CÓMO SE USA ESTE LIBRO Una gran imagen y una breve introducción nos presentan la Unidad. Las Cuestiones iniciales son un recordatorio y una preparación para enfrentarnos a los contenidos de una manera segura.

u1

u2

Números reales

unidad 1

unidad 2

Las matemáticas que desarrollaron los griegos nos muestran que ya conocían los números naturales y fraccionarios. Ellos fueron los primeros en descubrir los números irracionales, es decir, aquellos números que no pueden ser expresados a través de una fracción.

Polinomios. Fracciones algebraicas El álgebra es ante todo un lenguaje. Un lenguaje en el que, con pocos símbolos y letras, podemos expresar muchas propiedades. Por eso se dice que es un lenguaje muy conciso. Pero, además, es un lenguaje preciso en cuanto al significado de cada símbolo y a la elección del mismo.

Los árabes usaron estos números en el diseño de elementos de la Alhambra de Granada y la Mezquita de Córdoba, entre otros. En esta última aparece la llamada bóveda cordobesa, que puedes observar en la imagen. En ella está el número cordobés:

El origen del lenguaje con símbolos suele atribuirse a los árabes, y ya aparece en textos escritos del siglo IX. Civilizaciones anteriores (babilónica, egipcia y griega) ya utilizaban letras en la escritura de números, en procedimientos de cálculo y en la resolución de problemas.

1 ᎏᎏ – 兹苶 2 兹2苶

La palabra «álgebra» proviene del título del libro Al-jabr w’al-muqabalah, escrito por Al-Khwarizmi alrededor del año 825 d. C. en Bagdad.

número irracional que es la relación existente entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de este.

cuestiones iniciales 1. Simplifica y expresa el resultado como potencia: ⎡⎛ 1⎞ 3 ⎤ b) ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦

a) 92 · 3–2 · 27

−2

· 25

2. Determina los valores aproximados de

cuestiones iniciales

36 · 28 · 53 93 · 253 · 44

c)

1. Realiza las operaciones que se indican:

0,6 = 0,774 596 6... y

6 = 2,449 489 7... truncando o redondeando: a) A las décimas

b) A las milésimas

c) A las millonésimas

3. La velocidad de la luz es, aproximadamente, 3 · 10 m/s. Calcula el tiempo que tardará en recorrer 300 km.

MAPA CONCEPTUAL

Para ampliar nuestros conocimientos y disfrutar con la lectura, el apartado Lectura recomendada presenta un libro cuyo argumento gira en torno a las matemáticas.

vienen afectadas de

Identidad de polinomios

para igualar polinomios usamos

POLINOMIOS

se hacen

Errores

x 3 + 3x 2 − 4 x 2 − 5x + 4

⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ : x+ b) ⎜ x − ⎝ x + 1⎟⎠ ⎜⎝ x + 1⎟⎠

Cantidades

se obtienen

todos son

Números

b)

x−2 x +1 · x2 − 1 x2 − 4x + 4

a)

MAPA CONCEPTUAL Medir magnitudes

x2 − 1 x2 − 4x + 3

4. Opera y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:

n

se utilizan para

d) (2x2 – 3x + 1)2

a)

11 − 4 6 = 2 2 − 3 5. ¿Para qué valores de n y a se cumple 兹a苶 X ⺢?

NÚMEROS REALES

c) (x2 – 2x)3

3. Simplifica estas fracciones algebraicas:

4. Comprueba la siguiente igualdad elevando al cuadrado ambos miembros:

Al comenzar la Unidad, el cuadro Mapa conceptual nos ofrece un esquema muy útil para organizar los contenidos de la misma.

a) (x4 + 3x2 – 5x + 6) · (2x – 3) b) (2x3 – 5x2 + x) : (x – 3)

2. Calcula el valor de a para que x = 3 sea una raíz del polinomio P (x) = x3 – 2x2 – 4x + a.

8

operaciones

Aproximaciones clases

Suma

se representan en

Aproximaciones decimales

Recta real

Redondeos

Producto

Potencia

División

Truncamientos

la división por (x – a) se hace con la

el cociente de dos polinomios da lugar a

operaciones subconjuntos importantes

Intervalos

Regla de Ruffini

FRACCIONES ALGEBRAICAS Operaciones elementales

Entornos

da lugar al

Teorema del resto y teorema del factor

operaciones

Radicación

se usa en la

Producto y potencia

Suma Radicales equivalentes

Operaciones

Cociente

Descomposición factorial de polinomios

Racionalización de los denominadores

LECTURA RECOMENDADA

LECTURA RECOMENDADA

Hans Magnus Enzensberger nos muestra en El diablo de los números (Ediciones Siruela) el mundo mágico que rodea a los números.

El protagonista de El hombre que calculaba (Veron Editores), Beremir Samir, aparece a un lado del camino que lleva a Bagdad. Allí se encuentra con el narrador de la historia, que trata de las vicisitudes en las que participan ambos personajes, y que muestra el talento del protagonista en el dominio de los problemas numéricos.

Los personajes son un niño, Robert, al que no le gustan las matemáticas porque no las acaba de entender, y un diablillo que se le aparece en sueños y lo conduce por el mágico mundo de los números.

Los desafíos a los que se enfrenta el calculador tienen lugar en el antiguo Irak; y en cada uno de ellos se muestra la sabiduría matemática junto a reflexiones éticas o de justicia que afectan a los distintos problemas.

Las enseñanzas del diablillo a Robert duran doce sueños, y en ellas se van contando anécdotas, conceptos, juegos e historias que muestran cómo todo encaja en el mundo de las matemáticas.

En este relato aprendemos que Beremir Samir, un hombre sabio, no va en busca del poder, sino de la tranquilidad de una vida plena, hablando con los demás, contando historias y buscando un equilibrio real y justo.

Además, el diablillo le muestra situaciones misteriosas que aún están por resolver. Y

Y

A lo largo de las páginas de teoría, el bloque principal de la Unidad, nos encontramos con tablas y cuadros sombreados que resaltan las ideas principales. Los márgenes incluyen textos e imágenes de apoyo y ampliación. La aplicación práctica de los conceptos que vamos estudiando se plasma en las Actividades resueltas.

Unidad 1 Y

12

 Leopold Kronecker (1823-1891)

Números reales

13

1. Números naturales y enteros

2. Números racionales. Potencias

Los números naturales surgen, de forma espontánea, ante la necesidad que tiene el hombre de contar todo cuanto le rodea.

Los números enteros también son insuficientes para resolver otras muchas situaciones, por ejemplo: 5x = 3 Debido a esto surgen los números racionales.

• El conjunto de los números naturales se representa por ⺞ y sus elementos son: ⺞ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Existen numerosas situaciones en las que los números naturales son insuficientes para resolverlas, como:

• El conjunto de los números racionales se representa por ⺡ y está formado por: a ⺡ = ᎏ a, b 僆 ⺪ y b ≠ 0 b

冦

冧

冨

 Representación de números racionales 2 • Representamos 5

• La cronología antes y después de Jesucristo. Los números racionales se representan sobre una recta horizontal de forma análoga a los números enteros, dividiendo cada unidad en tantas partes como indica el denominador, como se muestra en el margen.

• Las temperaturas sobre y bajo cero. • Las soluciones de ecuaciones como: x + 3 = 1.

Al igual que en los números enteros, utilizamos la representación gráfica para comparar números racionales, siguiendo el mismo criterio que en aquellos.

Debido a esto surgen los números enteros.

Fue un gran matemático alemán que trabajó la teoría de números. Pronunció la siguiente frase: «El buen Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre».

• El conjunto de los números enteros se representa por ⺪ y está formado por los números naturales (enteros positivos y cero) y por los números enteros negativos. ⺪ = ⺪– 傼 {0} 傼 ⺪+ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

|a| =

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

a si a ≥ 0 –a si a < 0

a

b

• Un número entero b es mayor que otro número entero a cuando en la representación gráfica b está situado a la derecha de a. Se escribe: b > a

a

b

Un concepto asociado a los números enteros es el de valor absoluto, que es el número natural que resulta de suprimir el signo + o – que precede al número entero.

0

1

2

3

4

7 3

0

n

–n

• Si el exponente es entero negativo:

a < b

n n

...

• Un número entero a es menor que otro número entero b cuando en la representación gráfica a está situado a la izquierda de b. Se escribe:

( ab ) = ba ( ab ) = 1 ( ab ) = ( ba ) = ba n

Utilizamos la representación gráfica para comparar números enteros. Valor absoluto de un número entero La definición de valor absoluto, simbólicamente, se puede escribir:

7 3

4

• Si el exponente es cero:



• Representamos

( 25 ) = 25 · 25 · 25 · 25 = 25 ·· 25 ·· 25 ·· 25 = 25

• La potencia de base un número racional, a , y exponente entero se deb fine por: • Si el exponente es entero positivo:

...

2

1 2 5

El concepto de potencia de base un número racional y exponente natural es el mismo que el de base un número entero y exponente natural, ya conocido: 4

Los números enteros se representan sobre una recta horizontal en la cual fijamos el origen, que designamos 0, y a partir de este colocamos sucesivamente un segmento, que tomamos como unidad, a la derecha del cero, dando lugar a los enteros positivos, y a la izquierda del cero, dando lugar a los enteros negativos:

0

2.1. Potencias de números racionales

n n

Estas potencias tienen las mismas propiedades que las potencias de base un número entero: 1)

( ab ) = ab

3)

( ab ) : ( ab ) = ( ab )

5)

[( ab ) · ( dc )] = ( ab ) · ( dc )

2)

( ab ) · ( ab ) = ( ab )

4)

[( ab ) ] = ( ab )

6)

[( ab ) : ( dc )] = ( ab ) : ( dc )

n

1

n

m

n

n m

n–m

n

m

n

n+m

n·m

n

n

n

Y

1B Matematicas aplicadas CCSS I - primeras_1B_MAT_OPC_A_PRIMERAS.qxd 27/04/15 09:39 Página 7

IMPORTANTE Todas las actividades propuestas en este libro deben realizarse en un cuaderno de trabajo, nunca en el propio libro.

La sección Resolución de problemas nos muestra pautas, estrategias y modelos para resolver problemas. A partir del protocolo de resolución de un problema ponemos en práctica los pasos a seguir y la estrategia a utilizar. Para practicar estas técnicas, se incluyen varias Actividades.

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Unidad 1 Y

26

Números reales

27

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Un triángulo en un cuadrado A

D

¿Qué es un problema?

En el cuadrado ABCD dibujamos un punto P como indica la figura. ¿Cómo te parece que es el triángulo APD?

FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA Se trata de conseguir tener una idea clara sobre el problema en cuanto a datos, incógnitas, relaciones, etc. La idea clave de esta fase es: antes de hacer, tratar de entender. Esta fase está clara en el problema que nos ocupa y se percibe sin dificultad lo que el problema enuncia y pide.

P 15°

15°

C

Una vez que nos hemos familiarizado con el problema, buscamos las estrategias que nos permiten resolverlo. En nuestro problema las estrategias que se nos ocurren son: resolución por trigonometría, resolución por métodos analíticos y resolución por medio de simetrías del cuadrado y de la figura propuesta.

LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA

A lo largo del texto se ha tenido muy presente la utilidad de las tecnologías en el aprendizaje de las matemáticas. Se han desarrollado las herramientas de la calculadora científica en los márgenes de las páginas de varias unidades.

A

D

A la vista de las estrategias que hemos encontrado, llevamos adelante la que nos parece más oportuna y directa, sin descartar las otras, pues ellas pueden resultar útiles en caso de fallar la elegida. En nuestro problema vamos a seguir la tercera estrategia puesto que, por la experiencia acumulada, sabemos que los procedimientos geométricos suelen ser más sencillos y más elegantes que los analíticos. Comenzamos por dibujar en cada lado del cuadrado un triángulo isósceles, como el de la figura verde en el dibujo adjunto. De forma sencilla, obtenemos los valores de los ángulos que se señalan en el dibujo y que corresponden a los ángulos de los 4 triángulos isósceles, de los 4 triángulos equiláteros y del cuadrado, figuras estas que componen el cuadrado inicial dado.

90°

T 60°

P B

150°

15°

C

Las principales características que debe reunir un problema son: • Suponer un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo. • Atraer por sí mismo, aunque no tenga utilidad.

BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS

B

recetas que te facilitarán su resolución en poco tiempo. Estas recetas son las que diferencian un problema de un ejercicio. Podemos, pues, concluir que un ejercicio es una tarea en la que de antemano se percibe en qué consiste y cuál es el medio para resolverla.

Un problema matemático es una situación que plantea una meta a conseguir. Para llegar a esta hay que superar numerosos obstáculos. Resolver un problema, o intentarlo, requiere una toma de decisiones por parte de quien lo afronta, ya que no conoce ninguna receta o procedimiento para resolverlo.

A partir de este dibujo, podemos razonar como sigue: el triángulo ATP es igual que el triángulo BPC, ya que tienen dos lados iguales (AT = BP y TP = PC) e igual que el ángulo comprendido, cuyo valor común es de 150°; de la igualdad de estos dos triángulos obtenemos que AP = BC. Por la simetría de la figura podemos establecer que: AP = PD = AD, de lo que se sigue que el triángulo APD es equilátero.

• No ha de plantear un bloqueo inicial a la persona que lo intente resolver. • Proporcionar satisfacción al intentar resolverlo. • Hacer nacer el deseo, en quien intenta resolverlo, de proponerlo a los demás. Puedes observar que la tarea planteada en la página anterior es realmente un problema, pues cumple con las características que lo definen. Esta misma tarea, que en estos momentos es para ti un problema, se convertirá en ejercicio en cuanto amplíes tus conocimientos sobre trigonometría. En ese estadio poseerás

BIBLIOGRAFÍA Las ideas, textos y enunciados de los problemas que aparecen en los apartados que llevan por título Resolución de problemas, están tomados de los siguientes libros o revistas: – CALLEJO, M. L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea. Madrid. – CERO, Grupo (1984). De 12 a 16. Un proyecto de currículum de Matemáticas. Edición propia. Valencia. – FERNÁNDEZ, S.; ALAYO, F.; BASARRATE, A.; FOUZ, F. (1991). Revista Sigma n.º 10. Servicio Central de Publicaciones del Gobierno Vasco. Bilbao. – GARDNER, M. Varios títulos. Labor y Alianza. – GUZMÁN, M. de (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona. – MASON, J.; BURTON, L. STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Labor-MEC. Barcelona. – WOOD, L. E. (1987). Estrategias de pensamiento. Labor. Barcelona.

A C T I V I D A D E S

REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL

䊏 Clasifica las siguientes tareas en problemas o ejercicios e intenta resolverlas:

Tanto si hemos resuelto el problema como si no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes que nos han surgido en el camino seguido. Si nos es posible, resulta conveniente trasladar las ideas que hemos tenido a otras situaciones, modificar el problema, generalizarlo, etc. Ante el problema que hemos resuelto, se nos ocurren las ideas siguientes: ¿qué sucede si trazamos triángulos con ángulos mayores o menores de 15°?, ¿y qué pasa si dividimos otro polígono regular en vez de un cuadrado?

1. Sumas. Considera la serie de números pares 2, 4, 6, 8, etc. ¿Cuánto vale la suma de los m primeros? 2. El camello sediento. El beduino Ali-kan desea transportar 100 bidones llenos de agua desde Kamal hasta Wadi, pueblos separados por 100 km de desierto. Para ello, dispone de un camello capaz de andar descargado indefinidamente, o, de cargar con un solo bidón, siempre y cuando beba una cantidad de agua igual a la que contiene el bidón cada vez que completa 100 km cargado. El beduino no dispone de más agua para el camello que la contenida en los bidones. ¿Cuántos de estos 100 bidones podrán llegar a Wadi?

Y

Unidad 1 Y

28

NUEVAS TECNOLOGÍAS Aritmética con Wiris Wiris es un programa, de software libre, que permite trabajar aspectos de aritmética, álgebra, geometría y cálculo. Trabajamos con el menú Operaciones que contiene paréntesis, corchetes, potencias, fracciones y raíces, entre otros elementos.

PASO DE DECIMAL A FRACCIÓN O DE FRACCIÓN A DECIMAL Expresamos los siguientes números decimales en fracción y las fracciones en decimal: 72 7 a) 12,35 b) c) 0,14 d) 13 9 a) Escribimos racional (12.35), con el número decimal con punto, nunca con coma, y pulsando obtenemos la fracción buscada. )

En el apartado Nuevas tecnologías se han descrito diferentes herramientas informáticas, como la calculadora gráfica y programas de software libre, como Funciones para Windows, GeoGebra y Wiris. Además, puedes descargarte las app de Matemáticas de Editex, te servirán de gran ayuda para trabajar los ejercicios. Para descargarte estas aplicaciones, regístrate en la zona de usuarios en introduciendo el código MATB1-2015.

Las Actividades finales incluyen ejercicios y problemas fundamentales para entender y dominar los contenidos teóricos tratados así como para trabajar las competencias.

b) y d) Introducimos la fracción dada mediante el operador

o bien mediante /.

Como queremos la solución en forma decimal, ponemos un punto al final del número del numerador o del denominador. c) El número decimal periódico lo introducimos mediante el paso a fracción ya conocido. Si queremos la solución con un número determinado de cifras decimales comenzamos escribiendo precisión(n) y nos da la solución con n ≤ 15 cifras significativas. En la imagen adjunta podemos ver las soluciones buscadas.

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Efectuamos las siguientes operaciones: 1 1 – ᎏᎏ 3 a) —————— 1 1+ᎏ 1 1 – ᎏᎏ 3

b) (5,12 · 103) [(2,93 · 10–2) – (6,78 · 10–4)]

a) Escribimos la fracción, y pulsando

obtenemos la solución.

b) Introducimos la expresión usando los paréntesis, corchetes, potencias y las operaciones correspondientes del menú Operaciones y obtenemos el resultado que vemos en la imagen:

Unidad 1 Y

30

Números reales

33

ACTIVIDADES FINALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS

AUTOEVALUACIÓN 3 4 3 7 1. El resultado de operar ⎜⎛ + ⎟⎞ : ⎜⎛ 2 − · ⎟⎞ expresado como fracción irreducible es: ⎝ 5 9⎠ ⎝ 5 9⎠

1. Ordena de mayor a menor los siguientes números: 0,5; –0,4; 24; –3,2; 0; –30; 284. 2. Efectúa los siguientes cálculos haciendo uso de la jerarquía de las operaciones: a) 9 – 4 · (–6) + 5 – 7 · (–4 + 9) b) 6 · 42 – (–3)3 + [5 – (7 – 5)2]

a) − 4 9

c) (–5)2 – 52 + 4 · (–3)2

b) 47 69

c) 23 45

3. Efectúa las siguientes operaciones simplificando el resultado lo máximo posible: a)

Para finalizar la Unidad se plantea una Autoevaluación con ejercicios tipo test con el fin de comprobar si se han adquirido los conocimientos y procedimientos descritos en la Unidad. Las soluciones de estas autoevaluaciones se encuentran al final del libro.

2 3 3 − + −3 3 5 4

3 2 b) ⎜⎛ 3 − ⎟⎞ · 2 − 3 + ⎝ 2⎠ 3

1 3 5 3 d) ⎜⎛ 3 − ⎟⎞ · ⎜⎛ 2 − ⎟⎞ : ⎜⎛ + ⎟⎞ ⎝ 4⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 2 4⎠

1 f) 2 − 2 : ⎜⎛ 2 − ⎟⎞ ⎝ 4⎠

3. El intervalo resultante de la intersección (–∞, 5) ∩ [2, 6) es: a) [2, 6) b) [5, 6)

c) [2, 5)

4. Efectúa y da el resultado en forma de potencia de exponente natural: ⎡⎛ 2 ⎞ 3 ⎤ a) ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ 3

−2

3

1⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ c) ⎜ 2 − ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠

−2

5

4

⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ e) ⎜ ⎟ : ⎜ − ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠

4. El resultado de operar 6 8 − 3 27 − 2 72 + 2 75 es:

3

a) 0 5

2 2 2 b) ⎛⎜ ⎞⎟ : ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

0

⎡ 2 −4 3 3 3 6⎤ d) ⎢⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ : ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 3 ⎠

2

8

6 6 f) ⎛⎜ ⎞⎟ · ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 5⎠

−5

⎛ 5⎞ :⎜ ⎟ ⎝ 6⎠

a)

28 126

b) −

36 225

c)

73 63

42 528

e)

c)

2

5. Si racionalizamos el denominador de la fracción a) 3 + 2 3

d)

b)

3

3

5. ¿Qué tipo de decimal genera cada uno de los racionales siguientes?

6 48 − 6

, obtenemos:

b) 2 + 3 3

c) 2 + 3 2

2 145 2 100

6. Expresa cada decimal en forma de fracción, opera y convierte el resultado final en número decimal:         a) 3,1 + 5,21 + 2,8 b) (5,4 − 3,42) · 2,7 c) 6,14 : 3,4 · 2,44 d) 12,5 + 3,78 : 1,4 7. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales: a) 323,25 b) 0,372151515… c) 0,021333…

d) 37,34 334 3334 33334…

3 de los be5 2 de los que quedan y el tercer socio, el resto. ¿Qué cantidad corresponde a cada socio? 3

8. Una empresa reparte 15 000 euros de beneficios anuales entre sus tres socios. El primer socio recibe los neficios; el segundo socio, los

Cada unidad concluye con una propuesta de Proyecto de investigación. Al comienzo de cada bloque pueden encontrarse pautas para la realización de los proyectos citados.

  2. Expresamos cada decimal como fracción y operamos 4,2 − 3,24 + 1,7 ; el resultado en fracción irreducible es:   a) 2,67 b) 2,76 c) 2,67

2 3⎞ ⎛ e) 3 + 2 · ⎜ 1 − · ⎟ ⎝ 5 2⎠

2 3 3 : · 3 5 4

c)

9. Un alumno tarda en pasar un trabajo a ordenador 12 horas, un segundo alumno tarda en pasar el mismo trabajo 8 h. El primer alumno trabaja durante 4 h y deja el resto del trabajo para el segundo. ¿Cuánto tiempo tardará este en finalizarlo? 10. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla y complétala: – 49 Menor conjunto numérico al que pertenece

23,5

0

11

2,13

–

1,4 0,5

23 3

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN Contando cuadrados Vamos a contar cuadrados sobre cuadrículas de puntos. a) ¿Cuántos cuadrados se pueden dibujar de manera que tengan sus vértices sobre los puntos de la cuadrícula 3 × 3 del dibujo? b) ¿Cuántos tipos diferentes de cuadrados se pueden dibujar sobre la citada cuadrícula? c) ¿Cuántos cuadrados y de cuántos tipos diferentes se pueden dibujar sobre una cuadrícula de 4 × 4 puntos? d) Intenta encontrar alguna regularidad repitiendo la situación anterior para las cuadrículas 5 × 5 y 6 × 6. Calcula cuántos cuadrados y de cuántos tipos podremos dibujar en una cuadrícula de 8 × 8 puntos.

–42

3

–27

5

e) ¿Cuántos cuadrados se podrían dibujar sobre una cuadrícula de dimensión n × n? Nos gustaría investigar cuántos triángulos y de cuántos tipos se pueden trazar sobre las mismas cuadrículas. ¿Te atreverías a contar segmentos, rectángulos…? Y si las cuadrículas son de dimensiones m × n, ¿cuántos cuadrados, triángulos, segmentos, rectángulos… se pueden dibujar?

Z

Y

Bloque I: Números y álgebra

8

Radicales cuadráticos 105 mm 210 mm 841 mm

1

420 mm

A8

A7 A6

148 mm

74 mm

A4

297 mm

A5

A2 A3 A0

594 mm

El número 2 aparece al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1. Es el primer número que los griegos no pudieron expresar como una fracción, surgiendo así una nueva clase de números llamados «irracionales».

52 mm

1189 mm

Los números radicales cuadráticos de la forma n aparecen por primera vez en problemas geométricos, pero pronto multiplicaron sus apariciones. Asomaron junto a un nuevo descubrimiento matemático que suponía un nuevo problema a resolver: las ecuaciones de segundo y tercer grado. Los métodos de resolución de estas dieron lugar al álgebra.

A1

2 1

En el dibujo se pueden ver cuatro cuadrados de lado 1 que, juntos, forman un cuadrado de lado 2. Al unir los puntos medios de los lados de este último cuadrado obtenemos un cuadrado interior (sombreado) de área 2. Como el lado del cuadrado interior multiplicado por sí mismo debe valer 2, obtenemos así la raíz cuadrada de 2. 1 La raíz cuadrada de 2 aparece en el número de2− 2 nominado «proporción cordobesa» por su reiterada aparición en algunos elementos de los monumentos de la ciudad de Córdoba. Se muestra como la razón entre el radio de una circunferencia y el lado del octógono inscrito en ella. También podemos encontrar la raíz cuadrada de 2 en los formatos de papel DIN A, estos van desde A0, con un metro cuadrado de superficie, hasta A8, que es un poco mayor que una tarjeta de visita. La medida del lado grande de A0 es igual a la del pequeño por 2 , y así sucesivamente.

Todas las raíces cuadradas están ligadas a longitudes o proporciones de figuras geométricas. Encontramos 3 en el triángulo equilátero y en el hexágono regular. También están presentes en poliedros de todo tipo, en las longitudes de sus diagonales, alturas y proyecciones. El arte y el diseño también recogen las raíces cuadradas. La raíz cuadrada de 3 aparece en el característico arco gótico y en el triángulo de Reuleaux. La raíz cuadrada de 5 la podemos encontrar en pentágonos y decágonos, formando parte del número áureo: 1+ 5 ≈ 1,618... 2 Todos ellos los podemos ver en la espiral de Teodoro que se muestra en el dibujo. ϕ=

1

1

1

1

Otro lugar donde aparece la raíz cuadrada de 2 es en los números f, llamados así en fotografía, y que determinan la apertura manual de los objetivos de las cámaras fotográficas.

4 5

1

1

6

3 2 1

7 8

1

Proyecto de investigación

9

¿Qué es un proyecto de investigación matemática? Un proyecto de investigación matemática es un conjunto de problemas matemáticos sobre un tema específico. También puede definirse como una actividad que recoge situaciones a partir de contextos de la realidad o contextos del mundo de las matemáticas. Requiere la exploración, la consideración de casos especiales, el pensamiento inductivo, la generalización, la propuesta de conjeturas, su prueba o refutación y el planteamiento de nuevos problemas originales extraídos del problema inicial. El objetivo principal de una investigación es el aprendizaje de dos habilidades: la habilidad investigadora y la habilidad de comunicar por escrito y oralmente los resultados obtenidos. Las principales características que debe reunir un proyecto de investigación matemática son: • Impone un reto adecuado a la capacidad de quien intenta realizarlo y su solución no se obtiene de forma rutinaria o mecánica. • Trabaja situaciones problemáticas, aptas para ser matematizadas, en cuya resolución se requieren diferentes estrategias y destrezas matemáticas. • Hay que planificar adecuadamente el proceso de investigación: tomar decisiones, seguir estrategias, buscar información, establecer resultados y contrastarlos, fijar las conclusiones, describir las fuentes de información, etc.

• Exige elaborar un informe en el que se exponga el proceso seguido, los resultados obtenidos, las conclusiones a las que se llegan y las fuentes consultadas. Para ello usaremos diferentes tipos de lenguajes: algebraico, gráfico, geométrico, estadístico, etc. • Proporciona al autor libertad y autonomía para explorar, tantear, imaginar, simular, buscar conexiones, relacionar, analizar, generalizar, reflexionar y sacar conclusiones. • Permite que el autor sea el protagonista principal del proceso y le proporciona alegrías y satisfacciones en los avances parciales o en la superación de retos que aparecen a lo largo del proceso.

Requiere buscar conexiones entre la realidad y el mundo de las matemáticas: historia de la humanidad e historia de las matemáticas, arte y matemáticas, tecnología y matemáticas, economía y matemáticas, ciencias naturales y matemáticas, etc. • Permite establecer conexiones entre ámbitos matemáticos distintos: finitos e infinitos, numéricos y geométricos, geométricos y funcionales, discretos y continuos, etc.

Bibliografía DE LA FUENTE, C. (2013). «De la resolución de problemas a las investigaciones matemáticas». Revista UNO n.º 64. Graó. Barcelona. ESPOT, M. R. (2009). «Cómo se hace un trabajo de investigación en Bachillerato». . [Con acceso el 25 de abril de 2014].

Y

u1 unidad 1

Números reales Las matemáticas que desarrollaron los griegos nos muestran que ya conocían los números naturales y fraccionarios. Ellos fueron los primeros en descubrir los números irracionales, es decir, aquellos números que no pueden ser expresados a través de una fracción. Los árabes usaron estos números en el diseño de elementos de la Alhambra de Granada y la Mezquita de Córdoba, entre otros. En esta última aparece la llamada bóveda cordobesa, que puedes observar en la imagen. En ella está el número cordobés: 1 ᎏᎏ –  2 2 número irracional que es la relación existente entre el radio de la circunferencia circunscrita al octógono regular y el lado de este.

cuestiones iniciales 1. Simplifica y expresa el resultado como potencia: 2

–2

a) 9 · 3 · 27

⎡⎛ 1⎞ 3 ⎤ b) ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 5 ⎠ ⎥⎦

−2

· 25

2. Determina los valores aproximados de

c)

36 · 28 · 53 93 · 253 · 44

0,6 = 0,774 596 6... y

6 = 2,449 489 7... truncando o redondeando: a) A las décimas

b) A las milésimas

c) A las millonésimas

3. La velocidad de la luz es, aproximadamente, 3 · 108 m/s. Calcula el tiempo que tardará en recorrer 300 km. 4. Comprueba la siguiente igualdad elevando al cuadrado ambos miembros: 11 − 4 6 = 2 2 − 3 n

5. ¿Para qué valores de n y a se cumple a X ⺢?

MAPA CONCEPTUAL NÚMEROS REALES

se utilizan para

Medir magnitudes

Cantidades

se obtienen

se hacen

todos son

Números

Errores

vienen afectadas de

Aproximaciones clases

se representan en

Aproximaciones decimales

Recta real

Redondeos

Truncamientos

operaciones subconjuntos importantes

Intervalos

Entornos

Operaciones elementales

Radicales equivalentes

Radicación

Operaciones

Racionalización de los denominadores

LECTURA RECOMENDADA Hans Magnus Enzensberger nos muestra en El diablo de los números (Ediciones Siruela) el mundo mágico que rodea a los números. Los personajes son un niño, Robert, al que no le gustan las matemáticas porque no las acaba de entender, y un diablillo que se le aparece en sueños y lo conduce por el mágico mundo de los números. Las enseñanzas del diablillo a Robert duran doce sueños, y en ellas se van contando anécdotas, conceptos, juegos e historias que muestran cómo todo encaja en el mundo de las matemáticas. Además, el diablillo le muestra situaciones misteriosas que aún están por resolver. Y

Unidad 1

12

1. Números naturales y enteros  Leopold Kronecker (1823-1891)

Los números naturales surgen, de forma espontánea, ante la necesidad que tiene el hombre de contar todo cuanto le rodea. • El conjunto de los números naturales se representa por ⺞ y sus elementos son: ⺞ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} Existen numerosas situaciones en las que los números naturales son insuficientes para resolverlas, como: • La cronología antes y después de Jesucristo. • Las temperaturas sobre y bajo cero. • Las soluciones de ecuaciones como: x + 3 = 1. Debido a esto surgen los números enteros.

Fue un gran matemático alemán que trabajó la teoría de números. Pronunció la siguiente frase: «El buen Dios creó los números naturales, todo lo demás es obra del hombre».

• El conjunto de los números enteros se representa por ⺪ y está formado por los números naturales (enteros positivos y cero) y por los números enteros negativos. ⺪ = ⺪– 傼 {0} 傼 ⺪+ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

Los números enteros se representan sobre una recta horizontal en la cual fijamos el origen, que designamos 0, y a partir de este colocamos sucesivamente un segmento, que tomamos como unidad, a la derecha del cero, dando lugar a los enteros positivos, y a la izquierda del cero, dando lugar a los enteros negativos:

...



–3

–2

–1

0

1

2

3

...

Utilizamos la representación gráfica para comparar números enteros. Valor absoluto de un número entero La definición de valor absoluto, simbólicamente, se puede escribir: |a| =

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

a si

a≥0

–a si

a a

a

b

Un concepto asociado a los números enteros es el de valor absoluto, que es el número natural que resulta de suprimir el signo + o – que precede al número entero.

Y

Números reales

13

2. Números racionales. Potencias Los números enteros también son insuficientes para resolver otras muchas situaciones, por ejemplo: 5x = 3 Debido a esto surgen los números racionales. • El conjunto de los números racionales se representa por ⺡ y está formado por: a ⺡ = ᎏ a, b 僆 ⺪ y b ≠ 0 b

冦

冧

冨

 Representación de números racionales 2 • Representamos 5

Los números racionales se representan sobre una recta horizontal de forma análoga a los números enteros, dividiendo cada unidad en tantas partes como indica el denominador, como se muestra en el margen. Al igual que en los números enteros, utilizamos la representación gráfica para comparar números racionales, siguiendo el mismo criterio que en aquellos.

0

El concepto de potencia de base un número racional y exponente natural es el mismo que el de base un número entero y exponente natural, ya conocido:

( )

4

=

2

2 5

2.1. Potencias de números racionales

2 5

1

• Representamos

7 3

4 2 2 2 2 2·2·2·2 · · · = = 24 5 5 5 5 5·5·5·5 5

• La potencia de base un número racional, a , y exponente entero se deb fine por:

( ) ( ) ( ) ( )

• Si el exponente es entero positivo: • Si el exponente es cero: • Si el exponente es entero negativo:

a b

n

a b

0

a b

–n

an bn

=

0

1

2

3

4

7 3

=1

n

b a

=

n = bn a

Estas potencias tienen las mismas propiedades que las potencias de base un número entero: 1)

( )

3)

( ) ( ) ( )

5)

[( ) ( )] ( ) ( )

a b a b

1

=

n

:

a b a b

a c · b d

m

=

n

=

a b

a b

2)

( ) ( ) ( )

4)

[( ) ] ( )

6)

[( ) ( )] ( ) ( )

n–m

n

·

c d

n

a b

a b

n

·

a b

n m

=

c a : d b

m

a b

=

a b

n

=

n+m

n·m

a b

n

:

c d

n

Y

Unidad 1

14

3. Relaciones entre los números racionales y decimales  Conversión de racional a decimal

[

]

•

131 20 = 22 · 5 = 6,55 20 d. exacto

•

514 257 9 = 32 = 28,5 = 18 9 d. p. puro

•

68 55 = 5 · 11 272 = 1,236 = 220 55 d. p. mixto

]

]

(

[

Cualquier número racional se puede escribir como un número entero, un decimal exacto o un decimal periódico puro o periódico mixto sin más que dividir numerador entre denominador.

(

[

Como recordarás del curso pasado, entre los números racionales y los decimales existe una estrecha relación.

• Un número racional m (m y n primos entre sí) se convierte en: n • Decimal exacto si los únicos factores primos que tiene el denominador son 2 o 5. • Decimal periódico puro si entre los factores primos del denominador no se encuentra ni el 2 ni el 5. • Decimal periódico mixto si entre los factores primos del denominador se encuentra el 2 o el 5 y algún otro.

 Conversión de decimal a racional • 6,55 = (

• 28,5 =

655 131 = 100 20

De todo lo anterior deducimos la siguiente propiedad:

285 – 28 257 = 9 9

(

• 1,236 =

Análogamente, cualquier número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto se puede expresar como un número racional, como puedes ver en el margen.

• El conjunto de los números racionales equivale al conjunto formado por los números enteros, los decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos.

1 236 – 12 68 = 990 55

decimales decimales ⺡ = enteros 傼 decimales 傼 periódicos 傼 periódicos exactos

 



 

puros

 

mixtos



ACTIVIDADES RESUELTAS 1. En una determinada ciudad se han contabilizado al final del año 4 250 vehículos, parte de los cuales han sido adquiridos durante ese año. De los no adquiridos durante ese año el 54,545454...% son coches y el 10,2777...% motocicletas. ¿Cuántos vehículos se adquirieron ese año? Convertimos los decimales dados en fracciones:

(

•

54,545454... 100

=

54,54 100

=

5 454 – 54 9 900

=

6 11

•

10,27 100

=

1 027 – 102 9 000

=

37 360

Por tanto, el número de vehículos no adquiridos ese año ha de ser múltiplo de 11 y de 360 y menor de 4 250. El número más pequeño que lo verifica es mcm (11,360) = 3 960, con lo que ese año se adquirieron 4 250 – 3 960 = 290 vehículos.

Y

Números reales

15

4. Números irracionales Según hemos visto, los números racionales coinciden con los números enteros, los decimales exactos y los decimales periódicos. Sin embargo, existen números decimales con infinitas cifras decimales, y que no son periódicos, como, por ejemplo: • 2,010010001…

 Godefroy Harold Hardy (1877-1947)

• 427,232233222333…

A estos números los llamamos irracionales. • El conjunto de los números irracionales, ⺙, está formado por aquellos números que, cuando los expresamos en forma decimal, aparecen infinitas cifras decimales, pero no son periódicos. Los números irracionales, por tanto, no se pueden expresar en forma de fracción. Algunos de los números irracionales más conocidos o más importantes son: • El número p. Es el primer número irracional que manejamos.

π = 3,14159265... • El número 2 , que aparece al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1.

Matemático inglés, recoge en su libro Autojustificación de un matemático dos famosos teoremas de la matemática griega clásica. El primero de ellos afirma que existen infinitos números primos y el segundo afirma que 2  es irracional. A

2 = 1,41421356... 3

También son irracionales 3, 5, 7, 2, etc. • El número de oro F (número áureo), que aparece como razón entre la diagonal de un pentágono regular y su lado. 1 + 5 F = ᎏᎏ = 1,61803398… 2

B

C

F=

AC AB

Y

Este número aparece como razón entre los lados del «rectángulo áureo». Para los antiguos griegos este rectángulo representaba «la armonía».

( )

1 y= 1+— x

• El número e aparece en múltiples procesos biológicos, químicos, físicos, etc. Es el número al que tiende la función que figura en el margen cuando x tiende a + ∞ o – ∞ .

x

e

+1

e = 2,71828182845904...

–1

0

X

Y

Unidad 1

16

5. Números reales. Representación El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el conjunto de los números reales, y se denotan por la letra mayúscula ⺢.

冦

冧 冦

冧

números números ⺢ = racionales q irracionales =⺡q⺙

A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.

Enteros ⺪

Enteros positivos ⺪ Cero 0

+

Enteros negativos ⺪

Racionales ⺡

Reales ⺢ Decimales

Naturales ⺞ –

Decimales exactos Decimales periódicos

Irracionales ⺙

En los epígrafes anteriores hemos representado sobre la recta los números naturales, enteros y racionales. Los puntos de la recta que no están ocupados por números racionales son ocupados por los números irracionales hasta llenar todos los huecos. • Los números reales llenan por completo la recta, de ahí que la llamemos recta real. • Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un número real, y a cada número real le corresponde un punto de la recta.

5.1. Representación

 Representación en la recta real del número de oro F

Ya sabemos representar en la recta números naturales, enteros y racionales. Nos quedarían por representar los números irracionales. Vamos a representar, solamente, los números irracionales de la forma √n con n natural. Estos números se pueden representar en la recta real mediante procedimientos geométricos que se basan en el teorema de Pitágoras, como podemos ver a continuación.

5

2

3

0

1

2 F = 1+ 5

2

3

4

1

1+ 5

–1

0

1

2

3

2

5

6

Los restantes números irracionales se representan en la recta real, de forma aproximada, mediante sus aproximaciones decimales.

Y

Números reales

17

6. Conjuntos en la recta real Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos, entre los que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen gran importancia en el estudio de las funciones. Su definición está basada en la relación de orden de los números reales. • Un número real a es menor o igual que otro número real b cuando en la recta real a está a la izquierda de b o superpuesto con él. Simbólica y gráficamente: a ≤ b ⇔ ———— o ———— a b a = b

 Unión de dos conjuntos A q B es el conjunto formado por todos los elementos de A y de B. Intersección de dos conjuntos A Q B es el conjunto formado por los elementos comunes de A y de B. A

B A

B

El símbolo ⇔ se lee «sí y solo si» e indica equivalencia. A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.

A q B A Q B

CONJUNTOS EN LA RECTA REAL SUBCONJUNTO

SÍMBOLO

Intervalo abierto

(a, b)

Intervalo cerrado

Intervalo semiabierto o semicerrado

DEFINICIÓN (a, b) = {x Z ⺢ | a < x < b} El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

a

b

a

b

[a, b] = {x Z ⺢ | a ≤ x ≤ b} [a, b]

El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b e incluidos estos.

[a, b)

[a, b) = {x Z ⺢ | a ≤ x < b}

(a, b]

(a, b] = {x Z ⺢ | a < x ≤ b}

a

b

r

E(a, r) = (a – r, a + r) = {x Z ⺢ | |x – a| < r}

r

Entorno simétrico

E (a, r)

El entorno simétrico de centro a y radio r positivo es el intervalo abierto de extremos a – r y a + r.

a–r

a

a+r

Entorno reducido

E *(a, r)

E*(a, r) = E(a, r) – {a}

a–r

a

a+r

Entorno lateral a la izquierda

E (a, r)

–

E –(a, r) = (a – r, a)

a–r

a

Entorno lateral a la derecha

E (a, r)

+

E +(a, r) = (a, a + r)

a

a+r

Y

Unidad 1

18

7. Aproximaciones decimales  El número p Existe un poema de Manuel Golmayo que permite recordar las 20 primeras cifras de π, contando el número de letras de cada palabra: «Soy y seré a todos definible 3 1

4

1

5

9

Los números irracionales y los números decimales periódicos tienen infinitas cifras decimales, por lo cual, para trabajar con ellos, necesitamos utilizar aproximaciones de los mismos. El número irracional π es:

π = 3,14159265358979323846... por lo que podemos considerar las siguientes desigualdades: 3 2 o c > –3} b) B = {b ∈ R | b < 0 y b > –7} d) D = (–1, 4] ∩ (0, 3)

e) E (5, 2) f) F = (–∞, –5]

13. Escribe cada uno de los siguientes conjuntos en forma simbólica y de intervalo cuando sea posible. a)

c)

–1

b)

– 10

–6

d)

12

–4

–3

3

–1

1

5

3

5

14. Dado el número 1 724,157203…, indica cuáles de las aproximaciones decimales del número son redondeos. En los casos en que lo sean, anota la cota de error. 1 725

1 724,16

1 724,2

1 724,1

15. Arquímedes llegó a determinar que el valor de π cumple que

1 720

1 724,158

1 724,1 572

223 22 . Calcula, aproximadamente, el error abso