CAPÍTULO X I I I

83

RESOLUCIÓ N DE TRIÁ NGULOS ESFÉ RICOS Teoremas fundamentales de los Triángulos convexos Teorema XIII- 1 : (teorema de los senos): Los senos de los ángulos son proporcionales a los senos de los lados opuestos: sen A sen a

sen B _ sen C sen b s en c

Dem.: Sea un triángulo esférico ABC y su triedro asociado:

Desde B trazamos la perpendicular BP al plano OAC. Desde B trazamos la perpendicular BN a OC. La recta PN es perpendicular a OC en virtud del teorema de las 3 perpendiculares." BN = r sen a ; BP = BN sen C = r sen a sen C Si repitiéramos el razonamiento anterior usando la cara OBA (en vez de la OCB que hemos usado), el papel de C pasaría a A, y el de a a c BP = r sen c sen A.

84 Igualando las dos expresiones de BP; y dividiendo por r: sen a sen C = sen c sen A

senA senC = sena senC

;

y

dado

íntercambiables, también

que

C

y

B

juegan

senA senB = sena senb

papeles

lggd.

Teorema XIII- 2: (Teorema de los cosenos de los lados) cos a = cos b cos c + sen b sen c cos, A cos b = cos a c o s c + sen a sen c cos B cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C Dem.: Sea un triángulo convexo y su triedro asociado:

OM = r cos a; ON = r cos c; NP = r sen c cos A

OB

= ON + NP + PB

(suma vectorial).

L a proyección de esta suma será la suma de proyecciones de los sumandos. Proyectamos sobre OC: r cos a = r cos c cos b + r sen c cos A sen b

83 y dividiendo por r obtenemos lo que queríamos demostrar. Por ro tación de letras obtenemos las igualdades restantes. Teorema XIII- 3 (Teorema de los cosenos de los ángulos): cos A = - cos B cos C + sen B sen C cos a cos B = - cos A cos C + sen A sen C cos b cos C = - cos A cos B + sen A sen B cos c Dem.: Aplicando el Te orema XIII- 2 al triángulo polar cos (180º - A) = cos (180°- B) cos (180º - C )… - cos A = c o s B cos C - sen B sen C cos a que, cambiando el signo, se co nvierte en la primera igualdad a de mostrar.

Fórmulas Auxiliares Los tres teoremas anteriores (el de los senos, el de los cosenos de los lados, y el de los cosenos de los ángulos), son las úni cas fórmulas independientes en triángulos esféricos , y por consi guiente, bastan para resolver todos los problemas solubles. Para comodidad de operación, se han derivado de ellos muchas fórmulas, que llamaremos auxiliares. Sin pretender agotar el tema, exponemos algunas, dividiéndolas en grupos. Fórmulas Auxiliares, Grupo A 1) cot a sen b = cos b 2) cot a sen c = cos c 3) cot b sen a = cos a 4) cot b sen c = cos c 5) cot c sen a = cos a 6) cot c sen b = cos b Dem.: Usando el teorema

cos C + sen C cos B + sen B cos C + sen C cos A + sen A cos B + sen B cos A + sen A de los senos y el

cot A cot A cot B cot B cot C cot C de los cosenos de los lados:

cos a = cos b (cos a cos b + sen a sen b cos C) + sen 2

b(

senC sen a ) senA

cosA

cos a = cos b cos a + sen b cos b sen a cos C + sen a sen b sen C cot A 2 cos a (1 - cos b) = sen a sen b (sen b cos C + sen C cot A )

86 dividiendo por sen a sen b los dos miembros, se obtiene 1 ) . Las demás fórmulas pueden deducirse de ésta por rotación de letras.

Fórmulas Auxiliares, Grupo B

1 ) cos a =

cos b cos(c − ϕ ) cos ϕ

siendo ϕ un ángulo auxiliar tal que tg ϕ = tg

b cos A. Dem.: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A = = cos b ( cos c + tg b cos A sen c) = cos b (cos c + tg ϕ sen c)= =

cos b cos ϕ

(cos c cos

2) cos A = que tg

ψ

ϕ

cosB cosψ

+ sen c sen ϕ ) =

b

cos (C +

ψ

cos b cos ϕ

) en que

cos (c - ϕ )

ψ

es un ángulo auxi liar tal

= tg B cos a.

Dem.: cos A =- cos B cos C + sen B sen C cos a = = - cos B (cos C - tg B cos a sen C) = = - cos B (cos C - tgψ sen C) = -

cos B cosψ

cos (C +

Fórmulas Auxiliares , Grupo C tg

A sen ( p − b) sen( p − c ) = 2 sen p sen ( p − a )

en que

(Son fórmulas análogas a las de Briggs). Fórmulas Auxiliares, Grupo D Analogías de Neper:

a −b A+ B 2 x cot C tg = a +b 2 2 cos 2 cos

1)

p=

a +b+c 2

ψ

)

a −b A− B 2 cot C tg = a +b 2 2 sen 2 A− B cos a +b 2 tg c tg = A+ B 2 2 cos 2 A− B sen a −b 2 tg c tg = A+ B 2 2 sen 2 sen

2)

3)

4)

Resolución de Triángulos Rectángulos Llamaremos A al ángulo recto; por analogía con los triángulos planos, al lado a le llamaremos hipotenusa y a b y c catetos. Dado que sen A = 1, y cos A = cot A = 0, algunas de las fórmulas anteriores se simplifi can. El conjunto de fórmulas que exponemos a continuación, indicando de que fórmulas proceden, son sufi cientes para resolver cualquier triángulo rectángulo del que se tengan suficientes datos: Proceden del teorema de los senos: 1. sen b = s e n a sen B 2. sen c = sen a sen C

Procede del teorema de los cosenos de los lados 3.

cos a = cos b cos c

Proceden del teorema de los cosenos de los ángulos 4. 5. 6.

Proceden 7. 8. 9. 10.

cos a = cot B cot C cos B = cos b sen C cos C = cos c sen B

de fórmulas auxiliares, grupo A cos C = cot a tg b c os B = cot a tg c sen c = cot B tg b sen b = cot C tg c 88

Estas fórmulas son muy fáciles de obtener cuando se aplica la regla mnemotécnica de Neper: "Puestos en orden circular los elemen tos 90 - b, 90 - c, B, a y C, se verifica que el coseno de cada elemento es igual al producto: a) de las cotangentes de los adyacentes b) de los senos de los opuestos’’ . Una buena manera de obtener el orden circular es dibujar el "pentágono de Neper'' .

Ejemplo: a tiene como adyacentes B y C; luego cos a = cot B cot C que coi ncide con la fórmula 4 anterior. a tiene como opuestos 900 - b y 900 - c; luego cos a = 0 sen (9 0 - c) = cos b cos c que coincide con la fórmula # 3 anterior.

sen (900 - b)

Lo mismo puede hacerse con los restantes elementos del pentágono de Neper. A veces, al resolv er un triángulo rectángulo, se presentan ángulos que se obtienen en base a calcularlos a partir del seno, lo que hace que se puedan obtener 2 valores del ángulo o del lado (uno de ellos agudo y otro obtuso); para eliminar las soluciones falsas es muy útil el teorema siguiente:

Teorema XIII - 4: Un cateto y su ángulo opuesto son simultáneamente agudos u obtusos. Dem.: de las fórmulas 5 y 6 del apartado anterior: cos B = cos b sen C cos C = cos c sen B

89 se deduce que, siendo sen C y sen B siempre positivos, cos B y cos b por un lado, y cos C y cos c por otro, tendrán el mismo sig no; y por tanto corresponderán a parejas de ángulo y lado ambos agudos o ambos obtusos.

Triángulos Rectiláteros Son aquellos que tienen un lado de 90 0. Si bien hay fórmu las especificas para ellos, nosotros, con lo visto hasta ahora, podríam os resolverlos por medio de una transformación, en 3 etapas: a) dado un triángulo rectilátero triángulo polar

t,

obtener los datos posibles del

t ', que será rectángulo.

b) resolver

t'

c ) obtener de

t ' los ángulos y lados desconocidos de t .

Como se ve, este proceso sigue las 3 etapas: transformar, resolver, invertir la transformación , que habíamos visto en la resolución de problemas mediante transformaciones geométricas.

Resolución de Triángulos esféricos cualesquiera Supondremos conocidos algunos lados y/o ángulos de un triángulo esférico convexo, en número suficiente para poder obtener los ángulos y lados desconocidos. Como en el caso de triángulos planos, bastan 3 datos para calcular los otros 3. Pero, al contrario que en triángulos planos, no necesitamos conocer ningún lado: los 3 ángulos definen completamente el triángulo esférico. L os casos que tienen solución son los siguientes: Caso 1: se conoce a, b y C (2 lados y el ángulo comprendido). Caso 2 : se conoce a, b y A (2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos). Caso 3: se conoce a, b y c (los 3 lados). Caso 4: se conoce A, B y c (2 ángulos y el lado comprendido). Caso 5: se conoce A, B y a (2 ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. Caso 6: se conoce A, B y C (los 3 ángulos). Los casos 4, 5 y 6 se pueden reducir a los 3 primeros trans formando el problema al triángulo polar. Vamos a estudiar con más detalle la resolución de los casos 1, 2 y 3.

90 Caso 1: Datos: a, b y C; del teorema de los cosenos de los lados: cos c ,= cos a cos b + sen a sen b cos C nos daría

c .)

El teorema de los senos, o las analogías de Neper 1) y 2) (fórmulas auxi liares, grupo D) nos darían A y B. Serían preferi bles las analogías de Neper que darían un solo valor para A y B; mientras que el teorema del seno daría 2 valores, uno de los cua les debería ser eliminado por aplicación del teorem a XII- 5 (a mayor ángulo se opone mayor lado). En cuanto a la fórmula de cos c, puede ser transformada para su cálculo con logaritmos de la siguiente manera: cos c = cos b (cos a + sen a tg b cos C) haciendo tg b cos C = tg ϕ cos c = co s b (cos a + sen a tg ϕ ) =

cos b cos ϕ

cos (a -

ϕ

)

Caso 2: Datos: a, b y A. El teorema de los senos da: sen B = sen A

senb sena

lo que nos dará 2 valores para B. Tal

vez correspondan a 2 soluciones válidas. Podemos aplicar el criterio de "a mayor ángulo se opone mayor lado"; lo que puede eliminar uno de los valores de B. Las analogías de Neper nº 1 y nº 3 nos permitirán hallar C y c . Este caso puede tener 2 soluciones, una o ninguna Caso 3. Datos: a, b y c . Las fórmulas auxiliares del grupo C permiten calcular cómodamente los ángulos. Este caso tiene una solución, o ninguna.

Área del Triángulo esférico Teorema XIII- 5: El área de un triángulo esférico es el exce so esférico A + B + C - 180, e xpresado en ángulos llanos, y m u l t i plicado por π R 2 ... Dem.: Llamamos huso esférico a la parte de la superficie esférica comprendida dentro de un ángulo de 2 círculos máximos:

91

El área de un huso de ángulo xo es proporcional a x y vale por tanto

4πR 2 s= x 360 Sea el triángulo esférico ABC, representando B y C en el plano del papel:

92 El área de los husos abarcados por A, B y C vale:

4πR2 A 360 4πR 2 B 360 4πR 2 C 360 Substituimos el huso de A por su opuesto, que tiene igual área (el l imita do por AC'A', y AB'A'). La suma de los 3 husos es una semiesfera más dos veces el áre a del triángulo (puesto que el triángulo A'B'C', por ser simétrico del ABC, tiene la misma área).

4πR 2 ( A+ B + C ) = 2πR2 + 2s 360

2πR 2 S= ( A+ B + C − 180 ) 2 X 180 A+ B + C − 180 S= xπR2 180

lggd.

Ejemplos de aplicaciones de trigonometría esférica Ejemplo 1 Calcular la distancia entre Piura y Buenos Aires, sabiendo que sus coordenadas son: 0

Piura:

latitud 5 11' sur longitud 800 36' oeste

Buenos Aires:

latitud 340 35' sur longitud 580 29' oeste.

Se supon drá (de acuerdo con la definición del metro) que la circunferencia máxima terrestre mide 40,000 Km.

93

El triángulo N -P-BA tiene: ángulo en N = 8 0 º36 - (58º2 9 ' ) = 22º7' = A El lado N P vale 90 0 + 5 011' = 95 011' = b El lado N - B . A. vale 90 0 + 3 4 035' = 124 035' = c El lado a representa la distancia buscada: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A = = cos b (cos c + sen c t g ϕ ) si tg ϕ = tg b cos A cos a =

cos b cos ϕ

cos (c -

ϕ ) (Fórmulas auxiliares, grupo B).

log tg b = 1 .042326 (- ) porque es negativa log cos A = 1 .966808 log tg ϕ = 1.009134 (- )

ϕ

= - 84 024' 26’ ’ c -

ϕ

= 208 059'26’ ’ N 28º59’ 26’ ’ 26’ '

log cos b = 2 .955894 (- ) log cos(c -

ϕ

col cos

) = 1 .941859 (- )

ϕ = 1.011186

log cos a = 1.908939 0 0 a= 35 49'16'' = 35 8211 ''

0

360 .... 40,000 Km. 35.8212... x = 3,980 K.

94 Ejemplo 2 El ángulo que forman dos aristas laterales contiguas de una pirámide octogonal regular es 20 0 . Calcular los diedros laterales de dicha pirámide y el ángulo sólido en el vértice. Cortando dicha pirámide por una esfera de centro en el vértice y radio

r

,

obtendremos un octógono regular esférico:

Uniendo el centro O con los vértices le forman 8 triángulos isósceles. Tomando uno cualquiera de ellos:

Buscamos por una parte el ángulo 2x y por otra el área del oc tógono. Descomponiendo el triángulo en 2 triángulos rectángulos, x = B buscado; según la regla mnemotécnica de Neper:

95

cos C = sen B cos c; s en B =

cos C cos c

log cos 22 030' = 1 .965615 col cos 100 = 0.006649 log sen B = 1.972264 0 B = 69 44' 25" = x

0

2x = 139 28' 50" Ángulo diedro buscado. La superficie del triángulo rectángulo vale

90 º + 22 º.5 + 69 º.7403 − 180 2 2.2403 2 πr = πr 180 180

Los 16 triángulos rectángulos que forman el octógono tienen:

S = 16 x

2.2408 2 πr 180

y el ángulo sólido en el vé rtice de la pirámide vale:

=

S 2.2403 = 16 x xπ = 0.6256 r2 180

esté reorradianes

Ejemplo 3 Resolver el triángulo esférico del que se conocen: a = 57 036' ; b = 31º14'; A = 104º25'

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A = siendo tgϕ= tg b cos A de donde: cos(c - ϕ ) =

cos b cos ϕ

cos a cos ϕ cos b

Aplicando el cálculo logarítmico: log tg b = 1 .782771 log cos A = 1 .396150 ( - ) log tg

ϕ ϕ

= 1. 1 7 8 9 2 1 ( - ) = - 8 0 35'8"

por ser negativo

cos(c -

ϕ)

96

log cos a = 1 .729024 log cos ϕ = 1 .995106 col cos b = 0.068002 log cos( c -

ϕ ) = 1 .792132

la 1a da una solución valida:

C1 - ϕ = 51°42'39 ''

c2 - ϕ

c = 43º7’31" Aplicando las b 31º14' c=437'31'

fórmulas

auxiliares,

grupo D, podemos calcular B y C.

c +b = 37 º10'46' ' 2 c −b = 5º 56'46' ' 2

A = 52º12'30' ' 2

c −b C−B 2 cot A tg = c +b 2 2 sen 2 c −b cos C+B 2 cot A tg = c +b 2 2 cos 2 C−B lo que da = 7 º34'19' ' 2 C+B = 44 º 4'9' ' 2 sen

o sea

C = 51º38'28"

= -51042'39"

B = 35º29' 50"

97 Ejemplo 4 Hallar el valor de los ángulos diedros del tetraedro. Resolución: córtese el tetraedro por una esfera con centro en un vértice. Se obtendrá un triángulo equilátero cuyos lados valen 60º. Dividiéndolo en 2 triángulos rectángulos:

cos B = cot a t g c = B = 70º 31' 44''

3 3 x = 3 3

0.333333

98

Ejercicios propuestos 1. Calcular los lados de un triángulo esférico equilátero cu yos ángulos valen 75º (R: 690 33' 42''). 2. Resolver el triángulo: a = 73 0 5 8 ' 54'' ; b = 380 4 5' ; C = 46º33' 41'' 0 0 (R: A = 11 6 9' 6'' ; B = 35 44' 15''; c = 510 2 ' ). 3. Resolver el triángulo: a = 270 59' 2'' ; b = 410 5 ' 6'' ; 0 c = 60 2 2' 2 5'' (R: A = 26. 0 40' 20'' ; B = 38º 57' 10'', c = 123 0 44' 20'' ). 4. Calcular cuánto mide, en Km., una milla marina, sabiendo que es el arco de circunferencia máxima de 1' . (R: 1.852 Km.). Hallar el valor de los ángulos 5 . Tetraedro (R: 6. Octaedro (R: 7 . Exaedro (R: 8. Dodecaedro (R: 9. Icosaedro (R:

diedros de los siguientes poliedros: 70 o 31' 4 3 ''.6). 109 0 28' 16'' .4). 90 0 ) 1160 35' 54'') 0 138 11' 22'' .8).

Nota: en cada vértice del tetraedro concurren 3 triángulos equiláteros. en cada vértice del octaedro concurren 4 triángulos equiláte ros en cada vértice del icosaedro concurren 5 triángulos equiláteros en cada vértice del dodecaedro concurren 3 pentágonos regulares. 10. Hallar los rectilíneos de los diedros de las aristas late rales y de la base de una pirámide regular cuya base sea un octó gono, y cuyas caras laterales tengan en el vértice ángulos de 1 5º. (R: diedros base: 71 0 28' 4''; diedros aristas laterales : 137 0 27').