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Objetivos Funci´ on Inversa

Funci´on Inversa Carlos A. Rivera-Morales

Prec´ alculo I

Rivera-Morales, Carlos A.

Funci´ on Inversa

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Objetivos Funci´ on Inversa

Tabla de Contenido Objetivos Funci´on Inversa

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Rivera-Morales, Carlos A.

Funci´ on Inversa

Objetivos: Discutiremos: funci´on inversa

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Objetivos Funci´ on Inversa

Objetivos: Discutiremos: funci´on inversa construcci´on de la funci´ on inversa

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Objetivos: Discutiremos: funci´on inversa construcci´on de la funci´ on inversa dominio y rango de la funci´ on inversa

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Objetivos: Discutiremos: funci´on inversa construcci´on de la funci´ on inversa dominio y rango de la funci´ on inversa gr´afica de la funci´ on inversa

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Funci´ on Inversa Definici´ on 1: Sea f una funci´ on inyectiva o uno a uno.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Funci´ on Inversa Definici´ on 1: Sea f una funci´ on inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una funci´ on inversa que se denota como f −1 (l´ease ”f inversa”), donde el dominio de esta funci´on es el rango o recorrido de f .

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Funci´ on Inversa Definici´ on 1: Sea f una funci´ on inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una funci´ on inversa que se denota como f −1 (l´ease ”f inversa”), donde el dominio de esta funci´on es el rango o recorrido de f . La funci´ on inversa de f (o, simplemente, inversa) se define como

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Funci´ on Inversa Definici´ on 1: Sea f una funci´ on inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una funci´ on inversa que se denota como f −1 (l´ease ”f inversa”), donde el dominio de esta funci´on es el rango o recorrido de f . La funci´ on inversa de f (o, simplemente, inversa) se define como f −1 (y) = x ⇐⇒ f (x) = y ∀y ∈ Rf

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Funci´ on Inversa Definici´ on 1: Sea f una funci´ on inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una funci´ on inversa que se denota como f −1 (l´ease ”f inversa”), donde el dominio de esta funci´on es el rango o recorrido de f . La funci´ on inversa de f (o, simplemente, inversa) se define como f −1 (y) = x ⇐⇒ f (x) = y ∀y ∈ Rf De otra forma, (y, x) ∈ f −1 ⇐⇒ (x, y) ∈ f

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Funci´ on Inversa Definici´ on 1: Sea f una funci´ on inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una funci´ on inversa que se denota como f −1 (l´ease ”f inversa”), donde el dominio de esta funci´on es el rango o recorrido de f . La funci´ on inversa de f (o, simplemente, inversa) se define como f −1 (y) = x ⇐⇒ f (x) = y ∀y ∈ Rf De otra forma, (y, x) ∈ f −1 ⇐⇒ (x, y) ∈ f Note que, Dominio de f −1 = Rango de f Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Funci´ on Inversa Definici´ on 1: Sea f una funci´ on inyectiva o uno a uno. Entonces f admite una funci´ on inversa que se denota como f −1 (l´ease ”f inversa”), donde el dominio de esta funci´on es el rango o recorrido de f . La funci´ on inversa de f (o, simplemente, inversa) se define como f −1 (y) = x ⇐⇒ f (x) = y ∀y ∈ Rf De otra forma, (y, x) ∈ f −1 ⇐⇒ (x, y) ∈ f Note que, Dominio de f −1 = Rango de f Dominio de f = Rango de f −1 Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Funci´ on Inversa Definici´ on 2: Sean f y g funciones tales que f (g(x)) = x para toda x en el dominio de g y g(f (x)) = x para toda x en el dominio de f . Si se cumplen ambas condiciones, entonces la funci´on g es la funci´ on inversa de f y f es la funci´ on inversa de g. Se denota por f = g −1 y g = f −1 . Por lo tanto, f (f −1 (x)) = x y f −1 (f (x)) = x

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Note que, Dominio de f = Rango de g

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Note que, Dominio de f = Rango de g Dominio de g = Rango de f

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas x 3 3 Ejemplo: Sea f (x) = − y g(x) = 4(x + ). Determine si f 4 2 2 y g son funciones inversas mutuamente. Soluci´ on:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas x 3 3 Ejemplo: Sea f (x) = − y g(x) = 4(x + ). Determine si f 4 2 2 y g son funciones inversas mutuamente. Soluci´ on:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas x 3 3 Ejemplo: Sea f (x) = − y g(x) = 4(x + ). Determine si f 4 2 2 y g son funciones inversas mutuamente. Soluci´ on:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas x 3 3 Ejemplo: Sea f (x) = − y g(x) = 4(x + ). Determine si f 4 2 2 y g son funciones inversas mutuamente. Soluci´ on:

Por lo tanto, las funciones f y g son funciones inversas mutuamente.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Nota: La gr´afica de la funci´ on inversa f −1 es sim´etrica a la gr´afica de f respecto de la recta y = x.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Nota: La gr´afica de la funci´ on inversa f −1 es sim´etrica a la gr´afica de f respecto de la recta y = x. Ejemplo: Gr´aficas de f y de f−1

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Nota: La gr´afica de la funci´ on inversa f −1 es sim´etrica a la gr´afica de f respecto de la recta y = x. Ejemplo: Gr´aficas de f y de f−1

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Observaci´ on: Nota: En la notaci´ on f −1 (x) el ´ındice −1 no tiene el significado en ´ algebra como exponente. Esto es: 1 −1 f (x) 6= . f (x)

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo: Si la funci´on f tiene funci´ on inversa y f (1) = 4, f (3) = 8 , −1 f (5) = −11, determinar f (4), f −1 (8),f −1 (11).

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo: Si la funci´on f tiene funci´ on inversa y f (1) = 4, f (3) = 8 , −1 f (5) = −11, determinar f (4), f −1 (8),f −1 (11). Soluci´ on: A partir de la definici´ on de funci´ on inversa, tenemos que: f −1 (4) = 1; Raz´ on: f (1) = 4

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo: Si la funci´on f tiene funci´ on inversa y f (1) = 4, f (3) = 8 , −1 f (5) = −11, determinar f (4), f −1 (8),f −1 (11). Soluci´ on: A partir de la definici´ on de funci´ on inversa, tenemos que: f −1 (4) = 1; Raz´ on: f (1) = 4 −1 f (8) = 3; Raz´ on: f (3) = 8

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo: Si la funci´on f tiene funci´ on inversa y f (1) = 4, f (3) = 8 , −1 f (5) = −11, determinar f (4), f −1 (8),f −1 (11). Soluci´ on: A partir de la definici´ on de funci´ on inversa, tenemos que: f −1 (4) = 1; Raz´ on: f (1) = 4 −1 f (8) = 3; Raz´ on: f (3) = 8 f −1 (−11) = 5; Raz´ on: f (5) = −11

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo: Si la funci´on f tiene funci´ on inversa y f (1) = 4, f (3) = 8 , −1 f (5) = −11, determinar f (4), f −1 (8),f −1 (11). Soluci´ on: A partir de la definici´ on de funci´ on inversa, tenemos que: f −1 (4) = 1; Raz´ on: f (1) = 4 −1 f (8) = 3; Raz´ on: f (3) = 8 f −1 (−11) = 5; Raz´ on: f (5) = −11 Recuerde: En la funci´ on inversa se intercambian cada una de las parejas ordenadas que constituyen a la funci´on original:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo: Si la funci´on f tiene funci´ on inversa y f (1) = 4, f (3) = 8 , −1 f (5) = −11, determinar f (4), f −1 (8),f −1 (11). Soluci´ on: A partir de la definici´ on de funci´ on inversa, tenemos que: f −1 (4) = 1; Raz´ on: f (1) = 4 −1 f (8) = 3; Raz´ on: f (3) = 8 f −1 (−11) = 5; Raz´ on: f (5) = −11 Recuerde: En la funci´ on inversa se intercambian cada una de las parejas ordenadas que constituyen a la funci´on original: (x, y) ∈ f ⇐⇒(y, x )∈f−1 . Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas El siguiente diagrama muestra las correspondencias:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Nota: No toda funci´ on tiene funci´ on inversa.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Nota: No toda funci´ on tiene funci´ on inversa. En la siguiente figura se aprecia que f s´ı tiene inversa y g no tiene funci´on inversa, ya que no cumple con la condici´ on de ser funci´on inyectiva.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Nota: La prueba de la l´ınea horizontal es un criterio gr´afico que se puede utilizar para determinar si una funci´on f tiene funci´on inversa. Prueba de L´ınea Horizontal: Una funci´on f tiene funci´ on inversa f −1 si toda l´ınea horizontal corta la gr´afica de f , como m´ aximo, en un punto.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas F´ ormula de la Funci´ on Inversa: Pasos: Para obtener la f´ ormula algebraica de la funci´on inversa de una funci´on inyectiva:

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas F´ ormula de la Funci´ on Inversa: Pasos: Para obtener la f´ ormula algebraica de la funci´on inversa de una funci´on inyectiva: 1

Se escribe y = f (x).

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas F´ ormula de la Funci´ on Inversa: Pasos: Para obtener la f´ ormula algebraica de la funci´on inversa de una funci´on inyectiva: 1

Se escribe y = f (x).

2

Se intercambia x por y.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas F´ ormula de la Funci´ on Inversa: Pasos: Para obtener la f´ ormula algebraica de la funci´on inversa de una funci´on inyectiva: 1

Se escribe y = f (x).

2

Se intercambia x por y.

3

Se despeja y para determinar f −1 (x).

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo 1: Determinar la funci´ on inversa de f (x) =

Rivera-Morales, Carlos A.

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x − 5. 2

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo 1: Determinar la funci´ on inversa de f (x) = Soluci´ on:

Rivera-Morales, Carlos A.

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x − 5. 2

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Gr´afica de f −1 :

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo 1: Determinar la funci´ on inversa de f (x) = 3x − 5.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo 1: Determinar la funci´ on inversa de f (x) = 3x − 5.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo 1: Determinar la funci´ on inversa de f (x) = 3x − 5.

Por lo tanto, f −1 (x) =

x+5 3

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Gr´afica de f −1 :

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo 1: Determinar la funci´ on inversa de f (x) = x3 + 2.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo 1: Determinar la funci´ on inversa de f (x) = x3 + 2. Soluci´ on: f (x) = x3 + 2 y = x3 + 2 x = y3 + 2 x − 2 = y3 √ 3

x−2=y

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Ejemplo 1: Determinar la funci´ on inversa de f (x) = x3 + 2. Soluci´ on: f (x) = x3 + 2 y = x3 + 2 x = y3 + 2 x − 2 = y3 √ 3

x−2=y

y=

√ 3

√ x − 2 =⇒ f −1 (x) = 3 x − 2 Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Gr´afica de f −1 :

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Consideremos la funci´ on f (x) = x2 . Existe por lo menos una l´ınea horizontal que corta a su gr´ afica en m´ as de un punto. Por lo tanto, no tiene funci´ on inversa.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Si restringimos el dominio de la funci´ on f (x) = x2 se manera tal que x ≥ 0, entonces la nueva funci´ on es inyectiva. Por lo tanto, tiene funci´on inversa.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Construcci´ on de la f´ ormula de f −1 :

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Construcci´ on de la f´ ormula de f −1 : f (x) = x2 y = x2 x = y2 √ x=y f −1 (x) =

√ x

Rivera-Morales, Carlos A.

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Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Como otro ejemplo, consideremos la funci´ on h(x) = 4 − x2 . Existe por lo menos una l´ınea horizontal que corta a su gr´afica en m´as de un punto.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Si restringimos el dominio de la funci´ on h(x) = 4 − x2 se manera tal que x ≥ 0, entonces la nueva funci´ on es inyectiva. Por lo tanto, tiene funci´ on inversa.

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Construcci´ on de la f´ ormula de h−1 : h(x) = 4 − x2 y = 4 − x2 x = 4 − y2 y2 = 4 − x y=

√

4−x

h−1 (x) =

√

4−x

Rivera-Morales, Carlos A.

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Objetivos Funci´ on Inversa

Funciones de una Variable Real y sus Gr´ aficas Gr´ afica de la funci´ on h y de su inversa h−1 :

Rivera-Morales, Carlos A.

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