Problema Numero 1: El servicio de estudios de un banco pretende elaborar un modelo de regresión lineal para explicar el nivel de consumo medio por familia en términos nominales Dt a traves de su renta media, también en términos nominales Yt y el índice de precios de consumo. Para ello dispone de 50 observaciones mensuales generadas desde enero de 1986 hasta febrero de 1990. Del análisis de regresión lineal múltiple se desprende: Dt = 51.318066 + 0.723019Yt − 0.336385 Pt + E Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1 B2

51,318066 0,723019 −0,336385

29,691472 0,06977 0,363867

1,7284 10,3629 −0,9245

0,0905 0 0,36

R2 SE MAE DW

0,9847 4,650131 3,518732 1,726

Anova: Sourse

Sum Of Squares

Df Mean Squares

F − Ratio

Model Error

68071,6 1016,31

2 34035,8 47 21,6237

1574

Total

69087,9

49

R−Squares: 0,98529 R :0,984664 Stand Error of Std :4,65013 A) Prueba de Goldfeld y Quandt para detectar Heterocedasticidad: De las cincuenta observaciones se han eliminado las 10 observaciones centrales; la regresión con las primeras 20 observaciones se muestra a continuación. Dt = 83.544375 + 0.954588 Yt − 0.929724 Pt + E Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1 B2

83,544375 0,954508 −0,929724

90,283865 1,178316 2,298486

0,9554 0,8101 −0,4045

0,3677 0,4291 0,6909 1

R SE MAE DW

0,3931 2,998114 2,551865 2,464

Anova: Sourse

Sum of Squares

Df Mean Squares

F− Ratio

Model Error

128,578 152,808

2 64,289 17 8,98868

7,15222

Total

281,386

19

R: 0,456946 R Adj: 0,393057 Stand Error of Est :2,99811 Dw: 2,46431 Para las veinte siguientes observaciones los resultados de la regresión y la ANOVA son los siguientes: Dt = 23.583192 + 0.569763Yt + 0.183243 Pt + E Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1 B2

23,583192 0,569763 0,183243

235,527171 0,404417 2,617527

0,1001 1,4089 0,07

0,9214 0,1769 0,945

R SE MAE DW

0,9282 5,507667 4,222239 2,017

Anova: Sourse

Sum of Squares

Df Mean Squares

F− Ratio

Model Error

7520,07 515,685

2 3760,04 17 30,3344

123,953

Total

8035,76

19

R: 0,935826 R Adj: 0,928276 Stand Error of Est :5,50767 Dw: 2,01651 2

H0: Homocedasticidad H1: Heterocedasticidad Golfeld−Guandt SRC2 SRC1

= 8035,76 281,386

= 28,5577818

F obs: 28,5577818 F tabla (0.025 , 20 , 20) = 2,4645 Por lo tanto se rechaza H0 y se acepta H1, es decir hay indicios de heterocedasticidad en el modelo bajo esta prueba. b) Pruebas de Park para detectar Heterocedasticidad. ln e2 = 0.63872 + 0.833311ln Pt + E Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1

−5,670144 1,440697

4,684303 0,90826

−1,2079 1,5862

0,2330 0,1193

R SE MAE DW

0,0300 1,895700 1,551507 2,391

H0:Homocedasticidad H1:Heterocedasticidad. T obs: 1,5862 T tabla: (0.025, 48) = 2.0106 Se acepta H0, y se rechaza H1; es decir existe homocedasticidad por el lado de la variable renta mensual media ln e2 = −7.57908 + 2.63667 ln Pt + E Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1

−17,19214 3,9928

13,941338 2,935982

−1,2322 1,3600

0,2235 0,1802

R SE MAE DW

0,0170 1,908333 1,570581 2,373 3

H0: Homocedasticidad H1:Heterocedasticidad T obs:1,3600 T tabla:2,0106 Se acepta H0 y se rechaza H1; es decir el modelo es homocedastico por el lado de la variable Indice de Precios. c) Prueba de Rango de Spearman para detectar Heterocedasticidad. Dt = 51,318066+ 0,723019 Yt − 0,336385 Pt + E A) Dt = 51,318066+0,723019 Yt + E Rs= 1 − 6 16126 = 0,22564225603 50 (502 −1) t= (0,22564225603) raiz (50−2) = 1,60467972818 raiz 1− 0,225642256032 H0: Homocedasticidad H1: Heterocedasticidad T tabla (0,05; 50−2) = 1,6772 Dado que t no pertenece a la région de rechazo se puede decir que no existe heterocedasticidad en esta sub regresión. B) Dt = 51,318066 − 0,336385 Pt + E Rs= 1 − 6 15366 = 0,262136854742 50 (502 −1) t= (0,262136854742) raiz (50−2) = 1,88194778341 raiz 1− 0,2621368547422 H0: Homocedasticidad H1: Heterocedasticidad T tabla (0,05; 50−2) = 1,6772 Como t pertenece a la región de rechazo se puede afirmar que el modelo presenta problemas de Heterocedasticidad por parte de la variable Pt. 4

d) Compara los Resultados Obtenidos. Tomando en consideración las tres pruebas realizadas para la determinación de Heterocedasticidad en el modelo presentado, se concluye que el modelo si tiene problemas de Heterocedasticidad; reflejado tanto en la prueba de Goldfeld y Quandt, como en la prueba de rango de Speraman, la que dice que la variable que presenta heterocedasticidad es la Pt. En la prueba de Park, no se refleja muestras de Heterocedasticidad; lo que demuestra que no es totalmente concluyente. e) Prueba de D − W para Autocorrelación Serial Del análisis de regresión lineal se desprenden los siguientes resultados bajo MCO Dt = 51.318066 + 0.723019Yt − 0.336385 Pt + E Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1 B2

51,318066 0,723019 −0,336385

29,691472 0,06977 0,363867

1,7284 10,3629 −0,9245

0,0905 0 0,36

R2 SE MAE DW

0,9847 4,650131 3,518732 1,726

Un supuesto importante en el modelo de regresión lineal es que no hay correlación serial o autocorrelación entre las perturbaciones ui consideradas dentro de la función de regresión poblacional. Para detectar la no existencia de este supuesto se utilizara la prueba del estadístico d, de Durbin y Watson, el cual define como la razón de la suma de las diferencias al cuadrado de residuales sucesivos sobre la suma residuo cuadrado, considerando la siguiente formula. D = Sumatoria ( ui − ui − 1) 2 Sumatoria ui2 1,726 0 dl dv 2 4−dv 4−dl 4 1.462 1.628 2.372 2.538 Como en la grafica se muestra, los valores dl y dv, son sacados de una tabla que esta expresada en un grado de 0.05 es decir 5% de significancia, con 50 observaciones y 2 variables, esto demuestra la no existencia de autocorrelación serial; es decir no hay correlación serial o autocorrelación entre las perturbaciones ui consideradas dentro de la función de regresión poblacional. f) Corrección del Modelo:

5

Como se pudo ver, a travez de la prueba de Rango de Spearman; la variable que produce heterocedasticidad en el modelo es la variable Pt; la cual mide el Indice de Precio; considerando lo anterior se procedió a la corrección del modelo dividiendo las variable del mismo por la variable que presenta el problema, de esta forma: Dt/Pt = B0 + B1 Yt/Pt − B2 Pt/Pt. El nuevo Análisis de Regresión y Anova se presentan a continuación. Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1

1,325496 0,589614

0,0588308 0,0325602

6,40352 18,1084

0,0000 0,0000

R2 SE MAE DW

0,933976

Sourse

Sum of Squares

Df Mean Squares

F− Ratio

Model Error

1.77404 0.259683

1 1,77404 48 0,005410

327,9150

Total

2,033725

49

R: 0,933976 R Adj: 0,8723 Stand Error of Est :0,0735531 Dw: Problema 2: El numero total de calefactores vendidos por una empresa Ft, depende del numero de puntos de distribución Pt, que dicha empresa tiene y de la temperatura media del área en la que la misma trabaja Et. Del análisis de regresión se desprende: Ft = 2,353547 + 0,473013 Pt + 0,487835 Et + E Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1 B2

2,353547 0,473013 0,487835

0,531831 0,023849 0,108628

4,4254 19,8336 4,4909

0,001 0,0000 0,0000

R2 SE MAE

0,8949 1,224324 0,951351 6

DW

1,763

Anova: Sourse

Sum Of Squares

Df Mean Squares

F − Ratio

Model Error

615,375 68,9525

2 307,687 46 1,49897

205,266

Total

684,327

48

R−Squares: 0,89924 R :0,89486 Stand Error of Std :1,22432 a) Prueba de Goldfeld y Quandt para detectar Heterocedasticidad: De las cuarenta y nueve observaciones se han eliminado las 19 observaciones centrales; la regresión con las primeras 15 observaciones se muestra a continuación. Ft = 4,716992 + 0,223534 Pt + 0,457795 Et + E Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1 B2

4,716992 0,223534 0,457795

3,087425 0,252182 0,267562

1,5278 0.8864 1,7110

0,1525 0,8864 0,1128

R SE MAE DW

0,1405 1,394835 1,082134 1,460

Anova: Sourse

Sum of Squares

Df Mean Squares

F− Ratio

Model Error

8,34545 23,3468

2 4,17273 12 1,94557

2,14474

Total

31,6922

14

R: 0,263328 R Adj: 0,140549 Stand Error of Est :1,39484 Dw: 1,45961 Para las quince siguientes observaciones los resultados de la regresión y la ANOVA son los siguientes: 7

Ft = −7,003447 + 0,729608 Pt + −0,729302 Et + E Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1 B2

−7,003447 0,729608 −0,729302

2,393968 0,07039 0,296125

−2,9255 10,3652 −2,4628

0,0127 0,0000 0,0299

R SE MAE DW

0,9071 0,651768 0,404418 2,182

Anova: Sourse

Sum of Squares

Df Mean Squares

F− Ratio

Model Error

58,9484 5,09761

2 29,4742 12 0,424801

69,3836

Total

69,0460

14

R: 0,950407 R Adj: 0,907172 Stand Error of Est :0,651768 Dw: 2,18177 H0: Homocedasticidad H1: Heterocedasticidad Golfeld−Guandt SRC2 SRC1

= 69,0480 31,6922

= 2,17870643

F obs: 2,17870643 F tabla (0.025 , 15 , 15) = 2,8621 Por lo tanto se rechaza H0 y se acepta H1, es decir hay indicios de heterocedasticidad en el modelo bajo esta prueba. b) Pruebas de Park para detectar Heterocedasticidad. Dado los datos en donde la variable temperatura media, esta expresada en forma negativa es imposible determinar el Logaritmo de esta variable necesario para la determinación de la prueba, con lo que se concluye que las condiciones necesarias para la determinación de Heterocedasticidad bajo esta prueba no están dada. c) Prueba de rango de Spearman para detectar Heterocedasticidad:

8

. Ft = 2,353547+ 0,473013 Pt + 0,487835 + E A) F t = 2,353547 + 0,473013 Pt + E Rs= 1 − 6 19896 = 0,0140816326531 49 (492 −1) t= (0,0140816326531) raiz (49−2) = 0,0965483825285 raiz 1− 0.0148163265312 H0: Homocedasticidad H1: Heterocedasticidad T tabla (0,05; 49−2) = 1,6779 Como t; no pertenece a la región de rechazo se puede decir que no existe evidencia suficiente como para demostrar que el modelo tiene Heterocedasticidad, por parte de la variable Pt. B) F t= 2,353547 + 0,487835 Et + E Rs= 1 − 6 25338 = 0,292755102041 49 (492 −1) t= (0,292755102041) raiz (49−2) = 2,09898995261 raiz 1− 0,2927551020412 H0: Homocedasticidad H1: Heterocedasticidad T tabla (0,05; 49−2) = 1,6779 Considerando que t pertenece a la región de rechazo se puede decir que existe Heterocedasticidad por parte de la variable Et bajo esta prueba. d) Comparación de los datos Obtenidos. A través de la aplicación de la prueba de Goldfeld y Quandt se puede decir que existe Heterocedasticidad en el modelo; bajo la prueba de Park no se pudo detectar la presencia de Heterocedasticidad, puesto que las condiciones necesarias para la aplicación de esta prueba no se encontraban dadas. Considerando la prueba de Spearman se puede afirmar que existen indicios de Heterocedasticidad por parte de la variable Et. e) Prueba de D − W para Autocorrelación Serial: 9

Del análisis de regresión lineal se desprenden los siguientes resultados bajo MCO Ft = 2,353547 + 0,473013 Pt + 0,487835 Et + E Parametro

Coeff

Error Stand

t − value

Sig Level

B0 B1 B2

2,353547 0,473013 0,487835

0,531831 0,023579 0,108628

4,4254 19,8336 4,4909

0,001 0,0000 0,0000

R2 SE MAE DW

0,8949 1,224324 0,951351 1,763

Un supuesto importante en el modelo de regresión lineal es que no hay correlación serial o autocorrelación entre las perturbaciones ui consideradas dentro de la función de regresión poblacional. Para detectar la no existencia de este supuesto se utilizara la prueba del estadístico d, de Durbin y Watson, el cual define como la razón de la suma de las diferencias al cuadrado de residuales sucesivos sobre la suma residuo cuadrado, considerando la siguiente formula. D = Sumatoria ( ui − ui − 1) 2 Sumatoria ui2 1,763 0 dl dv 2 4−dv 4−dl 4 1.462 1.628 2.372 2.538 Como en la grafica se muestra, los valores dl y dv, son sacados de una tabla que esta expresada en un grado de 0.05 es decir 5% de significancia; considerando que nuestra muestra expuesta es de 49 observaciones, en la tabla el valor que mas se asemeja a este valor (numero de observaciones) es 50 observaciones, la variables utilizadas en el modelo son 2 Pt, Et . En vista de lo s análisis realizados se puede concluir la no existencia de autocorrelación serial; es decir no hay correlación serial o autocorrelación entre las perturbaciones ui consideradas dentro de la función de regresión poblacional.

10