COLOQUIO DE DOCTORADO 2013 Un acercamiento al curriculum del nivel medio superior: El caso de la función lineal Rebeca Flores García [email protected]

Problemática El estudio de las funciones en la enseñanza de las matemáticas en el nivel medio superior desempeña un papel importante en el aprendizaje de los estudiantes, no sólo por estar relacionado con temas de otras asignaturas, sino porque permite representar situaciones reales. Díaz (2008) reconoce que en el aspecto curricular la noción de función es una hebra que atraviesa desde los niveles básicos hasta los universitarios, advirtiendo además de las dificultades que enfrentan los estudiantes por entender este concepto; también señala cómo esta noción ha generado un conjunto creciente de investigaciones, desde los que estudian los problemas de su enseñanza, las dificultades de su aprendizaje, los que proponen marcos teóricos, hasta los que se centran en la multiplicidad de interpretaciones de la noción de función. Diversos son los autores que se han dedicado a trabajar sobre la noción de función. En la década de los ochenta Leinhardt, Zaslavsky y Stein (1990) realizaron una revisión bibliográfica que cubre una década aproximadamente, en la cual identifican que los estudiantes presentan serias dificultades al tratar de conceptualizar la idea de función, correspondencia, linealidad, representación de funciones, su lectura e interpretación, entre otros. Por su parte, Birgin (2012), reconoce a las funciones lineales como una idea compleja, de múltiples facetas cuyo poder y riqueza permean casi todas las áreas de la matemática. Agregando que dadas sus diversas aplicaciones en el mundo real, refuerzan la comprensión de temas más avanzados como aquellos provenientes del Cálculo.

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La noción de función en el nivel medio superior, sus objetivos de su enseñanza Estos resultan ser elementos que me permiten darle un lugar al estudio que me encuentro desarrollando, el cual tiene que ver con la idea de función, de manera específica con la función lineal, para ello y con la intención de ampliar el panorama me encuentro revisando los programas de estudio de los cursos y realizando algunas observaciones de clase. Ya que por un lado existe amplia investigación en torno al objeto función, el cual ocupa un lugar central en el ámbito curricular y por otro, aún prevalecen dificultades para su enseñanza y su aprendizaje, ¿a qué se deberá?, ¿tendrá que ver con sus múltiples representaciones?, ¿con sus aplicaciones?, ¿con qué? Otro elemento a considerar es el nivel medio superior, ya que al parecer es el lugar donde la función lineal tiene una posición significativa para tres cursos: Pensamiento Algebraico y de funciones, Pensamiento Geométrico Analítico y Pensamiento del Cálculo Diferencial, al menos eso se deja ver en la revisión de los programas que aún me encuentro realizando corresponden a la Centros de Bachillerato Tecnológico (CBT). Es necesario destacar que los contenidos de los programas hasta ahora revisados no explicitan con profundidad qué de la función lineal deben aprender los estudiantes, se enuncia una lista de contenidos muy generales, ligados a competencias y habilidades a considerar para ser desarrolladas. Durante las clases de Pensamiento Geométrico Analítico en particular, he percibido que los estudiantes enfrentan complicaciones al analizar componentes específicas de la función lineal, las cuales van desde su representación en el plano cartesiano, su dominio, imagen o recorrido, corte con los ejes, pendiente, su monotonía o incluso identificar si posee simetría, si es continua o no, por ejemplo. En ese sentido, sería conveniente averiguar no sólo los conflictos que el estudiante enfrenta sino también aquellos que el profesor al momento de diseñar y organizar sus clases y sus actividades, enfrenta. Sería valioso observar ¿cómo introduce la idea de función lineal al estudiante?, ¿qué propiedades o características de la

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función lineal prioriza en su enseñanza?, ¿identifica a la función lineal como un contenido esencial en el currículum? Estas son sólo algunas de las ideas que han dado origen al proyecto de investigación que se encuentra en desarrollo y que permitieron generar las preguntas de investigación que presento a continuación. Las preguntas de investigación Ya que el concepto de función lineal se desprende de una idea más amplia, no puedo dejar de mencionar lo que Spivak (1992, p. 49) señala al respecto: El concepto más importante de todas las matemáticas es, sin dudarlo, el de función. En casi todas las ramas de la matemática moderna, la investigación se centra en el estudio de funciones. No ha de sorprender que el concepto de función sea de una gran generalidad. Lo anterior, nos permite mostrar la importancia de este concepto aunque de momento limitaremos nuestra atención a funciones de una clase muy especial, las funciones lineales. Ahora bien, un primer acercamiento a las preguntas de investigación está dada por la idea de Jones (2006) al enfatizar que nuevas formas de representar la noción de función han surgido a lo largo de su desarrollo y evolución, donde cada una de estas representaciones son importantes para entender un aspecto específico de la idea y donde cada una está ligada fuertemente con las otras, lo cual puede abrumar y confundir a los estudiantes. De este modo, la idea de función y sus diferentes modalidades, en particular el de función lineal pretende cobrar vida mediante las siguientes preguntas que guían esta investigación: El profesor de matemáticas, ¿reconoce como transita la función lineal en el curriculum de los Centros de Bachillerato Tecnológico?¿Cuáles son las transformaciones que provoca el 3

profesor en el concepto de función lineal a lo largo de todo el curriculum? ¿Qué elementos de la función lineal prioriza en su enseñanza? Responder estos cuestionamientos no será sencillo, empero, abre posibles derroteros para comenzar a caminar. Propósito general del estudio: •

Identificar, caracterizar, describir, analizar el diálogo que el profesor del nivel medio superior establece con el curriculum del nivel medio superior técnico.

En ese sentido, se vislumbran la intervención de varios actores: lo que se propone a través de un programa de estudio (este es gestado por un organismo o una institución), lo que realiza el profesor (a través de lo que interpreta y prioriza posiblemente se queda una parte manifiesta en sus planeaciones, en las actividades que pone en juego dentro del aula de clase) y el estudiante (lo que el aprende, se proyecta parte de ello en los resultados de sus evaluaciones). Propósitos particulares: -

Identificar las propiedades y características (atributos) de la función lineal que el profesor de matemáticas prioriza en la clase de matemáticas.

-

Analizar las posibles transformaciones que experimenta la función lineal en el curriculum del nivel medio superior.

-

Reconocer el lugar de la función lineal en el curriculum del nivel medio superior.

La reflexión hecha hasta el momento y la forma de orientar el proyecto me permiten señalar los propósitos antes descritos, aunque posiblemente, estos se amplíen a medida que se avance en la investigación.

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Marco conceptual En esta sección se presenta un primer acercamiento al marco conceptual en el que se inscribe la presente investigación. 1. El concepto de función Pluvinage y Cuevas (2006) reconocen a las funciones como objetos que los matemáticos se vieron en la necesidad de estudiar por razones tanto externas como internas a la matemática. Mientras que Stewart, Redlin & Watson (2001, p. 149) la definen como: Una función f es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), en un conjunto B. . Reconozco que las formas en que el concepto de función apareció en la antigüedad ha ido evolucionando con el paso de los años, como lo señalan los teóricos e incluso ha sido esencial considerar o priorizar algunas de sus representaciones al momento de ser enseñado en el aula. En el caso de este estudio, pondré atención sólo en la función lineal. 1.1 El concepto de función lineal Considerando lo expuesto por Spivak […] la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥 + 𝑑 es una recta de pendiente 𝑐 que pasa por el punto 0, 𝑑 . Por esto las funciones reciben el nombre de funciones lineales. (Spivak, 1992, p. 76)

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Figura 1. Representación gráfica de la función lineal.

Asimismo, Stewart, Redlin & Watson (2001, p. 158) la definen de la siguiente manera: Una función 𝑓 de la forma 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 se llama función lineal porque su gráfica es la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, que representa una recta con pendiente 𝑚 m y 𝑦-ordenada al origen 𝑏. Aun cuando es la misma idea que propone Spivak, puede resultar más familiar para el profesor o los estudiantes por las letras utilizadas. Caso particular: i)

Una función lineal donde, el valor de 𝑏 = 0 tendríamos 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 donde recibe el nombre de función de proporcionalidad directa.

Acerca de la función lineal a) Considerando a la pendiente, en la expresión 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 tenemos que:

Si 𝑚 > 0

la recta será creciente

Si 𝑚 < 0

la recta será decreciente

Si 𝑚 = 0

la recta será horizontal 6

Gráficamente se puede observar dicha propiedad que tiene que ver con su monotonía, la cual está referida a los valores de 𝑥 donde crece o decrece. y 3 y=-4x 2

1

y=2x

y=-2x/5

y=x/3

x

0 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

Figura 2. Las gráficas en color azul representan funciones crecientes, mientras que las de color rojo representan funciones decrecientes.

Continuando la exploración tenemos que: Cuanto mayor sea 𝑚 mayor será la verticalidad de la recta. y

Cuanto menor sea 𝑚 mayor será la 3verticalidad de la recta. 2

1

2

1 3

4

x

0 -7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-1

-2

Figura 3. Las gráficas 1 y 2 presentan mayor verticalidad, mientras que la 3 y 4 lo contrario. -3

7

7

b) Considerando a la ordenada en la expresión 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 La 𝑏 nos indica la ordenada del punto de corte con el eje 𝑂𝑌, es decir, la ordenada al origen. Si 𝑏 > 0 la recta pasa por encima o arriba del origen. Si 𝑏 < 0 la recta pasa por debajo del origen. Si 𝑏 = 0 la recta pasa por el origen.

y

6

4

y=x+3

y=x 2 y=x-5

x

0 -14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-2

-4

-6 las rectas son paralelas y tienen la misma pendiente. Figura 3. En la gráfica se observa que

Propiedad: Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente 𝑚! = 𝑚! c) Considerando la condición de perpendicularidad se desprende la siguiente propiedad: Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y de signo contrario, es decir, 𝑚! 𝑚! = −1

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Figura 4. En la gráfica se observa que las rectas son perpendiculares y que sus pendientes son recíprocas.

1.1.1

Tipos de función lineal

La tabla 1 se presenta una primera clasificación de las formas en que una función lineal puede aparecer, según diferentes contextos: como por ejemplo, si se trata de situaciones de movimiento, de indicar un crecimiento constante, entre otros: ¿Qué características son relevantes? Funciones lineales a trozos - La gráfica muestra una función formada por trozos de rectas. - ¿Cómo hablar de ella? Enumerando por orden de izquierda a derecha, indicando en cada uno de los tramos los valores de x para los que la función está definida. - Considerar la escala Función constante - Se representan mediante una recta paralela al eje X. - Su pendiente es 0. - Se le conoce como función constante - La recta y = 0 es paralela al eje X. 9

Función afín - Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje Y en el punto (0, n). - Se denomina función afín Al número n se le llama “ordenada en el origen”.

Función identidad - La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad. - Describe una proporción entre los valores de las dos variables. - Su expresión algebraica es: y = mx   Tabla1. Clasificación de las formas de la función lineal.

Hasta aquí se ha colocado un primer avance en relación al concepto de función lineal, algunas de sus propiedades y características, además de las formas en que puede aparecer. Lo cual nos permite adentrarnos al concepto de atributo, que se presenta a continuación.

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2. El concepto de atributo Quisiera comenzar esta sección comentando que pareciera ser que hablar de atributos en matemáticas es claro, sencillo y preciso. Sin embargo, al querer estudiar y profundizar en esta noción –dado que es crucial para el estudio-, me he ido encontrando con ideas similares o tan parecidas que aún sigo reflexionando, para dejar claro el concepto de atributo que utilizaré o incluso reconsiderar si lo utilizaré. Ha sido necesario recurrir a buscar 3 nociones previas a la de atributo y estas son: propiedad, características y cualidad. Propiedad: El Diccionario Real de la Academia Española (2010) lo define como: Atributo o cualidad esencial de alguien o algo. Decimos que un objeto (matemático) tiene una propiedad si presenta una característica específica (Soto, 2011 p. 129). Característica: El Diccionario Real de la Academia Española (2010) lo define como: Lo dicho de una cualidad, que da carácter o sirve para distinguir a alguien o algo de sus semejantes. Cualidad: El Diccionario Real de la Academia Española (2010) lo define como: Cada uno de los caracteres, naturales o adquiridos, que distinguen a las personas, a los seres vivos en general o a las cosas. También puede referirse a la manera de ser de alguien o algo. Me doy cuenta que guardan una relación estrecha y que me resultará algo complicado distinguirlas al tratar de identificar los atributos de la función lineal. 2.1 Un primer acercamiento al concepto de atributo

El Diccionario Real de la Academia Española (2010) lo define como: 11

-­‐

Cada una de las cualidades o propiedades de un ser.

-­‐

Una propiedad de un objeto. Algo que se puede decir que el objeto tiene, como tamaño, color, longitud.

En matemáticas, el atributo es una característica para describir un objeto por lo general dentro de un patrón. El atributo se refiere generalmente a la forma, tamaño o color. El término atributo se enseña desde el nivel preescolar. 2.2 Tipos de atributos

Hershkowitz (1990) citado por Guillén Soler (2000) advierte de los siguientes tipos de atributos: •

Atributos críticos (relevantes): Referidos a los atributos que un concepto tiene que tener para ser ejemplo del concepto.

•

Atributos no críticos (no relevantes): Son los atributos que sólo poseen algunos ejemplos.

Asimismo, subraya que hay evidencia de que la construcción de la imagen de un concepto es una mezcla de procesos visuales y analíticos; que el fenómeno prototipo y los juicios prototípicos en su mayor parte son un producto de procesos visuales; y que los atributos irrelevantes generalmente tienen fuertes características visuales y, por lo tanto, se logran primero y actúan como distractores. Considerando lo expuesto por Turégano (2006), en todo ejemplo del concepto es posible encontrar atributos relevantes, las cuales son consideradas como las propiedades que definen como tal al concepto (son útiles para dar la definición) y atributos irrelevantes que son las propiedades no necesarias a ese concepto y que permiten diferenciar unos ejemplos de otros (se utilizan en general para clasificar).

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En el siguiente modelo basado en el estudio hecho por Hershkowitz (1990) y retomado en Turégano (2006) se ejemplifica cómo identifica en un ejemplo y en un contraejemplo lo relevante o irrelevante de un atributo y a qué conduce dicha distinción.

Figura 5. Esquema tomado de Turégano, 2006, p. 36

Lo anterior me ha permitido entender dos elementos: el primero está relacionado con el origen o lugar que le corresponde al concepto de atributo, el cual está colocado o ubicado en la geometría y he considerado trasladarla al objeto función, en este caso función lineal y el segundo, tiene que ver con identificar en cuál de las representaciones de la función lineal voy al mirar el atributo, ya los atributos que me brinda una gráfica es distinto al que me brinda una tabla de valores o una expresión algebraica. Al encontrarme en esta zona, ha sido necesario detenerme y comenzar a explorar las propiedades y características que en la función lineal voy a utilizar para estudiarla y así hacer uso de una idea de atributo que por ahora habremos de entenderla como aquellas propiedades y características que posee un objeto y permiten al reconocerlas definirlo. Lo anterior me conduce a pensar la forma en que haré el abordaje de cada planteamiento y justo se liga con la siguiente sección, en la cual presento el primer acercamiento a la metodología a utilizar.

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Marco metodológico El término curriculum es central para la presentación de este estudio. Es sabido que su introducción y evolución ha sido dinámica y en ese sentido crucial para el desarrollo de amplia investigación en el área educativa así como también en el área de Matemática Educativa. Díaz Barriga (2005) reconoce que el campo de los estudios del currículo sigue siendo uno de los más importantes en México en lo que respecta al ámbito educativo por dos razones: su prolífera producción, y que el curriculum aún es visto como un foco intelectual y organizativo de procesos educativos en las instituciones. Sin embargo, no perdamos de vista que existen distintas miradas de adentrarse al mundo del curriculum que llega a provocar confrontaciones ligeras. Para el caso que me ocupa señalaré que existe intención por parte de los sistemas educativos para adentrarse en busca de nuevos planteamientos para el currículo matemático, no obstante, todavía existe un gran abismo entre lo que llega a plantearse a través de las reformas educativas, lo que el profesor implementa (realmente) en el salón de clases, y lo que el estudiante aprende. Para estudiar y profundizar en este aspecto, se propone retomar a Flanders (1994) quien reporta un estudio en el que aborda el curriculum desde 4 grandes categorías: lo que se propone, lo que se implementa, lo que se logra (o alcanza) y el instrumento con el cual se mide o evalúa. Asímismo se ha contemplado trabajar con el modelo propuesto por Stein, Remillard & Smith (2007) quienes presentan un modelo que además de contemplar lo propuesto por Flanders (1994) consideran las intenciones del profesor (las actividades que planea) en lugar de un instrumento. ¿En qué contexto se desarrollará el estudio? ¿Por qué? ¿Para qué? Mi incorporación al nivel medio superior me ha permitido conocer y entender algunas situaciones que ahí se viven. Parece ser que el objetivo de este nivel es preparar a sus egresados para incorporarse al nivel superior y/o al mercado de trabajo, esto explicaría un 14

poco, su lugar dentro del sistema educativo nacional pero no la imposibilidad de las autoridades por brindar objetivos claros y sustantivos en cada una de las modalidades que se ofrecen. En el caso del nivel medio superior técnico, es considerado por algunos como de segunda clase y reservado para las clases más desfavorecidas; lo cual trasciende y afecta el sentir del estudiante. Actualmente existe una profunda preocupación por los resultados arrojados en la prueba enlace incorporado recientemente, por el escaso ingreso de los estudiantes al nivel superior, y por su poca participación en los distintos concursos que se ofrecen. Algunas de las razones que podrían justificar estos hechos podrían ser la reducción de los contenidos en los programas del campo disciplinar, pues priorizan las de su formación profesional, lo cual también causa sus efectos en la prueba enlace, Además de la formación de los docentes y sus posibles consecuencias al pertenecer a otras áreas e impartir matemáticas. No dejemos de lado el objetivo por el cual nacieron todas las modalidades que actualmente se ofrecen en el NMS (Nivel Medio Superior) y sus resultados para el país. Estos elementos son pieza clave para el desarrollo de la investigación dentro de este nivel, pues abre posibilidades que permiten canalizar mis preguntas hacia la revisión de los planes de estudio implementados y su posible contrastación con las otras modalidades; así como la revisión de los libros propuestos para esta modalidad, además de efectuar una exploración con estudiantes y un análisis de la enseñanza que realizan los profesores. Una idea general de los métodos a utilizar Dos son los grandes conceptos sobre las cuales ahora gira el proyecto de investigación. Por un lado, la aparición y evolución del concepto de currículum, dicha evolución ha sido dinámica y en ese sentido crucial para el desarrollo la investigación tanto en el área educativa como en la Matemática Educativa. Por el otro lado, Birgin (2012) plantea que las funciones lineales se reconocen como una idea compleja, de múltiples facetas cuyo poder y riqueza permean casi todas las áreas de la matemática. Además de que dadas sus diversas aplicaciones en el mundo real, refuerzan la comprensión de temas más avanzados 15

provenientes del Cálculo. En ese sentido se contempla desarrollar un estudio cualitativo, cognitivo y curricular. Para ello, se utilizará el modelo propuesto por Stein, Remillard & Smith (2007) quienes lo plantean desde 4 grandes categorías:

Figura 6. Modelo tomado de Stein, Remillard & Smith (2007, p.322)

Lo que este modelo propone es poner atención en el curriculum escrito, en lo que se planea, lo que se lleva al aula y lo que los estudiantes aprenden. Nótese cómo entre las tres primeras categorías aparecen elementos muy centrados en el profesor, que tienen que ver con sus creencias y conocimiento, su identidad profesional, entre otros. Por otro lado, Flanders (1994), presenta en su modelo un tetraedro que reúne 4 componentes para abordar el curriculum: Lo que se propone, lo que se implementa y lo que se logra. El cuarto componente está referido al instrumento (prueba, test o cuestionario) con el cual se mide a los estudiantes y en el que se incluyen contenidos provenientes tanto de libros de texto como de los programas de estudio.

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Figura 7. Modelo tomado de Flanders (1994, p. 262)

En ese sentido, habrá de reflexionarse con mayor profundidad el rol de cada componente y si será posible focalizar más en uno que en otro, porque quizá el estudio lo requiera, por lo que también se está revisando la idea de curriculum propuesta por Hirsh & Reys (2009). Para ellos, el curriculum es un término utilizado para describir una amplia construcción tanto de lo que la sociedad valora y espera en términos del contenido matemático que puede aprenderse en un sistema escolar, así como de los materiales (libros de texto) organizados por los autores y editores que son utilizados por los profesores para impartir sus clases de matemáticas. Concibo que para estos autores el libro de texto es un elemento central en el análisis del curriculum. Pareciera ser que su idea de curriculum es muy similar a la idea que propone Flanders (1994). Ambos modelos (el de Stein, Remillard & Smith y Flanders) son interesantes, no obstante el primero toca un asunto que en el segundo no se observa, tiene que ver con el curriculum intended y aclaro que no significan lo mismo para cada modelo. Me centraré en las consideraciones que le corresponden de acuerdo con el primer modelo presentado, el cual está referido a las intenciones del profesor, al tipo de actividades que selecciona, a su planeación y en ese sentido considera elementos esenciales del estudiante (o al menos así es como se “piensa ” que se planea, considerando características y necesidades de los alumnos.

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Al pretender adoptar este marco para dar respuestas a las preguntas planteadas en la investigación me inquietan las implicaciones de la cuarta componente, me gustaría centrarme en los tres primeros por ahora. Cabe hacer mención de otros estudios similares identificados por Batanero (2001 citado en Suárez, Téllez y Ortega 2012) quien alude a otros modelos como el que proponen Schimdt y colaboradores (1997), en el que se hace referencia a 4 categorías: un currículo planeado, un currículo potencialmente aplicado, currículo logrado y currículo potencialmente aplicado. Aquí se destaca la cuarta categoría, la cual está referida a la organización de talleres de familiarización con los materiales, las estrategias, comunidades de seguimiento y evaluación para los profesores. Este estudio se proyecta desarrollar en 3 etapas. La primera, incluye hacer una revisión curricular, en el que necesariamente se debe explicitar sus orientaciones e implicaciones. Se pretende clarificar las propiedades y características (atributos) de la función lineal que más se enfatizan en los cursos, el tipo de actividades que se proponen, entre otros. La segunda etapa consta de la observación de algunas clases al interior del aula, se tienen contemplados 3 cursos, no obstante posiblemente se considere solo 1, además de solicitar revisar las planeaciones de los profesores, entrevistarlos. Por ello, se ha contemplado hacer uso del método de investigación denominado estudio de caso para así dar seguimiento y profundizar en las respuestas de los profesores y ganar información en dos direcciones como lo advierte Karsenty (2003) ya que es posible aprender tanto como sea posible de cada caso individual y obtener una posible visión general de todos los casos. Sería pertinente trabajar con un sólo tipo de muestra, es decir que comparten ciertas características, como el caso de los profesores de matemáticas de quinto semestre, ya que es en la materia de Cálculo donde debería explicitarse con mayor claridad un rol especifico de la función lineal. 18

Ahora bien, ¿por qué el estudio de casos? De entrada me identifico con lo que Eisenhart (1989, citado en Martínez 2006 p. 174) propone: […] el estudio de caso contemporáneo como una estrategia de investigación dirigida a comprender las dinámicas presentes en contextos singulares, la cual podría tratarse del estudio de un único caso o de varios casos, combinando distintos métodos para la recogida de evidencia cualitativa y/o cuantitativa con el fin de describir, verificar o generar teoría. La tercera y última etapa tiene que ver con el análisis de lo que el profesor realiza dentro del aula. De hecho, es necesario pensar en un método para organizar, analizar y presentar la información. Consideraciones finales Hasta el momento vislumbro un avance considerable en el proceso de la investigación que me encuentro desarrollando. Por un lado he ido ganando claridad y poco a poco mayor precisión en la conformación de mis preguntas de investigación y por otro, he identificado un marco que abre grandes posibilidades para dar respuesta a mis preguntas de investigación. También el propósito de la investigación, cobra especial relevancia a la luz de lo que estoy presentando por dos razones: la primera tiene que ver con que este estudio pretende dar cuenta de las transformaciones que puede sufrir el curriculum respecto a lo que realiza el profesor y por otro es un estudio que se distinguirá de otros por estudiar el curriculum sólo con un contenido en particular. Si bien es cierto que no es original, pues existen gran cantidad de estudios sobre el curriculum (sobre todo en Estados Unidos), lo es por focalizar en un contenido en específico el de función lineal y por querer dar cuenta del 19

desdoblamiento que sufre ese concepto en un sistema educativo particular, el de los Centros de Bachillerato Tecnológico. Asimismo poco a poco he ido profundizando en el marco conceptual, buscando construir una especie de marco de análisis para estudiar al curriculum desde lo que Stein, Remillard & Smith (2007) proyectan en su modelo. Algunos de los resultados a la luz del avance: - Identificar la posible aportación del estudio en los trabajos desarrollados sobre curriculum. - La incorporación del trabajo del profesor ahora como un componente central en el estudio. - La conformación de un primer acercamiento al marco de análisis de la función lineal. En un siguiente escrito pretendo mostrar ampliamente el derrotero que se sigue en el desarrollo de esta investigación. Referencias bibliográficas Birgin, O. (2012). Investigation of eighth-grade students’ understanding of the slope of the linear function. BOLEMA: Mathematics Education Bulletin, 26(42), 139 – 162. Díaz Barriga, F. (2005). Desarrollo del currículo e innovación. Perfiles Educativos, 27(107), 57 – 84 Díaz, J. L. (2008). El concepto de función. Investigaciones y enseñanza. En E. Rodríguez, S. Sosa, F. Luque, C. Robles y M. Urrea (Eds.), Memorias de la XVIII Semana Regional de Investigación y Docencia en Matemáticas (pp. 35 – 40). Sonora: Mosaicos Matemáticos. Hirsch, C. & Reys, B. (2009). Mathematics curriculum: A vehicle for school improvement. ZDM: Mathematics Education, 41, 749-761. 20

Flanders, J. R. (1994). Textbooks, teachers, and the SIMS test. Journal for Research in Mathematics Education, 25(3), 260-278. Guillén Soler, G. (2000). Sobre el aprendizaje de conceptos geométricos relativos a los sólidos. Ideas Erróneas. Enseñanza de las Ciencias 18 (1), 35 - 53 Jones, M. (2006). Demystifying functions: The historical and pedagogical difficulties of the concept of the function. Undergraduate Math Journal, 7(2), 1-20. Karsenty R. (2003). What do adults remember from their high school mathematics? The case of linear functions, Educational Studies in Mathematics, 51, 117-144. Leinhardt, G., Zaslavsky, O. y Stein, M. M. (1990). Functions, graphs, and graphing: Tasks, learning and teaching. Review of Educational Research, 60(1), 1–64. Martínez, M. P. (2006). El método de estudio de caso. Estrategia metodológica de la investigación científica. Pensamiento & Gestión 20, 165-193. Real Academia Española. (2010). Diccionario de la lengua española. Disponible en: http://www.rae.es/rae.html Turégano, P. (2006). Una interpretación de la formación de conceptos y su aplicación en el aula. Ensayos (21), 35-48. Spivak, M. (1992). Calculus. 2ª edición. México: Reverté Stein, M. K., Remillard, J., Smith, M. S. (2007). How curriculum influences student learning. In F. Lester (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 319-370). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (2001). Precálculo. México: Thomson Editores. Soto, E. (2011). Diccionario ilustrado de conceptos matemáticos. México Suárez, Torres y Ortega (2012). Las matemáticas del Bachillerato en el Instituto Politécnico Nacional. En C. Dolores y M.S. García (Eds), ¿Hacia dónde reorientar el curriculum de matemáticas del bachillerato? (pp. 61–83), México: Universidad Autonoma de Guerrero y Plaza y Valdés

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