CAPITULO III CINEMATICA DE FLUIDOS

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CINEMATICA DE FLUIDOS La cinemática de los fluidos es aquella que estudia las formas del movimiento de las partículas fluidas sin considerar la masa y las fuerzas que actúan durante el movimiento. Para el estudio de este comportamiento de las partículas fluidas durante su movimiento lo haremos sobre la base del conocimiento de las magnitudes físicas ya vistas en la física básica y con los campos respectivos relacionados al movimiento; éstas magnitudes pueden ser escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a su vez campos independientes o dependientes dentro del flujo. Un campo de flujo viene a ser cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, con la condición de que el fluido ocupe la región. Esta parte de la mecánica de los fluidos analiza el movimiento sin tomar en cuenta los motivos por los que se produjo esté, los términos de las magnitudes físicas para el análisis son de velocidad, aceleración y desplazamiento. III.1 OBJETIVOS DEL CAPITULO En el siguiente capitulo se desarrollara los fundamentos del flujo de fluidos y las diferentes aplicaciones y restricciones en su estudio, el alumno será capaz de: i. ii. iii. iv.

v. vi.

Definir las relaciones entre los tipos de flujo y el flujo de los mismos. Diferenciar las distintas velocidades que pueden alcanzar los diferentes fluidos. Definir que es una línea de corriente, el campo de flujo y su trayectoria. Poder hallar las diferentes incógnitas a presentarse en problemas como ser hallar caudales, aceleraciones y deformaciones que se observan en el flujo de los fluidos. Aplicar y desarrollar las diferentes ecuaciones vistas en el capitulo. Deberá también ser capaz de resolver los distintos problemas propuestos en la sección presentada.

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III.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE FLUJO DE FLUIDOS Para entender mejor este movimiento de las partículas (cinemática), se deben tomar en cuenta varios conceptos, así como los diferentes tipos de flujo como el Flujo Newtoniano y No-Newtoniano, que son llamados flujos reales e ideales respectivamente. Además de estos es necesario definir algunos otros que son de importancia para nuestro estudio, de manera de no extenderse en otro tema que no sea la cinemática de los fluidos presentaremos distintos conceptos de manera concisa, mucho de estos tipos de flujo se dan en condiciones especiales como ser en laboratorios de experimentación. III.2.1 TIPOS DE FLUJO o Flujo real. Es aquel en que para un pequeño esfuerzo cortante, la partícula fluida ofrece una resistencia al movimiento, o sea que hay manifestación de la viscosidad. o Fuljo ideal. Es el flujo cuya viscosidad es nula; o sea que el fluido carece de rozamiento. o Flujo adiabático. Es aquel flujo en el que dentro de los límites de su contorno no entra, ni sale calor. o Flujo laminar. Es aquel flujo donde las partículas del fluido se mueven a lo largo de trayectorias lisas en capas o láminas paralelas (Fig3-1), deslizándose una capa sobre otra adyacente. o Flujo turbulento. Es aquel en que las partículas del fluido se mueven siguiendo trayectorias muy irregulares, originando un intercambio de cantidad de movimiento de una porción de el fluido a otra (Fig3-1). Es el caso de flujo mas frecuente en aplicaciones prácticas. o Flujo transicional de laminar a turbulento. Es el flujo comprendido entre el flujo laminar y turbulento, realmente es el paso de flujo laminar a flujo turbulento. (Fig3-1).

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o Flujo permanente o estacionario. Es aquel flujo en que las propiedades del fluido y las condiciones de movimiento en cualquier punto no cambian con el tiempo. (Fig3-2). Un flujo es permanente si el campo de velocidades, de presión, la masa volumétrica y la temperatura en cada punto, no dependen del tiempo. Las componentes u, v, w son entonces únicamente función de x, y, y

z. V ρ P T 0 , 0 , 0 , 0 t t t t o Flujo no permanente. Son flujos en el campo de velocidades, presión, masa volumétrica, y temperatura varían con el tiempo (Fig3-3). V 0 t

,

ρ 0 t

,

P 0 t

,

T 0 t

o Flujo uniforme. Es aquel en que todas las secciones rectas paralelas del conducto son idénticas y la velocidad media en cada sección recta es la misma en un instante dado (Fig3-4). Por esto deberá cumplirse que:

V 0 s o Flujo variable. Es aquel flujo en que las secciones rectas del contorno son diferentes y la velocidad media varia en cada sección recta (Fig3-4). Por esto deberá cumplirse que:

V 0 s

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o Flujo Unidimensional. Es aquel que desprecia las variaciones o cambios de velocidad, presión, etc., transversales a la dirección principal del flujo. o Flujo Bidimensional. Este flujo supone que todas las partículas siguen trayectorias idénticas en planos paralelos; por consiguiente, no hay cambios en el flujo normal a dichos planos. o Flujos de revolución. Son enteramente definidos por el estudio de un semiplano meridiano limitado en un eje “o”. III.3 VELOCIDAD La velocidad “v” se define como un vector

Vx ,V y ,Vz . El movimiento de un fluido

puede ser descrito por el vector posición ds, de una partícula, como una función vectorial del tiempo “t”:

d s  d s (t )  dXi  dYj  dZk

3.3.1

Donde i, j, k son los vectores unitarios direccionales de los tres ejes ortogonales x, y, z. A estas variables de la partícula fluida en el instante “t”, con respecto al sistema de ejes coordenados se les conoce como las variables de Lagrange. El movimiento del fluido también lo podemos definir por el conocimiento de la curva que recorre la partícula fluida. En este caso la posición de la partícula se determina por la longitud del camino recorrido, siguiendo la curva como una función escalar del tiempo. El vector velocidad será la rapidez temporal del cambio de su posición:

V

ds dt

[m/s]

3.3.2

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Donde ds, representa el vector diferencial de la porción de curva que recorre la partícula fluida en el dt. La velocidad es entonces como ya se menciono anteriormente un campo vectorial dentro de un flujo y, al desplazarse en la curva, es un vector tangente en cada punto a la misma, que generalmente depende de la posición de la partícula fluida y del tiempo. V= f(x, y, z ) Podemos escribir la velocidad en función de los tres ejes coordenados esto será:

V

ds  dX  dt  dt

  dY   dZ  i    j  k   dt   dt  dX  u, en la que u  f(x, y, z, t) dt dY  v, en la que v  f(x, y, z, t) dt dZ  w, en la que w  f(x, y, z, t) dt

Donde :

Por lo que reemplazando en la ecuación tendremos:

V

ds  ui  vj  wk dt

[m/s]

3.3.3

Esta ecuación nos representa al vector velocidad en función del campo de velocidades que lo representan u, v, y w que son las componentes de la velocidad en los respectivos ejes x, y, z respectivamente. Es necesario mostrar también la velocidad en coordenadas cilíndricas y polares ya que estas se verán mas adelante. La velocidad en coordenada s cilindrica s , tiene tres componentes Vr ,Vθ ,Vz , cuyos ejes direcciona les son i r , i , i z , respectivamente.

 V  Vr i r  V i  Vz i z La velocidad en coordenada s polares, es similar a la de coordenas cilindrica s, con la diferencia que en estas no se considera el eje " z"; 

V  ( Vr )i r  (V )i [m/s]

3.3.4

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III.4 CAMPOS DE FLUJO Un campo de flujo es cualquier región en el espacio donde hay un fluido en movimiento, a condición de que la región o sub-región del flujo este ocupada por el fluido. Es importante mencionar que en cada punto del campo de fluido es posible determinar o especificar una serie de magnitudes físicas, ya sean escalares, vectoriales o tensoriales, que forman a s vez campos independientes o dependientes dentro del flujo. III.4.1 CAMPO DE ACELERACION El campo vectorial de las aceleraciones es una consecuencia derivada de las velocidades, dado que el vector aceleración de una partícula fluida en un punto se define como la variación temporal de la velocidad en ese punto. Empleando las variables de Lagrange, tendríamos que la velocidad de una partícula fluida estaría en función de X, Y, Z, t ; es decir (x, y, z, t ) no permanece constante sino que varia en forma continua y dan en cada instante la posición de la partícula que estudiamos. Dado esto la aceleración de la partícula será: a

dV d /( ds / dt ) d 2 s   2 dt dt dt

pero como s  f(x, y, z, t), tenemos que la aceleracio n la podemos expresar de la siguiente forma :

V  V  dx   V      t  x  dt   y pero :

 dy   V  dz         dt   z  dt 

dx u dt

dz w dt

a

dy v dt

Estas son las componentes de la velocidad en los tres ejes ortogonales x, y, z respectivamente; por lo que la ecuación anterior podemos escribirla como:

V  V   V   V    w  u 3.4.1   v  [m/s2] t  x   y   z  Esta ecuación (3.4.5) es la derivada tomada con respecto al tiempo siguiendo el movimiento del punto, y como podemos apreciar no tiene dirección como en el caso de la velocidad. a

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A esta derivada se la conoce como la dedicada total y corresponde a la aceleración de las partículas fluidas, que puede asumirse como la superposición de dos efectos.

a. En el instante “t”, supuesto el campo permanente. La partícula, bajo estás circunstancias, cambiará de posición en éste campo permanente. Así su velocidad sufrirá variaciones en los diversos puntos del campo que, en general, serán diferentes de un instante a otro. Esta aceleración debida al cambio de posición es llamada aceleración convectiva o de transporte.

b. Si consideramos, que la aceleración no proviene del cambio de posición ocupada por la partícula fluida, sino de la variación de la velocidad, en la posición ocupada por la partícula, por el tiempo, tenemos que la aceleración es la aceleración local y corresponde al porcentaje local de variación de velocidad debido a la nopermanencia del flujo.

dV dt Podemos simplificarl a y exp resarla como: V  (V  )V t Las ecuaciones escalares correspondiente s al campo de aceler aciones serán: u u u u ax  u v w t x y z v v v v ay   u  v  w t x y z w w w w az  u v w t x y z Donde ax ,a y ,a z son las componente s de la aceleracione n los ejes a

x, y,z respectivamen te. En ciertos análisis es muy útil emplear el sistema de coordenadas en el que un conjunto de líneas de corriente formen parte del mismo. Para tal caso podemos partir de la velocidad V=V (s,t) ; de donde podemos deducir que la aceleración de la partícula fluida vendrá dada por :  V a  s

a V

  ds  V      dt  t

V V  s t 111

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Consideremos el caso de flujo permanente, en el que, la configuración de las líneas de corriente es fija en el tiempo y además, son coincidentes las trayectorias en dos componentes escalares no nulas, una de ellas tangente a la trayectoria que llamamos aceleración normal. Por lo tanto la aceleración será:

a  an  at

[m/s2]

3.4.2

Donde a n es la aceleración normal y at es la aceleración tangencial; estas pueden representarse de acuerdo a lo estudiado en la física del cuerpo solidó por:

an 

V2 r

[m/s2]

3.4.3

V s

[m/s2]

3.4.4

at  V

III.4.2 CAMPO ROTACIONAL Esté es otro campo derivado de el de las velocidades, y evalúa la rotación local de una partícula fluida y se define matemáticamente por el producto vectorial del operador nabla

nabla  , por el vector velocidad (V). O sea que : rot    V , que en forma matemática es el determinante siguiente:  i  rot V    x  u

j  y v

k   z  w 

desarrollando

 w v   u w   v u  rot V    i     j    k  y z   z x   x y 

3.4.5

Que también es función, tanto de posición como de tiempo y es una medida de la rotación o vorticidad de la partícula dentro del flujo; por ésta razón se le conoce también como campo vorticoso.

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III.5 TRAYECTORIA Una trayectoria es aquélla que sigue una partícula de fluido con identidad fija. Esta puede obtenerse experimentalmente tomando una fotografía con un tiempo de exposición bastante grande, suficiente para cada partícula pueda recorrer toda la porción de trayectoria que está en el campo de la cámara fotográfica, y para obtener mejores resultado se emplea solo una pequeña cantidad de partículas. Es decir entonces que la trayectoria será el desplazamiento que lleva una partícula del fluido. Para un flujo permanente, o cuando siendo inestable únicamente la magnitud del vector velocidad varia con el tiempo, la línea de corriente coincide con la trayectoria.

III.5.1 LINEA DE CORRIENTE Es una curva que es tangente en cada uno de sus puntos al vector de velocidad en el interior de un campo de flujo, por lo cual no hay la posibilidad de que dos líneas de corriente se intercepten, pues ello significaría que en el punto de intersección existieran dos vectores distintos.

Si consideramos una línea de corriente en la que indicamos el vector velocidad y tomando en la línea de corriente un vector desplazamiento, tal como ds; Entonces la línea de corriente matemáticamente la podemos expresar por el producto vectorial entre el vector velocidad y el vector desplazamiento, ya que V esta en la misma dirección de ds. 113

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Vxds  V ds sen Si  es muy pequeño: sen  0 . Entonces se tiene que: Vxds  0

Resolviendo este producto vectorial se tendrá que:

i

j

k

u

v

w

dx

dy

dz

= 0

Desarrollando el determinante se tendrá:

ivdz  wdy   j udz  wdx   k udy  vdx  0

3.5.1

Para que se cumpla la ecuación (3.5.1) es necesario, que cada uno de sus sumandos sea igual a cero, entonces:

vdx  wdy  0 

v w  dy dz

udz  wdx  0 

u w  dx dz

udy  vdx  0 

u v  dx dy

Las ecuaciones tienen un factor común por lo que podemos escribir la siguiente relación final:

u v w   dx dy dz

3.5.2

la ecuación (3.5.2) representa la ecuación de las líneas de corriente. Las líneas de corriente, representan la repartición de velocidad de las diferentes partículas del fluido en el mismo instante. III.5.2 TUBOS DE CORRIENTE Un tubo de corriente esta constituido por una región parcial del flujo fluido delimitada por una familia de líneas de corriente que lo confinan, es suficientemente pequeña, la velocidad en el punto medio de una sección cualquiera puede considerarse como la velocidad media en dicha sección.

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El concepto de tubo de corriente se utilizara para deducir la ecuación de continuidad en el caso de un flujo incompresible, en régimen permanente y unidimensional (Fig3-5). Esto implica que la cantidad de masa que pasa por la sección 1debe ser igual a la que pasa por la sección 2 en un tiempo dt

dM  dV

3.5.3

III.6 VOLUMENES DE CONTROL Este volumen de control, es un volumen fijo en el espacio y de forma y tamaño invariable con el tiempo, a través del cual fluye materia, este concepto se relaciona con el sistema en términos de una propiedad general del sistema. El volumen de control, conocido también como sistema, se refiere a una región de interés en el espacio a través de cuyas fronteras un fluido entra y sale continuamente, estas fronteras del volumen de control se llaman superficies de control. La forma y el tamaño de un volumen de control son arbitrarias, todo se deja en función de la comodidad del investigador, o la facilidad que está dé a la solución del problema. III.6.1 ECUACION GENERAL DEL VOLUMEN DE CONTROL Sin importar su naturaleza, todas las situaciones de flujo están sujetas a las siguientes relaciones, pueden expresarse en forma analítica: 1.- Las leyes de movimiento de Newton, deben cumplirse para cualquier partícula. 2.- La relación de continuidad, es decir, la ley de conservación de la masa. 3.- La conservación de la masa aplicada a mezclas de componentes dentro del fluido. 4.- La primera y segunda leyes de la termodinámica. 5.- Las condiciones de frontera: declaraciones analíticas como por ejemplo que un fluido real tiene velocidad cero con respecto a una frontera en la frontera que los fluidos sin fricción no pueden penetrar una frontera. 115

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También pueden entrar otras relaciones y ecuaciones, tales como una ecuación de estado o la ley de viscosidad de Newton. En la deducción que sigue el concepto de Volumen de control se relaciona con el sistema en términos de una propiedad general del sistema. En las secciones subsiguientes se aplica específicamente para obtener las relaciones de continuidad, energía y momentum lineal. Para establecer la relación entre las ecuaciones que se aplican en un sistema y aquellas que se aplican a un volumen de control, considere algunas situaciones generales de flujo en las cuales la velocidad de un flujo (Fig3-6), en las cuales la velocidad de un fluido esta dada con respecto a un sistema coordenado xyz. En el tiempo “t” considérese una cierta masa de fluido contenida dentro de un sistema, en el cual tiene las fronteras de líneas puntuadas indicadas. También considérese un volumen de control, fijo con relación a los ejes xyz, que coincide exactamente con el sistema en el tiempo t. En t  t el sistema se ha movido un poco, debido a que cada partícula de masa se mueve a una velocidad asociada con su posición. Sea N la cantidad total de alguna propiedad (por ejemplo, masa, energía o momentum) dentro del sistema en el tiempo t y sea  la cantidad de esta propiedad, por unidad de masa, a través del fluido. La tasa temporal de incremento de N para el sistema se formula ahora en términos del volumen de control. En t  t (Fig3-6b) el sistema comprende los volúmenes II y III mientras que en el tiempo t este ocupa el volumen II (Fig3-6a).

tiempo t tiempo t  t El incremento en la propiedad N en el sistema en el tiempo t esta dado por:

    N sist(t  dt)  N sist(t )   d  d    d  III  II t  dt  II t 116

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En donde d es el momento del volumen. Reordenado, después de sumar y restar

    d    I  t  dt En la derecha y luego dividiendo todo por t se llega a:

N sist(t  dt)  N sist(t )

t

     d   d    d      III  II  t  dt  II t  t       d    d       III  t  dt  I  t  dt   t t

3.6.1

El término a la izquierda es la tasa temporal promedio de incremento de N dentro del sistema durante el tiempo t . En el límite, a medida que t se aproxima a cero, éste se convierte en dN/dt. Si se toma el limite a medida que t se aproxima a cero en el primer termino del lado derecho de la ecuación, las primeras dos integrales son la cantidad de N dentro del volumen de control en t  t y la tercera integral es la cantidad de N en el volumen de control en el tiempo t. El límite es:  d t vc

Donde se han utilizado derivadas parciales debido a que el tamaño del volumen de control se mantiene constante a medida que t  0 . El siguiente termino es la tasa temporal del flujo de N hacia fuera del volumen de control, en el limite y puede escribirse como

lim  t 0

   d    m  t t  v  dA  v cos dA t area de flujo de salida

3.6.2

Donde dA (Fig3-7) es el vector que representa un elemento de área del área de salida de flujo.

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Éste tiene una dirección perpendicular al elemento de área superficial del volumen de control, siendo positivo hacia fuera, y α es el ángulo entre el vector velocidad y el vector de área elemental.

Similarmente, el último término de la ecuación, el cual es la tasa de flujo de N hacia adentro del volumen de control, es, en el límite, igual a:

    ηρd    m  t δt   ηρv  dA    ηρv cos  dA lim area de flujo de entrada δt δt 0

3.6.3

El signo negativo es necesario debido a que v*dA( ó cos α) es negativo para el flujo de entrada (Fig3-8). Los dos últimos términos de la ecuación 3.6.1 , dados por las ecuaciones 3.6.2 y 3.6.3, pueden combinarse en un termino único que es una integral sobre toda la superficie del volumen de control (sc).

  lim  t  0  

 d III

t

t  t



 d I

t

t t

    scv  dA  scv cos dA  

En donde no exista flujo de entrada o de salida v*dA=0; por consiguiente la ecuación puede evaluarse sobre toda la superficie de control. Reuniendo y reorganizando los términos tenemos: dN    d   v  dA sc dt t sc

3.6.4

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Esta ecuación (3.6.4) establece que la tasa temporal de incremento de N dentro de un sistema es exactamente igual a la tasa temporal de incremento de la propiedad N dentro del volumen de control más la tasa neta de flujo de N a través de la frontera del volumen de control. Esta ecuación (3.6.4) se usa para convertir de la forma de sistema a la forma de volumen de control. La forma de sistema, la cual en efecto sigue el movimiento de los paquetes, se conoce como el método Lagrangiano de análisis; la aproximación de volumen de control de conoce como el método Euleriano de análisis, ya que se observa desde un sistema de referencia fijo relativo al volumen de control. Esta ecuación es valida si el volumen de control, fijo en tamaño y forma, tiene una velocidad de traslación uniforme. III.7 LA CONSERVACION DE LA MASA-ECUACION DE CONTINUIDAD La forma de sistema de la conservación de la masa es:

dm 0 dt

3.7.1

La cual establece que la masa (m), dentro del sistema permanece constante en el tiempo. En la ecuación (3.6.4) sea N=m, entonces η es la masa por unidad de masa de η=1, por lo tanto

0

 d   v  dA sc t vc

3.7.2

La ecuación de conservación de la masa establece que la tasa temporal de cambio de la masa en el volumen de control, más la tasa neta a la cual la masa sale del volumen de control a través de su superficie es igual a cero. Para el desarrollo del subtitulo considérese un tubo cilíndrico (Fig3-9). El flujo entra al tubo en la sección 1 y sale en la sección 2. No se permite flujo a través de la superficie sólida que describe el tubo. La aplicación de la conservación de la masa prosigue de la siguiente manera:

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o El volumen de control se define de tal manera que incluya todo el fluido en el tubo dentro de la pared sólida y desde la sección 1 a la 2. Si es posible, todas las secciones de entrada y salida deben definirse o localizarse en regiones donde las líneas de corriente (o tubos) sean paralelas a la frontera, de tal manera que las velocidades de entrada y salida sean perpendiculares a las respectivas áreas. o Si el enunciado del problema lo permite, es mejor suponer flujo permanente, en cuyo caso la ecuación se reducirá.

0   v  dA sc

o Esta ecuación debe aplicarse a cada superficie de control(sc) donde la masa de fluido, esta entrando o saliendo; entonces tenemos:



sc1

1v1  dA1   2v2  dA2  0 sc 2

o Si los vectores de velocidad a la entra y a la salida son, en cada entrada y salida, perpendiculares a sus respectivas áreas, entonces en las salidas las integrales se evalúan como  2 v2  dA2   2v2  dA2 y las entradas se evalúan como 1v1  dA1   1v1  dA1 . Tenemos:



sc1

1v1  dA1   2v2  dA2 sc 2

Nótese que ρ y v todavía son funciones de A1 y A2 y pueden variar dentro de sus respectivas áreas, esto mas que todo en las velocidades.

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o Si ρ1 y ρ2 no varían en las secciones transversales de entrada y salida, además conviene evitar velocidades que varíen. Por tanto tomamos la velocidad promedio espacial para reducir el problema a una representación unidimensional.

1  v1  dA1  2  v2  dA2 sc1

sc 2

V1 A1  v1  dA1  V2 A2  v2  dA2 sc1

Ecuación de Continuidad

sc 2

1V1 A1   2V2 A2  m

3.7.3

Donde m es la tasa de flujo de masa en Kg/seg. Para el problema de flujo permanente planteado aquí, la ecuación de continuidad dice que la tasa de flujo de masa es constante. Si el caudal Q (también conocido como tasa de flujo volumétrico o descarga) se define como Q=AV, la ecuación puede tomar la forma de:

1Q1   2Q2  m

3.7.4

Para flujo incompresible permanente, se presenta como forma útil la ecuación siguiente

Q  A1V1  A2V2

[m3/s]

3.7.5

Para flujo con densidad constante, permanente o no permanente, podemos obtener las ecuaciones para determinar la velocidad, la cual establece que el flujo de volumen neto es cero. Esto implica que el volumen de control está lleno de líquido en todo momento.

 v  dA  0 sc

V

Q A

V

1 vdA [m/s] A A

3.7.6

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EJEMPLO DE APLICACIÓN Por una tubería de 30 cm de diámetro circulan 1800 lt/min, reduciéndose después el diámetro de la tubería a 15 cm. Calcular las velocidades medias en ambas tuberías.

tenemos que Q  1800 m 3 /seg entonces : 1800 *10 3  0.030m 3 / seg 60 Q en m3 /seg 0.030 V30  1  0.43m/seg 2 2 A en m 4 π( 0.30 ) Q

V15 

1 4

0.030  1.70m / seg  (0.15) 2

Si existen múltiples entradas y salidas, la ecuación de volumen de control puede extenderse. Supóngase una intersección T (Fig3-10); se denotan las condiciones en las entradas (secciones 1 y 3) y en la salida (sección 2). Adicionalmente, suponga que la densidad en cada sección es constante (aunque no necesariamente igual); que los vectores de velocidad son perpendiculares a sus respectivas áreas; y que las velocidades promedios en las secciones transversales, en cada sección, están definidas. Entonces la ecuación 0   v  dA se reduce a: sc

 1V1 A1  3V3 A3   2V2 A2  0 m1  m3  m2

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III.8 MOVIEMIENTO Y DEFORMACION A medida que un paquete de fluido se mueve de un instante a otro, existen varios tipos de movimientos y/o deformación de la forma del paquete. Aquí se hará una pequeña introducción geométrica a estos procesos, relacionando los campos de velocidad con el movimiento y la deformación resultantes. Se debe notar que todas las formas de estos movimientos pueden ocurrir simultáneamente, pero para una mejor comprensión se analizaran en forma separada y en dos dimensiones. III.8.1 TRASLACION (Fig3-12) simplemente significa tomar el paquete y moverlo una distancia durante un periodo de tiempo corto dt. No se permite ni rotación del paquete ni ninguna deformación. La deformación será medida por el grado a que el ángulo entre cualquier par de líneas, que originalmente eran ortogonales entre sí, se deforme durante un tiempo dt. Para el caso de la traslación, el ángulo de 90º entre cualquier par de líneas ortogonales que definen cualquier plano en el paquete debe permanecer constante. La traslación pura, sin ninguna deformación o rotación, puede ocurrir en un campo de velocidad muy especial; esto quiere decir que el flujo debe ser uniforme espacialmente y no puede contener gradientes espaciales.

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III.8.2 DILATACION (Fig3-13) se refiere al estiramiento o encogimiento del paquete, inducido por un gradiente espacial en el campo de velocidad. No se permite deformación; en lugar de esto, únicamente se permite una extensión o compresión lineal de los ejes ortogonales que definen el plano. El campo de velocidad que acompaña este cambio, nuevamente es restringido. Por ejemplo en la figura el cambio de forma en la configuración de líneas punteadas conserva el ángulo de 90º entre todos los ejes ortogonales, pero el campo de velocidad se restringe a cambios únicamente en la dirección de los ejes. Por lo tanto para la figura en la dirección x, únicamente u puede variar, no v; mientras que en la dirección y únicamente v puede variar y no u. Si el cambio de forma da como resultado un cambio de volumen es una cuestión extremadamente importante. De la figura 3-13, el volumen original  es de dxdy. En la forma reordenada, los cambios incrementales en longitud durante el periodo de tiempo dt se encuentran mediante una expansión de series de Taylor, esta es correcta hasta el primer orden; por consiguiente, el volumen en un tiempo dt posterior es:

 u v   t  dt   dx  dxdt  dy  dydt  x y   

3.8.1

Después de multiplicar los términos, y dejando de lado los términos de segundo orden y órdenes superiores, la tasa temporal de cambio relativo del volumen  R , se puede encontrar en términos de la velocidad como:    t d  t  dt t  dt

    d R  u  v dt x y

en tres dimensiones tendremos: d R u v w     v dt x y z

3.8.2

Por consiguiente, la dilatación de volumen puede relacionarse directamente con la estructura espacial de los gradientes de velocidad.

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III.8.3ROTACION (fig3-14) se define como la velocidad angular promedio de dos elementos que originalmente se encontraban haciendo ángulos rectos entre sí. Tal como se puede ver en la figura, debe haber gradientes en el campo de velocidad o esfuerzos cortantes, para sostener la rotación sobre el periodo dt. Teniendo en cuenta el elemento dx, y para ángulos pequeños,

 v  tan d1  d1   dxdt  / dx  x  Para el elemento vertical dy: Por lo tan to tendrem os:

1 

d1 v  dt x

v dydt x Por lo tan to tendrem os:

tan d 2  d 2  

2 

d 2 u  dt y

El promedio de estos dos es la velocidad angular del paquete alrededor del eje z

1  v

u 

1

 z      (1   2 ) 2  x y  2 la rotación alrededor de los otros dos ejes se define como:

1  u w    2  x x 

y  

1  w

v 

 x     2  y z  la velocidad angular es una cantidad vectorial denotada:

Rotacion en funcion de los tres ejes

  xi   y j  z k

3.8.3

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El flujo irrotacional ocurre cuando los gradientes cruzados de la velocidad (o esfuerzo cortante) son cero o en el caso poco probable de que se cancelen entre sí. En la Fig3-15, se puede apreciar el esquema de un paquete de fluidos viajando a lo largo de una línea de corriente en un vertedero gradual. Los paquetes en la Fig3-15a se están moviendo en un flujo irrotacional y no existe rotación de ningún par de ejes ortogonales incluidos en el paquete. En la Fig3-15b se muestra una analogía con el flujo rotacional.

III.8.4 DEFORMACION LINEAL

(Fig3-16) este caso se da cuando

Vx Vx Vy Vy y no son nulos, además   0, y x y x

por lo que el rectángulo sufrirá una deformación lineal δ y su forma se ampliara o reducirá, pero este seguirá siendo un rectángulo.

III.8.5 DEFORMACION ANGULAR O tasa de deformación, se define como el promedio de la diferencia en las velocidades angulares de dos elementos originalmente perpendiculares.

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Nuevamente gradientes de velocidad o esfuerzos cortantes, deben estar presentes (Fig3-17). Para la figura, la deformación previa se mantiene, y para el campo de velocidad indicado en el esquema,

 u  u tan d 2  d 2   dydt  / dy  dt y  y  d u 2  2   dt y el signo negativo, ocurre como resultado de la rotación en el sentido de las agujas del reloj, la cual es negativa. Una deducción similar para Ө1 arroja:

1 

d1 v  dt x

3.8.4

III.9 VORTICIDAD El termino de vorticidad esta ligado a otro termino denominado circulación Г, esta se define como: Si en un campo de flujo bidimensional cualquiera se traza una superficie de control, también cualquiera y cerrada, la circulación será la integral de la componente de la velocidad tangente a la superficie, realizada sobre toda la superficie:  d  (v cos  )dl    (v cos  )dl   v dl Donde α es el ángulo que forma el vector velocidad con la superficie de control, dl es el vector elemental de longitud, tangente a la curva. Aplicando el concepto de superficie de control tenemos:

 v v  d   x  y dxdy x   y

3.9.1

de la ecuación (3.9.1) concluimos que la vorticidad es la circulación diferencial por unidad de área encerrada por la superficie de control.

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III.10 FUNCION DE CORRIENTE La figura 3-18 muestra un campo de flujo bidimensional y permanente. La primera línea de corriente por el origen o, también incluimos las líneas de corriente MM’ y NN’ separadas entre si una distancia dn.

Denominamos ψ al gasto entre líneas de corriente desde “o” a MM’, el gasto entre MM’ y NN’ se denominan dψ. Por lo tanto el gasto entre o y NN’ es ψ+ dψ. Para analizar este hecho se utiliza un volumen de control triangular de catetos dx y dy e hipotenusa dn, donde el gasto que ingresa debe ser igual al que sale: d  Vxdy  (Vy )dx

El diferencial total de gasto dψ es:

d 

  dx  dy x y

Por comparación podemos determinar:

  Vx x

  Vy y

   Vxdy   (Vy )dx  c

3.10.1

donde, esta ultima expresión es denominada Función de Corriente. La función de corriente es la expresión matemática de una línea de corriente. Si el flujo es permanente una función de corriente expresara matemáticamente a una familia de líneas de corriente.

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Por otro lado Vx y Vy, reemplazamos en la ecuación de la continuidad bidimensional vista anteriormente,

Vx Vy  0 x y Se tiene :  2  2  xy yx De la misma manera reemplazamos Vx y Vy en la ecuación de Verticidad también vista anteriormente,



Vy Vx  x y



 2  2  x 2 y 2

Para flujo irrotacional debe cumplirse:

 2  2  0 x 2 y 2

3.10.2

Esta ecuación es denominada Ecuación de La Place. III.11 FLUJO POTENCIAL PLANO El caso mas sencillo de flujo potencial es el bidimensional, esto es, cuando el movimiento de un fluido se produce paralelamente a un plano, de manera que la tercera dimensión no entra en ninguna ecuación. Por una parte, al ser plano el movimiento se puede definir una función de corriente que describe las líneas de corriente, y por otra parte, al ser flujo potencial, la velocidad está determinada por el potencial Ф(x,y,z,t). El flujo puede entonces ser descrito por dos familias de curvas, las líneas de corriente y las líneas equipotenciales. Estas curvas se cortan ortogonalmente en todo punto, ya que la velocidad es tangente a las líneas de corriente y perpendicular a las líneas equipotenciales.

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La Fig3-19, representa gráficamente las líneas de corriente y las equipotenciales, en las que el elemento arco ds de las líneas equipotenciales podemos definirlo como:

      (dy )  0  (dx)    x   y  Donde obtenemos:       x    dy dx       y 

3.11.1

El elemento arco s de las líneas de corriente podemos definirlas como:

x        x 



y        y 

3.11.2

Igualando estas dos ecuaciones tendremos:

x y  dy dx

3.11.3

Para ψ constante, d ψ=0 tendremos:  Vydx  Vxdy  0 dy Vy  dx Vx

3.11.4

Para Ф constante, dФ=0 será: Vydy Vxdx  0

dy Vx  dx Vy

3.11.5

Lo que nos da el significado de la ortogonalidad de las dos curvas, que cuando las graficamos nos da una malla por lo que se le conoce como malla de corriente.

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