Una Representación Esférica de la Carta de Smith Chris Zelley

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anterioridad al viaje de Cristóbal Colón todo el mundo creía que la Tierra era plana… Durante una serie de años he venido usando una extensión de la carta de Smith convencional para ayudarme a comprender problemas de RF, tales como el diseño de osciladores y la estabilización de amplificadores, en los que aparecen impedancias negativas. El concepto me ha permitido profundizar en problemas relativos a impedancias y ha resultado ser una útil ayuda adicional.

Recientemente, en el transcurso de una discusión con otros ingenieros durante una cena, se me ocurrió mencionar mis ideas. Éstas fueron bien recibidas y desde entonces he sido persuadido para publicar mi extensión a la carta de Smith. Llegados a este punto, este artículo es mi intención de explicar, lo más simplemente posible, las ideas detrás de mi herramienta conceptual basada en la bien conocida carta de Smith. La gran ventaja de la carta de Smith es que ésta es en esencia una “calculadora gráfica”.

Chris Zelley, Nanotech Semiconductor, Bristol, UK ([email protected]) Traductora: Pilar Molina Gaudó (E-mail: [email protected])

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IEEE microwave magazine

1527-3442/07/$25.00©2007 IEEE

Junio 2007

Figura 1. La carta de Smith de impedancias convencional (imagen cortesía de RF café 2002). Esto permite hallar soluciones de adaptación (o acoplamiento) de impedancias simplemente dibujando en la carta, en lugar de tener que realizar complejos cálculos. Esto hace que los cálculos de impedancias sean accesibles a todos los ingenieros a todos los niveles y les ayuda a desarrollar un sexto sentido acerca de buenas redes candidatas para adaptar. De hecho, cuando un ingeniero se ha familiarizado con la carta de Smith y tiene una fotografía clara de ésta en su mente, resulta posible visualizar soluciones de adaptación a priori mentalmente. La extensión de la carta de Smith descrita en este artículo implica el moverse de una carta circular en un plano bidimensional (2-D) (como por ejemplo un gráfico sobre un papel o una pantalla) a una carta tridimensional en la superficie de una esfera. Esta formulación de la carta de Smith puede, por supuesto, ser expresada matemáticamente usando las transformaciones de coordenadas apropiadas y sus correspondientes coordenadas 3-D, no obstante ese trabajo sobrepasa las intenciones de este artículo. Algunas supuestas cartas de Smith 3-D están disponibles. Sin embargo, éstas son en esencia, unas Junio 2007

cartas 2-D con los datos de los contornos de medida transferidos a una altura en la tercera dimensión. Según el conocimiento del autor, este es el primer trabajo de una verdadera versión 3-D de la carta de Smith. Esta implementación se basa en el uso de una esfera y un sistema de coordenadas esféricas. Este artículo supone que el lector está familiarizado de forma básica con la carta de Smith. No intenta ser un tutorial acerca de ésta. Para ello, el lector es referido a alguno de los muchos libros sobre líneas de transmisión y teoría de adaptación en RF. Por ejemplo, [1] y [2]. Este artículo ha sido intencionadamente escrito de forma llana, libre de intimidantes ecuaciones matemáticas.

Los orígenes de la carta de Smith La carta de Smith fue ideada y desarrollada por Philip H. Smith. Está disponible una biografía en [3]. Smith trabajó para los Laboratorios Telefónicos Bell (Bell Telephone Laboratorios) en Nueva Jersey. Durante su carrera de ingeniero de líneas de transmisión, Smith publicó dos artículos clave, [4] y [5], que describen su trabajo. La bien conocida carta de Smith aparece en la Figura 1. IEEE microwave magazine

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Este artículo supone que el lector está familiarizado de forma básica con la carta de Smith. Originalmente, la carta de Smith era una herramienta de diseño en papel. Se podían comprar bloques o cuadernos de papel preimpreso con ella. El ingeniero de diseño podía realizar sus ejercicios de adaptación de impedancias con un lápiz, una regla y un compás. Más recientemente, las actividades de RF se han convertido casi únicamente en una cuestión de computadores. Sofisticadas herramientas de diseño asistido por ordenador (CAD, por sus siglas en inglés) han permitido incrementar significativamente la complejidad de los problemas que pueden ser afrontados y el tiempo de diseño reducido. Sin embargo, el extendido uso de las

Figura 2. Ejemplo de círculo de estabilidad grande.

Figura 3. Plano de impedancias. Junio 2007

herramientas de CAD no ha reducido para nada el uso de cartas de Smith. Los paquetes de software de diseño permiten que los resultados se muestren en gráficos con este formato. De la misma manera, los analizadores de redes más modernos también permiten visualizar resultados gráficamente en una carta de Smith.

Limitaciones Existen muchas características atractivas asociadas al uso de la carta de Smith. Entre ellas está su simplicidad, su facilidad de uso debido a que convierte problemas matemáticos en un problema gráfico y la posibilidad de que todas las impedancias con parte real positiva se puedan representar en un solo trozo de papel. Sin embargo, existe una limitación importante de la carta de Smith convencional, relacionada con la forma en la que se maneja la mitad real negativa del dominio de impedancias. En el proceso de conversión de coordenadas que posiciona todo el dominio de resistencias positivas en un circulo manejable (la carta de Smith), la parte real negativa se expande. Esto hace que dibujar impedancias con una parte real negativa sea problemático. Adicionalmente, el punto de -50Ω se convierte en un círculo con radio igual a infinito. Por lo tanto, el uso de impedancias negativas en la carta de Smith puede resultar incómodo. Un ejemplo de esto ocurre cuando se investigan círculos de estabilidad para el diseño y estabilización de una etapa amplificadora de RF. El centro y el radio de estos círculos de estabilidad pueden llegar a hacer que los círculos sean extremadamente grandes comparados con el tamaño de la carta. Un ejemplo de esto se puede ver en la Figura 2. Los programas de diseño asistido por ordenador que automáticamente

Figura 4. Transformación del plano de impedancia con parte real positiva en un círculo tal y como hace Smith. IEEE microwave magazine

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Figura 5. Cartas tangentes que cubren el plano de impedancias entero (imagen cortesía de RF Café 2002) escalan el tamaño de la carta reducirían el rango del dominio de parte real positiva a sólo unos pocos píxeles. Alternativamente, el centro del círculo de estabilidad y su circunferencia se dibujarían fuera de la parte visible de la carta de Smith. Otras áreas del diseño de RF/microondas requieren el manejo de resistencias negativas, como es el caso del diseño de osciladores, así como el diseño de filtros activos de microondas. En el diseño de osciladores, un dispositivo activo es intencionadamente inestabilizado mediante el uso de algún tipo de realimentación serie o paralelo. La resistencia negativa resultante se conecta a un circuito tanque o a un circuito resonante. En el diseño de filtros activos, se crea una resistencia negativa para tratar de compensar las resistencias parásitas de los componentes L y C. En ambos casos, una comprensión gráfica de cómo las transformaciones de impedancia y la carga afectarían a las impedancias negativas vistas podría resultar muy útil. He descubierto que visualizar la carta de Smith como una esfera 3-D en lugar de un círculo en dos dimensiones me ha permitido una mejor percepción de los problemas de adaptación siempre que intervienen impedancias negativas. En la siguiente sección se presenta un método para, convenientemente, incorporar la mitad correspondiente a la parte real negativa del dominio de impedancias en un formato de carta de Smith extendida. Junio 2007

Debe notarse que, a lo largo de este artículo, se considera una carta de Smith de impedancia 50Ω. Aunque no va a mostrarse, es también posible producir una carta de Smith esférica de admitancias o una carta híbrida impedancia/admitancia para cualquier valor de impedancia característica.

Extensión propuesta a la carta de Smith La impedancia compleja Z = R + jX se dibuja en el plano x-y en la Figura 3. En este diagrama, las letras se usan para indicar varios puntos de impedancia. A = -∞ + 0j , B = −50 + 0j , C = 0 + 0j , D = 50 + 0j y E = ∞ + 0j. También F = 0 − ∞j , G = 0 − 50j , H = 0 + 50j , y J = 0 + ∞j .

Figura 6. Transformación del plano entero en dos círculos tangentes. IEEE microwave magazine

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Desde hace varios años utilizo una extensión de la carta de Smith convencional para ayudarme a entender problemas de RF en los que intervienen impedancias negativas, tales como el diseño de osciladores y la estabilización de amplificadores. Adicionalmente, la línea vertical discontinua se traza para R = 50 Ω, y la línea horizontal se dibuja para X = 50 Ω. Se puede ver que en la parte izquierda del plano x-y, R es mejor que cero (por lo tanto una R negativa) y que la mirad derecha del plano x-y representa una resistencia positiva. La carta de Smith surge llevando a cabo una transformación del plano de impedancias para producir la Figura 4. El detalle de la transformación de coordenadas usada aparece en [1]. Se puede ver que en la Figura 4 los puntos E, F y J coinciden con la parte derecha del círculo. El punto C, representando el origen, con cero resistencia y cero reactancia, aparece en la parte izquierda del círculo. Así mismo, los puntos G y H, representando una capacidad de −50j y una inductancia de +50j respectivamente, ahora quedan transformados a sendos puntos en la parte baja y alta del círculo. La parte real positiva del plano de impedancias (R > 0) está dentro del círculo formado por el perímetro de la carta de Smith y el semiplano de parte real negativa (R < 0) queda fuera del círculo. Las líneas discontinuas que en la Figura 3 representaban una línea de resistencia constante y de reactancia constante, también se reflejan en la Figura 4.

Desgraciadamente, durante esta transformación de coordenadas, la parte real negativa del dominio se expande. Esto hace que trabajar con resistencias negativas sea incómodo. Una posible solución para contener el semiplano de resistencia negativa dentro de un tamaño manejable podría ser el crear dos cartas de Smith tangentes la una a la otra [6], con una de ellas cubriendo la parte real positiva y la otra la parte negativa. Las dos cartas juntas permiten al ingeniero visualizar de forma fácil todo el dominio de las impedancias de un solo vistazo. Un ejemplo de esto se muestra en la Figura 5. Las cartas de Smith tangentes se producen al llevar a cabo dos transformaciones de coordenadas diferentes, una para el lado derecho del plano de impedancias, tal y como hizo Smith y otra para el semiplano de la izquierda, el de las resistencias negativas. Si nos fijamos en la Figura 3, puede verse que los puntos F, G, H y J están en el eje y que forma la frontera entre las dos mitades del plano de impedancias. Por lo tanto, debido a la doble transformación para generar las dos cartas de Smith, estos puntos aparecen por partida doble. En el caso del punto G por ejemplo, se crean los puntos G y G’ en la Figura 6. La desventaja de esta aproximación es que aparece una discontinuidad entre las dos cartas en el eje de las mismas. Por ejemplo, los puntos de +50j se dibujan en el eje externo de ambas cartas simultáneamente pero con un espacio en blanco entre ambas. Una posible solución al problema anterior sería el visualizar las cartas no tangencialmente la una a la otra sino de espaldas. Por ejemplo, pegadas cada una a un lado de una raqueta de tenis de mesa (ping-pong) De nuevo, tampoco existe una transición suave de un lado al otro. Al contrario, el ingeniero de diseño se vería obligado a continuamente girar la raqueta de un lado al otro.

Formato esférico expandido de la carta de Smith

Figura 7. Plano de impedancias tras su transformación a una superficie esférica. Junio 2007

Para formar la carta de Smith esférica incluyendo el dominio entero de impedancias, el que se puede ver en la Figura 3, es necesario envolver con éste la superficie de una esfera. Esto se muestra en la Figura 7. Los puntos etiquetados en la Figura 3 también se muestran en la superficie de la esfera. Se puede ver que el origen (punto C) de la Figura 3, ahora aparece en la parte izquierda de la esfera. Su coordenada normalizada (x,y,z) sería (−1, 0, 0). (Nótese que al original de la Figura 3 se le ha dado un offset de x = −1 por conveniencia). Los puntos A, E, F, y J, que eran donde los ejes x e y se hacían infinito positivo y negativo, coinciden ahora todos IEEE microwave magazine

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en el punto (1, 0, 0). Los puntos B y D, que representan −50Ω y +50Ω, están ahora en las posiciones (0, −1, 0) y (0, 1, 0), respectivamente. En esta nueva formulación de la carta de Smith, las impedancias cero e infinito ocurren en el eje x. Visualizar la esfera desde la dirección de z positiva, nos daría una visión similar a la de la carta convencional. Por supuesto la forma de los círculos quedaría algo distorsionada debido a la naturaleza curva de la superficie de la esfera. Se puede ver que con el plano de impedancias proyectado sobre la superficie de una esfera, el dominio entero está contenido en un área manejable y las transiciones de resistencias positivas a negativas pueden hacerse de forma continua. La superficie del hemisferio donde z > 0 contiene todos los valores de impedancia con una parte real positiva, y el hemisferio correspondiente a z < 0 contiene todos los valores donde existe un término de resistencia negativa. De la misma forma, el hemisferio de y > 0 contiene todas las impedancias inductivas y el hemisferio de y > 0 contiene todas las impedancias capacitivas. Sólo los puntos en la superficie de la esfera tienen significado, los puntos interiores no lo tienen. Ahora que la carta de Smith esférica ya ha sido construida, podemos considerar diversas representaciones del dominio de las impedancias, de la misma forma que se hace en la carta de Smith 2-D. En primer lugar, se pueden representar líneas de resistencia y reactancia constante. Estas líneas forman una serie de círculos entrecruzados que empiezan y termina en el punto (1, 0, 0). Así, por

La extensión de la carta de Smith implica pasar de una carta circular en un plano 2-D a una carta 3-D en la superficie de una esfera. ejemplo, las líneas para +50, +50j, −50 y −50j todas empiezan en el punto AEFJ (polo norte), luego van barriendo líneas hasta los puntos D, H, B, y G (en el ecuador), antes de volver otra vez al principio. Representar estas líneas para otros valores de resistencia y reactancia darían las líneas sobre la esfera que la harían parecer similar a la carta 2-D. Esto se muestra en la Figura 8. La Figura 8(a) ilustra la carta de Smith esférica tal y como se vería desde le polo sur (Z = 0), mientras que la Figura 8(b) muestra la vista de la esfera desde el polo norte (Z = ∞). También se pueden considerar las líneas de Q (factor de calidad) constante que pueden representarse en la carta de Smith estándar. Estas forman una serie de arcos que se extienden desde la impedancia cero a la impedancia infinita. Cuando el Q es cero (una resistencia ideal), el arco es una línea recta entre cero e infinito, y cuando Q es infinito (una L ideal o una C ideal) el arco sigue el perímetro de la carta de Smith. En la carta esférica, las líneas de Q constante ahora forman líneas de longitud (meridianos) desde el polo norte en Z= infinito hasta el polo sur en Z = 0. Esto se muestra en la Figura 9. El círculo de Q constante que existe en el plano x-z tiene un valor de 0, mientras que el círculo que existe en el plano x-y tiene un valor de infinito. El uso de la carta de Smith esférica permite

Figura 8. Carta de Smith esférica con líneas de resistencia constante y reactancia constante. (a) Visto desde el polo sur. (b) Perspectiva desde el polo norte. Junio 2007

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Hay muchas ventajas asociadas al uso de la carta de Smith. líneas de Q fácilmente utilizables incluso con resistencia negativa. En la Figura 9 se han añadido líneas de latitud. Estas se han construido dibujado líneas de |Z| constante. El ecuador por ejemplo, es la línea de |Z| = 50. Visualizar la esfera con Q como líneas de longitud y |Z| como líneas de latitud es equivalente a ver la carta de Smith en coordenadas polares, en lugar de cartesianas, dónde mag(Z) = raiz(R2 + X2) y fase(Z) = arctan(X/R) = arctan(Q). La carta de Smith también es útil para trabajar con coeficientes de reflexión. El coeficiente de reflexión ρ se representa generalmente en la carta de Smith

z

y

D H

Representación gráfica y diseño asistido por ordenador (CAD)

AEFJ

C

x

G

B

Figura 9. Carta de Smith esférica con líneas de Q constante (continuas) y de |Z| constante (discontinuas).

z

y

D H

AEFJ

C G

x

B

Figura 10. Carta de Smith esférica con líneas de |ρ| constante (discontinuas) y de fase de reflexión constante (continuas). Junio 2007

para varios valores de | ρ | constante. Estos forman una serie de círculos concéntricos centrados en la impedancia característica de la línea de transmisión (50 Ω en nuestro caso). Estos empiezan con un radio de cero en el centro de la carta y van aumentando de tamaño hasta que un coeficiente de reflexión de la unidad se representa justo en el perímetro de la carta. Se pueden dibujar también coeficientes de reflexión con | ρ | > 1. Esto representa una situación donde la onda reflejada es mayor que la incidente. Esta ganancia de reflexión es consecuencia de la existencia de una resistencia negativa. La Figura 10 muestra líneas de | ρ | constante y líneas de fase(ρ) constante. El polo norte está en 50 Ω con un coeficiente de reflexión de cero (línea de transmisión perfectamente adaptada) y el polo sur está en −50 Ω, donde el coeficiente de reflexión es infinito. El ecuador representa un | ρ | = 1. Considerando los coeficientes de reflexión, se ve cómo los polos norte y sur se han desplazado 90º comparándolo con el caso de las impedancias.

La naturaleza bidimensional de la carta de Smith se ajusta muy bien para representarla en un papel o una pantalla de ordenador. No se puede decir lo mismo en el caso de la versión tridimensional. Representar la carta esférica y trazar las líneas y los contornos sobre ella presenta algunas dificultades prácticas. Una posibilidad podría ser fabricar una pelota impresa. Sería similar a un balón de fútbol de plástico pero con las líneas de resistencia y reactancia en lugar de los hexágonos habituales. Un ejemplo de esto se ve en la Figura 8. Desde hace años tengo esto sobre mi mesa como herramienta de diseño y ayuda gráfica. (Uno de mis colegas anteriores lo bautizó como la esfera Zelley y se divertía tirándomela cuando entraba a mi oficina.) Quizás, en la tarima de cualquier aula universitaria destinada a clase de microondas podría mostrarse la mencionada pelota de forma similar a un globo terráqueo usado en geografía! Desde luego representar los resultados de simulación y los contornos sobre una pelota sería costoso. Además, el dibujar las líneas de forma manual sería demasiado lento con respecto a la rápida generación de resultados de un proceso automatizado. Una alternativa podría ser el uso de un paquete de software de diseño 3-D. Esto le daría al diseñador la libertad de girar la carta de Smith esférica usando el ratón o el teclado. Podría darse la facilidad al diseñador de escoger, bien una carta de IEEE microwave magazine

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impedancias, bien de admitancias (o híbrida) con líneas de Q constante, o bien con líneas de coeficiente de reflexión constante impresas sobre la esfera. Ésta podría ser opaca o incluso semitransparente. Quizás múltiples proyecciones 2D de la superficie de la esfera satisfacerían convenientemente el compromiso trabajando con un ordenador.

Conclusiones En este artículo se presenta y se ha discutido acerca de una limitación de la carta de Smith convencional en 2-D. Se propone una extensión de la carta de Smith como un intento de solucionar estas limitaciones. La extensión implica transformar el plano 2-D de impedancias a tres dimensiones y representarlas sobre la superficie de una esfera. Este artículo pretende ser el primero que presenta esta formulación para la carta de Smith. Se han considerado un número de representaciones diferentes de la carta esférica de Smith. Entre ellas, el uso de líneas de resistencia constante, reactancia constante, impedancia o coeficientes de reflexión. Finalmente se ha discutido el asunto de su representación gráfica en tres dimensiones. Ha de quedar claro que muchas de las ideas aquí presentadas no han sido desarrolladas matemáticamente de forma rigurosa, así que, es posible que pueda haber algunas inconsistencias en la carta de Smith esférica. Sin embargo, el concepto básico y las ideas presentadas han sido consideradas por el autor como suficientemente interesantes para garantizar su publicación. Confío que la carta de Smith tridimensional discutida en este artículo sea de utilidad a la comunidad de diseñadores en RF y microondas, bien como soporte gráfico, bien como herramienta de diseño. Al menos espero que este artículo proporcione a los lectores un hilo de discusión interesante.

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Agradecimientos El autor desea reconocer con gratitud la ayuda y las sugerencias de Steve Cripps y Gord Rabjohn y agradecerles su estímulo para escribir este artículo.

Referencias [1] C.W. Davidson, Transmission Lines for Communications. Londres: McMillon, 1989. [2] D.M. Pozar, Microwave Engineering. Nueva York: Wiley, 1998. [3] R. Rhea, Phillip H. Smith: A Brief Biography. Nueva York: Noble, 1995. [4] P.H. Smith, “Transmission-line calculator,” Electronics, vol. 12, nº 1, pp. 29-31, 1939. [5] P. H. Smith, “An improved transmission-line calculator,” Electronics, vol. 17, nº 1 pp. 130, 1944. [6] H. F. Lenzing y C. D.’Elio, “Transmission line parameters with negative conductance loads and the “negative” Smith chart,” Proc. IEEE, vol. 51, nº 3, pp. 481-482, Marzo 1963.

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