Combinatorică Definim 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛 si citim “n factorial “. Deci, 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24. Definim 0! = 1.

Permutări Fie 𝑛 un numar natural. Aranjamentele celor 𝑛 obiecte, se mumese „permutari de n”, pe care le notam cu 𝑃𝑛 Formula de calcul pentru 𝑃𝑛 = 𝑛! Exemplu: 𝑃5 = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

Aranjamente Fie 𝑛 si 𝑘 2 numere naturale, astfel incat 𝑛 ≥ 𝑘. Perechile ordonate formate din 𝑘 elemente din 𝑛, se numesc „aranjamente de 𝑛 luate cate 𝑘”, pe care le notam cu 𝐴𝑘𝑛 Formula de calcul pentru 𝐴𝑘𝑛 =

𝑛! (𝑛−𝑘)!

Exemplu: 𝐴25 =

5! 5! 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = = = 3 ∙ 4 = 12 (5 − 2)! 3! 1∙2∙3

PETCU IRIS-ȘTEFANIA | Combinatorică

Combinări Fie 𝑛 si 𝑘 2 numere naturale, astfel incat 𝑛 ≥ 𝑘. Perechile neordonate formate din 𝑘 elemente din 𝑛, se numesc „combinari de 𝑛 luate cate 𝑘”, pe care le notam cu 𝐶𝑛𝑘 Formula de calcul pentru 𝐶𝑛𝑘 =

𝑛! (𝑛−𝑘)! 𝑘!

Exemplu: 𝐶52 =

5! 5! 1∙2∙3∙4∙5 4∙5 = = = = 10 (5 − 2)! 2! 3! 2! 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 1 ∙ 2 1 ∙ 2

PETCU IRIS-ȘTEFANIA | Combinatorică

Exerciții -Preluate din modele de bac1.

10 𝐶12 =

12! 12! 12 ∙ 11 ∙ 10! 12 ∙ 11 = = = = 66 (12 − 10)! 10! 2! 10! 2 ∙ 10! 2

2.

𝑛 este numărul de elemente al mulțimii 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2

𝐶𝑛2 = 45 𝐶𝑛2 =

(𝑛 − 2)! (𝑛 − 1) 𝑛 𝑛(𝑛 − 1) 𝑛! 𝑛! = = = = 45 (𝑛 − 2)! 2! 2 ∙ (𝑛 − 2)! 2 ∙ (𝑛 − 2)! 2

𝑛(𝑛 − 1) = 45 ∙ 2 = 90 𝑛 = 10

3. 2𝑛 = 32 𝑛=5

PETCU IRIS-ȘTEFANIA | Combinatorică