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En la siguiente tabla los traductores indicamos los contenidos de cada art´ıculo de las Disquisitiones Arithmeticae. Para ayudar al lector, nos permitimos utilizar lenguaje moderno, es decir, se usan t´erminos introducidos despu´es del tiempo de Gauss. SECCION PRIMERA. GENERAL.

DE LA CONGRUENCIA DE LOS NUMEROS EN

Art´ıculo 1. Definici´on de congruente, m´odulo y residuo. 2. Clases m´odulo m; notaci´on para congruencias. 3. Las clases m´odulo m forman una partici´on de los enteros. 4. Residuos m´ınimos. 5. Congruencias seg´ un m´odulos compuestos; transitividad de congruencias. 6. Sumas de n´ umeros congruentes. 7. M´ ultiplos de n´ umeros congruentes. 8. Productos de n´ umeros congruentes. 9. Polinomios de n´ umeros congruentes. 10. Per´ıodo de un polinomio m´odulo m. 11. Criterio necesario para resolver polinomios racionales. 12. Aplicaciones de la teor´ıa a las reglas de aritm´etica elemental.

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SECCION SEGUNDA. GRADO 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44.

SOBRE LAS CONGRUENCIAS DEL PRIMER

Lema para §14. Si p|ab entonces p|a o p|b. Extensi´on de §14 a productos de varios factores. Teorema fundamental de aritm´etica. F´ormula para τ (A), el n´ umero de factores de un entero compuesto A. C´alculo del m´aximo com´ un divisor y m´ınimo com´ un m´ ultiplo. Proposiciones elementales acerca de enteros relativamente primos. Factorizaci´on primaria de una n-´esima potencia. Factores de una n-´esima potencia. Divisi´on de una congruencia por un factor relativamente primo al m´odulo. Si a y m son relativamente primos, a genera los enteros m´odulo m aditivamente. Solubilidad de una congruencia lineal m´odulo m. Congruencias trascendentales y algebraicas. La soluci´on de una congruencia consiste de varias clases de congruencia. Algoritmo para resolver una congruencia lineal m´odulo un primo. M´etodo de Euler y Lagrange usando fracciones continuas. Reducci´on del caso de un m´odulo compuesto. Otro m´etodo para el caso de un m´odulo compuesto. Cocientes m´odulo c. Teorema chino del residuo. Caso de §32 cuando los m´odulos son primos entre s´ı. Posibilidad de que una congruencia sea superflua o inconsistente. Ejemplo num´erico del Teorema chino del residuo. Otro algoritmo si los m´odulos son relativamente primos. Sistemas de congruencias lineales. C´alculo de la funci´on ϕ(A) de Euler. Inversi´on de M¨obius de la funci´on de Euler. El m´aximo com´ un divisor como combinaci´on lineal. Divisibilidad de un coeficiente multinomial por un primo. El lema de Gauss para un producto de polinomios con coeficientes racionales. Una congruencia de grado m tiene a lo sumo m ra´ıces. Comentarios sobre el teorema de §43.

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SECCION TERCERA.

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SOBRE RESIDUOS DE LAS POTENCIAS.

45. En el grupo multiplicativo U (p) de enteros relativamente primos al m´odulo p, todo elemento es de orden finito menor que p. 46. Subgrupo generado por un elemento a ∈ U(p). 47. C´alculo de potencias m´odulo p. 48. Si |a| = t y ak ≡ 1 (mod. p), entonces t|k. 49. Si p es primo, a ∈ U(p) y |a| = t, entonces t|p − 1. 50. El peque˜ no teorema de Fermat: ap−1 ≡ 1 (mod. p), un primo que no divide a a. 51. La p-´esima potencia de una suma es la suma de las p-´esimas potencias mod. p. 52. Si d|p, ¿cu´al es el n´ umero ψ(d) de elementos de U (p) de orden d? 53. La prueba de que ψ(d) = ϕ(d) o ψ(d) = 0. 54. En efecto ψ(d) = ϕ(d). 55. Existencia de ra´ıces primitivas m´odulo p; una segunda prueba de esto. 56. Historia de pruebas anteriores de la existencia de ra´ıces primitivas. 57. El ´ındice de un elemento b respecto a una ra´ız primitiva a m´odulo p. 58. Indice de un producto y de una potencia. 59. Indice de un cociente. 60. C´alculo de ra´ıces m´odulo p. 61. C´alculo directo de ra´ıces de la unidad m´odulo p: primera reducci´on. 62. Ra´ıces cuadradas de la unidad. 63. C´alculo directo de ra´ıces de la unidad: segunda reducci´on. 64. ¿Cu´ando es −1 un residuo cuadr´atico? 65. C´alculo de n-´esimas ra´ıces cuando n|p − 1. 66. ¿Cu´ando existen n-´esimas ra´ıces de A m´odulo p? 67. C´alculo del orden t de A m´odulo p. 68. C´alculo de las dem´as ra´ıces a partir de una. 69. Cambio de ra´ız primitiva como base. 70. Invariancia del m. c. d. del ´ındice y p − 1. 71. Elecci´on de la base para que un entero tenga un ´ındice determinado. 72. Escogencia conveniente de la ra´ız primitiva como base. 73. Algoritmo para encontrar ra´ıces primitivas. 74. Ejemplo de encontrar una ra´ız primitiva m´odulo 73. 75. Producto de los elementos de un subgrupo c´ıclico de U(p). 76. El Teorema de Wilson: (p − 1)! ≡ −1 (mod. p). 77. Segunda prueba del Teorema de Wilson. 78. Generalizaci´on del Teorema de Wilson a bases compuestas.

xxxiv 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92. 93.

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Suma de los elementos de un subgrupo c´ıclico de U (p). Producto de todas las ra´ıces primitivas. Suma de todas las ra´ıces primitivas. Caso de m´odulos compuestos. Orden de a ∈ U(m) divide a ϕ(M). No hay m´as que t ra´ıces t-´esimas de 1 m´odulo pn . N´ umero exacto de ra´ıces t-´esimas de 1 m´odulo pn . Prueba de §85: primera parte. Prueba de §85: segunda parte. Prueba de §85: tercera parte. C´alculos con ra´ıces primitivas m´odulo pn . M´aximo orden en U(2n ). C´alculos con ´ındices m´odulo 2n . C´alculos m´odulo un entero compuesto. Trabajos de Euler sobre estos temas.

SECCION CUARTA. GRADO. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111.

SOBRE LAS CONGRUENCIAS DE SEGUNDO

N´ umero m´aximo posible de residuos cuadr´aticos m´odulo m. Definici´on de residuo y no residuo. N´ umero de residuos cuadr´aticos m´odulo p primo. Segunda prueba de §96; ejemplos con p ≤ 17. AB es un residuo sii A y B son ambos residuos o ambos no residuos. ¿Cuando un producto de varios factores es un residuo?; uso de tablas. N´ umero de residuos cuadr´aticos m´odulo pn . Si a no es divisible por p, es un residuo de p sii es un residuo de pn . ¿Cuando un entero divisible por p es un residuo m´odulo pn ? n Residuos cuadr´aticos √ m´odulo 2 . N´ umero de ra´ıces √A si A es un residuo m´odulo pn . N´ umero de ra´ıces A si A es un residuo m´odulo m cualquiera. Criterio de Euler para residuos cuadr´aticos. Problema fundamental: dado a, encontrar todo p del cual a es un residuo. −1 es un residuo de p primo sii p = 4n + 1. Otra prueba de §108. Referencia al trabajo de Euler; relaci´on al Teorema de Wilson. Caracterizaci´on de los enteros para los cuales −1 es un residuo.

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112. 113. 114. 115. 116. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129. 130. 131. 132. 133. 134. 135. 136. 137. 138. 139. 140. 141. 142. 143. 144. 145. 146.

Estudio de §107 cuando a = ±2 y p ≡ 3 o 5 (mod. 8). Estudio de §107 cuando a = ±2 y p ≡ 7 (mod. 8). Estudio de §107 cuando a = ±2 y p ≡ 1 (mod. 8). Otra prueba de §114. Caracterizaci´on de los enteros para los cuales ±2 es un residuo; historia. Estudio de §107 cuando a = ±3 y p ≡ 5 u 11 (mod. 12). Estudio de §107 cuando a = ±3 y p ≡ 7 (mod. 12). Estudio de §107 cuando a = ±3 y p ≡ 1 (mod. 12). Caracterizaci´on de los enteros para los cuales ±3 es un residuo; historia. Estudio de §107 cuando a = ±5 y p ≡ 2 o 3 (mod. 5). Estudio de §107 cuando a = ±5 y p 6≡ 1 ni 9 (mod. 20). Ley de Reciprocidad Cuadr´atica para a = ±5. Discusi´on de §107 cuando a = ±7. Todo p ≡ 1 (mod. 4) es un no residuo de alg´ un primo q < p; prueba si p ≡ 5 (mod. 8). Primer lema para probar el caso p ≡ 1 (mod. 8) de §125. Segundo lema para probar el caso p ≡ 1 (mod. 8) de §125. Tercer lema para probar el caso p ≡ 1 (mod. 8) de §125. Prueba de §125. Evidencia n´ umerica para la Ley de Reciprocidad Cuadr´atica. Enunciado de la Ley de Reciprocidad Cuadr´atica; notaci´on. Consecuencias de §131 con n´ umeros compuestos. Reciprocidad cuadr´atica generalizada a enteros compuestos. Prueba de §133, suponiendo §131. Ley de Reciprocidad Cuadr´atica (L. R. C.): hip´otesis inductiva. Prueba de L. R. C.: comienzo de la inducci´on; divisi´on en casos. Prueba de L. R. C.: caso 1, a ≡ p ≡ 1 (mod. 4), ±pRa. Prueba de L. R. C.: caso 2, a ≡ 1, p ≡ 3, ±pRa. Prueba de L. R. C.: caso 3, a ≡ p ≡ 1, ±pNa. Prueba de L. R. C.: caso 4, a ≡ 1, p ≡ 3, ±pNa. Prueba de L. R. C.: caso 5, a ≡ p ≡ 3, pRb. Prueba de L. R. C.: caso 6, a ≡ 3, p ≡ 1, pRb. Prueba de L. R. C.: caso 7, a ≡ p ≡ 3, pNb. Prueba de L. R. C.: caso 8, a ≡ 3, p ≡ 1, pNb. Otra prueba de §114. Resumen del m´etodo para determinar si Q es un residuo de P ; ejemplo.

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xxxvi 147. 148. 149. 150. 151. 152.

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Formas de los divisores de x2 − A: enunciado. Prueba de §147 cuando A ≡ 1 (mod. 4). Prueba de §147 cuando A ≡ 2 o 3 (mod. 4). Corolario de §147 con B compuesto. Historia de la Ley de Reciprocidad Cuadr´atica. Resoluci´on de congruencias ax2 + bx + c ≡ 0.

SECCION QUINTA. SOBRE LAS FORMAS Y LAS ECUACIONES INDETERMINADAS DE SEGUNDO GRADO. 153. 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. 172. 173. 174. 175.

Definici´on de formas cuadr´aticas; notaci´on. Representaci´on de√un n´ umero M; el determinante. La ra´ız cuadrada D del determinante es una clase m´odulo M. √ Representaciones que corresponden a valores iguales u opuestos de D. Transformaciones lineales de formas; formas equivalentes; transformaciones propias e impropias. Equivalencia propia e impropia; ejemplo; problemas a ver. Transitividad de implicaci´on de formas; formas opuestas. Formas contiguas. Divisores comunes de los coeficientes de formas. Encontrar todas las transformaciones de una forma a otra que la contiene. Formas ambiguas. Condici´on necesaria y suficiente para que una forma implique a otra propia e impropiamente. Ejemplo de §164; existencia de una forma ambigua en una clase. Representaci´on de n´ umeros por formas transformadas. Determinantes de formas equivalentes. Toda representaci´on de un entero M conduce a una forma propiamente equivalente con primer coeficiente M. Aplicaci´on de la teor´ıa de transformaciones a la de representaciones. Caso de §168 con una forma ambigua. Formas con determinante negativo: reducci´on a forma reducida. Condiciones para que dos formas reducidas de determinante −D sean propiamente equivalentes. Condiciones para que dos formas reducidas de determinante −D sean equivalentes. El n´ umero de formas reducidas de determinante −D. Clases de formas de determinante −D.

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176. 177. 178. 179. 180. 181. 182. 183. 184. 185. 186. 187. 188. 189. 190. 191. 192. 193. 194. 195. 196. 197. 198. 199. 200. 201. 202. 203. 204. 205. 206. 207. 208.

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Tabla de clases de formas de determinante −D, D ≤ 12. Transformaciones propias entre formas contiguas. C´alculo de una transformaci´on propia entre formas propiamente equivalentes. C´alculo de todas las transformaciones entre formas equivalentes. Algoritmo para encontrar todas las representaciones de M por una forma de determinante −D. Caso de §180 con coeficientes no relativamente primos. Aplicaci´on a la representaci´on de M como x2 + ny 2 , n = 1, 2, 3. Formas con determinante positivo no cuadrado: reducci´on a forma reducida. Propiedades de formas reducidas con determinante positivo no cuadrado. Algoritmos para encontrar todas las formas reducidas de determinante D. Per´ıodo de una forma F . Propiedades de per´ıodos; formas asociadas. Sustituci´on α, β, γ, δ; ejemplo de per´ıodo de una forma reducida. Signos y otras propiedades de las formas en un per´ıodo. Lema para §191. √ Aproximaci´on racional a D. √ Convergentes de la fracci´on continuada de D. Formas reducidas propiamente equivalentes est´an en el mismo per´ıodo. Otra prueba del Teorema de §165. Algoritmo que determina si formas del mismo determinante son equivalentes. Algoritmo para encontrar una transformaci´on propia entre formas propiamente equivalentes. Relevancia de la ecuaci´on de Pell al estudio de formas. Soluci´on fundamental de la ecuaci´on de Pell. Aplicaci´on de fracciones continuadas a §198. Soluci´on general de la ecuaci´on de Pell. Comentarios sobre la soluci´on de la ecuaci´on de Pell. Historia de la ecuaci´on de Pell. Algoritmo para encontrar todas las transformaciones entre formas equivalentes. Observaciones sobre §203. Algoritmo para encontrar todas las representaciones de un entero por una forma dada. Formas reducidas con determinante h2 . Toda clase contiene una sola forma reducida. Encontrar una transformaci´on entre formas equivalentes con determinante h2 .

xxxviii 209. 210. 211. 212. 213. 214. 215. 216. 217. 218. 219. 220. 221. 222. 223. 224. 225. 226. 227. 228. 229. 230. 231. 232. 233. 234. 235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 242.

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Encontrar las dem´as transformaciones de §208. Criterio para equivalencia impropia de formas reducidas (a, h, 0). N´ umero de clases de formas de determinante h2 . Algoritmo de §205 para el caso de formas de determinante h2 . Criterio para que una forma de determinante D implique una de determinante De2 . Encontrar todas las transformaciones correspondientes a §213. Formas de determinante igual a cero. Resoluci´on de la ecuaci´on cuadr´atica general de dos inc´ognitas. Continuaci´on de §216. Caso de §216 con determinante cuadrado y M = 0. Caso general de §216 con determinante cero. Caso especial de §216 con determinante cero. Ejemplo del m´etodo de §217. Notas hist´oricas acerca de formas cuadr´aticas. Divisi´on de las formas de determinante D en clases. Usos de las clases; clases opuestas; clases ambiguas. Clases positivas y negativas. Formas primitivas; divisi´on de clases en ´ordenes; ejemplos. Uso de clases propiamente primitivas. Una forma primitiva representa un n´ umero infinito de enteros no divisibles por p. Una forma primitiva representa s´olo residuos o s´olo no residuos m´odulo p. Caracteres de una forma primitiva. Divisi´on de o´rdenes en g´eneros; forma principal. Ejemplos con clases positivas y negativas. Ra´ız cuadrada de una forma; n´ umeros caracter´ısticos de una forma. Lema para §239 y §240. Forma compuesta; seis propiedades. Construcci´on de una forma compuesta. Forma compuesta de formas transformadas. Forma compuesta de formas equivalentes. Equivalencia de las compuestas de formas equivalentes. Asociatividad de composici´on. Asociatividad generalizada de composici´on. Propiedades de la composici´on de formas.

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243. 244. 245. 246. 247. 248. 249. 250. 251. 252. 253. 254. 255. 256. 257. 258. 259. 260. 261. 262. 263. 264. 265. 266. 267. 268. 269. 270. 271. 272. 273. 274. 275. 276. 277.

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Clases de formas tienen la estructura de un grupo. Representaci´on de un producto por una forma compuesta. Composici´on de o´rdenes. Composici´on de g´eneros. Producto de g´eneros est´a bien definido para formas primitivas. Producto de g´eneros est´a bien definido en general. Composici´on de clases. Forma m´as simple de un orden. Una forma primitiva que transforma formas del mismo orden. Existe el mismo n´ umero de clases en cada g´enero del mismo orden. Discusi´on del n´ umero de clases en o´rdenes distintos. Composici´on de la forma m´as simple de un orden con una primitiva. Clases propiamente primitivas que representan un entero cuadrado. Comparaci´on del n´ umero de clases primitivas de o´rdenes distintos. N´ umero de formas ambiguas primitivas (A, 0, C) y (A, A/2, C). Conteo del n´ umero de clases ambiguas propiamente primitivas. Conteo del n´ umero de clases ambiguas impropiamente primitivas. N´ umero de clases propiamente primitivas k con k2 = K. La mitad de los caracteres no pertenece a un g´enero propiamente primitivo. Otra prueba de la L. R. C. para ciertos residuos. Los caracteres que corresponden a g´eneros. Caracteres para g´eneros negativos y g´eneros impropiamente primitivos. M´etodo para descomponer un primo como suma de dos cuadrados. Una digresi´on conteniendo un estudio de formas ternarias. Introducci´on al estudio de formas ternarias. Formas ternarias: notaci´on, adjunta y determinante. Transformaci´on de formas ternarias. Formas ternarias equivalentes. Transitividad de equivalencia. Clases de formas ternarias; formas positivas, negativas e indefinidas. Reducci´on de formas ternarias. Ejemplos num´ericos de la reducci´on de formas ternarias. Segunda reducci´on de formas ternarias. Ejemplos de la composici´on de transformaciones de formas ternarias. El n´ umero de clases de formas ternarias de determinante D es finito. Ejemplos de formas ternarias reducidas de determinante peque˜ no.

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278. Problemas para considerarse acerca de formas ternarias. 279. Lema para §280. 280. Algoritmo para encontrar las representaciones propias de un entero por una forma ternaria. 281. Representaciones impropias por una forma ternaria. 282. Observaciones acerca de la representaci´on de una forma binaria por una forma ternaria. 283. Algoritmo para encontrar todas las representaciones de una forma binaria por una forma ternaria. 284. Representaciones impropias de una forma binaria por una forma ternaria. 285. Equivalencia de formas ternarias. Algunas aplicaciones a la teor´ıa de las formas binarias. 286. Toda forma del g´enero principal es el cuadrado de alguna forma. 287. Exactamente la mitad de los caracteres corresponden a g´eneros propiamente primitivos. 288. Existencia de formas primitivas negativas de determinante −M y n´ umero caracter´ıstico −1. 289. Representaciones de formas binarias por x2 + y 2 + z 2 . 290. Estudio de §289 para formas binarias de determinante −1 o −2. 291. Las representaciones de un entero positivo por x2 + y 2 + z 2 . 292. N´ umero de representaciones por x2 + y 2 + z 2 . 293. Todo entero positivo es la suma de tres n´ umeros triangulares. 294. Condici´on necesaria y suficiente para resolver ax2 + by 2 + cz 2 = 0. 295. M´etodo alternativo para §294. 296. Trabajo de Legendre acerca de §294. 297. Incompletitud del argumento de Legendre en §296. 298. Caso general de §294. 299. Representaci´on de cero por formas ternarias. 300. Soluci´on racional de una ecuaci´on cuadr´atica con dos inc´ognitas. 301. Comportamiento asint´otico del n´ umero de g´eneros. 302. Comportamiento asint´otico del n´ umero de clases: determinante negativo. 303. Tablas acerca de §302; conjetura sobre el n´ umero de clase. 304. N´ umero de clases: determinante negativo. 305. Toda clase es de orden que divide al n´ umero de clases. 306. Las clases forman un grupo. 307. Algoritmo para calcular g´eneros y clases; ejemplos.

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SECCION SEXTA. APLICACIONES VARIAS DE LAS INVESTIGACIONES PRECEDENTES. 308. 309. 310. 311. 312. 313. 314. 315. 316. 317. 318. 319. 320. 321. 322. 323. 324. 325. 326. 327. 328. 329. 330. 331. 332. 333. 334.

Introducci´on y resumen de la secci´on. Descomposici´on de una fracci´on con denominador ab. Descomposici´on de una fracci´on con denominador abc · · · . Unicidad de la descomposici´on de §310. Mantisa decimal de una fracci´on. C´alculo del numerador a partir de la mantisa y del denominador. Per´ıodo de una fracci´on a/pμ . C´alculo del per´ıodo de b/pμ a partir del per´ıodo de a/pμ . Comentarios sobre las tablas de los per´ıodos de fracciones. M´etodo de c´alculo de expansiones decimales en general. Mantisa de una fracci´on en el caso general. M´etodos para resolver una congruencia x2 ≡ A (mod. m). M´etodo de exclusi´on para la congruencia x2 ≡ A (mod. m). N´ umeros excluyentes que conviene escoger en el m´etodo de exclusi´on. Atajos que se pueden usar en el m´etodo de exclusi´on. Otro m´etodo para resolver mx2 + ny 2 = A. Uso de n´ umeros excluyentes en §323. Un ejemplo del m´etodo de §323 y §324. Observaciones para acortar el c´alculo en §323. Otro m´etodo para resolver x2 ≡ A (mod. M) cuando A < 0. Ejemplos num´ericos del m´etodo de §327. M´etodos de factorizaci´on de enteros: observaciones elementales. Primer m´etodo de factorizaci´on: residuos cuadr´aticos de M. T´ecnicas para la aplicaci´on de §330. Tres m´etodos para encontrar los residuos cuadr´aticos de M. √ Segundo m´etodo de factorizaci´on: valor de −D (mod. M). Aplicaciones de §333.

SECCION SETIMA. UN CIRCULO. 335. 336. 337. 338.

ECUACIONES QUE DEFINEN SECCIONES DE

Introducci´on a la ciclotom´ıa; generalizaciones futuras posibles. Reducci´on al caso de la divisi´on del c´ırculo en p (primo) partes. Las ra´ıces de xn − 1 son exp(2πk/n) = cos(2πk/n) + i sen(2πk/n). La f´ormula de Newton para la suma de las λ-´esimas potencias de las ra´ıces.

xlii 339. 340. 341. 342. 343. 344. 345. 346. 347. 348. 349. 350. 351. 352. 353. 354. 355. 356. 357. 358. 359. 360. 361. 362. 363. 364. 365. 366.

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La estructura c´ıclica de las ra´ıces Ω de un polinomio ciclot´omico X. Sustituci´on de ra´ıces de un polinomio ciclot´omico en un polinomio. Irreducibilidad de polinomios ciclot´omicos sobre los racionales. Factorizaci´on del polinomio ciclot´omico depende de p − 1. Subgrupos y clases laterales de las ra´ıces de un polinomio ciclot´omico. Clases laterales de Ω forman una partici´on. Productos de per´ıodos en Ω. Grado de subextensiones del campo ciclot´omico. Sustituci´on de un per´ıodo en un polinomio sim´etrico. Coeficientes de un polinomio son funciones sim´etricas de las ra´ıces. Aplicaci´on del Teorema de Newton al c´alculo de los coeficientes. Generalizaci´on de §347 con subper´ıodos. C´alculo de polinomio m´ınimo de un per´ıodo; ejemplo n = 19. Algoritmo para encontrar las ra´ıces de un polinomio ciclot´omico. C´alculo completo de §352 cuando n = 19. C´alculo completo de §352 cuando n = 17. Uso de n´ umeros complejos en §352. C´alculo de sumas gaussianas. El polinomio ciclot´omico se descompone como 14 (y 2 ∓ pz 2 ). Distribuci´on de las ra´ıces Ω en tres per´ıodos. Conjetura de la imposibilidad de resolver polinomios de grado ≥ 5 por radicales. Uso de resolventes de Lagrange para resolver el polinomio ciclot´omico. C´alculo de sen ω y cos ω donde ω = 2πk/n. C´alculo de las otras funciones trigonom´etricas de ω. Factorizaci´on del polinomio con ra´ıces sen kω, etc. Observaciones sobre §363; automorfimos de una extensi´on; ejemplos. Se construye un p-gono sii p es un primo de Fermat. Caracterizaci´on de los n para los cuales el n-gono es construible.