2º ESO – UNIDADES 1 y 2.- DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS. POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1.- MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Objetivo 1.- Obtener y reconocer múltiplos/divisores de un número y utilizarlos para resolver problemas en diversos contextos

CONCEPTO DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por otro si al hacer la división el resto es 0 (división exacta). Por ejemplo, 12 es divisible por 4 pues la división de 12 entre 4 es exacta CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Son unas reglas que sirven para averiguar, sin tener dividir, si un número es divisible por otro Un número es divisible Un número es divisible Un número es divisible Un número es divisible por 2 por 3 por 5 por 11 si termina en cero o en si lo es la suma de sus si acaba en cero o en 5. si la suma de las cifras de cifra par. cifras. Por ejemplo, los lugares pares menos la Los números divisibles Por ejemplo, el número números suma de las cifras de por 2 son los números 50 271 es divisible por 3 74 295 y 603 180 son lugares impares es cero o pares: pues la suma de sus divisibles por 5. divisible por 11. 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …. cifras es Por ejemplo, los números 5+0+2+7+1 = 15 8 206 y 94 721 son y 15 es divisible por 3. divisibles por 11 Fíjate bien De los criterios anteriores se deducen los siguientes: Por 6: Si lo es por 2 y por 3 Por 15 : Si es divisible por 3 y por 5. Por 22 : Si es divisible por 2 y 11. Por 33 : Si es divisible por 3 y por 11. Por 55 : Si es divisible por 5 y por 11. Por 10: Si lo es por 2 y por 5, es decir si termina en 0. Por ejemplo, el número 713 430 es divisible por 10, pues termina en 0. MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO DIVISORES DE UN NÚMERO Son los números que se obtienen al multiplicar Son los números entre los que es divisible dicho dicho número por los números naturales 1, 2, …. . número. Por ejemplo, los múltiplos de 7 son: Por ejemplo, 3 es un divisor de 18 pues 18 es 7, 14, 21, 28,… divisible por 3 Fíjate bien Los múltiplos de un número son divisibles por Todo número tiene un número finito de divisores. dicho número y son infinitos. Por ejemplo, el número 6 tiene 4 divisores: 1, 2, 3 y 6 Los múltiplos de 2 van de 2 en 2; Si un número se descompone en factores entonces los múltiplos de 3 van de 3 en 3; cada factor es un divisor de dicho número. etc. Por ejemplo, 6 = 2.3 → 2 y 3 son divisores de 6 -1-

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NÚMEROS PRIMOS Son los números que sólo tienen 2 divisores, el 1 y el mismo número. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…. .Hay infinitos números primos

Métodos para averiguar si un número es primo

Método 1: Se comprueba si es divisible por los primos, empezando por el 2, hasta que el resto sea menor que el divisor. Si fuese divisible por algún primo, entonces el número es compuesto. En otro caso, el número es primo. Método 2: Se comprueba si es divisible por los números primos menores o iguales que su raíz cuadrada. Si fuese divisible por algún primo, entonces el número es compuesto. En otro caso, el número es primo.

2.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Objetivo 2.- Resolver problemas reales usando el mcd o mcm de varios números

FACTORIZACIÓN DE NÚMEROS Todo número compuesto se puede descomponer como producto de factores primos. Factorizar un número es descomponerlo en producto de factores primos. MÁXIMO COMÚN DIVISOR DE DOS O MÁS NÚMEROS (M.C.D.) Es el mayor de los divisores comunes a todos los números.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS (M.C.M.) Es el menor de los múltiplos comunes a todos los números.

Métodos para calcular el m.c.d. y el m.cm. de varios números Método 1: Se calculan los divisores de cada número y después se toma el mayor de los divisores comunes.

Método 1: Se calculan los primeros múltiplos de cada número hasta obtener uno que se repita en todos los números. El m.c.m. es el primer múltiplo que se repite.

Método 2: Se factorizan los números y se escogen Método 2: Se factorizan los números y se escogen los los factores primos comunes de menor exponente. factores primos comunes y no comunes de mayor exponente. Fíjate bien Si el único divisor común es el 1 o no hay factores primos comunes en su factorización entonces el Si los números son primos relativos, entonces el m.c.d. es 1. m.c.m. es el producto de los mismos. En este caso, se dice que los números son primos Por ejemplo, 4 y 9 son primos relativos, relativos o primos entre sí. m.c.m.(4,9) = 4.9 = 36 Por ejemplo, 4 y 9 son primos relativos, Si hay un número que es múltiplo de los demás m.c.d.(4,9) = 1 números, entonces este número es el m.c.m. Si hay un número que es divisor de los demás Por ejemplo, m.c.m.(4,12,24) = 24 números, entonces este número es el m.c.d. Por ejemplo, m.c.d.(6,30,42) = 6 -2-

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3.- NÚMEROS ENTEROS. OPERACIONES

Objetivo 3.- Realizar operaciones combinadas con números enteros reconociendo la jerarquía de operaciones en casos simples

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Ordenación de números enteros Dados dos números enteros, es menor el que está más a la izquierda en la recta numérica. El símbolo “” significa “mayor que”. Por ejemplo, –3 < –2 , –1 < 0 , 5 > 2 Fíjate bien Los números enteros positivos son +1 , +2 , + 3, …. , pero se suelen escribir sin el signo + y se usan para expresar cantidades por encima de cero. Por ejemplo, si un punto está a 500 m sobre el nivel del mar, la altitud es +500 m, o sea 500 m Los números enteros negativos se usan para expresar cantidades por debajo de cero. Por ejemplo, si la temperatura es 3 ºC bajo cero entonces se dice que la temperatura es –3 ºC

Valor absoluto de un entero Es el mismo número sin considerar el signo. El valor absoluto se representa con dos barras verticales. Ejemplos: | –4 | = 4 |+3|=3 |0|=0

Números enteros opuestos Dos números enteros son opuestos si tienen distinto signo y el mismo valor absoluto. Por ejemplo, 3 y – 3 son opuestos

Fíjate bien El valor absoluto indica la distancia al 0 El opuesto del 0 es 0

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OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Suma de números enteros Resta de números enteros Para sumar números negativos se deja el signo Para restar dos números enteros se le suma al negativo y se suman los valores absolutos. primero el opuesto del segundo. Por ejemplo, –3 + (–2) = – (3 + 2) = –5 Por ejemplo, 5 – 6 = 5 + (–6) = –1 Dos números opuestos suman 0. Por ejemplo, –2 + 2 = 0

Más ejemplos: –3 – (–1) = –3 + 1 = -2

Para sumar un número positivo y otro negativo, se deja el signo del número con mayor valor –4 – (–7) = –4 + 7 = 3 absoluto y se restan los valores absolutos. Ejemplos: –12 + 7 = –5 –4 + 6 = 2 9 – (–5) = 9 + 5 = 14 3 + (–9) = –6 7 + (–4) = 3 Fíjate bien Si sumamos o restamos 0 obtenemos el mismo resultado. Ejemplos: –13 + 0 = –13 5–0=5         

Se puede usar las reglas de los signos para las sumas y restas: Ejemplos: 3 + (+2) = 3 + 2 5 – (–7) = 5 + 7 2 + (–8) = 2 – 8

   

10 – (+4) = 10 – 4

Producto de números enteros División de números enteros Para multiplicar números enteros se multiplican Para dividir números enteros se dividen los los signos y después se multiplican los valores sin signos y después se dividen los valores sin signo. signo. Las reglas para dividir signos son: :   Las reglas para multiplicar signos son:  :     .      .   

.   .  

 :   

Ejemplos: (–24) : (–6) = 4

Ejemplos: (–7).(–8) = 56

:  

72 : (–9) = –8

2.(–9) = –18 Fíjate bien Si multiplicamos por 0 obtenemos 0. Ejemplos: –15.0 = 0 0.0 = 0. En general, a.0 = 0 Si multiplicamos por 1 obtenemos el mismo número. Por ejemplo, –76.1 = –76. En general, a.1 = a Si dividimos entre 1 obtenemos el mismo número. Por ejemplo, –84 : 1 = –84 No se puede dividir entre 0. Por ejemplo, 7 : 0 es imposible Si dividimos 0 entre otro número no nulo obtenemos 0. Por ejemplo, 0 : 24 = 0 Todo número no nulo dividido entre sí mismo da como resultado 1. Por ejemplo, –63 : (–63) = 1

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Operaciones combinadas de números enteros Para realizar varias operaciones se realizan primero los paréntesis y se tiene en cuenta que primero se efectúan las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha y por último las sumas y restas, de izquierda a derecha Propiedad distributiva Para multiplicar un número por una suma o resta de enteros, entre paréntesis, se multiplica el número por cada término del paréntesis.

Ejemplos: 3.(–5 + 2) = 3.(–5) + 3.2. En general, a.(b + c) = a.b + a.c 3.( –5 – 2) = 3.(–5) – 3.2 . En general, a.(b – c) = a.b – a.c Esta propiedad no se suele usar con números pues es más rápido realizar primero la operación del paréntesis y luego multiplicar. La propiedad distributiva es muy útil cuando se usa en sentido contrario. En tal caso, decimos que estamos sacando factor común. Ejemplos: 7.(–5) + 7.2 = 7.(–5 + 2) . En general, a.b + a.c = a.(b + c) 7.(–5) – 7.2 = 7.(–5 – 2) . En general, a.b – a.c = a.(b – c) 43.71 – (–84).71 + 71.(–27) = 71.(43 + 84 – 27) = 71 . 100 = 7 100

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4.- POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA

Objetivo 4.- Calcular potencias de base entera y exponente natural y raíces cuadradas/cúbicas exactas o aproximadas y aplicarlas a diversos contextos

POTENCIA DE BASE POSITIVA Es un producto de factores iguales.

POTENCIAS DE BASE NEGATIVA Potencias de exponente par: (–5)2 = (–5)(–5) = 52 Por ejemplo: (–5)4 = (–5)(–5)(–5)(–5) = 54 En general, (–x)n = xn En general, xn = x.x. …..x , donde x aparece n veces. Potencias de exponente impar: Por ejemplo, x1 = x x2 = x.x x3 = x.x.x (–5)3 = (–5)(–5)(–5) = – 53 y así sucesivamente (–5)5 = (–5)(–5)(–5)(–5)(–5) = – 55. En general, (–x)n = – xn Fíjate bien Toda potencia de base 1 es igual a 1, pues 1.1.1.1. …. = 1. Por ejemplo, 1 6 = 1. En general, 1m = 1 Toda potencia de base 0 es igual a 0, pues 0.0.0.0. …. = 0. Por ejemplo, 0 15 = 0. En general, 0m = 0 Si el exponente es par (– x)n ≠ –xn. Por ejemplo, (–3)2 = 9 y –32 = –9. Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes. Ejemplo: x3 . x4 = x7 Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes. Ejemplo: x35  x3x32  x2 x

Un número elevado a 0 es igual a 1, pues x0 = x2 – 2 =

2

x

x 1 x2

RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO Es otro número que elevado al cuadrado nos da como resultado el número inicial. La raíz cuadrada se representa con el símbolo Los únicos números naturales que tienen raíz cuadrada exacta son el 0 y los cuadrados perfectos, que son los cuadrados de los números naturales: 2 2 1 =1 2 =4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 etc Fíjate bien Si una raíz cuadrada no es exacta se puede calcular de forma aproximada. Por ejemplo, 18 ≈ 4 porque 42 = 16 y 16 es el cuadrado perfecto más próximo a 18. Las raíces cuadradas de números negativos no se pueden calcular, pues al elevar un número al cuadrado no puede dar negativo. Por ejemplo, 4 no existe. La raíz cúbica de un número es otro número que elevado al cubo nos da como resultado el número inicial. La raíz cúbica se representa con el símbolo 3 . Por ejemplo, 3 125 = –5 En las operaciones combinadas, las potencias y raíces se hacen antes que las multiplicaciones y divisiones y se hacen izquierda a derecha -6-

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1.- MÚLTIPLOS Y DIVISORES Criterios de divisibilidad 1.- Usando criterios de divisibilidad, di si es posible hacer los siguientes repartos y explica por qué: a) 3 048 921 € entre 33 personas b) 38 702 € entre 6 personas c) 2 075 bolas en 55 cajas e) 9 431 092 € entre 22 países

d) 780 421 personas en grupos de 15 personas

2.- Alicia para entrar en su ordenador eligió una contraseña que fuese un número divisible por 11. Se le ha olvidado la 2ª cifra pero recuerda que el número era 2 __325. Averigua cuál es la contraseña y explica si el número obtenido es o no divisible por 15 Múltiplos 3.- En un supermercado hay más de 200 cajas de refresco de 36 unidades pero menos de 250. Calcula cuántos refrescos hay 4.- Averigua cuánto dinero tengo sabiendo que es un múltiplo de 19 de tres cifras mayor que 957 5.- Hoy lunes mi profe de matemáticas nos ha dicho que, dentro de 48 días, nos hará un examen de todo lo que hemos visto. Mi compañera Fina dice que no puede ser porque es domingo. Explica si lleva razón 6.- Una rana da saltos de 55 cm cada uno hasta llegar a una charca que está a 16,5 m. a) En el último salto, ¿llegará al borde de la charca? b) En caso afirmativo, ¿cuántos saltos tiene que dar para llegar a la charca? c) Si en cada salto emplea 2 segundos, ¿cuánto tiempo tardó en llegar a la charca? 7.- El día 4 de septiembre Rosalía va a casa de su abuela y volverá a visitarla cada 4 días. a) Completa la siguiente lista de los días de septiembre en que la visita: 4, , 12, , b) ¿Cuál es el último día de septiembre que va a visitarla? c) Si nos referimos al año 2 014, ¿qué día de la semana es? d) ¿Cuántos días la visita en el mes de septiembre? e) Si cada vez que va está con ella dos horas, ¿cuánto tiempo en total está con ella? -7-

, ….

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Divisores 8.- Calcula todos los divisores de los siguientes números ordenados de menor a mayor: a) 60 b) 23 c) 28 d) 30 e) 42 f) 17 9.- María ha hecho 45 pasteles y los quiere repartir en cajas iguales. ¿De cuántas maneras diferentes los puede guardar, de tal manera que no sobre ni falte ninguno? 10.- Calcula las dimensiones de una nave industrial de 240 m 2 de superficie si sabemos que mide más de 5 metros de ancha, su perímetro es menor de 64 metros y el largo y el ancho son un número entero de metros 11.- En un taller tienen que hacer piezas de metal con forma de rectángulo de 12 cm 2 de superficie. El largo y el ancho deben ser un número entero de centímetros. a) Dibuja las piezas distintas que se pueden hacer b) El jefe ha dicho que las piezas deben tener 14 cm de perímetro. Indica las dimensiones de la pieza que deben usar 12.- Para su fiesta de cumpleaños, la madre de Miguel ha hecho 30 bocadillos. Miguel le ha preguntado a cuántos amigos puede invitar, y su madre le ha respondido que a los que quiera, pero que, cuando se repartan los bocadillos, deben tocar todos a la misma cantidad y no debe sobrar ninguno. Escribe todas las posibilidades e indica en cada caso cuántos bocadillos podría comer cada uno Números primos 13.- Calcula los números primos comprendidos entre 100 y 130 14.- En un teatro las sillas están distribuidas en 30 filas de 10 sillas cada una. Se rompe una silla. ¿Se podrán colocar las sillas ahora en filas con igual número de sillas cada una? Razona tú respuesta. Responde a la misma pregunta en el caso que hubiese 254 sillas 15.- En el salón de actos de un instituto van a asistir 60 personas. Queremos distribuirlas en filas iguales de modo que cada fila tenga por lo menos 5 personas. a) Haz un dibujo con todas las posibilidades b) Comunican que van a faltar 7 personas. ¿Se podrán ahora colocar a los asistentes en filas iguales? Actividades del libro (unidad 1): 10 y 11 -8-

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2.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 1.- Factoriza los números: a) 6 b) 10 c) 4 d) 15

Factorización e) 27

f) 12

g) 24

h) 20

i) 2 310

j) 5 005

2.- Explica por qué 47 . 53 no es la factorización de ningún número Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 3.- Si a = 23.3.52 , b = 2.3.54, c = 22.52 , indica cuál es el m.c.d. y el m.c.m. de a, b y c 4.- Calcula el m.c.d. y el m.c.m.: a) 16 y 18 b) 24 y 36 c) 12 y 15

d) 12 y 35

e) 4 , 6 y 9

f) 45, 60 y 180

g) 3, 4 y 5

Problemas usando el mcd o mcm 5.- En un punto limpio recogen papel cada 24 días y vidrio cada 36 días. Si un determinado día coinciden los dos camiones en la recogida, ¿dentro de cuántos días coincidirán de nuevo? 6.- Para poner losas a una habitación rectangular de 8,25 m de largo por 5,34 m de ancho se quieren usar losas cuadradas lo más grandes posible y sin romper ninguna. a) Haz un dibujo que ilustre la situación b) Halla el lado de cada losa c) Calcula el número de losas que necesitan. 7.- Un coche tarda 4 minutos en dar una vuelta a un circuito, un ciclista 6 minutos y una persona en monopatín 10 minutos. Los tres salen de meta a las 5 de la tarde. a) ¿Cuándo coincidirán de nuevo en meta? b) ¿Cuántas vueltas ha dado cada uno? 8.- Juan tiene que poner un rodapié de madera a dos paredes de 12 m y 9 m de longitud. Para ello ha averiguado la longitud del mayor listón de madera que cabe un número exacto de veces en cada pared. a) ¿Cuál será la longitud de este listón? b) ¿Cuántos listones necesitará? 9.- En una granja hay 264 gallinas y 450 pollos. Se han de transportar en jaulas, sin mezclarlos, lo más grande posibles de modo que en todas haya el mismo número de animales. a) ¿Cuántos animales irán en cada jaula? b) ¿Cuántas jaulas hacen falta? -9-

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10.- Al comenzar el tercer trimestre de curso, mi profe de Lengua dice que nos hará un examen cada 18 días y mi profe de Ciencias cada 24 días. Hoy es miércoles. ¿Qué día de la semana tendremos al mismo tiempo examen de Lengua y de Ciencias? 11.- Marta va a casa de su abuela cada 12 días, su hermano Roberto cada 18 días y su hermana Julia cada 24 días. Hoy, martes, la han visitado los tres nietos. ¿Qué día de la semana coinciden otra vez los tres en casa de la abuela? 12.- Un albañil quiere dividir en recintos cuadrados una nave industrial de 4,8 dam de largo por 36 m de ancho. a) ¿Cuánto puede medir de lado como máximo cada habitación? b) ¿Cuántas habitaciones habrá en tal caso? 13.- Una hoja de papel de 2,4 dm de largo y 1,8 dm de ancha se quiere dividir en cuadraditos iguales del mayor tamaño posible. Halla el lado del cuadradito y el número de cuadraditos que saldrán 14.- En un edificio, la terraza tiene 40 m de largo por 24 m de ancho. Se van a colocar placas solares cuadradas lo más grandes posible. ¿Qué superficie ocupará cada placa? 15.- En una caja de 42 cm de larga, 21 cm de ancha y 14 cm de alta se quieren meter cubitos de madera, lo más grandes posible sin que sobre ni falte espacio. a) ¿Cuánto debe medir la arista de cada cubito? b) ¿Cuántos cubitos habrá? 16.- Tres cables miden 1,12 m, 1,26 m y 1,68 m, respectivamente. Se quieren cortar en trozos iguales del mayor tamaño posible. a) ¿Cuánto debe medir cada trozo? b) ¿Cuántos trozos saldrán? 17.- Se tienen dos toneles de vino, uno de 420 litros y otro de 225 litros. Se quiere envasar el vino en garrafas iguales del mayor tamaño posible, sin mezclar el vino. a) ¿Cuál debe ser la capacidad de cada garrafa? b) ¿Cuántas garrafas saldrán? Actividades del libro (unidad 1): 20, 26, 27, 95 y 96

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3.- NÚMEROS ENTEROS. OPERACIONES

1.- El valor de la acción de una empresa de telecomunicaciones ha tenido a lo largo de los últimos días las siguientes fluctuaciones. El valor inicial fue de 3 €. Bajó 5 €, subió 1 €, bajó 3 € y por último subió 6 €. ¿Cuál es el valor final? 2.- Un buceador está sumergido a 24 metros bajo el nivel del mar y sube a una velocidad de 3 metros por minuto. ¿A qué profundidad estará al cabo de 5 minutos? 3.- Un banco de peces que está a 5 m bajo el nivel del mar, primero baja 3 m y luego sube 6 m. a) Expresa la situación con sumas y restas de números enteros y haciendo un dibujo b) Indica la posición final 4.- En unos grandes almacenes, estoy en el 2º sótano. Bajo 1 piso, subo 5 pisos y por último bajo 3. a) Expresa la situación con sumas y restas de números enteros y haciendo un dibujo b) Indica la posición final Operaciones combinadas 5.- Aplica la propiedad distributiva y después realiza las operaciones: a) 4.(12 – 5 – 7) b) 7.(100 + 9) c) 3.(10 – 4 + 2) d) (7 – 2 + 9).6 Comprueba en cada caso que da el mismo resultado si se hubiesen hecho primero los paréntesis 6.- Saca factor común y después calcula el resultado: a) 9.18 – 9.7 – 9.4 b) 7.9 – 7.6 c) 4.12 – 4.5 + 4.8 d) 14.3 + 12.3 – 9.3 Comprueba que da el mismo resultado si se hubiesen hecho primero las multiplicaciones y luego las sumas y restas 7.- Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) –2 – 3 . [ –12 – 18 : (–2) ] + (–7) – (–5)

b) –5 – 10 : (–3 – 2) – 1 – (–4)

c) 3 . 24 : [5 · 3 – 2 · (– 4) – 17] Actividades del libro (unidad 1): 48, excepto el e) y 92

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4.- POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA 1.- Halla el valor de x: a) (–2)x = –2048 b) (–7)3 = x

c) (–9)x = –9

d) 7x = 1

e) (–1)25 = x

2.- Calcula por ensayo-error la mejor aproximación de las siguientes raíces: a)

f) (–27)0 = x

84

b)

47

3.- En una sala de conferencias hay 400 butacas que se colocan formando un cuadrado. a) ¿Cuántas butacas hay en cada lado? b) Si se añaden 2 butacas por lado, ¿en cuánto aumenta el número de asientos? 4.- En un bosque va a llevarse a cabo una reforestación. Los árboles serán plantados de forma regular en filas para favorecer el crecimiento. Se quiere cubrir una superficie cuadrada de bosque. a) Si plantamos 900 árboles, ¿cuántas filas habrá? ¿Cuántos árboles habrá en cada una de ellas? b) Responder las mismas cuestiones del apartado a) pero si los árboles son 625. 5.- Se presentan 64 alumnos a un examen de selectividad y se distribuyen de forma que hay tantos alumnos en cada una de las filas como número de éstas. ¿Cuántas filas hay? 6.- Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) 1 – (– 2)3 – (–10 – 2 . 32) : (–3 – 22) + 144 . [ 1 – (–3)2) b) 1 – 25 + 24 – (–2)2 : 2 c) 4 + 2 . (–1 – 6) – 33 : (–9) d) –14 + 24 : (–2) + 2 . (–1 – 5) – (–6) e) –12 + 32 : (–3) + 3 . (–2)2 f) –3 + 2(70 –

9

52)

g) –1 – 3 . (–2)3 : (–12) + 2 . [(–3)2 – 10] – (–6) Actividades del libro (unidad 2): 34 y 35

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