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Capitulo VI VI.2 Engranajes cilíndricos

1 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Capí Capítulo VI Engranajes

VI.1 Introducció Introducción a los engranajes. VI.2 Engranajes cilí cilíndricos. • Engranajes con perfil de evolvente. • Espesor del diente. • Relació Relación de contacto. • Generació Generación. • Interferencia. • Ruedas corregidas. VI.3 Otros tipos de engranajes. VI.4 Trenes de engranajes.

2 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Capí Capítulo VI: Tema 2 Engranajes cilí cilíndricos

1. 2. 3. 4.

5.

6.

Engranajes con perfil de evolvente. 1. Engranajes con perfil de evolvente. 2. Propiedades del perfil de evolvente. Espesor del diente. Relació Relación de contacto. Generació Generación. 1. Útiles de forma. 2. Generació Generación con cremallera. 3. Generació Generación con piñó piñón. ñón. Interferencia. 1. Interferencia de tallado con cremallera. 2. Interferencia de tallado con piñó piñón. ñón. 3. Interferencia de funcionamiento en ruedas talladas con cremallera. 4. Interferencia de funcionamiento en ruedas talladas con piñó piñón. ñón. Ruedas corregidas. 3

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Capí Capítulo VI: Tema 2 Engranajes cilí cilíndricos

1.

Engranajes con perfil de evolvente. 1. Engranajes con perfil de evolvente. 2. Propiedades del perfil de evolvente.

4 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Engranajes con perfil de evolvente La evolvente es una curva tal que el lugar geométrico de sus centros de curvatura es una circunferencia. A dicha circunferencia se la denomina circunferencia base. Intuitivamente es la trayectoria que describe es punto extremo de un hilo al ser desenrollado de un disco que constituye la circunferencia base.

hilo

Circunferencia base 5 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Engranajes con perfil de evolvente hilo Evolvente

Circunferencia base 6 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Engranajes con perfil de evolvente Circunferencia primitiva 1 ρ1

Propiedades: 1. La línea de engrane es una línea recta: lo que quiere decir que la fuerza entre dientes tiene siempre la misma dirección. 2. El perfil conjugado de una curva evolvente es otra evolvente.

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O1

r1

Evolvente 2 φ

d

Evolvente 1

3. Al modificar la distancia entre centros no se modifica la relación de transmisión. 4. Los engranajes con perfil de evolvente son relativamente fáciles de fabricar.

Circunferencia base 1

P

Línea de engrane

r2 O2 ρ2

Circunferencia base 2 Circunferencia primitiva 2

7

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Engranajes con perfil de evolvente Circunferencia primitiva 1

Circunferencia base 1

ρ1

Circunferencia primitiva 1 ρ1

Δd

O1

r1

Circunferencia base 1 O1

r1 ’ Evolvente 2

Evolvente 2

φ

φ’

Evolvente 1

Línea de engrane

d

d’ Evolvente 1

Línea de engrane

r2 ’

r2 O2 ρ2

Circunferencia base 2 Circunferencia primitiva 2

O2 ρ2

Circunferencia base 2 Circunferencia primitiva 2 8

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Engranajes con perfil de evolvente

ρ1 = r1 cos ϕ ρ 2 = r2 cos ϕ

ρ1 = r1 ' cos ϕ ' ρ 2 = r2 ' cos ϕ '

ρ1 r1 = =µ ρ 2 r2

ρ1 r1 ' = ρ 2 r2 '

r1 ' r1 ω 2 = = =µ r2 ' r2 ω1

9 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Engranajes con perfil de evolvente El perfil conjugado de una evolvente, cuando el diámetro primitivo de la otra rueda es infinito, es una línea recta.

O1

Om Cm

Cf

A

 1 1  +  O f P PO m

 1 1 sen (180 − ϕ ) = + r1 r2 

 1 1 1 1  + sen (180 − ϕ ) = + ∞ r2  Of P ∞  O f P = r2senϕ

φ Circunferencia primitiva 2

P Of ρ2

Circunferencia base 2 O2

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r2 10

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Propiedades analí analíticas del perfil de evolvente ξ

AT = ρ tanψ BA = (ψ + θ ) ρ = AT = ρ tanψ (ψ + θ ) = tanψ

r

B θ

θ = tanψ −ψ

ψ

E v (ψ ) = tanψ −ψ

Función de evolvente

Evolvente

T

ρ

A

O

Circunferencia base 11 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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2.

Espesor del diente.

12 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Espesor del diente T A

eA

eA = 2 R A β A e T = 2 R T β T = 2R T [β A + E v (ψ A ) − E v (ψ T )]

RT

βT

RA

βA

ψA

ρ

βA =

eA 2R A

e  e T = R T  A + 2[ E v (ψ A ) − E v (ψ T ) ] RA 

ψT

13 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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3.

Relació Relación de contacto.

14 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Relació Relación de contacto

15 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Relació Relación de contacto

16 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Relació Relación de contacto

17 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Relació Relación de contacto

18 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Relació Relación de contacto

19 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Relació Relación de contacto Longitud del arco de conducció conducción (q (qt): es el arco que recorre el perfil del diente sobre la circunferencia primitiva entre el principio y el final del contacto con el perfil conjugado. Relació Relación de contacto (ρ (ρc): es el cociente entre la longitud del arco de conducción y el paso circular.

ρc =

qt p

La relación de contacto se puede considerar como el número medio de dientes que se encuentran en cada instante en contacto.

20 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Relació Relación de contacto O1

Fase de aproximació aproximación: periodo comprendido entre que los dos dientes entran en contacto y alcanzan el punto primitivo (AP). Fase de retroceso: periodo comprendido entre el punto P y los dientes se separan (PB).

γr1

γt1 γ1

C A

B D

ρ1

P

φ

γr2 ρ2

γt2 γ2

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O2

21

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Relació Relación de contacto O1

qt = qa + qr

γ t2 = γ a2 + γ r2

Re1

γ t1 = γ a1 + γ r1

γr1

R1

R 1γ t1 = R 2γ t 2 = q t

γ1

AP = DA − DP = U a DP = R 2 senϕ

U a = [ (R 2 + a 2 )

− R 22

2

cos ϕ

U r = [ (R 2 + a 1 ) 2 − R 12 cos 2 ϕ

]

1/ 2

B

]1/ 2

D

UT = Ua + U r

Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

R2

Re2

P

φ

γr2

− R 2 senϕ

]1/ 2 − R1senϕ

ρ1 C

A

DA = (R e22 − ρ 22 )1/ 2 = [ ( R 2 + a 2 ) 2 − R 22 cos 2 ϕ 2

γt1

ρ2

γt2 γ2

O2

22

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Relació Relación de contacto Re1

γr1

ρ1

γt1

R1 γ1

C A

φ

P B D γr2 ρ2 R2

γt2

Re2

γ2 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

23

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Relació Relación de contacto El segmento AB de longitud Ut debe ser igual al arco EF por la construcción de la evolvente (EF es el hilo enrollado y AB es el mismo hilo ya desenrollado).

Posició Posición 2 (final del contacto)

Entonces, el ángulo girado para pasar de la posición 1 a la posición 2 será el arco Ut entre el radio de la circunferencia base.

γ t2 =

Ut

γ t1 =

ρ2 q

ρc =

t

= γ

t2

R

Ut

Posició Posición 1 (inicio del contacto) A P

B D

C

Ua

Ur E

F

ρ1 2

γ t 2 R 2 γ t1R 1 = πm πm 24

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Relació Relación de contacto La relación de contacto indica el número medio de dientes en contacto. Se recomienda que sea superior a 1,1, ya que si fuese inferior a 1 significaría que en algún momento no existiría contacto entre dientes. Un relación de contacto alta conlleva un mejor reparto de esfuerzos entre los dientes y por tanto un mejor funcionamiento.

25 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Capí Capítulo VI: Tema 2 Engranajes cilí cilíndricos

4.

Generació Generación. 1. Útiles de forma. 2. Generació Generación con cremallera. 3. Generació Generación con piñó piñón. ñón.

26 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Generació Generación Aunque la fabricación de engranajes no es objeto de esta asignatura es necesario comprender ciertos aspectos de este proceso por sus repercusiones en el comportamiento cinemático y dinámico de engranajes. Existen diversas formas de fabricar los dientes de engranaje. Las principales son: 1. Fundición. 2. Extrusión. 3. Mecanizado: 1. Empleando útiles de forma. 2. Mediante generación. 27 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Generació Generación Los engranajes fabricados en fundición tienen un bajo coste y son fáciles de mecanizar. La fundición tiene buenas características de corte en frío y estabilidad dimensional. Sin embargo, pueden tener defectos internos que reduzcan su vida a fatiga. Además tienen baja resistencia mecánica y no pueden soportar grandes cargas o pares. El mecanizado del diente es el proceso que proporciona mayor calidad al diente de engranaje. Se realiza de dos formas: •

•

Con útiles de forma: el hueco de los dientes tiene la forma exacta del útil de tallado. Éste elimina el material de la rueda en bruto para dar forma a los dientes. Sin embargo, al no disponer de infinitos útiles de tallado en muchas ocasiones se talla de forma aproximada. Mediante generación: Se talla el diente de forma exacta mediante el movimiento relativo de la rueda a tallar con la herramienta de corte. Existen dos formas:
Tallado mediante generación con cremallera.
Tallado mediante generación con piñón.

28 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Generació Generación Zona sin tallar

Rueda a tallar Bordes afilados

O1

Dientes tallados

Dirección de corte

Cremallera de corte

29 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Capí Capítulo VI: Tema 2 Engranajes cilí cilíndricos

5.

Interferencia. 1. Interferencia de tallado con cremallera. 2. Interferencia de tallado con piñó piñón. ñón. 3. Interferencia de funcionamiento en ruedas talladas con cremallera. 4. Interferencia de funcionamiento en ruedas talladas con piñó piñón. ñón.

30 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Interferencia Definició Definición: se denomina interferencia al contacto entre partes de perfiles que no son conjugados y a la interferencia de la propia materia. Existen dos tipos: Interferencia de tallado: conocida también como penetración, se produce cuando la cremallera o piñón de generación corta al cilindro del engranaje en zonas situadas por debajo de la circunferencia base. Interferencia de funcionamiento: se produce durante el funcionamiento en servicio de las ruedas de engranaje cuando los dientes entran en contacto en zonas no talladas como perfil de evolvente. Se produce un debilitamiento en la base del diente.

31 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Interferencia de tallado Circunferencia primitiva

Circunferencia base

Interferencia

F

Perfil debilitado por interferencia Perfil estándar

32 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Interferencia de tallado con cremallera a c ≤ PM = DPsenϕ = R sen 2ϕ R=

mz 2

 mz  2 ac ≤  sen ϕ  2 

φ P ac

D

ac = m

φ

2 z≥ sen 2ϕ

M

R ρ

O

ϕ = 20º ; z = 17,1 33 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Interferencia de tallado con piñó piñón ñón O2

PA ≤ PC = R 2 senϕ PA ≤ R 2 senϕ

ρ2 R2

φ C

[ (R t + a t ) 2 − R 2t cos 2 ϕ ]1 / 2 − R t senϕ ≤ R 2senϕ

P

a t ≤ a t max

A

φ

D φ Rt ρt

Rt+at Ot 34

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Interferencia de funcionamiento con ruedas talladas con cremallera O2 ρ2

AP ≤ CP

R2

φ R2+a

U a ≤ R 1senϕ

C

[ (R 2 + a 2 ) 2 − R 22 cos 2 ϕ ]

1/ 2

A φ

P

− R 2 senϕ ≤ R 1senϕ

ac ac

B D

U a senϕ ≤ a c

[ (R 2 + a 2 ) 2 − R 22 cos 2 ϕ ]1/ 2 − R 2senϕ ≤

φ

ac senϕ

R1 ρ1

R1+a O1

35 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Interferencia de funcionamiento en ruedas talladas con piñó piñón ñón O2 ρ2

Rt+ac

Ot

R2

Rc

φ

[ (R 2 + a 2 ) 2 − R 22 cos 2 ϕ ]1/ 2 − R 2senϕ ≤

R2+a

R 1senϕ

D B

U a ≤ U at A

[ (R 2 + a 2 ) cos ϕ ] − R 2 senϕ ≤ [ (R t + a t ) 2 − R 2t cos 2 ϕ ]1/ 2 − R t senϕ 2

− R 22

2

φ

P 1/ 2

A’ C

φ

R1+a

R1 ρ1

Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

O1

36

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Capí Capítulo VI: Tema 2 Engranajes cilí cilíndricos

6.

Ruedas corregidas.

37 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Ruedas corregidas Los engranajes vistos hasta ahora son los engranajes normales, se denominan engranajes tallados a cero o engranajes cero, es decir, tallados de manera que el espesor del diente es igual a la anchura de hueco en la circunferencia primitiva de la herramienta. Estos engranajes presentan dos limitaciones importantes: •Existe un número mínimo de dientes admisible para evitar la interferencia de tallado. •La distancia entre centros (entre ejes) no puede ser cualquiera.

P

φ ac

D φ

M

xm

R ρ

O

z≥

2 sen 2ϕ

d = R1 + R 2 =

m (z1 + z 2 ) 2 38

Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Ruedas corregidas Estas limitaciones son importantes porque en ocasiones es necesario reducir el número de dientes y la distancia entre centros viene impuesta por otras condiciones de diseño. La solución es tallar engranajes corregidos. Consiste en tallar con la cremallera desplazada una cantidad xm, siendo m el módulo y x el factor de corrección. Se observa que la nueva circunferencia primitiva tallada con la cremallera de tallado es una línea en la que la anchura del hueco distinta al espesor del diente. Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

P

φ ac

D φ

xm

M

R ρ

O

m − mx = Rsen 2ϕ m(1 − x ) =

x ≥ 1−

mz sen 2ϕ 2

z 2

= 1− 2

sen ϕ

z z lim 39

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Ruedas corregidas

φ

e' = e + 2xm tan ϕ xm e e’

La corrección es positiva cuando el desplazamiento de la cremallera la aleja del eje del engranaje. El espesor del diente del engranaje corregido, en la circunferencia primitiva, aumenta con correcciones positivas (coincidiendo con el espesor del hueco de la cremallera). 40 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos

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Ruedas corregidas Consideramos dos ruedas, de radios primitivos R1 y R2, talladas con la misma cremallera, con correcciones x1 y x2 positivas. Con estas correcciones, las ruedas no engranaran a una distancia de centros d=R1+R2 sino algo mayor. (Los perfiles de evolvente engranan a cualquier distancia de centros). Es decir, se tienen unos radios primitivos de funcionamiento mayores que los anteriores: R1v y R2v, con una distancia entre centros dv=R1v+R2v. Las circunferencias primitivas de funcionamiento para engranajes corregidos son distintas que las de tallado y el ángulo de presión también es distinto, ya que depende de la distancia entre centros. Luego tendremos también que el ángulo φ pasará a ser φv. Las circunferencias base son las únicas que permanecen inalterables, ya que no han sido modificadas durante el tallado corregido. ρ1 = R 1 cos ϕ = R 1v cos ϕ v

( R 1 + R 2 ) cos ϕ = ( R 1v + R 2 v ) cos ϕ v

ρ 2 = R 2 cos ϕ = R 2 v cos ϕ v

d cos ϕ = d v cos ϕ v 41

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Ruedas corregidas e1 ' = e1 + 2x1m tan ϕ e2 ' = e 2 + 2x 2m tan ϕ e '  e1v = R 1v  1 + 2[ E v (ψ ) − E v (ψ v ) ]  R1  e 2v

e '  = R 2 v  2 + 2[ E v (ψ ) − E v (ψ v ) ] R2 

R=

πm

Rv =

2

π mv 2

R mv = m v R

e1v + e 2 v = p v = π m v = π m R 1v e1 '+2R 1 [ E v (ψ ) − E v (ψ v ) R1

[

R 1v R = π m 2v R1 R2

]]+ R 2 v [e 2 '+2R 1 [ E v (ψ R2

R 1v e1 + 2x1m tan ϕ + 2R 1 [ E v (ψ ) − E v (ψ v ) R1

[

+

(e1 + e 2 ) + 2x1m tan ϕ + 2x 2 m tan ϕ + 2

]] = π m R1v R1

]]+

R 1v e 2 + 2x 2 m tan ϕ + 2R 1 [ E v (ψ ) − E v (ψ v ) R1

[

) − E v (ψ v )

]] = π m R1v R1

m (z1 + z 2 )[ E v (ψ ) − E v (ψ v ) ] = π m 2

p + 2x1m tan ϕ + 2x 2 m tan ϕ + m(z1 + z 2 )[ E v (ψ ) − E v (ψ v ) ] = π m

π m + 2x1m tan ϕ + 2x 2 m tan ϕ + m(z1 + z 2 )[ E v (ψ ) − E v (ψ v ) ] = π m 2( x1 + x 2 ) tan ϕ + (z1 + z 2 )[ E v (ψ ) − E v (ψ v ) ] = 0

E v (ψ v ) = E v (ψ ) + 2

( x1 + x 2 ) tan ϕ (z1 + z 2 ) 42

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Ruedas corregidas Ruedas corregidas

Ruedas cero

R1v

R1

ρ1

ρ1

φv

φ d

dv

R2 ρ2

R2v ρ2

43 Cinemática y Dinámica de Máquinas. VI.2 Engranajes cilíndricos