COMPETENCIA No. 1: Concepto de circunferencia y algunos de sus elementos. Material de aprendizaje Circunferencia: Es la curva, tal que la distancia de todos sus puntos a un punto fijo constante.

c (h, k) es

El punto C (h, k) es el centro de la circunferencia y la distancia del centro a cualquiera de su puntos P (x, y) es el radio. El radio es la distancia que va desde el centro o "p" hasta el límite de la circunferencia. Tangente: es toda recta que tiene un solo punto en común con la circunferencia, y ambas están en un mismo plano. El punto en común se llama punto de /a tangente. En una circunferencia, un radio siempre es perpendicular a la tangente en el punto tangente.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Encierre en un círculo la respuesta correcta: 1) Es la distancia que va desde el centro hasta el límite de la circunferencia: a) Tangente

b) Radio

c) Secante

2) Es toda recta que tiene un solo punto en común con la circunferencia y ambas están en un mismo plano: a) Tangente

b) Radio

c) Secante

3) Es la curva, tal que la distancia de todos sus puntos a un punto fijo c (h, k) es constante: .a) Elipses

b) Circunferencia

c) Parábola

Juan 8: 32 y conoceréis la verdad, y la verdad os hará libres. Nosotros sabemos lo que somos, pero no lo que podemos ser. (Shakespeare) Al lado de la dificultad está la facilidad…. Siempre que quieras vencer. (E. Mensajero)

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COMPETENCIA No. 2: Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en el origen de la coordenada y el punto p (x, y) es el punto cualquiera de la circunferencia. Material de Aprendizaje: Al sustituir la formula de distancia, nos queda: x2  y2  r  x2  y2  r 2

ACTIVIDADES DE APRENDZAJE: 1.- Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro origen de radio 4 cm. x 2  y 2  r 2  x 2  y 2  (4) 2  x 2  y 2  16

en

el

2.- Encuentre la ecuación de la circunferencia cuyo centro se halla en el origen y que pasa por el punto A (3, 4). La distancia desde el centro al punto de p, se le llama radio. x= 3 y= 4

AC  (3) 2  (4) 2  AC  5

c (0, 0)

x 2  y 2  r 2  x 2  y 2  (5) 2

 x 2  y 2  25

3.- Encontrar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y que sea tangente a la recta tangente: 3x + 4y +15 = 0. Distancia de un punto a una recta d  r  h=0, k=0, A= 3 B=4

d r

Ax1  By1  C A2  B 2

C=15

3(0)  4(0)  15 32  4 2

x 2  y 2  r 2  x 2  y 2  (3) 2

 r

15 r 3 5

 x2  y2  9

4.- Determine la ecuación de un abanico de la planta generadora de electricidad ITABO II cuyo centro esta en el origen y su radio es 6mts. 5.- Encuentre la ecuación de la circunferencia de un aro de bicicleta cuyo centro se halla en el origen y que pasa por el punto B (-5, 3). x= -5 y= 3

c (0, 0)

6.- Encontrar la ecuación de la circunferencia de un eje radical cuyo centro es el origen y que sea tangente a la recta tangente: 6x -8 y +50 = 0.

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Competencia No 3: Determinar la ecuación de la circunferencia conocido el centro y el radio.

Material de Aprendizaje: En este punto se conoce el radio y su centro, C (h, k).

Para encontrar la ecuación ordinaria se utiliza la siguiente fórmula: ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2 ; donde a representa el punto del eje de la h (abscisa) y k el punto del eje de la y (ordenada). ( x  h) 2  x 2  2hx  h 2

( y  k ) 2  y 2  2ky  k 2

Con esta ecuación se determina la ecuación general de la circunferencia que es x 2  y 2  Ax  By  C  0

ACTVIDADES DE APRENDIZAJE: Ejemplos: ¿Cuál es la ecuación que debe tener la turbina de la planta eléctrica de los Minas, si su centro es 5mts, -7mts y posee un radio de 12 metros. h=5m

k= -7m.

r = 12 m.

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2

( x  5) 2  ( y  7) 2  12 2

x 2  10 x  25  y 2  14 y  49  144  x 2  y 2  10 x  14 y  25  49  144  0 x 2  y 2  10 x  14 y  75  0

Determina la ecuación que debe tener el reloj de la Catedral Primada de América, si su punto es (4m, 2 m) y el radio es 5 m. h =____

k= 2 m

r= 5 m

( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2

x 2  8 x  16  y 2  4 y  4  25  x 2  y 2  8 x  4 y  16  4  25  0 x 2  y 2  8 x  4 y  ______  0 Proverbios 6:5 Escápate como gacela de la mano del cazador, Y como ave de la mano del que arma lazos. Proverbios 6:6 Ve a la hormiga, oh perezoso, Mira sus caminos, y sé sabio;

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2. Determine la ecuación de la circunferencia de la Plaza de la Bandera, Avenida 27 de Febrero Determine la ecuación de la circunferencia de la Plaza de la Bandera, Avenida 27 de Febrero con Avenida Gregorio Luperón, si su centro es (15 m y –11 m) y su radio es 25 m h=_____ k= -11 m.

r= 25 m. ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2

x 2  _____  225  y 2  22 y  121  ______  x 2  y 2  30 x  22 y  225  121  625  0 x 2  y 2  30 x  22 y  ______  0 Resolver: 1. Centro en (-2,-1), radio 2

2. Centro en (5,1), radio 3

3. Se desea conocer la ecuación de la circunferencia para la tapa de una leche en polvo donde tiene un punto de (2,4) y un radio de 8 cm

Competencia No. 4: Determinar la ecuación de la circunferencia conocido su centro y el punto. Material de Aprendizaje r  ( x  h) 2  ( y  k ) 2

C (h, k) es su centro, ( x, y ) es el punto que toca la circunferencia.

El centro y el punto solamente se utilizan para determinar el radio, luego se procede con la ecuación general.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Ejemplo: Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1,1)= (h, k) y que contiene el punto (-2,3)= (x, y). r  ( x  h) 2  ( y  k ) 2

 r  (2  1) 2  (3  1) 2  r  (3) 2  (2) 2

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r  13

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( x  1) 2  ( y  1) 2  ( 13 ) 2 x 2  2 x  1  y 2  2 y  1  13  x 2  y 2  2 x  2 y  1  1  13  0 x 2  y 2  2 x  2 y  11  0 Calcular la ecuación que debe tener la rotonda que está en !a de plaza de la Bandera si su centro está en un eje coordenado a (5mts, -1.5mts) y contiene al punto (-40 m, 58.5 m). Estos valores no son reales, es una suposición. h= 5m

k= -1.5 m

x= -40 m.

r  ( x  h) 2  ( y  k ) 2

y= 58.5 m.

 r  (40  ____) 2  (60  1.5) 2  r  (45) 2  (60) 2

r  5625

r  75

( x  5) 2  ( y  1.5) 2  (75) 2 x 2  10 x  25  y 2  3 y  2.25  5625 x 2  y 2  10 x  3 y  25  2.25  5625  0 x 2  y 2  10 x  3 y  5602.25  0 Calcular la ecuación que deben tener tas tapas de las botellas de refresco, si su centro está en un eje de coordenada (2.4 mm, 3 mm), y contiene al punto (3.8 mm, 4.2 mm). Estos valores no son reales, es una suposición.

r  ( x  h) 2  ( y  k ) 2

 r  (3.8  2.4) 2  (4.2  ____) 2  r  (____) 2  (_____) 2

r  3.4mm ( x  3.8) 2  ( y  4.2) 2  ( 3.4 ) 2 x 2  ____ x  14.44  y 2  _____  17.64  3.4 x 2  y 2  _____  ______  14.44  17.64  3.4  0 x 2  y 2  7.6 x  8.4 y  28.68  0 EVALUACIÓN FORMATIVA: 1) Determinar la ecuación de la circunferencia que debe tener un aparato de resonancia magnética de centro (2,2), y que contiene al punto (-3,-3), para que los pacientes se encuentren cómodos. 2. Calcular la ecuación de la circunferencia que debe tener la turbina de la planta de la Presa de Monte Grande, si su centro es (12 m 16 m) y contiene al punto (2.4 m, -3.2 .m).

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Competencia No. 5: Hallar la ecuación de la circunferencia conocido su centro y la recta tangente. Material de Aprendizaje: La ecuación es Ax + By + C = O (la recta).

El centro representa (h, k).

Para determinar el radio, se debe saber que el radio es la distancia del centro a una recta tangente.

d r

Ax1  By1  C A2  B 2

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Ejemplo: Hallar la ecuación de la circunferencia que se va a construir en la esquina Independencia con Italia, si en su centro (4,5), y es tangente a la recta 3x - 2y + 1 = O d r

( x  4)

2

3  4  (2)5  1 3  (2) 2

r

2

 ( y  5)

2

12  10  1 13

   

3 13

3

r

   

13

2

x 2  8 x  16  y 2  10 y  25 

9 13

9  0 13  104 x  130 y  41.307  0

x 2  y 2  8 x  10 y  41  13 x 2  13 y 2

1. Se tiene un centro de una rotonda X y una calle que es tangente a ella, su centro (-3, 4) y su ecuación tangente 2x + 5y - 8 = 0. ¿Qué radio se necesita para esta ecuación? ¿Qué ecuación se genera? A=2 d r

2(____)  5  _____  8 2  (5) 2

2

b=______ r 

 ( x  3) 2  ( y  4) 2    

c= -8

_____  20  8 29 6 29

   

x=_____ y=______ r

_____ 29

2

x 2  6 x  9  y 2  8 y  ____ 

36 29

36 0 29  6 x  8 y  23.758  0

x 2  y 2  6 x  8 y  _____  x2  y2

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EVALUACIÓN FORMATIVA: 1) Dado el centro (2, 4) y tangente 3x + y - 4 = 0. Determine la ecuación de la circunferencia

2) Se desea saber qué radio debe tener un eje de una planta eléctrica cuyo centro es de (-4, -2) y debe ser tangente una salida de piñón lineal cuya ecuación x+y+3=0

3) ¿Qué ecuación debe tener la circunferencia para detener la bobina de una licuadora que tiene en el punto (2,3) y es tangente al soporte cuya ecuación 2x - 4y + 5 = O

Competencia No. 6: Determinar el centro y el radio conocido la ecuación de la circunferencia. Material de Aprendizaje: La ecuación de una circunferencia con centro en (h, k) y radio r es x 2  y 2  Ax  By  C  0

Donde A = -2h, B = -2k, y C = a2 + b2 - r2

A partir de estos datos se obtienen los siguientes resultados:

A  2h h

B  2k

C  h2  k 2  r 2

A B , k 2 2

r 2  h2  k 2  C

Si radio < 0 ha de interpretarse que no existe tal circunferencia y se dirá, en tal caso, que se trata de una circunferencia imaginaria. Si radio= 0, se trata de una circunferencia de radio nulo en el Punto (x, y). Si radio > 1, se trata de una circunferencia de radio mayor que 1. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: 1) Determinar el centro y el radio de una rotonda que se quiere construir frente al Palacio Nacional, cuya ecuación es x 2  y 2  4 x  6 y  3  0

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 (4) 6 , k  r 2  (2) 2  (3) 2  (3) 2 2 h  2 k  3 C (2,3) r  10 h

Cristo te ama y murió por ti y por mí.

El que anda con sabios sabio será, mas el que se junta con necios será quebrantado. (Anónimo). Trabajemos por y para la patria, que es trabajar para nuestros hijos y para nosotros mismos. (J. P. Duarte)

2) Determine el centro y el radio de la siguiente ecuación 4 x 2  4 y 2  36

4 x 2 4 y 2 36    x2  y 2  9  x2  y 2  9  0 4 4 4

Se divide toda la expresión entre 4

Como no hay termino de A y B el radio esta en el origen.

C (0,0)

r 2  a 2  b2  C  r 2  0  0  (9)  r 2  9  r  9  r  3

1. Dado las siguientes ecuaciones determinar su centro y su radio: x 2  y 2  6 x  12 y  3  0

A= 6

B= -12

C= ___

 (___)  (___) , k r 2  (2) 2  (3) 2  (3) 2 2 h  ___ k  ___ C (___, ____) h

r 2  (3) 2  (6) 2  (3)  r 2  9  ____  3  r 2  ____

2) determine el centro y el radio de la siguiente ecuación x2 + y2 - 6x - 8y +25=0 A= ____

B= _____

C= _____

h= _____

k= ____

C (3,4)

r 2  (3)2  (____)2  25  r 2  9  16  25  r 2  ____ EVALUACION FORMATIVA: 1. Hallar el centro y el radio de una rotonda que se desea construir en la Padre Castellano (17) con Josefa Brea para descongestionar el tránsito y se tiene una ecuación de x 2  y 2  12 x  10 y  12  0 2. Hallar el centro y el radio que se necesita para crear una goma de camión, cuya ecuación se supone que es x 2  y 2  15x  8 y  4  0 3. Se desea construir una ventana en vidrio que tiene forma de circunferencia, cuya ecuación es x 2  y 2  25 , que centro y que radio posee dicha ventana. Proverbios 1:6 Porque Jehová da la sabiduría, Y de su boca viene el conocimiento y la inteligencia Proverbios 1:7 El principio de la sabiduría es el temor de Jehová; Los insensatos desprecian la sabiduría y la enseñanza. Proverbios 1:8 Oye, hijo mío, la instrucción de tu padre, Y no desprecies la dirección de tu madre; Proverbios 1: 9 Porque adorno de gracia serán a tu cabeza, Y collares a tu cuello Proverbios 22:28 No traspases los linderos antiguos que pusieron tus padres

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Competencia No. 7: Determinar la ecuación de la circunferencia conocidos dos puntos de ellos.

Material de Aprendizaje. Debe saber resolver sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Debe estudiar la competencia. Determinar la ecuación de la circunferencia conocido su centro y el punto. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Hallar la ecuación de la circunferencia sabiendo que el radio es 3 y cuyo centro es el punto de intersección de las recta 3x - 4y =18 y x + 3y =-13 3x  4 y  18 x  3 y  13

Resolviendo el sistema por cualquier método resulta x=2 e y= -3, Se debe cambiar el valor de x por h y el valor de y por k. h=2, k=-3 ( x  h) 2  ( y  k ) 2  r 2  ( x  2) 2  ( y  3) 2  9

Hallar la ecuación de la circunferencia de la avenida Luperón y 27 de febrero pasa por el punto A (-8, 5) y cuyo centro es el punto de intersección de la recta 2x +4y=-2 4x-5y=22 2 x  4 y  2 4 x  5 y  22

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales el valor de x=3 e y=-2

h=3, k=-2 x=-8 y= 5 r  ( x  h) 2  ( y  k ) 2

 r  (8  3) 2  (5  2) 2  r  (11) 2  (7) 2

r  170

( x  3) 2  ( y  2) 2  ( 170 ) 2  x 2  6 x  9  y 2  4 y  4  170 x 2  y 2  6 x  4 y  9  4  170  0  x 2  y 2  6 x  4 y  157  0 EVALUACIÓN FORMATIVA: 1. Hallar la ecuación de la circunferencia sabiendo que el radio es 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las recta 5w+6z=20 y 4w-3z = -23

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2. Hallar la ecuación de la rotonda que está en la República de Colombia con Av. De los Próceres, pasa por el punto A (3, -6) y cuyo centro es el punto de intersección de la recta 2x +2y=24 x-3y=0

Competencia No. 8: Determinar la ecuación de la circunferencia conocido dos o tres puntos de ellos.

Material de Aprendizaje: La ecuación de la circunferencia cualquiera es de la forma

x2 + y2 + Ax + Bx + C = O

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de los rectas Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que contiene los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1,1). (3,2) : (3) 2  (2) 2  3 A  2 B  C  0

 9  4  3 A  2 B  C  0  3 A  2 B  C  13

(2,4) : (2)  (4)  2 A  4 B  C  0

 4  16  2 A  4 B  C  0  2 A  4 B  C  20

2

2

(1,1) : (1)  (1)  A  B  C  0 2

2

 A  B  C  0  A  B  C  0

Resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, por cualquiera de los métodos conocido se obtiene:

3 A  2 B  C  13 2 A  4 B  C  20  A B C  0

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Determine la ecuación de la circunferencia de una bola demoledora de concreto, cuyos tres puntos son A (1,2), B (5,2) y C (3,4) (1,2) : (1)2  (2)2  A  2B  C  0  1  4  ____  2B  C  0  A  2B  C  ____ (5,2) : (___)2  (2)2  5 A  ____  C  0  25  4  5 A  ____  C  0  5 A  2B  C  ____ (3,4) : (3)2  (4)2  3 A  4B  ____  0  9  16  3 A  ___  C  0  3 A  4B  C  25

A= -6

B= _____

C= ____

EVALUACIÓN FORMATIVA: 1) Se tienen tres puntos de una circunferencia cuyos puntos de la turbina de un avión que son (2, 5), (-4,3) y (0,-3), ¿qué ecuación tiene dicha turbina? La pereza viaja tan despacio, que la pobreza la alcanza pronto. (B. Franklin) Lo peor de la ingratitud es que siempre quiere tener razón (J. Benavente)

¡Qué fácil sacrificar a los que nos quieren; qué difícil sacrificar lo que se quiere! (J. Benavente) La vida no vale por su extensión sino por su contenido. (J.M. Carretero) Aprender es descubrir lo que ya sabe. Actuar es demostrar que lo sabes. (R. Bach) Si no conviene, no lo hagas; si no es verdad, no lo digas. (Marco Aurelio)

1. La persona más pobre en el mundo es una persona que no tiene sueño alguno. Dr. Myles Munroe

2. La persona más frustrada en el mundo es alguien que tiene un sueño, pero que no sabe cómo llegar a realizarlo. Dr. Myles Munroe 3. Cada persona fue creada por Dios para que sea única y distinta. Dr. Myles Munroe 4. Dios ha colocado en cada ser humano una visión única y un llamamiento que ha sido diseñado para darle propósito y significado a la vida. Dr. Myles Munroe 5. Ninguna persona te puede dar tu visión. Es algo que solo Dios te puede dar. Dr. Myles Munroe

6. Cada ser humano fue creado para realizar algo que nadie más puede realizar. Dr. Myles Munroe

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