~~ 1;

SCHAUM PROBLEMAS

COMPENDIOS

y

DE TEORIA

SERIE

...j.>.oc".,,"i

DE

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O:.-

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POR

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y(

-~\J

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\c~

t/ ~:_c ~:-{ SEYMOUR

LIPSCHUTZ,

--

Ph.D.

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s.'OY CD

Profesor Asociado de Matemáticas Universidad de Temple

'.

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rlicho

.

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bt!1u,

.,

"1 ...t

,.~"

'nto.' ."

DUQUE

FERRO

ALFREDO

ADAPTACION

y

TRADUCCION

..

Profesor de la Universidad Nacional de Colombia.. Bogotá

.

TORONTO

YORK

NUEVA

PAULO

SAO

SIDNEY

JOHANNESBURG

.

"

..~

DUSSELDORF SINGAPUR

~

~

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\

...6.

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¡.

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..

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LONDRES

BOGOTA

MEXICO

PANAMA

LIBROS McGRAW-HILL

J

~

Ci(c--?~A~~::

INTRODUCCION Probabilidad es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación. Si un dado es lanzado al aire, entonces hay certeza que caerá, pero no es cierto afirmar que aparecerá un 6. Sin embargo, supongamosque repetimos el experimento de lanzar el dado; sea s el número de aciertos, esto es, el número de vecesen que un 6 aparece,y sea n el número de jugadas. Se sabeentoncesque empíricamente la relación f = sIn. llamadafrecuenciarelativa. tiende a estabilizarsea la larga, o sea que se aproxima a un límite. Esta estabilidad es la base de la teoría de la probabilidad. En teoría de probabilidad, definimos un modelo matemático de los fenómenosanteriores asignando "probabilidades" (o: valores límites de las frecuencias relativas) a los "eventos" asociados con un experimento. Naturalmente, la seguridad en nuestro modelo matemático para un experimento dado

dependedel acercamientode las probabilidades asignadascon la frecuenciareal relativa. Esto da origen entoncesa los problemas de verificación y confiabilidad que constituyen el tema principal de la estadística.

Históricamente,

la teoría de la probabilidad

comenzó con el estudio de los juegos de azar, tales

C9mola ruleta y las cartas. La probabilidad p de un evento A se definió como sigue: si A puedeocurrir -8

=

P(A)

=

p

de s maneras entre un total de n igualmente posibles, entonces

n

Por ejemplo, al tirar un dado puedesalir un número par de 3 maneras, de las 6 "igualmente posibles"; o sea, p = = l. Esta definición clásica de probabilidad está viciada, esencialmente, puesto que defi-

sido

ha

no

que

probabilidad"

igual

"con

de

la

que

misma

la

es

posible"

"igualmente

de

idea

la

t

nida. El tratamiento moderno de la teoría de la probabIlidad es puramente axiomático. Esto significa que las probabilidades de nuestros eventos pueden ser. perfectamente arbitrarias,

excepto que ellas

deben satisfacer ciertos axiomas que se enuncian posteriormente. La teoría clásica corresponderá al caso especial de los así llamados espacios equiprobables.

espacio

el

vacío

S.

muestra.

y

imposibilidad),

conjunto

muestral

o

llama

se

(o

El

espacio

muestral

dado

del

punto

un

elemental. imposible

evento

evento

subconjunto

llama

experimento

se el

llama

un

S.

un se

S

E denomina

se

a

palabras,

de

de

posibles

elemento

otras

un

en veces

algunas

simple

o,

es,

resultados resultados

muestra ~

una el

de

de

esto

los

todos particular,

de

S

conjunto

eventos;

consta

un que

son

I

sí

a

es

resultado

conjunto

Un

A por

de

I

evento

S

evento y

~

El

Un

muestral.

El

ESPACIO MUESTRAL y EVENTOS

S el evento cierto o seguro. Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos, utilizando las diferentes operaciones con conjuntos:

simultáneamente;

suceden

B

y

A

si

sólo

y

si

sucede

que

evento

el

es

B

n

A

(ii)

(i) A U B esel eventoquesucedesi y sólosi A o B o ambossuceden;

iR

(iii) Ac, (complemento de A), es el evento que sucede si y sólo si A no sucede.

3]

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

39

Dos eventosA y B son llamadosmutuamenteexclusivossi son disyuntos,estoes, si A n B = ~. En otras palabras,sonmutuamenteexclusivossi no puedensucedersimultáneamente. Ejemplo3.1: Experimento:Lánceseun dado y obsérvese el númeroque apareceen la cara superior.Entoncesel espacio muestral consiste en los seis números posibles:

s=

, 2, 3,4, 5, 6 I

,3,51,

=

B

12.4.61.

=

A

SeaA el eventode salir un númeropar, B de salir impar y C de salir primo: C=12,3,SI

Entonces:

A U C = I 2, 3, 4, 5, 6 1 esel eventode queel númeroseapar o primo; B n c = 13,51 esel ev~ntode queel númeroseaimparprimo; cc

= 11,4,61 es el evento de que el número no sea primo.

Obsérvese que A y B son mutuamenteexclusivos:A n B = 0; en otras palabras.un númeropar y un impar no pueden ocurrir simultáneamente.

ocho

los

por

constituido

está

S s

muestral

espacio

El

Ejemplo 3.2: Experimento: Láncese una moneda 3 vecesy obsérvesela serie de caras (H) y sellos (T) que aparecen. elementos:

= I HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

SeaA el eventoen que doso máscarasaparecenconsecutivamente, y B aquelen quetodoslos resul-

TTT

{HHH,

=

B

y

I

THH

HHT,

HHH,

I

=

A

tados son iguales:

EntoncesA n B = I HHH I es el eventoelementalen que aparecencarassolamente.El eventoen que aparecen5 caras es el conjunto vacío 9}.

Ejemplo 3.3: Experimento: Láncese una moneda hasta que aparezca una cara y luego cuénteseel número de veces que se lanzó la moneda. El espacio muestral de este experimento es S = 11,2,3, . . ., ~ l. Aquí el ~ se refiere al caso de que no aparezca nunca una cara y así la moneda se lanza un número infinito de veces. Este es un ejemplo de un espacio muestral que es contab/emente infinito.

Ejemplo 3.4: Experimento: Sea un lápiz que cae de punta. en una caja rectangular y obsérveseel punto del fondo de la caja donde el lápiz toca primero. Aquí S está formado por todos los puntos de la superficie del fondo. Representemosestos puntos por el área rectangular dibujada a la derecha.Sean A y B los eventos en que el lápiz cae en las respectivas áreas ilustradas en la figura. Este es un ejemplo de un espacio muestral que no es finito ni siquiera contablemente infinito. esto es. que es no contable.

. Si el espaciomuestraj)S es infinito

s

o contablementeinfinito, entoncescada subconjunto de S es

un evento. Por otra parte, si S es no contable, como en el ejemplo 3.4, entoncespor razonestécnicas (que caen fuera del alcance de este texto), algunos subconjuntosde S no puedenser eventos. Sin embargo, en todos los casoslos eventosforman una u-álgebra E de subconjuntosde S.

,.c ~~

~

CAP.

~~¡,,;~;

INTRODUCCION A L,

si

A

definida

reales

evento

del

valores

de probabilidad

función

la

una

P llamada

sea

y

es

P(A)

eventos

y

de

la.clase

c

probabilidad.

de

sea función

muestral, llama

l.

~

P(A)

~

O

A,

evento

axiomas:

l.

todo =

Para

los siguientes

P(S)

[Ps]

[Pl]

se cumplen

se

espacio

P

un

S Entonces

c.

en

Sea

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

. ..

P(B)

P(A)

=

+

...

+

P(As)

+

P(AI)

=

.)

.

.

U

es una serie de eventos mutuamente exclusivos, entonces As

Al, A2,

U

Si

P(A1

[P4]

UB)

P(A

[Pa] Si A Y B son eventos mutuamente exclusivos, entonces

Las siguientesobservacionesconciernenal orden en que estánlos axiomas [Pa] y [P4] . Ante todo, al utilizar [Pa] y la inducción matemática podemos probar que para eventos mutuamente exclusivos

Al, As,.. .,A..,

P(A1UA2U...

UA,,)

=

...

+ P(A2) +

P(A1)

+ P(A,,)

(*)

Hacemos énfasis en que [P.] no proviene de [Pa] ni siquiera (*) se cumple para todo entero positivo n. Sin embargo, si el espacio muestral S es finito, entonces claramente el axioma [P.] es superfluo Ahora

probamos

un número

de teoremas

que se deducen directamente

de nuestros axidmas.

Teorema3.1: Si.o esel conjuntovacío,entoncesP(.o) = o. Demostración:SeaA un conjunto;entoncesA y .o sondisyuntosy A U .o = A. Por [Pa],

=

P(A)

=

P(AU!1J)

P(A)+P(!1J)

=

P(AC)

entonces

A,

evento

un

de

complemento

el

es

AC

Si

3.2:

Teorema

RestandoP(A) de ambosladosobtenemosel resultado. P(A).

P(AC)

+

P(A)

obtiene

=

se

[Ps]

y P(AUAC)

= P(S)

1

=

[Pa]

Por

AC.

U

=

esto es, S

A

Demostración:El espaciomuestralS se puededescomponer en los eventosA y AC mutuamente exclusivos,

~

P(A)

entonces

B,

C

A

Si

3.3:

Teorema

de lo cual se desprendeel resultado. P(B).

de-

la

a

ilustra

se

+ P(B""A)

Con lo cual secompruebael enunciadopuestoque P(B""A) ~ O.

sombreado.

= P(A)

P(B)

Así

B

recha).

(como

exclusivos

mutuamente

A

B""

y

eventos'A

Demostración:Si A C B, entoncesB sepuededescomponer enlos

A""B

Demostración:

exclusivos

A se puede descomponer

y AnB;

esto es, A

B)

n

P(A

P(A)-

=

B)

""

P(A

Teorema 3.4: Si A Y B son dos eventos,entonces

en los eventos mutuamente

= (A

""B)U(AnB).

Por consiguiente, por [Pa], P(A)

= P(A""B)

de lo cual se obtiene el resultado.

+

p(AnB)

A sombreado.

42

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

[CAP.

3

ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES

- \--,

de

probabilidad,

un

si

uniforme. Además,

l/no

o

de

S

finito

es

palabras,

otras

En

punto

equiprobab/e

espacio espacio

Un

cada

de =!.

elementos

A

de

n

de

S

número de maneras en que el evento A puede suceder número de maneras en que el espacio muestral S puede suceder

~

-

P(A)

n

v

n

elementos

de

número

=

P(A)

evento A contiene r puntos entoncessu probabilidad es r.!

número

sugieren que se asignen iguales

llamará

muestral. probabilidad

la

se

espacio

del

probabilidad, entonces

misma

resultados

la puntbs

n

contiene

tiene

diferentes

los

a

muestral S

punto

si

cada particular,

En

donde

probabilidades

Frecuentemente, las características físicas de un experimento

equiproba-

formalmente, espacio

un

es

equiprobable;

S

que

espacio

un

a

significa

S"

respecto conjunto

un

solamente

de

azar

usará

al

se punto

azar"

un

"al

expresión

"escoger

proposición

la

La

Hacemos hincapié en que la fórmula anterior para P(A) puede utilizarse solamente con respecto a un espacio equiprobable, y no puede usarse en general.

ble, estoes,quecadapuntomuestraldeS tienela mismaprobabilidad. Ejemplo 3.7: Seleccióneseuna carta al aMr de una baraja corriente de 52 cartas. Llamemos

I

K

o

Q

J,

es

figuras,

I

=

B

y

decir

= I espadas I

A

Calculemos

P(A), P(B) Y P(A n B). Comosetratade un es¡mcio equiprobable,

= nú~ero

P(A)

de espadas

=

numero de cartas

~

=

!

52

P(B)

=

n~mero

4

de

figuras

=.!!

=

numero de cartas

52

-2--

13

P(A nB) = númerode,espadas quesonfiguras= -2-numero

de cartas

52

P(A)

Hallar

Y

P(B).

I

defectuosos

no

artículos

dos

I

defectuososI

=

I dos artículos

y

A =

B

Ejemplo 3.8: Sean 2 artículos escogidosal azar de un grupo de 12 de los cuales4 son defectuosos.Sea

Ahora

r:)

= 66 maneras, o número de vecesen que se puedenescoger2 artículos entre 12;

A puede suceder de (:)

= 6 maneras, o número de vecesen que se puedenescoger2 artículos defectuosos entre 4 defectuosos;

S puede suceder de

B puedesucederde (:> = 28 maneras,o númerode vecesen quesepuedenescoger 2 artículos

~.

=

~

=

=-¡¡\ = ft

P(B)

Por consiguiente, P(A)

y

no defectuosos entre 8 no defectuosos.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que por 10 menos un artículo sea defectuoso?Ahora

C = I un artículo por 10 menoses defectuoso I

33

-

= 1_11 - ~ 33

)

B

P(C) = P(BC) = 1- P

(

esel complemento de B; estoes, C = Bc. Así, por el teorema3..2,

La ventajacon queun eventode probabilidadp sucede,se definecomola relaciónp: (1 - p). Así, la ventajade que por lo menosun artículoseadefectuoso es ~: ~ ó 19; 14 queselee "19 a 14".

43

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

CAP. 31

Ejemplo3.9: (Problemaclásicodel cumpleaños.) Se deseahallar la probabilidadp de quen personas tenganfechas diferentes de cumpleaños. Para resolver este problema, no tenemosen cuenta los años bisiestosy suponemos que el cumpleaños de una persona puede caer en un día con igual probabilidad. Puesto que hay n personas y 365 días diferentes, hay 365ft maneras de que n personaspuedan cumplir años. Por otra parte, si las n personascumplen en fechasdistintas, entoncesla primera persona puedenacer en cualquier día de los 365, la segundapuedenacer en cualquiera de los 364 días restantes, la tercera, en los 363 restantes, etc. Así hay

365.364.363...

(365

-

11,

+ 1)

maneras para que n

personastengan fechasdiferentes de cumpleaños. Por consiguiente,

p -- 365.364. 363 . 365"(365- n + 1) -- 365.365- 365 . . .

365

364

363

365

--

-

11, +

365

-

1 -

Se puede comprobar que para n ~ 23, P 3 consta de aquellos puntos de S que caen debajo de la línea

Nota: Un espaciode probabilidadfinito o infinito contablese dice que es discreto,y un espaciono contable se dice que esno discreto.

~

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

44

Problemas

[CAP.

3

resueltos

evento

el

ambos,

no

para pero

Venn

de suceden,

B

o

diagrama

A

el (ii)

represéntese

solamente;

y

A

sucede

expresión es,

una esto

no,

Hállese

~

B.

y

pero

A ocurre

eventos

A

los

(i)

Sean

que:

en

3.1.

ESPACIOS MUESTRALES y EVENTOS

even-

el

Observa-

indicadiJ.

palabras,

(o) otras

en

figura

la

en suceden;

como

BC

y

B

a

A

es,

exterior

esto

A

de suceda;

no

B

superficie

la

que

desde

sombrea sucede,

se B),

de

sucede,

B

no

pero

A

Sucede unode los dosA o B.

B.

no

pero

A

Sucede

Bc.

(complemento

que

BC n

A

que

Puesto

es

to

mos

(i)

esto es, sucede exactamente uno de los dos eventos.

no ambos. (b)

(o)

pero

(BnAc).

U

(AnBC)

es

dado

el diagrama

de Venn para el evento

solamente.

A

sucede

y representar

evento

el

Entonces

BnAc.

evento

el

es (ii)

C.

no

pero

B

y

A

(i)

una expresión

AnBnCc.

es

evento

El

luego.

Puestoque A y B pero no C suceden,se sombrea la intersecciónde A y B que cae fuera de C. como en la figura (o) indicada

(i)

A

no

pero

B.

y

AnBc;

evento

el

es

Sean los eventos A, By C. Hallar en que,

suceden

3.2.

B

Puestoque sucedeA o B. pero no ambos, se sombrea la superficie de A y B salvo su interseccióncomo en la figura (b) anterior. El evento es equivalente a A. si B no sucede;o 3 B. si A no sucede.Ahora, como en el caso (i), A. pero no

(ii)

SucedenA Y B pero no C.

(ii)

(b)

(o)

A

Sucede

solamente.

(V Puestoque solamenteA sucede,se sombrea la superficie de A que cae fuera de8 y de C, como en la figura (b) anterior. El evento es A nBcnCc.

\

3.3. Tengamosel caso de lanzar una moneday un dado; sea el espaciomuestral S que consta de doce (i)

Expresar

explícitamente

los siguientes

eventos:

T61

T5,

T4,

T3,

T2,

TI,

H6,

H5,

H4,

H3,

H2,

HI,

I

s

=

elementos:

= ! aparecen caras y un número par 1,

A

(iii) ¿Cuálesde los sucesos A, By C son mutuamenteexclusivo&?

sucede

(c)

suceden,

C

Y

B

(b)

suceden,

B

o

A

(o)

que:

en

evento

el

explícitamente

Expresar

solamente.

B

(ii)

B'= I apareceun númeroprimo 1, C = I aparecensellosy un númeroimpar l.

í;i!(,~

del

Los posibili-

de

ajedrez.

de

doble

el

torneo

tiene

un

en

[CAP. 3

hombre

cada

intervienen

3,

pero

m

m2,

ganar

de

mujeres,

tres

probabilidades

Y

h2,

Y

iguales

1

h tienen

hombres,

sexo

Dos mismo

3.7.

mi,

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

46

h

Si

dades de ganar que una mujer. (i) Hallar la probabilidad de que una mujer gane el torneo. (ii)

1Y m I soncasados, hallar la probabilidadqueuno de ellosganeel torneo.

t

=

P

o

1

=

2p

p

".

Sea P(m1) = p; entoncesP(m2)= P(m3) = P y P(h1) = P(h2)= 2p. Luegodesignemos JXlruno la sumade de los cinco puntos muestrales: p + p +

las probabilidades

~

=

t

+

t

+

t

=

f

=

3)

p(m

+,

+

t

=

P(m2)

1)

+

1)

p(m

p(m

+

=

1)

P(h

1)

3

m

=

m2,

1,

mIl)

1,

m h

p(1

p(1

Buscamos, (i) p(1 m 1, m2, m 31) y (ii) p(1 h 1, mil). Entonces por definición,

3.8. Sea un dado cargado tal que la probabilidad de salir un número cuando se lanza el dado es proporcional a dicho número (por ejemplo, 6 tiene el doble de probabilidad de salir que 3). Sea

~

(i)

l.

impar

número

I

=

C

1,

primo

número

I

=

B

1,

par

número

I

=

A

("

Describir el espacio de probabilidad, esto es, hallar la probabilidad de cada punto muestral.

(ii) Hallar P(A), P(B) Y P(C). (iii) Hallar la probabilidad de que: (a) salga un número par o primo; (b) salga un número impar

21'

=

P(C)

=

Así

1/21.

=

P

o

1

=

6p

P(5)

A,

P(6)

=

,

~.

=

/¡,

=

=

P«1,3,5})

P( 2,3,5})

+

5p

+

4p

P(4)

{

=

t,

~,

=

P«2,4,6})

P(B)

P(A)

=

(ii)

=

lO

P(l)

+

+

probabilidades

3p

= p. Entonces P(2)= 2p. P(3)= 3p.P(4)= 4p, P(5)= 5p Y P(6)= 6p.Comola suma delas debe ser uno, obtenemos p + 2p =2\, P(2) = 2\, P(3)

P(I)

Sea

(i)

primo; (c) sucedaA perono B.

(iii) (a) El eventodequesalgaun númeroparo primo es A U B = 12,4,6,3,51, o que l no salga.Así, P(A uB) = 1 - P(l) = 21.

(i)

2\.

= *.

=

P({S,5})

= P({4,6})

=

P(BnC} P(AnBc)

Así, tanto

{S,5}.

lo

=

Por

{4,6}.

BnC

ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES 3.9. Determinar la probabilidad p de cada evento:

=

impares

nBc

A

es

primo

B

no

número

pero

A

un

salga sucede

que que

de en

evento evento

El El

(c)

(b)

20

j

que salga un número par al lanzar un dado normal;

(ii) que resulte un rey al sacar una carta de una baraja corriente de 52 cartas; (iii) que aparezcapor lo menos un sello al lanzar tres monedasnormales; (iv) que aparezca una bola blanca al sacar una sola bola de una urna que contiene 4 blancas, 3 rojas y 5 bolas azules.

"

(i)

El eventopuedeocurrir detresmaneras(2,4 Ó6) de 6 casosigualmenteposibles;por consiguientep = i = !.

(ii)

Hay 4 reyesen las52 cartas;por lo tanto p = ~ = /:¡.

(iii)

Si consideramos las monedas marcadas, entonces hay 8 casos igualmente posibles: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT. Solamenteel prim~r caso no es favorable para el evento deseado;por consiguiente p = ¡.

(iv)

Hay 4

- + 3 + 5 = 12 bolas;delascuales4 sonblancas;por - lo tanto p = i2 4 1 = s.

!

47

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

CAP. 3]

3.10. Se sacan dos cartas al azar de una baraja corriente de 52 cartas. Hallar la probabilidad p de que,

(i) las dos seanespadas,(ii) la una espaday la otra corazón. 52 Hay (2)

(i)

= 1326 manerasde sacar 2 cartas de 52.

Hay (~) = 78 manerasdesacar2 espadas de 13;o sea númerode manerasposiblesde sacar2 cartas --

P -(ii)

78 -1326

número de maneras posibles de sacar 2 espadas

1 17

Puestoquehay 13espadas y 13corazones, hay 13 . 13 = 169 manerasde sacaruna espaday un corazón;o sea 169 13 P - i328- 102"

3.11.Se escogenal azar tres lámparas entre 15 de las cuales 5 son defectuosas.Hallar la probabilidad p de que, (i) ninguna sea defectuosa, (ii) una exactamente sea defectuosa, (iii) una por lo menos sea defectuosa.

lámpa-

3

escoger

de

maneras

120

=

r~)

hay

entonces

defectuosas,

no ~.

=

lámparas

~

10

=

=

p

5

-

que

15

Así

hay

que

=m =¡¡o

Hay 5 lámparasdefectuosas y (1~) = 45 paresdiferentesde lámparasno defectuosas; por consiguiente hay

que

es

45

ninguna

que

en

p

evento

Entonces

del

defectuosa.

complemento

es

H.

=

1-~

=

p

una

el

cuales

es

las

defectuosa

de

sea

lámparas

Entonces

~.

una

3

menos

escoger

probabilidad

(i),

lo

de

por

maneras

que

225

según

evento tiene

El

225

=

5

defectuosa

4

.

en

5

(iii)

defectuosas.

Puesto

(ii)

no

ras

(i)

Hay (1;) = 455 manerasdeescoger3 lámparasentre15.

25+25-- 00 50-- 9' 5 P -- -00-

Hay

par,

otro

el

y

impar

es

número

un

si

es

impar

maneras

25

=

5

5.

Hay

sustitución.

sin

otra

la

maneras de escoger un número par y uno impar. Así, que

primero 25

una =

cartas 5.5

dos

y

sacar

impar,

de uno

y

maneras

par

un

escoger

número

=

Hay 10 . 9 de

(ii)

90

5 números pares y 5 impares; entonces hay 5.5

suma

La

= 25

cartas.

10

de

2

=

seleccionar

(1:)

de

Hay

maneras

(i)

45

3,12, Se seleccionanal azar dos cartas entre ID cartas numeradasde 1 a ID. Hallar la probabilidad p de que la suma sea impar si, (i) las dos cartas se sacanjuntas, (ii) se sacan una tras otra sin sustitución, (iii) las dos cartas se sacanuna despuésde la otra con sustitución.

maneras desacarunnúmero impary luegounopar;portanto

(iii) Hay 10 . 10 = 100 manerasdesacardoscartasuna después de la otra consustitución.Comoen (ii), hay 5.5 = 25 maneras de sacar un número par y luego uno impar. y 5. 5

= 25 maneras de sacar un número

impar y luego

25+25 = iOO 50 = 2' 1 unopar;entonces11= roo

3.13. Seis parejas de casadosse encuentranen un cuarto. (i)

Si se escogen2 personasal azar, hallar la probabilidad p de que, (o) sean esposos,(b) uno

seahombrey otro mujer. (ii) Si se escogen4 personasal azar, hallar la probabilidad p de que, (o) se escojan dos parejas de casados, (b) ninguna pareja sean casadosentre los 4, (c) haya exactamenteuna pareja de casadosentre los 4. (iii) Si las 12 personasse reparten en seisparejas,hallar la probabilidad p de que, (o) cada pareja seancasados,(b) cada pareja la forme un hombre y una mujer.

Hay (1:> = 66 manerasdeesooger 2 personas de las 12. parejas

de

casados;

por

lo

tanto

=

p

la

=

1\.

~.

maneras de escoger2 parejas de las 6; o sea p

=

= 15

(:>

Hay

~

Hay (~> = 495 manerasdeescoger4 personas de 12.. (o)

=

(ii)

f¡.

6

=

Hay

(b) Hay 6 manerasde escogerun hombre y 6 manerasde escogeruna mujer; por consiguiente p

~

(o)

=

(i)

(b) Las 4 personas vienende 4 parejasdiferenfes.Hay (:> = 15 manerasde escoger4 parejasde las 6, y hay 2 d . . 2.2.2.2.15 18 maneras e escogerunapersonadecada pareja, o seaquep 495 ¡¡.

=

=

+~=1ÓP=~.

(b)

Cada

uno

de

los

6

hombres

pueden

colocar

en

células

6!

maneras

y

cada

de

las

mujeres

una.

cada

en

6

irl95.

personas

=

2

una

~

=

p

sea

O

ordenadas

6

de

maneras.

6!

de

6

células

a\

+

en

p

personas

tanto

ordenadas

12

lo

células

6

en

se

Por

las

dos.

repartir

estos

de

de

colocadas

ser

pueden

parejas

uno

maneras

suceder

W

debe

=

menos

212ti12~12121

lo

6

Las

Hay (o)

(iii)

por

con

(c) Este evento es mutuamente disyunto de los dos eventosanteriores (que también son mutuamente disyuntos) y

lo

mismo.

Por conslgulen .. te p -- 12i72i 8181-- m. 18

hÍirnbre

51

que

Hallar

azar.

centro

al

al

punto cercano

un más

selecciona

quede

se punto

el

círculo que

un

de

de

p

interior

el

En

probabilidad

la

3.15.

ESPACIOS UNIFORMES NO CONTABLES

a la circunferencia. Denotemos por S el conjunto de los puntos interiores al círculo de radio r y denotemospor A el conjunto de los puntos interiores al círculo concéntrico de radio ir. (Así, A está formado precisamentepor aquellos puntos de S que están más cercanos a su centro que a su circunferencia.) Por consiguiente,

p

--

P(A)

--

...Qr)2 -- !4 áreadeS -- -;r¡-

área de A

*

=

-l

t

+

i

=

P(AnB)

-

=

P(AUB)

P(B)

=

+

p

P(A)

P(A)

Entonces

B

un

es

persona

3.14. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres de los cuales la mitad de losbombres y la mitad de las mujeres tienen los ojos castaños.Hallar la probabilidad p de que una personaescogidaal azar seaun hombre o tenga los ojos castaños. SeaA = Ila I y B = Ila persona tieneojoscastaños l. Buscamos la P(A U B). A . 10 1 15 1 = 00= 8' P(B) = 00= ¡. P( n ) = 00= ¡. Asl porel teorema 3.5,

49

INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD

CAP. 3]

mismo

el

sobre

caigan

puntos

los

que

de

p

probabilidad

la

llar

3.17. Tres puntos o, by c de una circunferencia se escogenal azar. Ha-

lon-

la

x denotemos

y

Denotemos

reloj

21'.

del

sea agujas

las

de

circunferencia

la

de movimiento

del

longitud

la sentido

que

.el

en

ab

arco

del

gitud

Supongamos

semi-círculo.

(*) (*).

condición

siguientes:

la

caen

c

by

a,

8

8

>

que

>

Z 11

-

-

condiciones

cumple

28

<

se

las

de

11

-

Z cumple

se

-

Y Y

8 8 cuales

los

<

<

una

cuales

0