Física de 1r de Batxillerat

1/3 Conservació de l’energia

Conservació i no conservació de l’energia 1. Llançaments i xocs amb molles Quan una molla es comprimeix acumula una energia potencial que val:

EP 

1 k x2 2

... on k és la constant recuperadora de la molla i x la compressió. Exercici 1.1 Una molla de k = 100 N/m es comprimeix 14 cm. Amb ella es dispara una bola de 50 g. Calcula la velocitat amb què sortirà llançada la bola. Exercici 1.2 Una bola de 80 g que es mou a 14 m/s xoca amb la molla anterior. Calcula quina longitud es comprimirà la molla. Exercici 1.3 Una molla de k = 200 N/m es col·loca vertical. A sobre es posa una massa de 100 g, es comprimeix 20 cm i es deixa anar. Fins a quina alçada arribarà la massa? Considera que l’energia elàstica es transforma tota en potencial gravitatòria. (Sol.: 4,082 m) Exercici 1.4 Quan torni a caure la massa anterior, es trobarà la molla sense comprimir, és a dir, el seu extrem serà 20 cm més amunt. Amb quina velocitat xocarà la massa amb la molla? Exercici 1.5 Intenta calcular a quina velocitat surt disparada la massa del problema 1.3. Què has de tenir en compte per tal que et surti el mateix resultat que al problema 1.4?

2. Xoc elàstic en una dimensió En un xoc sempre es conserva la quantitat de moviment; si, a més, és elàstic es conservarà, també, l’energia cinètica. Anomenarem u1 i u2 a les velocitats inicials, i v1 i v2 a les velocitats finals.1 Es complirà:

m1 u 1  m 2 u 2  m1 v1  m 2 v 2  1 1 1 1 2 2 2 2  2 m1 u 1  2 m 2 u 2  2 m1 v1  2 m 2 v 2 ... sistema que pot simplificar-se multiplicant per 2 la segona equació:

m1 u 1  m 2 u 2  m1 v1  m 2 v 2 (I)  2 2 2 2 m1 u 1  m 2 u 2  m1 v1  m 2 v 2 (II)

1

Així no haurem d’escriure v1’, v2’ ni, el que és pitjor, (v1’)2 o (v2’)2, quan parlarem de les energies cinètiques

Física de 1r de Batxillerat

2/3 Conservació de l’energia

Si ens donen, per exemple, les masses m1 i m2 i les velocitats inicials, i ens demanen les velocitats finals, podem substituir les dades en el sistema i resoldre’l. Com que és de segon grau, obtindrem dos valors per a v1 a cadascun dels quals correspondrà un valor de v2. Un parell de valors [v1, v2] correspon al resultat del xoc; l’altre serà un resultat trivial. El resultat trivial és que v1 = u1 i v2 = u2, com podreu comprovar en l’exercici exemple. Aquest resultat correspon a la situació en què no hi ha xoc, cas en què es conserven l’energia i la quantitat de moviment, que eren les úniques condicions: (I) i (II) que havíem posat. Efectivament, en el sistema d’equacions anterior no hi ha la condició que les velocitats han de canviar; per això, una de les solucions matemàtiques és que no canviïn. Exercici 2.1 Un cos de 4 kg que es mou a 8 m/s xoca amb un altre de 2 kg que es mou en sentit contrari a 10 m/s. Calcula les velocitats després del rebot si el xoc és perfectament elàstic.

Simplificació del sistema: Si agrupem els termes relatius a m1 separadament dels referits a m2 i després traiem factor comú:

m1 u 1  m1 v1  m 2 v 2  m 2 u 2  2 2 2 2 m1 u 1  m1 v1  m 2 v 2  m 2 u 2









m1 u 12  v12  m 2 v 22  u 22 (II' )  m1 u 1  v1   m 2 v 2  u 2  (I' )

I si ara dividim (II’) per (I’): u 12  v12 v 22  u 22  u 1  v1 v 2  u 2

O, el que és el mateix:

 u 1  v1  v 2  u 2

u1 + v1 = u2 + v2

(III)

Podem ara simplificar el sistema matemàtic per a la resolució del xoc elàstic en una sola dimensió:

m1 u 1  m 2 u 2  m1 v1  m 2 v 2 (I)  (III ) u 1  v1  u 2  v 2 Exercici 2.2 Resol l’exercici 1 a partir del nou sistema. Exercici 2.3 L’exercici anterior només ha donat una solució per a v1 i una per a v2. Aquestes solucions no són les trivials, sinó que són les que corresponen a un canvi de velocitat, és a dir, a un xoc. Sabries explicar perquè la solució que s’ha perdut és l’altra, la que no comporta canvi de velocitat ni xoc?

Casos particulars de xoc en una dimensió a) Xoc contra una massa infinita aturada. Quan una pilota elàstica xoca amb una paret, aquesta quasi ni es mou, mentre que la pilota surt rebotada amb la mateixa velocitat però en sentit contrari.

Física de 1r de Batxillerat

3/3 Conservació de l’energia

Exercici 2.4 Demostra l’afirmació anterior amb el sistema simplificat (I) – (III). b) Xoc entre dues masses iguals, una d’elles aturada. Quan una bola està quieta i xoca amb ella una d’igual que es mou a velocitat “v”, la que arriba es queda aturada i la que estava aturada surt amb la mateixa velocitat, direcció i sentit que la que l’ha colpejada. Està clar que així es conserven tant la quantitat de moviment com l’energia cinètica; només canvia la bola que les porta. Exercici 2.5 Demostra l’afirmació anterior amb el mateix sistema (I) – (III).

3. Pèndol balístic

L 

M

V

m, v

mv  (M  m)V v

Mm V m

h

1 ( M  m) V 2  ( M  m) g h 2 V  2g h v

M+m

h  L  L cos  h  L(1  cos )

Mm 2 g L(1  cos ) m

Exercici 3.1 Dimensiona el problema per mesurar la velocitat d’una bala de l’AK-47 rus. Aquesta arma dispara bales de 8,0 g a 715 m/s. Prova de trobar els valors de L i M adequats per poder mesurar angles d’uns 30 o 450, fàcilment mesurables. Exercici 3.2 Calcula l’energia perduda pel sistema bala-bloc per a les següents dades: m = 8,0 g, v = 715 m/s, M = 2,0 kg, L = 3 m, = 300. Per fer-ho calcula l’energia cinètica inicial de la bala i l’energia potencial final del sistema bala-bloc. Exercici 3.3 Si la bala de l’exercici anterior fa un forat de 14 cm de llargada en el bloc de fusta, quina és la força mitjana que oposa el bloc a la penetració de la bala?

PAU Física. Cinemàtica i Mecànica

2008 a 2013 1/5

Mecànica 1. 08j S2 Q1) Un bloc de massa 20 kg cau lliscant per un pla inclinat, salvant un desnivell de 25 m. Si parteix del repòs i assoleix una velocitat final de 15 m/s, determineu l’energia perduda per fricció. Sol. ─2650 J 2. 08j S2 A Q3) En la gràfica següent es mostra com varia l’acceleració d’un cos de massa 10 kg que es mou en línia recta. Quin treball s’ha efectuat sobre el cos per a moure’l des de x = 0 fins a x = 8m? Sol. 800 J

a/ms─2 20 15 10 5 0

2

4

6

8

x/m

3. 08j S2 B P2) Dues partícules puntuals es mouen sobre un pla horitzontal sense fregament. La velocitat inicial de la primera partícula, de massa 2 kg, és 2i –3j. La velocitat inicial de la segona partícula, de massa 4 kg, és –3i –3j. Les partícules xoquen entre elles i després del xoc es mouen separadament. La velocitat de la primera partícula després del xoc és –3i –2j. Totes les velocitats es donen en coordenades cartesianes i en m/s; i i j són els vectors unitaris ortonormals. a) Calculeu el mòdul de la velocitat de la segona partícula després del xoc. Sol. 3,54 m/s b) Determineu si el xoc és elàstic. Sol. No l’és. c) Calculeu la variació d’energia cinètica que experimenta cada partícula en el xoc. Sol. 0 i ─11 J. 4. 08j S5 P1) Una molla horitzontal està unida per l’extrem de l’esquerra a la paret i per l’extrem de la dreta a una partícula de massa 2 kg. Separem la partícula una distància de 25 cm cap a la dreta de la seva posició d’equilibri i la deixem anar. En aquest moment comencem a comptar el temps. La partícula descriu un moviment harmònic simple amb un període de 0,75 s. Quan la partícula es trobi a 0,10 m a la dreta del punt central de l’oscil·lació i s’estigui movent cap a la dreta, determineu: a) L’energia cinètica de la partícula. Sol. 3,7 J b) L’energia mecànica del sistema. Sol. 4,4 J c) La força resultant que actua sobre la partícula. Doneu-ne el mòdul, la direcció i el sentit. Sol. 14,04 N 5. 08j S5 Q2) Un vagó de massa M es desplaça a una velocitat v per una via horitzontal sense fricció i xoca contra un altre vagó idèntic aturat. Si després de l’impacte ambdós vagons queden units, quin percentatge de l’energia inicial s’ha perdut en el xoc? Sol. ─ 50% 6. 08j S5 A Q4) Una plataforma circular gira, en un pla horitzontal, respecte d’un eix vertical que passa pel seu centre, a una velocitat de 120/π rpm (revolucions per minut). Determineu el valor de la distància màxima respecte de l’eix a què pot situar-se una massa sobre la plataforma de manera que giri solidàriament amb aquesta, sense lliscar, sabent que el coeficient de fregament estàtic val 0,5. Sol. 0,31 m

INS Bellvitge. Departament de Ciències de la Naturalesa. Seminari de Física i Química.

PAU Física. Cinemàtica i Mecànica

2008 a 2013 2/5

7. 08j S5 B P2) Dues masses, M1 = 200 g i M2 = 400 g, pengen de dos fils inextensibles d’1 m de longitud cada un. Inicialment els dos fils formen un angle de 60°, tal com es mostra en la figura següent: En un moment determinat deixem anar la massa M1, de manera que es produeix un xoc perfectament elàstic contra la massa M2. Calculeu: L 600 a) La velocitat de cada massa justament després del xoc. Sol. ─ 1,04 i L 2,09 m/s b) El valor de la variació de la quantitat de moviment que M1 experimenta la massa M1 en el xoc. Sol. ─ 0,83 kg m/s M2 c) L’altura que assolirà la massa M2 després del xoc. Sol. 0,22 m 8. 08j S5 B Q3) Llancem cap amunt, amb una certa velocitat inicial, un cos de massa 1 kg per un pendent de 37° de manera que recorre 10 m fins a aturar-se i posteriorment torna al punt de partida. El coeficient de fricció entre el cos i el pla inclinat val 0,1. 1. El treball que fa el pes sobre la 2. El treball que fa la força de fricció sobre la massa... massa... a) és positiu a la pujada. a) val –9,80 J a la pujada. b) val –59,0 J a la baixada. b) val –7,83 J a la baixada. c) des que surt fins que torna al c) des que surt fins que torna al punt de punt de partida (pujada i baixada) partida (pujada i baixada) és nul. és nul. Sols. 1c, 2b 9. 08s S4 P1) Deixem anar un cos d’1 kg de massa des del punt A, situat A sobre una pista constituïda per un quadrant de circumferència de radi 0 30 R = 1,5 m i en la qual es considera negligible el fregament, tal B com es veu a la figura de sota. Quan el cos arriba a la part C inferior del quadrant (punt C), llisca sobre una superfície horitzontal fins que queda aturat a una distància de 2,7 m del punt C. Trobeu: a) La velocitat del cos en el punt C. Sol. 5,42 m/s b) El coeficient de fregament cinètic entre la pista i el cos a la part horitzontal. Sol. 0,56 c) La força que fa el cos sobre la pista quan passa pel punt B. Sol. 22,5 N 10. 08s S4 A Q3) En una experiència de laboratori, mesurem la longitud d’una molla vertical fixa- da per l’extrem superior quan hi pengem diferents masses de l’extrem inferior. A la taula següent hi ha els resultats obtinguts, on ΔL representa l’allargament de la molla quan li pengem de l’extrem inferior una massa m. m (g) ΔL (cm)

200 32,7

300 49,0

400 65,3

500 81,7

600 98,0

700 114,3

a) Representeu gràficament l’allargament (ordenada) en funció de la força que actua sobre la molla (abscissa). Doneu l’equació de la funció que ajusta els valors experimentals. b) Determineu la constant elàstica de la molla. Expresseu el resultat en les unitats del sistema internacional (SI). Sol. 5,99. 10─4 N/m DADES: g = 9,81 m/s2. INS Bellvitge. Departament de Ciències de la Naturalesa. Seminari de Física i Química.

PAU Física. Cinemàtica i Mecànica

2008 a 2013 3/5

11. 09j S4 P1) Una atracció de fira consisteix en una vagoneta que, a partir del repòs, és impulsada una distància de 100 cm per un ressort horitzontal inicialment comprimit. La vagoneta puja fins a una altura de 10 m i a partir d’aquí baixa per un pla inclinat 45° en què una força de fricció constant fa que s’aturi just quan arriba a l’altura zero. La vagoneta té una massa total de 1000 kg, la constant elàstica del ressort és 2,50·105 N/m i suposem que sobre la vagoneta no hi actuen forces de fricció ni mentre és impulsada ni mentre puja. Calculeu: a) La velocitat de la vagoneta just després que la molla la impulsi. Sol. 15,8 m/s b) La velocitat amb què arribarà al punt més alt de l’atracció. Sol. 7,32 m/s c) El mòdul de la força de fricció que fa que la vagoneta s’aturi. Sol. 8,82.103 N 12. 09j S4 B Q3) Fem oscil·lar un objecte lligat a una corda de 40 cm de longitud, com si fos un pèndol, de manera que quan l’objecte es troba en el punt més alt de la trajectòria la corda forma un angle de 37° amb la vertical. 1. L’objecte passarà pel punt més baix del recorregut a una velocitat de a) 2,50 m/s. b) 2,80 m/s. c) 1,26 m/s.

2. La tensió de la corda a) és màxima en el punt més alt del recorregut. b) és màxima en el punt més baix del recorregut. c) fa un treball positiu sobre l’objecte quan passa del punt més alt al més baix de la trajectòria. Sols. 1c, 2b

13. 09j S3 P1) En unes muntanyes russes, una vagoneta de massa M1= 2500 kg arrenca del A repòs en el punt A i recorre una pista com la C representada a la figura. Després de recórrer el trajecte, xoca amb un altra vagoneta de massa M2= 3500 kg, que estava aturada en el punt D, de manera que després de la col·lisió B D queden totes dues unides. El fregament és negligible en tot el recorregut. El punt A és a una altura de 25 m respecte de l’horitzontal que passa pels punts B i D, i el punt C és a una altura de 20 m. a) Calculeu la velocitat que tindrà el conjunt de les dues vagonetes després del xoc. Sol. 9,2 m/s b) Dibuixeu l’esquema de les forces que actuen sobre la vagoneta de massa M1 quan passa pel punt B. Calculeu el valor de cada una d’aquestes forces. Sabem que el punt B és el punt més baix d’un arc de circumferència de 20 m de radi. Sol. N = 8,57.104 N c) Calculeu el mínim radi de curvatura que ha de tenir la pista en el punt C perquè la vagoneta no perdi el contacte amb les vies. Sol. 10 m 14. 09j S3 Q3) Una molla, situada sobre una taula horitzontal sense fregament, està fixada per un dels extrems a una paret i a l’altre extrem hi ha lligat un cos de 0,5 kg de massa. La molla no està deformada inicialment. Desplacem el cos una distància de 50 cm de la seva posició d’equilibri i el deixem moure lliurement, amb la qual cosa descriu un moviment vibratori harmònic simple. L’energia potencial del sistema en funció del desplaçament es representa

INS Bellvitge. Departament de Ciències de la Naturalesa. Seminari de Física i Química.

PAU Física. Cinemàtica i Mecànica

2008 a 2013 4/5

amb la paràbola de la gràfica següent. Determineu el valor de la constant recuperadora de la molla i el valor de la velocitat del cos quan té una elongació de 20 cm. Sols. 400 N/m; 13 m/s Ep/J 50

x/cm 50 15. 09j S3 Q4) Una atracció d’una fira consisteix en uns cotxes petits que giren a una velocitat de mòdul constant de 3,0 m/s i que descriuen una circumferència de 8,0 m de radi en un pla horitzontal. a) Calculeu les components intrínseques de l’acceleració d’un dels cotxes. b) Si el mòdul de la velocitat dels cotxes, quan finalitza el temps de l’atracció, es redueix de manera uniforme des de 3,0 m/s fins a 1,0 m/s en 10 s, calculeu-ne l’acceleració angular i l’acceleració tangencial en aquest interval de temps. Sols. atg = 0; an = 1,125 m/s2; ─0,025 rad/s2; ─0,020 m/s2 16. 09s S1 A P2) El tambor d’una assecadora de roba és un cilindre horitzontal d’acer inoxidable de radi 20 cm. En posar l’assecadora en funcionament, la velocitat del tambor augmenta regularment de 0 a 900 rpm en 10 s. a) Escriviu les equacions de les magnituds angulars ω(t) i α(t) en els primers 10 s del moviment. Sol.  = 9,425 t;  = 9,425 rad/s2 b) Determineu l’acceleració tangencial i l’acceleració centrípeta d’un punt del tambor al cap de 5 s de l’inici del moviment. Sol. 1,885 i 444 m/s2 c) Calculeu la força màxima que exerceix el tambor sobre un jersei mullat, de 0,5 kg de massa, quan gira a 900 rpm. Suposeu que, quan el tambor de l’assecadora gira, el jersei està sempre en contacte amb la paret del cilindre. Sol. N = 893,2 N (a baix) Expresseu tots els resultats en unitats del sistema internacional (SI). 17. 09s S1 B Q4) El punt més alt d’una pista d’esquí (que podem aproximar a un pla inclinat sense fregament, tram AB), es troba a una altura h respecte del final. Fora de la pista, tram BC, no queda neu i per tant hi ha fregament (coeficient de fregament, μ , no nul). Si un esquiador surt del començament de la pista (punt A) a una velocitat nul·la:

A

 = 0 h

=0 B

C

1. Quina serà la seva velocitat al final de la pista (punt B)?

2. Quina distància horitzontal (BC) recorrerà l’esquiador abans d’aturar-se?

a) 2gh

a) h 

b) gh / 2

b) h μ

c) Depèn de la massa de l’esquiador. Sols. 1a; 2c

c) h/μ

INS Bellvitge. Departament de Ciències de la Naturalesa. Seminari de Física i Química.

PAU Física. Cinemàtica i Mecànica

2008 a 2013 5/5

18. 12j S1 - P2) Disposem d’una molla de constant de recuperació k = 4,00 Nm–1 i de longitud natural l = 20,0 cm, amb la qual volem fer una balança. Per fer-la, pengem la molla verticalment per un dels extrems i, a l’altre, col·loquem una plataforma de massa m = 20,0 g amb un dial, de manera que aquest indiqui el valor de la mesura sobre una escala graduada, tal com es mostra a la figura. a) Determineu la lectura que marca el dial en col·locar la plataforma i deixar que el sistema s’aturi. Considereu que el zero del dial coincideix amb l’extrem superior del regle de la figura. b) Afegim un objecte de massa M = 300 g damunt de la plataforma. A continuació, desplacem el conjunt una distància de 10,0 cm respecte a la nova posició d’equilibri i el deixem anar, de manera que el sistema comença a oscil·lar lliurement. Amb quina velocitat tornarà a passar per la posició d’equilibri? DADA: g = 9,81ms–2 Sols. 24,9 cm; 35,4 cm/s

INS Bellvitge. Departament de Ciències de la Naturalesa. Seminari de Física i Química.