Circunferencia

Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Circunferencia centrada en el origen C(0,0)

Es la ecuación de la circunferencia que es más fácil de obtener, pues lo único que debemos saber es el radio de la circunferencia. Ejemplo 1: para una circunferencia de r = 2 (radio), su ecuación es x 2 + y 2 = 2 2 la cual al desarrollarla, obtenemos x 2 + y 2 = 4 .

( )

Ejemplo 2: para una circunferencia de r = 3 2 (radio), su ecuación es x 2 + y 2 = 3 2 desarrollarla, obtenemos x 2 + y 2 = 18 .

2

la cual al

Ecuación de la circunferencia trasladada C( h , k )

Como se puede apreciar, la forma canónica (o principal) de la circunferencia tiene tres parámetros: “ h ”, “ k ” y “ r ”. Los valores “ h ” y “ k ” corresponden a las coordenadas del centro de la circunferencia y “ r ” corresponde al radio de la circunferencia. Es importante señalar que en la ecuación, los valores de “ h ” y “ k ” aparecen con el signo “cambiado”. Ejemplo 3: Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en C ( 3 ,1 ) y r = 2

Al escribir la ecuación tenemos ( x − 3) 2 + ( y − 1) 2 = 2 2 o también ( x − 3) 2 + ( y − 1) 2 = 4

Ejemplo 4: Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en C ( 2 , − 3 ) y r = 5 Al escribir la ecuación tenemos ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 5 2 o también ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 25

Ejemplo 5: Determinar la ecuación de la circunferencia que tiene centro C ( 3 , 2 ) y pasa por el punto A( 7 , 5 ) .

Para determinar la ecuación, necesitamos los valores de “ h ”, “ k ” y “ r ”. En principio tenemos que h = 3 , k = 2 y nos faltaría “ r ”. Para calcular “ r ” basta con determinar la distancia entre el centro y el punto por el cual pasa la circunferencia

(7 − 3) 2 + (5 − 2) 2 = 4 2 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 , luego r = 5

De esta forma, podemos determinar la ecuación ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 5 2 o bien ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 25 . Esta forma de escritura se denomina ecuación canónica (o principal) de la circunferencia Otra forma de escritura de la ecuación de la circunferencia se denomina ecuación general de la circunferencia, la cual es un poco más extensa que la anterior. Si tenemos ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 25 en su forma principal, para escribir en la forma general debemos desarrollar los cuadrados de binomio, reagrupar e igualar a cero, como se muestra a continuación. ( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 25

x 2 − 6 x + 9 + y 2 − 4 y + 4 = 25 x 2 + y 2 − 6 x − 4 y + 9 + 4 − 25 = 0 x 2 + y 2 − 6 x − 4 y − 12 = 0 Ecuación General de la Circunferencia En la forma general de la circunferencia aparecen tres parámetros “D”, “E” y “F”

En el ejemplo anterior, tendríamos que D = −6,

E = −4

y

F = −12

So bien estos parámetros no son tan fáciles de relacionar como los parámetros geométricos de “ h ”, “ k ” y “ r ”, de igual forma existe una relación entre ellos, como se explica a continuación.

Si no nos es fácil determinar la ecuación general de la circunferencia, pues nos complicamos con las formulas de D, E o F (principalmente esta última), podemos simplemente escribir la ecuación de la circunferencia primero en su forma principal y luego desarrollarla para obtener la forma general. Ejemplo 6: Determinar la ecuación general de la circunferencia con centro C (−1,3) y radio r=2 5. Al escribir en su forma principal, tenemos ( x + 1) 2 + ( y − 3) 2 = (2 5 ) 2 Al desarrollar, se obtiene x 2 + 2 x + 1 + y 2 − 6 y + 9 = 20

Luego ordenamos y reagrupamos x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 1 + 9 − 20 = 0 Finalmente la ecuación en su forma general es x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 10 = 0 Otra forma de resolver el ejercicio sería utilizando las fórmulas D = −2h , E = −2k y F = h2 + k 2 − r 2 Como teníamos que C (−1,3) entonces h = −1 y k = 3 . Además r = 2 5 . De esta forma: D = −2h

D = −2 ⋅ −1

D=2

E = −2k

E = −2 ⋅ 3

E = −6

F = h2 + k 2 − r 2

F = (−1) 2 + (3) 2 − (2 5 ) 2

F = 1 + 9 − 20

F = −10

Al reemplazar en x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 , obtenemos x 2 + y 2 + 2 x − 6 y − 10 = 0 Para realizar el proceso inverso, vale decir, pasar de la forma general a la forma principal, un método que podemos utilizar es completar cuadrados de binomio.

Ejercicios para practicar 1.- Determinar el radio de las siguientes circunferencias a) x 2 + y 2 = 16

b) x 2 + y 2 = 12

c) 9 x 2 + 9 y 2 = 4

d) 5 x 2 + 5 y 2 = 8

2.- Escribe la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y cuyo radio mide: a) 6cm.

b) 2 2 m.

c)

2 3 cm 3

3.- Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias: a) ( x − 5) 2 + ( y − 1) 2 = 4

2 3 b) ( x + ) 2 + ( y − ) 2 = 3 5 4

c) x 2 + y 2 − 2 x + 16 y − 14 = 0

d) 2 x 2 + 8 x + 2 y 2 − 6 y − 18 = 0

e) 25( x + 4) 2 + 25( y − 2) 2 = 625

4.- Dada la ecuación en su forma principal, determinar su centro y radio y expresarla en la forma general a) ( x + 2) 2 + ( y − 4) 2 = 9

b) x 2 + ( y + 3) 2 = 16

c) ( x − 5) 2 + ( y + 2) 2 = 4

d) ( x + 3) 2 + y 2 = 1

5.- Dada la ecuación general de la circunferencia, escribirla en su forma principal utilizando cuadrados de binomio, determinar su centro C (h, k ) y su radio r a) x 2 + y 2 − 4 x − 14 y + 44 = 0

b) x 2 + y 2 − 8 x = 0

c) x 2 + y 2 − 14 x + 4 y + 17 = 0

d) x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 15 = 0

6.- Determinar la ecuación general de la circunferencia, si se sabe que el segmento AB es diámetro de ella. a) A(1,1) y B (7,5)

b) A(−3,−4) y B (−1,2)

7.- Determinar si el punto P es interior, exterior o frontera del círculo limitado por la circunferencia dada. a) P(−1,−2) ; x 2 + y 2 + 4 x + 10 y − 7 = 0 b) P(4,3) ; x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 9 = 0 c) P(3,3) ; x 2 + y 2 − 8 y + 12 = 0 8.- Encuentra la ecuación de la circunferencia de radio 2, concéntrica con la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 − 4 x + 2 y − 3 = 0 9.- Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1, − 4 ) ; B ( 4 , 5 ) y C( 3, − 2 )

10.- Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A( − 2 , 4 ) y B( 3 , 6 ) ,y

cuyo centro está sobre la recta de ecuación 2 x + y = 3 .

Respuestas 1) a) 4

b) 2 3

c) 2/3

2) a) x 2 + y 2 = 36

b) x 2 + y 2 = 8

c) x 2 + y 2 =

3 61 d) C (−2, ) r = 2 2

2 10 5

4 3

2 3 b) C (− , ) r = 3 5 4

3) a) C (5,1) r = 2

4) a) C (−2,4) ; r = 3 ;

d)

c) C (1,−8) r = 2

e) C (−4,2) r = 5

x 2 + y 2 + 4 x − 8 y + 11 = 0

b) C (0,−3) ; r = 4 ; x 2 + y 2 + 6 y − 7 = 0 c) C (5,−2) ; r = 2 ;

x 2 + y 2 − 10 x + 4 y + 25 = 0

d) C (−3,0) ; r = 1 ; x 2 + y 2 + 6 x + 8 = 0 5.- a) ( x − 2) 2 + ( y − 7) 2 = 9 ; C (2,7) ; r = 3 b) ( x − 4) 2 + y 2 = 16 ; C (4,0) ; r = 4 c) ( x − 7) 2 + ( y + 2) 2 = 36 ; C (7,−2) ; r = 6 d) ( x + 3) 2 + ( y + 1) 2 = 25 ; C (−3,−1) ; r = 5 6.- a) x 2 + y 2 − 8 x − 6 y + 12 = 0

b) x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 5 = 0

7.- a) interior

c) exterior

b) frontera

8.- x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 = 0 10.- x 2 + y 2 − 13x + 20 y − 126 = 0

9.- x 2 + y 2 − 7 x + 5 y − 44 = 0