacas, queso, crema

Queso Hay doce maneras posibles de elaborar una ensalada. En aquellas situaciones en que consideramos combinaciones de objetos, o una sucesión de eventos tales como el lanzamiento de una moneda o la extracción de una carta, cada posibilidad se llama resultado. Un evento es un subconjunto de resultados. Cuando varios eventos ocurren juntos, como cuando se elige una carta tras otra, tenemos un evento compuesto. En un evento compuesto en el que el primer evento puede suceder de n 1 formas distintas, el segundo puede suceder de n2 formas diferentes y así sucesivamente, de modo que el k-ésimo evento puede suceder de nk formas distintas, el número total de formas en que el evento compuesto puede suceder es n1 . n2 . n3 . ... . nk. Éste es el principio fundamental de conteo. En el ejemplo detallado anteriormente se tienen 2 . 3 . 2 = 12 combinaciones para elaborar ensaladas. 

Permutaciones sin repetición de n elementos Son los distintos grupos que se pueden formar con n elementos, de manera que:

 

En cada grupo estén los n elementos. Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de sus elementos.

Ejemplo: Se tiene en cuenta un conjunto de tres objetos, {a, b, c} ¿De cuántas maneras distintas se pueden arreglar estos elementos? 30

Como primera opción se puede escoger cualquiera de ellos, de modo que hay tres alternativas. Una vez elegido el primer objeto, existen dos alternativas para el segundo objeto. El tercero queda así determinado, pues sólo queda uno de ellos. De esta manera, sólo hay una alternativa para el tercer objeto. Por el principio fundamental de conteo, hay 3 . 2 . 1 posibles arreglos. El conjunto de todos los arreglos es {abc, acb, bac, bca, cab, cba}. Se puede generalizar lo anterior a n objetos. Para la primera opción hay n posibilidades, n –1 para la segunda, n – 2 para la tercera, y así sucesivamente. Para la n-ésima opción, sólo hay una posibilidad.      



Una permutación de un conjunto de n objetos es un arreglo ordenado de dichos objetos. El número de permutaciones de un conjunto de n objetos tomados de n en n se denota con nPn. El número total de permutaciones sin repetición de un conjunto de n objetos está dado por Vn, n = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . 3 . 2 . 1 = n! Puede notarse que el número total de permutaciones de un conjunto de n objetos, nPn, está dado por n! (n factorial). Se define 0! = 1 a fin de poder establecer ciertas fórmulas y teoremas de manera concisa. Para cualquier número natural j, j! = j . (j – 1)! Ejemplo: 9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = = 9 . (8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 ) = 9 . 8! Permutaciones con objetos idénticos

Las permutaciones con repetición de n elementos, donde el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, ..., el último k veces (a + b + ... + k = n), son los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, de manera que:     

El primer elemento se repite a veces. El segundo elemento se repite b veces. .... El último elemento se repite k veces. Un grupo se diferencia de otro únicamente en el orden de colocación de sus elementos.

Ejemplo: Se consideran las letras de la palabra FOCO. Si las dos letras O fueran de algún modo distintas entre sí, entonces el número de permutaciones de las cuatro letras sería 4P4 = 4! = 24. No obstante, somos incapaces de distinguir entre las dos letras O. Sólo hay doce permutaciones: FCOO, CFOO, FOCO, COFO, OFCO, OCFO, OFOC, OCOF, OOFC, OOCF, OFOC, OCOF. Si las letras O hubiesen sido distintas, a modo de ejemplo O y o, entonces habría habido 2! permutaciones de Oo (Oo y oO). Si P es el número de permutaciones de las letras en FOCO, P . 2! = 4!



Por lo tanto, se tiene que P = 4! = 12 2! El número de permutaciones P de n objetos tomados de n en n, con a objetos iguales entre sí, otros b iguales entre sí ... y otros k iguales entre sí es

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P 

n! a!.b!... k!

Variaciones sin repetición de n objetos tomados de r en r (r  n) Son los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, de manera que:

 

En cada grupo entren r elementos distintos. Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos.

Ejemplo 1: Se considera un conjunto de ocho objetos, ¿de cuántas maneras se puede construir un subconjunto ordenado que tenga tres elementos? Se puede seleccionar el primer objeto de ocho maneras. Restan siete opciones para el segundo y seis para el tercero. Por el principio fundamental de conteo, hay 8 . 7 . 6 maneras de construir el subconjunto. En otras palabras, hay 8 . 7 . 6 variaciones de un conjunto de ocho objetos tomados de tres en tres. Debe tenerse muy en cuenta que:

8.7.6  

8.7.6.5.4.3.2.1 8!  5! 5!

El número de variaciones de un conjunto de n objetos tomados de r en r, denotado con Vn,r , está dado por

Vn,r 

n! n  r !

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras se pueden arreglar las letras del conjunto {d, e, f, g, h} para formar códigos ordenados de dos letras? (Sin repetición de letras)

V5,2 

5! 5.4.3!   20 maneras 5  2! 3!

Los veinte arreglos son de, df, dg, dh, ed, ef, eg, eh, fd, fe, fg, fh, gd, ge, gf, gh, hd, he, hf, hg. 

Variaciones con repetición de n elementos tomados de r en r Son los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, de manera que:

 

En cada grupo entren r elementos repetidos o no. Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación de éstos. En algunas ocasiones se debe utilizar un objeto más de una vez, cuando suceda esto se deberá tener en cuenta lo siguiente:



El número de arreglos ordenados de n objetos tomados de r en r, con repetición es VRn,r = nr.

Ejemplo: ¿Cuántos códigos de cinco letras se pueden formar con las letras a, b, c, d si se permite el uso repetido de las letras? La primera letra se puede elegir de cuatro maneras, la segunda de cuatro formas, y así sucesivamente. Por lo tanto, hay VR4,5 = 45 o 1024 arreglos ordenados. 32



Combinaciones de n elementos tomados de r en r Son los distintos grupos que se pueden formar con los n elementos, de manera que: En cada grupo entren r elementos distintos. Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en el orden de

  colocación.

A menudo lo único que se necesita es el número de formas en que se puede seleccionar elementos de un conjunto dado. A esto se le llama combinaciones. Ejemplo: ¿Cuántas combinaciones hay del conjunto {a, b, c, d} tomados de tres en tres? Las combinaciones son los siguientes subconjuntos: {a, b, c} {a, b, d}

{a, c, d} {b, c, d}

Debe observarse que el subconjunto {a, b, c} es el mismo que el {b, a, c}, pues ambos poseen los mismos elementos. Se utilizará el símbolo

Cn,r

o

n

r para denotar el número de formas en que se puede seleccionar r elementos de un conjunto que contiene n elementos. Este símbolo se lee “n en r”. Si se considera el problema de encontrar el número de variaciones de n objetos tomados de r en r a la vez, Vn,r. Se puede pensar en este proceso como consistente en dos pasos. 1. Se seleccionan los r objetos. 2. Se arreglan los r objetos. Se seleccionan los r objetos entre n objetos de Cn,r formas distintas. Después se pueden arreglar los r objetos en r! maneras. Por lo tanto, por el principio fundamental de conteo, se puede seleccionar y después arreglar los objetos en

Cn,r . r! maneras. Por lo tanto

v n,r  Cn,r .r!  

Cn,r .r! 

n! n  r !



Cn,r 

n! r!.n  r !

El número de combinaciones de un conjunto de n objetos tomados de r en r a la vez es

C n,r 

n! r!.n  r !

Ejemplo 1:

C 7, 4 

7! 7! 7.6.5.4! 7.6.5     35 4!.7  4! 4!. 3! 4!. 3! 3.2.1 33

Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras se puede formar un comité de un club a partir de un conjunto de cinco colaboradores y siete socios, si el comité debe estar integrado por tres colaboradores y cuatro socios? Los tres colaboradores se pueden seleccionar de C5,3 maneras y los cuatro socios de C7,4 maneras. Utilizando el principio fundamental de conteo.

C 5,3 .C 7,4   i.

5! 7! 5.4 7.6.5 .  .  10.35  350 3!. 2! 4!. 3! 2.1 3.2.1

Análisis combinatorio (Problemas resueltos) Los dieciocho socios de la Cofradía de Nogaleros Unidos reciben en su local de Villafría de la Sierra a los once miembros de la Hermandad de la Buena Nuez, del pueblo vecino, para hablar de sus problemas comunes. Cuando van a saludarse, a Isidro se le ocurrió una feliz idea: - Aprovechemos cada apretón de manos para partir una nuez. - ¡Magnífica ocurrencia! ... Celebraron los demás.

¿Cuántas nueces pudieron partir con sus saludos? Solución: Supongamos que la Cofradía de Nogaleros Unidos tiene sólo cuatro socios, A, B, C y D, y que sus visitantes son tres, a, b y c: A B C D

a b c

A le da la mano a cada uno de los tres visitantes. Rompe tres nueces. Lo mismo hace B, C y D; rompen tres nueces cada uno. Por lo tanto rompen en total 4 . 3 = 12 nueces. Ya estamos en condiciones de resolver el problema con los datos iniciales: dieciocho anfitriones, cada uno de los cuales le da la mano (rompe una nuez) a cada uno de los once visitantes. En total resultan 18 . 11 = 198 nueces.

ii.

Diez amigos juegan tres partidas de bolos y, al final de cada una, anotan el vencedor.

Vencedores

1º partida

2º partida

3º partida

_____

_____

_____

¿De cuántas maneras posibles se puede rellenar la hoja adjunta?

Solución: Hagámoslo más fácil. Dejémoslo, de momento en cuatro amigos, A, B, C y D que juegan dos partidas.

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Vencedor 1º

Vencedor 2º

A

B

C

D

1º

2º

A B C D A B C D

A A A A B B B B

A B C D A B C D

A B C D A B C D

C C C C D D D D

A B C D A B C D

4 . 4 = 16 posibilidades De la misma manera podríamos efectuar un diagrama de árbol semejante para resolver el problema, pero puede pensárselo de esta manera: Vencedor 1º

Vencedor 2º

Vencedor 3º

10 posibilidades

10 posibilidades por cada una de las 10 anteriores 10 . 10 = 100

10 posibilidades por cada una de las 100 anteriores 100 . 10 = 1000

Hay por lo tanto mil formas distintas de rellenar la ficha de vencedores. Es una variación con repetición de diez elementos tomados de tres en tres. VR10, 3 = 103 = 10 . 10 . 10 = 1000 Análogamente se obtendría el número de: - Códigos de diez letras con A y B - Códigos de siete letras con A, B y C - Códigos de cinco letras con A, B, C, D, E y F - Códigos de n letras con A1, A2, A3, ..., Am iii.

VR2, 10 VR3, 7 VR6, 5 VRm, n

= 210 = 37 = 65 = mn

Los mismos diez amigos del problema anterior juegan un campeonato de ajedrez en el que se reparten tres copas ¿De cuántas formas pueden llevarse los premios?

Solución: Seguimos el procedimiento anterior pero, ¡Atención!, el campeón no puede ser, a la vez, subcampeón.

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1º premio

2º premio

3º premio

10 posibilidades

9 posibilidades por cada una de las 10 anteriores 10 . 9 = 90

8 posibilidades por cada una de las 90 anteriores 10 . 9 . 8 = 720

Es una variación sin repetición de diez elementos tomados de tres en tres. V10, 3 =

10! = (10 – 3)!

10! 7!

= 10 . 9 . 8 . 7! = 10 . 9 . 8 = 720 7!

Análogamente se puede obtener el número de formas en que: - Seis corredores ocuparían los cuatro primeros lugares - Seis corredores ocuparían los cinco primeros lugares - Diez corredores ocuparían los cuatro primeros lugares - Cincuenta corredores ocuparían los tres primeros lugares - m corredores ocuparían los n primeros lugares iv.

V6, 4 = 360 V6, 5 = 720 V10, 4 = 5040 V50, 3 = 117600 Vm, n = m! / (m - n)!

¿Cómo repartir dos entradas entre seis chicas?

Solución: Empezamos por darles nombre a las chicas: A, B, C, D, E, F. Si sólo tuvieran una entrada, es decir, si sólo pudiera ir una de ellas (hazlo más fácil), las posibilidades serían seis: A

B

C

D

E

F

Como son dos, veamos quién puede acompañar a quién: AB AC AD AE AF

BC BD BE BF

CD CE CF

DE DF

EF

Observa que, para formar todas las posibilidades, hemos añadido a cada una todas las que le siguen en orden alfabético. Seguiremos la misma táctica para formar grupos de tres: añadir a cada grupo de dos las que, según el orden alfabético, van detrás de ambas: ABC ACD ADE AEF ABD ACE ADF ABE ACF ABF

BCD BDE BEF BCE BDF BCF

CDE CEF CDF

DEF

Vemos que hay quince formas de repartir dos entradas y veinte formas de repartir tres. Pero podríamos aplicar la fórmula de combinaciones para arribar al mismo resultado en ambos casos: C6, 2 =

6! = 6! = 6 . 5 . 4! = 3 . 5 = 15 2!(6-2)! 2! 4! 2 . 4!

36

C6, 3 =

6! = 6! = 6 . 5 . 4 . 3! = 5 . 4 = 20 3!(6-3)! 3! 3! 3 . 2 . 1 . 3!

Análogamente se obtendría el número de posibles selecciones de: - Tres individuos de entre diez - Seis individuos de cada ocho - n individuos de entre m

C10, 3 =

10! = 120 3!(10-3)! C8, 6 = 8! = 28 6!(8-6)! Cm, n = m! = n!(m-n)!

 Reglas para analizar problemas de combinatoria Para algunos problemas de combinatoria pueden serte útiles las reglas que damos a continuación. Recuerda: si posees una receta y te han asegurado que se ajusta a tu problema, aplícala. Pero piénsalo bien, no todos los problemas de combinatoria se van a ajustar a estas recetas. Es muy probable que, en muchos casos tengas que buscar por tu cuenta. En todos los problemas de combinatoria, como ya sabes, hay varios aspectos a considerar. Cuando se trata de formar agrupaciones de elementos hay que preguntarse dos cosas importantes: 1- ¿Se permite o no que los elementos se repitan? 2- El orden en que se agrupan los elementos, ¿cuenta o no? La respuesta a estas preguntas dependerá del enunciado del problema. ¿Influye el orden? ¿Puede haber repetición? Fórmula VRm, n Sí Sí mn Vm, n Sí No m! (m-n)! Vm,m Sí No m! Cm, n No No m! n!(m-n)!

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1) Juan puede elegir entre unos pantalones azules o unos grises, cuatro playeras, azul, blanca, verde o a rayas y entre zapatos deportivos, botas o mocasines ¿Cuántos atuendos distintos puede componer con estas opciones? 2) ¿De cuántas maneras se pueden formar seis personas en la fila de un banco? 3) Una mujer se prepara para salir de paseo. Se vestirá con uno de seis vestidos, con un par de zapatos entre ocho pares y podrá ir a uno de siete restaurantes ¿De cuántas maneras puede efectuar estas actividades? 4) Un profesor quiere escribir un examen de seis preguntas ordenadas tomadas de un conjunto de diez preguntas ¿De cuántas maneras distintas puede escribir el profesor la prueba? 5) ¿De cuántas maneras pueden asignarse cuatro personas a seis oficinas individuales? 6) ¿Cuántos números telefónicos de siete dígitos se pueden formar suponiendo que ningún dígito se utiliza más de una vez y que el primero de ellos no puede ser cero? 7) ¿Cuántas matrículas de vehículos de cuatro números se pueden formar utilizando los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 si se permiten repeticiones? ¿Y en el caso de que no se permitan repeticiones? 8) ¿De cuántas maneras se pueden arreglar cuatro banderas azules, tres banderas rojas y dos banderas verdes en un asta? 9) Una biblioteca tiene cuatro libros de Álgebra, tres de Geometría y dos de Medicina, todos de distintos autores ¿De cuántas maneras distintas pueden disponerse los libros en un estante, si todos los libros de una materia deben estar juntos? 10) De un grupo de diez ingenieros y ocho arquitectos hay que formar distintas comisiones de siete personas ¿Cuántas pueden formarse si cada comisión tiene exactamente cuatro ingenieros? ¿Y si cada comisión tiene por lo menos cuatro ingenieros? 11) ¿Cuántos códigos ordenados se pueden formar utilizando cuatro de las letras del conjunto {A, B, C, D, E} si las mismas: a) No se pueden repetir? b) Sí se pueden repetir? c) No se pueden repetir y el código debe comenzar con la letra D? d) No se pueden repetir pero los códigos deben terminar con la combinación DE? 12) ¿Cuántos números diferentes se pueden representar utilizando los dígitos 1, 0, 0, 1, 5, 5, 6, 6, 6? 13) ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un equipo de básket de cinco jugadores para comenzar un partido si la escuadra cuenta con un total de doce jugadores? 14) En un club hay veintitrés estudiantes ¿De cuántas maneras se puede elegir un conjunto de cuatro delegados? 15) De las primeras ocho preguntas de un examen un estudiante debe responder seis. De las siguientes cuatro deberá contestar tres ¿De cuántas maneras se puede hacer lo anterior? 16) ¿Cuántos números de cinco dígitos se pueden formar utilizando todos los dígitos 0, 1, 2, 3, 4 sin repetición? 17) ¿De cuántas maneras se pueden echar siete cartas distintas sobre una mesa formando una hilera? 18) Un hombre se prepara para ir de paseo. Puede escoger uno de entre siete trajes de vestir, uno de entre cuatro pares de zapatos e ir a uno de entre diez restaurantes ¿De cuántas maneras puede llevar a cabo estas actividades? 19) Un aula especial tiene diez pares de audífonos para estudiantes con dificultad auditiva ¿Cuántas combinaciones posibles de estudiantes y audífonos se pueden dar si siete estudiantes de la clase necesitan utilizar los audífonos? 20) Un estado forma sus matrículas de vehículos escribiendo primero un número de dos dígitos que corresponde al distrito en el que vive el propietario, después una letra del alfabeto y por último un número entre uno y nueve mil novecientos noventinueve, ambos inclusive ¿Cuántas matrículas son posibles si hay ochenta distritos? 38

21) ¿Cuántos enteros de cinco dígitos se pueden representar cuando los dígitos 2, 6, 7 se pueden utilizar una sola vez y el dígito 0 se puede utilizar dos veces? 22) ¿De cuántas maneras se puede formar un comité del Congreso a partir de un conjunto de cinco senadores y siete representantes, si el comité debe estar integrado por tres senadores y cuatro representantes? 23) ¿Cuántos partidos de básket se juegan en una liga con nueve equipos si cada uno de ellos debe jugar dos veces contra cada rival? 24) ¿Cuántos anagramas se pueden formar con las palabras: a) EJERCICIOS b) CALCULADORA 25) Todas las personas que asisten a una reunión se estrechan la mano. Si hubo cuarenticinco apretones, ¿cuántas personas asistieron? 26) En un barrancón de un cuartel hay dieciseis soldados ¿Cuántas guardias diferentes de tres soldados se pueden formar? Uno de los soldados se llama Juan ¿En cuántas de estas guardias estará Juan? 27) Con 6 mujeres y 4 varones, ¿cuántos grupos con 3 integrantes de cada sexo se pueden formar? 28) En una oficina hay 8 mujeres y 5 varones. a) Se quiere armar con los oficinistas un grupo de 4 personas. ¿De cuántas maneras puede hacerse la elección? b) ¿Y si se pretende el mismo número de hombres y mujeres en el grupo? 29) Un colegio decide premiar con una medalla al mejor promedio, mejor compañero y asistencia perfecta. Existen 7 candidatos para recibir los 3 premios y ninguno puede recibir más de una medalla. ¿Cuántas formas distintas hay de repartir las medallas? 30) Pablo fue a un negocio donde había 4 modelos distintos de camisas y 5 de remeras. Decidió comprar 2 camisas y 3 remeras. Calcular la cantidad de opciones que tiene para elegir. 31) Con los naturales 1; 2; 3; 4 y 5, ¿cuántos números mayores que 34215 se pueden formar? 32) Dadas las siguientes cifras: 2, 4, 5, 6, 7, 8 a) ¿Cuántos números distintos de cuatro cifras se pueden formar? b) ¿Cuántos de ellos son pares? c) ¿Cuántos de ellos son menores que 4000? d) ¿Cuántos números de cinco cifras son capicúas? 33) Debe elegirse una delegación de 4 estudiantes: a) ¿De cuántas maneras puede formarse la delegación si hay 12 candidatos? b) ¿De cuántas, si de los 12 hay 2 que no pueden integrar la delegación simultáneamente? c) ¿De cuántas, si 2 de los candidatos son casados, y no integran la comisión si no van juntos?

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