CARA JITU MENGUASAI
Berisi kumpulan soal yang pernah dilombakan pada Olimpiade Matematika SD tingkat Kabupaten/Kota, Provinsi, Nasional, dan Internasional (Canadian Open Mathematics Challenge (COMC)) Materi diulas secara tuntas, konkret, dan terstruktur sehingga mudah dipahami oleh siswa
Penulis: Bimmo Dwi Baskoro, S.Si.
Kata Pengantar Buku
ini
disusun
untuk
membantu
siswa-siswi
SD/MI mahir
dalam
menyelesaikan soal-soal olimpiade matemtika. Perlu disadari bahwa tidak semua materi soal yang muncul pada kompetisi sekelas olimpiade matematika tercakup dalam kurikulum regular SD/MI. Oleh karena itu, diperlukan upaya lebih besar dalam mengenalkan soal olimpiade matematika dengan berbagai solusi yang sifatnya dapat merangsang siswa untuk berpikir secara kreatif. Buku ini diharapkan dapat dipelajari untuk digunakan sebagai alat Bantu dalam menghadapi kompetisi matematika, khususnya olimpiade matematika. Rincian pembahasan dalam buku ini terdiri atas soal olimpiade tingkat kabupaten/kota, provinsi, nasional, serta kompetisi matematika internasional. Akhirnya, penulis menyadari bahwa dengan segala keterbatasan dan kompleksitas dalam pengerjaan buku ini, tentu saja masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, masukan dari pembaca sangat penulis hargai dan penulis tunggu di alamat email:
[email protected]. Dengan segala kelebihan dan kekurangannya, penulis berharap semoga buku ini bermanfaat bagi pembaca.
Jakarta, Agustus 2009 Penulis
Selayang Pandang Olimpiade Matematika SD
Pesatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi hingga saat ini telah mengantarkan umat manusia ke era kompetisi global di berbagai kehidupan. Situasi demikian menuntut kita agar segera berbenah diri dan sekaligus menyusun langkah nyata guna menyongsong masa depan. Olimpiade Matematika tingkat SD/MI yang telah dirintis sejak tahun 2003 merupakan salah satu wadah strategis untuk merealisasikan paradigma pendidikan di atas. Pelaksanaan olimpiade secara berkelanjutan akan berdampak positif pada pelaksanaan proses pembelajaran sehingga menjadi lebih kreatif dan inovatif. Olimpiade Matematika tingkat SD/MI merupakan langkah awal bagi siswa-siswi SD/MI yang berbakat yang nantinya diharapkan terus mengikuti Olimpiade tingkat SMP dan SMA. Materi Olimpiade bersumber pada kurikulum SD/MI yang berlaku untuk mata pelajaran Matematika, buku pelajaran, buku penunjang, dan bahan lain yang relevan. Materi Olimpiade juga mencakup kemampuan menyelesaikan soal-soal eksplorasi (untuk Matematika), penalaran, kreativitas, serta pemahaman konsep. Khusus untuk Matematika, materi yang diujikan adalah soal-soal yang tidak rutin dengan tingkat kesulitan yang cukup tinggi untuk ukuran siswa SD. Ada dua format yang diberikan, yaitu format ujian dan format eksplorasi. Format ujian terdiri dari dua jenis, yaitu isian singkat dan uraian. Untuk soal isian singkat, peserta diminta untuk menuliskan jawaban soal saja. Format ini belum dapat menggambarkan bagaimana peserta memanfaatkan pengetahuan dan kompetensi matematikanya untuk menyelesaikan masalah. Gambaran demikian baru dapat diperoleh melalui format uraian. Materi ujian teori dapat dikelompokkan menjadi bilangan, geometri, pengukuran, data, dan matematika rekreasi. Materi eksplorasi lebih menekankan pada pencarian pola. Soal eksplorasi meminta peserta melakukan kegiatan mencoba-coba. Kegiatan ini diharapkan tidak hanya menyentuh aspek kognitif, tetapi juga aspek psikomotorik. Sebagai hasil mencoba-coba tersebut, peserta diharapkan dapat menemukan suatu pola dan memberikan pendapat yang bersifat umum tentang pola tersebut.
Seleksi Olimpiade Matematika SD/MI dilaksanakan secara berjenjang mulai dari tingkat sekolah, kecamatan, kabupaten/kota, provinsi, dan diakhiri dengan Olimpiade Sains Nasional.
Daftar Isi
Selayang Pandang Olimpiade Matematika SD/MI
Bagian I Olimpiade Tingkat Kabupaten/Kota Soal 1 Soal dan Pembahasan 1 Soal 2 Soal dan Pembahasan 2 Latihan
Bagian 2 Olimpiade Provinsi Soal Soal dan Pembahasan
Bagian 3 Olimpiade Tingkat Nasional Latihan
Bagian 4 Canadian Open Mathematics Championship English Text Problem Soal Teks Bahasa Indonesia Soal dan Pembahasan
Olimpiade Matematika SD Tingkat Kabupaten/Kota Soal 1 (A) Pilihan Ganda 1. Jika 467 dikalikan dengan 3, maka digit terakhir dari hasil perkalian tersebut adalah ... (a) 1 (b) 5 (c) 6 (d) 7
2. Kakek Nana mempunyai beberapa buah apel dan beberapa orang cucu. Apel tersebut dibagikan kepada cucu-cucunya. Jika setiap cucu mendapat masingmasing 2 buah apel, maka bersisa 2 buah apel. Sedangkan jika setiap cucu mendapat masing-masing 4 buah apel, maka ada seseorang yang tidak kebagian. Banyaknya apel dan cucu masing-masing adalah ... (a) 15 apel dan 7 cucu (b) 12 apel dan 5 cucu (c) 15 apel dan 4 cucu (d) 12 apel dan 6 cucu 3. Bilangan terkecil dari himpunan {0, –10, 4, 3, –2} adalah ... (a) –10 (b) 4 (c) –2 (d) 3
4. Perhatikan gambar di bawah ini!
1
Jika A adalah himpunan yang menyatakan banyaknya segitiga pada bangun tersebut, maka banyaknya anggota A adalah ... (a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 1 5. Rata-rata dari –6, –2, 0, 4, dan 5 adalah ... (a)
1 5
(b) 0 (c)
12 5
(d) 1
6. Berapakah luas bangun datar di bawah ini?
4 cm 4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
(a) 30 cm
2
(b) 46 cm2 (c) 50 cm2 (d) 56 cm2
7. Suhu udara pada hari Selasa 5°C lebih panas dari suhu udara pada hari Senin. Suhu udara pada hari Rabu 7°C lebih dingin dari suhu udara pada hari Senin. Jika suhu udara pada hari Selasa adalah 23°C, maka suhu udara pada hari Rabu adalah …
2
(a) 19°C (b) 23°C (c) 11°C (d) 31°C
8. ABC adalah sebuah bilangan. Jika ABC dibagi oleh 15, maka hasilnya adalah 8. Jika A adalah suatu bilangan yang 20 kurangnya dari ABC, maka nilai A adalah ... (a) 78 (b) 98 (c) 100 (d) 120
9. Soleh berjalan dari tempat A ke tempat B dengan kecepatan 6 km/jam selama 2 jam dan ia kembali ke tempat A dengan naik motor. Kecepatan rata-rata seluruh perjalanan Soleh bila perjalanan dari tempat B ke tempat A membutuhkan waktu 30 menit adalah ... (a) 8,5 km/jam (b) 8,6 km/jam (c) 9,5 km/jam (d) 9,6 km/jam
10. Nilai dari 0, 05 :
4 = ... 0, 4
(a) 0,005 (b) 0,05 (c) 0,5 (d) 5
11. Perhatikan gambar berikut ini!
3
Jika kertas lipat, dilipat menjadi 2 bagian yang sama besar, kemudian dilipat lagi menjadi 2 bagian yang sama besar dan dilipat lagi menjadi 2. Selanjutnya, tepat di tengah-tengah, kertas tadi dilubangi dengan paku. Ketika kertas dibuka maka di kertas terdapat terdapat … lubang. (a) 8 (b) 6 (c) 4 (d) 2
12. Diketahui bahwa semua tempat duduk pada suatu bus telah penuh dan ada 7 orang yang berdiri. Pada sebuah halte bus ada 10 orang yang turun dan ada 4 orang yang naik. Berapa orang yang berdiri pada bus tersebut? (a) Tidak ada (b) 1 (c) 2 (d) 3
13. Perhatikan gambar berikut ini! A
B
Jika panjang jari-jari lingkaran 13 cm dan panjang AB adalah 10 cm, maka
22 luas daerah yang diarsir pada gambar tersebut adalah … 7 (a) 300 cm2 (b) (196 120) cm2 (c) (169 240) cm2 (d) (169 120) cm2
14. Pedagang Es Dawet setiap harinya menghabiskan 70 gelas. Untuk membuat 2 gelas es dawet membutuhkan biaya Rp. 1.500. Ia menjual tiap gelas es dawet
4
seharga Rp. 1.500. Pada suatu hari pedagang itu hanya menghabiskan 40 gelas. Jika sisanya dijual dengan harga setengahnya dari harga semula, ternyata masih ada sisa 10 gelas. Pernyataan yang tepat untuk kasus di atas adalah … (a) Pedagang untung sebesar Rp. 37.500. (b) Pedagang rugi sebesar Rp. 37.500. (c) Pedagang tidak untung dan tidak rugi (d) Jawaban a, b, dan c salah semua
15. Nilai rata-rata ulangan IPA dari 6 orang anak adalah 6,8. Jika ditambah Aisyah, maka nilai rata-ratanya menjadi 7. Berapakah nilai Aisyah? (a) 6,5 (b) 7,2 (c) 8,2 (d) 8,8
(B) Soal Uraian 1. Sebuah bak mandi berbentuk balok yang berukuran panjang 50 cm, lebar 3 dm, dan tinggi 0,5 m. Diketahui bahwa Dinda mempunyai air sebanyak 525 liter. Berapakah banyaknya bak yang diperlukan Dinda untuk menampung semua air tersebut?
2. Perhatikan proses pengurangan di bawah ini!
2004 A7 19B7 Berapakah jumlah digit A dan B?
3. Seekor ayam berbunyi setiap 30 menit sekali dan bunyi pertama adalah tepat tengah malam. Pada malam yang sama, berapa menit lagikah ayam akan berbunyi setelah pukul 04:25?
5
4. Tiga puluh persen dari planet bumi diselimuti oleh daratan dan sisanya adalah air. Sembilan puluh tujuh persen dari air adalah air laut dan sisanya adalah air tawar. Berapakah persentase dari bumi yang diselimuti oleh air tawar?
5. Diketahui suatu persegi panjang EFGH. Panjang EF = 20 cm dan panjang FG = 15 cm. A adalah titik tengah garis FG, sedangkan B adalah titik tengah garis GH. Berapakah luas segitiga?
6. Angka 945 bisa dinyatakan sebagai perkalian dua bilangan ganjil yang keduanya lebih besar dari 1. Ada berapa banyak perkalian berbeda yang banyak dilakukan?
7. Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini! G
H
E
F
Jika panjang EF = 30 cm, AC = 40 cm, dan EH tegak lurus terhadap FG. Berapakah panjang EH?
3 8. Diketahui panjang lantai sebuah studio musik adalah 8 dan lebarnya adalah 4
7 m. Lantai tersebut dipasang ubin yang berbentuk persegi yang panjang sisinya 30 cm. Berapa banyak minimal ubin yang diperlukan untuk menutupi seluruh lantai?
9. Pipit akan mengambil tiga bilangan yang berbeda pada himpunan {5, 6, 7, 8, 9} untuk membentuk semua bilangan a
b b dengan catatan kurang dari 1 c c
6
6 (misalnya 5 ). Berapa selisih bilangan terkecil dan bilangan terbesar dari 7
bilangan-bilangan baru yang sudah dibentuk?
10. Aden ingin memasang iklan sebanyak 4 baris untuk mempromosikan barangnya. Untuk hari pertama, Aden harus membayar Rp. 500 tiap baris. Untuk 5 hari berikutnya, Aden harus membayar Rp. 200 tiap baris per hari. Lalu untuk hari-hari berikutnya Aden harus membayar Rp. 100 tiap baris per hari. Jika Aden membayar Rp 7.000, berapa hari iklan itu dipasang?
7
Olimpiade Matematika SD Tingkat Kabupaten/Kota Soal dan Pembahasan 1 (A) Pilihan Ganda 1. Jika 467 dikalikan dengan 3, maka digit terakhir dari hasil perkalian tersebut adalah ... (a) 1 (b) 5 (c) 6 (d) 7 Jawaban: (a) Pembahasan: Untuk mengetahui digit terakhir dari perkalian 467 dengan 3, maka cukup dengan mengalikan digit terakhir 467, yaitu 7 dikali 3 sama dengan 21. Jadi, digit terakhir dari perkalian 467 dengan 3 adalah 1.
2. Kakek Nana mempunyai beberapa buah apel dan beberapa orang cucu. Apel tersebut dibagikan kepada cucu-cucunya. Jika setiap cucu mendapat masingmasing 2 buah apel, maka bersisa 2 buah apel. Sedangkan jika setiap cucu mendapat masing-masing 4 buah apel, maka ada seseorang yang tidak kebagian. Banyaknya apel dan cucu masing-masing adalah ... (a) 15 apel dan 7 cucu (b) 12 apel dan 5 cucu (c) 15 apel dan 4 cucu (d) 12 apel dan 6 cucu Jawaban: (b) Pembahasan: Karena terdapat 2 variabel (peubah) yang tidak diketahui, maka untuk mengetahui jawabannya adalah dengan cara mengecek jawaban yang terdapat pada pilihan gandanya.
8
Jika setiap cucu mendapat 2 apel, maka bersisa 2 apel. Artinya, jumlah apel keseluruhan merupakan kelipatan 2 sehingga tidak mungkin jumlah apel tersebut 15, tetapi 12. Karena dari 12 permen yang dibagikan harus bersisa 2, maka jumlah permen yang dibagikan adalah sebanyak 12 – 2 = 10. Jadi, banyaknya cucu adalah:
Banyaknya semua apel Banyaknya apel yang diberikan
10 2
5
Dari pernyataan pertama sudah bisa diketahui banyaknya cucu. Untuk lebih memastikan, kita cek kebenaran tersebut dengan pernyataan kedua. Jika setiap cucu mendapatkan masing-masing 4 apel, maka ada 1 orang cucu yang tidak kebagian.
12 6 adalah pernyataan yang tepat, dimana 12 apel hanya bisa dibagikan 2 pada 2 cucu agar masing-masing cucu mendapatkan 6 apel. 3. Bilangan terkecil dari himpunan {0, –10, 4, 3, –2} adalah ... (a) –10 (b) 4 (c) –2 (d) 3 Jawaban: (a) Pembahasan: Sudah jelas bahwa bilangan terkecil dari himpunan {0, –10, 4, 3, –2} adalah – 17.
4. Perhatikan gambar di bawah ini!
9
Jika A adalah himpunan yang menyatakan banyaknya segitiga pada bangun tersebut, maka banyaknya anggota A adalah … (a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 1 Jawaban: (a) Pembahasan: Perhatikan gambar berikut ini! C
D
A
E
F
B
Yang merupakan segitiga adalah: ABC, ADF, BEF, CDE, dan DEF Jadi, terdapat 5 segitiga pada bangun tersebut. 5. Rata-rata dari –6, –2, 0, 4, dan 5 adalah ... (a)
1 5
(b) 0 (c)
12 5
(d) 1 Jawaban: (a) Pembahasan: Rata-rata dari sejumlah bilangan adalah hasil penjumlahan semua bilangan itu, kemudian hasilnya dibagi dengan banyaknya bilangan. Jadi, rata-rata dari –6, –2, 0, 4, dan 5 adalah:
10
Jumlah semua bilangan Banyaknya bilangan
6 2 0 4 5 5
1 5
6. Berapakah luas bangun datar di bawah ini?
4 cm 4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
(a) 30 cm2 (b) 46 cm2 (c) 50 cm2 (d) 56 cm2 Jawaban: (d) Pembahasan: Perhatikan gambar di berikut ini!
4 cm
4 cm
I
II
4 cm 4 cm
4 cm
4 cm
Pada gambar tersebut, diketahui bahwa gambar I adalah segitiga dan gambar II adalah persegi panjang. Luas bangun datar gabungan adalah penjumlahan
11
dari luas daerah bangun datar yang diketahui. Jadi, luas bangun datar gabungan tersebut adalah: Luas Bangun I + Luas Bangun II
1 4 4 12 4 2 8 48 56 cm2
7. Suhu udara pada hari Selasa 5°C lebih panas dari suhu udara pada hari Senin. Suhu udara pada hari Rabu 7°C lebih dingin dari suhu udara pada hari Senin. Jika suhu udara pada hari Selasa adalah 23°C, maka suhu udara pada hari Rabu adalah … (a) 19°C (b) 23°C (c) 11°C (d) 31°C Jawaban: (c) Pembahasan: Suhu udara pada hari selasa adalah 23°C. Suhu udara pada hari Selasa 5°C lebih panas dari suhu udara pada hari Senin sehingga suhu udara pada hari Senin adalah 23°C – 5°C = 18°C. Kemudian karena suhu udara pada hari Rabu lebih dingin 7°C daripada suhu udara pada hari Senin, maka suhu udara pada hari Rabu adalah 18°C – 7°C = 11°C.
8. ABC adalah sebuah bilangan. Jika ABC dibagi oleh 15, maka hasilnya adalah 8. Jika A adalah suatu bilangan yang 20 kurangnya dari ABC, maka nilai A adalah ... (a) 78 (b) 98 (c) 100 (d) 120 Jawaban: (c) Pembahasan:
12
ABC 8 15 ABC 15 8 120
Jika A adalah suatu bilangan yang 20 kurangnya dari ABC, maka A ABC 20 120 20
100
Jadi, A = 100.
9. Soleh berjalan dari tempat A ke tempat B dengan kecepatan 6 km/jam selama 2 jam dan ia kembali ke tempat A dengan naik motor. Kecepatan rata-rata seluruh perjalanan Soleh bila perjalanan dari tempat B ke tempat A membutuhkan waktu 30 menit adalah ... (a) 8,5 km/jam (b) 8,6 km/jam (c) 9,5 km/jam (d) 9,6 km/jam Jawaban: (d) Pembahasan: Kecepatan dari A ke B
= 8 km/jam
Waktu dari A ke B
= 2 jam
Waktu dari B ke A
= 0,5 jam
Kecepatan rata-rata total perjalanan
Jarak total Waktu total
Jarak total = Jarak dari A ke B + Jarak dari B ke A
Kecepatan dari A ke B
Jarak dari A ke B Waktu dari A ke B
13
Jarak dari A ke B
kecepatan dari A ke B waktu dari A ke B 6 km/jam 2 jam
12 km
Jarak total = 12 km + 12 km = 48 km
Waktu total: waktu dari A ke B + waktu dari B ke A
2 jam + 0,5 jam = 2,5 jam
Kecepatan rata-rata total perjalanan
24 km 9, 6 km/jam 2,5 jam
10. Nilai dari 0, 05 :
4 = ... 0, 4
(a) 0,005 (b) 0,05 (c) 0,5 (d) 5 Jawaban: (a) Pembahasan:
0, 05 :
4 0, 4 0, 05 0, 4 4 2 5 5 1 2 1 1 100 4 20 20 20 10
1 200
0,005
11. Perhatikan gambar berikut ini!
14
Jika kertas lipat, dilipat menjadi 2 bagian yang sama besar, kemudian dilipat lagi menjadi 2 bagian yang sama besar dan dilipat lagi menjadi 2. Selanjutnya, tepat di tengah-tengah, kertas tadi dilubangi dengan paku. Ketika kertas dibuka maka di kertas terdapat terdapat … lubang. (a) 8 (b) 6 (c) 4 (d) 2 Jawaban: (c) Pembahasan: Perhatikan gambar berikut ini!
Pada kertas tersebut terdapat 4 bagian yang sama besar sehingga jika kertas dilubangi dengan paku tepat di bagian tengah akan terdapat 4 buah lubang.
12. Diketahui bahwa semua tempat duduk pada suatu bus telah penuh dan ada 7 orang yang berdiri. Pada sebuah halte bus ada 10 orang yang turun dan ada 4 orang yang naik. Berapa orang yang berdiri pada bus tersebut? (a) Tidak ada (b) 1 (c) 2 (d) 3 Jawaban: (b) Pembahasan:
15
Jika pada suatu halte bus ada 10 orang yang turun dan ada 4 orang yang naik, maka maksudnya adalah jumlah penumpang berkurang dari 10 orang dan bertambah 4 orang. Jadi, bus tersebut berkurang 6 orang. Karena sebelumnya terdapat 7 orang yang berdiri di dalam bus, maka sekarang ada 1 orang yang berdiri.
13. Perhatikan gambar berikut ini! A
B
Jika panjang jari-jari lingkaran 13 cm dan panjang AB adalah 10 cm, maka 22 luas daerah yang diarsir pada gambar tersebut adalah … 7
(a) 300 cm2 (b) (196 120) cm2 (c) (169 240) cm2 (d) (169 120) cm2 Jawaban: (c) Pembahasan: Diketahui: AB = 10 cm Jari-jari lingkaran, r = 13 cm A
B
Kita tarik garis dari pusat lingkaran menuju titik A dan titik B.
16
A
10 cm
O B
Karena OA = OB = 13 cm, maka panjang garis O tegak lurus AB adalah: O
t=?
r = 13 cm
B
A 5 cm
Perhatikan segitiga siku-siku tersebut! Menurut Teorema Phytagoras, 2
2 2 1 AB t OA 2
52 t 132 2
25 t 169 2
t
2
169 25
t
2
144
t 144 t 12
Karena panjang persegi panjang di dalam lingkaran adalah 2 12 cm, maka luas persegi panjang adalah: Lpersegi panjang AB 2t
10 2 12 240 cm2 Luas lingkaran O adalah:
Llingkaran r 2
17
Llingkaran 13 = 169π cm2 2
Karena luas lingkaran dan luas persegi panjang sudah diketahui, maka luas daerah yang diarsir adalah: Llingkaran Lpersegi panjang
169 240 cm2
14. Pedagang Es Dawet setiap harinya menghabiskan 70 gelas. Untuk membuat 2 gelas es dawet membutuhkan biaya Rp. 1.500. Ia menjual tiap gelas es dawet seharga Rp. 1.500. Pada suatu hari pedagang itu hanya menghabiskan 40 gelas. Jika sisanya dijual dengan harga setengahnya dari harga semula, ternyata masih ada sisa 10 gelas. Pernyataan yang tepat untuk kasus di atas adalah … (a) Pedagang untung sebesar Rp. 37.500. (b) Pedagang rugi sebesar Rp. 37.500. (c) Pedagang tidak untung dan tidak rugi (d) Jawaban a, b, dan c salah semua Jawaban: (a) Pembahasan: 40 Rp. 1.500 Rp. 60.000
1 40 Rp. 1.500 Rp. 30.000 2
10 gelas terakhir tidak terjual. Seluruh pendapatannya adalah: = Rp. 60.000 + Rp. 30.000 = Rp. 90.000 Sedangkan modal yang penjual perlukan untuk membuat 70 gelas es dawet adalah:
70 Rp. 750 Rp. 52.500 Jadi, pedagang es dawet itu masih untung sebesar Rp. 90.000 – Rp. 52.500 = Rp. 37.500.
18
15. Nilai rata-rata ulangan IPA dari 6 orang anak adalah 6,8. Jika ditambah Aisyah, maka nilai rata-ratanya menjadi 7. Berapakah nilai Aisyah? (a) 6,5 (b) 7,2 (c) 8,2 (d) 8,8 Jawaban: (c) Pembahasan: Diketahui nilai rata-rata IPA 6 orang anak adalah 6,8. Misalkan nilai keenam anak itu adalah A, B, C, D, E, dan F. Sehingga:
ABCDE F 6,8 6
A B C D E F 6,8 6 A B C D E F 40,8 Kemudian, jika nilai Aisyah ditambahkan, maka nilai rata-ratanya menjadi 7. Misalkan nilai Aisyah adalah G. Sehingga:
A B C D E F G 7 7
A B C D E F G 7 7 A B C D E F G 49 40,8 G 49
G 49 40,8 G 8, 2
Jadi, nilai Aisyah adalah 8,2.
19
(B) Uraian 1. Sebuah bak mandi berbentuk balok yang berukuran panjang 50 cm, lebar 3 dm, dan tinggi 0,5 m. Diketahui bahwa Dinda mempunyai air sebanyak 525 liter. Berapakah banyaknya bak yang diperlukan Dinda untuk menampung semua air tersebut? Pembahasan: Diketahui: P = 50 cm = 5 dm L = 3 dm T = 0,5 m = 5 dm Sehingga, V P L T
5 3 5 dm3 75 dm3 75 liter Jika Dinda mempunyai 525 liter air, maka banyaknya bak yang diperlukan untuk menampung air tersebut adalah: 525 liter 7 bak 75 liter
2. Perhatikan proses pengurangan di bawah ini!
2004 A7 19B7 Berapakah jumlah digit A dan B? Pembahasan: Pengurangan pada kolom satuan adalah 4 – 7 = 7. Ini berarti, angka 1 dikurangkan pada kolom puluhan. Pengurangan pada kolom puluhan adalah 9 – A = B. Jadi, sesuai dengan kaidah penjumlahan nilai A + B = 9.
20
3. Seekor ayam berbunyi setiap 30 menit sekali dan bunyi pertama adalah tepat tengah malam. Pada malam yang sama, berapa menit lagikah ayam akan berbunyi setelah pukul 04:25? Pembahasan: Bunyi pertama adalah tepat tengah malam, yaitu pukul 00.00. Bunyi berikutnya adalah setiap kelipatan 30 menit. Lamanya waktu dari pukul 00:00 sampai pukul 04:25 adalah: 4 jam 25 menit
4 60 menit 25 menit 240 menit + 25 menit
= 265 menit Selanjutnya, kita mencari kelipatan 30 terbesar yang lebih kecil dari 265 menit. 265 5 8 30 6
Kelipatan 30 terbesar yang lebih kecil dari 265 adalah 8 30 = 240. Karena dari menit ke-240 untuk menuju menit ke-265 (pukul 04:25) membutuhkan 25 menit, maka kita tinggal membutuhkan 5 menit lagi agar sampai pada kelipatan 30 menit pertama setelah pukul 04:25. Perhatian: waktu 5 menit berasal dari 30 – 25 menit.
4. Tiga puluh persen dari planet bumi diselimuti oleh daratan dan sisanya adalah air. Sembilan puluh tujuh persen dari air adalah air laut dan sisanya adalah air tawar. Berapakah persentase dari bumi yang diselimuti oleh air tawar? Pembahasan: Jika 30% dari bumi diselimuti oleh daratan, maka 70% diselimuti oleh air. Kemudian jika 97% dari air adalah air garam, maka 3% dari air adalah air tawar. Jadi, persentase air tawar yang menyelimuti bumi adalah: 3% 70% 0,03 0,7 0,021
= 2,1%
21
5. Diketahui suatu persegi panjang EFGH. Panjang EF = 20 cm dan panjang FG = 15 cm. A adalah titik tengah garis FG, sedangkan B adalah titik tengah garis GH. Berapakah luas segitiga? Pembahasan: Perhatikan gambar di bawah ini! H
B
G
A
E
F
Diketahui: EF = 20 cm FG = 15 cm BG = HB dan AF = AG Karena BG = HB, maka: BG HB
1 GH 2
1 20 cm 10 cm 2
AF GA
1 FG 2
1 15 cm 7,5 cm 2
Luas ΔEAB Lpersegi panjang ABCD LEFA LEHB LGBA
1 1 1 EF FG EF FA EH HB GB BA 2 2 2
22
1 1 1 20 15 20 7,5 15 10 7,5 10 cm 2 2 2 2
300 75 75 37,5 cm2 112,5 cm2
6. Angka 945 bisa dinyatakan sebagai perkalian dua bilangan ganjil yang keduanya lebih besar dari 1. Ada berapa banyak perkalian berbeda yang banyak dilakukan? Pembahasan: Nyatakan 945 sebagai perkalian faktor-faktornya yang ganjil. Amati pohon faktor berikut ini! 945
3
315
3
315 3
105 3
35 7
5
945 dapat dinyatakan sebagai I. 3 315 II. 5 (7 3 3 3 3) III. 7 (3 3 3 3 5) IV. (3 3 3 3) (7 5) V. (3 3 3 7) (3 5) VI. (3 3 3 5) (3 7) VII. (3 3 5 7) (3 3) Jadi, terdapat 7 cara untuk menyatakan 945 sebagai hasil perkalian 2 bilangan ganjil.
7. Perhatikan segitiga siku-siku di bawah ini!
23
G
H
E
F
Jika panjang EF = 30 cm, AC = 40 cm, dan EH tegak lurus terhadap FG. Berapakah panjang EH? Pembahasan: Dengan memanfaatkan rumus luas segitiga, kita dapat menghitung luas segitiga sebagai 1 1 EF EG atau sebagai FG EH 2 2
Jadi,
1 1 EF EG FG EH (kalikan kedua ruas dengan 2) 2 2
Sehingga diperoleh: EF EG = FG EH 40 30 = 50 EH 1200 50 EH
EH
1.200 50
24
Jadi, panjang EH adalah 24 cm.
3 8. Diketahui panjang lantai sebuah studio musik adalah 8 dan lebarnya adalah 4
7 m. Lantai tersebut dipasang ubin yang berbentuk persegi yang panjang sisinya 30 cm. Berapa banyak minimal ubin yang diperlukan untuk menutupi seluruh lantai? Pembahasan: Diketahui ukuran lantai kamar adalah
24
3 P 8 m = 7,25 m = 725 cm 4
L = 7 m = 700 cm Sehingga, luas lantai P L 875 cm 700 cm
612.500 cm2
Sedangkan, luas lantai ubin S S 30 cm 30 cm
900 cm2
Jadi, banyaknya ubin yang diperlukan untuk menutupi seluruh lantai adalah
Luas lantai 612.500 Luas tiap ubin 900
6.125 9
680
5 9
Jadi, supaya lantai ditutupi ubin dengan sempurna, maka setidaknya harus memiliki 681 ubin.
9. Pipit akan mengambil tiga bilangan yang berbeda pada himpunan {5, 6, 7, 8, 9} untuk membentuk semua bilangan a
b b dengan catatan kurang dari 1 c c
6 (misalnya 5 ). Berapa selisih bilangan terkecil dan bilangan terbesar dari 7
bilangan-bilangan baru yang sudah dibentuk? Pembahasan: Perhatikan bahwa a, b, dan c ketiganya harus berbeda. Oleh karenanya, 6 7 bilangan terkecilnya adalah 5 dan bilangan terbesarnya adalah 9 . Jadi, 9 8
selisihnya: 7 6 9 5 8 9
25
79 51 8 9
79 9 51 8 72 72
711 408 72 72
303 72
4
15 72
10. Aden ingin memasang iklan sebanyak 4 baris untuk mempromosikan barangnya. Untuk hari pertama, Aden harus membayar Rp. 500 tiap baris. Untuk 5 hari berikutnya, Aden harus membayar Rp. 200 tiap baris per hari. Lalu untuk hari-hari berikutnya Aden harus membayar Rp. 100 tiap baris per hari. Jika Aden membayar Rp 7.000, berapa hari iklan itu dipasang? Pembahasan: Karena memasang 4 baris, maka pada hari pertama harus membayar 4 Rp. 250 Rp. 2.000 .
Hari ke-2 sampai hari ke-6 harus membayar 4 5 Rp. 200 Rp. 4.000 . Hari berikutnya harus membayar Rp. 100 per hari. Aden membayar iklan Rp. 7.000.
Biaya iklan yang digunakan setelah hari ke-6 adalah Rp. 7.000 – (Rp. 2.000 + Rp. 4.000) = Rp. 7.000 – Rp. 6.000 = Rp. 1.000
Banyaknya hari setelah hari ke-6 adalah =
Rp. 1.000 = 10 Rp. 100
Jadi, Aden memasang iklan selama (1 + 5 + 10) hari = 16 hari.
26
Olimpiade Matematika SD Tingkat Kabupaten/Kota Soal 2 (A) Pilihan Ganda 1. Banyaknya kelereng Adi dua kali kelereng Zaki. Banyaknya kelereng Imam tiga kali banyaknya kelereng Adi. Jumlah seluruh kelereng mereka ada 846 butir. Banyaknya kelereng Imam adalah ... (a) 658 butir (b) 564 butir (c) 188 butir (d) 94 butir
2. Harga 9 bungkus cokelat adalah Rp. 72.000,-. Harga 3 bungkus permen adalah Rp. 12.000,-. Hadi ingin membeli 4 bungkus cokelat dan 2 bungkus permen. Uang yang harus dibayar Hadi adalah ... (a) Rp. 32.000,(b) Rp. 40.000,(c) Rp. 42.000,(d) Rp. 312.000,-
3. Sebuah perusahaan peternakan ayam menyeleksi 5.000 ayam. Ternyata terdapat 904 ayam yang kurang produktif. Banyaknya ayam yang masih cukup produktif adalah ... (a) 153 (b) 163 (c) 173 (d) 183
4. Arif duduk di kursi pada suatu ruangan. Di belakang dia terdapat sebuah jam weker dan tepat di depan dia terdapat sebuah cermin. Di cermin, dia melihat bayangan jam weker seperti pada gambar di bawah ini.
27
Jam berapakah yang ditunjukkan oleh weker tersebut pada saat itu? (a) 04:10 (b) 07:50 (c) 05:10 (d) 04:50 5. Jika 2, 4 106 dikalikan dengan 3, maka hasilnya adalah ... (a) 7,2 106 (b) 7,2 1012 (c) 7,2 103 (d) 2,4 1018
6. 4,127 A 63
5 72, 415 8
Nilai A adalah ... (a) 4,663 (b) 4,783 (c) 6,663 (d) 7,288
7. Perhatikan gambar berikut ini! F
G
O
Jika luas daerah FOG pada lingkaran di atas adalah 20% dari luas lingkaran penuh, maka besar sudut FOG adalah ...
28
(a) 90° (b) 72° (c) 70° (d) 36° 8. Sebuah kamar berbentuk persegi panjang dengan ukuran 6 m 5,4 m. Kamar tersebut akan dipasangi ubin berbentuk persegi dengan panjang sisi 30 cm. Jumlah ubin yang diperlukan adalah … (a) 38 buah (b) 108 buah (c) 360 buah (d) 380 buah
9. Sebuah mobil berlaju dengan kecepatan 72 km/jam. Jarak yang ditempuhnya dalam waktu 135 detik adalah … (a) 2,7 km (b) 4,5 km (c) 5,4 km (d) 9,72 km
10. Perhatikan gambar berikut ini!
Berapakah jumlah binatang pada lingkaran tetapi tidak pada segi lima? (a) 3 ekor (b) 5 ekor
29
(c) 8 ekor (d) 10 ekor
11. Setiap meja di kelas Andi digunakan oleh dua orang temanku. Andi duduk dikelas sehingga ada sebuah meja di sebelah kanan, kiri, dan di depannya. Sedangkan ada dua meja lagi di belakangku. Jadi, banyaknya siswa di kelanya adalah … (a) 24 orang (b) 20 orang (c) 16 orang (d) 12 orang
12. Manakah di antara gambar di bawah ini yang merupakan jaring-jaring kubus? (a)
(b)
(c)
(d)
13. Perhatikan bangun berikut ini!
30
Besarnya sudut pada tiap titik sudut dalam gambar tersebut adalah ... (a) 72° (b) 98° (c) 108° (d) 144°
14. Perhatikan pola gambar berikut ini!
? Bentuk yang paling sesuai untuk mengisi bagian yang bertanda tanya adalah ... (a)
(b)
(c)
(d)
15. ABC adalah suatu segitiga sama kaki dimana AB = AC dan besar BAC 92 . A 92°
D
B
C
Jika sisi BC diperpanjang sampai D, maka besar DBA adalah ... (a) 88° (b) 44° (c) 92°
31
(d) 136°
(B) Soal Uraian 1. Misalkan Z* melambangkan
1 1 . Sebagai contoh, 4* . Berapa banyaknya 4 Z
pernyataan di bawah ini yang benar?
2* 4* 6*
2*4* 8*
7* 3* 4*
16* 4* 4*
2. Tiga gelas air dituangkan ke dalam ember, ternyata dapat mengisi setengah dari ember tersebut. Kemudian ember tersebut diisi lagi 1 gelas air yang ukurannya sama. Berapa bagiankah air yang mengisi ember sekarang? 3. Berapakah nilai S jika S = 1 2 + 3 4 + … + 99 100?
4. Sebuah perusahaan memperkerjakan 4 kali jumlah pekerja tahun lalu. Diketahui jumlah pekerja tahun lalu 30 orang kemudian yang berhenti bekerja sebanyak 5 orang, sedangkan yang masuk adalah 2 kali dari banyaknya yang berhenti. Berapakah banyaknya pekerja sekarang?
5. Rata-rata dari 5 bilangan adalah 12 dan rata-rata dari 6 bilangan adalah 15. Berapa rata-rata dari 11 bilangan tersebut?
6. Seorang pegawai mengalami kenaikan gaji dari Rp. 1.000.000,- per bulan menjadi Rp. 1.200.000,- per bulan. Berapa persentase kenaikan gaji pegawai tersebut?
7. Uning mendapat gaji Rp. 15.000,- per hari dan Fatkur mendapat gaji Rp. 25.000,- per hari. Setelah berapa hari Uning bekerja dan setelah berapa hari Fatkur bekerja sehingga gaji mereka jumlahnya sama?
32
8. Berat maksimum penumpang pada sebuah lift adalah 1.500 kg. Rata-rata berat badan dari semua orang yang menumpangi lift tersebut adalah 50 kg. Karena kelebihan 100 kg, lift tersebut tidak bisa naik. Berapa banyak orang yang menumpangi lift tersebut?
9. Hari ini Deri harus menemui Bobi pada pukul 10.00 di rumah Bobi. Jarak rumah Deri dan Bobi adalah 60 km. Deri menaiki mobil dengan kecepatan 80 km/jam dan ternyata Deri terlambat 20 menit pada saat tiba di rumah Bobi. Pukul berapa Deri berangkat dari rumahnya?
10. Sejumlah uang akan dibagikan kepada Lutfi, Iwan, dan Rio. Lutfi 1 1 mendapatkan Rp. 2.000,-, sedangkan Iwan dan Rio mendapatkan dan dari 3 4
seluruh uang yang dibagikan. Berapakah jumlah seluruh uang yang dibagikan?
33
Olimpiade Matematika SD Tingkat Kabupaten/Kota Soal dan Pembahasan 2 (A) Pilihan Ganda 1. Banyaknya kelereng Adi dua kali kelereng Zaki. Banyaknya kelereng Imam tiga kali banyaknya kelereng Adi. Jumlah seluruh kelereng mereka ada 846 butir. Banyaknya kelereng Imam adalah ... (a) 658 butir (b) 564 butir (c) 188 butir (d) 94 butir Jawaban: (b) Pembahasan: Misalkan n(A) adalah banyaknya kelereng Adi, n(Z) adalah banyaknya kelereng Zaki, dan n(I) adalah banyaknya kelereng Imam. Diketahui bahwa banyaknya kelereng ketiganya adalah 846 dimana: n(A) = 2 n(Z) → n(Z) = ½ n(A) n(I) = 3 n(A) Sehingga, n(A) + n(I) + n(Z) = 846 n(A) + 3 n(A) + ½ n(A) = 846 9 n(A) 846 2 n(A)
846 2 = 188 9
Jadi, banyaknya kelereng Imam adalah n(I) = 3 n(A) = 3 188 = 564.
2. Harga 9 bungkus cokelat adalah Rp. 72.000,-. Harga 3 bungkus permen adalah Rp. 12.000,-. Hadi ingin membeli 4 bungkus cokelat dan 2 bungkus permen. Uang yang harus dibayar Hadi adalah ... (a) Rp. 32.000,(b) Rp. 40.000,-
34
(c) Rp. 42.000,(d) Rp. 312.000,Jawaban: (b) Pembahasan: Misalkan C menotasikan harga satuan cokelat dan P menotasikan harga satuan permen sehingga 9C = Rp. 72.000,- dan 3P = Rp. 4.000,-. Oleh karenya, C
Rp. 72.000, Rp. 8.000,9
P
Rp. 12.000, Rp. 4.000,3
Jadi, harga 4 buah cokelat dan 2 buah permen adalah 4C + 2P = Rp. 32.000,- + Rp. 8.000,- = Rp. 40.000,-
3. Sebuah perusahaan peternakan ayam menyeleksi 5.000 ayam. Ternyata terdapat 904 ayam yang kurang produktif. Banyaknya ayam yang masih cukup produktif adalah ... (a) 153 (b) 163 (c) 173 (d) 183 Jawaban: (b) Pembahasan: Banyaknya ayam yang masih cukup produktif adalah Banyaknya ayam Banyaknya ayam non-produktif
5000 904 4096
163
4. Arif duduk di kursi pada suatu ruangan. Di belakang dia terdapat sebuah jam weker dan tepat di depan dia terdapat sebuah cermin. Di cermin, dia melihat bayangan jam weker seperti pada gambar di bawah ini.
35
Jam berapakah yang ditunjukkan oleh weker tersebut pada saat itu? (a) 04:10 (b) 07:50 (c) 05:10 (d) 04:50 Jawaban: (d) Pembahasan: Perlu diperhatikan bahwa jika kita mencerminkan apa pun maka arah yang ditunjukkan oleh cermin selalu berkebalikan. Benda yang berada kanan akan terlihat berada di sebelah kiri. Untuk menyelesaikan soal ini, terlebih dahulu kita gambar kembali weker hasil pencerminan, kemudian kita buat cermin buatan seperti gambar di bawah ini. 12
9
3
6
Jadi, waktu yang ditunjukkan oleh weker pada saat itu adalah pukul 04:50. 5. Jika 2, 4 106 dikalikan dengan 3, maka hasilnya adalah ... (a) 7,2 106 (b) 7,2 1012 (c) 7,2 103 (d) 2,4 1018 Jawaban: (a) Pembahasan:
36
3 2, 4 106 7, 2 106
6. 4,127 A 63
5 72, 415 8
Nilai A adalah ... (a) 4,663 (b) 4,783 (c) 6,663 (d) 7,288 Jawaban: (a) Pembahasan: 4,127 A 63
5 72, 415 8
A 67,752 72, 415 A 72, 415 67,752 A 4,663
7. Perhatikan gambar berikut ini! F
G
O
Jika luas daerah FOG pada lingkaran di atas adalah 20% dari luas lingkaran penuh, maka besar sudut FOG adalah ... (a) 90° (b) 72° (c) 70° (d) 36° Jawaban: (b) Pembahasan:
37
Luas daerah FOG pada lingkaran di atas adalah 20% dari luas lingkaran penuh. Besarnya sudut FOG adalah 20% dari total sudut lingkaran yaitu: 20% 360
20 360 100
1 360 5 72
8. Sebuah kamar berbentuk persegi panjang dengan ukuran 6 m 5,4 m. Kamar tersebut akan dipasangi ubin berbentuk persegi dengan panjang sisi 30 cm. Jumlah ubin yang diperlukan adalah … (a) 38 buah (b) 108 buah (c) 360 buah (d) 380 buah Jawaban: (c) Pembahasan: Diketahui ukuran lantai kamar adalah P = 6 m = 600 cm L = 5,4 cm = 540 cm Luas lantai P L 600 cm 540 cm
324.000 cm2 Luas ubin S S 30 cm 30 cm 900 cm2
Jadi, banyaknya ubin yang diperlukan untuk menutupi seluruh lantai adalah
Luas lantai 324.000 Luas tiap ubin 900
3.240 360 9
38
9. Sebuah mobil berlaju dengan kecepatan 72 km/jam. Jarak yang ditempuhnya dalam waktu 135 detik adalah … (a) 2,7 km (b) 4,5 km (c) 5,4 km (d) 9,72 km Jawaban: (a) Pembahasan: Untuk menyelesaikan soal ini terlebih dahulu kita mengubah satuan km/jam menjadi m/s (meter per detik) sebagai berikut. v (kecepatan) 72 20
km 1.000 m 1 jam jam 1 km 3.600 detik m detik
Kita dapat mengetahui jarak yang ditempuh dalam lamanya waktu perjalanan dari rumus kecepatan: s v t
dimana:
v = kecepatan s = jarak yang ditempuh t = waktu
Pada soal diketahui bahwa: v = 20 m/detik t = 135 detik Jadi, waktu yang ditempuh adalah s v t
s 20
m 135 detik detik
s 2.700 m 2,7 km
10. Perhatikan gambar berikut ini!
39
Berapakah jumlah binatang pada lingkaran tetapi tidak pada segi lima? (a) 3 ekor (b) 5 ekor (c) 8 ekor (d) 10 ekor Jawaban: (b) Pembahasan: Jumlah binatang pada lingkaran sebanyak 8 ekor. Jumlah binatang yang terdapat pada segi lima dan lingkaran sebanyak 3 ekor. Jadi, jumlah binatang pada lingkaran tetapi tidak pada segi lima sebanyak 8 – 3 = 5 ekor.
11. Setiap meja di kelas Andi digunakan oleh dua orang temannya. Andi duduk di kelas sehingga ada sebuah meja di sebelah kanan, kiri, dan di depannya. Sedangkan ada dua meja lagi di belakangnya. Jadi, banyaknya siswa di kelas Andi adalah … (a) 24 orang (b) 20 orang (c) 16 orang (d) 12 orang Jawaban: (d) Pembahasan: Agar dapat menjawab soal berikut, kita dapat menggunakan gambar denah bangkunya sebagai berikut
40
Kotak yang diarsir adalah meja Andi. Banyaknya meja tersebut adalah 6 buah sehingga jumlah siswa pada kelas tersebut adalah 2 6 12 siswa.
12. Manakah di antara gambar di bawah ini yang merupakan jaring-jaring kubus? (a)
(b)
(c)
(d)
Jawaban: (c) Pembahasan: Gambar yang tepat menggambarkan jaring-jaring kubus adalah
41
Pada jejaring kubus tersebut yang merupakan alas adalah kotak yang diarsir.
13. Perhatikan bangun berikut ini!
Besarnya sudut pada tiap titik sudut dalam gambar tersebut adalah ... (a) 72° (b) 98° (c) 108° (d) 144° Jawaban: (a) Pembahasan: Bangun tersebut merupakan bangun segi lima dengan besarnya sudut pada tiap titik sudut sama besarnya. Jumlah sudut pada tiap titik sudut dalam gambar tersebut adalah 360°. Jadi, besarnya sudut pada tiap titik sudut dalam bangun segi lima adalah 360 360 72 n 5
14. Perhatikan pola gambar berikut ini!
? Bentuk yang paling sesuai untuk mengisi bagian yang bertanda tanya adalah ... (a)
(b)
(c)
42
(d)
Jawaban: (a) Pembahasan: Perhatikan bahwa pada deretan gambar-gambar hanya terdapat 3 gambar yang berbeda.
? Jadi, gambar yang bertanda tanya adalah potongan dari gambar sebelumnya yaitu
15. ABC adalah suatu segitiga sama kaki dimana AB = AC dan besar BAC 92 . A 92°
D
B
C
Jika sisi BC diperpanjang sampai D, maka besar DBA adalah ... (a) 88° (b) 44° (c) 92° (d) 136° Jawaban: (d) Pembahasan: Perhatikan gambar berikut ini!
43
A 92°
D
136° 44° B
44° C
Karena AB = AC dan BAC 92 , maka: ABC ACB 180 BAC 180 92 88 ABC ACB 44
Jadi, besarnya sudut DBA adalah DBA 180 ABC 180 44
136
(B) Soal Uraian 1. Misalkan Z* melambangkan
1 1 . Sebagai contoh, 4* . Berapa banyaknya 4 Z
pernyataan di bawah ini yang benar?
2* 4* 6*
2*4* 8*
7* 3* 4*
16* 4* 4*
Pembahasan: Kita cek satu per satu.
2* 4*
1 1 2 1 3 1 6* 2 4 4 4 6
Jadi, pernyataan 2* 4* 6* adalah pernyataan yang salah.
1 1 1 2* 4* 8* 2 4 8 Jadi, pernyataan 2*4* 8* adalah pernyataan yang benar.
44
7* 3*
1 1 37 4 1 4* 7 3 21 21 4
Jadi, pernyataan 7* 3* 4* adalah pernyataan yang salah.
16* 4*
1 1 1 4 4 1 : 4* 16 4 16 1 16 4
Jadi, pernyataan 16* 4* 4* adalah pernyataan yang salah. Terdapat 2 pernyataan yang benar.
2. Tiga gelas air dituangkan ke dalam ember, ternyata dapat mengisi setengah dari ember tersebut. Kemudian ember tersebut diisi lagi 1 gelas air yang ukurannya sama. Berapa bagiankah air yang mengisi ember sekarang? Pembahasan: 3 gelas air dapat mengisi
1 ember. Oleh karenanya, 2
1 gelas air dapat mengisi
2 1 1 ember = ember. 3 23 6
Jadi, 4 gelas air dapat mengisi 4
1 4 2 ember ember ember. 6 6 3
3. Berapakah nilai S jika S = 1 2 + 3 4 + … + 99 100? Pembahasan: 1 2 3 4
99 100
1 2 3 4 1 1
99 100
1
50 1 50
4. Sebuah perusahaan memperkerjakan 4 kali jumlah pekerja tahun lalu. Diketahui jumlah pekerja tahun lalu 30 orang kemudian yang berhenti bekerja sebanyak 5 orang, sedangkan yang masuk adalah 2 kali dari banyaknya yang berhenti. Berapakah banyaknya pekerja sekarang? Pembahasan:
45
Karena tahun lalu banyaknya pekerja = 30 orang, maka perusahaan itu mempekerjakan 3 30 orang = 90 orang. Pekerja yang berhenti = 5 orang. Pekerja yang masuk = 2 5 orang = 10 orang. Jadi, banyaknya pekerja sekarang:
90 5 10 95 orang
5. Rata-rata dari 5 bilangan adalah 12 dan rata-rata dari 6 bilangan adalah 15. Berapa rata-rata dari 11 bilangan tersebut? Pembahasan: Dari 5 bilangan yang pertama diperoleh jumlah kelima bilangan tersebut adalah 5 12 . Kemudian dari 6 bilangan selanjutnya diperoleh jumlah kelima bilangan tersebut adalah 6 15 80. Jadi, jumlah kesebelas bilangan adalah 60 + 80 = 140. Oleh karena itu, rata-rata kesembilan bilangan itu adalah 140 12, 73 . 11
6. Seorang pegawai mengalami kenaikan gaji dari Rp. 1.000.000,- per bulan menjadi Rp. 1.200.000,- per bulan. Berapa persentase kenaikan gaji pegawai tersebut? Pembahasan: Besarnya kenaikan gaji: = Rp. 1.200.000,- – Rp. 1.000.000,= Rp. 200.000,Persentase kenaikan gaji:
Besar kenaikan gaji 100% Besarnya gaji awal
Rp. 200.000,100% Rp. 1.000.000,-
20%
46
7. Uning mendapat gaji Rp. 15.000,- per hari dan Fatkur mendapat gaji Rp. 25.000,- per hari. Setelah berapa hari Uning bekerja dan setelah berapa hari Fatkur bekerja sehingga gaji mereka jumlahnya sama? Pembahasan: Terdapat banyak kemungkinan jawaban. Salah satu jawaban dapat diperoleh dengan cara mencari KPK dari 15.000 dan 25.000 yaitu 75.000 dimana jumlah tersebut diperoleh setelah Uning bekerja 5 hari dan Fatkur bekerja 3 hari.
8. Berat maksimum penumpang pada sebuah lift adalah 1.500 kg. Rata-rata berat badan dari semua orang yang menumpangi lift tersebut adalah 50 kg. Karena kelebihan 100 kg, lift tersebut tidak bisa naik. Berapa banyak orang yang menumpangi lift tersebut? Pembahasan: Berat maksimum dari lift adalah 1.500 kg dan berat penumpang kelebihan 100 kg. Jadi, berat totalnya adalah 1.500 kg + 100 kg = 1.600 kg. Karena berat rata-rata tiap penumpang adalah 50 kg, maka banyaknya penumpang dalam lift tersebut adalah:
Berat total penumpang Berat rata-rata tiap penumpang
1.600 kg 50 kg
32 orang
9. Hari ini Deri harus menemui Bobi pada pukul 10.00 di rumah Bobi. Jarak rumah Deri dan Bobi adalah 60 km. Deri menaiki mobil dengan kecepatan 80 km/jam dan ternyata Deri terlambat 20 menit pada saat tiba di rumah Bobi. Pukul berapa Deri berangkat dari rumahnya? Pembahasan: Untuk mengetahui waktu Deri berangkat dari rumahnya, perlu diketahui lamanya waktu Deri menempuh perjalanan. Kita dapat mengetahui lamanya waktu perjalanan dari rumus kecepatan
t
s v
47
dimana:
v = kecepatan s = jarak yang ditempuh t = waktu
Pada soal diketahui bahwa: v = 80 km/jam s = 60 km Jadi, waktu yang ditempuh Deri
t
s v
60km km 80 jam
3 3 jam 60 menit 4 4
45 menit
Karena Deri terlambat 20 menit dari waktu yang seharusnya ia datang pukul 10.00, maka Deri datang pada pukul 10:20. Karena waktu yang ditempuh Deri selama 45 menit, maka Deri berangkat dari rumahnya pada pukul 10:20 – 00:45 = 09:35.
10. Sejumlah uang akan dibagikan kepada Lutfi, Iwan, dan Rio. Lutfi 1 1 mendapatkan Rp. 2.000,-, sedangkan Iwan dan Rio mendapatkan dan dari 3 4
seluruh uang yang dibagikan. Berapakah jumlah seluruh uang yang dibagikan? Pembahasan: Misalkan seluruh uang yang dibagikan adalah Rp. N,-, maka 1 1 N 2.000 N N 3 4
1 1 N 2.000 N 3 4 43 N 2.000 N 12 N 2.000
7 N 12
48
N
7 N 2.000 12
5 N 2.000 12 N
12 2.000 5
N 4.800
Jadi, seluruh uang yang dibagikan adalah Rp. 4.800,-.
49
Olimpiade Matematika SD Tingkat Kabupaten/Kota Latihan 1 (A) Soal Pilihan Ganda 1. 103 + 102 + 100 = ... (a) 1110 (b) 110 (c) 1101 (d) 1011
2. Nilai dari 4
(a)
3 10
(b)
10 3
(c)
3 5
(d)
4 5
1 1 1 2
adalah ...
3. Yang merupakan bilangan ganjil adalah ... (a) 42 (b) 25 – 18 (c) 8 40 (d) 80 : 8
4. Berapa sisa pembagian 79.680 oleh 14? (a) 0 (b) 4 (c) 5
50
(d) 6
5. Berapa luas bangun datar di bawah ini? 14 cm
4 cm
28 cm
(a) 178 cm2 (b) 183 cm2 (c) 189 cm2 (d) 192 cm2
6. Rata-rata berat badan dari 12 wanita adalah 50 kg. Berapakah rata-rata berat badan Tata dan Dina jika jumlah berat badan kesepuluh wanita lainnya adalah 496 kg? (a) 50 kg (b) 52 kg (c) 60 kg (d) 65 kg
7. Gaji seorang karyawan pada bulan ke-5 adalah Rp. 1.200.000,-. Kenaikan gaji karyawan tersebut adalah 5% dari gaji pertama per bulan. Berapa gaji karyawan tersebut pada bulan pertama? (a) Rp. 1.000.000,(b) Rp. 900.000,(c) Rp. 800.000,(d) Rp. 700.000,-
51
8. Nilai siswa untuk mata pelajaran IPS pada suatu kelas berkisar antara 0 sampai 5 dan semua siswa pada kelas tersebut bernilai angka bulat, seperti yang ditunjukkan pada grafik berikut ini. Banyaknya Siswa
5 4 3 2 1
0
1
2
3
4
5
Nilai
Berapa nilai rata-rata IPS di kelas tersebut? (a) 3,34 (b) 2,82 (c) 2,75 (d) 2,72
9. Perhatikan gambar berikut ini!
Berapakah jumlah segitiga yang ada dalam bangun di atas ini? (a) 14 buah (b) 13 buah (c) 9 buah (d) 8 buah
10. Sebuah segitiga siku-siku luasnya 30 cm. Jika sisi terpendeknya 5 cm, berapakah keliling segitiga tersebut? (a) 8 cm
52
(b) 10 cm (c) 15 cm (d) 30 cm
11. Yang manakah di antara bilangan bulat berikut yang merupakan bilangan ganjil, mengandung digit 4, habis dibagi oleh 3, dan terletak antara 122 dan 132? (a) 175 (b) 156 (c) 147 (d) 105 n 2009 1006 n , maka nilai n adalah … 2
12. Jika (a)
1 3
(b) 1 (c)
1 3
(d) 3
13. Pernyataan n! Didefinisikan sebagai perkalian bilangan bulat positif dari 1 sampai n. Sebagai contoh 6! = 1 2 3 4 5 6 . Berapakah nilai dari 7! – 4!? (a) 3 (b) 768 (c) 5.016 (d) 1.680
14. Dalam perjalanan wisata, sebuah kendaraan menempuh jarak 50 km pada jam pertama. Pada jam kedua, jarak yang ditempuh hanya 35 km karena banyak belokan. Pada jam ketiga, jarak yang ditempuh mencapai 90 km karena melalui jalan bebas hambatan. Kecepatan rata-rata kendaraan tersebut adalah ...
53
(a) 175 km/jam (b) 105 km/jam (c) 85 km/jam (d) 58,3 km/jam
15. Dewi memberi makan kedua kucingnya, yaitu Caplang dan Meong dengan 3 makanan kaleng yang sama. Setiap hari si Caplang menghabiskan kaleng 8
dan si Meong menghabiskan
1 kaleng. Kucing yang menghabiskan makanan 2
lebih banyak adalah ... (a) Caplang (b) Meong (c) Caplang dan Meong (d) Tidak ada yang benar
(B) Soal Uraian 1. Seorang pedagang menjual 254 butir telur pada hari Senin. Pada hari Selasa, ia menjual telur dua kali banyaknya telur yang dijual hari Senin. Jumlah telur yang tersisa ada 150 butir. Jika ia ingin menjual habis telur-telur tersebut hanya dalam dua hari dengan jumlah yang sama, berapakah banyaknya telur yang harus ia jual setiap harinya?
2. Diketahui persegi panjang EFGH dengan perbandingan P (panjang) : L (lebar) 1 1 = 3 : 0,5 dan kelilingnya 28 cm. Tentukan nilai dari 12L ! P L
3. Tentukan nilai A, B, dan C jika diketahui:
ABC BCA 719
54
4. Yoki menulis 2004 bilangan: 1, 2, ... , 2004. Berapa banyak digit yang dia tulis?
5. Bari mempunyai sebidang tanah yang berbentuk seperti gambar di bawah ini! 7 cm
2,5 cm
3,5 cm
2,5 cm
1,5 cm
Dengan skala luas 1 : 1.000. Hitunglah luas sebenarnya!
1 6. Jika 20% dari m adalah 2p dan m adalah n , maka berapa persenkah (p + n) 2 dan m?
7. Elvan membeli baju yang harganya Rp. 40.000,-. Baju itu mendapat potongan harga sehingga Bogi hanya membayar Rp. 36.000,-. Berapa persenkah potongan harga dari baju tersebut?
8. Umur Arif adalah p tahun. Umur Aden 5 tahun lebih tua dari Arif, umur Yuni 2 kali umur Arif, sedangkan umur Romi 2 tahun lebih muda dari Arif. Jika rata-rata umur dari keempat anak tersebut adalah 12 tahun, maka berapa tahun umur Aden?
9. Suatu persegi panjang, panjangnya 3 cm lebih panjang dari lebarnya. Luas persegi panjang itu adalah 40 cm2. Tentukan panjang dan lebarnya!
10. Amati pola yang muncul pada penjumlahan bilangan berikut: 1 2 3 456 7 8
55
9 10 11 12 13 14 15
Berdasarkan pola yang ada, tulislah kesamaan pada baris ke-4!
56
Kunci Jawaban (A) Pilihan Ganda 1. C 2. B 3. B 4. D 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B 10. D 11. B 12. B 13. C 14. D 15. B
(B) Uraian 1. 456 butir 2. 14 cm 3. A = 2, B = 4, C = 7 4. 6909 5. 1.750 cm2 6. 210% 7. 10% 8. 14 tahun 9. 8 cm dan 5 cm 10. 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = 21 + 22 + 23 + 24
57
Olimpiade Matematika SD Tingkat Provinsi Soal (A) Soal Isian Singkat 1. Berilah contoh 3 bilangan asli yang mempunyai tepat 4 faktor yang berbeda!
2. Hasil kali 2 bilangan asli adalah 216 dan selisihnya adalah 6. Tentukanlah 2 bilangan asli tersebut!
3. Berikut ini adalah diagram perolehan suara dalam pemilihan ketua tim voli. Apin 20%
Arif
Ecep 56%
Jika banyaknya anggota yang memilih adalah 50 orang, berapa orang yang memilih Arif sebagai ketua tim voli?
4. Rata-rata 4 bilangan 6 dan rata-rata 5 bilangan 6,5. Berapa rata-rata dari 9 bilangan tersebut?
5. Berapa banyak bilangan pada barisan berikut: 2, 5, 8, 11, ... , 515
6. 40% dari B adalah 20. Berapakah nilai B?
7. Seorang buruh mengalami kenaikan gaji dari Rp. 400.000,- per bulan menjadi Rp. 475.000,- per bulan. Berapa persentase kenaikan gaji karyawan tersebut?
58
8. Suatu kompetisi bulutangkis melibatkan 8 orang. Masing-masing pemain bertanding tepat 1 kali dengan pemain lainnya. Pertandingan bulutangkis yang dikompetisikan adalah pertandingan tunggal. Ada berapa kali pertandingan dalam kompetisi tersebut?
9. Beberapa tahun yang lalu Rudi berusia 13 tahun dan Idun berusia 8 tahun. Bila sekarang usia Rudi
3 kali lebih tua dari usia Idun, maka berapakah usia Idun 2
tahun ini?
10. A, B, C, dan D adalah angka yang berbeda dan diambil dari angka 0 sampai 9. Tentukan A, B, C, dan D sehingga penjumlahan
AAA C ABD bernilai benar!
11. Diketahui pola berikut: 13 23 33 62 13 23 33 43 102 13 23 33 43 53 152
Tentukan nilai 13 23 33 43 53
103 !
12. Jika suhu sekarang adalah 30°C dan setiap jam suhu turun 3°C. Berapa derajat celcius suhu 5 jam kemudian?
13. Harga celana diturunkan dari Rp. 70.000,- menjadi Rp. 55.000,-. Jika semua harga toko tersebut diturunkan dengan persentase yang sama, maka tentukanlah harga baru suatu kemeja yang mula-mula harganya Rp. 95.000,-!
14. Jarak mendatar dan tegak pada grafik di bawah ini adalah 1 satuan.
59
R
P
Q
Tentukan luas segitiga PQR!
15. Suatu persegi panjang, panjang 7 cm lebih panjang dari pada lebarnya. Luas persegi panjang itu adalah 60 cm2. Tentukan panjang dan lebarnya!
16. Tentukan banyaknya simetri lipat bangun berikut!
17. Jarak mendatar dan tegak di antara 2 titik yang berdekatan pada gambar berikut adalah 1 satuan.
Tentukan keliling bangun di atas!
18. Jarak mendatar dan tegak lurus di antara 2 titik yang berdekatan pada gambar berikut adalah 1 satuan.
60
19. Diketahui kecepatan cahaya adalah 300.000 km/detik. Planet Merkurius 5, 7 107 km dari matahari. Berapa lama waktu yang diperlukan cahaya dari
matahari ke planet merkurius?
20. Joni membeli 3 kaos dan 2 celana, harga semuanya Rp. 125.000,-. Di toko yang sama, Aji akan membeli 6 celana dan 9 kaos. Berapa rupiah Aji harus membayar?
21. Pada latihan tendangan bebas pemain sepak bola, untuk penjaga gawang yang sama, diperoleh data hasil latihan sebagai berikut. Nama Pemain Banyaknya Tendangan Bebas Tendangan yang Sukses P
15
12
Q
20
15
R
10
8
S
12
10
Dalam pertandingan yang sesungguhnya, pemain mana yang paling berpeluang sukses dalam melakukan tendangan bebas?
22. Pada gambar berikut, N merupakan pusat lingkaran luar segi-8 beraturan. Tentukan persentase luas bangun ABC terhadap luas segi-8 beraturan!
A
C
B
61
23. Amati pola yang muncul pada penjumlahan bilangan berikut: 1 2 3 456 7 8
9 10 11 12 13 14 15
Berdasarkan pola yang ada, tulislah kesamaan pada baris ke-5!
24. Temukan sebuah bilangan yang lebih besar dari 0,7 tetapi lebih kecil dari
3 ? 4
25. Diberikan sebaran nilai IPA sekelompok siswa sebagai berikut. Nilai
5 6 7 8 9 10
Frekuensi 1 2 1 4 3
2
Tentukan banyaknya siswa yang di atas rata-rata!
(B) Soal Uraian 1. Amin seorang penjual minyak sayur. Ia hanya mempunyai takaran 2 literan dan 3 literan. Tetangganya ingin membeli minyak sayur 1 liter. Bagaimana cara Amin menakar minyak sayur dengan akurat?
2. Jari-jari setiap lingkaran pada gambar di bawah ini adalah 7 cm.
Tentukan luas daerah yang diarsir jika panjangnya 21 cm dan lebarnya 14 cm! (π =
22 ) 7
3. Pak Nana memberikan kupon berhadiah notebook kepada para pembeli di tokonya. Di balik setiap kupon dituliskan 1 bilangan asli dari 1 sampai 1.000
62
untuk setiap pembelian di atas Rp. 100.000,-.Hadiah notebook tersebut diberikan kepada pembeli yang mempunyai 3 kupon yang memuat 3 bilangan asli berurutan dan jumlahnya habis dibagi 3. Berapa banyak notebook yang harus disediakan oleh Pak Nana?
4. Barisan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... dikenal sebagai salah satu barisan aritmatika. (a) Hitung dan amati pola berikut!
23 4 23 45 23 45 6 23 45 6 7 (b) Rumuskan cara mendapatkan jumlah dari bilangan aritmatika secara berurutan mulai dari yang pertama!
5. Selidikilah apakah pernyataan berikut benar! Jika salah, berilah contoh penyangkal! Pernyataan: ”Jumlah 3 bilangan asli berurutan selalu habis dibagi 3.”
6. PQRSTUV adalah gambar segilima beraturan dengan U adalah pusatnya. S
T
R U
P
Q
V
Tentukanlah: (a) PUR (b) RQV
63
7. Terdapat tiga bilangan, yaitu m, n, dan p. Nilai m adalah 3 kali nilai n, sedangkan p adalah 3 kali nilai m. Jumlah dari ketiga bilangan itu adalah 91. Tentukan ketiga bilangan itu!
8. Nilai rata-rata IPS siswa kelas IV adalah 6, sedangkan kelas V adalah 7. Banyaknya siswa kelas IV adalah 30 orang, sedangkan kelas V adalah 25 orang. Jika siswa kelas IV dan V digabungkan, maka tentukan nilai rata-rata IPS mereka!
(C) Soal Eksplorasi 1. Bilangan 12 dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 4 bilangan ganjil dengan 3 cara, yaitu: (i) 12 = 9 + 1 + 1 + 1 (ii) 12 = 7 + 3 + 1 + 1 (iii)12 = 5 + 3 + 3 + 1 (a) Gunakan pola di atas untuk menyatakan bilangan 10 sebagai penjumlahan 4 bilangan ganjil! Berapa banyaknya cara yang diperoleh? (b) Berapa banyaknya cara bilangan 15 dinyatakan sebagai penjumlahan 5 bilangan ganjil?
2. Jarak rumah Sulton ke rumah Yoko adalah 12 km. Jarak rumah Bagus ke rumah Yoko adalah 5 km. Tentukan letak ketiga tempat tersebut dan berapa sajakah jarak dari rumah Yusuf ke rumah Nurdin yang mungkin sehingga jarak kedua rumah mereka dapat ditentukan tanpa pengukuran langsung! 3. Perhatikan pola nilai pada fungsi 3n 1, dengan n bilangan prima sebagai berikut! 32 – 1 = 8, adalah bilangan genap 33 – 1 = 27 – 1 = 26, adalah bilangan genap 35 – 1 = 243 – 1 = 242, adalah bilangan genap Selidikilah apakah 3n – 1 selalu menghasilkan bilangan genap, untuk n prima!
64
Olimpiade Matematika SD Tingkat Provinsi Soal dan Pembahasan (A) Soal Isian Singkat 1. Berilah contoh 3 bilangan asli yang mempunyai tepat 4 faktor yang berbeda! Pembahasan: Contoh bilangan asli yang mempunyai tepat 4 faktor adalah:
6 mempunyai faktor 1, 2, 3, dan 6
8 mempunyai faktor 1, 2, 4, dan 8
21 mempunyai faktor 1, 3, 7, dan 21
2. Hasil kali 2 bilangan asli adalah 216 dan selisihnya adalah 6. Tentukanlah 2 bilangan asli tersebut! Pembahasan: Karena selisihnya 6, maka kedua bilangan asli itu mempunyai digit satuan yang sama. Kemudian hasil perkalian digit yang sama tersebut menghasilkan digit satuan 6 yang artinya kedua digit yang sama tadi haruslah berupa digit 8 atau 2 dan 3 atau 2. Dengan cara memeriksa, diperoleh 2 bilangan puluhan, yaitu 18 dan 12 yang hasil perkaliannya 216.
3. Berikut ini adalah diagram perolehan suara dalam pemilihan ketua tim voli.
Arif
Apin 20%
Ecep 56%
Jika banyaknya anggota yang memilih adalah 50 orang, berapa orang yang memilih Arif sebagai ketua tim voli? Pembahasan:
65
Misalkan banyaknya anggota yang memilih Arif sebagai p. Jadi, banyaknya anggota yang memilih Arif adalah:
p p
100% %Apin %Ecep 100% 100% 56% 20% 100%
24% 50 orang 100%
6 50 orang 25
50 orang
50 orang
12 orang
4. Rata-rata 4 bilangan 6 dan rata-rata 5 bilangan 6,5. Berapa rata-rata dari 9 bilangan tersebut? Pembahasan: Dari 4 bilangan yang pertama diperoleh jumlah keempat bilangan tersebut adalah 4 6 24 . Kemudian dari 5 bilangan selanjutnya diperoleh jumlah kelima bilangan tersebut adalah 5 6,5 32,5 . Jadi, jumlah kesembilan bilangan tersebut adalah 24 + 32,5 = 56,5. Oleh karena itu, rata-rata kesembilan bilangan itu adalah
56,5 6, 28 . 9
5. Berapa banyak bilangan pada barisan berikut: 2, 5, 8, 11, ... , 515 Pembahasan: Perhatikan bahwa beda dari setiap suku pada barisan di bawah ini adalah 3. 2, 5, 8, 11, ... , 515 Untuk mengetahui banyaknya suku pada barisan di atas, perhatikan uraian berikut ini!
Suku ke-1
=2
Suku ke-2
= (suku ke-1) + 3 = (suku ke-1) + 1 3
66
Suku ke-3
= (suku ke-2) + 3 = (suku ke-1) + 3 + 3 = (suku ke-1) + 2 3
Suku ke-4
= (suku ke-3) + 3 = (suku ke-1) + 3 + 3 + 3 = (suku ke-1) + 3 3
Perhatikan bahwa terdapat keteraturan pola sehingga dapat disimpulkan bahwa: Suku ke-n = (suku ke-1) + (n – 1)(3) = 2 + 3(n – 1) = 3n – 1 Suku ke-n = 515 3n – 1
= 515
3n
= 516
n
= 172
Jadi, 515 adalah suku ke-172. Karena 515 adalah suku terakhir, maka banyaknya suku pada barisan di atas adalah 172.
6. 40% dari B adalah 20. Berapakah nilai B? Pembahasan: 40% B 20
40 B 20 100 B 20
100 40
50
7. Seorang buruh mengalami kenaikan gaji dari Rp. 400.000,- per bulan menjadi Rp. 475.000,- per bulan. Berapa persentase kenaikan gaji karyawan tersebut? Pembahasan: Besarnya kenaikan gaji:
67
= Rp. 475.000,- – Rp. 400.000,= Rp. 75.000,Persentase kenaikan gaji:
Besar kenaikan gaji 100% Besarnya gaji awal
Rp. 75.000,100% Rp. 400.000,-
18,75%
8. Suatu kompetisi bulutangkis melibatkan 8 orang. Masing-masing pemain bertanding tepat 1 kali dengan pemain lainnya. Pertandingan bulutangkis yang dikompetisikan adalah pertandingan tunggal. Ada berapa kali pertandingan dalam kompetisi tersebut? Pembahasan: Misalkan, kedelapan pebulutangkis itu bernama A, B, C, D, E, F, G, dan H. Dengan aturan bahwa setiap pebulutangkis bertanding tepat 1 kali dengan pebulutangkis lainnya, maka A bertanding tepat 7 kali, yaitu dengan B, C, D, E, F, G, dan H. Kemudian karena B telah bertanding dengan A, maka B hanya boleh bertanding sebanyak 6 kali lagi, yaitu dengan C, D, E, F, G, dan H. Selanjutnya karena C telah bertanding dengan A dan B, maka C hanya boleh bertanding sebanyak 5 kali, yaitu dengan D, E, F, G, dan H. Begitu seterusnya, sampai terakhir H tidak bertanding lagi karena sebelumnya telah bertanding dengan A sampai G. Jadi, banyaknya pertandingan adalah 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 28.
9. Beberapa tahun yang lalu Rudi berusia 13 tahun dan Idun berusia 8 tahun. Bila sekarang usia Rudi
3 kali lebih tua dari usia Idun, maka berapakah usia Idun 2
tahun ini? Pembahasan: Beberapa tahun yang lalu usia Rudi 13 tahun dan usia Idun 8 tahun. Misalkan, lamanya waktu dari tahun tersebut sampai sekarang adalah M tahun.
68
Oleh karenya, sekarang umur Rudi dan Idun masing-masing (13 + M) tahun dan (8 + M) tahun. Bila sekarang usia Rudi adalah
3 kali usia Idun. Sehingga, 2
3 13 M 8 M 2 3 13 M 12 M 2
3 M M 13 12 2 1 M 1 2 M2
Jadi, lamanya waktu dari tahun tersebut sampai sekarang adalah 2 tahun. Akibatnya, usia Idun sekarang adalah: (8 + M) tahun
= (8 + 2) tahun = 10 tahun
10. A, B, C, dan D adalah angka yang berbeda dan diambil dari angka 0 sampai 9. Tentukan A, B, C, dan D sehingga penjumlahan
AAA C ABD bernilai benar! Pembahasan: Suatu bilangan 3 digit (ketiga digitnya sama), ditambah dengan bilangan satuan selalu menghasilkan bilangan 3 digit, maka bilangan 3 digit itu haruslah 888. Jadi, A = 9.
AAA 888 C C ABD ABD Perhatikan digit C pertama pada bilangan 3 digit ABD, digit C haruslah merupakan digit 2 karena hasil penjumlahan digit 8 dengan angka satuan, digit puluhannya adalah 2.
69
888 C AB2 Kemudian, perhatikan digit C. Karena digit satuan dari penjumlahan 8 dengan C adalah 2, maka C adalah 4.
888 4 8B2 Selanjutnya, karena digit satuan dari penjumlahan 8 dengan 4 adalah 1, maka B = 9.
888 4 892 Jadi, A = 8, B = 9, C = 4, dan D = 2.
11. Diketahui pola berikut: 13 23 33 62 13 23 33 43 102 13 23 33 43 53 152
Tentukan nilai 13 23 33 43 53
103 !
Pembahasan: Perhatikan bahwa jumlah dari setiap bilangan yang dipangkatkan 3 sama dengan jumlah dari setiap bilangan kemudian dikuadratkan. Jadi,
13 23 33 43 53 1 2 3
10
103
2
552
12. Jika suhu sekarang adalah 30°C dan setiap jam suhu turun 3°C. Berapa derajat celcius suhu 5 jam kemudian? Pembahasan: Suhu turun 5 3C 15C dari 30°C. 30°C – 15°C = 15°C Jadi, suhu 5 jam kemudian adalah 15°C.
70
13. Harga celana diturunkan dari Rp. 70.000,- menjadi Rp. 55.000,-. Jika semua harga toko tersebut diturunkan dengan persentase yang sama, maka tentukanlah harga baru suatu kemeja yang mula-mula harganya Rp. 95.000,-! Pembahasan: Penurunan harga celana: = Rp. 70.000,- – Rp. 55.000,= Rp. 15.000,Persentase penurunan harga celana:
Penurunan harga celana 100% Harga celana awal
Rp. 15.000,100% Rp. 70.000,-
25%
Karena semua harga di toko tersebut diturunkan dengan persentase yang sama, maka persentase penurunan harga kemeja 25%. Penurunan harga kemeja: 25% Rp. 95.000, Rp. 23.750,-
Jadi, harga kemeja setelah penurunan harga: = Rp. 95.000,- – Rp. 23.750,= Rp. 71.250,-
14. Jarak mendatar dan tegak pada grafik di bawah ini adalah 1 satuan.
R
P
Q
71
Tentukan luas segitiga PQR! Pembahasan: Perhatikan gambar di bawah ini! D
R
C
P
A
Q
Luas segitiga PQR Luas persegi panjang AQCD Luas segitiga PQA Luas segitiga PRD
Luas segitiga QRC 1 1 1 5 5 5 3 4 2 5 1 2 2 2
25 7,5 4 2,5 25 14
11
Jadi, luas segitiga PQR adalah 11 satuan luas.
15. Suatu persegi panjang, panjang 7 cm lebih panjang dari pada lebarnya. Luas persegi panjang itu adalah 60 cm2. Tentukan panjang dan lebarnya! Pembahasan: Dua bilangan yang dimaksud adalah faktor dari 60 yang selisihnya 7, yaitu 12 dan 5.
16. Tentukan banyaknya simetri lipat bangun berikut!
Pembahasan:
72
Banyaknya simeri lipat adalah 4.
17. Jarak mendatar dan tegak di antara 2 titik yang berdekatan pada gambar berikut adalah 1 satuan.
Tentukan keliling bangun di atas! Pembahasan: Perhatikan gambar di bawah ini!
Pertama-tama kita geser bangun di atas sebesar setengah satuan ke arah kanan sehingga dapat ditentukan besar keliling dengan mudah, yaitu sebesar 14 satuan panjang.
18. Jarak mendatar dan tegak lurus di antara 2 titik yang berdekatan pada gambar berikut adalah 1 satuan.
73
Pembahasan: Pertama-tama kita geser bangun di atas sebesar setengah satuan ke arah kanan sehingga luasnya bisa ditentukan. Perhatikan gambar di bawah ini! A
L J
B
C
K
D
E
I
F
M
H
G
Luas = luas persegi panjang ABKL + luas persegi panjang CDIJ + luas persegi EFMI + luas segitiga IMG + luas segitiga HGI = 2 satuan luas + 2 satuan luas + 1 satuan luas +
1 satuan luas + 1 satuan luas = 6,5 satuan luas. 2
Jadi, luas bangun pada gambar adalah 6,5 satuan luas.
19. Diketahui kecepatan cahaya adalah 300.000 km/detik. Planet Merkurius 5, 7 107 km dari matahari. Berapa lama waktu yang diperlukan cahaya dari
matahari ke planet merkurius? Pembahasan: Misalkan: v = kecepatan cahaya = 300.000 km/detik = 3 105 km / detik s = jarak matahari dan merkurius = 5, 7 107 km t = waktu yang diperlukan cahaya dari matahari ke merkurius v
s t
t
s v
74
5, 7 107 km 3 105 km/detik
5, 7 102 detik 3
570 detik 3
190 detik
20. Joni membeli 3 kaos dan 2 celana, harga semuanya Rp. 125.000,-. Di toko yang sama, Aji akan membeli 6 celana dan 9 kaos. Berapa rupiah Aji harus membayar? Pembahasan: Aji harus membayar 3 kali dari Joni, yaitu sebesar Rp. 375.000,-.
21. Pada latihan tendangan bebas pemain sepak bola, untuk penjaga gawang yang sama, diperoleh data hasil latihan sebagai berikut. Nama Pemain Banyaknya Tendangan Bebas Tendangan yang Sukses P
15
12
Q
20
15
R
10
8
S
12
10
Dalam pertandingan yang sesungguhnya, pemain mana yang paling berpeluang sukses dalam melakukan tendangan bebas? Pembahasan: Peluang sukses adalah perbandingan banyaknya sukses dengan banyaknya percobaan. Peluang sukses tiap pemain adalah:
P
12 4 0,80 15 5
Q
15 3 0, 75 20 4
R
8 4 0, 20 10 5
75
S
10 5 0,83 12 6
Jadi, pemain yang paling berpeluang sukses adalah pemain A.
22. Pada gambar berikut, N merupakan pusat lingkaran luar segi-8 beraturan. Tentukan persentase luas bangun ABC terhadap luas segi-8 beraturan!
A
C
B
Pembahasan: Karena setiap segitiga pada segi-8 beraturan kongruen (sama), maka persentase luas bangun ABC terhadap luas segi-8 beraturan adalah: 2 100% 25%. 8
23. Amati pola yang muncul pada penjumlahan bilangan berikut: 1 2 3
456 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Berdasarkan pola yang ada, tulislah kesamaan pada baris ke-5! Pembahasan: 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 31 + 32 + 33 + 34 + 35
24. Temukan sebuah bilangan yang lebih besar dari 0,7 tetapi lebih kecil dari
3 ? 4
Pembahasan: Terdapat banyak bilangan di antara 0,7 dan 0,75, misalnya 0,71, 0,72, 0,7007, dan lainnya.
76
25. Diberikan sebaran nilai IPA sekelompok siswa sebagai berikut. Nilai
5 6 7 8 9 10
Frekuensi 1 2 1 4 3
2
Tentukan banyaknya siswa yang di atas rata-rata! Pembahasan: Rata-rata nilai IPA semua siswa adalah:
1 5 2 6 1 7 4 8 3 9 2 10 1 2 1 4 3 2
5 12 7 32 27 20 13
103 13
7,92
Jadi, banyaknya siswa yang nilainya di atas rata-rata sebanyak 9 orang.
(B) Soal Uraian 1. Amin seorang penjual minyak sayur. Ia hanya mempunyai takaran 2 literan dan 3 literan. Tetangganya ingin membeli minyak sayur 1 liter. Bagaimana cara Amin menakar minyak sayur dengan akurat? Pembahasan: Agar hasil penakaran akurat, harus dicari bilangan kelipatan 2 dan kelipatan 3 yang selisihnya 1. Bilangan tersebut adalah 8 dan 9. Jadi, Amin harus menakar 9 liter dengan takaran 3 literan sebanyak 3 kali kemudian dikurangi 8 liter dengan takaran 2 literan sebanyak 4 kali.
2. Jari-jari setiap lingkaran pada gambar di bawah ini adalah 7 cm.
77
Tentukan luas daerah yang diarsir jika panjangnya 21 cm dan lebarnya 14 cm! (π =
22 ) 7
Pembahasan: Perhatikan gambar di bawah ini! S
R
B
P
Q
Luas daerah yang diarsir (B)
1 Luas persegi PQRS 2 Luas sebuah lingkaran 2
Luas persegi PQRS Luas sebuah lingkaran 21 cm 14 cm 72 cm2 22 21 cm 14 cm 72 cm2 7 294 cm2 154 cm2 140 cm2
Jadi, luas daerah B adalah 140 cm2.
3. Pak Nana memberikan kupon berhadiah notebook kepada para pembeli di tokonya. Di balik setiap kupon dituliskan 1 bilangan asli dari 1 sampai 1.000 untuk setiap pembelian di atas Rp. 100.000,-.Hadiah notebook tersebut diberikan kepada pembeli yang mempunyai 3 kupon yang memuat 3 bilangan asli berurutan dan jumlahnya habis dibagi 3. Berapa banyak notebook yang harus disediakan oleh Pak Nana? Pembahasan: Jumlah 3 bilangan asli berurutan selalu habis dibagi 3. Bukti:
78
Misalkan, ketiga bilangan asli yang dimaksud berurutan itu adalah a, b, dan c, dimana a < b < c. Karena ketiganya berurutan, maka: b a 1 c b 1
c a 1 1 c a 2 Jadi, ketiga bilangan itu adalah a, (a + 1), dan (a + 2). Jumlah ketiga bilangan itu:
a a 1 a 2 3a 3
3a dan 3 keduanya kelipatan 3, mengakibatkan jumlah keduanya merupakan kelipatan 3. Jadi, jumlah 3 bilangan asli berurutan merupakan 3 atau dengan kata lain habis dibagi 3. Jadi, tidak ada notebook yang harus disiapkan oleh Pak Nana.
4. Barisan 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... dikenal sebagai salah satu barisan aritmatika. (a) Hitung dan amati pola berikut!
23 4 23 45 23 45 6 23 45 6 7 (b) Rumuskan cara mendapatkan jumlah dari bilangan aritmatika secara berurutan mulai dari yang pertama! Pembahasan: (a) 2 + 3 + 4 = 10 2 + 3 + 4 + 5 = 15 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 (b) Jumlah deret aritmatika berikutnya diperoleh dari jumlah deret aritmatika sebelumnya ditambah dengan suku terakhir pada deret sesudahnya.
79
5. Selidikilah apakah pernyataan berikut benar! Jika salah, berilah contoh penyangkal! Pernyataan: ”Jumlah 3 bilangan asli berurutan selalu habis dibagi 3.” Pembahasan: Pernyataan benar. Contohnya adalah 3 bilangan asli berurutan 3, 4, dan 5 ketiganya berjumlah 12 habis dibagi 3.
6. PQRSTUV adalah gambar segilima beraturan dengan U adalah pusatnya. S
T
R U
P
Q
V
Tentukanlah: (a) PUR (b) RQV Pembahasan: (a) PUR 2 PUQ 2
360 5
144 (b) Perhatikan segitiga PUQ! Karena PUQ segitiga sama kaki, maka: PUQ QPU PUQ QPU PQU 180 72 2 QPU 180
80
2 QPU 180 72 108 QPU 54
Karena segitiga PQU sama dengan segitiga QRU, maka: RQU QPU 54 PQU RQU RQV 180 54 54 RQV 180 108 RQV 180
RQV 180 108 72
7. Terdapat tiga bilangan, yaitu m, n, dan p. Nilai m adalah 3 kali nilai n, sedangkan p adalah 3 kali nilai m. Jumlah dari ketiga bilangan itu adalah 91. Tentukan ketiga bilangan itu! Pembahasan: Nyatakan n dan p dalam m! 1 n m dan p 3m 3
m + n + p = 91 1 m m 3m 91 3
13 m 91 3 m
3 91 13
m 21
Sehingga, 1 n 21 7 3 p 3 21 63
Jadi, 3 bilangan yang dimaksud adalah 21, 7, dan 63.
8. Nilai rata-rata IPS siswa kelas IV adalah 6, sedangkan kelas V adalah 7. Banyaknya siswa kelas IV adalah 30 orang, sedangkan kelas V adalah 25
81
orang. Jika siswa kelas IV dan V digabungkan, maka tentukan nilai rata-rata IPS mereka! Pembahasan: Jumlah nilai kelas IV adalah 30 6 180 Jumlah nilai kelas V adalah 25 7 175 Jumlah nilai kelas IV dan V adalah 180 + 175 = 355 Jumlah siswa kelas IV dan V adalah 30 + 25 = 55 Jadi, rata-rata gabungan kelas IV dan V adalah 355 6, 45 . 55
(C) Soal Eksplorasi 1. Bilangan 12 dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 4 bilangan ganjil dengan 3 cara, yaitu: (i) 12 = 9 + 1 + 1 + 1 (ii) 12 = 7 + 3 + 1 + 1 (iii)12 = 5 + 3 + 3 + 1 (a) Gunakan pola di atas untuk menyatakan bilangan 10 sebagai penjumlahan 4 bilangan ganjil! Berapa banyaknya cara yang diperoleh? (b) Berapa banyaknya cara bilangan 15 dinyatakan sebagai penjumlahan 5 bilangan ganjil? Pembahasan: (a) 10 = 7 + 1 + 1 + 1 10 = 5 + 3 + 1 + 1 10 = 3 + 3 + 3 +1 Terdapat 3 cara penguraian yang berbeda. (b) 15 = 11 + 1 + 1 + 1 + 1 15 = 9 + 3 + 1 + 1 + 1 15 = 7 + 3 + 3 + 1 + 1 15 = 7 + 5 + 1 + 1 + 1 15 =. 5 + 5 + 3 + 1 + 1 15 = 5 + 3 + 3 + 3 + 1
82
15 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 Terdapat 7 cara penguraian yang berbeda.
2. Jarak rumah Sulton ke rumah Yoko adalah 12 km. Jarak rumah Bagus ke rumah Yoko adalah 5 km. Tentukan letak ketiga tempat tersebut dan berapa sajakah jarak dari rumah Yusuf ke rumah Nurdin yang mungkin sehingga jarak kedua rumah mereka dapat ditentukan tanpa pengukuran langsung! Pembahasan: Misalkan S, B, dan Y masing-masing menyatakan rumah Sulton, rumah Bagus, dan rumah Yoko. Ada 3 kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu:
Kemungkinan 1 S
12 km
Y
5 km
B
Jadi, jarak rumah Sulton dan rumah Bagus adalah 17 km.
Kemungkinan 2 S
7 km
B
5 km
Y
Jadi, jarak rumah Sulton dan rumah Bagus adalah 7 km.
Kemungkinan 3 S
12 km
B
5 km
Y
SB2 SY2 BY2 122 52 144 25
SB 169 13
83
Jadi, jarak rumah Sulton dan rumah Bagus adalah 13 km. 3. Perhatikan pola nilai pada fungsi 3n 1, dengan n bilangan prima sebagai berikut! 32 – 1 = 8, adalah bilangan genap 33 – 1 = 27 – 1 = 26, adalah bilangan genap 35 – 1 = 243 – 1 = 242, adalah bilangan genap Selidikilah apakah 3n – 1 selalu menghasilkan bilangan genap, untuk n prima! Pembahasan: Fungsi 3n – 1 dengan n bilangan prima, selalu merupakan bilangan genap. Contoh, untuk n = 11, maka: 311 – 1
= 177.147 – 1 = 177.146
177.146 merupakan bilangan genap karena mempunyai angka satuan 6 dan faktor positifnya merupakan kelipatam dari 2.
84
Olimpiade Matematika SD Tingkat Nasional Latihan (A) Soal Isian Singkat 1
1. Nilai dari 1 4
adalah …
1 4
1 4
2. Jika 2 n 7 2 17 7 , maka nilai n = …
3. Berikut ini adalah diagram perolehan suara dalam pemilihan ketua RT.
Hasim
Karim 35%
Sudjono 45%
Jika banyaknya warga yang memilih adalah 100 orang, berapa orang yang memilih Hasim sebagai ketua RT?
4. Nilai dari
169 144
5. Berapakah nilai dari
2
adalah …
49 46 4 ? 43
6. Jika a = 5, maka pernyataan manakah yang merupakan bilangan genap? (a) 7a2 (b) a3 (c) 2(a2 + 9) (d) 2a2 + 6 (e) 5a2
85
7. Nilai dari 390 – 391 + 392 – 393 + 394 – ... – 409 + 410 adalah ... 8. Rata-rata dari 20 buah bilangan adalah 0. Jika 100 dan – 12 ditambahkan ke daftar bilangan tadi, berapakah rata-ratanya sekarang? 9. Berapakah seperempat dari 2, 4 1020 ?
10. Jika a + b + c = 30 dan
1 1 b c 11 , maka nilai a adalah ... 2 2
11. Perhatikan gambar persegi ajaib yang berukuran 4 4 di bawah ini! 1
A
B
C
D
2
E
F
G
H
3
I
J
K
1
L
Jika setiap baris, kolom, dan diagonal persegi di atas harus diisi oleh semua angka 1, 2, 3, dan 4, maka nilai D + L adalah ...
12. Perhatikan gambar di bawah ini! S P 100°
75°
50° Q
R
Jika PS = QR, maka besar PRS 13. Suatu kompetisi “gaple” melibatkan 7 orang. Masing-masing pemain bertanding tepat 1 kali dengan pemain lainnya. Ada berapa kali pertandingan dalam kompetisi tersebut?
86
14. 125 kubus kecil digabung menjadi sebuah kubus besar. Jika seluruh permukaan kubus besar dicat, berapakah jumlah kubus kecil yang terkena cat?
15. Empat buah kubus terletak dalam suatu garis lurus. Jika PQ : QR = 1 : 3 dan QR : RS = 3 : 1, maka PQ : QS adalah …
P
Q
R
S
16. ABCD adalah suatu persegi yang dibuat dari 2 persegi panjang yang sama dan 2 persegi yang luasnya masing-masing 4 cm2 dan 16 cm2. Berapakah luas persegi ABCD (dalam cm2)? 17. Jika 2.025 = ax by cz dimana a, b, dan c adalah bilangan ganjil, maka nilai dari x+y+z=…
18. Perhatikan gambar berikut! N
40°
60°
Berapa nilai dari N? 19. 1, 3, 6, 8, 16, 18, (…), (…), … Tentukan bilangan ke-7 dan ke-8 dari pola bilangan di atas!
20. Perjalanan dari kota B ke kota N jika ditempuh dengan kecepatan 100 km/jam akan lebih cepat 10 menit daripada ditempuh dengan kecepatan 80 km/jam. Berapa jarak dari kota B ke kota N?
87
21. Jika Q adalah salah satu titik pada kubus yang panjang sisinya 3 satuan, maka panjang NQ adalah … Q
N
22. Drajat mempunyai 50 buah kartu yang masing-masing dinomori 1 sampai 50. Drajat mengambil semua kartu yang nomornya habis dibagi 3. Selanjutnya, Drajat mengambil semua kartu yang nomornya habis dibagi 2. Berapa buah kartu yang belum diambil oleh Drajat?
23. Berapakah banyaknya digit 0 pada hasil perkalian bilangan 987.654.321 dengan 777.777.777?
24. Suatu lingkaran yang berpusat di O, berjari-jari 7 cm dan di dalamnya terdapat suatu segitiga sama sisi AOB. Berapakah luas daerah yang diarsir? (
22 ) 7 B
A
O
25. Perhatikan gambar di bawah ini!
88
A 12
25
D 9
B C
Dalam gambar tersebut, ΔACB memiliki siku-siku di C dan ΔADC memiliki siku-siku di D dimana AD = 12 cm, DC = 9 cm, dan AB = 25 cm. Tentukanlah panjang dari BC!
(B) Soal Uraian 1. Empat buah bilangan positif berbeda rata-ratanya 8. Di antara empat buah bilangan itu, berapa bilangan terbesar yang mungkin?
2. Perhatikan gambar berikut ini! P
a
S
T 1 a2 + 4
Q
6
R
S terletak di antara P dan Q dan T terletak di antara P dan R dimana ST sejajar dengan QR. Panjang ST = 1 cm, QR = 6 cm, PT = a cm, dan TR = a2 + 4 cm. Tentukan nilai a yang mungkin!
89
3. Pada bulan Januari, perbandingan antara pria dan wanita di SD Prihatin adalah 3 : 2. Pada bulan April, jumlah pria berkurang sebanyak 80 siswa dan jumlah wanita berkurang 20 siswa pada SD tersebut sehingga perbandingan pria dan wanita menjadi 7 : 5. Berapakah banyaknya siswa di sekolah pada bulan Januari? 4. Suatu bilangan aritmatika, a, a + b, a + 2b, … memiliki perbedaan (selisih) sebesar b. Sebagai contoh, 2, 5, 8, … adalah deret aritmatika dengan perbedaan (selisih) b = 3 karena 5 – 2 = 8 – 5 = 3. Jika c 1 , 2c 2 , dan
7c 1
adalah tiga buah deret aritmatika pertama, tentukan nilai dari c!
5. Tentukan digit satuan dari persamaan bilangan 9 + 92 + 93 + 94! (Digit satuan suatu bilangan adalah yang paling kanan. Sebagai contoh, digit satuan dari bilangan 1234 adalah 4.)
(C) Soal Eksplorasi 1. Adi akan membuat semua rusuk balok dari seutas kawat yang panjangnya tidak diketahui. Panjang, lebar, dan tinggi balok tersebut memiliki perbandingan 5 : 4 : 3. Diketahui bahwa panjang balok 5 cm, berapa panjang kawat semula jika ternyata setelah selesai, panjang kawat yang tersisa adalah 10 cm?
2. Ana berjalan pada suatu garis lurus terhadap lampu pos yang tingginya 8 m. Ketika ia berjarak 12 cm dari lampu pos, panjang bayangannya adalah 4 m. Jika Ana ke lampu 8 m, berapa panjang bayangannya?
3. Ikhwan pergi 60 km ke selatan, 40 km ke barat, 20 km ke utara, dan 10 km ke timur. Berapa jarak titik awal perjalanan sampai titik akhir perjalanan?
90
Kunci Jawaban (A) Isian Singkat 1. 5
14. 27
2. 17
15. 1 : 4
3. 20 orang
16. 36
4. 1
17. 10
5. 413
18. 80°
6. Pernyataan (c) 2 (a2 + 9)
19. 36 dan 38
7. 500
20. 150 km
8. 4
21. 3 3 satuan panjang
9. 6 1019
22. 19
10. 8
23. 0
11. 7
24. 132,79 cm2
12. 40°
25. 20 cm
13. 21
(B) Uraian 1. 26 2. 1 atau 4 3. 1.300 4. 1 5. 0
(C) Eksplorasi 1. 110 cm 2 m 3 3. 50 km
2. 2
91
Canadian Open Mathematics Challenge (COMC) The Canadian Mathematical Society in collaboration with the Centre for Education in Mathematics and Computing University of Wanterloo, Ontario
English Text Problem Wednesday, November 19th, 2008 Time: 2,5 hours
Instructions This part of the paper consists of 15 questions, each worth 5 marks. You can earn full value for each question by entering the correct answer in the space provided. If you do not have the correct answer, any work you do in obtaining an answer will be considered for part marks, provided that it is done in the space allocated to that question in your answer booklet. Calculators are not allowed.
92
Canadian Open Mathematics Challenge 1 1 1 1 1. What is the value of 1 1 1 1 ? 2 3 4 5
2. If 2a + b = 13 and a + 2b = 11, what is the value of (a + b)? 3. If a = 15 and b = –9, what is the value of (a2 + 2ab + b2)? 4. Determine the value of 102 – 92 + 82 – 72 + 62 – 52 + 42 – 32 + 22 – 12.
5. A function f (x) has the following properties: a) f (1) = 1 b) f (2x) = 4f (x) + 6 c) f (x + 2) = f (x) + 12x + 12 Calculate f (6)!
6. Jeff, Gareth and Ina all share the same birthday. Gareth is one year older than Jeff, and Ina is two years older than Gareth. This year the sum of their ages is 118. How old is Gareth?
7. Two different numbers are chosen at random from the set {0, 1, 2, 3, 4}. What is the probability that their sum is greater than their product?
8. In triangle PQR, F is the point on QR so that PF is perpendicular to QR. If PR = 13, RF = 5, and FQ = 9, what is the perimeter of ΔPQR? P
12
Q
9
F
5
R
93
9. An operation “Δ” is defined by a Δ b = 1
a , b 0. b
What is the value of 12 34 ?
10. The sequence 9, 18, 27, 36, 45, 54, … consists of successive multiples of 9. This sequence is then altered by multiplying every other term by –1, starting with the first term, to produce the new sequence –9, 18, –27, 36, –45, 54, ... . If the sum of the first n terms of this new sequence is 180, determine n! 11. The symbol n! is used to represent the product n n 1 n 2 For
example,
4! 4 3 2 1 .
Determine
n
3 21 .
such
that
n! 215 36 53 72 1113 !
12. How many five-digit positive integers have the property that the product of their digits is 2000? 13. In the diagram, ΔABC is equilateral and the radius of its inscribed circle is 1. A larger circle is drawn through the verticals of the rectangle ABDE. What is the diameter of the larger circle? E
A
C
D
B
14. Determine all real numbers b such that b 3 b 6 14 !
94
15. The numbers 1, 2, 3, … , 9 are placed in a square array. The sum of the three rows, the sum of the three columns, and the sum of the two diagonals are added together to form a “grand sum”, S. For example, if the numbers are placed as shown, the grand sum is 1
2
3
4
5
6
7
8
9
S = row sums + column sums + diagonal sums = 45 + 45 + 30 = 120 What is the maximum possible value of the grand sum S?
95
Kompetisi Matematika Kanada Terbuka Perkumpulan Matematika Kanada bekerjasama dengan Pusat Kegiatan Pendidikan Matematika dan Komputasi Universitas Waterloo, Ontario
Soal Teks Bahasa Indonesia Rabu, 19 Nopember 2008 Waktu: 2,5 jam
Petunjuk Lembar soal yang diberikan terdapat 15 pertanyaan, setiap jawaban yang benar diberikan nilai 5. Anda bisa mengisi jawaban pada kotak kosong yang diberikan. Tidak ada ralat untuk jawaban yang salah. Penggunaan kalkulator tidak diizinkan.
96
Kompetisi Matematika Kanada Terbuka 1 1 1 1 1. Berapakah nilai dari 1 1 1 1 ? 2 3 4 5
2. Jika 2a + b = 13 dan a + 2b = 11, berapa nilai dari (a + b)? 3. Jika a = 15 dan b = –9, berapa nilai dari (a2 + 2ab + b2)? 4. Tentukan nilai dari 102 – 92 + 82 – 72 + 62 – 52 + 42 – 32 + 22 – 12.
5. Suatu fungsi f (x) diketahui sebagai: a) f (1) = 1 b) f (2x) = 4f (x) + 6 c) f (x + 2) = f (x) + 12x + 12 Hitung nilai dari f (6)!
6. Jeff, Gareth and Ina mempunyai hari ulang tahun yang sama. Gareth satu tahun lebih tua dari Jeff, dan Ina dua tahun lebih tua dari Gareth. Pada tahun ini, jumlah umur ketiganya adalah 118. Berapa umur Gareth sekarang?
7. Dua buah bilangan yang berbeda dipilih secara acak dari {0, 1, 2, 3, 4}. Tentukan kemungkinan penjumlahan kedua buah bilangan tersebut lebih besar dari hasil perkaliannya?
8. Dalam segitiga PQR, F terletak diantara QR sehingga PF tegak lurus QR. Jika PR = 13, RF = 5, dan FQ = 9, berapa keliling ΔPQR?
97
P
12
Q
9
F
9. Operasi “Δ” didefiniskan sebagai (a Δ b) = 1
5
R
a , b 0. b
Berapakah nilai dari 12 34 ?
10. Urutan bilangan 9, 18, 27, 36, 45, 54, … memiliki faktor perkalian 9. Urutan ini kemudian dikalikan dengan –1 dengan urutan tertentu sehingga menghasilkan urutan bilangan yang baru yaitu –9, 18, –27, 36, –45, 54, ... . Jika penjumlahan n pertama menghasilkan nilai 180, tentukan nilai n! 11. Notasi n! digunakan untuk menjelaskan n n 1 n 2
3 21 .
Sebagi
contoh, 4! 4 3 2 1 . Tentukan n dimana n! 215 36 53 72 1113 !
12. Berapa banyak kemungkinan bilangan positif lima-digit yang perkalian digitnya menghasilkan angka 2000? 13. Dalam suatu segitiga, ΔABC suatu segitiga sama-sisi dan jari-jari lingkaran di dalamnya yaitu 1 satuan panjang. Lingkaran yang terluar digambarkan melingkupi persegi ABDE. Berapakah diameter lingkaran yang terluar?
98
C
E
D
A
B
14. Tentukan semua bilangan nyata b pada b 3 b 6 14 !
15. Bilangan 1, 2, 3, … , 9 ditempatkan dalam suatu kotak persegi. Penjumlahan tiga baris, penjumlahan tiga kolom, dan penjumlahan dua diagonal dijumlahkan bersamaan membentuk “penjumlahan besar”, S. Sebagai contoh, jika bilangan tersebut ditempatkan dalam urutan di bawah ini, maka ”penjumlahan besar”-nya adalah: 1
2
3
4
5
6
7
8
9
S = penjumlahan baris + penjumlahan kolom + penjumlahan diagonal = 45 + 45 + 30 = 120 Tentukan kemungkinan nilai terbesar dari “penjumlahan besar” tersebut!
99
Kompetisi Matematika Kanada Terbuka Perkumpulan Matematika Kanada bekerjasama dengan Pusat Kegiatan Pendidikan Matematika dan Komputasi Universitas Waterloo, Ontario
Soal dan Pembahasan Rabu, 19 Nopember 2008 Waktu: 2,5 jam 1 1 1 1 1. Berapakah nilai dari 1 1 1 1 ? 2 3 4 5
Pembahasan: 1 1 1 1 3 4 5 6 1 1 1 1 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 6 2 3 4 5
6 2
3
2. Jika 2a + b = 13 dan a + 2b = 11, berapa nilai dari (a + b)? Pembahasan: Dengan menambahkan dua persamaan tersebut akan memberikan 2a b 13 a 2b 11 3a 3b 24
Jadi, nilai dari a b 8. 3. Jika a = 15 dan b = –9, berapa nilai dari (a2 + 2ab + b2)? Pembahasan: Jika a = 15 dan b = –9, maka
a 2 2ab b2 152 2 15 9 9 225 270 81 36 2
100
4. Tentukan nilai dari 102 – 92 + 82 – 72 + 62 – 52 + 42 – 32 + 22 – 12. Pembahasan: 102 – 92 + 82 – 72 + 62 – 52 + 42 – 32 + 22 – 12
10 910 9 8 7 8 7 6 5 6 5 4 3 4 3 2 1 2 1 110 9 18 7 1 6 5 1 4 3 1 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
55
5. Suatu fungsi f (x) diketahui sebagai: a) f (1) = 1 b) f (2x) = 4f (x) + 6 c) f (x + 2) = f (x) + 12x + 12 Hitung nilai dari f (6)! Pembahasan: Dengan menggunakan (b) dengan x = 1 akan menghasilkan
f 2 4f 1 6 4 1 6 10 dimana f (1) = 1. Dengan menggunakan (b) dengan x = 2 akan menghasilkan
f 4 4f 2 6 4 10 6 46 Dengan menggunakan (c) dengan x = 4 akan menghasilkan
f 6 f 4 12 4 12 46 48 12 106
6. Jeff, Gareth and Ina mempunyai hari ulang tahun yang sama. Gareth satu tahun lebih tua dari Jeff, dan Ina dua tahun lebih tua dari Gareth. Pada tahun ini, jumlah umur ketiganya adalah 118. Berapa umur Gareth sekarang? Pembahasan: Misalkan umur Gareth sekarang G tahun. Kemudian umur Jeff adalah (G – 1) tahun dan umur Ina adalah (G + 2) tahun. Diketahui jumlah umur mereka adalah 118 sehingga
G 1 G G 2 118
101
G 39
Jadi, umur Gareth sekarang adalah 39 tahun.
7. Dua buah bilangan yang berbeda dipilih secara acak dari {0, 1, 2, 3, 4}. Tentukan kemungkinan penjumlahan kedua buah bilangan tersebut lebih besar dari hasil perkaliannya? Pembahasan: Untuk memudahkan menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan tabel sebagai berikut. Angka yang Dipilih Penjumlahan Hasil Perkalian (0, 1)
1
0
(0, 2)
2
0
(0, 3)
3
0
(0, 4)
4
0
(1, 2)
3
2
(1, 3)
4
3
(1,4)
5
4
(2, 3)
5
6
(2, 4)
6
8
(3, 4)
7
12
Pada tabel tersebut terdapat 10 kemungkinan dua angka yang berbeda yang dipilih dan terdapat 7 kemungkinan penjumlahan 2 angka yang berbeda lebih besar daripada hasil perkaliannya. Jadi, kemungkinan (peluang) penjumlahan kedua buah bilangan lebih besar dari hasil perkaliannya adalah
7 . 10
8. Dalam segitiga PQR, F terletak diantara QR sehingga PF tegak lurus QR. Jika PR = 13, RF = 5, dan FQ = 9, berapa keliling ΔPQR?
102
P
12
Q
9
F
5
R
Pembahasan: Perhatikan gambar berikut ini! P
12
Q
9
F
5
R
Dengan menggunakan teorema Pythagoras dalam segitiga PFR, kita akan mendapatkan nilai PF yaitu:
PF2 PR 2 FR 2 PF2 132 52 144
PF 144 12 cm Dengan menggunakan teorema Pythagoras dalam segitiga PFQ, kita akan mendapatkan nilai PQ yaitu: PQ2 QF2 PF2 PQ2 92 122 225
PQ 225 15 cm Jadi, sisi segitiga PQR adalah 13 cm, 14 cm, dan 15 cm sehingga keliling segitiga PQR adalah (13 + 14 + 15) cm = 42 cm.
9. Operasi “Δ” didefiniskan sebagai (a Δ b) = 1
a , b 0. b
Berapakah nilai dari 12 34 ? Pembahasan:
103
Sesuai dengan definisi “Δ”, maka
1 2 1
1 1 2 2
3 4 1
3 1 4 4
1 1 1 Jadi, 1 2 3 4 1 2 1 2 1 1 2 4 4
10. Urutan bilangan 9, 18, 27, 36, 45, 54, … memiliki faktor perkalian 9. Urutan ini kemudian dikalikan dengan –1 dengan urutan tertentu sehingga menghasilkan urutan bilangan yang baru yaitu –9, 18, –27, 36, –45, 54, ... . Jika penjumlahan n pertama menghasilkan nilai 180, tentukan nilai n! Pembahasan: Bagian dari deret tersebut dipasangkan dengan mengkombinasikan setiap bilangan ganjil sebagai contoh, kita mengkombinasikan 1 dan 2, 3 dan 4, 5 dan 6, dan seterusnya. Penjumlahan setiap pasangan bilangan tersebut adalah 9. Jadi, kita memerlukan 20 pasangan bilangan ini untuk menghasilkan nilai 180 dimana 2 20 atau n = 40. 11. Notasi n! digunakan untuk menjelaskan n n 1 n 2
3 21 .
Sebagi
contoh, 4! 4 3 2 1 . Tentukan n dimana n! 215 36 53 72 1113 ! Pembahasan: Misalkan n! mempunyai faktor bilangan prima 13, n harus kurang dari 13. Misalkan n! tidak mempunyai faktor bilangan prima 17, n harus kurang dari 17. Dua pernyataan tersebut benar karena jika m n , maka m dapat membagi n! Misalkan n! mempunyai 53 sebagai faktor, maka n 15, dimana kita perlu n! untuk mempunyai 3 faktor yang dikalikan dengan 5. Sekarang, kita harus menentukan jika n = 15 atau n = 16. Jadi, kita lihat angka 2 sebagai faktor dari 16.
104
16! mempunyai
1 faktor pada 2 dari 2, 6, 10, dan 14 2 faktor pada 2 dari 4, 12 3 faktor pada 2 dari 8 4 faktor pada 2 dari 16
Akhirnya, kita memiliki 15 pasangan dimana bersesuaian pada n = 16.
12. Berapa banyak kemungkinan bilangan positif lima-digit yang perkalian digitnya menghasilkan angka 2000? Pembahasan: Misalkan bilangan positif lima-digit dalam bentuk a b c d e dimana 0 a, b,c,d,e 9, a 0.
Jika hasil perkalian angka tersebut adalah 2000, maka kita harus mempunyai perkalian a b c d e = 2000 = 2453. Jika hasil perkalian angka tersebut adalah 2000, maka 3 digit diantaranya haruslah 5. Dua digit yang dimaksud adalah hasil perkalian yaitu 16 atau 24. Kemungkinan 1 Kasus 1
Dengan menggunakan angka 5, 5, 5, 4, 4 terdapat
5! 10 3!2!
kemungkinan bilangan Kasus 2
Dengan menggunakan angka 5, 5, 5, 2, 8 terdapat
5! 20 3!
kemungkinan bilangan Jadi, banyaknya kemungkinan bilangan positif lima-digit yang perkalian digitnya menghasilkan angka 2000 adalah 10 + 20 = 30 kemungkinan. 13. Dalam suatu segitiga, ΔABC suatu segitiga sama-sisi dan jari-jari lingkaran di dalamnya yaitu 1 satuan panjang. Lingkaran yang terluar digambarkan melingkupi persegi ABDE. Berapakah diameter lingkaran yang terluar?
105
C
E
D
A
B
Pembahasan: Perhatikan gambar berikut ini! C
O
30° A
P
B
Misalkan O adalah pusat dari lingkaran kecil di dalam segitiga sama-sisi dan P merupakan titik tengah yang terdapat pada garis AB. Kemudian kita hubungkan OP dan OB. Diketahui bahwa OPB 90 dan OBP 30 dengan CBA 60 . Diketahui bahwa OP = 1 dan sudut-sudut segitiga BOP adalah 30°-60°-90°, kemudian OB = 2 dan BP = 3 sehingga AB 2 3 . Karena simetris, CO = OB = 2, maka CP = 3.
Perhatikan pula gambar berikut ini!
106
E
D
3
A
2 3
B
Karena ABDE adalah persegi dan CP tegak lurus AB, maka AE = 3. Sekarang lihat pada persegi ABDE dan lingkaran terluarnya! Karena ABDE adalah persegi, sudut EAB adalah 90°, maka BE adalah diameter lingkaran tersebut. Dengan menggunakan rumus Pythagoras,
BE2 EA2 AB2
32 2 3
2
21 Jadi, diameternya adalah
21 cm.
14. Tentukan semua bilangan nyata b pada b 3 b 6 14 ! Pembahasan: Karena b 3 b 6 14 , maka b2 3b 18 14 atau b2 3b 4 0. Dengan memfaktorkan, kita mendapatkan
b 4 b 1 0 , sehingga b = 4 atau b = 1. 15. Bilangan 1, 2, 3, … , 9 ditempatkan dalam suatu kotak persegi. Penjumlahan tiga baris, penjumlahan tiga kolom, dan penjumlahan dua diagonal dijumlahkan bersamaan membentuk “penjumlahan besar”, S. Sebagai contoh, jika bilangan tersebut ditempatkan dalam urutan di bawah ini, maka ”penjumlahan besar”-nya adalah:
107
1
2
3
4
5
6
7
8
9
S = penjumlahan baris + penjumlahan kolom + penjumlahan diagonal = 45 + 45 + 30 = 120 Tentukan kemungkinan nilai terbesar dari “penjumlahan besar” tersebut! Pembahasan: Jika 9 angka tersebut ditempatkan pada susunan dalam pengaturan yang berbeda, maka penjumlahan dari penjumlahan baris adalah selalu 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 karena setiap 9 bilangan tersebut terdapat dalam satu baris. Hampir sama dengan dengan hal di atas, penjumlahan dari penjumlahan kolom adalah selalu 45 sebagai sembilan bilangan yang ada dalam satu kolomnya. Jadi, penjumlahan besar S adalah sama dengan 90 ditambah dengan jumlah penjumlahan diagonal dan tergantung pada input diagonal sebagai berikut: a
c e
g
k
Jadi, S = 90 + (a + e + k) + (c + e + g) = 90 + 2e + a + c + g + k. Untuk membuat S sebesar mungkin, kita harus membuat 2e + a + c + g + k sebesar mungkin. Karena a, c, e, g, dan k dapat berupa angka dari 1 sampai 9, maka S adalah yang terbesar pada e = 9 dan a, c, g, dan k adalah 5, 6, 7, dan 8 dalam hal lainnya. Sebagai contoh,
108
5
1
6
2
9
3
7
4
8
Jadi, nilai maksimum yang mungkin untuk S adalah 90 + 2(9) + 8 + 7 + 6 + 5 = 90 + 44 = 134.
109
Daftar Pustaka 1. Brennan, J.W. 2002. Understanding Algebra. www.jamesbrennan.org/algebra 2. Engel, A. 1998. Problem-Solving Strategies. Springer. 3. Anonymous. 2000. Text of Canadian Open Mathematics Challenge. 4. __________. 2006. Text of Canadian Open Mathematics Challenge. 5. __________. 2007. Text of Canadian Open Mathematics Challenge. 6. __________. 2008. Text of Canadian Open Mathematics Challenge. 7. __________.
2006.
Naskah
Soal
Olimpiade
Matematika
Tingkat
Soal
Olimpiade
Matematika
Tingkat
Soal
Olimpiade
Matematika
Tingkat
Kabupaten/Kota. Depdiknas. 8. __________.
2007.
Naskah
Kabupaten/Kota. Depdiknas. 9. __________.
2008.
Naskah
Kabupaten/Kota. Depdiknas. 10. __________. 2008. Naskah Soal Olimpiade Matematika Tingkat Provinsi. Depdiknas. 11. __________. 2006. Naskah Soal Olimpiade Matematika Tingkat Nasional. Depdiknas. 12. __________. 2007. Naskah Soal Olimpiade Matematika Tingkat Nasional. Depdiknas. 13. __________. 2008. Naskah Soal Olimpiade Matematika Tingkat Nasional. Depdiknas.
110