Carta al Estudiante Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática MA2210 Ecuaciones diferenciales Aplicadas

Facultad de Ciencias Departamento de Matemática Aplicada Verano 2014

Estimado estudiante le damos una cordial bienvenida y le deseamos muchos éxitos en su proceso de aprendizaje. A continuación presentamos información importante, pertinente al curso, la cual debe conocer. 1.

Descripción

• Naturaleza: teórico-práctico. • Modalidad: semestral. • Horas por semana: 10 horas. • Requisitos: MA-1210 ó MA-1001

2.

Introducción

Este curso tiene un grado medio de dicultad y requiere un buen dominio, tanto operacional como conceptual, de derivación e integración de funciones de valor real en una variable real. En el se desarrollarán algunas técnicas para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y se estudiarán ciertas aplicaciones. Se ofrecerán sesiones adicionales de apoyo para todos los cursos que se impartirán en el verano. El calendario y aulas para cada curso se publicarán en las pizarras de cada cátedra al inicio del período de verano. Serán sesiones tipo estudiadero, donde el estudiante tendrá la posibilidad de evacuar sus dudas y recibir orientación adicional en la revisión del material estudiado.

3.

Objetivos generales

3.1 Lograr que el estudiante adquiera parte de las destrezas matemáticas necesarias para poder desempeñarse con solvencia como profesional en la disciplina de su interés. 1

3.2 Dar a conocer al estudiante los conceptos relativos a los sistemas ecuaciones lineales y a las ecuaciones diferenciales para que pueda comprender aquellos modelos matemáticos de su especialidad que involucren tales ecuaciones. 3.3 Fomentar un espíritu crítico mediante la discusión de los conceptos fundamentales. 3.4 Dar a conocer al estudiante la teoría básica de las ecuaciones diferenciales ordinarias y los principales métodos de solución. 3.5 Dar a conocer al estudiante la teoría básica de los sistemas de ecuaciones lineales y cómo determinar su conjunto solución. 3.6 Presentar problemas relacionados con diversas áreas que puedan ser modelados mediante un sistema de ecuaciones lineales o, mediante una ecuación diferencial, o mediante un sistema de ecuaciones diferenciales y resolverlos; interpretando los resultados dentro del área de su aplicación. 4.

Objetivos especícos

4.1 Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. 4.2 Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de reducción de Gauss-Jordan. 4.3 Analizar sistemas de ecuaciones lineales cuyos coe cientes dependen de uno o más parámetros. 4.4 Calcular determinates y aplicar la regla de Cramer a la solución y análisis de sistemas de ecuaciones lineales. 4.5 Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coecientes costantes, de cualquier orden, y la ecuación de Euler. 4.6 Conocer y aplicar el método de variación de parámetros para obtener soluciones particulares de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. 4.7 Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por métodos de eliminación de operadores. 4.8 Utilizar la Transformada de Laplace para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. 4.9 Plantear y resolver distintos problemas de aplicación que puedan modelarse haciendo uso de sistemas de ecuaciones lineales o de ecuaciones diferenciales ordinarias. 5.

Contenidos

5.1 Conceptos básicos y ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. • Denición de ecuación diferencial ordinaria. 2

Orden, solución particular y solución general de una ecuación diferencial. Existencia y unicidad de solución para un problema de valor inicial. Ecuaciones diferenciales en variables separables. Ecuaciones homogéneas y reducibles a homogéneas. Reducción de orden en ecuaciones diferenciales de segundo orden con una variable ausente. • Ecuaciones exactas y reducibles a exactas por medio de un factor integrante. • Ecuaciones lineales y reducibles a ellas. (Ecuaciones de Bernoulli y de Ricatti.) 5.2 Algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden • Ecuación diferencial de una familia paramétrica de curvas planas. • Trayectorias ortogonales en coordenadas rectangulares. • Crecimiento y decrecimiento de poblaciones. • Mezclas. • Reacciones químicas. • Ley de enfriamiento de Newton. • Leyes del movimiento de Newton. • Desintegración radiactiva. Vida media. Fechado de fósiles. 5.3 Introducción al álgebra lineal. • Vectores y matrices. Suma, multiplicación por escalar y multiplicación de matrices. • Matriz cuadrada, matriz identidad, matriz triangular, matriz diagonal. • Sistemas de ecuaciones lineales, forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales, matriz de coe cientes, matriz aumentada, solución y conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales. • Operaciones elementales entre las las de una matriz. Forma escalonada y forma escalonada reducida de una matriz. • Sistemas de ecuaciones equivalentes y método de reducción de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales. • Inversa de una matriz cuadrada. • Determinante de una matriz cuadrada y sus propiedades básicas. • Regla de Cramer. 5.4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que uno. • Combinación lineal de un conjunto de funciones. • Conjunto de funciones linealmente dependendiente e independiente. • Wronskiano de un conjunto de n soluciones de una ecuación diferencial de orden n. • • • • •

3

• Fórmula de Abel. • Operadores diferenciales. Anuladores. • Métodos de solución para una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n. • Reducción de orden, conocida una solución de la ecuación homogénea aso-

ciada a una ecuación diferencial lineal de segundo orden. • Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Método de variación de parámetros. • Método de coecientes indeterminados. • Ecuación de Euler. 5.5 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. • Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales. • Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. • Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, de orden arbitrario, con coecientes constantes, aplicando el método de eliminación de operadores para transformar un sistema dado en uno equivalente que tenga forma triangular. • Problemas de tanques interconectados. 5.6 Transformada de Laplace. • Integrales impropias en intervalos no acotados. • Transformada de Laplace. Denición y propiedades básicas. • Transformada de Laplace de algunas funciones elementales. • Transformada de Laplace de la derivada de una función y de la integral de una función. • Traslación de la transformada de Laplace. Funciones escalón unitario. Segundo teorema de traslación. • Derivación de la transformada de Laplace. Transformada de Laplace de una función periódica. • Teorema de convolución. • Inversión de la transformada de Laplace y su aplicación a la solución de problemas de valor inicial. • Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales haciendo uso de la transformada de Laplace. 6.

Evaluación

Se realizarán tres examnes parciales, cada uno de los cuales tendrá un valor de 25 %, 30 % y 30 % , donde la nota menor recibirá el porcentage menor. También se realizarán tres pruebas cortas con un valor de 5 % cada una. La suma de los porcentages obtenidos en cada una de las evaluaciones, redondeado a la unidad o a la media unidad más próxima, será la nota de aprovechamiento (N A). 4

• Si N A < 5,75, entonces el estudiante pierde el curso • Si 5,75 ≤ N A < 6,75, entonces el estudiante tendrá derecho a resolver un examen de ampliación en el cual si obtiene una nota mayor o igual a 7,0 aprobará el curso y se le reportará un 7,0 como nota de aprovechamiento en caso contrario

reprobará. Los contenidos evaluados en esta prueba de ampliación serán aquellos en los cuales en la nota del examen parcial haya obtenido menos que un 7,0 • Si 6,75 ≤ N A, entonces el estudiante aprueba el curso.

7.

8.

Cronograma Fecha

Tema

Del 5 al 13 de enero

5.1

Del 14 al 20 de enero

5.2

Del 21 al 27 de enero

5.3

26 de enero

I prueba corta

Del 28 de enero al 5 de febrero

5.4

Del 9 al 12 de febrero

5.5

9 de febrero

II prueba corta

Del 16 al 24 febrero

5.6

26 de febrero

III prueba corta

Calendario de exámenes

Las reposiciones se autorizarán estrictamente por motivos de fallecimiento de pariente hasta segundo grado de consanguinidad, enfermedad certicada del estudiante o situaciones excepcionales que se presenten. No es justicación de ausencia a exámenes ordinarios paseos familiares, viajes al extranjero, horarios de trabajo, y en general actividades habituales que impidan la presentación del estudiante. Examen

Primer Parcial Segundo Parcial Tercer Parcial Ampliación 9.

Fecha y Hora

Temas

Viernes 30 de enero 9:00 5.1 y 5.2 Viernes 13 de febrero 9:00 5.3 y 5.4 lunes 2 de marzo 9:00 5.5 y 5.6 viernes 6 de marzo 9:00

Bibliografía

Arce, Carlos, W. Castillo, J. González, Álgebra rial UCR, San José, 2005. Céspedes, Julio, Ecuaciones UCR, San José, 2010.

Lineal.

Tercera edición. Edito. Editorial

Diferenciales para Ciencias de la Vida

5

Kiseliov, A., M. Krasnov y G. Makarenko, Editorial MIR, 1988.

.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Nagle, R. Kent, E. B. Sa y A. D. Snider, Ecuaciones Diferenciales con Valores en la Frontera. Pearson Education, México, 2001. Spiegel, Murray R., Ecuaciones mericana, S. A.,México, 1987.

y Problemas

. PrenticeHall Hispanoa-

Diferenciales Aplicadas

Zill, Dennis G., Ecuaciones Diferenciales con edición. Cengage Learning, México, 2009.

Aplicaciones de Modelado

. Novena

Zill, Dennis G. y M. R. Cullen, Ecuaciones Diferenciales con Problemas lores en la Frontera. Séptima edición. Cengage Learning, México, 2009. Michael Alexander Murillo Guevara

con Va-

Correo: [email protected]

6