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UNIDAD

La perspectiva cónica

CONOCIMIENTOS TEÓRICOS 1 Percepción visual y fotografía 2 Fundamentos de la perspectiva cónica 2.1 Elementos a considerar 3 Perspectiva cónica: tipos 4 Variaciones y tipologías de la perspectiva cónica 5 Representaciones de los 5.1 Representación 5.2 Representación 5.3 Representación

elementos fundamentales del punto y tipos de rectas y tipos de planos

6 Determinación de intersecciones 6.1 Intersección de planos 6.2 Intersección de recta y plano

APLICACIONES PRÁCTICAS 1 Construcción de perspectivas frontales 1.1 Disposición de los parámetros de la perspectiva 1.2 Perspectiva de formas planas 1.3 Perspectiva de sólidos 2 Construcción de perspectivas oblicuas 2.1 Disposición de los parámetros de la perspectiva 2.2 Perspectiva de formas planas 2.3 Perspectiva de sólidos

CUESTIONES Y EJERCICIOS

UNIDAD 10 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

La perspectiva cónica

Los seres humanos conocemos el mundo real que nos rodea a través de la información facilitada por nuestros sentidos. En este conocimiento intervienen las imágenes que obtenemos a través del sentido de la vista. Nos aproximaremos al estudio de la perspectiva cónica, viendo las características de la percepción visual y comparando ésta con la imagen fotográfica.

1 PERCEPCIÓN VISUAL Y FOTOGRAFÍA A diferencia de ciertos animales, por ejemplo, el caballo, cuyos ojos situados en lados opuestos de la cabeza le proporcionan la visión, simultáneamente, de dos escenas diferentes, los seres humanos vemos una única escena tridimensional, apreciando la profundidad, que nos sitúa unas formas en relación a otras. El responsable de esta apreciación es la visión binocular, gracias a la cual construimos una sola imagen a partir de la fusión, en una percepción única, de las sensaciones recogidas por ambas retinas. El globo ocular es una estructura esférica, con un diámetro de entre 20 y 25 mm y en el que, por su similitud con la imagen fotográfica que veremos a continuación y por su importancia en la formación de la imagen, destacamos los siguientes elementos (Fig. 1): Músculo recto lateral Iris

Retina Punto ciego Nervio óptico

Cristalino

Arteria

Córnea

Cámara posterior

Cámara anterior

Coroides Conjuntiva

Escleróòtica Músculo recto medial

Cuerpo ciliar Fig. 1

• Párpado. Situado en la parte exterior del ojo; al abrirse o cerrarse, permite o impide el paso de la luz. • Iris. Es la membrana coloreada del ojo en cuyo centro se encuentra la pupila; ésta última, al contraerse o relajarse, controla la cantidad de luz que entra en el ojo.

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TEÓRICOS UNIDAD CONOCIMIENTOS UNIDAD CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

• Cristalino. Tiene forma de lente biconvexa; su curvatura y espesor son variables en un proceso de acomodación que permite, de forma automática, ver enfocados objetos situados a diferentes distancias. • Retina. Es la capa más interna del globo ocular y está formada por células nerviosas; la percepción se realiza por la excitación de unos receptores, denominados conos y bastones, que transforman la energía de radiación en impulsos nerviosos los cuales, transmitidos a través del nervio óptico, son decodificados por el cerebro dando lugar a las sensaciones y percepciones visuales.

Formación de las imágenes en el ojo

Retina

Pupila

Objeto

Córnea transparente

Cristalino

Imagen formada en la retina

Nervio óptico

Fig. 2

Cuando miramos un objeto, el cristalino forma una imagen real e inversa de ese objeto localizada sobre la retina (Fig. 2). La información recibida en ambas retinas se transmite a las regiones asociadas correspondientes de la corteza cerebral, siendo finalmente el cerebro quien fusiona ambas imágenes neuronales obteniendo una representación única, la visión binocular, que nos permite percibir la profundidad (o tercera dimensión) y realizar un procesamiento visual detallado de las imágenes así captadas. De forma similar se forma la imagen fotográfica; veamos primero cómo surge la fotografía. La palabra fotografía deriva de dos raíces griegas: photos, ‘luz’, y graphos, ‘escribir’ o ‘dibujar’; por tanto, fotografía significa escribir mediante la luz. Su nacimiento se sitúa en la primera mitad del siglo XIX (en 1826 el francés Josep Niepce realiza la primera fotografía de la historia, un paisaje desde la ventana de su casa, tras ocho horas de exposición), pero no se llega aquí de forma espontánea, sino como consecuencia de una serie de avances y conocimientos científicos; entre éstos, destacamos dos: • La cámara oscura. Consiste en una caja vacía, de cualquier medida, en la que sólo entra la luz por un agujero practicado en una de sus paredes; los rayos de luz proyectan sobre la cara opuesta del agujero las imágenes del exterior.

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La perspectiva cónica

Esta cámara es conocida desde Aristóteles, en el siglo IV antes de Cristo, pero es en el Renacimiento cuando numerosos artistas, como Alberti, Leonardo, etc., la utilizan para realizar mejor sus dibujos en perspectiva. Durante el siglo XVII se fabricaban móviles de un tamaño suficiente para que el pintor, en su interior, dibujara con lápiz por encima de la imagen proyectada (Fig. 3).

Fig. 3

• Materiales sensibles a la luz. La necesidad de dibujar sobre la imagen proyectada desaparece al descubrir materiales, como el nitrato de plata, que se ennegrecen con la luz; la permanencia de la imagen se logró con el descubrimiento hacia 1819, por Sir John Herschel, del hiposulfito de sodio como agente fijador del nitrato de plata. A partir de aquí se suceden numerosos avances científicos y químicos que desarrollan la fotografía, con hitos importantes como el descubrimiento del daguerrotipo, la aparición de la Kodak nº 1, la fotografía en color, la cámara portátil, la réflex, etc., hasta llegar a la fotografía digital. Con variaciones y mejoras sucesivas, todas las cámaras fotográficas tienen unos elementos comunes y con equivalencias respecto a los órganos que vimos en el globo ocular: • Objetivo. Grupo de lentes que concentra los rayos de luz emanados por el objeto a fotografiar; los hace converger formando de nuevo una imagen nítida e invertida en la parte posterior de la cámara. Su función es similar a la del cristalino en la visión humana. • Obturador. Dispositivo mecánico mediante el cual se controla el tiempo de exposición a la luz. En el ojo humano esta función la realiza el párpado. • Diafragma. Es el orificio a través del cual entra la luz en la cámara, actuando como la pupila del ojo humano.

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CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

• Visor. Obertura por la que miramos el objeto a encuadrar y que queremos fotografiar. • Plano focal. Superficie sobre la que se forma la imagen del objeto que queremos fotografiar en el interior de la cámara; se corresponde con nuestra retina.

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UNIDAD

De forma esquemática, en la figura 4, vemos el proceso de formación de la imagen fotográfica con la intervención de los elementos descritos. Esta imagen, similar a la visión monocular del ojo humano, tiene todas las características que buscaremos en el resultado final de una perspectiva cónica: • El tamaño de los objetos disminuye al alejarse éstos de la posición del observador. • Las rectas paralelas resultan convergentes, en determinados casos, al distanciarse de nuestro punto de vista. • Los elementos más lejanos quedan situados más arriba en relación a los más cercanos, en un hipotético plano del cuadro vertical.

Fig. 4

Veremos éstas y otras características de la perspectiva cónica en los apartados siguientes.

2 FUNDAMENTOS DE LA PERSPECTIVA CÓNICA La historia de los sistemas de representación es una continua búsqueda para representar la realidad con toda su profundidad. Hacia 1400, los artistas del Renacimiento italiano alcanzaron una comprensión intuitiva de la perspectiva, siendo el arquitecto florentino Filippo Brunelleschi quien, hacia 1415, formuló las leyes de la perspectiva central, tal como afirma Alberti en su tratado De pictura (1435), obra a la que ya nos referimos (apartado 2 de Cocimientos teóricos de la unidad 9) en Dibujo técnico 1. Llama la atención la introducción de un método científico en el campo artístico de la representación pictórica.

Piero della Francesca. La ciudad ideal, 1475. Óleo sobre lienzo.

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Alberti propone unas reglas para pintar lo que ve un ojo, basando su método en el llamado Velo de Alberti (Fig. 5): Considera una pirámide de rayos, proyección, que partiendo del ojo del pintor, inciden en cada uno de los puntos de la escena que se pretende pintar. Si se coloca entre la escena y el ojo una pantalla de cristal, la intersección con ella de cada rayo proyectante determina un punto, sección. Los puntos de esta sección (Fig. 6), definen una imagen igual a la escena inicial e igual, pero sin invertir, a la imagen que se forma sobre la película de una cámara fotográfica. Alberti introduce ya términos como proyección y sección, que están en la base de lo que aún hoy conocemos como «sección plana de la pirámide visual». El método de Alberti se enriquecerá con las aportaciones de Leonardo Da Vinci, Piero della Francesca y Durero, llegando a dominar las leyes fundamentales de la perspectiva y consiguiendo trazados perfectos desde un punto de vista estrictamente geométrico. Fig. 5

Fig. 6

2.1 Elementos a considerar Los elementos descritos anteriormente, los cuales intervienen en la generación de una imagen en perspectiva cónica, los complementamos en la geometrización, representada en la figura 7, que explicamos a continuación: • Plano del cuadro, PQ. Es el plano sobre el que se forma la imagen en perspectiva cónica como sección plana de la pirámide visual. Habitualmente se supone situado entre los objetos a representar y el punto de vista. • Plano geometral, PG. Es un plano horizontal, perpendicular al plano del cuadro, en el que se suponen apoyados tanto el observador como los objetos a representar.

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CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

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UNIDAD

Fig. 7

• Plano de desvanecimiento, PD. Es el plano paralelo al del cuadro que contiene el punto de vista, V. • Plano del horizonte, PH. Se trata de un plano paralelo al geometral y que contiene el punto de vista. • Línea de tierra, LT. Es la intersección de los planos geometral y del cuadro. Como veremos más adelante, es el único sitio donde podremos medir dimensiones reales. • Línea del horizonte, LH. Es la intersección entre el plano del horizonte y el del cuadro. La distancia entre las dos líneas, LT y LH, es equivalente a la altura de observación. • Punto de vista, V. Representa la posición del observador y el punto desde el que se forma la pirámide visual que, en su intersección con el PQ, forma la imagen en perspectiva de los objetos. • Punto principal, P. Es la proyección ortogonal del punto de vista V sobre el plano del cuadro; se halla situado, siempre, en la línea del horizonte, LH. La distancia de P a V se denomina distancia principal o de observación. • Puntos de distancia, en el caso de la perspectiva cónica con un punto de fuga. Son dos puntos, D y D’, situados sobre la LH, uno a cada lado del punto principal P. Las distancias PD y PD’ son iguales entre sí e iguales a la distancia de observación PV. Los anteriores elementos, considerando el plano del cuadro como nuestro plano de trabajo, dispuestos en la forma esquemática que necesitaremos para el trazado de perspectivas, quedan dispuestos tal como vemos en la figura 8. La distancia entre LH y LT equivale a la altura de observación desde la que miramos el objeto a representar y el segmento PV es la distancia del punto de vista al plano del cuadro.

Fig. 8

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3 PERSPECTIVA CÓNICA: TIPOS La imagen en perspectiva se forma como intersección con el plano del cuadro de la pirámide visual que tiene por vértice el punto de vista V. Esta sección produce en nuestros sentidos la misma impresión de realidad que la visión de ese objeto desde un punto de vista determinado, con las deformaciones y reducciones fruto de la distancia y de la altura de observación. La posición del objeto a representar, en relación al plano del cuadro, determina las características de la perspectiva y el tipo de imagen que obtenemos de dicho objeto. Como presentación y clasificación de la perspectiva cónica, vemos la representación de un mismo objeto en los tres supuestos siguientes: Fig. 9

• Perspectiva frontal, o de un punto de fuga. Cuando el objeto a representar tiene una de sus caras paralela al plano del cuadro. Las aristas perpendiculares al plano del cuadro concurren en el punto principal P, mientras que las paralelas (verticales u horizontales) al plano del cuadro se mantienen en esta posición (Fig. 9).

Fig. 10

• Perspectiva oblicua, angular o de dos puntos de fuga. Cuando ninguna de las caras del cuerpo a representar es paralela al plano del cuadro. Las aristas oblicuas al plano del cuadro concurren, según su dirección, en los puntos de fuga F y F’ situados en LH, mientras que las paralelas (normalmente verticales) se mantienen en esta posición (Fig. 10). • Perspectiva oblicua, de tres puntos de fuga. Cuando ninguna de las caras o aristas del cuerpo es paralela al plano del cuadro. En la representación de la figura 11, vemos la misma figura en esta perspectiva, con un punto de fuga para cada una de las tres direcciones del espacio. En Aplicaciones prácticas veremos la forma concreta de construir las perspectivas frontal y oblicua de dos puntos de fuga, a partir de las proyecciones diédricas del objeto a representar.

Fig. 11

4 VARIACIONES Y TIPOLOGÍAS DE LA PERSPECTIVA CÓNICA La representación en perspectiva que obtenemos de un objeto, al igual que la imagen directa que vemos del mismo, depende de la posición desde la que lo miramos. En el caso de la perspectiva cónica, las características del punto de observación se concretan en los siguientes parámetros, con las características derivadas que vemos a continuación:

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CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

• Posición del plano del cuadro, PQ. respecto al objeto; lo cual es equivalente a definir la posición del observador en relación al objeto, pudiendo elegir el punto de vista y las caras del mismo que nos interesa destacar. En las figuras 9 y 10 vemos un mismo objeto posicionado de dos maneras distintas en relación al PQ. En la figura 10, al no tener caras paralelas al plano del cuadro, se consigue la visión, simultáneamente, de dos caras del objeto con una mejor comprensión de su geometría.

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UNIDAD

• Altura del punto de vista. Es la altura desde la que se mira el objeto a representar. En la construcción gráfica se refleja en la separación entre las líneas de horizonte, LH, y de tierra, LT, e incide en cómo estamos viendo el objeto, desde arriba o desde abajo; llevando al extremo estos valores, podríamos llegar a representaciones similares al picado o contrapicado fotográfico. En las figuras 12 y 13 representamos un mismo cubo variando, únicamente, la altura desde la que se observa.

Fig. 12

Fig. 13

• Distancia de observación. Es la separación desde la que miramos el objeto a representar. En la construcción gráfica se refleja en la distancia entre los puntos principal y de vista, P y V, e incide en cómo vemos el objeto tal como podemos apreciar en el cubo representado en la figura 14, según dos valores de PV distintos. Valores extremos de este parámetro equivaldrían, en términos fotográficos, a utilizar un gran angular o un teleobjetivo.

Fig. 14

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5 REPRESENTACIONES DE LOS ELEMENTOS FUNDAMENTALES En los apartados anteriores hemos establecido las características de un sistema de perspectiva cónica. Antes de iniciar las representaciones de diferentes superficies y cuerpos, veamos la perspectiva de los elementos geométricos más simples que integran cualquier forma.

5.1 Representación del punto La perspectiva de un punto es la intersección con el plano del cuadro, PC, de la visual que enlaza dicho punto con el de vista; esta intersección es común para todos los puntos que se hallan sobre la misma visual, tal como ocurre con los puntos A, B y C de la figura 15, por lo que el punto A’-B’C’ resulta indeterminado y no define la posición concreta de ninguno de ellos. Para resolver esta indeterminación, y fijar la posición concreta de cada uno de ellos, determinamos la perspectiva de cada punto y la de su proyección sobre el plano geometral.

Fig. 15

En la representación de la figura 16 indicamos, sobre el plano del cuadro, las perspectivas A’-a’ que permiten concretar la posición del punto A del espacio; la primera de ellas, A’, es la proyección directa del punto A, mientras que la segunda, a’, corresponde a la proyección sobre el cuadro de la proyección de A sobre el geometral.

Fig. 16

Fig. 17

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Con la finalidad de agrupar los puntos de acuerdo a unas características comunes, dividimos el espacio en las zonas que apreciamos en la representación esquemática de la figura 17: • Espacio real. El situado delante del plano del cuadro. • Espacio intermedio. El comprendido entre el plano del cuadro y el punto de vista. • Espacio virtual. El que se halla por detrás del plano de desvanecimiento o del punto de vista.

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CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

En cada una de las tres zonas anteriores, podremos tener puntos situados por encima o por debajo del plano geometral, PG, o contenidos en él.

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UNIDAD

En la figura 18 representamos los puntos A, B, C y D, cada uno de ellos situado en uno de los espacios anteriores y todos ellos por encima del plano geometral; el punto B pertenece al plano del cuadro. Para cada uno de ellos determinamos su proyección a, b, c y d sobre el geometral, y de éstos, junto con la del correspondiente punto del espacio, efectuaremos la representación perspectiva sobre el plano del cuadro, PC.

Fig. 18

La figura 19 contiene estas perspectivas, con unas características comunes para todos los puntos situados por encima del geometral y para cada uno de los tres espacios anteriores: • El Punto A, como todos los puntos situados por delante del PC, tiene la proyección secundaria a’ por encima de la línea de tierra. • La proyección b’ de un punto cualquiera del plano del cuadro está situada siempre sobre LT. • Los puntos situados en el espacio intermedio, punto C, tienen la proyección c’ por debajo de LT. • El punto D, situado por detrás del punto de vista, espacio virtual, tiene la proyección secundaria d’ por encima de la directa D’ y por encima de la línea del horizonte, LH.

Fig. 19

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UNIDAD 10 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

La perspectiva cónica

En los puntos situados sobre el plano geometral, coinciden las posiciones de A y a, B y b, etc., por lo que también coincidirán las perspectivas de ambos sobre el plano del cuadro. Así se ve en la representación de la figura 20 para cuatro puntos situados en el geometral y en las mismas zonas de los puntos estudiados en las figuras 18 y 19. Por último, en la figura 21 representamos puntos de las mismas cuatro zonas, pero con la característica común de estar situados por debajo del plano geometral. Las características para una misma zona son, lógicamente, opuestas a las correspondientes a puntos situados por encima del plano geometral.

Fig. 20

5.2 Representación y tipos de rectas Como en el sistema diédrico, o en cualquier otro sistema de representación, las proyecciones de una recta quedan determinadas cuando conocemos las proyecciones de dos de sus puntos. De un punto P tenemos dos proyecciones sobre el plano del cuadro, la directa P’ y la secundaria p’; por ello, al unir las proyecciones de dos de los puntos de una recta, tendremos dos proyecciones de la misma sobre el plano del cuadro, la directa R’ y la secundaria r’, tal como vemos en la representación de la figura 22.

Fig. 21

Fig. 22

En la recta hemos de distinguir dos trazas o puntos notables, cuyas características referimos a continuación y que podemos apreciar en la puesta en perspectiva de una recta R oblicua cualquiera (Fig. 23):

Fig. 23

222

• Traza geometral. Es la intersección de una recta con el plano geometral. Se trata del punto doble, G-g, cuya representación en perspectiva coincide con la intersección de las proyecciones R’ y r’. • Traza con el cuadro. Es la intersección de la recta con el plano del cuadro que, como todos los puntos de este plano, tendrá su proyección secundaria sobre LT. Levantamos una perpendicular a LT por el punto en que la corta r’, hasta alcanzar la proyección directa R’; así determinamos las dos proyecciones de esta traza T’-t’.

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CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

Como en el sistema diédrico, estableceremos una tipología de rectas, diferenciadas por su posición en relación a los planos definitorios de un sistema de perspectiva cónica. Además de la recta oblicua, tanto al plano del cuadro como al geometral, que hemos visto en las representaciones de las figuras 22 y 23, podemos considerar las siguientes posiciones: • Recta contenida en el plano geometral Todos sus puntos serán dobles, por lo que coincidirán sus proyecciones directa y secundaria. No tiene traza con el geometral, a no ser que consideremos toda la recta como traza (Fig. 24).

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UNIDAD

Fig. 24

• Recta paralela al plano geometral o recta horizontal No tendrá traza con el plano geometral, por lo que la intersección de sus dos proyecciones, que definen la perspectiva de esta traza, será un punto impropio situado sobre la línea de horizonte, LH (Fig. 25). • Recta perpendicular al plano geometral y paralela al del cuadro La proyección directa R’ se verá perpendicular a las líneas de tierra y de horizonte, siendo su proyección secundaria un punto coincidente con la traza con el geometral (Fig. 26). No tiene, evidentemente, traza con el plano del cuadro.

Fig. 25

• Recta paralela al plano de cuadro o recta frontal Esta recta, por ser paralela al PC, no tiene intersección con él, por lo que tampoco tendrá traza con el cuadro; al determinarse ésta en la intersección de r’ con la LT, deberá ser r’ paralela a LT (Fig. 27). • Recta perpendicular al plano del cuadro Evidentemente, esta recta es también paralela al plano geometral, por lo que sus proyecciones serán similares a las de la recta vista anteriormente con esta característica, con la diferencia de que sus dos proyecciones, R’ y r’, coincidirán en el punto principal P (Fig. 28). • Recta contenida en el plano del cuadro Carece de traza con el plano que la contiene, el del cuadro; su proyección secundaria se halla sobre la línea de tierra (Fig. 29).

Fig. 27

Fig. 28

Fig. 26

Fig. 29

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UNIDAD

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La perspectiva cónica

• Recta paralela a LT Una recta paralela a LT lo es también a los planos geometral y del cuadro, por lo que no tendrá traza con ninguno de ellos, siendo sus dos proyecciones paralelas entre sí y a las líneas de tierra y del horizonte (Fig. 30).

5.3 Representación y tipos de planos Fig. 30

Un plano se representa por sus trazas o intersecciones con los planos del sistema, el geometral y el del cuadro. Dichas trazas se cortan en un punto de la línea de tierra, LT, con lo que estamos definiendo el plano por una de las formas habituales en cualquier otro sistema de representación: mediante dos rectas que se cortan. En la figura 31, representamos un plano α cualquiera, oblicuo en relación a los planos del cuadro y geometral, cuyas intersecciones con ellos, αc y αg respectivamente, nos sirven para determinar su representación en perspectiva cónica. En la figura 32, representamos las trazas αc y αg del plano α, junto con una nueva traza a la que denominamos recta límite, RL, paralela a la traza αc y que representa la proyección sobre el plano del cuadro de las rectas del infinito de dicho plano.

Fig. 31

Fig. 33

Fig. 34

224

Fig. 32

• Plano perpendicular al geometral y oblicuo al plano del cuadro La intersección con el plano del cuadro de un plano que sea perpendicular al geometral es una recta vertical que, en perspectiva cónica, se verá perpendicular a LT. La recta límite, RL, paralela a αc, será también perpendicular a LT; la traza con el geometral, αg, está comprendida entre ambas trazas y las líneas de tierra y del horizonte (Fig. 33). • Plano perpendicular al del cuadro y oblicuo al geometral La recta límite RL de un plano perpendicular al del cuadro ha de contener, necesariamente, el punto principal P; la traza con el cuadro αc es oblicua a la línea de tierra LT (Fig. 34).

La perspectiva cónica

CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

• Plano paralelo al geometral o plano horizontal Un plano paralelo al geometral es un plano horizontal, cuya única traza será la de intersección con el plano de cuadro, αc; en proyección cónica esta traza será paralela a LT y su recta límite, RL, coincide con la posición de la línea del horizonte (Fig. 35).

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UNIDAD

• Plano paralelo al plano del cuadro o plano frontal Su traza con el geometral, αg, será paralela a la línea de tierra (Fig. 36). Carece de traza con el plano del cuadro, αc, y de recta límite, RL.

Fig. 35

Fig. 36

6 DETERMINACIÓN DE INTERSECCIONES 6.1 Intersección de planos La intersección entre dos planos es una recta que pasa por los puntos comunes de ambos. Los puntos de intersección entre sus trazas, y entre sus rectas límites, son puntos comunes pertenecientes, por tanto, a la recta de intersección. Para determinar la intersección entre los planos α y β de la figura 37, basta unir el punto de intersección entre sus trazas con el cuadro, αc y βc, con el de intersección de sus trazas con el plano geometral, αg y βg, o bien, con el punto de intersección de sus rectas límite; así obtenemos las proyecciones R’-r’ de su recta de intersección.

Fig. 37

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UNIDAD 10 CONOCIMIENTOS TEÓRICOS

La perspectiva cónica

6.2 Intersección de recta y plano Esta intersección se resuelve de forma similar a la realizada, con los mismos elementos, en sistema diédrico. Utilizamos un plano auxiliar que contenga la recta dada y determinamos la intersección entre ambos planos; su recta común, al cortarse con la dada inicialmente, determina sobre ésta el punto buscado.

Joan Miró, El lucero del alba. 1940.

Como plano auxiliar, en la figura 38, hemos utilizado un plano vertical que, por ser proyectante, tiene su traza con el geometral coincidente con la proyección secundaria de la recta. La recta de intersección entre los dos planos, al cortarse con R’, nos determina la proyección directa I’ del punto de intersección buscado.

Fig. 38

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La perspectiva cónica

APLICACIONES PRÁCTICAS

UNIDAD

1 CONSTRUCCIÓN DE PERSPECTIVAS FRONTALES

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Veremos en este primer apartado los trazados necesarios para situar objetos en perspectiva frontal o de un punto de fuga; de forma progresiva, empezaremos por dibujar la perspectiva de formas planas para finalizar con perspectivas frontales de algunos sólidos.

1.1 Disposición de los parámetros de la perspectiva Como hemos visto en Conocimientos teóricos, nuestro plano de trabajo o de dibujo es el plano del cuadro; sobre él situamos, tal como hemos hecho en la figura 8 y seguiremos haciendo en las próximas construcciones, los elementos de referencia para el trazado de la perspectiva: • Dos rectas paralelas, LH y LT, con una separación entre ambas igual a la altura desde la que observamos el objeto. • Punto principal P y puntos de distancia D y D’ situados sobre LH. Las distancias PD y PD’ son iguales entre sí e iguales a la distancia entre P y el punto de vista V (normalmente no se representa). En la perspectiva frontal, el punto principal P es el punto de fuga o de convergencia de las rectas horizontales que forman 90º con el plano del cuadro. Los puntos de distancia D y D’ son los puntos de fuga o convergencia de las rectas horizontales que forman 45º con el plano del cuadro o con la LT; se utilizan para situar longitudes o distancias en perspectiva.

1.2 Perspectiva de formas planas Comenzamos por situar un punto en perspectiva (Fig. 39), construcción que nos servirá para entender construcciones más complejas. El punto A, que queremos situar en perspectiva, es decir, sobre el plano del cuadro, se halla situado en el plano geometral por detrás del PQ.

Fig. 39

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UNIDAD

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APLICACIONES PRÁCTICAS

La perspectiva cónica

La distancia AT representa la separación del punto A de la línea de tierra, LT. Dado que el segmento AT es perpendicular a LT, su representación en perspectiva fugará al punto P y, sobre el segmento TP, se hallará el punto A en perspectiva. Al ser la línea de tierra la intersección del plano geometral con el del cuadro (nuestro plano de trabajo), las magnitudes medidas sobre LT se hallan en verdadera magnitud. Medimos sobre LT el segmento T(A), igual a la distancia TA, y unimos (A) con el punto de distancia D; la intersección con el segmento TP nos define la posición del punto A’, perspectiva frontal del punto A. Si a P fugan las rectas que forman 90º con el plano del cuadro y a D y D’ las que forman 45º, el triángulo perspectivo T(A)A’ es rectángulo e isósceles, con ángulo recto en el vértice T, por lo que los segmentos T(A) y TA’ representan la misma magnitud. Dado que T(A) es igual a TA, también TA’ representa la magnitud de TA, siendo A’ la posición perspectiva del punto A.

Vista frontal de un tablero de ajedrez.

• Cuadrado en posición horizontal con un lado coincidente con LT El primer cuadrado de la figura 40 tiene uno de sus lados, AE, sobre LT, por lo que estará en verdadera magnitud. Los lados AB y EC, perpendiculares a LT, fugarán al punto principal P. Para determinar el cuadrado en perspectiva, sólo nos falta llevar sobre las rectas que concurren en P la magnitud reducida del lado del cuadrado; para ello utilizamos los puntos de distancia a los que fugan las rectas que forman 45º con el plano del cuadro, como las diagonales AC y BE del cuadrado. Unimos E con D y su intersección con AP nos determina la posición B’, perspectiva del punto B; del mismo modo, la unión de A con D’ intercepta sobre EP la posición C’, perspectiva del vértice C.

Fig. 40

Los lados paralelos a LT y al plano del cuadro, AE y CB, se mantienen paralelos en la perspectiva de frente; por ello B’C’ es paralelo a LT, lo que puede simplificar la determinación del vértice C’.

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La perspectiva cónica

APLICACIONES PRÁCTICAS

• Cuadrado horizontal separado de LT, pero con dos lados paralelos a LT El segundo cuadrado de la figura 40 se halla por detrás del PQ, con dos lados paralelos a LT. Prolongamos los lados AB y EC hasta su intersección con LT, desde donde fugan al punto principal P. Para situar los vértices en perspectiva, trazamos la diagonal AC, que prolongamos hasta su intersección con LT en el punto R. Por la posición del cuadrado, esta diagonal forma un ángulo de 45º con LT, por lo que fugará al punto de distancia D’ interceptando los vértices A’ y C’ del cuadrado; por ellos trazamos paralelas a LT para determinar los otros dos vértices, E’ y B’, del cuadrado en perspectiva.

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UNIDAD

Ambos cuadrados, el representado en perspectiva y el auxiliar, aparecen invertidos, como si giráramos el plano geometral con respecto a LT hasta hacerlo coincidir con el plano del cuadro. Si queremos ver ambas figuras con la misma orientación, situaremos una LT auxiliar, paralela a LT, en relación a la cual el objeto o forma a representar ocupe la posición que queremos tenga en perspectiva (tal como veremos en el segundo cuadrado de la figura 41). • Cuadrado horizontal con los lados a 45º en relación a LT y separado del geometral Dibujamos el cuadrado ABCE abatido sobre el cuadro como en los casos anteriores, primer cuadrado de la figura 41. Desde cada uno de sus vértices, trazamos perpendiculares a LT que fugarán al punto principal P y sobre las que se hallarán los vértices en perspectiva. La prolongación del lado AE corta en el punto R la LT y, por formar 45º con LT, su representación perspectiva fugará a uno de los puntos de distancia e interceptará en las rectas que fugan a P los vértices A’ y E’; de forma similar obtenemos los vértices B’ y C’, que, junto a los anteriores, completan la representación perspectiva del cuadrado.

Fig. 41

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UNIDAD

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APLICACIONES PRÁCTICAS

La perspectiva cónica

• Cuadrado en posición horizontal, con un vértice en LT y girado un ángulo cualquiera Trazamos una LT auxiliar, paralela a LT y a cualquier distancia de ella, en relación a la cual dibujamos el cuadrado ABCE con el vértice A sobre LTaux, segundo cuadrado de la figura 41. Por cada uno de los vértices del cuadrado, trazamos perpendiculares hasta LT y, desde los puntos de intersección, rectas que fugarán al punto principal P; para situar sobre estas rectas los vértices del cuadrado, usamos la perpendicular a LT que pasa por el vértice E como línea de referencia. Para determinar, por ejemplo, el vértice B’, trazamos una paralela a LT por el vértice B del cuadrado auxiliar hasta cortar al segmento 1-2, y con centro en 1 trazamos el arco 1b. Desde el punto b, perpendicularmente a LT, determinamos la posición (b) que unido con el punto de distancia correspondiente, D en este caso, intercepta sobre la perpendicular al cuadro 2P el punto b’, desde el cual, mediante una paralela a LT, referiremos a la línea de fuga correspondiente, para determinar la posición B’. Procediendo de forma similar, encontraremos la posición perspectiva del vértice C’; el vértice A’ estará situado sobre LT y E’, sobre la línea de referencia que partiendo del punto 2 fuga a P. La unión de los cuatro vértices nos determina la posición del cuadrado en perspectiva.

Fig. 42

• Cuadrado en posición vertical, con un vértice sobre LT En la posición que deseamos situar el cuadrado, dibujamos el cuadrado auxiliar ABCE, en verdadera magnitud por estar situado en el plano del cuadro (Fig. 42). Para situarlo en perspectiva, desde los vértices A y B trazamos líneas que fuguen a P, sobre las que se hallarán los otros dos vértices del cuadrado; la unión de E con el punto de distancia correspondiente, D’, intercepta sobre el segmento AP la posición del vértice E’. Del mismo modo, el segmento CD’ intercepta sobre BP la posición de C’; el lado E’C’ se mantiene vertical y paralelo a AB, pero de menor longitud que éste, al estar situado por detrás del plano del cuadro. Las líneas que fugan a los puntos de distancia, por formar 45º con el plano del cuadro, nos sirven para situar magnitudes o distancias en perspectiva. Así, en el cuadrado anterior, la distancia AE, en verdadera magnitud sobre la línea de tierra, la referimos a la posición AE’ mediante la línea que desde E fuga a D’, cortando a AP en el punto E’; el segmento AE’ es la magnitud AE puesta en perspectiva. Desde el punto E hemos de fugar al punto de distancia D’, ya que si se fugara al otro punto de distancia, D, no interceptaría sobre la línea que fuga al punto principal P.

Fig. 43

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• Circunferencia situada en un plano horizontal Sobre el geometral abatido, dibujamos la circunferencia auxiliar en verdadera magnitud y, circunscrito a ella, un cuadrado ABCE que nos servirá como referencia (Fig. 43). Situamos el cuadrado en perspectiva, según su posición y tal como hemos hecho en los apartados anteriores. En relación

La perspectiva cónica

APLICACIONES PRÁCTICAS

al cuadrilátero ABC’E’, utilizando el procedimiento que en la unidad 6 nos sirvió para trazar la elipse conocidos sus diámetros conjugados, determinamos los puntos 1’, 2’, 3’ y 4’ que, unidos a mano alzada, nos determinan la posición de la circunferencia en perspectiva cónica frontal.

UNIDAD

10

En la circunferencia auxiliar, mediante las diagonales AC y BE, determinamos los puntos 1, 2, 3 y 4 de intersección con la circunferencia; referimos las perpendiculares 1-4 y 2-3 hasta su intersección con LT y, desde ella, al punto de fuga P. Las intersecciones con las diagonales AC’ y BE’ determinan los puntos 1’, 2’, 3’ y 4’ de paso de la circunferencia en perspectiva.

1.3 Perspectiva de sólidos En el apartado anterior hemos aprendido a situar un cuadrado en perspectiva frontal, independientemente de la posición que éste ocupe en relación al plano del cuadro. Los procedimientos utilizados son generalizables a cualquier forma plana y están en la base de los trazados necesarios para situar sólidos en perspectiva; veremos a continuación algunos ejemplos de estos últimos. • Perspectiva frontal de un cubo El primer cubo (Fig. 44 y 45), tiene una de sus caras, la ABCE, coincidente con el plano del cuadro, por lo que estará en verdadera magnitud. Por los cuatro vértices de esta cara, trazamos rectas perpendiculares a ella que, en perspectiva frontal, fugarán al punto P. Para situar sobre una de estas rectas, la AP en la figura, la magnitud de la arista del cubo, unimos el vértice B con el punto de distancia D y, en su intersección, tenemos la posición perspectiva G’ de un nuevo vértice del cubo; a partir de él, trazamos la paralela y la perpendicular a LT que nos definen, respectivamente, la posición de los vértices I’ y H’; desde ellos encontramos la posición del vértice J’ (mediante el trazado de una paralela y una perpendicular a LT). Al unir los vértices para definir el cubo, tal como aparece en la figura 45, diferenciamos, mediante calidad de línea, las aristas vistas y las ocultas.

Fig. 44

Fig. 45

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UNIDAD

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APLICACIONES PRÁCTICAS

La perspectiva cónica

El segundo cubo (Fig. 46 y 47) tiene una de sus caras, la ABCE, paralela al plano del cuadro, pero a una distancia d por detrás de él. En relación a LT situamos las verdaderas magnitudes de la arista del cubo, horizontal y verticalmente, y la distancia d; desde los puntos A, B y E fugamos al punto principal P y, uniendo el extremo de la distancia d con el punto de distancia D’, obtenemos la posición perspectiva de los vértices A’ e I’; a partir de ellos, y mediante paralelas y perpendiculares a LT, completamos los vértices y aristas del cubo tal como vemos, finalmente, en la figura 47.

Fig. 46

Fig. 47

• Perspectiva frontal de una pirámide hexagonal En relación a LT, dibujamos abatida la base de la pirámide y le circunscribimos el paralelogramo de vértices 1, 2, 3, 4 de la figura 48. Desde los vértices situados sobre la línea de tierra, A y B, y desde los puntos 1 y 2, fugamos las perpendiculares al punto principal P. Para situar sobre el segmento 2P la posición perspectiva del vértice C, hacemos centro en el punto 2 y, con un radio igual a 2C, determinamos sobre LT la posición (C) que, al unirla con el punto de distancia D, intercepta la posición del vértice C’. La paralela a LT trazada desde C’ nos sirve para determinar la posición del vértice G’. De forma similar llevamos sobre LT el segmento 1-(4) igual a la longitud 1-4, para unir a continuación el punto (4) con el punto de distancia D’

Fig. 48

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La perspectiva cónica

APLICACIONES PRÁCTICAS

UNIDAD

y determinar así la posición 4’ que, mediante una paralela a LT, nos sirve para situar los vértices F’ y E’ y completar la representación perspectiva de la base de la pirámide.

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Para finalizar la perspectiva, nos falta levantar, verticalmente, por el centro de la base la altura H de la pirámide; pero si H es la altura en verdadera magnitud, debemos efectuar la medición en relación a LT. Para ello unimos P con el centro de la base y prolongamos el segmento hasta cortar en el punto 5 la línea de tierra (Fig. 49); desde 5 trazamos una perpendicular a LT sobre la que medimos la altura H, segmento 5V. Desde V fugamos nuevamente a P y la vertical trazada desde el centro de la base intercepta la posición V’ del vértice. El trazado de las aristas laterales, vistas y ocultas, nos completa la representación en perspectiva de la pirámide.

Fig. 49

• Perspectiva frontal de un sólido A partir de las vistas acotadas del sólido de la figura 50, pretendemos realizar su representación en perspectiva cónica de un punto de fuga. Como en las perspectivas axonométricas, conviene realizar, previamente, un croquis a mano alzada de la pieza tal como la imaginamos, así como de la orientación más conveniente para que la perspectiva refleje, con la máxima claridad, todos sus detalles. Empezamos por situar (Fig. 51) la planta dada en perspectiva; para ello llevamos sobre LT las magnitudes reales tomadas de las vistas de la figura. El Fig. 50

Fig. 51

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UNIDAD 10

APLICACIONES PRÁCTICAS

La perspectiva cónica

lado AB lo hacemos coincidir con LT y las perpendiculares al mismo fugan, evidentemente, a P. Para llevar sobre BP la profundidad b de la figura, medimos ésta a partir del punto B sobre LT y fugando por el otro extremo al punto de distancia D; la intersección con BP nos sitúa la profundidad en perspectiva, así como la posición del vértice C’. La paralela a LT trazada desde C’ intercepta sobre AP la posición del cuarto vértice E’ de la planta. Desde el vértice A situado en LT, levantamos una perpendicular a ésta, sobre la que situamos en verdadera magnitud las alturas de la figura tomadas del alzado de la figura 50; así obtenemos la arista AG, cuyo extremo G fugamos a P. La vertical levantada desde E’ nos determina la arista E’H’; ambas verticales, AG y E’H’, representan la altura c de la figura en dos posiciones distintas: coincidente con el plano del cuadro el segmento AG y, por detrás de él, lógicamente disminuido de tamaño, el segmento E’H’.

Fig. 52

A partir de los elementos situados en la figura 51, completar la perspectiva resulta fácil; así lo hemos hecho en la figura 52. Por el punto J de la altura correspondiente a ⅓c, trazamos una paralela a LT hasta cortar a las verticales levantadas desde B y desde el punto medio de AB; así, obtenemos los puntos M y N, desde los cuales fugamos nuevamente a P. A partir de los vértices disponibles y siguiendo los procedimientos descritos, podemos determinar los vértices y aristas restantes para completar la representación del sólido.

2 CONSTRUCCIÓN DE PERSPECTIVAS OBLICUAS La perspectiva cónica oblicua es el sistema perspectivo que con mayor fidelidad representa los objetos, tal como éstos aparecen ante nuestros ojos cuando los observamos desde un determinado punto de vista; por ello es el sistema que preferentemente se usa en diseño arquitectónico. A diferencia de la cónica frontal, ninguna de las caras del cuerpo a representar aparece paralela al plano del cuadro.

2.1 Disposición de los parámetros de la perspectiva A los elementos ya utilizados en las construcciones de perspectiva frontal, debemos añadir ahora los puntos de fuga, F y F’, y los puntos métricos correspondientes, M y M’; los primeros representan los extremos laterales del campo visual, que suponemos de 90º, y en ellos convergen o fugan las líneas horizontales que no son paralelas al plano del cuadro. Los datos para construir una perspectiva oblicua, además de las vistas y cotas del objeto a representar, son la altura de observación y la distancia desde la que miramos el objeto. El proceso previo al trazado de una perspectiva de dos puntos de fuga, supone situar sobre el papel del dibujo o

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La perspectiva cónica

APLICACIONES PRÁCTICAS

del cuadro los elementos que vemos en la figura 53, los cuales, paso a paso, situaremos de la siguiente manera:

UNIDAD

10

Fig. 53

1. Líneas de tierra y de horizonte, LT y LH, separadas una distancia igual a la altura de observación. 2. Sobre LH marcamos el punto principal P y sobre la perpendicular trazada por P a la línea de tierra, a una distancia igual a la de observación, situamos el punto de vista V. 3. Desde V trazamos dos rectas, perpendiculares entre sí, que al cortarse con LT nos definen la posición de los puntos de fuga, F y F’. En relación a la horizontal, estas rectas suelen formar ángulos de 30º y 60º, dependiendo de la cara del objeto a representar que queramos destacar, siendo iguales estos ángulos a los que forma la planta con el plano del cuadro. 4. Cada punto de fuga tiene asociado un punto métrico; se determinan abatiendo los segmentos VF y VF’ sobre la línea del horizonte. Para ello haremos centro en F y, con un radio igual a la distancia FV, trazamos un arco que, al cortar a LH, determina la posición del punto de distancia M correspondiente al foco F. El punto métrico M’, correspondiente al otro foco F’, se determina con un arco de radio igual a la distancia F’V y con centro en F’.

2.2 Perspectiva de formas planas Situar un objeto en perspectiva cónica oblicua puede hacerse de dos formas distintas; utilizaremos ambas en los próximos apartados al poner en perspectiva un cuadrado. En los ejemplos que venimos proponiendo utilizamos cuadrados, aunque en posiciones diferentes, ya que esta forma geométrica (o el rectángulo) la podemos circunscribir a cualquier forma irregular para realizar más fácilmente su representación en perspectiva. • Por el método de los puntos métricos En la figura 54 hemos dispuesto un cuadrado en perspectiva cónica oblicua, con uno de sus vértices sobre la

Fig. 54

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UNIDAD 10

APLICACIONES PRÁCTICAS

La perspectiva cónica

línea de tierra. Desde A los dos lados perpendiculares, AB y AD, fugarán a cada uno de los puntos de fuga. Para situar sobre AF’ y AF la medida del lado del cuadrado, debemos llevar su magnitud real sobre la línea de tierra, segmentos A(B) y A(D), y unir los extremos (B) y (D) con el punto métrico correspondiente; así, el segmento (B)M’, en su intersección con AF’, nos determina el punto B’, posición perspectiva del vértice B del cuadrado. De forma similar obtendremos la posición del vértice D’. Para encontrar la posición perspectiva del cuarto vértice, C’, desde B’ trazamos la paralela perspectiva a AD’ (un segmento que partiendo de B’ fuga al mismo punto que AD’) y desde D’, la paralela perspectiva a AB’; la intersección de B’F y D’F’ nos determina la posición perspectiva del vértice C. Del análisis de la figura 54, podemos deducir lo siguiente: 1. En perspectiva cónica oblicua, dos segmentos que se cortan, fugando cada uno de ellos a uno de los puntos de fuga, son dos segmentos perpendiculares perspectivos; por ejemplo, los segmentos D’C’ y C’B’. 2. Dos segmentos que fugan a un mismo punto son paralelos perspectivos; por ejemplo, los segmentos AB’ y D’C’. 3. Las magnitudes reales, que deseamos poner en perspectiva, las introducimos a partir de la línea de tierra; por ejemplo, segmentos A(D) y A(B) en la figura 54. • Por el método de proyecciones visuales En la figura 55 hemos dispuesto un cuadrado en perspectiva cónica oblicua, situado éste por detrás del plano del cuadro. Empezamos por situar los parámetros perspectivos: líneas LH y LT y puntos P y V. Dibujamos el cuadrado real por encima de LH, para evitar confusiones con otras líneas del trazado, y con la separación e inclinación en relación al PQ solicitados. Los pasos seguidos para su puesta en perspectiva han sido:

Fig. 55

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La perspectiva cónica

APLICACIONES PRÁCTICAS

UNIDAD

1. Las paralelas trazadas por el punto de vista V a los lados AD y AB del cuadrado, al cortarse con la LH, determinan la posición de los focos F y F’. 2. También desde V, trazamos visuales a los vértices del cuadrado, determinado en su intersección con LH, los puntos 1, 2, 3 y 4. 3. Prolongamos los lados AB y AD del cuadrado hasta su intersección con LH y, desde esta intersección, trazamos perpendiculares a LH hasta cortar en A1 y A2 la línea de tierra. 4. Unimos A1 con F’ y A2 con F; su intersección es la posición perspectiva A’ del vértice A del cuadrado. La perpendicular trazada a LH desde el punto 2 determinaría, también, la posición del vértice A’ sobre cualquiera de las perpendiculares perspectivas que fugan a F y F’. 5. Las perpendiculares a LH desde los puntos 1 y 4, al cortarse con A’F y con A’F’, nos determinan la posición perspectiva de los vértices D y B, puntos D’ y B’. 6. Desde D’ y B’ trazamos paralelas perspectivas (concurrentes en el mismo punto de fuga) a los lados A’B’ y A’D’; su intersección define el vértice C’, que nos permite completar el cuadrado en perspectiva.

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2.3 Perspectiva de sólidos Volveremos a utilizar los dos métodos anteriores para determinar la perspectiva oblicua de dos cuerpos diferentes. En ambos casos, tras situar la planta en perspectiva, tal como hemos hecho en los ejemplos anteriores, situaremos la altura correspondiente a los vértices que la tengan; para ello mediremos los valores reales de éstas en relación a la línea de tierra y, mediante paralelas perspectivas, las trasladaremos a la posición correspondiente. • Prisma hexagonal por el método de proyecciones visuales Abatimos la planta del prisma en relación al plano del cuadro y la dibujamos, en magnitudes reales, por encima de la LH; la circunscribimos en un rectángulo para referir más fácilmente sus vértices a la perspectiva. El proceso seguido en la puesta en perspectiva (Fig. 56) ha sido: 1. Desde el punto de vista, trazamos paralelas a los lados del rectángulo circunscrito a la base del prisma para definir los focos F y F’. 2. Prolongamos los lados 1-4 y 3-4 del rectángulo hasta su intersección con LH y, desde esta intersección, trazamos perpendiculares a LH hasta cortar en 41 y 42 la línea de tierra.

Fig. 56

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UNIDAD 10

APLICACIONES PRÁCTICAS

La perspectiva cónica

3. Unimos 41 con F’ y 42 con F; su intersección es la posición perspectiva 4’ del vértice 4 del rectángulo. 4. Desde los puntos en que las visuales V-1 y V-3 cortan a la LH, levantamos perpendiculares a ésta que, al cortarse con 4’F y con 4’F’, nos determinan la posición perspectiva de los vértices 1 y 3 del rectángulo, puntos 1’ y 3’. 5. Desde 1’ y 3’ trazamos paralelas perspectivas, respectivamente, a los lados 4’3’ y 4’1’; su intersección define el vértice 2’, que completa el rectángulo en perspectiva. 6. Sobre los lados del rectángulo perspectivo 1’2’3’4’ situamos los vértices del hexágono. Para ello trazamos las visuales que unen V con cada uno de sus vértices y desde el punto que cada una de ellas corta a LH, la perpendicular a ella determina sobre el lado correspondiente de 1’2’3’4’ la posición perspectiva de los diferentes vértices de la base hexagonal. 7. Con la planta ya en perspectiva, nos falta llevar la altura del prisma a sus diferentes vértices. Por ejemplo, unimos F’ con D’ y A’, y prolongamos la recta hasta cortar la línea de tierra en el punto Q; en este punto de intersección, levantamos una perpendicular a LT igual a la altura en verdadera magnitud y unimos su extremo R con F’. Los segmentos QF’ y RF’ son paralelos perspectivos y, por tanto, equidistantes; las verticales levantadas por A’ y D’, al cortarse con RF’, determinan segmentos cuya longitud perspectiva es coincidente con el segmento QR correspondiente a la altura del prisma. 8. Repetimos el proceso descrito para situar la altura del prisma respecto a los otros vértices de la base inferior. Con la altura en perspectiva sobre todos los vértices, realizaremos la unión de sus extremos superiores para tener la segunda base del prisma. 9. Resaltaremos el resultado en perspectiva, diferenciando las aristas vistas y ocultas según el punto de vista de la perspectiva.

Perspeciva oblicua. Ville Savoye, París. Le Corbusier.

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La perspectiva cónica

APLICACIONES PRÁCTICAS

UNIDAD

10

Fig. 57

• Escaleras en perspectiva por el método de los puntos métricos Vamos a poner en perspectiva cónica oblicua un tramo de cuatro escalones, más un pequeño rellano. Además de los parámetros de la perspectiva, suponemos conocidas las dimensiones de la escalera: la huella a de cada uno de los peldaños y su altura u, así como el ancho 3a del rellano y el ancho m de la escalera. Situamos (Fig. 58) las líneas de tierra y de horizonte, LT y LH, a una distancia igual a la altura de observación. Sobre LT marcamos el punto principal P y en relación a él, a una distancia igual a la de observación, situamos el punto de vista V. Desde V trazamos dos rectas, perpendiculares entre sí, con ángulos de 60º y 30º en relación a la horizontal que, al cortarse con LT, nos definen la posición de los puntos de fuga, F y F’. Haciendo centro en cada foco y con un radio igual a su distancia hasta V, determinamos los puntos métricos M y M’.

Fig. 58

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UNIDAD

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APLICACIONES PRÁCTICAS

La perspectiva cónica

Dibujamos la escalera con el vértice A coincidente con el plano del cuadro; desde este punto trazamos las perpendiculares perspectivas que fugan a F y F’. Sobre la línea de tierra, a la derecha de A, llevamos la magnitud real de las huellas de los cuatro peldaños y la del rellano y, hacia su izquierda, el ancho m de la escalera; verticalmente, a partir de A, llevamos la altura u de cada uno de los peldaños.

Pirámide escalonada vista oblicuamente. Chichén Itzá. México

Para situar los valores de las huellas en perspectiva, unimos los extremos de los segmentos a1, a2, a3, etc. con M’, y en su intersección con AF’ determinamos su valor con la reducción propia de la perspectiva. De igual forma, mediante el punto métrico M y sobre AF, llevamos la magnitud perspectiva de la amplitud de la escalera. A partir de la vertical con la altura u del primer peldaño, fugamos nuevamente a F y F’ y, desde el punto 1’ de AF’, levantamos una vertical para determinar, en perspectiva, la huella del primer peldaño; desde este punto fugamos también a F y repitiendo el proceso por el extremo perspectivo de la amplitud de la escalera, tendremos completado el primer peldaño. En la figura 59 hemos completado el trazado de la perspectiva del conjunto; para determinar la altura de los restantes peldaños, hemos fugado a F’ desde cada una de las divisiones marcadas sobre la vertical trazada por A, hasta determinar su intersección con las verticales levantadas por las divisiones 1’, 2’, 3’, 4’… de AF’.

Fig. 59

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La perspectiva cónica

CUESTIONES Y EJERCICIOS

UNIDAD

1. Realizar una representación en perspectiva que explique la posición de dos puntos P y Q situados en el espacio intermedio, uno por encima y otro por debajo del plano geometral. Indicar la representación de los mismos en perspectiva cónica.

7. Realizar la perspectiva cónica de una circunferencia de 5 cm de radio situada en una plano paralelo al geometral, 5 cm por encima de éste. El punto V se halla 10 cm por encima del plano geometral y a 14 cm del plano del cuadro.

2. A partir del segmento MN, perteneciente a una recta R, hallar los puntos de intersección de dicha recta con los planos geometral y del cuadro (Fig. 60).

Perspectiva de sólidos 8. Dibujar la perspectiva frontal de un cubo de 5 cm de arista, situando el punto de vista a 9 cm de la cara vertical más próxima y a una altura de 7 cm del plano geometral.

fig. 60

3. Dibujar dos rectas, una horizontal y otra frontal, que pasen por el punto P'-p' de la figura 61.

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9. En perspectiva cónica oblicua, dibujar un cubo de 60 mm de arista, apoyado en el plano geometral de forma que sus caras verticales formen 30º y 60º con el plano del cuadro; la arista vertical más próxima al plano del cuadro se halla a 40 mm del mismo y 30 mm a la izquierda del punto de vista.

fig. 61

4. Realizar una representación en perspectiva que explique la posición de los siguientes planos: • Perpendicular al plano geometral y oblicuo al del cuadro. • Paralelo al plano del cuadro. 5. Determinar la intersección de dos planos, uno de ellos oblicuo cualquiera y el otro perpendicular al plano del cuadro. Perspectiva de formas planas 6. Realizar la perspectiva de un cuadrado de 70 mm de lado colocado sobre el plano geometral, con uno de sus lados formando un ángulo de 45º con el plano del cuadro y uno de sus vértices situado sobre éste y 20 mm a la izquierda de la línea del punto de vista. La altura de visión es de 100 mm y la distancia de visión, de 120 mm.

10. Realizar la perspectiva frontal de una pirámide de base pentagonal apoyada sobre el plano geometral. Los lados del pentágono miden 5 cm y la altura de la pirámide es de 10 cm. La altura de visión es de 14 cm y la distancia de visión de 17 cm. 11. Realizar una perspectiva frontal de las figuras 62, 63 y 64 con elección del punto de vista más adecuado.

fig. 62

fig. 63

fig. 64

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UNIDAD

10

CUESTIONES Y EJERCICIOS

La perspectiva cónica

12. Realizar una perspectiva oblicua de las figuras 65, 66 y 67 con elección del punto de vista más adecuado.

14. Realizar la perspectiva oblicua de la figura 69 a partir del punto de vista indicado.

fig. 69

fig. 65

fig. 66

fig. 67

15. Realizar la perspectiva frontal del sólido representada en la figura 70 a partir del punto de vista indicado en la misma figura.

13. Realizar las perspectivas de la figura 68 a partir de los dos puntos de vista V1 y V2.

fig. 70

fig. 68

Contenidos básicos de la unidad en formato hipermedia, en el CD. Más actividades en el CD

El hombre nunca sabe de lo que es capaz hasta que lo intenta. CHARLES DICKENS

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