COMPRENSIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS MEDIANTE EL SOFTWARE GEOGEBRA EN EL CONTEXTO DEL MODELO DE VAN HIELE

TRABAJO DE GRADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE MAGÍSTER EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

JAVIER ANTONIO RÍOS RIVERA ANUAR DE JESÚS OYOLA CHARRY

ASESORA: ZAIDA MARGOT SANTA RAMÍREZ DOCTORA EN EDUCACIÓN

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS MEDELLÍN 2016

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Tabla de contenido

1.

Problema de investigación .......................................................................................... 11 1.1.

Planteamiento del problema ................................................................................ 11

1.2.

Objetivos del Proyecto ........................................................................................ 15

1.2.1. Objetivo General ............................................................................................. 15 1.2.2. Objetivos Específicos ...................................................................................... 15 2.

Antecedentes ............................................................................................................... 17 2.1.

Trabajos de investigación relacionados con el objeto de estudio........................ 17

2.1.1. Las razones trigonométricas a partir de la semejanza de triángulos (Guzmán, 2014).

17

2.1.2. Caracterización de los niveles de razonamiento de van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas (Algarín y Fiallo, 2013). .............................................................................. 17 2.1.3. Estudio del proceso de demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas en un ambiente de geometría dinámica (Fiallo, 2011). ............................... 18 2.1.4. Comprensión de las razones trigonométricas: niveles de comprensión, indicadores y tareas para su análisis (Araya, Monge y Morales, 2007). ............................... 19 2.1.5. Secuencias didácticas para el aprendizaje de las razones trigonométricas (Bravo, González y Paz, 2014). ............................................................................................. 19 2.2.

Marco legal .......................................................................................................... 20

2.3.

Estándares y pensamientos matemáticos asociados para la comprensión de los

conceptos relacionados con las razones trigonométricas. ......................................................... 21

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2.3.1. Estándares ........................................................................................................ 21 2.3.2. Pensamientos matemáticos asociados al módulo de aprendizaje .................... 23 2.4. GeoGebra

Visualización de lugares geométricos y su aplicación mediante el software 23

2.4.1. Software GeoGebra. ........................................................................................ 24 2.5.

Sobre la visualización en geometría .................................................................... 25

2.6.

Teorías de aprendizaje ......................................................................................... 26

2.6.1. Modelos conductitas ........................................................................................ 27 2.6.2. Modelos Constructivistas ................................................................................ 28 2.6.3. Aprendizajes en el aula .................................................................................... 28 2.7.

Aspectos conceptuales......................................................................................... 31

2.7.1. Figuras Geométricas ........................................................................................ 32 2.7.2. Triángulos ........................................................................................................ 32 2.7.3. Semejanza de Triángulos ................................................................................. 33 2.7.4. Teorema de Pitágoras ...................................................................................... 35 2.7.5. Razones trigonométricas ................................................................................. 36 2.7.6. Resolución de triángulos rectángulos .............................................................. 39 3.

Marco teórico: Modelo de van Hiele .......................................................................... 41 3.1.

Generalidades ...................................................................................................... 41

3.1.1. Concepto de comprensión ............................................................................... 41 3.1.2. Componente Insight......................................................................................... 42 3.1.3. Niveles según modelo de van Hiele: Denominación y descripción ................ 42 3.2.

Fases de aprendizaje ............................................................................................ 45

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3.2.1. Información. .................................................................................................... 45 3.2.2. Orientación dirigida. ........................................................................................ 46 3.2.3. Explicitación. ................................................................................................... 46 3.2.4. Orientación libre. ............................................................................................. 46 3.2.5. Integración. ...................................................................................................... 46 3.3.

Propiedades del modelo de van Hiele ................................................................. 47

3.3.1. Recursividad .................................................................................................... 47 3.3.2. Secuencialidad ................................................................................................. 47 3.3.3. Especificidad del lenguaje ............................................................................... 48 3.3.4. Continuidad ..................................................................................................... 48 3.3.5. Localidad ......................................................................................................... 48 3.4.

Algunas investigaciones realizadas en el contexto del modelo de van Hiele. .... 49

3.4.1. Proyecto Chicago............................................................................................. 49 3.4.2. Proyecto Oregon .............................................................................................. 50 3.4.3. Proyecto Brooklyn ........................................................................................... 51 4.

Marco Metodológico .................................................................................................. 53 4.1.

Paradigma ............................................................................................................ 53

4.2.

Método de estudio de casos ................................................................................. 54

4.3.

Participantes ........................................................................................................ 57

4.4.

Métodos de recolección de la información ......................................................... 58

4.4.1. Análisis documental ........................................................................................ 58 4.4.2. Entrevista ......................................................................................................... 59 4.4.3. Observación ..................................................................................................... 59

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4.5.

Estrategias de análisis de la información ............................................................ 60

4.5.1. Análisis de cada uno de los estudiantes. .......................................................... 60 4.5.2. Descriptores finales. ........................................................................................ 60 4.5.3. Elaboración de conclusiones. .......................................................................... 60 5.

Módulo de aprendizaje ............................................................................................... 62 5.1.

Estructura del módulo ......................................................................................... 63

5.1.1. Descriptores hipotéticos de cada nivel ............................................................ 63 5.1.2. Actividades del módulo de aprendizaje ........................................................... 66 5.2.

Análisis del proceso de comprensión en los niveles y fases de aprendizaje ..... 113

5.2.1. Nivel 0 (Predescriptivo) ................................................................................ 113 5.2.2. Nivel 1 (Reconocimiento visual). .................................................................. 135 5.2.3. Nivel 2 (Análisis) .......................................................................................... 145 5.3.

Análisis de descriptores finales y paso por niveles del modelo de van Hiele ... 159

5.3.1. Estudiante # 1: María..................................................................................... 159 5.3.2. Estudiante # 2: Hugo ..................................................................................... 162 5.3.3. Estudiante # 3: Luis ....................................................................................... 165 5.3.4. Conclusión del análisis realizado a estudiantes del estudio de casos ............ 168 6.

Conclusiones ............................................................................................................. 170 6.1.

Consecución de los objetivos ............................................................................ 170

6.1.1. Objetivo General ........................................................................................... 170 6.1.2. Objetivos Específicos .................................................................................... 172 6.2.

Respuesta a la pregunta de investigación .......................................................... 173

6.3.

Aportes a la Educación Matemática .................................................................. 175

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7.

Referencias bibliográficas ........................................................................................ 177

8.

Anexos ...................................................................................................................... 183 8.1.

Anexo A. Actividad diagnóstica ....................................................................... 183

8.2.

Anexo B. Análisis de las pruebas diagnósticas ................................................. 186

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Tabla de Ilustraciones Ilustración 1. Criterio de Semejanza AA (Construcción propia en GeoGebra) .................. 33 Ilustración 2. Criterio de Semejanza LAL (Construcción propia en GeoGebra) ................ 34 Ilustración 3.Criterio de semejanza LLL (Construcción propia en GeoGebra). ................. 34 Ilustración 4.Representación geométrica del teorema de Pitágoras (Construcción propia en GeoGebra) ..................................................................................................................................... 35 Ilustración 5. Triángulo rectángulo en C (Construcción propia en GeoGebra) .................. 36 Ilustración 6. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo (Construcción propia, GeoGebra) ..................................................................................................................................... 38 Ilustración 7. Suma de los ángulos interiores de un triángulo (Construcción propia en GeoGebra) ..................................................................................................................................... 40 Ilustración 8. María, reconocimiento de figuras planas. ................................................... 115 Ilustración 9. María, mapa conceptual a partir de los conceptos de figuras geométricas. 115 Ilustración 10. María, comparaciones entre figuras geométricas diseñadas en GeoGebra. ..................................................................................................................................................... 117 Ilustración 11. María, construcción de diferentes clases de triángulos. ............................ 118 Ilustración 12. María, mapa conceptual clasificación de triángulos. ................................ 118 Ilustración 13. María, representación libre en GeoGebra utilizando figuras geométricas. 119 Ilustración 14. María, producción textual: Cuento, el rectángulo que quería ser círculo. . 120 Ilustración 15. María, desarrollo fase de integración. ....................................................... 121 Ilustración 16. Hugo, reconocimiento de figuras planas. .................................................. 123 Ilustración 17. Hugo, mapa conceptual a partir de los conceptos de figuras geométricas. 123 Ilustración 18. Hugo, comparaciones entre figuras geométricas diseñadas en GeoGebra. 124 7

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Ilustración 19. Hugo, construcción de diferentes clases de triángulos. ............................. 125 Ilustración 20. Hugo, mapa conceptual clasificación de triángulos. ................................. 126 Ilustración 21. Hugo, Representación libre en GeoGebra utilizando figuras geometricas. ................................................................................................................................ 127 Ilustración 22. Hugo, producción textual: Cuento, la carrera del cuadrado y el círculo. .. 128 Ilustración 23. Hugo, desarrollo fase de integración. ........................................................ 129 Ilustración 24. Luis, reconocimiento de figuras planas. .................................................... 130 Ilustración 25. Luis, mapa conceptual a partir de los conceptos de figuras geométricas. ................................................................................................................................ 130 Ilustración 26. Luis, comparaciones entre figuras geométricas diseñadas en GeoGebra. ................................................................................................................................... 131 Ilustración 27. Luis, construcción de diferentes clases de triángulos................................ 132 Ilustración 28. Luis, mapa conceptual clasificación de triángulos. ................................... 133 Ilustración 29. Luis, Representación libre en GeoGebra utilizando figuras geométricas. ................................................................................................................................ 133 Ilustración 30. Luis, producción textual: Las figuras geométricas que querían construir una casa. ....................................................................................................................... 134 Ilustración 31. Luis, desarrollo fase de integración. .......................................................... 135 Ilustración 32. María, relación de triángulos según la medida de sus lados y ángulos. .... 136 Ilustración 33. María, determinación de medidas de ángulos interiores en un triángulo. ..................................................................................................................................... 136 Ilustración 34. María, aplicación teorema de Pitágoras para hallar longitud desconocida. ................................................................................................................................ 137

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Ilustración 35. María, construcción de triángulo rectángulo y cuadrados sobre cada uno de sus lados. ..................................................................................................................................... 138 Ilustración 36. Hugo, relación de triángulos según la medida de sus lados y ángulos. ..... 139 Ilustración 37. Hugo, determinación de medidas de ángulos interiores en un triángulo... 140 Ilustración 38. Hugo, aplicación teorema de Pitágoras para hallar longitud desconocida. 141 Ilustración 39. Hugo, construcción de triángulo rectángulo y cuadrados sobre cada uno de sus lados. ..................................................................................................................................... 141 Ilustración 40. Luis, relación de triángulos según la medida de sus lados y ángulos. ...... 142 Ilustración 41. Luis, determinación de medidas de ángulos interiores en un triángulo. ... 143 Ilustración 42. Luis, aplicación teorema de Pitágoras para hallar longitud desconocida. . 144 Ilustración 43. Luis, construcción de triángulo rectángulo y cuadrados sobre cada uno de sus lados. ..................................................................................................................................... 144 Ilustración 44. María, reconocimiento de la representación geométrica del Teorema de Pitágoras. ..................................................................................................................................... 146 Ilustración 45. María, determinación de longitud desconocida aplicando el teorema de Pitágoras. ..................................................................................................................................... 146 Ilustración 46. María, valor de verdad de planteamientos y mapa conceptual del teorema de Pitágoras. ..................................................................................................................................... 147 Ilustración 47. María, construcción de triángulos rectángulos y determinación de razones. ..................................................................................................................................................... 148 Ilustración 48. María, desarrollo fase de integración. ....................................................... 149 Ilustración 49. Hugo, reconocimiento de la representación geométrica del Teorema de Pitágoras. ..................................................................................................................................... 150

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Ilustración 50. Hugo, determinación de longitud desconocida aplicando el teorema de Pitágoras. ..................................................................................................................................... 151 Ilustración 51. Hugo, valor de verdad de planteamientos y mapa conceptual del teorema de Pitágoras. .................................................................................................................. 152 Ilustración 52. Hugo, construcción de triángulos rectángulos y determinación de razones. ....................................................................................................................................... 153 Ilustración 53. Hugo, desarrollo fase de integración. ........................................................ 154 Ilustración 54. Luis, reconocimiento de la representación geométrica del Teorema de Pitágoras. ..................................................................................................................................... 155 Ilustración 55. Luis, determinación de longitud desconocida aplicando el teorema de Pitágoras. ..................................................................................................................................... 156 Ilustración 56. Luis, valor de verdad de planteamientos y mapa conceptual del teorema de Pitágoras. .................................................................................................................. 157 Ilustración 57. Luis, construcción de triángulos rectángulos y determinación de razones. ....................................................................................................................................... 158 Ilustración 58. Luis, desarrollo fase de integración. .......................................................... 159

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1.

Problema de investigación

En este capítulo exponemos el planteamiento del problema, el cual surgió del análisis de una actividad diagnóstica que fue aplicada a un grupo del grado décimo de una Institución Educativa del municipio de Sahagún, departamento de Córdoba. El problema también se sustenta desde algunos trabajos revisados sobre el tema en cuestión. Adicionalmente, se presentan los objetivos para responder a la pregunta de investigación y dar solución a dicha problemática.

1.1.Planteamiento del problema

Nuestra práctica docente en el municipio de Sahagún, departamento de Córdoba, nos ha permitido evidenciar que algunos estudiantes del grado décimo tienen dificultades para comprender los conceptos relacionados con las razones trigonométricas, dado que no logran comprender, en años anteriores, ciertos conceptos previos necesarios para la comprensión de las primeras ideas acerca de la trigonometría. En este sentido, notamos una desarticulación entre lo que se supone debe estar comprendido y las nuevas ideas que se deben desarrollar en el grado décimo. Debido a la situación anterior, decidimos diseñar, revisar y aplicar una actividad diagnóstica, que nos informará acerca del estado actual de nuestros estudiantes del grado décimo de la Institución Educativa Simón Bolívar (ver anexo A).

El análisis que hicimos de este instrumento, nos permitió observar que, evidentemente, tienen dificultades con respecto a los conocimientos previos. Por ejemplo, notamos deficiencias en la identificación de la clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos. Con respecto a los criterios de semejanza de triángulos, percibimos que no aplican estos conceptos en

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la solución de situaciones propuestas, demostrando poco dominio en esta temática. En lo relacionado a los triángulos rectángulos, notamos que los identifican con facilidad cuando están en posición normal, pero cuando se rota el triángulo afirman que no es rectángulo, es decir, no comprenden que el triángulo rectángulo puede estar en diferentes posiciones, con relación al ángulo recto. Además, no reconocen con claridad el teorema de Pitágoras puesto que confunden los catetos con la hipotenusa, sin entender la demostración geométrica. Asimismo, los estudiantes desconocen los teoremas relacionados con la suma de los ángulos internos y externos en un triángulo y el procedimiento para hallar sus medidas. Por lo tanto, se concluye que el desconocimiento de estos conceptos previos no facilita la comprensión adecuada de las razones trigonométricas.

La revisión de la literatura nos muestra que el tema asociado a las razones trigonométricas se ha estudiado ampliamente en tesis de maestría o de doctorado. En particular, algunos de estos trabajos se han enmarcado en el modelo de van Hiele, para facilitar el avance en la comprensión de conceptos asociados a esta temática, utilizando softwares de geometría dinámica.

Por ejemplo, en su tesis doctoral, Fiallo (2011) buscó mejorar la comprensión de las razones trigonométricas, diseñando y evaluando una unidad de enseñanza relacionada con dichos conceptos, en un entorno de geometría dinámica, considerando la dificultad que podían presentar los estudiantes en el desarrollo de habilidades para argumentar y demostrar, así como la aplicación de otros conceptos trigonométricos. De este material retomamos la idea del autor con referencia al uso del modelo de van Hiele, para la comprensión de conceptos geométricos y matemáticos, en particular, para facilitar el avance en el razonamiento de los estudiantes, con respecto a la trigonometría; además, rescatamos el papel que juega la geometría en la 12

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cimentación de conocimientos relacionados con esta temática. Otro aspecto que resaltamos de este trabajo, es el diseño de actividades enmarcadas en las fases de aprendizaje del modelo, en el estudio y demostración de las razones trigonométricas.

Por su parte, en el trabajo de Algarín y Fiallo (2013), se presenta la caracterización de los niveles de razonamiento y de las fases de aprendizaje propuestas en el modelo de van Hiele, para determinar los procesos de descripción, definición y demostración de las razones trigonométricas; también se expone cómo estas pueden ser abordadas desde actividades de tipo cognitivo relacionadas con la geometría dinámica, como un pretexto para responder a la dificultad que presentan los estudiantes, en niveles superiores, en cuanto a las competencias matemáticas que se requieren para la comprensión de la trigonometría. De esta manera, los autores presentaron una serie de actividades que promueven el razonamiento sobre conceptos y propiedades de las razones trigonométricas. Adicionalmente, los autores mostraron resultados parciales de la evolución en la comprensión de los estudiantes, los cuales les sirvieron de material de apoyo para la realización, revisión y evaluación de un módulo de aprendizaje, que permitiera superar las dificultades frente al estudio y demostración de las razones trigonométricas.

Cabe resaltar que en su tesis doctoral, Fiallo (2011) diseña y evalúa una unidad de enseñanza relacionada con los conceptos de las razones trigonométricas para llegar a la demostración y argumentación de procedimientos. Por su parte, Algarín y Fiallo (2013) caracterizan los niveles y fases de aprendizaje para mejorar procesos de demostración de las razones trigonométricas en un contexto de geometría dinámica. Notamos que estos autores utilizan el modelo de van Hiele con el propósito de desarrollar habilidades para establecer 13

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procesos de análisis y demostración de dichos conceptos objeto de estudio, desconociendo que la problemática puede estar inmersa en la exploración de conocimientos previos que puedan facilitar una mayor comprensión del tema abordado.

De acuerdo con las ideas anteriores, se puede evidenciar que existen dificultades para la argumentación y demostración de conceptos trigonométricos, así como en su enseñanza y aprendizaje. Sin embargo, nuestras dificultades, en contexto, radican en el desconocimiento o poca comprensión de conceptos previos que permitan la asimilación de los conceptos asociados a las razones trigonométricas; es importante aclarar que nuestro trabajo no pretende llegar a una demostración de las mismas, sino a la comprensión como tal de los conceptos. Por lo tanto, con esta tesis se pretende responder a la pregunta de investigación: ¿cómo comprenden los estudiantes las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra en el contexto del modelo de van Hiele? Por esta razón, nuestro objeto de estudio es la comprensión de las razones trigonométricas utilizando el software GeoGebra y, adicionalmente, la comprensión de los conocimientos previos relacionados con estas para alcanzar nuestro propósito.

De acuerdo con el interrogante y el objeto, nuestra investigación intenta, a través de un estudio de casos, analizar la comprensión de las razones trigonometrías, en los estudiantes del grado 10°, mediante el software GeoGebra, enmarcado en el modelo de van Hiele.

Teniendo en cuenta la articulación del modelo de van Hiele con los conceptos y preconceptos establecidos para la comprensión de las razones trigonométricas, surgen unos descriptores hipotéticos de los niveles de razonamiento de van Hiele, gracias a los resultados de la prueba diagnóstica aplicada y a las preguntas relacionadas con la visualización de elementos

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elaborados mediante el software GeoGebra. Estas estrategias nos permiten deducir en qué nivel se encuentran los estudiantes y, de esta manera, a partir de un módulo de aprendizaje, se pretende que avancen de un nivel a otro, teniendo en cuenta una serie de actividades enmarcadas en las fases de aprendizaje.

1.2. Objetivos del Proyecto

1.2.1. Objetivo General

Analizar la comprensión de las razones trigonométricas, en el contexto del modelo de van Hiele, utilizando el software GeoGebra, en los estudiantes del grado 10° de la Institución Educativa Simón Bolívar del municipio de Sahagún, departamento de Córdoba.

1.2.2. Objetivos Específicos

 Diseñar una actividad diagnóstica basada en la visualización, el reconocimiento de propiedades y definiciones, que permita reconocer los conceptos previos para abordar las razones trigonométricas.  Determinar los descriptores de los niveles de razonamiento de van Hiele para ubicar a los estudiantes en uno de estos niveles, en relación a los conceptos asociados a las razones trigonométricas, utilizando el software GeoGebra.  Diseñar un módulo de aprendizaje enmarcado en el modelo de van Hiele, que surja de la actividad diagnóstica, para lograr un avance en la comprensión de las razones trigonométricas, mediante el software GeoGebra, en los estudiantes del grado 10° de la

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Institución Educativa Simón Bolívar del municipio de Sahagún, departamento de Córdoba.  Aplicar y evaluar un módulo de aprendizaje para analizar la comprensión de las razones trigonométricas en los estudiantes del grado 10° de la Institución Educativa Simón Bolívar del municipio de Sahagún, departamento de Córdoba.

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2.

Antecedentes

En este apartado pretendemos hacer un análisis de la literatura con respecto a algunos desarrollos sobre la enseñanza actual de la trigonometría, las grandes teorías de aprendizaje, la herramienta GeoGebra y algunos modelos de comprensión.

2.1. Trabajos de investigación relacionados con el objeto de estudio.

2.1.1. Las razones trigonométricas a partir de la semejanza de triángulos (Guzmán, 2014).

Este trabajo de maestría nos aporta con claridad todo lo concerniente a la semejanza de triángulos, teorema fundamental de la proporcionalidad, teorema de Thales y teorema de Pitágoras. La forma como el autor aborda todas estas temáticas nos da una visión de cómo podemos trabajar nuestra propuesta, ya que lo que buscamos es desarrollar un módulo de aprendizaje con guías didácticas basadas en el modelo de van Hiele para que los estudiantes del grado décimo de la Institución Educativa Simón Bolívar de Sahagún, Córdoba, puedan comprender los conceptos relacionados con las razones trigonométricas. Además, el autor sustenta la necesidad de que los docentes deben aplicar estrategias didácticas claras que complementen las orientaciones dadas en los textos para el desempeño eficiente, motivando así a los estudiantes a la apropiación de conocimientos y competencias.

2.1.2. Caracterización de los niveles de razonamiento de van Hiele específicos a los procesos de descripción, definición y demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas (Algarín y Fiallo, 2013). 17

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En esta investigación los autores presentan la caracterización de los niveles de razonamiento y fases de aprendizaje propuestas en el modelo de van Hiele, para describir el proceso a seguir en la comprensión de las razones trigonométricas a través de la geometría dinámica. De esta manera, los autores presentan una serie de actividades que promueven el razonamiento sobre conceptos y propiedades de las razones trigonométricas. Los resultados parciales que presentan Algarín y Fiallo (2013) sobre la evolución de la comprensión de los estudiantes, nos servirán de material de apoyo para el diseño de actividades en el módulo de aprendizaje, dado que pretendemos la comprensión de los conceptos y preconceptos asociados a las razones trigonométricas, mediante la visualización de elementos diseñados en el software GeoGebra y la caracterización de las fases de aprendizaje de van Hiele, teniendo en cuenta los descriptores hipotéticos en cada nivel.

2.1.3. Estudio del proceso de demostración en el aprendizaje de las razones trigonométricas en un ambiente de geometría dinámica (Fiallo, 2011).

En este estudio, el autor busca mejorar la comprensión de las razones trigonométricas, diseñando y evaluando una unidad de enseñanza de las mismas en un entorno de geometría dinámica. Además, sugiere la forma en que se deben llevar a cabo las fases de aprendizaje en el estudio y demostración de estos conceptos. Nuestra investigación se diferencia del estudio de Fiallo (2011), dado que, en primer lugar, los contextos donde se desarrollan son distintos; en segundo lugar, en el módulo de aprendizaje que vamos a proponer se considerarán los conceptos previos en los que los estudiantes demostraron tener dificultad cuando presentaron la actividad diagnóstica y, en tercer lugar, las actividades serán mediadas por el software GeoGebra, con el

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

único propósito de lograr la comprensión de los conceptos asociados a las razones trigonométricas, sin llegar a una demostración formal de las mismas.

2.1.4. Comprensión de las razones trigonométricas: niveles de comprensión, indicadores y tareas para su análisis (Araya, Monge y Morales, 2007).

Este estudio explora de qué forma la comprensión incide en la resolución de problemas que involucran las razones trigonométricas, en tres estudiantes de la carrera de Bachillerato en Enseñanza de la Matemática en la Universidad de Costa Rica. Los autores interpretan aportes teóricos sobre la comprensión, analizados desde una perspectiva que trata de hacer frente a las necesidades educativas actuales del país. Como consecuencia, se establece para el tema elegido tres niveles de comprensión: instrumental, relacional y formal (Araya, Monge y Morales, 2007). Este material nos permite analizar la importancia de la comprensión para resolver problemas de tipo contextual.

2.1.5. Secuencias didácticas para el aprendizaje de las razones trigonométricas (Bravo, González y Paz, 2014).

En este trabajo se resalta que la investigación educativa es, hoy por hoy, una de las herramientas más convenientes y esenciales en la formación de los educadores y estudiantes; es decir, se ha demostrado en el tiempo que su uso permite encontrar nuevas técnicas y estrategias para trasmitir y asimilar los conocimientos, de tal manera que estos se vuelvan significativos en cada persona. Este trabajo de investigación se llevó a cabo con estudiantes del grado décimo de la Corporación Educativa la Adventista, que presta sus servicios a estudiantes de la población del

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

municipio de Puerto Tejada, en el departamento del Cauca, con el fin de enfocar más la atención y el interés del estudiante hacia el aprendizaje de la trigonometría y, específicamente, a las razones trigonométricas.

2.2. Marco legal

En los últimos años, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) se ha caracterizado por los enormes esfuerzos que ha realizado para incentivar a los docentes hacia el mejoramiento de sus prácticas de aula en las áreas de matemáticas y lenguaje, desde su reflexión como actores en el proceso de enseñanza y aprendizaje, el uso adecuado de materiales educativos y la efectiva gestión de aula; para ello, se considera como precepto el mandato constitucional de garantizar a todos los niños y niñas el derecho a recibir una educación de calidad, que les permita vivir e interactuar en la sociedad en igualdad de condiciones.

En concordancia con lo anterior, los cánones constitucionales son desarrollados por normas jurídicas de rango legal y reglamentario. Así, la Ley General de Educación en sus artículos 21, 22 y 23 establece los objetivos específicos para cada uno de los ciclos de enseñanza de las matemáticas, considerándose como un área obligatoria. De otro lado, el desarrollo del proceso educativo, también se reglamenta en el Decreto 1860 de 1994, el cual hace referencia a los aspectos pedagógicos y organizativos, resaltándose, concretamente en el artículo 14, la recomendación de expresar la forma como se ha decidido alcanzar los fines de la educación definidos por la Ley, en los que interviene para su cumplimiento las condiciones sociales y culturales; dos aspectos que sustentan el accionar del área en las instituciones educativas. (Ley 115 de 1994).

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La ley 715 de 2001 (Sistema General de Participaciones), en su artículo 5, explica:

[…] la necesidad por parte de la Nación de establecer las Normas Técnicas Curriculares y Pedagógicas para los niveles de la educación preescolar, básica y media, sin que esto vaya en contra de la autonomía de las instituciones educativas y de las características regionales, y definir, diseñar y establecer instrumentos y mecanismos para el mejoramiento de la calidad de la educación, además, de dar orientaciones para la elaboración del currículo, respetando la autonomía para organizar las áreas obligatorias e introducir asignaturas optativas de cada institución. (p. 3)

Desde el enfoque e importancia de las Matemáticas, los Lineamientos Curriculares publicados por el Ministerio de Educación Nacional (MEN, 1998), resaltan que los estudiantes requieren un desarrollo de habilidades en el área de matemáticas, que les permita lograr conocimientos esenciales para adquirir destrezas y así enfrentarse a situaciones en su ámbito profesional y personal. De esta manera, el objetivo primordial del profesor es facilitar los espacios de aprendizaje, teniendo en cuenta las necesidades e intereses de los estudiantes y los ambientes favorables en torno a la utilización de materiales adecuados como integración de conocimientos a las diversas actividades y estrategias para el fortalecimiento de las prácticas de aula (MEN, 1998).

2.3.

Estándares y pensamientos matemáticos asociados para la comprensión de los conceptos relacionados con las razones trigonométricas.

2.3.1. Estándares

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Los siguientes estándares de octavo y noveno, son los que se pretenden desarrollar en la primera parte del módulo, pues corresponden a los conocimientos previos necesarios para alcanzar la comprensión de los conceptos asociados a las razones trigonométricas, en los estudiantes del grado décimo:

 “Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas” (MEN, 2006, p. 86).  “Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales)” (MEN, 2006, p. 86).  “Aplico y justifico criterios de congruencia y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas” (MEN, 2006, p. 86).  “Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas” (MEN, 2006, p. 86).

Los estudiantes, cuando desarrollen las actividades del módulo de aprendizaje, podrán alcanzar los siguientes estándares del período décimo y once:

 “Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias” (MEN, 2006, p. 88).  “Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas” (MEN, 2006, p. 88).  “Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos” (MEN, 2006, p. 88).

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2.3.2. Pensamientos matemáticos asociados al módulo de aprendizaje

Con el módulo de aprendizaje, se pretende desarrollar el pensamiento espacial y sistemas geométricos, porque estructura todas las dimensiones y relaciones espaciales con los objetos situados en el espacio (MEN, 2006). Además, permite al estudiante desarrollar representaciones conceptuales que favorecen la creación y manipulación de nuevas representaciones mentales. Es decir, el pensamiento espacial se presenta como “[…] el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o representaciones materiales” (MEN, 2006, p. 61).

Por otro lado, estaremos desarrollando el pensamiento métrico y sistemas de medidas, porque hace referencia a la comprensión de cantidades, medición y magnitudes en diferentes situaciones relacionadas con la geometría (MEN, 2006). Se resalta, además, que en los Lineamientos Curriculares “se especifican conceptos y procedimientos relacionados con este tipo de pensamiento, como la selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos y procesos de medición” (MEN, 2006, p. 63). Lo anterior es de suma importancia para el desarrollo de actividades en el módulo de aprendizaje que pretendemos fundamentar.

2.4. Visualización de lugares geométricos y su aplicación mediante el software GeoGebra

En este apartado pretendemos formalizar los conceptos de la geometría en el software GeoGebra para resaltar su importancia y permitir la visualización y comprensión de preconceptos para abordar las razones trigonométricas.

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2.4.1. Software GeoGebra.

Introducción.

Godoy (2001) afirma que GeoGebra es un software educativo que permite un aprendizaje experimental y por descubrimiento, donde el diseñador crea ambientes ricos en situaciones que el estudiante puede explorar, es decir, estos pueden construir sus elementos y extraer conclusiones de acuerdo a determinadas propiedades. “El alumno debe llegar al conocimiento a partir de experiencias, creando sus propios modelos de pensamiento, sus propias interpretaciones del problema, por lo que nos brinda un adecuado medio para nuestro objetivo” (Godoy, 2001, p. 38).

Según Espina (2006), “el software permite realizar construcciones dinámicas de manera fácil e intuitiva” (p. 1); en este sentido, los estudiantes pueden trabajar esta aplicación de manera interactiva y sencilla, afirmando que no es un proceso complicado y que, además, no se requieren secciones extensas para su explicación y funcionamiento.

De acuerdo con dichas condiciones, Benítez, Herrera, Salas y Cuenca (2009) afirman que:

El Software GeoGebra se basa en la necesidad que tiene el estudiante de conocer mejores sistemas de aprendizaje en las nuevas tecnologías, ya que existen estudiantes con diferentes características y necesidades cognitivas, las cuales tendrán que ser asociadas a diferentes materiales de estudio. Además proponen que al utilizar esta herramienta se pueden manejar diferentes aplicaciones. (p. 13)

Aplicaciones didácticas del software GeoGebra.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Las siguientes descripciones de Benítez, Herrera, Salas y Cuenca (2009), son algunas características didácticas del software GeoGebra:

 Permite lograr el dominio del aprendizaje para el reforzamiento de los discernimientos en los estudiantes.  Permite realizar procesos de aprendizaje con la finalidad de descubrir las capacidades intelectuales de los estudiantes.  Permite generar procesos de actualización.  Favorece las clases para que sean más creativas, dinámicas y didácticas, proporcionando una mejor concentración por parte de los estudiantes.

2.5.

Sobre la visualización en geometría

Clements y Battista (1992) expresan que la “visualización integra los procesos por medio de los cuales se obtienen conclusiones, a partir de las representaciones de los objetos bi o tridimensionales y de las relaciones o transformaciones observadas en construcciones y manipulaciones” (Citados por el MEN, 2004, p.10).

En nuestra propuesta, la visualización estaría asociada a las figuras geométricas, específicamente a los triángulos y sus características, y la manera como estos conceptos presentan relación con la compresión de las razones trigonométricas. En este sentido, con la aplicación del software GeoGebra pretendemos que los estudiantes, a partir de los elementos diseñados en esta herramienta, logren procesos de visualización para la comprensión y

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construcción de conocimientos asociados para abordar las razones trigonométricas sin ninguna dificultad.

Por su parte, Arcavi (2003) sustenta que la visualización, puesta al servicio de la resolución de problemas, puede también ir más allá de su papel procedimental e inspirar una solución general y creativa. Asimismo, las representaciones de formas visuales pueden ser elementos legítimos en las demostraciones matemáticas.

La principal característica atribuida por Arcavi (2003) a la visualización es que “ofrece un método de ver lo invisible” (p. 216), tanto entendiendo la visualización como nombre (el producto, la imagen visual) o bien como verbo (el proceso, la actividad). De aquí que “muchas personas creen que la visualización es una habilidad innata y una cuestión que debe permanecer al margen de la actividad educativa”. (MEN, 2014, p. 10). Sin embargo, en nuestro caso, cobra un papel fundamental en la comprensión de los conceptos de las razones trigonométricas, dado que los estudiantes deben manipular, experimentar y generar conjeturas visuales, a través del uso del software GeoGebra.

2.6. Teorías de aprendizaje

Las teorías de aprendizaje describen procesos en los cuales el ser humano comprende, predice y controla su comportamiento, a través de la estructuración de estrategias de aprendizaje y del desarrollo continuo de destrezas y habilidades para la construcción de un nuevo saber.

En este orden, Pozo y Postigo (1994) establecen ciertos argumentos que validan las teorías de aprendizaje en su dimensión histórica y epistemológica y en su influencia en el proceso de 26

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enseñanza; adicionalmente, citan a Flavell (1977, citado por Pozo y Postigo, 1994), quien asume tanto el conductismo como el cognitivismo como conceptos auténticamente interesantes porque mantienen en su estructura conceptual natural una ambigüedad y diversidad de significados sin atributos que definan por igual a todos sus ejemplares.

Es por esto que asumimos la importancia y la necesidad de que el profesor incorpore a su diario vivir y a sus prácticas de aula, el conocimiento de las teorías de aprendizaje como una herramienta de apoyo a su desempeño profesional. Resaltamos, además, que todo proceso de enseñanza debe estar direccionado por una concepción de aprendizaje que conlleve a un conocimiento estructurado y con sentido, capaz de incentivar hacia una reflexión evidente de lo que realizan en las aulas en pro del mejoramiento de los desempeños escolares en niños y niñas.

2.6.1. Modelos conductitas

Rodríguez y Larios (2008) mencionan que los modelos conductistas hacen énfasis en el fraccionamiento del aprendizaje en una serie de pequeños comportamientos secuenciados otorgando importancia a los requisitos que posibilitan la adquisición de un conocimiento desde su desarrollo lógico y desde el desarrollo psicológico del estudiante. Dentro de este modelo, se pueden ubicar:

 La instrucción programada  Módulos de instrucción  Métodos de enseñanza colectivos  Método expositivo

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En este sentido, las asignaciones escolares deben ser las mismas para todos los estudiantes y con el mismo nivel de complejidad, las cuales deberán ser atendidas en el mismo lapso. Un método que asume esta característica es el método expositivo (Nerecí, 1990).

2.6.2. Modelos Constructivistas

Según Zapata y Sucerquia (2009), la postura constructivista determina la concepción de conocimiento, desde una posición interaccionista en la que dicho conocimiento se considera resultado de la acción del sujeto sobre la realidad; esto implica referirse a la concepción de realidad, que en el marco del constructivismo, se define como una construcción que el sujeto logra a través de los instrumentos de conocimiento que posee.

En este sentido, podemos decir que las teorías constructivistas ponen su atención en los conocimientos previos como punto inicial del aprendizaje, en los procesos mentales y en la interacción social que lo hacen posible. Desde esta perspectiva de aprendizaje y enseñanza, la escuela y el profesor juegan un papel importante. De aquí se deriva una de las recomendaciones pedagógicas de Vigotsky (1988, citado por Baquero, 1999) en el sentido que el buen aprendizaje o buena enseñanza deberían operar sobre niveles superiores de la zona de desarrollo próximo; es decir, “sobre aquellos logros del desarrollo todavía en adquisición y solo desplegados en colaboración con otro”. (Baquero, 1999, p. 139).

2.6.3. Aprendizajes en el aula

El aprendizaje en el aula, durante varios años, se ha ido perfeccionando con el ánimo de recrear las tareas educativas como un sentido común hacia el aprendizaje de nuevas estrategias 28

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

que permitan el desarrollo de habilidades y la construcción del conocimiento. El profesor se ha caracterizado por intentar estructurar los espacios de aprendizaje considerando las necesidades e intereses de los estudiantes como una herramienta para la preparación de actividades que conlleven al mejoramiento de las prácticas de aula en un espacio de reflexión y conocimiento (MEN, 1998); sin embargo, aún no se tienen en cuenta los procesos que evidencian un verdadero y eficaz aprendizaje en el aula.

En este sentido, Ausubel (1983) sugiere que la manera más importante de diferenciar los aprendizajes en el aula de clases consiste en formular dos distinciones de procesos: la de aprendizaje por recepción y por descubrimiento, y la de aprendizaje mecánico o por repetición y aprendizaje significativo.

Aprendizaje por recepción y por descubrimiento.

Ausubel, Hanesian y Novak (1993) enfatizan al afirmar que los dos tipos de aprendizaje aludidos (por recepción y por descubrimiento), son dos tipos muy diferentes de procesos y agregan que los grandes volúmenes de material de estudio se adquieren en virtud del aprendizaje por recepción, mientras que los problemas cotidianos se resuelven gracias al aprendizaje por descubrimiento. El siguiente esquema nos muestra los aprendizajes por recepción y descubrimiento en un continuo, separado por aprendizajes por repetición y significativo.

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Aprendizaje Significativo

Aprendizaje por repetición

Clasificación de las relaciones entre conceptos

Enseñanza audio tutelar bien diseñada

Investigación científica (Música o arquitecturas nuevas)

Conferencias o presentaciones de la mayor parte de los libros de texto.

Trabajo escolar en el laboratorio

“Investigación” más rutinaria o por producción intelectual.

Tablas de multiplicar

Aplicación de fórmulas para resolver problemas.

Soluciones a rompecabezas por ensayo y por error

Aprendizaje por descubrimiento guiado

Aprendizaje por descubrimiento autónomo

Aprendizaje por recepción

Aprendizajes por recepción y descubrimiento en un continuo, separado por aprendizajes por repetición y significativos a partir de Ausubel, Hanesian y Novak (1993, p.35)). Tomado de Rodríguez y Larios (2006).

De lo anterior podemos concluir que uno y otro se complementan pues el conocimiento adquirido por recepción se emplea para resolver problemas de la cotidianidad y, el aprendizaje por descubrimiento, se emplea en el aula para aplicar, entender, aclarar, integrar y evaluar el conocimiento para poner a prueba la comprensión (Ausubel, Hanesian y Novak, 1993).

Aprendizaje mecánico o por repetición y aprendizaje significativo.

“El aprendizaje mecánico o por repetición se da cuando la tarea de aprendizaje consta de puras asociaciones arbitrarias” (Ausubel, 1993, p. 212). Es decir, se reafirma lo que hemos

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conocido como aprendizaje memorístico, donde el estudiante aprende literalmente, repitiendo la información sin realizar una reflexión o argumentación que ayude a la relación con otros conocimientos presentes.

Según Ausubel, Hanesian y Novak (1993), un aprendizaje es significativo cuando puede relacionarse, de modo no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el estudiante ya sabe; es decir, un aprendizaje es significativo cuando se estructura el conocimiento teniendo en cuenta lo que posee el sujeto o adquiere significado por estar relacionado con los conocimientos previos de dicho sujeto. Es claro que el aprendizaje significativo no solamente implica la relación que existe o conserva entre los conocimientos previos y los nuevos, implica además un proceso de interacción entre los cuales se modifica su estructura cognitiva, haciéndole crecer tal y como nos muestra la acomodación definida por Piaget. Existe entonces, un proceso de interacción a través del cual esos conceptos más importantes e inclusivos, interactúan con los nuevos conocimientos sirviendo de anclaje, incorporándolo y asimilándolo, aunque al mismo tiempo, modificándole en función de este anclaje. (Moreira, 1995).

Según Zapata y Sucerquia (2009), Ausubel (2003, citado por Zapata y Sucerquia, 2009) plantea que la estructura cognitiva de los sujetos está constituida por el conjunto de ideas y conceptos que poseen acerca de un campo de conocimiento; por lo tanto, el proceso de aprendizaje depende de la estructura cognitiva y de la manera como esta se relaciona con las ideas nuevas.

2.7. Aspectos conceptuales

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2.7.1. Figuras Geométricas

Una figura geométrica es la representación de una o más líneas, superficies o volúmenes. Por otra parte, las figuras geométricas pueden ser de cuatro tipos: iguales, semejantes, equivalentes y simétricas.

Los objetos primitivos de la geometría euclidiana son el punto, la recta y el plano; en tanto que los mismos, como consecuencia de transformaciones y desplazamientos de sus componentes, producen diferentes volúmenes, superficies y líneas que son en definitiva, los objetos de estudio de la geometría, la topología y las matemáticas, entre otras.

2.7.2. Triángulos

Un triángulo es una figura geométrica plana cerrada, limitada por tres segmentos de recta unidos por sus extremos. Los puntos donde se intersectan dos segmentos se llaman vértices del triángulo y los segmentos dados se llaman lados. Los triángulos se clasifican de acuerdo a los lados iguales que tienen o de acuerdo al tipo de ángulos que poseen.

Clasificación de los triángulos según sus lados

 Triángulo isósceles: posee dos lados iguales.  Triángulo equilátero: tiene sus tres lados iguales.  Triángulo escaleno: posee sus tres lados diferentes. Clasificación de los triángulos según sus ángulos

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 Triángulo rectángulo: tiene un ángulo de 90º.  Triángulo acutángulo: sus tres ángulos son menores de 90º.  Triángulo obtusángulo: tiene un ángulo mayor a 90º.

2.7.3. Semejanza de Triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales

Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes:

Primer Criterio de semejanza de triángulos: Ángulo – Ángulo (AA)

Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales. Es decir: Si se dice que 𝛼  𝛿 y que el 𝛾  𝜁, entonces el 𝐵𝐴𝐶 ~ 𝐸𝐷𝐹

Ilustración 1. Criterio de Semejanza AA (Construcción propia en GeoGebra)

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Segundo Criterio de semejanza de triángulos: Lado – Ángulo – Lado (LAL)

Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman. ̅̅̅̅ 𝐵𝐴

̅̅̅̅ 𝐸𝐷

Si se dice que 𝐴𝐶 = ̅̅̅̅ y que 𝛽  𝜀 , entonces el 𝐵𝐴𝐶 ~ 𝐸𝐷𝐹 ̅̅̅̅ 𝐷𝐹

Ilustración 2. Criterio de Semejanza LAL (Construcción propia en GeoGebra)

Tercer Criterio de semejanza de triángulos: Lado - Lado - Lado (LLL)

Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales.

Si se dice que

̅̅̅̅ 𝐵𝐴 ̅̅̅̅ ED

=

̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ DF

=

̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ EF

entonces 𝐵𝐴𝐶 ~ 𝐸𝐷𝐹

Ilustración 3. Criterio de semejanza LLL (Construcción propia en GeoGebra).

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

2.7.4. Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, a2 = b2 + c2. Y, en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de uno de los catetos es igual a la diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del otro cateto (ver ilustración 5).

Ilustración 4. Representación geométrica del teorema de Pitágoras (Construcción propia en GeoGebra)

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lados a, b, c, respectivamente. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas, se expresa en la forma siguiente:

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. Igualmente, si se construyen figuras semejantes sobre sus lados, se demuestra que el área de la figura construida sobre la hipotenusa, es igual a la suma de las áreas de las figuras construidas sobre los catetos (López, 2007).

2.7.5. Razones trigonométricas

La trigonometría, enfocada en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante siglos en topografía, navegación y astronomía. Etimológicamente, trigon significa triángulo, y metron, medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definir como "medida de triángulos"

Dado el triángulo rectángulo en C:

Ilustración 5. Triángulo rectángulo en C (Construcción propia en GeoGebra)

Se definen: Seno del ángulo 𝐴 (𝑠𝑒𝑛(𝐴)): Cociente entre las longitudes del cateto opuesto al ángulo en 𝐴 y de la hipotenusa: 𝑠𝑒𝑛(𝐴) =

𝑎 𝑐

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Coseno del ángulo 𝐴 (𝑐𝑜𝑠(𝐴)): Cociente entre las longitudes del cateto adyacente al ángulo en 𝐴 y de la hipotenusa: 𝑐𝑜𝑠(𝐴) =

𝑏 𝑐

Tangente del ángulo 𝐴 (𝑡𝑔(𝐴)): Cociente entre las longitudes del cateto opuesto y del cateto adyacente al ángulo en 𝐴: 𝑡𝑔(𝐴) =

𝑎 𝑏

Cotangente del ángulo 𝐴 (𝑐𝑡𝑔(𝐴)): Cociente entre las longitudes del cateto adyacente y del cateto opuesto al ángulo en 𝐴: 𝑐𝑡𝑔(𝐴) =

𝑏 𝑎

Secante del ángulo 𝐴 (𝑠𝑒𝑐(𝐴)): Cociente entre las longitudes de la hipotenusa y del cateto adyacente al ángulo en 𝐴: 𝑠𝑒𝑐(𝐴) =

𝑐 𝑏

Cosecante del ángulo 𝐴 (𝑐𝑠𝑐(𝐴)): Cociente entre las longitudes de la hipotenusa y del cateto opuesto al ángulo en 𝐴: 𝑐𝑠𝑐(𝐴) =

𝑐 𝑎

Razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo.

Veamos un ejemplo, para un ángulo α:

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 6. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo (Construcción propia, GeoGebra)

Como primer, paso hallamos la hipotenusa utilizando el teorema de Pitágoras. En efecto, 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑎2 = (15)2 + (8)2 B 𝑎2 = 225 + 64 𝑎2 = 289 ⟹ 𝑎 = √289 ⟹ 𝑎 = 17 Ahora, como la hipotenusa es 17 unidades con respecto al ángulo α, sus catetos son 8 unidades y 15 unidades, opuesto y adyacente respectivamente. Luego se define el valor de las razones trigonométricas así:

𝑠𝑒𝑛(α) =

15 17

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

𝑐𝑜𝑠(α) =

8 17

𝑡𝑔(α) =

15 8

𝑐𝑡𝑔(α) =

8 15

𝑠𝑒𝑐(α) =

17 8

𝑐𝑠𝑐(α) =

17 15

2.7.6. Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo significa hallar el valor numérico de sus seis elementos; es decir, sus tres lados y sus tres ángulos interiores; para esto, se necesitan conocer, al menos, tres de sus elementos y que uno de los datos conocidos sea un lado. En el caso del triángulo rectángulo, además del ángulo recto, es necesario conocer otros datos, de tal forma que según se conozcan se pueden dar los siguientes casos:  La hipotenusa y uno de sus ángulos agudos  Un cateto y un ángulo agudo  La hipotenusa y uno de sus catetos  Los dos catetos

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

De la geometría plana elemental sabemos que la suma de las medidas de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados. Así, para encontrar el valor del tercer ángulo, conocidos los otros dos, basta con utilizar la siguiente fórmula:

𝛽 = 𝟏𝟖𝟎° − (α + γ). Así: 𝛽 + α + γ = 𝟏𝟖𝟎°

Veamos la gráfica:

Ilustración 7. Suma de los ángulos interiores de un triángulo (Construcción propia en GeoGebra)

∡𝑨 + ∡𝑩 + ∡𝑪 = 𝟏𝟖𝟎°

⟹ ∡𝑨 = 𝟏𝟖𝟎° − (∡𝑩 + ∡𝑪)

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

3.

Marco teórico: Modelo de van Hiele

En este capítulo, abordaremos las principales características del modelo de van Hiele: el concepto de comprensión, los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje, articulados al objeto de investigación.

3.1. Generalidades

De acuerdo a Fouz y De Donosti (2013), a finales de los años 50 los esposos Dina y Pierre van Hiele elaboraron currículos abiertos de geometría basados en niveles de aprendizajes y fases, para una didáctica que facilitara los avances o pasos de un nivel a otro; por lo tanto, los niveles permiten secuenciar los contenidos y las fases facilitan la organización de las actividades, permitiendo así elaborar unidades didácticas.

3.1.1. Concepto de comprensión

En la tesis doctoral “El problema de la comprensión: En conexión con la comprensión de los escolares en el aprendizaje de la geometría” de van Hiele (1957), se afirma que:

[…] un niño tiene comprensión en un determinado campo de la geometría cuando, a partir de los datos y relaciones geométricas que le suministran es capaz de llegar a una conclusión en una situación con la que nunca se había enfrentado antes”. (p. 4)

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

En este mismo trabajo, se evidencia que el autor realiza diferentes ejemplos para sustentar lo expuesto y llegar al concepto de compresión a través de mecanismos lógicos, producidos en un contexto de razonamientos matemáticos (van Hiele, 1957).

Un concepto habitual relacionado con este modelo, es el componente de Insight que, según van Hiele, se define como comprensión. Este se logra cuando una persona actúa adecuadamente y con intención en una nueva situación.

3.1.2. Componente Insight

Según van Hiele (1957), la aplicación de este modelo a un concepto específico necesita el establecimiento de una serie de descriptores para cada uno de los niveles estudiados que permitan la detección de los mismos a partir de la actividad de los aprendices. Es así que desde un consolidado de actividades conectadas y direccionadas mediante las fases de aprendizaje de van Hiele, se pretende que el estudiante adquiera el conocimiento necesario para ir pasando de un nivel de razonamiento a otro, teniendo en cuenta los descriptores hipotéticos, la visualización de elementos elaborados desde la herramienta GeoGebra y la contextualización de cada actividad en las fases de aprendizaje como estructura de apoyo a la comprensión de las razones trigonométricas. De esta manera, las fases de aprendizaje se proponen con el objetivo de ayudar al docente a impartir la instrucción correspondiente a un estudiante para que este progrese en su nivel de razonamiento (van Hiele, 1957).

3.1.3. Niveles según modelo de van Hiele: Denominación y descripción

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

De acuerdo con Jaime y Gutiérrez (1990) los niveles son una secuencia jerarquizada de etapas (ordenadas) por las que evoluciona la comprensión de un estudiante. De acuerdo a lo anterior, estos niveles se describen a continuación:

Nivel 1: Visualización o reconocimiento.

En este nivel los estudiantes perciben las figuras como un todo sin detectar relaciones entre tales formas o entre sus partes (MEN, 1998). Es decir, se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus atributos y componentes; se describen por su apariencia física mediante características meramente visuales y asemejándoles a elementos familiares del entorno. “En muchas ocasiones las descripciones de las figuras están basadas en su semejanza con otros objetos”. (Jaime y Gutiérrez, 1990, p. 307).

Nivel 2: Análisis.

En este nivel los estudiantes perciben las componentes y propiedades de los objetos y figuras como condiciones necesarias. Esto lo obtienen tanto desde la observación como de la experimentación efectuada durante trabajos prácticos (MEN, 1998). En este nivel “los estudiantes han cambiado su forma de mirar las figuras geométricas”. (Jaime y Gutiérrez, 1990, p. 308). Es decir, son conscientes que están formadas por elementos y propiedades.

Por ejemplo: si un estudiante ve que un rectángulo tiene cuatro ángulos rectos, que las diagonales son de la misma longitud, y que los lados opuestos también son de la misma longitud, se reconoce la igualdad de los pares de lados opuestos del paralelogramo general (MEN, 1998);

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

sin embargo, el estudiante es incapaz de observar el rectángulo como un paralelogramo particular.

Nivel 3: Ordenación o clasificación.

En este nivel los estudiantes describen las figuras de manera formal, es decir, pueden señalar las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es importante pues conlleva a entender el significado de las definiciones, su papel dentro de la Geometría y los requisitos que siempre requieren. “No obstante, sus razonamientos lógicos se siguen apoyando en la manipulación” (Jaime y Gutiérrez, 1990, p. 309). Los estudiantes realizan clasificaciones lógicas de manera formal ya que el nivel de su razonamiento matemático ya está iniciado (MEN, 1998). Esto quiere decir que reconocen cómo unas propiedades se derivan de otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones.

Por ejemplo: un estudiante identifica un cuadrado como un rombo porque posee unas propiedades adicionales. Además, el cuadrado ya es considerado como un caso particular del rectángulo; de esta manera, comienzan a establecerse las conexiones lógicas a través de la experimentación práctica y del razonamiento (MEN, 1998).

Nivel 4: Deducción formal.

En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, pues los estudiantes ven su necesidad para justificar las proposiciones planteadas; además, se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomática de las matemáticas. “Los estudiantes aceptan la 44

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

posibilidad de llegar al mismo resultado desde distintas premisas” (Jaime y Gutiérrez, 1990, p. 310). Es decir, se comprende cómo se puede llegar a resultados similares a partir de proposiciones o premisas distintas, lo que permite entender que se pueden realizar distintas formas de demostraciones para obtener un mismo resultado; en este nivel, “aún no se hacen razonamientos abstractos, ni se entiende suficientemente el significado del rigor de las demostraciones” (MEN, 1998, p. 39).

Nivel 5: Rigor.

En este nivel, el estudiante conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos, los cuales se pueden analizar para comparar diferentes geometrías. Se puede trabajar la Geometría de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos, alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático (MEN, 1998).

3.2. Fases de aprendizaje

En el modelo de enseñanza de van Hiele, además de los niveles de razonamiento y el componente de insight, van Hiele propone cinco fases de aprendizaje como guía para el docente en la estructuración de actividades para el mejoramiento de sus prácticas de aula en el área de matemáticas (Jaime y Gutiérrez, 1990). Estas fases se enuncian a continuación:

3.2.1. Información.

Esta se realiza con la intención de determinar los conocimientos previos que tienen los estudiantes en referencia a una temática determinada. Además, permite reconocer los estudiantes

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

que presentan claridad sobre la temática y aquellos que requieren un refuerzo o realimentación de esos conocimientos (Jaime y Gutiérrez, 1990).

3.2.2. Orientación dirigida.

Se estructura desde una serie de actividades que proponemos para la enseñanza y construcción de los conocimientos previos en referencia a las razones trigonométricas. Aquí, el estudiante inicia una fase de exploración en la herramienta determinada, para la construcción y visualización de elementos relacionados con el objeto de estudio y el paso al siguiente nivel. Es decir, “el objeto principal de esta fase es que los estudiantes descubran, comprendan y aprendan” (Jaime y Gutiérrez, 1990, p. 334)

3.2.3. Explicitación.

En esta fase el estudiante argumenta los procedimientos y cada una de las respuestas obtenidas en el desarrollo de actividades realizadas. Se socializan para el intercambio de ideas y experiencias que permiten ir consolidando el conocimiento esperado (Jaime y Gutiérrez, 1990).

3.2.4. Orientación libre.

Consta de una serie de actividades dirigidas a profundizar los conocimientos adquiridos, a ampliar la aplicación de estos y a relacionarlos. Es decir “los alumnos deberán aplicar los conocimientos y lenguaje que acaban de adquirir” (Jaime y Gutiérrez, 1990, p. 334).

3.2.5. Integración.

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Se sintetiza todo lo realizado y estudiado integrando cada uno de los conocimientos adquiridos y los conocimientos previos para la comprensión del objeto de estudio, con la participación activa de los estudiantes (Jaime y Gutiérrez, 1990).

3.3. Propiedades del modelo de van Hiele

Teniendo en cuenta una mayor comprensión del modelo de van Hiele para estructurar nuestras actividades del módulo de aprendizaje, es necesario analizar y tener en cuenta algunos referentes y características estudiadas por Jaime (1993) y Jaime y Gutiérrez (1990):

3.3.1. Recursividad

El paso de un nivel de razonamiento a otro depende de la asimilación que tenga el estudiante en referencia a cada una de las actividades desarrolladas en el nivel anterior y las estrategias que puedan ayudar a cimentar el conocimiento que se pretende estructurar (Jaime, 1993). Van Hiele (1986, citado por Jaime, 1993) afirma que "[…] el pensamiento del segundo nivel no es posible sin el del nivel básico; el pensamiento del tercer nivel no es posible sin el pensamiento del segundo nivel" (p. 14).

3.3.2. Secuencialidad

No podemos alcanzar un nivel sin haber superado de manera secuencial cada uno de los descriptores hipotéticos, lo cual implica que los estudiantes deberán pasar al otro nivel sin ningún tipo de dificultades (Jaime y Gutiérrez, 1990). Se resalta, además, que cada nivel de

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

razonamiento necesita del nivel anterior para ir asimilando y comprendiendo la temática estudiada (Jaime y Gutiérrez, 1990).

3.3.3. Especificidad del lenguaje

Las capacidades de razonamiento asociadas a los niveles de van Hiele no solo pretenden la solución de situaciones propuestas, sino la forma de expresarse a fin de ir estructurando su vocabulario (Jaime, 1993). Es decir, cada nivel asocia un tipo de lenguaje y un significado específico, donde el profesor debe ajustarse al nivel en que se encuentran los estudiantes, teniendo en cuenta la forma de abordar las actividades secuencialmente dirigidas y el lenguaje adecuado al nivel de enseñanza (Jaime, 1993).

3.3.4. Continuidad

Hace referencia al paso de un nivel de razonamiento a otro por parte del estudiante. El paso en los niveles de razonamiento de van Hiele se produce en forma secuencial y continua en cuanto a la aplicación y superación de cada uno de los descriptores hipotéticos para la comprensión y desarrollo de actividades en el módulo de aprendizaje (Jaime, 1993).

3.3.5. Localidad

Por localidad de los niveles, se entiende que un sujeto puede razonar en diferentes niveles al trabajar en distintos campos de la geometría (Jaime, 1993). Por lo general, un estudiante no se encuentra en el mismo nivel de razonamiento, pues el aprendizaje previo y los conocimientos que conserve son un elemento básico en su habilidad de razonamiento. “El propio van Hiele

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

acepta la localidad de los niveles pues sugiere que, una vez que se ha alcanzado un nivel para un concepto, o área de la geometría, requiere menos tiempo y esfuerzo alcanzar ese mismo nivel para otros conceptos o áreas”. (Van Hiele 1957, citado por Jaime, 1993, p. 15).

3.4. Algunas investigaciones realizadas en el contexto del modelo de van Hiele.

Desde 1982 inicia el desarrollo de proyectos de investigación cuyo propósito es llevar a cabo una revisión curricular, en cuanto a la geometría, aplicada y contextualizada en el modelo de van Hiele. En Estados Unidos se resaltan tres proyectos destacados los cuales han tenido gran difusión e importantes repercusiones en el ámbito educativo (Jaime y Gutiérrez 1993). A continuación, mencionaremos brevemente sus alcances principales:

3.4.1. Proyecto Chicago

Este proyecto fue dirigido por Usiskin (1982) y tenía como propósito fundamental: “analizar la habilidad de la teoría de van Hiele para describir y predecir el resultado de los estudiantes de geometría en la escuela secundaria” (Usiskin, 1982, p.8). Es decir, su objetivo principal era evaluar el nivel de razonamiento de estudiantes de enseñanza secundaria en Estados Unidos. Entre los resultados relevantes obtenidos por el proyecto, se destacan los siguientes:

 El quinto nivel propuesto por van Hiel es inexistente, por lo cual, van Hiele indica que los niveles que superan el nivel IV, son difíciles y que no tienen valor práctico (van Hiele, 1986, p.47). Se resalta la importancia de la nomenclatura de los niveles de van Hiele,

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

donde cambia según los autores, y es revisada en múltiples ocasiones por el mismo van Hiele.  Usiskin propone la propiedad de “secuencialidad fija” de los niveles, en la que “un estudiante no puede estar en un nivel 𝑛 de van Hiele, si no ha pasado a través del nivel 𝑛 − 1” (Usiskin, 1982, p. 5).  “Decisiones arbitrarias respecto al número de respuestas correctas necesarias para obtener un nivel pueden afectar el nivel asignado a muchos estudiantes”. (Usiskin, 1982, p. 80).  “Los niveles de van Hiele sirven para predecir los resultados actuales en geometría, así como también los resultados posteriores”. (Usiskin, 1982, p. 82).

3.4.2. Proyecto Oregon

Dirigido por William F. Burger de la Universidad del estado de Oregon; su estudio se centró en contestar preguntas (Burger y Shaughnessy, 1986, citados por Jaramillo, 2003) acerca de:

 Los niveles de van Hiele como una propuesta para describir el proceso de razonamiento en los estudiantes.  Caracterización de los niveles de van Hiele de acuerdo a la conducta de los estudiantes.  La utilización de la entrevista orientada a obtener información sobre los niveles predominantes en el razonamiento de una tarea específica en Geometría.

Luego de llevar a cabo el análisis a las respuestas obtenidas, el proyecto de investigación respondió afirmativamente esas inquietudes y concluyó, además, que: la utilización de la

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

entrevista escrita y el formulario de análisis son útiles para revelar los niveles de razonamiento pre encontrados (Jaramillo, 2003).

Burger y Shaughnessy (1986, citados por Jaramillo, 2003) afirmaron “los niveles aparentan ser estructuras complejas envolviendo el desarrollo de conceptos y procesos de razonamiento, aplicables a muchos ambientes de tareas” (p. 27). Además, afirman también que “la oscilación entre niveles de razonamiento pre-encontrados en un estudiante, presumiblemente en un periodo de transición entre un nivel y el siguiente, indica que los niveles son más bien dinámicos que estáticos, como teorizó van Hiele”. (p. 27)

3.4.3. Proyecto Brooklyn

Dirigido por Davis Fuys y Dorothy Geddes del Brooklyn Collage; este estudio desarrolló cuatro tareas específicas:

La traducción de los materiales del trabajo de los van Hiele, del alemán al inglés, y el desarrollo de documentación más detallada sobre la versión conductista de los niveles.

El desarrollo de tres módulos de evaluación – instrucción para ser usados con sujetos en entrevistas clínicas.

Entrevistas con alumnos participantes del proyecto.

Análisis de los niveles de razonamiento sobre material de geometría en tres series de libros de textos de EE.UU. (Zapata y Sucerquia, 2009, p. 63).

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Según Zapata y Sucerquia (2009), los resultados más interesantes de este proyecto fueron:

 La caracterización operacional por la conducta del cuarto nivel de van Hiele.  La existencia de periodos entre los niveles, donde un estudiante en un periodo transicional entre dos niveles estaría fluctuando entre el nivel n-1 y el nivel n de pensamiento.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

4.

Marco Metodológico

En este capítulo se describe la forma como se llevará a cabo el estudio: sus características generales, los métodos de recolección de la información y el análisis de la información.

4.1. Paradigma

Nuestra propuesta implementará las técnicas cualitativas: entrevista, observación y análisis documental, a fin de recolectar la información necesaria para determinar avances o dificultades en el desarrollo de actividades contenidas en el módulo de aprendizaje y enmarcadas en el modelo de van Hiele para la comprensión de las razones trigonométricas.

Según Hernández, Fernández y Baptista (2006): “[…] cada estudio cualitativo es por sí mismo un diseño de investigación. Es decir, no hay dos investigaciones cualitativas iguales o equivalentes [...] Puede haber estudios que compartan diversas similitudes, pero no réplicas, como en la investigación cuantitativa” (p. 686).

Una de las principales características del enfoque cualitativo es que en este se pueden plantear y desarrollar preguntas no solamente al inicio, sino en el trascurso de esta o después de finalizada la recoleeción de la información y su respectivo análisis; es decir, se hace un proceso que permita detectar qué preguntas son más relevantes para llevar a cabo el estudio, luego se le da forma a esas preguntas de acuerdo a lo que se pretende investigar y, por supuesto, se procede a darles respuestas (Hernández, Fernández y Baptista, 2010).

Según Hernández et al. (2006): “[…] las investigaciones cualitativas no se planean con detalle y están sujetas a las circunstancias de cada ambiente o escenario particular” (p. 686). Es 53

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

decir, en las investigaciones cualitativas se estudia la calidad de las propuestas, para lograr una descripción detallada de la actividad en particular, teniendo en cuenta los ambientes y escenarios previstos para su desarrollo.

En la investigación cualitativa las técnicas que se utilizan para recolectar datos son la observación no estructurada (no utilizan categorías preestablecidas para llevar a cabo el registro de procesos que se observan), entrevista abiertas, revisión de documentos, discusión en grupo, evaluación de experiencias personales, registros de historias de vida, interacción e introspección con grupos o comunidades, entre otras (Hernández et al., 2010).

4.2. Método de estudio de casos

De acuerdo al paradigma cualitativo, el tipo de estudio que abordaremos en esta propuesta es un “estudio de casos” (Hernández et al., 2006) de estudiantes de la Institución Educativa Simón Bolívar del municipio de Sahagún, que están próximos a abordar la temática relacionada con las razones trigonométricas.

Para llevar a cabo la investigación, decidimos utilizar el estudio de casos ya que nos permite obtener información más detallada de los aspectos relacionados con los pre saberes y saberes a tener en cuenta para la comprensión de las razones trigonométricas y, de esta manera, crear, aplicar estrategias y descartar otras que no apunten directamente a lo requerido en nuestra propuesta. Esto permitirá plantear soluciones de acuerdo a los resultados que se presenten en el desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, y faciliten el análisis del problema de estudio para elaborar un plan de acción que permita resolver la pregunta.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Además, otras razones por las cuales hemos optado por un estudio de casos, son las siguientes:

El estudio de casos puede definirse como “estudios que al utilizar los procesos de investigación cuantitativa, cualitativa o mixta, analizan profundamente una unidad para responder al planteamiento del problema, probar hipótesis y desarrollar alguna teoría” (Hernández et al., 2006, p. 224).

Si el diseño está concebido cuidadosamente, el producto final de un estudio (sus resultados) tendrá mayores posibilidades de éxito para generar conocimiento. Puesto que no es lo mismo seleccionar un tipo de diseño que otro: cada uno tiene sus características propias. (Hernández et al., 2006, p. 158).

Yin (1989, citado por Martínez, 2006) considera el método de estudio de casos apropiado para temas que se consideran nuevos pues, en su opinión, la investigación empírica tiene los siguientes rasgos distintivos:

Examina o indaga sobre un fenómeno contemporáneo en su entorno real. Las fronteras entre el fenómeno y su contexto no son claramente evidentes. Se utilizan múltiples fuentes de datos, y puede estudiarse tanto un caso único como múltiples casos (p. 173)

Según Muñoz y Muñoz (2001), el propósito fundamental del estudio de casos es entender lo particular del caso, para así poder conocer cómo interactúan todas las partes que lo forman, cómo se dan las relaciones entre sí, para después formar un todo.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Por lo tanto, nuestra propuesta se centra en el análisis del proceso de comprensión de tres estudiantes, de los conceptos y preconceptos para abordar las razones trigonométricas. Estos estudiantes, que fueron invitados para hacer parte de la propuesta, se seleccionaron porque demostraron habilidades especiales para el uso del software GeoGebra y malos resultados en la actividad diagnóstica. Se resalta, además, sus aptitudes, rendimiento académico, fluidez verbal y disposición para realizar las actividades. El análisis individual de la comprensión se realizó teniendo en cuenta tres fuentes de información, para lo cual se aplicó una actividad diagnóstica como análisis documental, una entrevista que facilitó información oral acerca de los preconceptos para la comprensión de las razones trigonométricas y la observación en el desarrollo de actividades descritas en el módulo de aprendizaje. Los resultados obtenidos en la actividad diagnóstica nos permitieron conocer el nivel en el cual se encontraban los estudiantes y, de allí, el diseño de los descriptores correspondientes por cada nivel, los cuales están guiados por las fases de aprendizaje y la visualización de elementos diseñados por los estudiantes con la herramienta GeoGebra.

El desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, permitió conocer el grado de avance que presentaron los estudiantes en cuanto a los niveles de razonamiento de van Hiele, las fases de aprendizaje y los descriptores propuestos para el diseño de actividades individuales enmarcadas en los niveles de van Hiele y apoyadas en la herramienta GeoGebra como una estrategia de visualización y verificación en cada proceso de comprensión. Esto permitió, finalmente, determinar en qué nivel de razonamiento se encontraban los estudiantes con relación a la comprensión de las razones trigonométricas.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

El paso por cada una de estas fases de aprendizaje y la observación del desarrollo de las mismas potenció, en gran medida, la posibilidad de que un estudiante avance del nivel en el que se encontraba y así pueda desarrollar sus habilidades y capacidades de razonamiento en pro del mejoramiento de la comprensión de las razones trigonométricas.

4.3. Participantes

Esta propuesta está dirigida a estudiantes del grado décimo de la Institución Educativa Simón Bolívar de Sahagún, Córdoba, ubicada en el Barrio Nueva Granada. Actualmente, existen dos jornadas: una matinal y otra vespertina. En la jornada matinal asisten los estudiantes de preescolar a quinto grado y en la jornada de la tarde los estudiantes de los grados sexto a undécimo.

La mayoría de los estudiantes son de estrato uno (1) y en un 40% viven en zona rural. La planta física cuenta con 16 aulas de clases, dos aulas de informática, un espacio para rectoría y secretaría, uno para coordinación, sala de profesores, aula múltiple, baterías sanitarias para niñas y niños; existe un pequeño patio en donde hay hacinamiento a la hora del descanso; no cuenta con laboratorios para física y química, no cuenta con un espacio físico para biblioteca ni zona para realizar deportes o realizar educación física (deben desplazarse a canchas cercanas a la escuela).

Los tres estudiantes del estudio de casos fueron elegidos después de realizar la actividad diagnóstica y las actividades estructuradas en el módulo de aprendizaje con el grupo 10° A, de dicha institución. Se pretendía, con estas actividades, la exploración de los conceptos previos relacionados con las razones trigonométricas al momento de resolver algunas situaciones

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

expuestas y la elaboración de elementos visuales en el Software GeoGebra. En las actividades aplicadas se les realizaron algunas preguntas acerca de la clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos, el teorema de Pitágoras, triángulos semejantes y teorema de los ángulos internos y externos. Estos resultados fueron analizados y se procedió con la elección de estos estudiantes teniendo en cuenta los resultados, sus aptitudes, rendimiento académico, fluidez verbal y disposición para realizar las actividades.

4.4. Métodos de recolección de la información

Para recolectar la información, realizamos un análisis documental, entrevistas y observaciones, para evidenciar el progreso en la compresión de los conceptos y preconceptos de las razones trigonométricas, con el propósito de analizar los diferentes avances que tuvieron los estudiantes. A continuación, se evidencian algunas de las características de los métodos de recolección utilizados:

4.4.1. Análisis documental

Se realizó con base a la producción escrita que surgió de las actividades del módulo de aprendizaje, dado que los estudiantes argumentaron todas las preguntas relacionadas sobre conceptos y preconceptos de las razones trigonométricas; es importante resaltar que se consideró la actividad diagnóstica para determinar el nivel donde se encontraban los estudiantes; además, se analizaron todos los elementos diseñados con el software GeoGebra y las actividades contenidas en el módulo de aprendizaje enmarcadas en el modelo de van Hiele, a fin de que los estudiantes lograran procesos de visualización para la comprensión y construcción de

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

conocimientos asociados para abordar las razones trigonométricas sin ninguna dificultad. Todas las producciones fueron analizadas en el aula, y se determinaron los avances y dificultades en las diferentes fases y niveles de razonamiento.

4.4.2. Entrevista

Para Hernández et al. (2010) “las entrevistas abiertas se fundamentan en una guía general de contenido y el entrevistador posee toda la flexibilidad para manejarla (él o ella es quien maneja el ritmo, la estructura y el contenido)” (p. 418).

En este orden de ideas, las entrevistas estuvieron orientadas a obtener información oral sobre los preconceptos en el estudio de las razones trigonométricas, así como los avances y dificultades de acuerdo al módulo de aprendizaje enmarcado en el modelo de van Hiele

4.4.3. Observación

Hernández et al., (2010) mencionan que “el observador cualitativo a veces, incluso, vive o juega un papel en el ambiente (profesor, trabajador social, médico, voluntario, etc.). El rol del investigador debe ser el apropiado para situaciones humanas que no pueden ser “capturadas” a distancia” (p. 417).

En este orden de ideas, la observación estuvo orientada hacia la descripción de comportamientos y destrezas relacionadas con la conceptualización necesaria para la comprensión de las razones trigonométricas, así como el desarrollo de las actividades

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

secuencialmente dirigidas por el modelo de van Hiele. Con esta técnica se evidenció el trabajo individual y colaborativo de acuerdo al módulo de aprendizaje.

4.5.

Estrategias de análisis de la información

4.5.1. Análisis de cada uno de los estudiantes.

Se recolectaron los datos arrojados por la actividad diagnóstica, las entrevistas individuales y grupales, así como el análisis documental expuesto por los tres estudiantes, sustentados en el módulo de aprendizaje enmarcado en el modelo de van Hiele. Estos datos fueron analizados, de manera individual, con el fin de interpretar el trabajo realizado por cada estudiante en cada una de las fases y, finalmente, explicitar el nivel en el que está razonando al terminar el módulo de aprendizaje.

4.5.2. Descriptores finales.

Antes del análisis, se diseñaron unos descriptores hipotéticos de los niveles de razonamiento, con base en el modelo, en la experiencia docente y en el conocimiento del objeto de estudio, para proponer las actividades del módulo. Después del análisis de cada uno de los estudiantes del estudio de casos, se refinaron y establecieron los descriptores finales de razonamiento, los cuales se mostrarán en el capítulo cinco.

4.5.3. Elaboración de conclusiones.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Esta parte estuvo basada en la comprensión de las razones trigonométricas exhibida por los estudiantes al desarrollar las actividades del módulo de aprendizaje, enmarcadas en el modelo de razonamiento de van Hiele y la visualización de elementos elaborados en el software GeoGebra; para ello, se tuvieron en cuenta los descriptores y las fases de aprendizaje estructuradas para cada nivel de razonamiento.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

5.

Módulo de aprendizaje

En este capítulo se proponen, de forma específica, cada una de las actividades que hacen parte del módulo de aprendizaje, teniendo en cuenta la visualización de elementos elaborados en la herramienta GeoGebra y las fases de aprendizaje propuestas en el modelo de van Hiele; con este módulo se espera dar respuesta a nuestra pregunta de investigación, que se relaciona con el mejoramiento de la comprensión de las razones trigonométricas.

Los estudiantes deben superar cada una de las actividades contenidas en el módulo de aprendizaje, las cuales han sido contextualizadas en las fases del modelo de van Hiele, teniendo en cuenta unos descriptores hipotéticos que muestran el tipo de actividad y los conceptos y preconceptos que debe tener el estudiante para el desarrollo de cada una de las tareas y, al mismo tiempo, desarrollar las destrezas necesarias para avanzar de un nivel a otro. Por otro lado, es importante el papel del profesor en la elaboración de las instrucciones para el diseño de las actividades como experiencias de aprendizaje dentro de las prácticas de aula.

Previo al diseño del módulo de aprendizaje, se realizó una prueba diagnóstica que permitió conocer el nivel de razonamiento en el cual se encontraban los estudiantes, lo que posibilitó la creación de unos descriptores hipotéticos que marcan, en gran medida, el sentido de las actividades, los elementos que se deben considerar en cada una de las fases de aprendizaje y el paso de un nivel a otro; además, se diseñaron descriptores de separación como piezas importantes para el avance al siguiente nivel.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Por lo tanto, el módulo de aprendizaje es una propuesta metodológica que pretende que los estudiantes puedan superar paso a paso los niveles de razonamiento de van Hiele, teniendo en cuenta el mejoramiento de las prácticas de aula, el diseño de actividades enmarcadas en las fases de aprendizaje, los procesos de visualización de elementos diseñados en el software GeoGebra y la exploración de preconceptos y conceptos importantes para mejorar las comprensión de la razones trigonométricas.

5.1. Estructura del módulo

5.1.1. Descriptores hipotéticos de cada nivel

De acuerdo con el modelo de van Hiele y con los resultados de las pruebas diagnósticas aplicadas a los estudiantes del grado 10° de la Institución Educativa Simón Bolívar, se propusieron unos descriptores hipotéticos para reconocer en qué nivel se encontraban los estudiantes y qué conceptos se debían tener en cuenta para el paso de un nivel al siguiente; estos descriptores sirvieron de insumo para el diseño de las actividades del módulo enmarcadas en las fases de aprendizaje y la visualización de elementos elaborados en el software GeoGebra. A continuación, se referencian dichos descriptores así:

Nivel 0 (Predescriptivo)

El estudiante:

 Identifica características de triángulos y otras figuras geométricas (reconocimiento de vértices, lados, ángulos).

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

 Reconoce la clasificación de los triángulos según la medida de los lados.  Reconoce la clasificación de los triángulos según la medida de los ángulos.  Reconoce el concepto de razón.

Descriptor de separación:

 El estudiante no relaciona triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y ángulos.

Nivel 1 (Reconocimiento Visual)

El estudiante:

 Relaciona triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y ángulos.  Reconoce que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.  Reconoce los elementos de un triángulo rectángulo.  Reconoce visualmente el teorema de Pitágoras.  Reconoce los criterios de semejanza de triángulos.

Descriptores de separación:

El estudiante:

 No utiliza los criterios de semejanza de triángulos para establecer razones o proporciones.  No reconoce geométricamente el teorema de Pitágoras.

Nivel 2 (Análisis)

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

El estudiante:

 Reconoce la demostración geométrica del teorema de Pitágoras.  Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor desconocido del lado de un triángulo rectángulo.  Establece razones válidas en triángulos rectángulos semejantes.  Establece relaciones entre catetos y la hipotenusa.  Genera diferentes razones a partir de las medidas del triángulo.

Descriptor de separación:

El estudiante:

 No establece relaciones entre los catetos y la hipotenusa en triángulos rectángulos.

Nivel 3 (Clasificación)

El estudiante:

 Reconoce que el seno de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.  Reconoce que el coseno de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa  Reconoce que la tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.  Reconoce que la cosecante de un ángulo es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

 Reconoce que la secante de un ángulo es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente  Reconoce que la cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.  Relaciona el seno con su inversa.  Relaciona el coseno con su inversa.  Relaciona la tangente con su inversa.  Logra generalizar que las razones trigonométricas son equivalentes en triángulos semejantes y en ángulos determinados.

No se proponen descriptores del nivel cuatro pues, de acuerdo con van Hiele (1957), este nivel es de tipo teórico; no es posible que los estudiantes de bachillerato alcancen el rigor matemático para comprender y realizar procesos demostrativos

5.1.2. Actividades del módulo de aprendizaje

Nivel 0 (Predescriptivo)

 Identifica características de triángulos y otras figuras geométricas (reconocimiento de vértices, lados y ángulos).  Reconoce la clasificación de los triángulos según la medida de los lados.  Reconoce la clasificación de los triángulos según la medida de los ángulos.  Reconoce el concepto de razón.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Descriptor de separación:

 El estudiante no relaciona triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y ángulos. Fase 1: Información

1. Establezca el nombre de cada figura plana y descríbala.

2. Diseñe un mapa conceptual a partir de los conceptos de las figuras anteriores.

3. Relacione cada definición con el triángulo y nombre correspondiente.

Triángulo Isósceles

Tiene 3 lados iguales

Triángulo Equilátero

Tiene 3 lados diferentes

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Triángulo Escaleno

Tiene 2 lados iguales

4. Relacione cada definición con el triángulo y nombre correspondiente.

Triángulo Obtusángulo Uno de sus ángulos es recto

Triángulo Acutángulo Uno de sus ángulos es obtuso

Triángulo Rectángulo

Sus tres ángulos son agudos

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Aporte de información: Una razón matemática es el cociente entre dos medidas de diferentes magnitudes, generalmente se expresa como a es a b. Una razón está 𝑎

compuesta por dos términos así: 𝑏, donde a es el antecedente y b es el consecuente; ejemplo:

3 4

; 3 es el antecedente y 4 es el consecuente. Esta razón se puede escribir

3

3:4 o 4 y se lee tres es a cuatro.

Una razón también se puede expresar como el cociente entre el antecedente y el consecuente; es decir, 3:4 = 0,75

5. Determine todas las razones posibles que se puedan establecer en el siguiente triángulo rectángulo.

10u 8u

6u

-----------

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----------

-----------

-----------

-----------

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-----------

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 2: Orientación dirigida Aporte de información: Para iniciar con el software GeoGebra, hacer doble clic sobre el ícono que se encuentra en el escritorio de su PC (si no lo encuentra, acceda desde Inicio/Todos los programas/GeoGebra). Debe pulsar el botón maximizar para que pueda trabajar cómodamente.

Cada uno de los botones que está observando (en la llamada Barra de Herramientas) permite desplegar un menú diferente. Así

1. Utilice el Software GeoGebra para construir un cuadrado y un triángulo rectángulo. Para ello, siga los siguientes pasos: 70

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN CUADRADO EN GEOGEBRA

Ingrese a la herramienta GeoGebra y oculte los ejes, dando clic en vista. Ya tiene la pantalla lista para la construcción del cuadrado, así:

1. Dé clic en las rectas (segmento entre dos puntos), para determinar el lado del cuadrado, que puede ser de cualquier medida o dirección. Llame los puntos del segmento A y B. 2. Recuerde que los cuadrados tienen ángulos interiores rectos, por lo tanto, puede crear rectas perpendiculares en el punto A y en el punto B. Luego, diríjase a rectas perpendiculares y haga clic. Para aplicar esta herramienta, haga clic en el segmento AB y determine dos rectas perpendiculares en los puntos A y B respectivamente. 3. Creadas las rectas perpendiculares, diríjase a la herramienta circunferencia y dé clic en compás; diríjase al segmento en el punto B (dé clic). Realice una circunferencia de radio AB. 4. Diríjase a la herramienta punto (intersección entre dos objetos). Toque la circunferencia y la perpendicular que pasa por el punto B. Ahora ha creado el punto C. 5. Recuerde que los lados opuestos de un cuadrado son paralelos, por lo que debe dibujar una recta paralela que pase por el punto C. Debe seleccionar entonces la herramienta recta (rectas paralelas), dar clic en el segmento AB y el punto C, para obtener la paralela. 6. Diríjase a la herramienta punto (intersección entre dos objetos), para crear el nuevo punto, que es la intersección de la paralela y la perpendicular en el punto A. 7. Ahora debe dibujar su cuadrado como un polígono, para esto vaya a la herramienta triángulo (polígono) y una todos los puntos dando clic a cada uno de ellos. 8. Ahora, debe ocultar todas las líneas construidas; para esto debe dar clic en la herramienta desplazar vista gráfica (exponer/ocultar) y dé clic en todos los objetos utilizados y luego dé clic en la flechita para visualizar su cuadrado. 9. Para probar si es verdaderamente un cuadrado, dé clic en la herramienta ángulo (distancia o longitud) y puede medir cada lado con solo tocar cada par de puntos.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO ISÓSCELES EN GEOGEBRA

Ingrese a la herramienta GeoGebra y oculte los ejes, dando clic en vista. Ya tiene la pantalla lista para la construcción de un triángulo rectángulo:

1. Dé clic en la herramienta recta (segmento de longitud dada), para determinar el valor de uno de los lados del triángulo rectángulo. Llame el segmento AB. 2. Posteriormente, diríjase a la herramienta circunferencia (compás), dé clic en el punto A y construya una circunferencia de radio AB. 3. Ahora dé clic en la herramienta recta (rectas perpendiculares), a fin de crear una recta perpendicular al segmento en el punto A 4. Debe marcar la intersección de la recta perpendicular y la circunferencia, dando clic en la herramienta punto (intersección); llame este punto C. 5. Por último, dé clic en la herramienta polígono y debe tocar todos los puntos creados. 6. Para comprobar que efectivamente es un triángulo rectángulo isósceles, dé clic en la herramienta ángulo para determinar las medidas de sus ángulos internos y de los lados del triángulo. 2. Con base en los pasos anteriores, construya un rectángulo, una circunferencia, un trapecio y un paralelogramo en GeoGebra. Describa los pasos que siguió en cada construcción. 3. Establezca comparaciones entre las diferentes figuras construidas en relación a sus formas, lados y ángulos. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

4. Establezca el número de vértices, lados y ángulos de un cuadrado, un rectángulo y un triángulo.

Fase 3: Explicitación

Actividades

1. Construya en GeoGebra diferentes clases de triángulos. Explique el procedimiento para su construcción e identifique las características de cada uno. 2. Socialización de los procedimientos elaborados con relación a la construcción de triángulos en GeoGebra. 3. Realización de mapa conceptual grupal sobre la clasificación de los triángulos según la medida de los ángulos y la medida de los lados.

Fase 4: Orientación Libre

Actividades

1. Hacer una representación libre en GeoGebra, utilizando las clases de triángulos y otras figuras que se trabajaron en la fase de información. 2. Con base en esa representación, diseñe un cuento en el que involucre los conceptos aprendidos hasta el momento.

Fase 5: Integración

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

1. Cada estudiante expone su representación en GeoGebra y el cuento que construyó en la fase anterior. 2. De manera individual, cada estudiante responde las siguientes preguntas:

Los triángulos isósceles se caracterizan por: a. Tener dos ángulos congruentes (igual medida). b. Tener tres ángulos congruentes (igual medida). c. Tener tres lados congruentes (igual medida). d. Tener dos ángulos rectos.

El triángulo que tiene los 3 lados congruentes (igual medida) es a. El escaleno. b. El rectángulo. c. El equilátero. d. El isósceles

Un triángulo obtusángulo es aquel que: a. Tiene 3 ángulos agudos b. Un ángulo obtuso y dos ángulos agudos c. Un ángulo recto y dos ángulos agudos d. Un ángulo recto y dos ángulos obtusos

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre falsa? Un triángulo puede ser:

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

a. Isósceles y Rectángulo b. Isósceles y Obtusángulo c. Isósceles y Acutángulo d. Equilátero y Obtusángulo

Un triángulo isósceles cuyos ángulos iguales miden 45° cada uno, es un triángulo: a. Acutángulo b. Rectángulo c. Obtusángulo d. Escaleno

Responda las preguntas de acuerdo a las siguientes figuras.

De las anteriores figuras, la que representa un triángulo obtusángulo se relaciona con el número:

75

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

a. I b. II c. III d. IV

La figura que representa un triángulo rectángulo se relaciona con el número: a. I b. II c. III d. IV En las cinco figuras mostradas, dos son triángulos equiláteros; estas se relacionan con los números: a. I y V b. II y III c. II y IV d. II y I Indique cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera: a. Las figuras I y II son triángulos escalenos. b. Las figuras I y II son triángulos rectángulos. c. Las figuras I y II son triángulos obtusángulos. d. Las figuras I y II son triángulos acutángulos.

Nivel 1 (Reconocimiento Visual)

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

El estudiante:

 Relaciona triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y ángulos.  Reconoce que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.  Reconoce los elementos de un triángulo rectángulo.  Reconoce visualmente el teorema de Pitágoras.  Reconoce los criterios de semejanza de triángulos.

Descriptores de separación:

El estudiante:

 No utiliza los criterios de semejanza de triángulos para establecer razones o proporciones.  No reconoce geométricamente el teorema de Pitágoras.

Fase 1: Información

Actividades

1. Relacione los números de la tabla con los triángulos que se presentan a continuación. Observe el ejemplo.

77

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

1

2. Socialización de la actividad. 3. Construya en GeoGebra los siete triángulos anteriores. Además, explique el procedimiento para su construcción e identifique las características de cada uno.

Fase 2: Orientación Dirigida

Actividades

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Aporte de información

Suma de los ángulos interiores de un triángulo

La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°. Ejemplo:

1. Dados los siguientes triángulos, encuentre la medida de los ángulos desconocidos.

79

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

2. Utilice el software GeoGebra para construir diferentes triángulos y determine la medida de sus ángulos interiores para verificar que su suma es 180°

80

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Aporte de Información Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales. Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes: Primer Criterio de semejanza de triángulos: Ángulo – Ángulo (AA) Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales. Si se dice que 𝛼  𝛼 , y que el 𝛾  𝛾 , , entonces el 𝐴𝐵𝐶 ~ 𝐴, 𝐵, 𝐶 ,

Segundo criterio de semejanza de triángulos: Lado-Ángulo-Lado (LAL) Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman. ̅̅̅̅ 𝐴𝐵

̅̅̅̅̅̅ 𝐴, 𝐵,

Si se dice que ̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅ y que 𝛽  𝛽 , , entonces el 𝐴𝐵𝐶 ~ 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝐵𝐶 𝐵, 𝐶 ,

81

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Tercer Criterio de semejanza de triángulos: Lado - Lado - Lado (LLL)

Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales. Si se dice que

̅̅̅̅ 𝐴𝐵 , 𝐵, ̅̅̅̅̅̅ 𝐴

=

̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ,𝐶 , ̅̅̅̅̅̅ 𝐵

̅̅̅̅ 𝐴𝐶 𝐴𝐶

, , , = ̅̅̅̅̅̅ , , entonces 𝐴𝐵𝐶~ 𝐴 𝐵 𝐶

3. Utilice el software GeoGebra y construya triángulos semejantes por cada criterio de semejanza. Describa los pasos para la construcción de cada figura.

a. Dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales.

b. Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales. c. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. Fase 3: Explicitación 1. Determine si los siguientes triángulos son semejantes y explique el criterio de semejanza respectivo.

82

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

2. Socialización de los procedimientos realizados con relación a la explicación del criterio de semejanza en cada uno de los triángulos. Aporte de Información: Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (90°); en cuanto a sus lados uno de ellos tiene mayor longitud y se llama hipotenusa y los otros dos son llamados catetos. De los catetos se puede decir que son los lados del triángulo que forman el ángulo recto y de la hipotenusa que es el lado mayor opuesto al ángulo recto.

Hipotenusa Cateto

Cateto

83

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

3. Construya diferentes triángulos rectángulos en GeoGebra y determine la medida de sus lados y de sus ángulos. Identifique los catetos y la hipotenusa de cada uno.

Aporte de Información TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

4. Halle el valor de la longitud desconocida en el siguiente triángulo rectángulo y, posteriormente, responda cada pregunta:

a. ¿Cuál es el valor de la hipotenusa en el triángulo?

b. ¿Qué clase de triángulo según sus lados observa? ¿Por qué? 84

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

c. ¿Qué características tiene un triángulo rectángulo?

d. ¿Se podrá calcular el valor de los ángulos desconocidos con el teorema de Pitágoras? ¿Por qué?

5. Socialización de los conceptos y procedimientos que surgen de la construcción de triángulos rectángulos en GeoGebra.

Fase 4: Orientación Libre

Actividad

1. Los siguientes triángulos: el triángulo ABC tiene lados de medidas 8, 15 y 17 unidades y, el triángulo DEF, tiene lados de medidas 7, 23 y 25 unidades. Dibuje cada triángulo en GeoGebra señalando los catetos y la hipotenusa. Sustente si los triángulos son o no rectángulos. 2. Construya un triángulo rectángulo en GeoGebra. Construya un cuadrado sobre cada uno de sus lados. Con base en la construcción anterior responda: a. ¿Cuál es el área de cada uno de los cuadrados? b. ¿Qué relación encuentra en el cuadrado construido sobre la hipotenusa y los construidos sobre los catetos? c. ¿Se cumple el teorema de Pitágoras? ¿Por qué?

Fase 5: Integración

85

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

1. Cada estudiante expone la construcción realizada en la fase anterior teniendo en cuenta los interrogantes realizados. 2. Responda, de forma individual, las siguientes preguntas: Con respecto a la hipotenusa, es falso afirmar que: a. Forma parte de los elementos de un triángulo rectángulo. b. Es el lado de mayor longitud en un triángulo rectángulo. c. Todos los triángulos tiene hipotenusa. d. Es el lado opuesto al ángulo recto. Un triángulo rectángulo tiene: a. Dos ángulos rectos. b. Dos ángulos agudos. c. Dos ángulos agudos y uno obtuso. d. Una hipotenusa y un ángulo llano. Si en un triángulo rectángulo se desconoce un ángulo agudo, este puede hallarse: a. Sumando el ángulo recto con el agudo que se conoce. b. Sumando dos veces el ángulo agudo que se conoce. c. Sumando el ángulo recto con la longitud de la hipotenusa. d. Restando la medida del ángulo recto con la medida del ángulo agudo que se conoce. En un triángulo, dos de sus ángulos internos miden 65° y 80°; entonces el tercer ángulo mide: a. 35° b. 25°

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

c. 55° d. 15° Si se sabe que uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide 27°, entonces el otro ángulo agudo mide: a. 53° b. 63° c. 33° d. 43° Dado un triángulo equilátero, se puede afirmar que: a. Sus ángulos tienen diferente medida. b. Sus lados tienen diferente medida. c. Todos sus ángulos miden 60°. d. Tiene un ángulo recto.

Nivel 2 (Análisis)

El estudiante:

 Reconoce la demostración geométrica del teorema de Pitágoras.  Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor desconocido del lado de un triángulo rectángulo.  Establece razones válidas en triángulos rectángulos semejantes.  Establece relaciones entre catetos y la hipotenusa.  Genera diferentes razones a partir de las medidas del triángulo.

87

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Descriptor de separación:

El estudiante:

No establece relaciones entre los catetos y la hipotenusa en triángulos rectángulos.

Fase 1: Información Actividades 1. Observe la siguiente figura y luego responda cada interrogante:

¿Qué observa en la figura? ¿En el triángulo cuál de los lados representa la hipotenusa? ¿Por qué? ¿En el triángulo cuáles lados representan los catetos? ¿Por qué? ¿A cuál de los lados le corresponde el mayor número de cuadrados pequeños? ¿Cuantos cuadrados pequeños constituyen el cuadrado construido en el cateto c? ¿Cuantos cuadrados pequeños constituyen el cuadrado construido en el cateto b?

88

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

¿Si se suma el número de cuadrados pequeños que conforman el cuadrado del cateto c, con el número de cuadrados pequeños que conforman el cuadrado del cateto b, que se puede concluir?

Fase 2: Orientación dirigida

Actividades

1. Halle el valor de la longitud desconocida en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos. Y

9

4

5

W W

2. Utilice el software GeoGebra y construya un triángulo rectángulo cuyas medidas de los catetos sean 6 y 8 unidades respectivamente; verifique el valor de la hipotenusa teniendo en cuenta las herramientas del programa y la fórmula del teorema de Pitágoras. Veamos un ejemplo como apoyo.

89

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Aporte de información

1. En la barra de herramientas elija segmento de longitud dada.

90

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

2. Agregue en este espacio la longitud requerida para el segmento:

3. En este caso observe que la longitud del segmento es 3.

91

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

4. Agregue un nuevo segmento con la medida solicitada, en este caso 4:

5. Con los dos segmentos requeridos, seleccione la herramienta compás:

92

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

6. Dé clic en el punto A y cree el centro de la circunferencia de radio 3 (menor segmento).

7. Traslade la circunferencia al segmento más grande, cuyo centro ahora es C.

93

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

8. Haga clic en la herramienta Elige y Mueve para trasladar el segmento más pequeño, por fuera de la construcción.

94

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

9. Trace una perpendicular al segmento CD, que pase por el punto C:

95

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

10. Haga clic en la herramienta intersección para crear el punto donde se intersectan la perpendicular y la circunferencia:

96

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

11. Se pueden ocultar los puntos que no se deseen, dando clic en los puntos azules que se encuentran en la izquierda de la pantalla.

12. Elija la herramienta polígono para generar el triángulo rectángulo, con solo tocar los puntos que serán los vértices. (En este caso el triángulo FCD).

97

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

13. Oculte la circunferencia y observe el triángulo rectángulo construido:

14. Dé clic en la herramienta Distancia o longitud y verifique las medidas de los lados del triángulo.

98

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

99

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra Aporte de información En el siguiente triángulo, la medida del cateto opuesto con respecto al ángulo ∝ es 3 unidades; la medida del cateto adyacente es 4 unidades y la medida de la hipotenusa es 5 unidades.

Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo anterior, las razones posibles que podemos establecer con respecto al ángulo ∝ son: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

3 5

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

4 5

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

3 4

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

4 3

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

5 4

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

5 3

100

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

3. Con base en el siguiente triángulo rectángulo, halle las razones posibles teniendo en cuenta el ángulo 𝜷

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

101

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 3: Explicitación

Actividades

1. Realizar un mapa conceptual grupal sobre las principales ideas relacionadas con el teorema de Pitágoras. 2. Después de realizado el mapa conceptual, dos estudiantes socializan su interpretación del mismo ante el grupo. 3. En equipos de tres estudiantes, se determina el valor de verdad de los siguientes planteamientos y se justifican las respuestas, a partir de los siguientes triángulos rectángulos. a. La ecuación 𝑥 2 = 𝑦 2 + 𝑧 2 es:

Falsa___ Verdadera___

b. La ecuación 𝑚2 = 𝑛2 + 𝑜2 es:

102

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Falsa___ Verdadera____

c. La ecuación 𝑝2 = 𝑞 2 − 𝑟 2 es

Falsa___ Verdadera____

Fase 4: Orientación libre

Actividades

1. Construya triángulos rectángulos y verifique en ellos las medidas de acuerdo al teorema de Pitágoras.

103

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

2. Considerando las medidas de los catetos y la hipotenusa, halle las siguientes razones: 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

3. Formule un problema de aplicación del teorema de Pitágoras en situaciones de la vida diaria y resuélvalo.

Fase 5: Integración

Actividad

1. Construya en GeoGebra tres triángulos rectángulos semejantes y nombre cada uno de los ángulos internos. Explique el procedimiento para su construcción e identifique las características de cada uno. 2. Encuentre las siguientes razones, considerando el mismo ángulo congruente en cada uno de los triángulos.

104

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Triángulo 1

Triángulo 2

Triángulo 3

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

105

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

3. Teniendo en cuenta los datos de la tabla anterior, ¿qué puede concluir al respecto? Socialice sus conclusiones con el grupo en general.

4. Responda, de forma individual, las siguientes preguntas:  Una escalera se encuentra apoyada en una pared de 6m de altura; el pie de la escalera está a 4m de la pared; por lo tanto, se puede afirmar que la longitud de la escalera es: a. 7,2 m b. 6,3 m c. 52 m d. 36,1 m  Describa los pasos, de forma analítica, que considere necesarios para calcular la altura de un triángulo equilátero de 18 cm de lado. Se puede apoyar en el software GeoGebra. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

Nivel 3 (Clasificación)

El estudiante:

 Reconoce que el seno de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa.  Reconoce que el coseno de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa

106

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

 Reconoce que la tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.  Reconoce que la cosecante de un ángulo es la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.  Reconoce que la secante de un ángulo es la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente  Reconoce que la cotangente de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto.  Relaciona el seno con su inversa.  Relaciona el coseno con su inversa.  Relaciona la tangente con su inversa.  Logra generalizar que las razones trigonométricas son equivalentes en triángulos semejantes y en ángulos determinados.

Fase 1: Información

Actividades

1. Establezca las razones posibles de acuerdo a los lados que componen un triángulo rectángulo como el siguiente. Recuerde tener en cuenta el ángulo A, en este caso:

107

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ejemplo: Cateto Opuesto/ Hipotenusa.

---------------------------------------------

----------------------------------------

---------------------------------------------

----------------------------------------

---------------------------------------------

----------------------------------------

2. Establezca las razones posibles para el ángulo B. Observe que los catetos opuesto y adyacente cambian.

---------------------------------------------

----------------------------------------

---------------------------------------------

----------------------------------------

---------------------------------------------

----------------------------------------

3. Construya cualquier triángulo rectángulo en GeoGebra. Identifique uno de los ángulos agudos y establezca razones con respecto a la medida de sus catetos y su hipotenusa.

108

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 2: Orientación Dirigida

Aporte de información Las razones trigonométricas son seis (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante). A continuación, puede apreciar las razones trigonométricas con respecto al ángulo ∝

𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 ∝ = 𝑠𝑒𝑛 ∝ =

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 ∝ = 𝑐𝑜𝑠 ∝ =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 ∝ 3 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 5 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 ∝ 4 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 5

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 ∝ = 𝑡𝑎𝑛 ∝ =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 ∝ 3 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 ∝ 4

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 ∝ = 𝑐𝑜𝑡 ∝ =

𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 ∝ = 𝑠𝑒𝑐 ∝ =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 ∝ 4 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 ∝ 3

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 5 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 ∝ 4

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 ∝ = 𝑐𝑠𝑐 ∝ =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 5 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 ∝ 3

109

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Actividades

1. Teniendo en cuenta la información anterior, donde se definen las razones trigonométricas del triángulo rectángulo; relacione cada razón con el nombre correspondiente.

Cat. Opuesto/ Hipotenusa

COTANGENTE

Cat. Adyacente/ Hipotenusa

COSECANTE

Cat. Opuesto/ Cat. Adyacente

SECANTE

Hipotenusa / Cat. Opuesto

COSENO

Hipotenusa/ Cat. Adyacente

TANGENTE

Cat. Adyacente/ Cat. Opuesto

SENO

2. Teniendo en cuenta la definición de las razones trigonométricas del ángulo∝, en el aporte de información, halle las razones trigonométricas para el ángulo 𝜷

𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝜷 = 𝑠𝑒𝑛 𝜷 =

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝜷 = 𝑐𝑜𝑠 𝜷 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜷 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜷 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝜷 = 𝑡𝑎𝑛 𝜷 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜷 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜷

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝜷 = 𝑐𝑜𝑡 𝜷 =

𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝜷 = 𝑠𝑒𝑐 𝜷 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜷 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜷

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜷

110

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝜷 = 𝑐𝑠𝑐 𝜷 =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜷

3. Construya un triángulo rectángulo cualquiera en GeoGebra; elija uno de los ángulos agudos y encuentre las razones trigonométricas. 4. Construya en GeoGebra un triángulo rectángulo que cumpla con la condición dada y, a partir de la construcción, encuentre las demás razones trigonométricas del ángulo ∝:

𝑡𝑎𝑛 ∝ =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 ∝ 8 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 ∝ 5

Fase 3: Explicitar

Actividades

1. Realizar un mapa conceptual grupal sobre las principales ideas relacionadas con las razones trigonométricas.

2. Después de realizado el mapa conceptual, dos estudiantes socializan su interpretación del mismo ante el grupo.

Fase 4: Orientación Libre

Actividades

1. Construya triángulos rectángulos en GeoGebra y determine las razones trigonométricas, considerando los dos ángulos agudos de cada uno.

111

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

2. Considerando las medidas de los catetos y la hipotenusa de alguno de los triángulos, junto con un ángulo agudo determinado, halle las siguientes razones y expréselas en forma decimal. Posteriormente, establezca una conclusión al respecto.

𝑠𝑒𝑛(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

cos(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

tan(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑐𝑡𝑔(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

sec(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

csc(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

3. Formule un problema de aplicación de las razones trigonométricas en situaciones de la vida diaria y resuélvalo.

Fase 5: Integración

Actividades

1. Construya en GeoGebra dos triángulos rectángulos semejantes y halle cada una de las razones trigonométricas para cada uno de los ángulos agudos. Explique el procedimiento para su construcción e identifique las características de cada uno. 2. Encuentre las siguientes razones trigonométricas, considerando las medidas de los catetos y la hipotenusa en cada triángulo, de uno de los ángulos congruentes. Exprese el resultado en forma decimal.

112

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Triángulo 1

Triángulo 2

𝑠𝑒𝑛(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑠𝑒𝑛(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑐𝑜𝑠(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑐𝑜𝑠(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑡𝑎𝑛(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑡𝑎𝑛(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑐𝑜𝑡(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑐𝑜𝑡(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑠𝑒𝑐(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑠𝑒𝑐(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑐𝑠𝑐(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

𝑐𝑠𝑐(á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜) =

=

=

3. Teniendo en cuenta los datos de la tabla anterior, ¿qué puede concluir al respecto? Socialice sus conclusiones con el grupo en general.

5.2. Análisis del proceso de comprensión en los niveles y fases de aprendizaje

A continuación, se presentará el análisis de cada uno de los estudiantes que participaron del estudio de casos. Por situaciones éticas y por tratarse de menores de edad, se protegieron sus nombres e identidades y se usaron seudónimos, como María, Hugo y Luis.

5.2.1. Nivel 0 (Predescriptivo)

Estudiante # 1: María 113

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

María es una estudiante que cursa el grado décimo; es expresiva y carismática; le gusta participar en clase y responder por sus deberes. Actualmente, vive con sus padres en el barrio Nueva Granada del municipio de Sahagún. Fue invitada a participar de esta propuesta por su interés hacia el software GeoGebra, responsabilidad y dedicación en el desarrollo de actividades en el área de matemáticas dentro de las prácticas de aula.

Fase 1: Información

En esta fase, la estudiante María se mostró interesada por el desarrollo de las actividades, en las cuales se evidencia que identifica:

El rectángulo como una figura geométrica, que tiene cuatro lados iguales dos a dos y cuatro ángulos rectos; el círculo lo explicó como una línea curva cerrada, que tiene puntos equidistantes, sin embargo, se percibe que no tiene claridad frente a este concepto; el triángulo lo identificó como una figura de tres lados y tres vértices; el trapecio como una figura de cuatro lados donde dos de ellos son paralelos; el rombo como una figura que está conformada por cuatro lados y cuatro ángulos agudos; el cuadrado como una figura que tiene todos sus lados iguales, conformado por cuatro vértices y cuatro ángulos rectos. En la siguiente imagen se pueden visualizar sus respuestas.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 8. María, reconocimiento de figuras planas.

Además, María elaboró un mapa conceptual donde representó con claridad las figuras planas estudiadas anteriormente, demostrando habilidad para la construcción de este tipo de esquemas y dejando claro los conceptos, elementos y características de las figuras en mención.

Ilustración 9. María, mapa conceptual a partir de los conceptos de figuras geométricas.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

María diseñó correctamente el mapa conceptual, a partir de los conceptos de las figuras geométricas anteriores; por lo tanto, se afirma que la estudiante tiene claridad en cuanto a las características de cada una.

Teniendo en cuenta lo anterior, se determina que la estudiante María desarrolla algunos saberes iniciales en referencia a los conceptos previos necesarios para comprender las razones trigonométricas, reconociendo con claridad ciertos conceptos relacionados. María reconoce el concepto de razón y lo aplicó correctamente en las actividades propuestas en el módulo de aprendizaje.

Fase 2: Orientación dirigida.

Se observa en esta fase que María tiene habilidad para hacer representaciones en el software GeoGebra, ya que construyó con propiedad las figuras geométricas solicitadas en el módulo de aprendizaje; se concluye que asimiló cada una de las orientaciones que le permitieron describir y seguir los pasos en cada construcción. Adicionalmente, la estudiante estableció comparaciones entre las diferentes figuras construidas en relación a sus formas, lados y ángulos, contando correctamente cada uno de los elementos que conformaban la figura.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 10. María, comparaciones entre figuras geométricas diseñadas en GeoGebra.

Fase 3: Explicitación

En esta fase, María utilizó el software GeoGebra y realizó la construcción de diferentes clases de triángulos, entre ellos, equiláteros, isósceles, escalenos, rectángulos; afirmando de este último, que es el único que tiene un ángulo recto; cabe resaltar que ella pudo explicar a sus compañeros los pasos que siguió para realizar dichas construcciones; también participó en la realización de un mapa conceptual grupal sobre la clasificación de los triángulos según la medida de los ángulos y la medida de los lados, en el cual se evidencia que comprenden cómo se clasifican los triángulos.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 11. María, construcción de diferentes clases de triángulos.

Posteriormente, diseñó un mapa conceptual donde representó las figuras planas estudiadas hasta el momento, donde relacionó correctamente cada triángulo con su definición; por lo tanto, se afirma que la estudiante tiene claridad en cuanto a la clasificación de los triángulos según sus lados, por lo que muestra avance en relación con la actividad diagnóstica en donde presentó algunas dificultades al momento de establecer estas relaciones.

Ilustración 12. María, mapa conceptual clasificación de triángulos.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Teniendo en cuenta lo anterior, se puede afirmar que la estudiante María alcanzó los descriptores fijados para esta fase, puesto que es capaz de utilizar el software GeoGebra para construir diferentes clases de triángulos y explicar los pasos que siguió. En esta fase, se percibe que la estudiante tiene buena fluidez verbal, dado que socializa en un intercambio de ideas y experiencias la consolidación del conocimiento esperado.

Fase 4: Orientación libre.

María utiliza el software GeoGebra y diseña una representación libre, considerando las figuras planas estudiadas hasta el momento; ella logra demostrar su capacidad y destreza en la utilización de esta herramienta, así como el conocimiento adquirido en fases anteriores.

Ilustración 13. María, representación libre en GeoGebra utilizando figuras geométricas.

La estudiante realiza una producción textual utilizando los conceptos referidos a las figuras geométricas estudiadas, creando un cuento llamado “El rectángulo que quería ser circulo”; la lectura del mismo deja ver su creatividad en dicha creación textual, logrando de esta forma avanzar en la comprensión de los conceptos previos del nivel 0. Además, profundiza los

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

conocimientos adquiridos, aplicándolos y relacionándolos con situaciones del diario vivir, como lo observamos a continuación.

Ilustración 14. María, producción textual: Cuento, el rectángulo que quería ser círculo.

Cabe resaltar que María demostró tener conocimientos sobre las figuras geométricas rectángulo, cuadrado, círculo, rombo, trapecio y triángulo, de forma independiente, identificando características particulares; sin embargo, no se percibe que establezca relaciones entre el rectángulo, el cuadrado y el rombo, por ejemplo. De hecho, para la estudiante, el rectángulo es largo, es decir, un par de sus lados paralelos mide más que el otro par; esto nos muestra que para ella no sería posible establecer que un cuadrado es un rectángulo. Situación que sería posible en el nivel 3 del modelo de van Hiele, con respecto a los cuadriláteros. 120

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 5: Integración.

En esta fase, María explicó en qué consistía la representación hecha en GeoGebra, mencionó que había construido una casa con figuras geométricas tales como: dos triángulos rectángulos, un cuadrado y dos rectángulos, las cuales había diseñado teniendo en cuenta los pasos sugeridos en el aporte de información suministrado en la fase de orientación dirigida del módulo de aprendizaje. Además realizó una lectura del cuento creado; tanto en la representación como en el cuento se observa que María tiene claridad acerca de los conceptos y características de las figuras planas estudiadas.

Ilustración 15. María, desarrollo fase de integración.

Por otro lado, María responde acertadamente las preguntas de selección múltiple con única respuesta en referencia al triángulo y a sus características, notándose un avance significativo en la conceptualización y comprensión de los conceptos relacionados con el nivel 0. Por lo tanto, se concluye que María alcanzó los descriptores expuestos para este nivel, observándose que integra los conocimientos adquiridos y conocimientos previos para la

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

comprensión y respuesta de cada uno de los interrogantes. Es por esto que concluimos que María está lista para avanzar al nivel 1.

Estudiante # 2: Hugo

Hugo es un estudiante que cursa el grado décimo; es poco expresivo, colaborador con los demás compañeros y muy dedicado en las actividades asignadas. Actualmente, vive con sus padres en el barrio las Américas del municipio de Sahagún. Fue invitado a participar de esta propuesta por su interés hacia el software GeoGebra y a las matemáticas, responsabilidad y dedicación en el desarrollo de actividades en el área de matemáticas dentro de las prácticas de aula. Cabe resaltar que Hugo ha representado a la Institución en eventos académicos relacionados con las matemáticas.

Fase 1: Información

En esta fase, el estudiante Hugo logró identificar el rectángulo como una figura de cuatro lados iguales dos a dos, de la cual se podía calcular perímetro y área; en cuanto al círculo, afirmó que tiene forma redonda, que tiene diámetro y que su radio es la mitad del diámetro; del triángulo dijo que es una figura que tiene base y altura, que se le puede calcular su perímetro y su área; definió el trapecio como una figura de dos lados paralelos y que además se le puede calcular su área; definió el rombo como una figura que está conformada por cuatro lados iguales y que se le puede calcular su área; dijo que el cuadrado es una figura que tiene todos sus lados iguales, que tiene área y perímetro.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 16. Hugo, reconocimiento de figuras planas.

Posteriormente, diseñó un mapa conceptual donde representó las figuras planas estudiadas hasta el momento, mostrando cierta habilidad para la construcción de este tipo de esquemas y dejando claro algunos conceptos, elementos y características de las figuras trabajadas.

Ilustración 17. Hugo, mapa conceptual a partir de los conceptos de figuras geométricas.

Además, realizó algunas construcciones con la ayuda del software GeoGebra y relacionó cada triángulo con su definición respectiva; por lo tanto, se puede afirmar que el estudiante

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

comprende la clasificación de los triángulos según sus lados y sus ángulos; adicionalmente, Hugo pudo determinar todas las razones posibles que se dan en un triángulo rectángulo, expresándolas en fracciones y en decimales.

Fase 2: Orientación dirigida.

Se observó en esta fase que Hugo mostró interés para hacer representaciones en GeoGebra, por lo que construyó con precisión las figuras geométricas solicitadas, sin olvidar ningún detalle en cuanto a sus características principales, tanto en el cuadrado como en el triángulo rectángulo; de igual manera, construyó un triángulo rectángulo isósceles en GeoGebra a partir de los pasos dados en el módulo de aprendizaje.

Ilustración 18. Hugo, comparaciones entre figuras geométricas diseñadas en GeoGebra.

Hugo pudo establecer comparaciones entre figuras geométricas construidas y también determinar el número de vértices, lados y ángulos de cada una, afianzando así los conocimientos previos analizados en la fase anterior. Se puede afirmar que el estudiante ha ido progresando en cuanto al logro de los descriptores del nivel 0, predescriptivo.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 3: Explicitación.

En esta fase, el estudiante utiliza el software GeoGebra y realiza la construcción de diferentes clases de triángulos, entre ellos, rectángulas, isósceles y escalenas; no presentó dificultades para construir estas figuras y explicó a sus compañeros los pasos que siguió para realizar estas construcciones.

Ilustración 19. Hugo, construcción de diferentes clases de triángulos.

Participó en la construcción de un mapa conceptual grupal sobre la clasificación de los triángulos según la medida de los ángulos y la medida de los lados, en el cual se evidenció con claridad que comprenden cómo se clasifican los triángulos.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 20. Hugo, mapa conceptual clasificación de triángulos.

Fase 4: Orientación libre.

En esta fase, Hugo utiliza las figuras planas estudiadas en actividades anteriores y realiza una construcción libre en GeoGebra (un carro), donde demuestra su destreza con la herramienta y el conocimiento adquirido. Luego, diseña un cuento llamado “La carrera del cuadrado y el círculo”, observándose que el estudiante tiene reconocimiento y dominio de las figuras estudiadas.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 21. Hugo, Representación libre en GeoGebra utilizando figuras geometricas.

Con respecto al cuento, el estudiante pudo demostrar que reconocía algunas características de las figuras: triángulo, cuadrado, círculo, rombo, trapecio, entre otras; sin embargo, las muestra como objetos independientes, con características diferentes. Además, menciona una figura llamada “acutángulo”, en la que no hace hincapié; no se percibe que esté hablando de un triángulo acutángulo. Por otro lado, menciona varias figuras planas y una tridimensional (cubo), con las que se pretende construir un carro. Esto nos lleva a concluir que el estudiante tiene ciertas dificultades con respecto a la diferencia entre lo bidimensional y lo tridimensional.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 22. Hugo, producción textual: Cuento, la carrera del cuadrado y el círculo.

Fase 5: Integración.

En esta fase, Hugo explicó en qué consistía la representación hecha en GeoGebra y realizó una lectura del cuento creado. En la representación y en el cuento, se observa que Hugo tiene claridad acerca de los conceptos y características de las figuras planas estudiadas, por lo que se evidencia creatividad en ambas construcciones; por otro lado, se percibe dominio de los conceptos al responder algunas preguntas relacionadas con las temáticas estudiadas en este nivel.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 23. Hugo, desarrollo fase de integración.

Estudiante # 3: Luis.

Luis es un estudiante del grado décimo. Se caracteriza por ser un joven expresivo, participativo y muy alegre; le gusta participar en clase y responder por sus deberes. Actualmente vive con sus padres en el barrio El Corocito del municipio de Sahagún. Fue invitado a participar de esta propuesta por su interés por aprender mucho más del software GeoGebra, responsabilidad y dedicación en el desarrollo de actividades en el área de matemáticas.

Fase 1: Información.

En esta fase, el estudiante Luis identifica al rectángulo como una figura plana que tiene cuatro ángulos y cuatro lados; el círculo como una figura geométrica; el triángulo como una figura geométrica que tiene tres lados; el trapecio como una figura geométrica que tiene dos lados paralelos; el rombo como una figura que está conformada por cuatro lados iguales y cuatro ángulos; el cuadrado como una figura que tiene todos sus lados iguales. 129

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 24. Luis, reconocimiento de figuras planas.

Además, diseñó un mapa conceptual donde representó las figuras planas estudiadas, definiendo cada una con claridad; relacionó cada triángulo con su definición, dejando ver que tiene comprensión de estos conceptos.

Ilustración 25. Luis, mapa conceptual a partir de los conceptos de figuras geométricas.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Luis logró determinar todas las razones posibles que se dan en un triángulo rectángulo, dada la longitud de los catetos y la hipotenusa, expresándolas en fracciones sin simplificar.

Fase 2: Orientación dirigida.

En esta fase, Luis mostró interés para hacer representaciones en GeoGebra, construyendo las figuras geométricas solicitadas en el módulo de aprendizaje, sin olvidar ningún detalle en cuanto a sus características principales, tanto en el cuadrado como en el triángulo rectángulo. De igual manera, construyó un triángulo rectángulo isósceles en GeoGebra, con base en los pasos dados.

Ilustración 26. Luis, comparaciones entre figuras geométricas diseñadas en GeoGebra.

Luis determinó el número de vértices, lados y ángulos de las figuras construidas en GeoGebra, estableciendo la cantidad según los elementos solicitados. Respecto al cuadrado, mencionó que tiene cuatro lados iguales, cuatro vértices y cuatro ángulos; del rectángulo que tiene cuatro lados y cuatro ángulos rectos; del triángulo que tiene tres lados, tres ángulos y tres vértices.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 3. Explicitación.

En esta fase, Luis, mediante el software GeoGebra, realizó la construcción de diferentes clases de triángulos, entre ellos, rectángulos, acutángulos y escalenos, sin presentar dificultades para construir estas figuras; también explicó los pasos que llevó a cabo para elaborarlas, observándose que los procedimientos utilizados fueron correctos.

Así mismo, construyó un mapa conceptual grupal, en el cual se evidencia con claridad que comprende la clasificación de los triángulos.

Ilustración 27. Luis, construcción de diferentes clases de triángulos.

Posteriormente, diseñó un mapa conceptual donde representó diferentes tipos de triángulos, donde relacionó correctamente cada triángulo con su definición; por lo tanto, se afirma que la estudiante tiene claridad en cuanto a la clasificación de los triángulos según sus lados, por lo que muestra avance en relación con la actividad diagnóstica en donde presentó algunas dificultades al momento de establecer estas relaciones.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 28. Luis, mapa conceptual clasificación de triángulos.

Fase 4: Orientación libre.

El estudiante utiliza las figuras planas estudiadas y realiza una construcción libre (una casa); además, diseñó un cuento llamado “Las figuras geométricas que querían construir una casa”, en el que involucró los conceptos aprendidos hasta el momento, afianzando los conocimientos adquiridos en fases anteriores.

Ilustración 29. Luis, Representación libre en GeoGebra utilizando figuras geométricas.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

En el cuento de Luis, se puede observar que reconoce, de manera individual, varias figuras planas como el cuadrado, el rectángulo, el círculo y el trapecio. Sin embargo, se percibe una dificultad en cuanto a la diferencia entre lo bidimensional y lo tridimensional. La casa construida en GeoGebra está en un plano, es decir, es bidimensional; situación que no es posible en nuestros contextos cotidianos, donde vivimos en un mundo totalmente tridimensional.

Ilustración 30. Luis, producción textual: Las figuras geométricas que querían construir una casa.

Fase 5: Integración

En esta fase, Luis explicó en qué consistía la representación hecha en GeoGebra y realizó una lectura de su cuento. En la representación y el cuento, se observa que Luis tiene claridad acerca de los conceptos y características de las figuras planas estudiadas. Respondió

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

correctamente un cuestionario con preguntas de selección múltiple con única respuesta, referentes al triángulo y sus características.

Ilustración 31. Luis, desarrollo fase de integración.

5.2.2. Nivel 1 (Reconocimiento visual).

Estudiante # 1: María.

Fase 1: Información.

Se observó en esta fase que la estudiante María relacionó correctamente los triángulos según la medida de sus lados y la medida de sus ángulos; además, construyó en GeoGebra los diferentes triángulos según su clasificación, explicando el procedimiento que siguió para lograrlo, mostrando gran interés en la realización de estas actividades.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 32. María, relación de triángulos según la medida de sus lados y ángulos.

Fase 2: Orientación dirigida.

María encontró correctamente la medida de los ángulos interiores de diferentes triángulos; así mismo, utilizó el software GeoGebra y construyó diferentes triángulos, determinando en cada uno la medida de los ángulos interiores y comprobando que la suma de estas medidas era 180°; también, con el software, logró construir triángulos semejantes por cada criterio de semejanza.

Ilustración 33. María, determinación de medidas de ángulos interiores en un triángulo.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 3: Explicitación.

Se observa que la estudiante determina con claridad, cuándo dos triángulos son semejantes explicando cada criterio; adicionalmente, reconoció los procedimientos realizados para explicar cuándo dos triángulos son semejantes.

Ilustración 34. María, aplicación teorema de Pitágoras para hallar longitud desconocida.

María construyó en GeoGebra diferentes triángulos rectángulos, determinando la medida de sus lados y sus ángulos; posteriormente, identificó los catetos y la hipotenusa de cada uno. Por otro lado, en esta fase, la estudiante determinó el valor de la longitud desconocida en un triángulo rectángulo, estableciendo a la vez las principales características de este triángulo y socializando los conceptos y procedimientos aplicados en cada construcción.

Fase 4: Orientación Libre.

María pudo construir en GeoGebra triángulos, a partir de medidas dadas para sus lados, y determinó si esos triángulos eran rectángulos o no; también, con GeoGebra, construyó cuadrados 137

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo llegando a la conclusión que estas construcciones verificaban el teorema de Pitágoras.

Ilustración 35. María, construcción de triángulo rectángulo y cuadrados sobre cada uno de sus lados.

Fase 5: Integración

En esta fase, María expone ante sus compañeros las construcciones realizadas en GeoGebra y responde correctamente los interrogantes relacionados con la temática desarrollada. Se puede concluir que María alcanza la mayoría de los descriptores del nivel 1, de reconocimiento visual y está lista para desarrollar las actividades del nivel 2, de análisis.

Estudiante # 2: Hugo.

Fase 1: Información.

En esta fase, el estudiante Hugo relacionó correctamente los triángulos según la medida de sus lados y la medida de sus ángulos; logró construir en GeoGebra diferentes triángulos según su

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

clasificación, explicando el procedimiento que siguió para realizarlos; se notó gran interés en la realización de estas actividades.

Ilustración 36. Hugo, relación de triángulos según la medida de sus lados y ángulos.

Fase 2: Orientación dirigida.

Hugo determinó correctamente la medida de los ángulos interiores de diferentes triángulos; además, utilizó el software GeoGebra y construyó diferentes triángulos, hallando en cada uno la medida de los ángulos interiores y comprobando que la suma de estas medidas era de 180°; también utilizó el software GeoGebra para realizar triángulos semejantes por cada criterio de semejanza.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 37. Hugo, determinación de medidas de ángulos interiores en un triángulo.

Fase 3: Explicitación.

En esta fase, el estudiante pudo determinar cuándo dos triángulos son semejantes, explicando cada uno de los criterios; incluso, identificó los procedimientos realizados para explicar cuándo dos triángulos son semejantes; adicionalmente, construyó en GeoGebra diferentes triángulos rectángulos, determinando la medida de sus lados y de sus ángulos; así mismo, identificó los catetos y la hipotenusa de cada uno.

En esta fase, el estudiante también halló el valor de la longitud desconocida en un triángulo rectángulo, estableciendo a la vez las principales características de este triángulo, socializando los conceptos y procedimientos aplicados en cada construcción.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 38. Hugo, aplicación teorema de Pitágoras para hallar longitud desconocida.

Fase 4: Orientación Libre.

En esta fase, Hugo utilizó la herramienta GeoGebra para construir triángulos, a partir de medidas dadas para sus lados, y determinó si son rectángulos o no; también, en GeoGebra, construyó cuadrados sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, concluyendo que en estas construcciones se podía comprobar el teorema de Pitágoras.

Ilustración 39. Hugo, construcción de triángulo rectángulo y cuadrados sobre cada uno de sus lados.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 5: Integración.

En esta fase, Hugo expuso ante sus compañeros las construcciones realizadas en GeoGebra y respondió correctamente los interrogantes relacionados con la temática desarrollada. Por lo tanto, podemos determinar que el estudiante pudo desarrollar la mayoría de los descriptores del nivel 1, de reconocimiento visual, y se encuentra listo para avanzar al nivel 2, de análisis.

Estudiante # 3: Luis

Fase 1: Información.

En esta fase, el estudiante Luis relacionó los triángulos según la medida de sus lados y la medida de sus ángulos; posteriormente, construyó en GeoGebra diferentes triángulos según su clasificación y explicó el procedimiento que realizó para su construcción; se pudo percibir que el estudiante mostró interés en la realización de las actividades propuestas.

Ilustración 40. Luis, relación de triángulos según la medida de sus lados y ángulos.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 2: Orientación dirigida.

El estudiante pudo hallar la medida de los ángulos interiores de diferentes triángulos correctamente; utilizó el software GeoGebra para construir diferentes triángulos, hallando en cada uno la medida de los ángulos interiores y comprobando que la suma de las medidas era 180°; también manipuló el software GeoGebra para construir triángulos semejantes por cada criterio de semejanza.

Ilustración 41. Luis, determinación de medidas de ángulos interiores en un triángulo.

Fase 3: Explicitación.

En esta fase, Luis comprendió cuándo dos triángulos son semejantes aplicando algunos criterios de semejanza; adicionalmente, utilizó la herramienta GeoGebra para construir diferentes triángulos rectángulos, determinando la medida de sus lados y sus ángulos para identificar los catetos y la hipotenusa de cada uno.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 42. Luis, aplicación teorema de Pitágoras para hallar longitud desconocida.

Fase 4: Orientación Libre.

En esta fase, Luis, mediante la herramienta GeoGebra, construyó triángulos a partir de medidas dadas para sus lados, y determinó si eran rectángulos o no; posteriormente, con GeoGebra, construyó cuadrados sobre cada uno de los lados del triángulo rectángulo, observando que en estas construcciones se confirmaba lo expuesto en el aporte de información relacionado con el teorema de Pitágoras.

Ilustración 43. Luis, construcción de triángulo rectángulo y cuadrados sobre cada uno de sus lados.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 5: Integración.

En esta fase, el estudiante socializó a sus compañeros las construcciones realizadas en GeoGebra y, luego, respondió correctamente los interrogantes relacionados con la temática desarrollada. Por lo tanto, podemos determinar que el estudiante pudo desarrollar la mayoría de los descriptores del nivel 1, de reconocimiento visual, y se encuentra listo para avanzar al nivel 2, de análisis.

5.2.3. Nivel 2 (Análisis)

Estudiante # 1: María

Fase 1: Información.

En esta fase, María identificó el triángulo rectángulo y los nombres que recibe cada uno de sus lados; se observa que la estudiante reconoce la representación geométrica del teorema de Pitágoras, ya que determinó que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa a partir de una figura presentada en el módulo de aprendizaje.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 44. María, reconocimiento de la representación geométrica del Teorema de Pitágoras.

Fase 2: Orientación dirigida.

Se observa en esta fase que la estudiante María, determinó el valor desconocido de diferentes triángulos rectángulos, notándose que aplica el teorema de Pitágoras; además utilizó el software GeoGebra para construir triángulos rectángulos y así verificar la longitud de sus catetos y de la hipotenusa.

Ilustración 45. María, determinación de longitud desconocida aplicando el teorema de Pitágoras.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Fase 3: Explicitación.

En esta fase, María construyó un mapa conceptual acerca de las principales características del teorema de Pitágoras, dejando ver que comprende los conceptos asociados con este teorema. María, junto con sus dos compañeros, halló el valor de verdad de algunos planteamientos sobre ciertos triángulos; es decir, dada una ecuación, determinaron si esta correspondía a un triángulo rectángulo.

Ilustración 46. María, valor de verdad de planteamientos y mapa conceptual del teorema de Pitágoras.

Fase 4: Orientación libre.

En esta fase, la estudiante construyó diferentes triángulos rectángulos y verificó las medidas de acuerdo al teorema de Pitágoras; luego de obtener las medidas de los catetos y la 147

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

hipotenusa, determinó el valor de algunas razones solicitadas; también formuló y resolvió un problema cuya solución condujo a la aplicación del teorema de Pitágoras.

Ilustración 47. María, construcción de triángulos rectángulos y determinación de razones.

Fase 5: Integración.

En esta fase, María manipuló la herramienta GeoGebra y construyó triángulos rectángulos semejantes, explicando el procedimiento utilizado para su elaboración; posteriormente, nombró sus ángulos internos; luego, encontró diferentes razones propuestas en el módulo de aprendizaje, considerando alguno de los ángulos congruentes y analizando cada resultado. Se aclara que al principio de esta fase, María manifestó algunas dificultades para llevar a cabo la actividad, pero con el acompañamiento del profesor y el uso de la herramienta GeoGebra, pudo desarrollar las actividades conforme al módulo de aprendizaje.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Finalmente, María respondió correctamente los interrogantes planteados a partir de situaciones relacionadas con el teorema de Pitágoras; sin embargo, la estudiante presentó algunos inconvenientes al momento de describir los pasos para calcular la altura de un triángulo equilátero dado su lado; para lograrlo, necesitó del software GeoGebra.

María pudo alcanzar algunos descriptores del nivel 2, de análisis. Se observa que está preparada para desarrollar las actividades de las fases del nivel 3, de ordenación.

Ilustración 48. María, desarrollo fase de integración.

Estudiante #2: Hugo

Fase 1: Información.

En esta fase, el estudiante Hugo respondió los interrogantes a partir de una figura correspondiente a una de las representaciones geométricas del teorema de Pitágoras,

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

distinguiendo así los catetos de la hipotenusa; de esta manera, pudo comprender la definición del teorema de Pitágoras, la cual observó en forma geométrica.

Ilustración 49. Hugo, reconocimiento de la representación geométrica del Teorema de Pitágoras.

Fase 2: Orientación dirigida.

En esta fase, Hugo halló el valor de la longitud desconocida de diferentes triángulos rectángulos, en los cuales en algunos casos se le pidió hallar un cateto y, en otros, la hipotenusa; cabe resaltar que el estudiante demuestra habilidades para desarrollar este tipo de ejercicios.

Hugo utilizó el software GeoGebra para construir un triángulo rectángulo, dados los valores de los catetos; además, verificó la medida de la hipotenusa, visualizando, una vez más, como se manifiesta el teorema de Pitágoras.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 50. Hugo, determinación de longitud desconocida aplicando el teorema de Pitágoras.

Fase 3: Explicitación.

En esta fase, el estudiante construye un mapa conceptual grupal en donde se percibe que tiene dominio en lo referente al teorema de Pitágoras, puesto que define, con propiedad, cada elemento que conforma un triángulo rectángulo y la forma como se define y aplica el teorema.

Posteriormente, Hugo, en compañía de otros dos compañeros, determinó los valores de verdad de algunas ecuaciones dadas para un triángulo rectángulo, al usar el teorema de Pitágoras; es decir, los estudiantes pudieron observar y analizar si las ecuaciones planteadas correspondían a la definición del teorema de Pitágoras, de acuerdo con cada triángulo.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 51. Hugo, valor de verdad de planteamientos y mapa conceptual del teorema de Pitágoras.

Fase 4: Orientación libre.

El estudiante, en esta fase, construyó diferentes triángulos rectángulos y luego verificó las medidas teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras; esto nos permitió percibir que Hugo efectuó estos procedimientos de forma acertada. Luego, con las medidas de los catetos y la hipotenusa, halló el valor de algunas razones propuestas en el módulo de aprendizaje. Por último, formuló y resolvió un problema relacionado con este teorema, afianzando así la comprensión de los conceptos.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 52. Hugo, construcción de triángulos rectángulos y determinación de razones.

Fase 5: Integración.

En esta fase, el estudiante construyó en GeoGebra tres triángulos rectángulos semejantes, nombrando cada uno de los ángulos interiores; además, explicó los pasos para lograrlo; posteriormente, encontró el valor de algunas razones, considerando el mismo ángulo congruente para los tres triángulos. Hugo respondió acertadamente un interrogante a partir de una situación problema planteada, en donde desarrolló procedimientos pertinentes para llegar a la respuesta correcta; por último, se observó que Hugo tuvo inconvenientes para describir los pasos para calcular la altura en un triángulo equilátero conociendo su lado, pero con la ayuda del software GeoGebra pudo lograrlo. Se debe resaltar que, al igual que María, Hugo tuvo dificultades en el desarrollo de la actividad; sin embargo, con el acompañamiento del profesor y el uso de la herramienta GeoGebra, pudo desarrollar las actividades conforme al módulo de aprendizaje.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Finalmente, Hugo pudo alcanzar algunos descriptores del nivel 2, de análisis. Se observa que está preparado para desarrollar las actividades de las fases del nivel 3, de ordenación.

Ilustración 53. Hugo, desarrollo fase de integración.

Estudiante #3: Luis.

Fase 1: Información.

En esta fase, Luis observó una figura en donde se representó geométricamente el teorema de Pitágoras y, posteriormente, respondió algunos interrogantes, dejando ver, según sus respuestas, que comprende los elementos que conforman un triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras mediante esta representación geométrica.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 54. Luis, reconocimiento de la representación geométrica del Teorema de Pitágoras.

Fase 2: Orientación dirigida.

En esta fase, el estudiante logra hallar el valor desconocido en diferentes triángulos rectángulos mediante el teorema de Pitágoras, diferenciando cada procedimiento al encontrar la longitud de los catetos y la hipotenusa. Luis utilizó el software GeoGebra y construyó un triángulo rectángulo dadas las medidas de sus catetos, logrando verificar el valor de la hipotenusa y relacionando el resultado con la aplicación de la fórmula del teorema de Pitágoras en este procedimiento.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 55. Luis, determinación de longitud desconocida aplicando el teorema de Pitágoras.

Fase 3: Explicitación.

Luis realiza un mapa conceptual grupal y participa activamente de su construcción, dando aportes valiosos para su elaboración, respecto a las ideas relacionadas con el teorema de Pitágoras. Posteriormente, determinó el valor de verdad de ciertos planteamientos relacionados con el triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras; con este ejercicio, pudo determinar cuáles planteamientos correspondían al teorema de Pitágoras.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 56. Luis, valor de verdad de planteamientos y mapa conceptual del teorema de Pitágoras.

Fase 4: Orientación libre.

En esta fase, Luis construyó diferentes triángulos rectángulos y verificó sus medidas haciendo uso del teorema de Pitágoras; posteriormente, halló el valor de algunas razones planteadas, utilizando las medidas de los catetos y la hipotenusa; por último, formuló y resolvió un problema aplicando el teorema de Pitágoras.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Ilustración 57. Luis, construcción de triángulos rectángulos y determinación de razones.

Fase 5: Integración.

Luis, con la ayuda del docente y el uso de la herramienta GeoGebra, construyó tres triángulos rectángulos semejantes, nombrando los ángulos internos de cada uno y explicando el procedimiento seguido para su construcción; se percibió que este estudiante tiene buen dominio de la herramienta de geometría dinámica, para realizar este tipo de representaciones; luego, Luis encontró el valor de algunas razones a partir de los resultados obtenidos utilizando el mismo ángulo congruente, en cada uno de los triángulos rectángulos; por último, en esta fase, describió los pasos para hallar la altura de un triángulo equilátero dada la medida de su lado, teniendo como apoyo el software GeoGebra. Es importante mencionar que Luis también presentó dificultades para llevar a cabo las actividades, al igual que sus otros dos compañeros. Sin embargo, con el acompañamiento constante del profesor y el uso de la herramienta GeoGebra, pudo desarrollar las actividades conforme al módulo de aprendizaje.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Finalmente, Luis pudo alcanzar algunos descriptores del nivel 2, de análisis. Se observa que está preparado para desarrollar las actividades de las fases del nivel 3, de ordenación.

Ilustración 58. Luis, desarrollo fase de integración.

5.3. Análisis de descriptores finales y paso por niveles del modelo de van Hiele

5.3.1. Estudiante # 1: María

Nivel 0 (Predescriptivo).

 Identifica características de triángulos y otras figuras geométricas. Se evidenció que la estudiante María, teniendo en cuenta el desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, pudo reconocer los triángulos como figuras geométricas con tres vértices, tres lados y tres ángulos.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

 Reconoce la clasificación de los triángulos según la medida de los lados. Se evidenció que la estudiante, teniendo en cuenta el desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, pudo clasificar los triángulos según las medidas de sus lados, reconociendo el triángulo escaleno como un triángulo con medidas desiguales; el equilátero con medidas iguales y, el isósceles, con dos lados cuyas medidas son iguales.  Reconoce la clasificación de los triángulos según la medida de los ángulos. Se percibió que María pudo clasificar los triángulos según las medidas de sus ángulos, reconociendo el triángulo acutángulo como aquel que tiene sus ángulos agudos, el rectángulo como el que tiene un ángulo recto y, el obtusángulo, como aquel que tiene un ángulo obtuso.  Reconoce el concepto de razón. María mostró capacidades para reconocer el concepto de razón como una relación entre dos magnitudes. Además, se evidenció su representación como fracción y decimal.

Nivel 1 (Reconocimiento visual)

 Relaciona triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y ángulos. María cumple con este descriptor ya que reconoce la clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos y establece relación entre ellos con facilidad.  Reconoce que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. María, en la actividad diagnóstica, no logró hallar la medida de uno de los ángulos de un triángulo, conociendo dos de ellos; sin embargo, en el desarrollo de las actividades del módulo, tuvo que realizar la suma de los ángulos interiores de otros triángulos llegando a la conclusión de que su resultado siempre era 180°. Por lo tanto, se evidencia el logro de este descriptor. 160

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

 Reconoce los elementos de un triángulo rectángulo. María, en la prueba diagnóstica, no era capaz de reconocer que los catetos, la hipotenusa, un ángulo recto y dos ángulos agudos eran los elementos de un triángulo rectángulo, pero luego del desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, la estudiante logra afirmar que el triángulo rectángulo tiene un ángulo recto cuya medida es 90° y que sus elementos son los catetos y la hipotenusa. Esto nos permite percibir que alcanza algunos conocimientos que permiten el reconocimiento de un triángulo rectángulo.  Reconoce visualmente el teorema de Pitágoras. La estudiante, en el desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, demostró capacidad e interés en la orientación dirigida propuesta para llevar a cabo la visualización y verificación del teorema de Pitágoras, a través de las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Por lo tanto, alcanza este descriptor.  Reconoce los criterios de semejanza de triángulos. María no cumple en su totalidad este descriptor ya que, en algunos momentos, necesitó de la ayuda oportuna del profesor, quien en su momento resaltó la importancia de esta temática y las estrategias que desde el software GeoGebra se podían implementar para una mejor comprensión y reconocimiento visual de los criterios de semejanza.

Nivel 2 (Análisis).

 Reconoce la demostración geométrica del teorema de Pitágoras. María, con la ayuda del software GeoGebra y los conocimientos adquiridos en el nivel anterior, pudo demostrar geométricamente el teorema de Pitágoras, contando las unidades cuadrados en cada uno

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

de los catetos, sumando y verificando que el resultado era equivalente al número de unidades cuadradas en la hipotenusa.  Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor desconocido del lado de un triángulo rectángulo. Se evidencia que la estudiante pudo hallar cualquier valor desconocido en triángulos rectángulos, con el uso del teorema de Pitágoras.  Establece razones válidas en triángulos rectángulos semejantes. María, en la prueba diagnóstica, se le dificultaba establecer razones teniendo en cuenta los lados de un triángulo rectángulo; sin embargo, luego del desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, se percibe que es fácil para ella encontrar razones para cualquiera de los lados.  Establece relaciones entre catetos y la hipotenusa. María, en la prueba diagnóstica, exhibía dificultades para diferenciar los lados del triángulo rectángulo, es decir, cuáles eran los catetos y cuál era la hipotenusa. Luego del desarrollo de las actividades, reconoció los catetos y estableció la diferencia y la relación con la hipotenusa.  Genera diferentes razones a partir de las medidas del triángulo. María, en la prueba diagnóstica, tenía dificultades para establecer las razones posibles en un triángulo rectángulo, ya que desconocía el concepto de razón. Luego de realizar las actividades del módulo de aprendizaje, se pudo evidenciar la comprensión del concepto de razón, la relación entre los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo, así como el establecimiento de razones posibles teniendo en cuenta las medidas del triángulo.

5.3.2. Estudiante # 2: Hugo

Nivel 0 (Predescriptivo) 162

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

 Identifica características de triángulos y otras figuras geométricas. Se evidenció que el estudiante Hugo reconoció figuras geométricas como el triángulo, cuadrado, rectángulo y rombo, resaltando el número de vértices, lados y ángulos en cada una de ellas.  Reconoce la clasificación de los triángulos según la medida de los lados. Se percibió que Hugo pudo clasificar los triángulos según las medidas de sus lados, reconociendo el nombre que reciben según su clasificación.  Reconoce la clasificación de los triángulos según la medida de los ángulos. Se evidenció que el estudiante pudo clasificar los triángulos según las medidas de sus ángulos, reconociendo el triángulo acutángulo como aquel que tiene sus ángulos agudos, el rectángulo como el que tiene un ángulo recto y, el obtusángulo, como aquel que tiene un ángulo obtuso.  Reconoce el concepto de razón. Hugo, en la actividad diagnóstica, presentó algunos inconvenientes para determinar la razón teniendo en cuenta las medidas de un triángulo rectángulo. Pero al desarrollar las actividades del módulo de aprendizaje, demostró la comprensión del concepto de razón desde los ejercicios expuestos y resueltos para el reconocimiento del concepto.

Nivel 1 (Reconocimiento visual).

 Relaciona triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y ángulos. Hugo cumple con este descriptor ya que reconoce la clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos, y logra establecer relación entre ellos teniendo en cuenta varios ejemplos elaborados en el software GeoGebra.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

 Reconoce que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Hugo, teniendo en cuenta el desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje y las múltiples ocasiones en que realizó la suma de los ángulos interiores de triángulos, llegó a la conclusión de que su resultado siempre era 180°. Por lo tanto, se evidencia el logro de este descriptor.  Reconoce los elementos de un triángulo rectángulo. Hugo afirma que en un triángulo rectángulo, dos de sus lados son perpendiculares, que forman un ángulo recto cuya medida es 90° y que sus elementos son los catetos y la hipotenusa. Por consiguiente, se percibe el reconocimiento de los elementos de un triángulo rectángulo.  Reconoce visualmente el teorema de Pitágoras. Hugo demostró capacidad e interés para llevar a cabo la visualización y verificación del teorema de Pitágoras a través de las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Por lo tanto, alcanza este descriptor.  Reconoce los criterios de semejanza de triángulos. Hugo no cumplió en su totalidad este descriptor, ya que en algunos momentos necesitó de la ayuda oportuna del profesor, quien en su momento resaltó la importancia de esta temática y las estrategias que desde el software GeoGebra se podían implementar para una mejor comprensión y reconocimiento visual de los criterios de semejanza.

Nivel 2 (Análisis).

 Reconoce la demostración geométrica del teorema de Pitágoras. Hugo pudo demostrar geométricamente el teorema de Pitágoras, contando las unidades cuadrados en cada uno de los catetos, sumando y verificando que el resultado era equivalente al número de

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

unidades cuadradas en la hipotenusa. Luego, en una hoja en blanco aplicó la fórmula para una mayor comprensión de la situación problema.  Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor desconocido del lado de un triángulo rectángulo. Se evidencia que el estudiante Hugo, teniendo en cuenta el desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, aplicó el teorema de Pitágoras para dar solución a situaciones que involucran triángulos rectángulos.  Establece razones válidas en triángulos rectángulos semejantes. Hugo, en la prueba diagnóstica, tuvo dificultades para establecer razones teniendo en cuenta los lados de un triángulo rectángulo; no obstante, luego del desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, se percibió el establecimiento de las razones, teniendo en cuenta las medidas de dos triángulos rectángulos semejantes y la evidencia notable de que esas razones podían ser iguales.  Establece relaciones entre catetos y la hipotenusa. Hugo reconoce los catetos y establece la diferencia y la relación con la hipotenusa, teniendo en cuenta las medidas del triángulo rectángulo y los ángulos correspondientes.  Genera diferentes razones a partir de las medidas del triángulo. Hugo, en la prueba diagnóstica, exhibió dificultades para establecer las razones posibles en un triángulo rectángulo, ya que desconocía el concepto de razón. Luego de realizar las actividades del módulo de aprendizaje, se pudo evidenciar la comprensión del concepto de razón y la relación entre los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

5.3.3. Estudiante # 3: Luis

Nivel 0 (Predescriptivo) 165

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

 Identifica características de triángulos y otras figuras geométricas. Se evidenció que el estudiante Luis caracterizó cada una de las figuras planas estudiadas, como el triángulo, cuadrado, trapecio, rectángulo y rombo, resaltando el número de vértices, lados y ángulos en cada una de ellas.  Reconoce la clasificación de los triángulos según la medida de los lados. Se percibió que el estudiante Luis, en el desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, logro clasificar los triángulos según las medidas de sus lados, reconociendo el significado de triángulo escaleno, equilátero e isósceles.  Reconoce la clasificación de los triángulos según la medida de los ángulos. Se encontró que Luis clasificó los triángulos según las medidas de sus ángulo, reconociendo el significado de triángulo acutángulo, rectángulo y el obtusángulo.  Reconoce el concepto de razón. Luis, en la actividad diagnóstica, presentó ciertas dificultades para determinar la razón teniendo en cuenta las medidas de un triángulo rectángulo. Se percibió que luego del desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, demostró su interés por adquirir un nuevo conocimiento, observándose la comprensión del concepto de razón desde los ejercicios expuestos y resueltos.

Nivel 1 (Reconocimiento visual).

 Relaciona triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y ángulos. Luis cumple con este descriptor ya que reconoce la clasificación de los triángulos según sus lados y ángulos y establece relación entre ellos partiendo de las actividades desarrolladas en el módulo de aprendizaje.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

 Reconoce que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. El estudiante, teniendo en cuenta el desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, reconoció que la suma de los ángulos interiores de todo triángulo cualquiera, siempre es 180°.  Reconoce los elementos de un triángulo rectángulo. Luis afirma que el triángulo rectángulo posee ciertos elementos, los cuales describe como ángulo recto, dos ángulos agudos, catetos y una hipotenusa (diagonal). Con esta caracterización, se logra percibir que el estudiante reconoce un triángulo rectángulo.  Reconoce visualmente el teorema de Pitágoras. Luis, en el desarrollo del módulo de aprendizaje, demostró interés en la fase de orientación dirigida para llevar a cabo la visualización y verificación del teorema de Pitágoras a través de las medidas de los lados de un triángulo rectángulo. Por lo tanto, alcanza este descriptor.  Reconoce los criterios de semejanza de triángulos. El estudiante, como los demás compañeros, no cumple en su totalidad este descriptor ya que en algunos momentos necesitó de la ayuda oportuna del profesor, quien en su momento resaltó la importancia de esta temática y las estrategias que desde el software GeoGebra se podían implementar para una mejor comprensión y reconocimiento visual de los criterios de semejanza.

Nivel 2 (Análisis).

 Reconoce la demostración geométrica del teorema de Pitágoras. Luis pudo demostrar geométricamente el teorema de Pitágoras, contando las unidades cuadrados en cada uno de los catetos, sumando y verificando que el resultado era equivalente al número de unidades cuadradas en la hipotenusa.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

 Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el valor desconocido del lado de un triángulo rectángulo. Luis, en el desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, aplicó correctamente el teorema de Pitágoras para dar solución a situaciones que involucran triángulos rectángulos. En la fase de orientación libre, el estudiante demuestra que al inventar un problema puede relacionar la fórmula del Teorema de Pitágoras para dar solución a dicha situación.  Establece razones válidas en triángulos rectángulos semejantes. Luis, al igual que Hugo, en la prueba diagnóstica, tenía dificultades para establecer razones teniendo en cuenta los lados de un triángulo rectángulo, pero luego del desarrollo de las actividades del módulo de aprendizaje, se percibió el establecimiento de las razones teniendo en cuenta las medidas de dos triángulos rectángulos semejantes y la evidencia notable de que esas razones podían ser iguales.  Establece relaciones entre catetos y la hipotenusa. Luis reconoce los catetos y establece la diferencia y la relación con la hipotenusa, considerando las medidas del triángulo rectángulo y los ángulos correspondientes.  Genera diferentes razones a partir de las medidas del triángulo. Luis, al igual que Hugo, en la prueba diagnóstica exhibió dificultades para establecer las razones posibles en un triángulo rectángulo, ya que desconocía el concepto de razón. Luego de realizar las actividades del módulo de aprendizaje, se pudo evidenciar la comprensión del concepto de razón, la relación entre los catetos y la hipotenusa en un triángulo rectángulo.

5.3.4. Conclusión del análisis realizado a estudiantes del estudio de casos

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

De acuerdo con el análisis de los descriptores anteriores, se percibe que los estudiantes del estudio de casos cumplen con la mayoría de los descriptores del nivel 0, nivel 1 y nivel 2, gracias a la secuencia de actividades propuestas en el módulo de aprendizaje y a la visualización de elementos elaborados en el software GeoGebra. Por lo tanto, se encuentran en un nivel transitorio entre el nivel 2 y el nivel 3. Cabe mencionar que las actividades diseñadas en el módulo de aprendizaje con relación a las fases para llevar a cabo el nivel 3, no se pudieron desarrollar con los estudiantes del estudio de casos.

Es importante resaltar que en el análisis individual, se demuestra el avance de cada estudiante en la comprensión de los conceptos relacionados con las razones trigonométricas, evidenciándose el paso de un nivel a otro. Además de los tres estudiantes, se observó que Luis necesitó de más apoyo por parte del profesor, para alcanzar los descriptores de nivel planteados en cada una de las fases de aprendizaje; mientras que María y Hugo demostraron mayor creatividad y destreza al desarrollar las actividades propuestas en el módulo de aprendizaje.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

6.

Conclusiones

En este capítulo se presentan los resultados obtenidos durante el desarrollo y finalización de la investigación. En particular, se responde la pregunta de investigación, se explica la consecución de los objetivos y se plantean algunos aportes a la Educación Matemática. En este sentido, las conclusiones se presentan desde los objetivos, la formulación del problema, la pregunta de investigación, la experiencia obtenida con el módulo de aprendizaje enmarcado en el modelo de van Hiele y los posibles aportes que puedan favorecer el mejoramiento de las prácticas de aula en el área de matemáticas.

6.1. Consecución de los objetivos

6.1.1. Objetivo General

El objetivo general propuesto para este estudio, fue “analizar la comprensión de las razones trigonométricas, en el contexto del modelo de van Hiele, utilizando el software GeoGebra, en los estudiantes del grado 10° de la Institución Educativa Simón Bolívar del municipio de Sahagún, departamento de Córdoba”. Para alcanzar este objetivo realizamos las siguientes actividades:

Planteamos unos descriptores hipotéticos de los niveles de razonamiento de van Hiele para la comprensión de las razones trigonométricas, basados en las fases de aprendizaje, en la temática particular y en la experiencia docente en la enseñanza de las razones trigonométricas. Estos descriptores se fueron refinando a medida que se avanzaba en el módulo de aprendizaje.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

El módulo de aprendizaje fue diseñado con actividades individuales o grupales, preguntas intencionadas y con la respectiva socialización de las respuestas. Esto nos permitió analizar la comprensión de las razones trigonométricas en los tres estudiantes del estudio de casos, en el desarrollo de cada una de las actividades y la visualización de elementos elaborados en el software GeoGebra. Se caracterizó cada proceso de razonamiento con respecto a los descriptores y se determinaron aspectos para evidenciar la comprensión, como la forma en que el estudiante expresaba sus ideas, es decir, el lenguaje utilizado, la ampliación o modificación de su vocabulario, el uso de gestos, su lenguaje escrito en sus registros, sus producciones textuales, entre otros aspectos.

Las preguntas realizadas en cada actividad y, posteriormente, puestas en común, se basaron en la visualización de elementos elaborados en la herramienta GeoGebra y las actividades del módulo de aprendizaje. Es decir, el estudiante podía llegar a la comprensión de las razones trigonométricas gracias a un componente de tipo visual y otro de tipo práctico.

El estudio de casos se llevó a cabo con tres estudiantes del grado décimo de la Institución Educativa Simón Bolívar de Sahagún, Córdoba. Esto permitió caracterizar su comprensión y ubicarlo en uno de los niveles, de acuerdo con nuestros descriptores propuestos para tal fin. El paso del estudiante por cada una de las fases de aprendizaje establecidas en cada una de las actividades propuestas en el módulo de aprendizaje, no solamente nos permitió analizar su nivel, sino que le permitió a cada uno de los estudiantes, avanzar en la comprensión de los objetos de estudio.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

Por lo tanto, podemos afirmar que el objetivo de nuestro trabajo fue alcanzado. La propuesta contiene el análisis de la comprensión de las razones trigonométricas, de cada uno de los tres estudiantes del estudio de casos, y el análisis de su desempeño individual de acuerdo a las fases de aprendizaje y a los descriptores de nivel propuestos en el módulo de aprendizaje.

6.1.2. Objetivos Específicos

Los objetivos específicos propuestos para el estudio fueron los siguientes:

Diseñar una actividad diagnóstica basada en la visualización, el reconocimiento de propiedades y definiciones, que permita reconocer los conceptos previos para abordar las razones trigonométricas.

Determinar los descriptores de los niveles de razonamiento de van Hiele para ubicar a los estudiantes en uno de estos niveles, en relación a los conceptos asociados a las razones trigonométricas, utilizando el software GeoGebra.

Diseñar un módulo de aprendizaje enmarcado en el modelo de van Hiele, que surja de la actividad diagnóstica, para lograr un avance en la comprensión de las razones trigonométricas, mediante el software GeoGebra, en los estudiantes del grado 10° de la Institución Educativa Simón Bolívar del municipio de Sahagún, departamento de Córdoba.

Aplicar y evaluar un módulo de aprendizaje para analizar la comprensión de las razones trigonométricas en los estudiantes del grado 10° de la Institución Educativa Simón Bolívar del municipio de Sahagún, departamento de Córdoba.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

En primer lugar, se diseñó una actividad diagnóstica basada en la visualización, el reconocimiento de propiedades y definiciones, para determinar los conceptos previos que debían tener los estudiantes para abordar las razones trigonométricas. Del análisis de esta actividad, surgieron los descriptores hipotéticos que permitieron direccionar las actividades que iban a hacer parte del módulo de aprendizaje según el modelo de van Hiele y la visualización de elementos elaborados en el software GeoGebra, planteados para el logro de los objetivos. Esto nos permitió ubicar a los estudiantes en un nivel de razonamiento de acuerdo al modelo de van Hiele, tal y como se establece en el análisis individual de los descriptores en cada uno de los tres estudiantes.

En el proceso que llevamos a cabo para dar consecución al objetivo general y objetivos específicos, diseñamos, aplicamos, evaluamos y refinamos unos descriptores de los niveles de razonamiento de van Hiele para la comprensión de las razones trigonométricas, mediante el software GeoGebra. Estos descriptores se plantearon inicialmente como hipotéticos, pero se fueron estructurando a medida que se desarrollaba el módulo de aprendizaje. Al final, pudimos demostrar que con estos, se analizaba la comprensión de los conceptos relacionados con las razones trigonométricas, en los estudiantes del grado 10° de la Institución Educativa Simón Bolívar.

6.2. Respuesta a la pregunta de investigación

La pregunta de investigación planteada para el siguiente estudio, fue: ¿cómo comprenden los estudiantes las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra en el contexto del modelo de van Hiele?

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

El proceso de comprensión de los tres estudiantes del estudio de casos, fue direccionado a través de los descriptores finales de nivel, los cuales permitieron caracterizar y descubrir el nivel de razonamiento. Estos descriptores facilitaron el diseño de las actividades propuestas en el módulo de aprendizaje, teniendo en cuenta los niveles y fases de aprendizaje de van Hiele, y permitieron establecer las principales características del razonamiento en cada uno de estos niveles, con respecto a la comprensión de las razones trigonométricas.

De acuerdo con el modelo de van Hiele, se tuvo presente la forma cómo se expresaban los estudiantes, sus gestos, su lenguaje, su vocabulario, las respuestas obtenidas en el módulo de aprendizaje y la sustentación de acuerdo a la visualización de elementos elaborados en la herramienta GeoGebra. Esto nos permitió analizar su comprensión con relación a los conceptos relacionados con las razones trigonométricas. Es decir, se puede decir que el estudiante estuvo inmerso en el módulo de aprendizaje, pues desarrolló, de manera profunda, las actividades propuestas hasta el nivel 2, de análisis. Las respuestas a las preguntas, los diálogos, las puestas en común y las producciones escritas, nos permitieron establecer y refinar unos descriptores de nivel, con los cuales se da respuesta al cómo comprenden los estudiantes las razones trigonométricas. De hecho, el análisis individual de la comprensión, es respuesta también a este cómo.

Las situaciones planteadas a los estudiantes en el módulo de aprendizaje, estuvieron basadas en las fases de aprendizaje de van Hiele y en la visualización de elementos elaborados en el software GeoGebra, es decir, el razonamiento de los estudiantes se basaba en la componente visual-geométrica, la cual estructuró de una mejor manera los conocimientos que se pretendían desarrollar en cada una de las actividades del módulo de aprendizaje. Finalmente, afirmamos que 174

Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

el diseño de actividades en las las fases de aprendizaje de van Hiele y el uso del software GeoGebra permitieron que los estudiantes avanzaran en su nivel de comprensión, en relación a los conceptos asociados a las razones trigonométricas, respondiendo a la segunda parte de la pregunta: “mediante el software GeoGebra en el contexto del modelo de van Hiele”.

6.3. Aportes a la Educación Matemática

En general, el concepto de razón trigonométrica es fundamental para el estudio de ciertos fenómenos naturales o artificiales. De ahí, la necesidad de crear espacios encaminados al desarrollo de actividades, acompañados de herramientas didácticas (como el software GeoGebra), que propicien la comprensión de conceptos y procedimientos matemáticos, para aplicarlos en situaciones de la vida real. Por esta razón, nuestro trabajo enfatizó en la comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra.

Teniendo en cuenta lo anterior, nuestro trabajo es novedoso porque no solamente se logra la comprensión de algunos conceptos relacionados con las razones trigonométricas, sino que se logra también la comprensión de ciertos conceptos de algunas figuras geométricas (cuadrado, trapecio, rectángulo, círculo); a su vez, se comprenden los conceptos asociados a los triángulos, como: lados, vértices, ángulos, razón, altura de un triángulo, criterios de semejanza, elementos de un triángulo rectángulo, teorema de Pitágoras, representación geométrica del teorema de Pitágoras, entre otros. En fin, son muchos los conceptos y propiedades que se pueden estructurar a partir del software GeoGebra y la secuencia que sugieren los niveles y fases de aprendizaje del modelo de van Hiele, los cuales están integrados en cada una de las actividades del módulo de

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

aprendizaje. Por lo tanto, esta forma de abordar las razones trigonométricas trae beneficios académicos y didácticos para el estudiante y los profesores del área de matemáticas.

En este estudio, hemos comprobado que los estudiantes logran la comprensión de muchos conceptos relacionados con las razones trigonométricas, con base en la visualización de elementos elaborados en el software GeoGebra; nuestro aporte a la Educación Matemática, en especial a la trigonometría, se centra, básicamente, en las actividades del módulo de aprendizaje, las cuales son, en su mayoría, de nuestra autoría. Adicionalmente, los descriptores de nivel nos permitieron estructurar las actividades y caracterizar el proceso de comprensión de cada uno de los estudiantes del estudio de casos; por lo tanto, también son un aporte a la Educación Matemática.

Finalmente, pudimos comprobar que el software GeoGebra es una herramienta que enriquece el modelo de razonamiento de van Hiele, a causa de la componente visual-geométrica, la cual permite la interacción de los estudiantes con la herramienta, el diseño de elementos geométricos, el reconocimiento visual y el establecimiento de propiedades y relaciones. Además, le aporta una componente de tipo experimental, pues el estudiante puede realizar y visualizar sus propias construcciones y, con base en ellas, llegar a la comprensión de un concepto.

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Comprensión de las razones trigonométricas mediante el software GeoGebra

7.

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8.

8.1.

Anexos

Anexo A. Actividad diagnóstica

1. Relacione cada definición con el triángulo y nombre correspondiente.

Triángulo Isósceles

Tiene 3 lados iguales

Triángulo Equilátero

Tiene 3 lados diferentes

Triángulo Escaleno

Tiene 2 lados iguales

2. Relacione cada definición con el triángulo y nombre correspondiente.

Triángulo Obtusángulo

Triángulo Acutángulo

Uno de sus ángulos es recto

Uno de sus ángulos es obtuso

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Triángulo Rectángulo

Sus tres ángulos son agudos

3. Si observa la imagen se podrá dar cuenta que al doblar el papel se obtienen 3 triángulos semejantes. ¿Por qué son triángulos semejantes? Explique su respuesta.

4. Calcule el valor de 𝒙 en los siguientes triángulos. ¿Son triángulos rectángulos? ¿Por qué?

1 𝒙

4

0cm

3

cm 8

𝒙

cm

5.De acuerdo con la siguiente imagen, ¿qué puede concluir con respecto al teorema de Pitágoras? Explique su respuesta. cm

Pérez, M. (2013). Representación geomética del teorema de Pitagóras. Recuperado de http://matematicasdepreparatoria2.blogspot.com.co/2013_04_01_archive.html

6. Relacione los números de la tabla con los triángulos que se presentan a continuación. Se muestra un ejemplo:

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1

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7. Halle el valor de los ángulos 𝒙 e 𝒚, de acuerdo con las imágenes dadas.

3 0° 𝑥

𝑦

8.2. Anexo B. Análisis de las pruebas diagnósticas

Pregunta #1

Después de aplicar la prueba diagnóstica se observa que en la pregunta número 1, la cual se refiere a la clasificación de triángulos según sus lados, los estudiantes obtuvieron un porcentaje de 87,5% de acierto, con lo cual se evidencian que la mayoría de ellos identificaron los triángulos según sus lados

Pregunta #2

En la pregunta número dos, la cual consistía en relacionar el nombre de los triángulos con su imagen y definición correspondiente según sus ángulos, se nota que el 42,5% de los evaluados logró responder acertadamente con lo solicitado; por lo cual se deduce que los estudiantes no tienen claridad respecto a la clasificación de los triángulos según la medida de los ángulos, es decir, distinguen los triángulos según sus lados, pero tienen inconvenientes en diferenciarlos según sus ángulos.

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Pregunta #3

En el interrogante número 3, en donde se les presenta una figura relacionada con triángulos semejantes para que los estudiantes los identifique y luego argumente por qué son triángulos semejantes, se evidencia que solo un 2,5% de los evaluados logró responder correctamente; por lo cual, se concluye que los estudiantes tienen poco conocimiento de los triángulos semejantes, es decir se les dificulta definirlos y diferenciarlos.

Pregunta #4

En la pregunta número 4, relacionada con la identificación de triángulos rectángulos y la aplicación del teorema de Pitágoras para hallar el valor de una longitud desconocida, se evidencia que los estudiantes presentan dificultades al identificar triángulos rectángulos, en especial cuando se les muestra en otra posición diferente a la usual; es decir, cuando se gira el triángulo. En general, afirmaban que no era un triángulo rectángulo.

Con relación a la actividad de hallar el valor de la longitud desconocida, 7,5% de los estudiantes lograron plantear y resolver de forma adecuada este procedimiento; por lo tanto, se deduce que no dominan correctamente el teorema de Pitágoras para hallar el valor de longitudes desconocidas.

Pregunta #5

Se observa que los estudiantes en un 90%, no reconocen la representación geométrica del teorema de Pitágoras, puesto que sus respuestas estaban muy alejadas de la explicación requerida

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en este planteamiento. Por lo cual, se confirma que lo planteado en el punto 4 no lo resolvieron por desconocer la definición de dicho teorema. Incluso, en muchos de los casos no identifican los catetos, la hipotenusa y la relación existente entre ellos.

Pregunta #6

En esta pregunta, la cual se refería de la clasificación de los triángulos, según la medida de los lados y según la medida de sus ángulos, se notó que solo el 22,5% relaciona adecuadamente los triángulos de acuerdo a lo solicitado. Se evidencia que en muchas respuestas los estudiantes relacionan algunos en forma correcta y, en otros, al parecer, al azar, notándose que no tienen claridad respecto a esta temática.

Pregunta #7

En relación a la pregunta número 7, en la cual se les presentó a los estudiantes dos triángulos para que hallaran el valor de los ángulos internos y externos, se evidencia que no tienen manejo de esta temática puesto que solo el 5% de los estudiantes respondió acertadamente a lo requerido en dicho planteamiento.

Tomando como referencia la prueba diagnóstica determinamos las siguientes conclusiones:

 Los estudiantes del grado 10° de la I. E. Simón Bolívar, diferencian, en su mayoría, los diferentes tipos de triángulos según sus lados.  Presentan, en su mayoría, dificultad para identificar los triángulos según la medida de sus ángulos.

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 Se les dificulta identificar los criterios de semejanza de triángulos y aplicar estos conceptos en situaciones planteadas.  Identifican un triángulo rectángulo en posición normal, pero cuando hacemos rotación del triángulo, concluyen que no es rectángulo.  Presentan inconvenientes en aplicar el teorema de Pitágoras para hallar el valor de longitudes desconocidas.  No reconocen, en su mayoría, los lados de un triángulo rectángulo y confunden la hipotenusa con los catetos y viceversa.  No comprenden la representación geométrica del teorema de Pitágoras.  Confunden la clasificación de los triángulos según sus lados y según la medida de los ángulos.  Desconocen los teoremas de la suma de ángulos internos y externos en un triángulo y el procedimiento para hallar sus medidas.

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