Cap´ıtulo 5

Compacidad y densidad en C(X, Y )

1.

El teorema de Arzel` a-Ascoli

En esta secci´ on clasificaremos los subespacios compactos de CA (X, Y ), donde X es compacto y Y = Rl . Cuando X no es compacto esta tarea es m´ as dificil, y estudiaremos el caso cuando X es un conjunto abierto en Rl en la siguiente secci´ on. Por ahora, asumiremos que el espacio m´etrico (X, d) es compacto. Recordemos que en tal caso podemos denotar a CA (X, Y ) simplemente como C(X, Y ). Primero haremos notar que, en general, C(X, Y ) no es compacto. Ejemplo 5.1. Si Y no es acotado, entonces C(X, Y ) no es acotado, como lo muestra f´acilmente la colecci´on de funciones constantes {fy }y∈Y , donde fy (x) = y para todo x ∈ X. Ejemplo 5.2. Si Y es acotado, entonces C(X, Y ) es tambi´en acotado. Sin embargo, ni siquiera cuando Y es compacto C(X, Y ) es compacto. Consideramos por ejemplo el espacio C([0, 1], [0, 1]) y la sucesi´on de funciones ( 1 − nx if 0 ≤ x ≤ n1 , fn (x) = 0 if n1 < x ≤ 1. (V´ease la figura 1.) Esta sucesi´on no puede tener subsucesiones convergentes, como vimos en el ejemplo 3.26. Entonces C([0, 1], [0, 1]) no es secuencialmente compacto, y por lo tanto no es compacto. 79

80

5. Compacidad y densidad en C(X, Y )

1

1 n

1

Figura 1. Las funciones fn .

Por el teorema 3.23 los subespacios compactos de C(X, Y ) son aqu´ellos que son cerrados y totalmente acotados en C(X, Y ), por lo que son ´estos los conjuntos que tenemos que clasificar. Para ´esto necesitaremos del concepto de equicontinuidad, definido a continuaci´ on. Definici´ on 5.3. Sea F ⊂ C(X, Y ). Decimos que F es una familia equicontinua en x0 ∈ X si, para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que f (Bδ (x0 )) ⊂ Bε (f (x0 )) para todo f ∈ F. El n´ umero δ depende de x0 y de la familia F, pero es independiente de las funciones f ∈ F. Decimos que F es equicontinua en X si es equicontinua en cada punto de X. Ejemplo 5.4. Consideramos la sucesi´on de funciones xn fn (x) = n en C([0, 1]). Por el teorema del valor medio, |fn (x) − fn (y)| = |fn0 (t)||x − y| para alg´ un t entre x y y. Como |fn0 (t)| = |tn−1 | ≤ 1 para todo t ∈ [0, 1], tenemos que, para ε > 0, si |x − y| < δ = ε entonces |fn (x) − fn (y)| ≤ |x − y| < ε, en cada x ∈ [0, 1] y para todo fn . Entonces la familia {fn } es equicontinua en cada punto de [0, 1]. Notamos que la selecci´ on de δ no depende de n, el ´ındice de la sucesi´on (fn ). Distinto es el caso de las funciones xn en [0, 1], o de las funciones el intervalo [0, 2] (ejercicio 1).

xn en n

Equicontinuidad es una condici´ on necesaria para que una familia de funciones F ⊂ C(X, Y ) pueda ser un espacio compacto, como lo muestra la siguiente proposici´ on.

1. El teorema de Arzel`a-Ascoli

81

Proposici´ on 5.5. Sea F ⊂ C(X, Y ). Si la familia F es totalmente acotada, entonces es equicontinua en X. Demostraci´ on. Sean ε > 0 y x0 ∈ X. Debemos mostrar que existe un δ > 0 tal que f (Bδ (x0 )) ⊂ Bε (f (x0 )) para toda f ∈ F, y que esta δ no depende de f , s´ olo de x0 . Como F es un conjunto totalmente acotado, existen funciones f1 , f2 , . . . , fn ∈ C(X, Y ) (no necesariamente en F, aunque esto es irrelevante) tales que F ⊂ Bε/3 (f1 ) ∪ Bε/3 (f2 ) ∪ . . . ∪ Bε/3 (fn ). Adem´ as, como cada fi es continua en x0 , i = 1, 2, . . . , n, existen δi > 0 tales que, para cada i, fi (Bδi (x0 )) ⊂ Bε/3 (f (x0 )). Escogemos δ = m´ın{δ1 , δ2 , . . . , δn }, y mostraremos que f (Bδ (x0 )) ⊂ Bε (f (x0 )) para cada f ∈ F. As´ı que sean f ∈ F y x ∈ Bδ (x0 ). Queremos mostrar la desigualdad d0 (f (x), f (x0 )) < ε. Como F ⊂ Bε/3 (f1 ) ∪ Bε/3 (f2 ) ∪ . . . ∪ Bε/3 (fn ), f ∈ Bε/3 (fi0 ) para alg´ un i0 , es decir ε d0 (f (y), fi0 (y)) < 3 ε para todo y ∈ X. Adem´ as d0 (fi0 (x), fi0 (x0 )) < , ya que d(x, x0 ) < δ ≤ δi0 . 3 Entonces d0 (f (x), f (x0 )) ≤ d0 (f (x), fi0 (x)) + d0 (fi0 (x), fi0 (x0 )) + d0 (fi0 (x0 ), f (x0 )) ε ε ε < + + = ε. 3 3 3  Es preciso notar que en esta demostraci´on no hemos utilizado la compacidad de X, por lo que la proposici´ on 5.5 es cierta tambi´en cuando X no es 1 compacto. Definici´ on 5.6. Decimos que la familia F ⊂ C(X, Y ) es uniformemente acotada si el conjunto F es acotado en C(X, Y ). F es acotada punto por punto si, para cada x ∈ X, el conjunto {f (x) : f ∈ F} es acotado en Y . 1Asumiendo que la familia F es un subconjunto de C (X, Y ), desde luego. A

82

5. Compacidad y densidad en C(X, Y )

Es claro que si F es uniformemente acotada, entonces es acotada punto por punto. Sin embargo, la inversa no es cierta, como lo demuestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 5.7. Considere la sucesi´on de funciones fn ∈ C([0, 1], R) dada por  h 1    0 si x ∈ 0,    h 1 2n1    n(2nx − 1) , si x ∈ n h 2n fn (x) = 1 3    −n(2nx − 3) si x ∈ ,   n 2ni  h  3  0 ,1 . si x ∈ 2n Esta familia es acotada punto por punto porque, para cada x, fn (x) → 0. Sin embargo, como fN (1/N ) = N , esta familia no es uniformemente acotada. (V´ease la figura 2.) n

1 n

1

1 3 2n 2n Figura 2. Las funciones gn .

Sin embargo, si la familia es equicontinua, la inversa es cierta. Lema 5.8. Si la familia F ⊂ C(X, Y ) es equicontinua y acotada punto por punto, entonces F es uniformemente acotada. Recordemos que asumimos la compacidad de X. Demostraci´ on. Para mostrar que F es uniformemente acotada, tenemos que encontrar F ∈ C(X, Y ) y M > 0 tales que du (f, F ) < M para toda funci´ on f ∈ F. Por equicontinuidad, para cada x ∈ X, existe un δx > 0 tal que f (Bδx (x)) ⊂ B1 (f (x))

83

1. El teorema de Arzel`a-Ascoli

para toda f ∈ F. Como X es compacto, podemos encontrar x1 , x2 , . . . , xn ∈ X tales que X ⊂ Bδx1 (x1 ) ∪ Bδx2 (x2 ) ∪ . . . ∪ Bδxn (xn ). Pero cada conjunto {f (xi ) : f ∈ F}, i = 1, 2, . . . , n, es acotado en Y , por lo que existen puntos yi ∈ Y y Mi > 0 tales que, para toda f ∈ F, d0 (f (xi ), yi ) < Mi ,

i = 1, 2, . . . , n.

Definimos entonces la funci´on constante F (x) = y1 , y el n´ umero M = m´ ax{M1 , M2 , . . . , Mn , d0 (y2 , y1 ), . . . , d0 (yn , y1 )}. Sean x ∈ X y f ∈ F, y estimaremos d0 (f (x), F (x)). Primero, escogemos xi tal que x ∈ Bδxi (xi ). Entonces, por el hecho de que f (Bδxi (xi )) ⊂ B1 (f (xi )), d0 (f (x), F (x)) ≤ d0 (f (x), f (xi )) + d0 (f (xi ), yi ) + d0 (yi , F (x)) < 1 + Mi + d0 (yi , y1 ) ≤ 1 + 2M. Por lo tanto, du (f, F ) ≤ 2M + 1 y la familia F es acotada.



Casi estamos listos para mostrar el teorema de Arzel`a-Ascoli, el cual clasificar´a los subespacios compactos de C(X, Rl ). Antes mostraremos el siguiente lema, que concierne a familias uniformemente acotadas en C(X, Rl ). Lema 5.9. Sea F una familia uniformemente acotada en C(X, Rl ). Entonces existe un conjunto compacto E en Rl tal que f (X) ⊂ E para toda f ∈ F. Demostraci´ on. Como F es uniformemente acotada, existe una funci´on f0 ∈ C(X, Rl ) y un n´ umero M > 0 tales que du (f, f0 ) < M para toda f ∈ F. Pero X es compacto, por lo que f0 (X) es compacto y entonces acotado en Rl , es decir, existe N > 0 tal que |f0 (x)| < N para todo x ∈ X. Por lo tanto |f (x)| ≤ |f (x) − f0 (x)| + |f0 (x)| < M + N para toda f ∈ F y x ∈ X. Por lo tanto f (X) ⊂ BM +N (0) en Rl , y podemos ¯M +N (0), el cual es compacto en Rl por el teorema de Heinetomar E = B Borel.  Teorema 5.10 (Arzel`a-Ascoli). Sea (X, d) un espacio m´etrico compacto y F una familia de funciones en el espacio C(X, Rl ). Entonces F es compacto si y solo si F es cerrado en C(X, Rl ), equicontinuo y acotado punto por punto.

84

5. Compacidad y densidad en C(X, Y )

Demostraci´ on. Ya hemos visto que cerrado, equicontinuo y acotado punto por punto son condiciones necesarias (corolario 3.23 y proposici´ on 5.5) para que F sea compacto. Para demostrar que tales condiciones son suficientes, es suficiente con demostrar, por el corolario 3.23, que F es totalmente acotado. Sea ε > 0. Mostraremos que podemos cubrir F con un n´ umero finito de l bolas en C(X, R ) de radio ε. Los lemas 5.8 y 5.9 nos permiten concluir que existe un conjunto compacto E en Rl tal que f (X) ⊂ E para toda funci´on f ∈ F. Adem´as, por la equicontinuidad de la familia F y la compacidad de X podemos escoger bolas Bδi (xi ), i = 1, 2, . . . , n, tales que X ⊂ Bδ1 (x1 ) ∪ Bδ2 (x2 ) ∪ . . . ∪ Bδn (xn ) y f (Bδi (xi )) ⊂ Bε/5 (f (xi )) para toda f ∈ F. Ahora bien, E es compacto, por lo que podemos encontrar puntos y1 , y2 , . . . , yk ∈ Rl tales que E ⊂ Bε/5 (y1 ) ∪ Bε/5 (y2 ) ∪ . . . ∪ Bε/5 (yk ). Tenemos las siguientes observaciones: A: Si f ∈ F, entonces, para cada i, existe un entero j(f, i), 1 ≤ j(f, i) ≤ k, tal que f (xi ) ∈ Bε/5 (yj(f,i) ). De esta forma cada f ∈ F induce (al menos) una funci´on j(f, ·) de {1, 2, . . . , n} en {1, 2, . . . , k}. B: Si f, g ∈ F inducen la misma funci´on j(i), entonces, si x ∈ Bδi0 (xi0 ), |f (x) − g(x)| ≤ |f (x) − f (xi0 )| + |f (xi0 ) − yj(i0 ) | + |yj(i0 ) − g(xi0 )| + |g(xi0 ) − g(x)| ε ε ε ε 4ε < + + + = , 5 5 5 5 5 4ε por lo que du (f, g) ≤ < ε. 5 Ahora consideremos una funci´on arbitraria φ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , k}. Si existe alguna f ∈ F tal que φ(·) = j(f, ·), a ´esta le llamaremos fφ . Sea entonces Φ el conjunto de todas las funciones φ tales que fφ existe. El conjunto Φ es finito, por lo que el conjunto de funciones {fφ }φ∈Φ tambi´en es finito. Demostraremos que [ F⊂ Bε (fφ ), φ∈Φ

2. Sucesiones de funciones en Rm

85

donde Bε (fφ ) es la bola en C(X, Rl ) de radio ε con centro en fφ . Si f ∈ F, entonces induce φ = j(f, ·), por la observaci´on A. Entonces, por B, du (f, fφ ) < ε. Por lo tanto f ∈ Bε (fφ ).



Podemos reescribir el teorema de Arzel´a-Ascoli de la siguiente manera. Corolario 5.11. Sea (X, d) un espacio m´etrico compacto y (fn ) una sucesi´ on en C(X, Rl ) equicontinua y acotada punto por punto. Entonces existe una subsucesi´ on de (fn ) que converge en C(X, Rl ). Demostraci´ on. Por el teorema de Arzel´a-Ascoli, la cerradura de {fn } es compacta, y el corolario se sigue por el teorema de Bolzano-Weierstrass.  Versiones m´ as generales del teorema de Arzel`a-Ascoli pueden ser encontradas en textos de topolog´ıa, como por ejemplo en [4, Teorema 6.1].

2.

Sucesiones de funciones en Rm

El teorema de Arzel´a-Ascoli clasifica los subespacios compactos del espacio C(X, Rl ) solo cuando X es compacto, y es claro que la compacidad del dominio es necesaria. Sin embargo, el corolario 5.11 se puede modificar de la siguiente manera, la cual es de hecho la versi´ on m´ as u ´til de los resultados anteriores. Teorema 5.12. Sea Ω un conjunto abierto en Rm y (fn ), fn : Ω → Rl , una sucesi´ on de funciones continuas en Ω (no necesariamente acotadas) equicontinua y acotada punto por punto. Entonces existe una subsucesi´ on de (fn ) que converge uniformemente en cada subconjunto compacto de Ω. Es decir, existe una subsucesi´ on (fnk ) y una funci´ on continua f : Ω → Rl tal que, para todo compacto E ⊂ Ω, fnk → f en C(E, Rl ). Cuando decimos fnk → f en C(E, Rl ), queremos decir que la sucesi´on de restricciones (fnk |E ) converge a la restricci´on f |E en C(E, Rl ). Demostraci´ on. Por la proposici´ on 3.25, podemos encontrar una sucesi´on creciente de conjuntos compactos Ek tal que [ Ω= Ek , k

y todo compacto E contenido en Ω est´ a contenido en alg´ un Ek . Por el corolario 5.11, existe una subsucesi´ on de (fn ), a la que llamaremos (fn1p )∞ p=1 , que l converge en C(E1 , R ). Podemos utilizar este mismo corolario para encontrar

86

5. Compacidad y densidad en C(X, Y )

∞ una subsucesi´ on de (fn1p )∞ p=1 , a la cual llamamos (fn2p )p=1 , la cual converge en C(E2 , Rl ).

on Inductivamente construimos sucesiones (fnkp )∞ p=1 , cada una subsucesi´ ∞ l de (fnk−1 )p=1 , k = 2, 3, . . ., que convergen en C(Ek , R ), para cada k, p fn11 fn21 fn31 .. .

fn12 fn13 ... fn22 fn23 ... fn32 fn33 ...

Consideremos ahora la sucesi´on diagonal fnp = fnpp , p = 1, 2, . . .. Esta sucesi´ on es subsucesi´ on de cada una de las (fnkp )∞ p=1 , y por lo tanto converge en S l C(Ek , R ), para cada k. Como Ω = k Fk , podemos definir en Ω la funci´on f (x) = l´ım fnp (x). p→∞

Entonces f es continua en Ω. Si E es un conjunto compacto contenido en Ω, entonces est´ a contenido en alg´ un Ek y, por lo tanto, como fnp → f en l l C(Ek , R ), fnp → f en C(E, R ). 

3.

El teorema de Stone-Weierstrass

En esta secci´ on demostraremos el teorema de aproximaci´on de StoneWeierstrass, el cual enlista familias de funciones densas en C(X) = C(X, R). Este teorema, al igual que el de Arzel`a-Ascoli estudiado en la secci´ on anterior, tambi´en se refiere al espacio de funciones continuas definidas en espacios compactos X. ´ es Recordemos que A es denso en un espacio m´etrico X si A ⊃ X. Esto equivalente a decir que A es denso en X si, para todo ε > 0 y x ∈ X, la bola Bε (x) interseca al conjunto A; es decir, existe a ∈ A tal que d(x, a) < ε. Consideremos ahora el caso C([a, b]), el espacio de funciones continuas reales en [a, b], y P, el conjunto de las funciones polinomiales. La versi´ on cl´ asica del teorema de aproximaci´on de Weierstrass es la siguiente. Teorema 5.13 (Weierstrass). P es denso en C([a, b]).

87

3. El teorema de Stone-Weierstrass

Aunque ahora existen muchas demostraciones de este teorema, las m´ as famosas dadas por Bernstein2 o Lebesgue3, aqu´ı daremos la demostraci´on originalmente dada por Weierstrass en 1885 [7]. Consideremos la funci´ on 2

ψ(x) = e−πx . Esta funci´ on es positiva y su integral (impropia) sobre R converge y es igual a Z ∞ ψ = 1.

−∞

Adem´ as, tenemos el siguiente lema.

Lema 5.14. Sea f : R → R una funci´ on uniformemente continua, acotada y, para cada r > 0, definimos Z u − x 1 ∞ F (x, r) = du. f (u)ψ r −∞ r

Entonces l´ımr→0 F (x, r) = f (x) uniformemente en x; es decir, para todo ε > 0 existe r0 > 0 tal que, si 0 < r < r0 , entonces F (x, r) − f (x) < ε

para todo x ∈ R.

Demostraci´ on. Para δ > 0, escribimos Z u − x 1 ∞ du − f (x) F (x, r) − f (x) = f (u)ψ r −∞ r Z ∞ Z ∞ ψ(u)du f (x + ru)ψ(u)du − f (x) · = −∞ −∞ Z ∞
= f (x + ru) − f (x) ψ(u)du Z−∞
= f (x + ru) − f (x) ψ(u)du |u|> rδ

+

Z

|u|≤ rδ


f (x + ru) − f (x) ψ(u)du.

2La demostraci´ on de Bernstein es constructiva. De hecho, si [a, b] = [0, 1], Bernstein demostr´ o que la sucesi´ on de polinomios (ahora llamados polinomios de Bernstein) n  k   n X xk (1 − x)n−k Bn (x) = f k n k=0

converge uniformemente a f . V´ ease por ejemplo [5, Cap´ıtulo1]. 3 La demostraci´ on de Lebesgue consiste, primero, en aproximar uniformemente con polinomios la funci´ on | · | en [−1, 1] y, luego, observar que las funciones poligonales son densas en C([a, b]). Este trabajo, de hecho, fue la primera publicaci´ on de Lebesgue [3].

88

5. Compacidad y densidad en C(X, Y )

Ahora bien, sea ε > 0 dado. Como R ∞ f es acotada, existe M > 0 tal que |f (x)| ≤ M para todo x ∈ R. Como −∞ ψ converge, existe N > 0 tal que Z ε ψ(u)du < . 4M |u|>N Como f es uniformemente continua, existe δ > 0 (independiente de x) tal que |x − y| < δ implica |f (x) − f (y)| < ε/2. Tomamos entonces r0 > 0 tal que r0 < δ/N . Entonces, si 0 < r < r0 , Z F (x, r) − f (x) ≤ f (x + ru) − f (x) ψ(u)du |u|> rδ

+

≤

Z

Z

|u|≤ rδ

f (x + ru) − f (x) ψ(u)du

2M ψ(u)du +

|u|>N

< 2M ·

ε ε + 4M 2

Z

Z

|u|≤ rδ

ε ψ(u)du 2

ψ(u)du = ε. R



Demostraci´ on del teorema 5.13. Sea f ∈ C([a, b]) y ε > 0. Escogemos c, d ∈ R tales que c < a y d > b, y una funci´on continua f˜ : R → R que coincide con f en [a, b] y es cero afuera de [c, d]. Por ejemplo, podemos tomar   0 si x < c    x − c   si c ≤ x < a f (a)    a−c si a ≤ x ≤ b f˜(x) = f (x)   d − x   si b < x ≤ d f (b)    d−b   0 si x > d.

(V´ease la figura 3.) Entonces, si como en el lema anterior definimos Z Z u − x u − x 1 d ˜ 1 ∞ ˜ du = du, f (u)ψ f (u)ψ F (x, r) = r −∞ r r c r existe r0 tal que, para todo x ∈ R,

ε |F (x, r0 ) − f˜(x)| < . 2 u − x , no es muy dif´ıcil ver que la serie Ahora bien, si hacemos gu (x) = ψ r0 de Taylor en x de gu alrededor de x = 0, ∞ ∞ X g(n) (0) n X (−1)n ψ (n) (u/r0 ) n gu (x) = x , x = n! n!r0n n=0 n=0

89

3. El teorema de Stone-Weierstrass

c

a

b

d

Figura 3. La funci´ on f en [a, b] extendida a f˜ en R.

converge a gu uniformemente en x y en u sobre cualquier subconjunto compacto de R, en particular para x, u ∈ [c, d]. Si M = m´ ax |f˜|, entonces existe N0 tal que, para todo x, u ∈ [c, d], N0 u − x X r0 (−1)n ψ (n) (u/r0 ) n x < ε, − ψ n r0 n!r0 2M (d − c) n=0

por lo que si hacemos

Z N0 (−1)n n d 1 X x f (u)ψ (n) (u/r0 )du, P (x) = r0 n!r0n c n=0

entonces P (x) es un polinomio de grado N0 que satisface Z N0 (−1)n ψ (n) ( ru0 ) n  1 d ˜   u − x  X |F (x, r0 ) − P (x)| = − x du f (u) ψ r0 c r n!r0n n=0 Z 1 d ˜ ε r0 < εdu ≤ , |f (u)| r0 c 2M (d − c) 2

para todo x ∈ [c, d]. Esto implica que |f˜(x) − P (x)| ≤ |f˜(x) − F (x, r0 )| + |F (x, r0 ) − P (x)| < ε para x ∈ [c, d] y, como f ≡ f˜ en [a, b], tenemos que |f (x) − P (x)| < ε para todo x ∈ [a, b]. Por lo tanto P es denso en C([a, b]).



Recordemos que un espacio m´etrico X es separable si tiene un subconjunto denso contable. Como corolario al teorema 5.13, tenemos entonces que C([a, b]) es separable porque PQ , el espacio de polinomios con coeficientes racionales, es tambi´en denso en C([a, b]).

90

5. Compacidad y densidad en C(X, Y )

Corolario 5.15. C([a, b]) es separable. Demostraci´ on. Sea M = m´ ax{1, |a|, |b|, |a2 |, |b2 |, . . . , |an |, |bn |}. Si p(x) = a0 + a1 x + . . . an xn es un polinomio y ε > 0, sean r0 , r1 , . . . , rn ∈ Q tales que ε , i = 0, 1, . . . , n, |ai − ri | ≤ nM y p0 (x) = r0 + r1 x + . . . + rn xn . Entonces, para x ∈ [a, b]), |p(x) − p0 (x)| ≤

n X

|ai − ri ||xn | < ε.

i=0

Esto implica que el conjunto de polinomios con coeficientes racionales PQ es denso en P, y por lo tanto denso en C([a, b]). Como PQ es contable, C([a, b]) es separable.  El teorema de Stone-Weierstrass ofrece una generalizaci´ on a este resultado, donde consideramos un espacio compacto X general. En este caso, en lugar de las funciones polinomiales, consideraremos una familia A de funciones con las siguientes propiedades: 1. A es un a ´lgebra, es decir, es un subespacio vectorial de C(X) cerrado bajo multiplicaci´ on: si f, g ∈ A, entonces f g ∈ A. 2. A separa puntos en X: para x, y ∈ X, x 6= y, existe f ∈ A tal que f (x) 6= f (y). 3. A contiene las funciones constantes. Es claro que el espacio de polinomios P, o incluso PQ , satisface las propiedades anteriores. Teorema 5.16 (Stone-Weierstrass). Sea X un espacio m´etrico compacto y A un a ´lgebra de funciones continuas en X que separa puntos y contiene las funciones constantes. Entonces A es denso en C(X). Demostraremos que la cerradura A¯ = C(X). Para esto, primero demostraremos que A¯ satisface las tres propiedades mencionadas anteriormente. Es obvio que satisface las u ´ltimas dos, puesto que A¯ ⊃ A. El que tambi´en sea un ´ algebra lo enunciaremos como lema. Lema 5.17. Sea A un a ´lgebra en C(X). Entonces su cerradura A¯ es tambi´en un a ´lgebra en C(X). Demostraci´ on. Para verificar que A¯ es un ´algebra, tenemos que mostrar ¯ que si f, g ∈ A¯ entonces f + g y f g est´ an en A.

91

3. El teorema de Stone-Weierstrass

Para ε > 0, existen f 0 , g0 ∈ A tales que ε ε ||f − f 0 ||u < y ||g − g0 ||u < . 2 2 0 0 Entonces, ||(f + g) − (f + g )||u < ε. Como A es un ´algebra, f 0 + g0 ∈ A; ¯ como ε es arbitrario, f + g ∈ A. Dado ε > 0, escogemos g00 ∈ A tal que ||g − g00 ||u <

ε . 2||f ||u + 1

Ahora bien, tomamos f 00 ∈ A tal que ||f − f 00 ||u <

ε 2||g00 ||u

+1

.

Entonces, f 00 · g00 ∈ A y ||f g − f 00 g00 ||u = ||f g − f g00 + f g00 − f 00 g00 ||u ≤ ||f ||u ||g − g00 ||u + ||f − f 00 ||u ||g00 ||u ||f ||u ε ||g00 ||u ε + < ε. 2||f ||u + 1 2||g00 ||u + 1 ¯ Como ε es arbitrario, f g ∈ A. ≤



En la demostraci´on anterior hemos usado el hecho que, si f, g ∈ C(X), entonces ||f g||u ≤ ||f ||u ||g||u , que es consecuencia directa de la definici´on de la norma uniforme (ejercicio 6). Separaremos la demostraci´on del teorema de Stone-Weierstrass en otros tres lemas. Los dos primeros se refieren a ´algebras cerradas en C(X), y la compacidad de X no es necesaria (si trabajamos, claro, en CA (X)). Lema 5.18. Sea A un a ´lgebra cerrada en C(X). Si f ∈ A, entonces |f | ∈ A. Con |f | nos referimos a la funci´on |f |(x) = |f (x)|. Demostraci´ on. Sea ε > 0 dado. Para M = ||f ||u , tomamos un polinomio p tal que |x| − p(x) < ε para x ∈ [−M, M ].

Tal polinomio existe por el teorema de Weierstrass. Entonces, como f (x) ∈ [−M, M ] para todo x ∈ X, tenemos que |f (x)| − p(f (x)) < ε

para todo x ∈ X. La funci´ on p ◦ f ∈ A porque A es un ´algebra. Como ε es arbitrario y A es cerrada, |f | ∈ A. 

92

5. Compacidad y densidad en C(X, Y )

Lema 5.19. Si A es un a ´lgebra cerrada en C(X), entonces, si f, g ∈ A, m´ ax(f, g), m´ın(f, g) ∈ A. Con m´ ax(f, g) nos referimos a la funci´on m´ ax(f, g)(x) = m´ ax{f (x), g(x)}, y similarmente para m´ın(f, g). Es f´acil ver que estas dos funciones tambi´en son continuas (ejercicio 7). Un subconjunto S de C(X) con la propiedad de que si f, g ∈ S entonces m´ ax(f, g), m´ın(f, g) ∈ S es llamado un latiz. Entonces, el lema 5.19 implica que toda ´ algebra cerrada en C(X) es un latiz. Demostraci´ on. La demostraci´on se sigue inmediatamente del lema 5.18, ya que 1 m´ ax(f, g) = (f + g + |f − g|) 2 1 m´ın(f, g) = (f + g − |f − g|). 2  Es claro que, recursivamente, si A es un latiz y f1 , . . . , fn ∈ A, entonces m´ ax{f1 , . . . , fn } ∈ A

y

m´ın{f1 , . . . , fn } ∈ A.

Casi estamos listos para la demostraci´on del teorema. Antes, demostraremos un lema referente a latices cerrados en C(X). Es aqu´ı donde la compacidad de X es necesaria. Lema 5.20. Sea (X, d) un espacio compacto y A un latiz cerrado en C(X), Si f ∈ C(X) es tal que, para cada x, y ∈ X, existe gxy ∈ A tal que gxy (x) = f (x)

y

gxy (y) = f (y),

entonces f ∈ A. Demostraci´ on. Sea ε > 0. Demostraremos que existe g ∈ A tal que, para x ∈ X, |f (x) − g(x)| < ε. Entonces ||f − g||u < ε y, como A es cerrado, esto implica que f ∈ A. Dado y ∈ X, para cada x ∈ X escogemos gxy ∈ A como en la hip´ otesis. Como f y cada gxy son continuas, existen δx > 0 tales que gxy (z) > f (z) − ε para z ∈ Bδx (x). Ahora bien, {Bδx (x)}x∈X es una cubierta para X. Como X es compacto, existe una subcubierta finita {Bδ1 (x1 ), . . . , Bδn (xn )}. Si tomamos gy = m´ ax{gx1 y , . . . , gxn y },

3. El teorema de Stone-Weierstrass

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entonces gy ∈ A y gy (z) > f (z) − ε para todo z ∈ X. Para cada y ∈ X, consideramos la funci´on (continua) gy construida anteriormente y tomamos δy > 0 tales que, si z ∈ Bδy (y), entonces gy (z) < f (z) + ε. De nuevo, {Bδy (y)}y∈X forma una cubierta de X. Si {Bδ1 (y1 ), . . . , Bδm (ym )} es una subcubierta finita, tomamos g = m´ın{gy1 , . . . , gym }. Entonces g ∈ A y, para todo z ∈ X, g(z) < f (z) + ε. Tenemos entonces que, para z ∈ X, −ε < g(z) − f (z) < ε, por lo que |g(z) − f (z)| < ε para todo z ∈ X.



Una inspecci´ on cuidadosa de la demostraci´on del lema 5.20 nos permite notar que, escencialmente, estamos generalizando el hecho que las funciones continuas en un intervalo [a, b] se pueden aproximar uniformemente por las funciones poligonales (lineales por pedazos). Si A contiene al latiz de las funciones poligonales en un intervalo, generado por las funciones lineales, entonces gxy es la recta que pasa por los puntos (x, f (x)) y (y, f (y)), por lo que gy corresponder´a la cu˜ na con v´ertice en (y, f (y)) sobre todas estas rectas (figura 4).

Figura 4. La construcci´ on de la funci´ on gy en [0, 1]. Al izquierda, las rectas gxy con base en el punto (y, f (y)) y, a la derecha, la cu˜ na gy con v´ertice en (y, f (y)).

Finalmente, la funci´ on g corresponde a la funci´on poligonal que pasa por debajo de las cu˜ nas gy1 , . . . , gym (figura 5). Ahora s´ı estamos listos para concluir la demostraci´on del teorema de Stone-Weierstrass.

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5. Compacidad y densidad en C(X, Y )

Figura 5. La funci´ on g es la funci´ on poligonal que pasa por debajo de las cu˜ nas de la figura 4.

Demostraci´ on del teorema de Stone-Weierstrass: Dada una funci´on f ∈ C(X), demostraremos que, para cada x, y ∈ X, existe g ∈ A¯ tal que g(x) = f (x) y g(y) = f (y). El teorema entonces quedar´ a demostrado por los lemas 5.19 y 5.20. Sean x, y ∈ X. Si x = y, entonces tomamos la funci´on constante g(z) = ¯ f (x) para todo z ∈ X. Como A contiene a las constantes, g ∈ A. Ahora bien, si x 6= y, tomamos h ∈ A¯ tal que h(x) 6= h(y). Tal funci´on existe porque A separa puntos. Definimos ahora g : X → R por
f (y) − f (x) g = f (x) + h − h(x) . h(y) − h(x) ¯ ¯ Por el lema 5.17, A es un ´ algebra y, como contiene a las constantes, g ∈ A. Finalmente, observamos que g(x) = f (x) y g(y) = f (y).  Hemos asumido que el ´ algebra A separa puntos y contiene a las funciones constantes. Es claro ver que la primera de estas hip´ otesis es necesaria porque, si A no separara puntos bien podr´ıa contener s´ olo a la funci´on cero. Ejemplo 5.21. Un ejemplo no trivial de un ´algebra que no separa puntos es el conjunto de las funciones pares en [−a, a]. Es claro que esta ´algebra es cerrada y, definitivamente, no es todo C([−a, a]). Ejemplo 5.22. Consideremos el subespacio de C([0, 1]) dado por K = {f ∈ C([0, 1]) : f (0) = 0}. Entonces K es un ´ algebra cerrada en C([0, 1]) que separa puntos, pero claramente no es todo C([0, 1]). El ´ algebra K del ejemplo 5.22 es un ´algebra que no contiene a las constantes (excepto por la funci´ on cero). De hecho, en general uno puede mostrar que, si A es un ´ algebra en C(X) que no contiene a todas las funciones constantes, entonces existe x0 ∈ X tal que f (x0 ) = 0 para toda f ∈ A. V´ease, por ejemplo, [2, Secci´ on 4.7].

3. El teorema de Stone-Weierstrass

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Ejemplo 5.23 (Polinomios trigonom´etricos). Sea T el c´ırculo de radio 1, con centro en 0, en R2 , y consideremos el espacio C(T) de funciones continuas en T. Si f ∈ C(T), entonces la funci´on g : [0, 2π] → R dada por g(t) = f (cos t, sen t) es continua en [0, 2π], con g(0) = g(2π). De manera inversa, si g ∈ C([0, 2π]) y g(0) = g(2π), podemos definir f : T → R por f (cos t, sen t) = g(t), y f es continua en T. Esto nos permite identificar C(T) con el subespacio de C([0, 2π]) de funciones g continuas con g(0) = g(2π). Un polinomio trigonom´etrico es una funci´on T : [0, 2π] → R de la forma

T (x) =

n X k=0


ak cos(kx) + bk sen(kx) .

Es claro que T ∈ C(T). Si T es el conjunto de polinomios trigonom´etricos en [0, 2π], entonces T es denso en C(T). Para ver esto, verificaremos que T satisface las hip´ otesis del teorema de Stone-Weierstrass. Primero, es claro que T contiene a las funciones constantes y que separa puntos: si x 6= y, entonces sen x 6= sen y, al menos que 0 ≤ x, y ≤ π y y = π − x, ´o π ≤ x, y ≤ 2π y y = 3π − x. En tales casos cos x = − cos y 6= cos y. Para verificar que T es un ´algebra, s´ olo tenemos que verificar que es cerrado bajo productos, porque es claro que es un espacio vectorial. Sin embargo, esto se sigue porque
1 cos(n − m)x + cos(n + m)x 2
1 sen nx sen mx = cos(n − m)x − cos(n + m)x 2
1 sen(n + m)x − sen(n − m)x . cos nx sen mx = 2 cos nx cos mx =

Algunas aplicaciones del teorema de Stone-Weierstrass se pueden encontrar en los ejercicios de este cap´ıtulo, y algunas generalizaciones y aplicaciones adicionales se pueden encontrar en el art´ıculo [6].

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5. Compacidad y densidad en C(X, Y )

Ejercicios 1. Determine si las siguientes colecciones de funciones son equicontinuas y/o acotadas punto por punto. {sen(nx)}∞ n=1 en C([0, 2π]); n ∞ {x }n=1 en C([0, 1]); n xn o∞ en C([0, 2]). n n=1 2. Sea fn : [a, b] → R una sucesi´on mon´ otona de funciones continuas que converge punto por punto a la funci´on continua f : [a, b] → R. Entonces fn ⇒ f en [a, b]. 3. Sea Ω un conjunto abierto en Rm y (fn ) una sucesi´on equicontinua de funciones tal que (fn (x)) converge para cada x ∈ Ω. Entonces (fn ) converge uniformemente en cada subconjunto compacto de Ω. 4. Sea K : [0, 1] → [0, 1] una funci´on continua, y definimos el operador L : C[0, 1] → C[0, 1] por Z 1 K(x, y)f (y)dy, Lf (x) = 0

como en el ejemplo 4.19. Entonces la cerradura de la imagen de la bola B1 (0) en C([0, 1]) bajo L es un conjunto compacto en C([0, 1]). 5. Sea X un espacio m´etrico compacto y L ⊂ C(X, Rl ) la familia de funciones L = {f ∈ C(X, Rl ) : ||f ||u ≤ 1, ||f (x) − f (y)||E ≤ d(x, y), x, y ∈ X}. Entonces L es compacto. 6. Sean f, g ∈ CA (X). Entonces ||f g||u ≤ ||f ||u ||g||u . 7. Sean f, g ∈ C(X). Entonces las funciones m´ ax(f, g) : X → R

y

m´ın(f, g) : X → R

son continuas. 8. Sea a > 0. Entonces el espacio de las funciones continuas pares en [−a, a], P = {f ∈ C([−a, a]) : f (x) = f (−x), x ∈ [−a, a]}, es un ´ algebra cerrada propia en C([−a, a]). 9. Sea f una funci´ on continua en [a, b] tal que Z b f (x)xn dx = 0 a

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Ejercicios

para todo n = 0, 1, 2, . . .. Entonces f (x) = 0 para todo x ∈ [a, b]. (SugeRb rencia: Utilice el teorema de Weierstrass para demostrar que a f 2 = 0.)

10. Encuentre f : [0, 1] → R continua tal que Z 1 Z 1 Z 1 f (x)x2 dx = 0 f (x)xdx = f (x)dx = 0

0

0

y f (x) 6= 0 para alg´ un x ∈ [0, 1].

11. Sean X y Y espacios m´etricos compactos, X × Y el espacio producto y A el ´ algebra generada por las funciones f : X × Y → R de la forma f (x, y) = g(x)h(y)

g ∈ C(X), h ∈ C(Y ).

Entonces A es denso en C(X × Y ).