CAPITULO 4 CONDENSADOR En este capítulo se discute acerca de un sistema particular de cuerpos cargados eléctricamente, que tiene importante aplicación práctica. Se define un parámetro físico, denominado capacidad, para describir este tipo de sistema cargado; finalmente se hace un tratamiento de estos dispositivos eléctricos cuando se les alimenta mediante una fem continua, y se estudia el comportamiento de ellos cuando se los conecta en serie o en paralelo . Los condensadores son elementos eléctricos ampliamente usados en una gran variedad de circuitos eléctricos. Se utilizan, por ejemplo, en los circuitos filtros, en circuitos sintonizadores, etc. Esencialmente, el condensador es un elemento que acumula energía eléctrica en términos del campo eléctrico producido en su interior como consecuencia de las cargas eléctricas que se depositan en sus placas. El condensador es un sistema de dos cuerpos conductores, denominados placas o armaduras, aislados entre sí y de cualquier otro cuerpo eléctrico. Cada placa del condensador se carga con carga de igual valor y distinto signo, de manera tal que se establece una diferencia de potencial entre las placas, , siendo V+ el potencial eléctrico que adquiere la placa cargada positivamente y V− el potencial en la placa negativa(figura 4.1). Este sistema de cargas genera un campo eléctrico en toda la región entre placas, orientado desde la placa positiva hacia la placa negativa, obteniéndose así una inducción completa pues todas las líneas de fuerzas originadas en la placa positiva terminan en la placa negativa. Además, como cada placa del condensador es conductora, el campo eléctrico en cualquier punto interior a la placa es cero, y toda la carga de la placa debe distribuirse sobre su superficie. • CAPACIDAD. La carga que adquiere cada placa del condensador y la diferencia de potencial que se establece entre las placas no son magnitudes independientes entre sí, sino que por el contrario, están relacionadas proporcionalmente( ). La constante de proporcionalidad se denomina capacidad y resulta ser un parámetro característico de cada condensador que depende de su forma geométrica y del tipo de material utilizado para aislar eléctricamente las placas; se denota como C y se expresa en unidades llamadas faradio; aunque los valores tipos son submúltiplos de esta unidad, tales como microfaradio F(=10−6), nanofaradio nF(n=10−9), picofaradio pF(p=10−12). Así, la ecuación fundamental para los condensadores se expresa como:

(4.1) En consecuencia, la capacidad de un condensador de geometría conocida se determina como el cuociente entre la carga en la placa y la diferencia de potencial entre placas. Los condensadores de geometría más simple son los denominados como: condensador de placas planas paralelas, condensador esférico y condensador cilíndrico. A.− CONDENSADOR DE PLACAS PLANAS PARALELAS. Es aquel condensador formado por dos láminas conductoras de área A y separadas paralelamente por una distancia d, que es pequeña comparada con las dimensiones de las aristas del área(figura 4.2.). Al conectar el 1

condensador a una fuente de poder(dispositivo que suministra energía eléctrica) cada una de las placas adquiere una carga de valor Q(el proceso de carga, así como los tipos de fuente de poder se discutirán más adelante). Se determina, primeramente, el campo eléctrico en la región interior al condensador bajo la condición de placa infinita. Se elige como superficie gaussiana un cilindro de eje perpendicular a la placa cargada(figura. 4.3), con una tapa en el interior de la placa conductora y la otra en el medio dieléctrico; por consiguiente, el flujo eléctrico a través de la superficie gaussiana se reduce al flujo a través de la tapa que quedó en el medio dieléctrico, entonces:

y, por lo tanto, para todo punto interior al condensador. Ahora se evalúa la diferencia de potencial entre las placas,

pero,

y que reemplazando en la expresión (4.1) da para la capacidad de un condensador de placas planas paralelas con vacío entre placas:

(4.2) Un condensador idéntico, pero con un dieléctrico de constante dieléctrica de valor K que ocupa todo el volumen interior, tendrá una capacidad que se deduce similarmente al caso con vacío, pero aplicando la ley de Gauss para dieléctricos:

entonces,

y la diferencia de potencial entre las placas queda como:

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para obtener finalmente la capacidad:

es decir, la capacidad del mismo condensador aumenta K veces al introducir un dieléctrico que llena completamente la región entre placas. B.− CONDENSADOR ESFERICO. El condensador esférico está formado por dos casquetes esféricos conductores concéntricos, de espesores despreciables, de radios R1 y R2 (R2>R1). Suponga que la placa interior se carga a Q+, mientras que la placa exterior se carga a Q−. Si en la región entre placas existe vacío como aislante, entonces se calcula el campo eléctrico en ésa región aplicando la ley de Gauss, eligiendo como superficie gaussiana una superficie esférica concéntrica de radio genérico r (figura 4.4,en un corte transversal).

Con lo cual, la diferencia de potencial queda como:

Para obtener una capacidad de:

(4.3) Si se llena el condensador con un casquete esférico dieléctrico de constante dieléctrica K, entonces:

y la diferencia de potencial entre placas,

con lo cual se obtiene una capacidad:

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y que se puede ver fácilmente que es igual a K veces la capacidad del mismo condensador con vacío entre placas( ). C.− CONDENSADOR CILINDRICO. Este condensador tiene como placas dos casquetes cilíndricos conductores, de espesor despreciable, de radios R1 y R2. Si se carga la placa interior con carga Q+ y la placa externa con Q−, entonces se establece un campo eléctrico en el interior del condensador de dirección radial y sentido apuntando desde la placa positiva hacia la placa negativa, y que se obtiene aplicando la ley de Gauss considerando las placas infinitamente largas( Fig. 4.5). Se elige como superficie gaussiana un cilindro coaxial de radio r y longitud de manto :

la diferencia de potencial entre placas es entonces igual a:

dando así una capacidad para el condensador cilíndrico con vacío entre placas,

(4.4) Similarmente, se puede demostrar que un condensador cilíndrico con dieléctrico de constante K en su interior, tendrá una capacidad . • COMBINACION DE CONDENSADORES. El parámetro capacidad de un condensador permite independizarse de la geometría del condensador, diferenciar un condensador de otro en términos de su valor y, en consecuencia, adoptar un símbolo común para representarlos. Así también, facilita la representación de la combinación de condensadores uniendo sus placas mediante conductores ideales. Dos son los tipos de asociaciones de condensadores: i) combinación serie, y ii) combinación paralela.

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La combinación serie se entiende como aquella en la cual se unen sucesivamente las placas de distinto signo de los condensadores. Al colocar cargas en las placas a y b, se inducen cargas iguales y opuestas en las placas de los restantes condensadores, es decir, todos los condensadores conectados en serie tendrán la misma carga( ). Respecto de los voltajes, y por conservación de la energía, se cumple que:

En general, para una conexión de N condensadores en serie se tiene que . Haciendo uso de la relación se puede deducir la expresión para la capacidad equivalente de la combinación serie de condensadores:

(4.5) La combinación paralela de condensadores es aquella en la cual se unen entre sí las placas del mismo signo. Por consiguiente, todos los condensadores están al mismo voltaje:

Además, por conservación de la carga eléctrica, la carga total del sistema debe ser igual a la suma de las cargas de cada condensador:

Aplicando la ecuación del condensador (4.1) se deduce que:

En general, para una combinación de N condensadores en paralelo se tendrá:

(4.6) EJEMPLO 4.1. Encuentre la capacidad equivalente entre los terminales a y b para el sistema de condensadores. SOLUCION. En esta configuración, el condensador 3 está en serie con el condensador 4 y, por lo tanto, se puede reducir aplicando la expresión (4.5)

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Este condensador C34 está en paralelo con el condensador C2 y se tiene entonces,

Finalmente, este condensador equivalente está en serie con el condensador C1, obteniéndose para la capacidad equivalente del sistema:

• ENERGIA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR. En el proceso de cargar un condensador, se va generando un campo eléctrico en toda la región entre placas, lo cual implica una cantidad de energía eléctrica cuya densidad es proporcional al cuadrado de la magnitud del campo eléctrico, . Esta energía es proporcionada externamente y consiste en el trabajo que se debe realizar para colocar una carga extra y del mismo signo sobre la placa ya parcialmente cargada, venciendo la repulsión coulombiana. En virtud de que el campo eléctrico generado es conservativo, el condensador almacena esta energía suministrada. Es conveniente expresar esta energía acumulada en el condensador en términos de parámetros característicos, como la carga Q, el voltaje V y la capacidad C. Si se supone un condensador de capacidad C y que se encuentra cargado a un potencial V, entonces se evalúa el trabajo que se debe realizar para depositar en la placa un infinitesimo de carga Q:

donde se ha considerado la ecuación fundamental del condensador y, por lo tanto, . La energía total se obtiene integrando la expresión anterior desde V =0( condensador descargado) hasta V(voltaje final en el condensador):

Ahora bien, recurriendo nuevamente a la ecuación del condensador se puede expresar la energía almacenada de alguna de la siguientes maneras:

(4.7) • CONDENSADOR PARCIALMENTE LLENO CON DIELECTRICO. Un condensador que tiene uno o más dieléctricos que ocupan fracciones de su volumen entre placas, admite para la determinación de su capacidad resultante un sistema equivalente de condensadores conectados en serie y/o paralelo. En efecto, suponga un condensador de placas paralelas de área A y separación d entre placas; este condensador tiene un dieléctrico de constante K, área A y espesor y la otra mitad del volumen está vacía(figura 4.6); entonces, la diferencia de potencial entre placas es: 6

y aplicando la ley de Gauss se deducen los campos en el interior del dieléctrico y en el vacío,

así,

con lo cual se obtiene un valor de capacidad,

Ahora bien, el mismo resultado se obtiene considerando una combinación de dos condensadores en serie(dado que en este tipo de combinación el voltaje total es la suma de los voltajes), uno totalmente lleno de dieléctrico y el otro con vacío, ambos de área A y espesor . Las capacidades respectivas serán:

con lo cual,

EJEMPLO 4.2. Un condensador de placas paralelas, de área A y separación d entre placas, tiene dos dieléctricos que llenan parcialmente su espacio interior. El dieléctrico 1 tiene constante K1=2K, área y espesor d, mientras que el dieléctrico 2 tiene constante K2=3K, área y espesor . El condensador se carga a un voltaje V0. Determine: • La capacidad del condensador. • La carga superficial de polarización. SOLUCION: • Se elige como circuito equivalente aquel que tiene dos condensadores en serie( C0 y C2), que corresponden a los dieléctricos existentes en la mitad superior del condensador, conectados en paralelo con un tercer 7

condensador(C1) que representa el dieléctrico que ocupa la mitad inferior. Las capacidades de estos condensadores equivalentes son:

ahora, los condensadores en serie dan un equivalente de,

y que combinado en paralelo con el condensador C1 da finalmente una capacidad de,

• La carga superficial equivalente de polarización se observa en los dieléctricos y, más precisamente, en las superficies de los dieléctricos que son paralelas a las placas ya que el vector polarización es normal a la placa del condensador. Además, como el vector polarización tiene magnitud constante, la densidad superficial de polarización es igual en ambas superficies del dieléctrico( ). Entonces,

donde

luego,

Análogamente, la carga de polarización en el dieléctrico 2 será:

pero, donde

y, por lo tanto, 8

con lo cual se obtiene una carga superficial de polarización de,

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