Matem´ aticas II CONCEPTOS PRELIMINARES En R un conjunto abierto es la uni´ on de intervalos abiertos. Tanto el concepto de conjunto abierto como de intervalo abierto se generaliza en el plano y en el espacio. Un intervalo abierto en R se puede definir como (x0 − r, x0 + r) = {x ∈ R | x0 − r < x < x0 + r} = {x ∈ R | |x − x0 | < r} En otras palabras, se puede definir como el conjunto de puntos cuya distancia al centro x0 es menor que r. En general se tiene: Definici´ on.- Una bola en Rn de centro x0 ∈ Rn y radio r > 0, es el conjunto B(x0 , r) = {x ∈ Rn | ||x − x0 || < r}

Ejemplo.- En el plano, una bola es una circunferencia

En el espacio, es una esfera. Definici´ on.- Un conjunto A ⊂ Rn se dice abierto si para todo punto a ∈ A existe un radio r > 0 tal que la bola centrada en a y de radio r est´ a contenida en A B(a, r) ⊂ A Universidad Antonio de Nebrija

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TFInversa TFImpl´ıcita

Matem´ aticas II

Definici´ on.- Una funci´ on f : A ⊂ Rn −→ Rm con A abierto de Rn se dice de clase k, k ≥ 1, si existen todas las derivadas de orden k y son continuas en A. Se escribe f ∈ C k (A).

COORDENADAS EN R2 En R2 trabajaremos esencialmente con dos tipos de coordenadas: Coordenadas cartesianas x, y ∈ R

Coordenadas polares r ∈ R>0 , θ ∈ [0, 2π)

6

6

p

•    y 6    e2  • 0

e1

0

x

• r    θ  •

p

-

Cambio de coodenadas polares a coodenadas cartesianas: 

x = r cos θ y = r sen θ

Cambio de coodenadas cartesianas a coodenadas polares: (

p r = x2 + y 2 y tan θ = , teniendo en cuenta el cuadrante del argumento. x

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TFInversa TFImpl´ıcita

Matem´ aticas II COORDENADAS EN R3 En R3 trabajaremos esencialmente con tres tipos de coordenadas: Cartesianas x, y, z ∈ R 6

p

6 •  z 0 e1 e2 x e3

y



Cil´ındricas r ∈ R>0 , θ ∈ [0, 2π), z∈R

Esf´ericas ρ ∈ R>0 , θ ∈ [0, 2π),  π π ϕ∈ − , 2 2

6

6

p

•    z 0 θ

• ρ  ϕ 0

-

r

p -

θ





Cambio de coodenadas cil´ındricas a coodenadas cartesianas:   x = r cos θ y = r sen θ  z=z

Cambio de coodenadas cartesianas a coodenadas cil´ındricas: p  2 2   r = x y+ y tan θ = , teniendo en cuenta el cuadrante del argumento.  x  z=z

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TFInversa TFImpl´ıcita

Matem´ aticas II Cambio de coodenadas esf´ericas a coodenadas cartesianas:   x = ρ cos θ cos ϕ y = ρ sen θ cos ϕ  z = ρ sen ϕ

Cambio de coodenadas cartesianas a coodenadas esf´ericas:  p  ρ = x2 + y 2 + z 2   y  tan θ = , teniendo en cuenta el cuadrante del argumento. x   tan ϕ = p z  , teniendo en cuenta el cuadrante del argumento.  x2 + y 2

´ INVERSA TEOREMA DE LA FUNCION

Teorema de la funci´ on inversa.- Sean f : A ⊂ Rn → Rn con A abierto de Rn y a ∈ A verificando 1. f ∈ C k (A)

2. El jacobiano |Jf (a)| = 6 0 Entonces existen radios r1 , r2 > 0 tales que la funci´ on f : B(a, r1 ) ⊂ Rn → B(f (a), r2 ) ⊂ Rn tiene inversa f −1 : B(f (a), r2 ) ⊂ Rn → B(a, r1 ) ⊂ Rn de clase C k (B(f (a), r2 )) y adem´ as en B(a, r1 ) se tiene (J(f −1 )) = (Jf )−1 Ejemplo.- La exponencial f (x) = ex es de clase C ∞ (R) y su matriz jacobiana es Jf = (ex ). La exponencial nunca se anula, as´ı que el jacobiano es no nulo en R, entonces por el Teorema de la Funci´ on Inversa (TFInversa), existe f −1 definida localmente en R (sobre una bola alrededor de cada punto). Observaci´ on.- Si f ∈ C k (A) verifica el TFInversa en todo punto de A y f es inyectiva, entonces f tiene inversa (global) en A de clase C k . A una inversa global tambi´en se le puede llamar cambio de variable. Ejemplo.- La exponencial f (x) = ex tambi´en es inyectiva, por lo tanto existe f −1 definida en todo R. De hecho, la inversa de la exponencial es el logaritmo neperiano: f −1 (x) = log x Universidad Antonio de Nebrija

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TFInversa TFImpl´ıcita

Matem´ aticas II

f x! " e x

f # 1 x ! " log x

Adem´ as, como (J(f −1 )) = (Jf )−1 y estamos trabajando con una funci´ on real 1 1 1 −1 ′ ′ de variable real, (f ) (y) = f ′ (x) = f ′ (f −1 (y)) . Es decir, (log y) = elog y = y1 . Ejemplo.- Vamos a ver si la funci´ on f (x, y) = (x2 , y) tiene inversa local y global. f es de clase C ∞ (R2 ) y su matriz jacobiana es Jf = (2x, 1) 6= (0, 0). Como el jacobiano es no nulo en R2 , entonces se verifica el TFInversa y existe f −1 definida localmente en R2 (sobre una bola alrededor de cada punto). En cambio la funci´ on no es inyectiva: f (2, 1) = (4, 1) = f (−2, 1). Por lo tanto la funci´ on es invertible localmente pero no globalmente. Observaci´ on.- Si f : A ⊂ R → R y a ∈ A verifican el TFInversa, entonces 1 (f −1 )′ (y) = f ′ (f −1 (y)) para todo y ∈ B(f (a), r2 ). N´ otese que el TFInversa nos garantizar´ a que podemos pasar de un tipo de coordenadas a otras. Ejemplo.- Si consideramos el cambio de coordenadas polares a coordenadas cartesianas f : R>0 × [0, 2π) → R2 donde f (r, θ) = (r cos θ, r sen θ), veamos en qu´e puntos se verifica el TFInversa. !   ∂f1 ∂f1 cos θ −r sen θ ∂r ∂θ = Jf (r, θ) = ∂f ∂f2 2 sen θ r cos θ ∂r

∂θ

Entonces el jacobiano |Jf (r, θ)| = r > 0. En las coordenadas polares se tiene r ∈ R>0 para que se verifique el TFInversa y θ ∈ [0, 2π) para que la funci´ on sea inyectiva. Por lo tanto, el cambio de coordenadas polares a cartesianas tiene inversa global, es un cambio de variable. El punto (0, 0) (r = 0) no se puede representar con estas coordenadas si queremos garantizar la existencia de inversa. Universidad Antonio de Nebrija

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TFInversa TFImpl´ıcita

Matem´ aticas II El jacobiano adem´ as ser´ a un elemento importante en las integrales de Riemann que se ver´ an en C´ alculo II. Ejemplo.- Si consideramos el cambio de coordenadas cil´ındricas a coordenadas cartesianas f : R>0 × [0, 2π) × R → R3 donde f (r, θ, z) = (r cos θ, r sen θ, z), veamos en qu´e puntos se verifica el TFInversa.  ∂f  ∂f1 ∂f1 1   ∂r ∂θ ∂z cos θ −r sen θ 0  ∂f  ∂f2 ∂f2  2 Jf (r, θ, z) =  = sen θ r cos θ 0 ∂θ ∂z   ∂r 0 0 1 ∂f3 ∂f3 ∂f3 ∂r

∂θ

∂z

Entonces el jacobiano |Jf (r, θ, z)| = r > 0.

En las coordenadas cil´ındricas se tiene r ∈ R>0 para que se verifique el TFInversa y θ ∈ [0, 2π) para que la funci´ on sea inyectiva. Por lo tanto, el cambio de coordenadas cil´ındricas a cartesianas tiene inversa global, es un cambio de variable. Los puntos (0, 0, z) (r = 0) no se puede representar con estas coordenadas si queremos garantizar la existencia de inversa. Ejemplo.- Si consideramos el cambio de coordenadas esf´ericas a
π π coordenadas cartesianas f : R>0 × [0, 2π) × − 2 , 2 → R3 donde f (ρ, θ, ϕ) = (ρ cos θ cos ϕ, ρ sen θ cos ϕ, ρ sen ϕ), veamos en qu´e puntos se verifica el TFInversa.

Jf (ρ, θ, ϕ) =

 ∂f1

∂ρ  ∂f2   ∂ρ ∂f3 ∂ρ

∂f1 ∂θ ∂f2 ∂θ ∂f3 ∂θ

Entonces el jacobiano

∂f1  ∂ϕ  ∂f2  ∂ϕ  ∂f3 ∂ϕ



 cos θ cos ϕ −ρ sen θ cos ϕ −ρ cos θ sen ϕ = sen θ cos ϕ ρ cos θ cos ϕ −ρ sen θ sen ϕ sen ϕ 0 ρ cos ϕ

|Jf (ρ, θ, ϕ)| = ρ2 cos3 ϕ cos2 θ + ρ2 sen2 θ sen2 ϕ cos ϕ + ρ2 cos2 θ sen2 ϕ cos ϕ + ρ2 cos3 ϕ sen2 θ = ρ2 cos3 ϕ(cos2 θ + sen2 θ) + ρ2 sen2 ϕ cos ϕ(sen2 θ + cos2 θ) = ρ2 cos3 ϕ + ρ2 sen2 ϕ cos ϕ = ρ2 cos ϕ(cos2 ϕ + sen2 ϕ) = ρ2 cos ϕ
En las coordenadas esf´ericas se tiene ρ ∈ R>0 y ϕ ∈ − π2 , π2 para que el jacobiano no se anule y se verifique el TFInversa y θ ∈ [0, 2π) para que la funci´ on Universidad Antonio de Nebrija

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TFInversa TFImpl´ıcita

Matem´ aticas II sea inyectiva. Por lo tanto, el cambio de coordenadas esf´ericas a cartesianas tiene inversa global, es un cambio de variable. Los puntos (0, 0, z) (ρ = 0 y ϕ = ±π/2) no se puede representar con estas coordenadas si queremos garantizar la existencia de inversa.

´ IMPL´ICITA TEOREMA DE LA FUNCION Una idea intuitiva de una curva es la trayectoria de un punto que se desplaza en el plano o en el espacio.

Ȗ(t) posición el instante t • • Ȗ(t) posición el instante t

Definici´ on.- Una curva en Rn es una aplicaci´ on: γ : I ⊆ R → Rn t 7→ γ(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) A la aplicaci´ on γ se le llama parametrizaci´ on de la curva y las ecuaciones:  x1 = x1 (t)     x2 = x2 (t) γ(t) = ,t ∈ I ..  .    xn = xn (t)

son las ecuaciones param´etricas de la curva.

Nos referiremos indistintamente a la parametrizaci´ on o a las ecuaciones param´etricas, pues en esencia son lo mismo. Denotamos por Γ la gr´ afica de la curva, es decir, el conjunto de puntos: Γ = {(x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) | t ∈ I} Universidad Antonio de Nebrija

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TFInversa TFImpl´ıcita

Matem´ aticas II Abusando de la notaci´ on, identificamos la curva γ con su gr´ afica Γ, de forma que a la gr´ afica de la parametrizaci´ on tambi´en la llamamos curva, y dos parametrizaciones con la misma gr´ afica consideraremos que son la misma curva. Obs´ervese que Γ = {(x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) | t ∈ I}, por lo tanto una curva se describe siempre a trav´es de un par´ ametro t. Ejemplos.1.- El astroide es una curva de parametrizaci´ on: 

x(t) = cos3 t , t ∈ [0, 2π] y(t) = sen3 t

2.- Una recta en R3 de ecuaciones param´etricas:   x(t) = 2 + t y(t) = 1 − t , t ∈ R  z(t) = 2t

3.- La h´elice circular de eje el eje z, radio a y paso b (el paso es la distancia entre dos vueltas consecutivas) es una curva en el espacio de parametrizaci´ on:   x(t) = a cos t y(t) = a sen t , t ∈ R  z(t) = bt Si b>0

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Si b 0 y una funci´ on

6= 0 (a, b)

f : B(a, r1 ) ⊂ Rn → B(b, r2 ) ⊂ Rm de clase C k (B(a, r1 )) verificando que en B(a, r1 ) se tiene F (x, f (x)) = 0 Si consideramos las ecuaciones impl´ıcitas {(x, y) ∈ A × B | F (x, y) = 0}, con F verificando el TFImpl´ıcita, se tiene que el conjunto est´ a descrito por m ecuaciones impl´ıcitas y n par´ ametros. Ejemplo.- Considerando la circunferencia de radio 1 y centro (0, 0) definida por x2 + y 2 − 1 = 0, tenemos que es una curva con un par´ ametro n = 1. Entonces la curva est´ a descrita a trav´es de la funci´ on F : R × R → R con F (x, y) = x2 + y 2 − 1.   ∂F i F es una funci´ on de clase C ∞ (R2 ) y det ∂x∂F = ∂y = 2y. n+j i,j=1,...,m

Si y 6= 0, se verifica el TFImpl´ıcita y existe parametrizaci´ √ on, como vimos anteriormente. Si y > 0 la parametrizaci´ on es√x = t, y = 1 − t2 con t ∈ [0, 1] y si y < 0 la parametrizaci´ on es x = t, y = − 1 − t2 con t ∈ [0, 1].

En este ejemplo hemos podido encontrar una parametrizaci´ on, pero no siempre es posible. Pero sin conocer expl´ıcitamente una parametrizaci´ on se pueden obtener datos sobre las derivadas de dicha parametrizaci´ on. Esta informaci´ on ser´ a importante para calcular por ejemplo tangentes, el triedro de Frenet, etc. Ejemplo.- Sea la curva Γ = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1, x + 2y − z = 0}, decidiremos si y, z se pueden expresar como funci´ on de x cerca del punto (0, 0, 1). Y si es as´ı calcularemos las segundas derivadas de dichas funciones en el punto (0, 0, 1). Universidad Antonio de Nebrija

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TFInversa TFImpl´ıcita

Matem´ aticas II Es una curva y posee un u ´nico par´ ametro n = 1. En este ejemplo en particular nos est´ a pidiendo que el par´ ametro sea x. Entonces la curva est´ a descrita a trav´es de la funci´ on F : R × R2 → R2 con F (x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 − 1, x + 2y − z). F es una funci´ on de clase C ∞ (R3 ) y ∂F 1 (0, 0, 1) ∂F1 (0, 0, 1)   ∂z ∂y ∂Fi det ∂xn+j (a, b) = ∂F 2 (0, 0, 1) ∂F2 (0, 0, 1) i,j=1,...,m ∂z ∂y 2y 2z = 2 −1 (x,y,z)=(0,0,1) 0 2 = −4 6= 0 = 2 −1 Podemos afirmar que se verifica en TFImpl´ıcita cerca del punto (0, 0, 1) e y, z se pueden expresar como funci´ on de x cerca del punto (0, 0, 1).

Sabemos que y = y(x) y z = z(x) con F (x, y(x), z(x)) = 0, y(0) = 0 y z(0) = 1, pero queremos conocer y ′ (0) y z ′ (0). Derivaremos cada una de las ecuaciones de la curva utilizando la regla de la cadena: ∂F1 ∂x ∂F2 ∂x

= =

∂(x2 +y(x)2 −z(x)2 −1) ∂x ∂(x+2y(x)−z(x)) ∂x

= 2x + 2y(x)y ′ (x) − 2z(x)z ′ (x) = 0 = 1 + 2y ′ (x) − z ′ (x) = 0

Veamos que ocurre en el punto (0, 0, 1), es decir, cuando el par´ ametro es 0: ∂F1 ∂x (0) ∂F2 ∂x (0)

= 0 + 2y(0)y ′ (0) − 2z(0)z ′ (0) = −2z ′ (0) = 0 = 1 + 2y ′ (0) − z ′ (0) = 0

Resolviendo el sistema tenemos que z ′ (0) = 0 e y ′ (0) = − 12 .

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