CONJUNTOS NUMÉRICOS La noción de número es tan antigua como el hombre mismo ya que son necesarios para resolver situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para contar una determinada cantidad de elementos (existen siete notas musicales, 9 planetas, etc.), para establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas (3,2 metros, , –4 ºC, 5,7 kg etc.), etc. Conjunto numérico es una agrupación de elementos denominados números, es decir, son caracteres que deben ser precisados por un adjetivo para no presentar ambigüedad, por ejemplo: números naturales, números enteros, números racionales, etc

Números naturales Al conjunto más simple o elemental de números que sirven para contar {1, 2, 3, 4, ...} los llamaremos números naturales y lo anotaremos con la letra N. Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta del siguiente modo:

Como podemos observar en la recta numérica, el conjunto N tiene un primer elemento, el 1; pero no existe un último, esto implica que el conjunto es infinito. Número Primo: unidad.

Es aquel que se puede dividir sólo por si mismo y por la

Ejemplos: 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…… Sobre el conjunto de números Naturales, se pueden definir ciertas operaciones como suma, resta, multiplicación y división, pero: Se observa lo siguiente:

2+5=7 5+2=7 3 + 20 = 23

La suma de dos números naturales da siempre como resultado un número natural

2 . 7 = 14 5 . 8 = 40 10 . 3 = 30

La multiplicación de dos números naturales da siempre como resultado un número natural.

8–3=5 20 – 7 = 13 7 – 20 = ? 5–5=?

La resta de dos números naturales no siempre da un número natural.

Así como necesitamos resolver el problema de la operación de resta, en el diario vivir se escuchan expresiones como: “ 10 grado bajo cero”, 647 en débito”, “8 pies bajo el nivel del mar”. Estas expresiones se refieren a números menores que cero. Con estas situaciones surgen los enteros negativos. Los enteros negativos, el cero y los números naturales (también conocidos por enteros positivos) forman el conjunto de los números enteros, estos son {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}.

Números Enteros Para solucionar el problema de la resta y dar solución a la representación de diversas situaciones de la vida real, se crean los números negativos –1, –2, –3, etc. como opuestos de los números naturales. Además se incorpora el cero para dar solución a la resta de un número consigo mismo (para representar la carencia de algo). El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el cero constituyen el conjunto de los números enteros, que se indica con la letra Z. Notemos que N ⊂ Z.

( N es un subconjunto de Z )

Su representación sobre la recta numérica es la siguiente:

Las flechas indican los opuestos de cada número Veamos algunos ejemplos: ♦ El opuesto de 2 es –2. ♦ El opuesto de −1 es 1 ♦ El opuesto de 5 es –5, es decir –(–5) = 5. ♦ El opuesto de 0 es ............... De esta manera, podemos redefinir la resta de dos números naturales como la suma de dos enteros. Ejemplo: Calcular 1)

23 − 12 = 23 + (–12) = ?

Solución: sumar –12 es lo mismo que restar su opuesto, o sea 12, es decir:

23 + (–12) = 23 – 12 = 11. 2)

9 – (–20) = ?

Solución: restar –20 es lo mismo que sumar su opuesto, o sea 20, por lo tanto: 9 – (–20) = 9 + 20 = 29. Módulo o Valor absoluto es el valor del número sin signo Ejemplo ⎢12⎥ = 12

⎢− 5⎥ = 5

⎢− 12⎥ = 12

⎢5⎥ = 5

El valor absoluto es siempre positivo Regla para la suma de enteros: Si sumamos dos enteros del mismo signo se suman los módulos y se conserva el signo. Si sumamos dos enteros de distinto signo se restan los módulos y se conserva el signo del módulo mayor. Reglas de la multiplicación o división de enteros: El producto o división de dos enteros del mismo signo es positivo. El producto o división de dos enteros de signo distinto es negativo. FACTORES Son los elementos de una multiplicación Por ejemplo: 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 2 ⋅ 8 ⋅ 3 = 48

3, 4 y 5 2, 3 y 8

son factores de son factores de

60 48

Descomposición en factores Primos: 24 = 2 3 ⋅ 3 Múltiplos de un Número n :

36 = 3 2 ⋅ 2 2

12 = 2 2 ⋅ 3

( n ∈ Naturales ) Es el conjunto obtenido al multiplicar el

conjunto de los Enteros por n. Por ejemplo: Múltiplos de 3 = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ........} Múltiplos de 7 = {7, 14, 21,. 28, 35, 42, .........} Al dividir dos números , a y b ; se dice que “ a “ es múltiplo de “ b “ si el cuociente entre a y b ∈ Z.

Ejercicios Efectuar las siguientes operaciones (Sin calculadora) 1. 2. 3. 4. 5. 6.

8 + ( 5 + 3) = ( 4 + 3 ) + ( 5 + 6 ) = ( −12 + 15 ) + (− 4) − (−87) + (25 − 107) = (−2) ·(− 4) + (7 − 12) – ( − 4 − 5) · (2) + 8 ( − 3)⋅(−4) ÷(−6) + ( − 3 − 6)(−2) + 8 − 3(−5) ((− 2)⋅( −6)÷3 −5)·(− 4 − 2) + 10

Calcular los siguientes valores absolutos: 7. 8. 9.

⎢− 36⎥ ⎢15⎥ ⎢− 28⎥

Resolver (Sin calculadora): 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.

(( − 5 + 8 − 7 ) ÷ ⎢− 2⎥ + ( − 3) · ⎢− 4⎥ + 5 ) · ( − 5 + 8 ) ⎢− 5⎥·⎢2⎥ + ( − 3) (4) − ⎢− 6⎥ (3) ( − 4)(5) − 6 + 1 − ( −3)(− 2) − ⎢− 18⎥ 20 + 14 − (−4) + 29 - (-8) + 25 = 5429 - 1349 + (1586 - (-4558) - 987) = 967 +257 *2 − 587 = (-25)·(-241) + 95 ·14 = -147*2 + -95* 3 - (-25)*(7) = ((-857*(-25)) + ((-84)*23)) = (71 * -25) + ((-25)*(-21) + (-15)*24) = ( −9 − 27 ) + ( 6 − −2 ) = -5 * 4 + 9 - 9 - -9 = 300 - 3 ( 5 - 2 ) + ( 6 *-15) + 4 (-12 *-25 + 36) = 15 - (19 - (8 - 17)) = (-6 - 4) - (- 5 - 4 ) - 9 - (- 7 - 8 ) = ( 2 ( 5 - 8 ) - ( - 3) · ( 3 - 6 ) ) · (-1) + (-10) = 2 · ( (- 6 ) · ( 8 - 9 ) ) - ( - 5) · ( 6 - 8 ) · ( - 2 ) = Si m = − 2 , n = − 1 , p = 0 , evaluar la expresión : 3mn − 2 (n − m ) + 240 mp

28.

Si

a = -1 ; b = 4 ; c = - 5 . Evaluar las siguientes expresiones:

a) b) c) d)

ab - ac - bc abc - 2a - 3b + 4c (a - b)*(b - c) ( b - ac ) * b - 3c

Descomponer en factores primos: 29. a) 30 b) 10 c) 35 d) 28 e) 18 f) 9

g) 48 h) 27 i) 64

Soluciones 1) 5) 9) 13) 17) 21) 25) 28)

16 39 28 100 − 404 − 11 14 a) 11

2) 18 6) 16 10) −27 14) 9237 18) 19493 22) 1545 26) 32 b) − 10

29) a) 3 ⋅ 5 b) 2 ⋅ 5 f) 3 2 g) 2 4 ⋅ 3

Pero:

c) 7 ⋅ 5 h) 3 3 i) 2 5

3) 4 7) 36 11) −20 15) 894 19) − 1610 23) − 13 27) 4 c) − 45 d) 2 2 ⋅ 7

4) 8) 12) 16) 20) 24)

29 15 − 49 7355 − 28 5

d) 11 e) 3 2 ⋅ 2

Veamos ¿qué ocurre con la división de dos enteros?.

Observemos lo siguiente: 4 : 2 = 2 ya que 2 . 2 = 4 6 : 3 = 2 ya que 2 . 3 = 6 Si sumamos, restamos y multiplicamos enteros siempre se obtiene otro número entero. Pero si dividimos dos enteros no siempre obtendremos otro entero. Por ejemplo, 16 ÷ 2 = 8 en 3 ÷ 4 el resultado no es un entero. Existen muchas divisiones donde el resultado no es un entero. Esta situación nos lleva a definir otro conjunto numérico conocido por los números racionales, que me permita incluir los resultados de aquellas divisiones que no son enteros. a En general = c = si se verifica que b ⋅ c = a b Recuerde , ¡¡¡ NO se puede dividir por “0” !!!

Números Racionales Para resolver la situación de la división, habrá que introducir otro conjunto numérico, el conjunto de los números racionales al que denotaremos con la letra Q. Un número racional es el cociente de dos números enteros a y b, siendo b ≠0. a Por lo tanto: Q = { / a,b ∈ Z, b ≠ 0}, donde a es el numerador y b el b denominador. Notemos que Z ⊂ Q. ¿Por qué? Un racional puede representarse en dos formas: ⎧ fraccionaria ⎪ ⎪ ⎪ Representación ⎨ decimal ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎩

finito ⎧ periódico inf inito ⎨ ⎩semi periódico

Algunos ejemplos de números racionales: 5 7 3 6 , − , 2 , 25 , 1.25, , 0.33333.... 4 8 4 100

Si Representamos en la recta numérica algunos números racionales, podemos ver:

Algunos ejemplos de números racionales: ♦

7 5

es racional pues 7 es entero y 5 es entero.

♦

−4 3

es racional pues –4 es entero y 3 es entero.

♦ 4 es racional pues

4 =4 y 1

4 y 1 son enteros.

♦ 0,3 es la expresión decimal de un número racional porque 0,3 = y 10 son enteros.

3 y3 10

5 ♦ 0, 5 es la expresión decimal de un número racional porque 0, 5 = y 9 5 y 9 son enteros.

♦ 0,15 es la expresión decimal de un número racional porque 15 − 1 14 7 0,15 = = = y 14 y 90 son enteros, o 7 y 45 tb. son 90 90 45 enteros Cada fracción es un número racional y cada numero racional consta de infinitas fracciones equivalentes. 18 9 3 −3 −18 = = = = 24 12 4 −4 −24

Por ejemplo:

En esta ocasión la fracción original se simplificó, se amplificó por − 1 después por 6

y

Simplificar = Dividir numerador y denominador por un mismo número. 18 18:2 18:6 18:−6 = = = 24 24:2 24:6 24:−6

otro ejemplo de fracciones equivalentes :

3 6 9 12 15 −6 −9 = = = = = = 5 10 15 20 25 −10 −15

En esta ocasión la fracción original se amplificó por 2, por 3, 4, 5, −2, − 3 Amplificar = Multiplicar numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo :

3 3 * 2 3 * 4 3 * −2 = = = 5 5 * 2 5 * 4 5 * −2

El valor de un número racional NO varía si el numerador y denominador se multiplican (amplifican) o dividen (simplifican) por el mismo número distinto de cero. Todo entero se puede escribir como Racional, dividiéndolo por la unidad. 5 5= 1 3 Por ejemplo: 3 = 1 c c= 1

Todo número racional puede escribirse como una expresión decimal cuya parte decimal puede ser periódica, pura o mixta, con un número finito de cifras, o puede tener un número finito de cifras. Para transformar un decimal a racional, se tienen que considerar los siguientes procedimientos: Decimal finito: Se divide el valor decimal por una potencia de 10 que depende de la cantidad de cifras decimales, simplificando finalmente al máximo el racional resultante. Ejemplo: 25 1 = 100 4 125 1 = 0,0125= 10000 80 20971 2,0971 = 10000

2 1 = 100 50 3475 3,475 = 1000

0,25 =

0,02 =

0,4=

4 2 = 10 5

Decimal periódico:

Período es la o las cifras decimales que se repiten. Para transformar un decimal periódico, se divide el valor periódico por una cantidad de 9 que depende de la cantidad de cifras que tiene el período, simplificando finalmente al máximo el racional resultante. Ejemplo: 0 , 66666

. = 0, 6 =

6 2 = 9 3

0,103103103 .... = 0,103 =

103 999

0,373737 ..... = 0, 37 =

3,161616 .... = 3,16 =

37 99

316 99

Decimal semi periódico: Es aquel, que antes de una o un grupo de cifras que se repiten, aparece un conjunto de cifras que no vuelven a repetirse, estas se llaman anteperíodo

Se divide la cifra (formada por anteperíodo y período juntos, menos el anteperíodo) por una cantidad de 9 que depende de la cantidad de cifras que tiene el período, seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el anteperíodo, (no se consideran las cifras del entero) simplificando finalmente al máximo el racional resultante.

Ejemplo: 0,3161616 ..... = 0,3 16 =

0,1367676767 ..... = 0,1367 =

316 − 3 313 = período = 16, anteperíodo = 3 990 990

1367 − 13 1354 677 = = 9900 9900 4950

período = 67,

anteperíodo = 136 7,31313131….= 7, 31 =

731 − 7 724 = 99 99

período = 31 anteperíodo = 7 ( no

decimal) 01637 − 01 1636 409 = = 99900 99900 24975 anteperíodo = 01

0,01637637637….= 0,01637 = Período = 637,

Para transformar un Racional a decimal, se divide el numerador por el denominador.

3/5 = 3 : 5 = 0.6 7/3 = 7 : 3 = 2.333 5/6 = 5 : 6 = 0.8333

(Decimal finito) (Decimal infinito periódico) (Decimal infinito semiperiódico)

Mínimo Común Múltiplo entre dos números, “a” y “b”, es el menor número que es múltiplo de “a" y “b” al mismo tiempo. Para encontrar el M.C.M. se descompone cada número en sus factores primos siendo el M.C.M. el conjunto de todas las potencias (tomadas una sola vez) con sus máximos exponentes M.C.M entre 6 y 8 M.C.M entre 4 y 6 M.C.M entre 8, 12, y 10 M.C.M entre 4, 6 y 8

6=2·3 4 = 2²

8 = 23 6=2·3

M.C.M.= 3 · 2³ = 24 M.C.M.= 3 · 2² = 12 = 120 = 24

OPERACIONES CON LOS RACIONALES SUMA

Para sumar y/o restar dos Racionales, se procede a calcular el M.C.M entre los denominadores. 3 1 1 9 + 2 + 4 15 3 1 + + = = = =1 4 6 3 12 12 4 4

MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar dos Racionales, se multiplican numerador con numerador y denominador con denominador. a c ac * = b d bd

3 1 3 * = 5 4 20

DIVISIÓN

Para dividir dos Racionales, se multiplica el primero por el segundo invertido. a e a f ÷ = ⋅ b f b e PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS

Para todo número a, b y c: Propiedad Conmutativa: a + b = b + a a·b=b·a

Ejemplos:

5+3=3+5 2x4=4x2

Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c a · (b · c) = (a · b) · c

Ejemplos:

2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4 5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7

Elemento Identidad de la Suma ( El cero (0)): a + 0 = a

Ejemplos:

8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4

Elemento Identidad de la Multiplicación ( El uno (1) ): a · 1 = a

Ejemplos:

9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3

Inverso Aditivo: Ejemplo:

a + ( − a) = 0 6 + (-6) = 0

Inverso Multiplicativo:

Se define el inverso multiplicativo de un número a ≠ 0 al número racional que multiplicado por a nos dé 1 (elemento multiplicativo neutro), es decir:

Ejemplos:

7 x

1 7

a ⋅

1 = 1, a

=

1 ;

a ≠ 0

cuando 3 4

x

4 3

=

1

Propiedad Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

Ejemplo:

5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4