Cap´ıtulo 5

Continuidad 5.1 Continuidad en un punto Definici´on 5.1.1 (Aplicaci´on continua en un punto). Sean (X, τ ) e (Y, τ 0 ) dos espacios topol´ogicos, y sea f : X −→ Y una aplicaci´on entre ellos. Diremos que f es continua en un punto a ∈ X si para todo U ∈ E(f (a)) existe un V ∈ E(a) tal que f (V ) ⊂ U . Proposici´on 5.1.2 (Continuidad y base de entornos). Sean (X, τX ), (Y, τY ) dos espacios topol´ogicos, f : X −→ Y una aplicaci´on y B(a) y B(f (a)) son bases de entornos de a en τX y de f (a) en τY , respectivamente. Entonces f es continua en a si y s´olo si para todo U ∈ B(f (a)) existe V ∈ B(a) tal que f (V ) ⊂ U . Demostraci´on. ⇒ Supongamos que f es continua en a. Dado U ∈ B(f (a)) existir´a V ∈ E(a) tal que f (V ) ⊂ U . Pero como B(a) es base de entornos tendremos que existe V 0 ∈ B(a) de modo que V 0 ⊂ V , con lo que f (V 0 ) ⊂ f (V ) ⊂ U . ⇐ Sea ahora U ∈ E(f (a)), entonces existe U 0 ∈ B(f (a)) de modo que U 0 ⊂ U . Por hip´otesis existe V ∈ B(a) de modo que f (V ) ⊂ U 0 ⊂ U y como V ∈ B(a) ⊂ E(a). Corolario 5.1.3 (Continuidad en un espacio m´etrico). Sean dos espacios m´etricos (X, d) e (Y, d0 ), una aplicaci´on f : X −→ Y , y un punto a ∈ X. Entonces f es continua en a si y s´olo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que siempre que d(x, a) < δ se verifica que d0 (f (x), f (a)) < ε. Demostraci´on. S´olo hay que tener en cuenta que las bolas abiertas son base de entornos en una topolog´ıa m´etrica. 45

´ CAPITULO 5. CONTINUIDAD

46 Ejemplo 5.1.4.

(1)La continuidad en R, con la topolog´ıa usual, coincide con el concepto habitual de continuidad utilizado en An´alisis. En particular se tiene la siguiente lista de funciones continuas de R en R: (a) las funciones constantes (b) la funci´on identidad (c) las funciones elementales xa , sen(x), cos(x), ex y sus inversas en sus dominios de definici´on. (d) la suma y el producto de funciones continuas. (e) la inversa para el producto de una funci´on continua no nula. (2)En Rn con la topolog´ıa usual (d = d2 o d1 o d∞ ), podemos hacer algo similar: f : Rn −→ Rn es continua en a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn si y s´olo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ ⇒ d(f (x), f (a)) < ε (3) Consideremos el conjunto X = {a, b, c, d} con la topolog´ıa τ = {X, ∅, {a}, {b}, {a, b}, {b, c, d}}. La funci´on f : X −→ X, definida por el diagrama siguiente, es continua en d y no lo es en c. a

a

b c

:z b

d

jd

: c

 Proposici´on 5.1.5 (Continuidad y sucesiones). Sean dos espacios m´etricos (X, d) e (Y, d0 ), f : X −→ Y una aplicaci´on entre ellos, y a ∈ X. Entonces son equivalentes: (a) f es continua en a. (b) Si (xn )∞ on en X con l´ımite a, entonces {f (xn )}∞ n=1 es una sucesi´ n=1 converge a f (a). Demostraci´on. (a)⇒(b) Supongamos que f es continua en a ∈ X y que (xn )n → a. para ver que (f (xn ))n → f (a) tenemos que probar que dado ε > 0, existe no tal que n > no ⇒ d0 (f (xn ), f (a)) < ε

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5.1. CONTINUIDAD EN UN PUNTO Como f es continua en a, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ ⇒ d0 (f (x), f (a)) < ε Por otra parte, como (xn )n → a, dado δ > 0, existe no tal que n > no ⇒ d(xn , a) < δ Por tanto, si n > no , d0 (f (xn ), f (a) < ε puesto que d(xn , a) < δ. b)⇒a)

Supongamos que (f (xn ))n converge a f (a) y supongamos que f no es continua. Eso significa que existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 existe xδ ∈ X con d(xδ , a) < δ y d0 (f (xδ ), f (a) ≥ ε. Si para este ε fijo, tomamos δ = 1 existe x1 con d(x1 , a) < 1 y d0 (f (x1 ), f (a)) > ε δ=

1 1 existe x2 con d(x2 , a) < y d0 (f (x1 ), f (a)) > ε 2 2

As´ı sucesivamente para δ=

1 1 existe xn con d(xn , a) < y d0 (f (x1 ), f (a)) > ε n n

De modo que hemos obtenido una sucesi´on (xn )n en X que converge hacia a puesto que la sucesi´on de t´erminos positivos (d(xn , a))n es menor t´ermino a t´ermino que la sucesi´on ( n1 )n ; y, sin embargo, la sucesi´on (f (xn ))n no converge a f (a) ya que siempre es d0 (f (xn ), f (a)) > ε. Ejemplo 5.1.6. Sea funci´on f : R −→ R, en ambos casos con la topolog´ıa usual, definida por ( 1 si x 6= 1 f (x) x−1 1 si x = 1 no es continua en x = 1, pues la sucesi´on xn = 1 + lim f (xn ) = lim n

n

1 n

1 n

tiene por l´ımite 1, y sin embargo

1 = lim n 6= f (1) n +1−1 

Proposici´on 5.1.7 (Composici´on de funciones continuas). Sean (X, τ ), (Y, τ 0 ) y (Z, τ 00 ) tres espacios topol´ogicos, y sean f : X −→ Y , g : Y −→ Z dos aplicaciones tales que f es continua en a ∈ X, y g es continua en f (a). Entonces g ◦ f es continua en a.

´ CAPITULO 5. CONTINUIDAD

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Demostraci´on. Sea U ∈ E(g(f (a))). Por el hecho de ser g continua en f (a) existe V ∈ E(f (a)) tal que g(V ) ⊂ U y como f es continua en a, existe W ∈ E(a) tal que f (W ) ⊂ V . Pero entonces g(f (W )) ⊂ g(V ) ⊂ U . Proposici´on 5.1.8 (Continuidad y adherencia). Sean (X, τ ) e (Y, τ 0 ) dos espacios topol´ogicos, f : X −→ Y una aplicaci´on continua en a ∈ X y un subconjunto S ⊂ X. Entonces si a ∈ S se cumple que f (a) ∈ f (S) (f (S) ⊂ f (S)). Demostraci´on. Sea U ∈ E(f (a)); como f es continua en a existe V ∈ E(a) tal que f (V ) ⊂ U . Pero a es un punto de adherencia de S, por tanto V ∩ S 6= ∅. Esto implica que ∅ 6= f (V ∩ S) ⊂ f (V ) ∩ f (S) ⊂ U ∩ f (S), y as´ı f (a) es un punto de adherencia de f (S). Ejemplo 5.1.9. El resultado anterior no es cierto ni para puntos interiores ni para puntos frontera pues la funci´on ◦ z }| { ◦ cos : R −→ R es una funci´on continua, 0 ∈R y, sin embargo cos 0 = 1 ∈ / f (R)= (−1, 1). Por 3π 3π otra parte, si S = [0, π] ∪ { 3π }, ∈ f r(S), pero cos( ) = 0 ∈ / f r(cos(S)).  2 2 2

5.2

Continuidad en todo el espacio

Definici´on 5.2.1 (Funci´on continua). Sean dos espacios topol´ogicos (X, τ ) e (Y, τ 0 ), y sea f : X −→ Y una aplicaci´on entre ellos. Diremos que f es continua (en X) si lo es en todo punto de X. Proposici´on 5.2.2. Sean (X, τ ) e (Y, τ 0 ) dos espacios topol´ogicos, y sea f : X −→ Y una aplicaci´on. Entonces son equivalentes: a) f es continua. b) Para todo A ∈ τ 0 , f −1 (A) ∈ τ . Demostraci´on. a)⇒b) Supongamos que f es continua y sea A ∈ τ 0 . Para demostrar que f −1 (A) es abierto en τ veremos que es entorno de todos sus puntos. Sea x ∈ f −1 (A), entonces f (x) ∈ A, luego A es entorno de f (x). Como f es continua, en particular lo ser´a en x, y existe V ∈ E(a) tal que f (V ) ⊂ A. Pero eso implica que V ⊂ f −1 (A) y as´ı f −1 (A) ∈ E(a).

5.2. CONTINUIDAD EN TODO EL ESPACIO

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b)⇒a) Supongamos ahora que para todo A ∈ τ 0 , f −1 (A) ∈ τ y veamos que f es continua en cada punto de X. Sea x ∈ X y sea U ∈ E(f (x)). Entonces existe A ∈ τ 0 tal que f (x) ∈ A ⊂ U . Eso significa que x ∈ f −1 (A) y como f −1 (A) ∈ τ se puede tomar V = f −1 (A) ∈ E(x). Adem´as, f (V ) = f (f −1 (A)) ⊂ A ⊂ U , por tanto f es continua en x. Proposici´on 5.2.3. Una aplicaci´on f : (X, τ ) −→ (Y, τ 0 ) es continua si y s´olo si para todo cerrado C en (Y, τ 0 ), se tiene que f −1 (C) es un cerrado en (X, τ ). Demostraci´on. (Ejercicio) Proposici´on 5.2.4 (Continuidad y bases). Sean (X, τ ) e (Y, τ 0 ) dos espacios topol´ogicos y B 0 una base de (Y, τ 0 ). Son equivalentes: (a) La aplicaci´on f : X −→ Y es continua. (b) Para todo B‘ ⊂ B0 , se cumple que F −1 (B 0 ) es abierto en (X, τ ). Demostraci´on. Ejercicio. Ejemplo 5.2.5. (1) Hay que tener en cuenta que, en general, si f : X → Y es continua y A es un abierto en X, f (A) no tiene por qu´e ser abierto en Y . Por ejemplo la funci´on f : R −→ R, dada por f (x) = sen(x), es continua para la topolog´ıa usual y sin embargo, f (R) = [−1, 1] que no es un abierto en R. (2) Una funci´on constante f : X → Y es continua respecto cualquier topolog´ıa en X y cualquier topolog´ıa en Y . (3) Si (X, τD ) es un espacio topol´ogico discreto, toda aplicaci´on f : X −→ Y en un espacio topol´ogico (Y, τ 0 ) es continua. (4) Si (Y, τT ) es un espacio topol´ogico con la topolog´ıa trivial, toda aplicaci´on f : (X, τ ) −→ (Y, τT ) es continua. (5) La funci´on identidad 1 : (X, τ ) → (X, τ 0 ) tal que 1(x) = x para cada x ∈ X, es continua si, y s´olo si τ es m´as fina que τ 0 .  Proposici´on 5.2.6 (Composici´on y continuidad). Sean f : (X, τ ) −→ (Y, τ 0 ) y g : (Y, τ 0 ) −→ (Z, τ 00 ) dos aplicaciones continuas, entonces la composici´on g ◦ f : X −→ Z es continua. Demostraci´on. Si A ∈ τ 00 es un abierto, tenemos que probar que (g◦f )−1 (A) ∈ τ . En efecto, (g◦ f )−1 (A) = f −1 (g −1 (A)), y como g es continua, g −1 (A) ∈ τ 0 , y al ser f continua f −1 (g −1 (A)) ∈ τ.

´ CAPITULO 5. CONTINUIDAD

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Definici´on 5.2.7 (Aplicaci´on abierta y aplicaci´on cerrada). Sean dos espacios topol´ogicos (X, τ ) e (Y, τ 0 ), y f : X −→ Y una aplicaci´on. Diremos que f es abierta si para todo A ∈ τ , f (A) ∈ τ 0 y diremos que f es cerrada si para todo C ⊂ X cerrado en τ , f (A) ⊂ Y , es cerrado en τ 0 . Ejemplo 5.2.8. La proyecci´on π : (R2 , d2 ) −→ (R, τu ) del plano sobre el eje de las x, π(x, y) = x es una aplicaci´on abierta puesto que la proyecci´on de cualquier bola abierta B((a, b), r) sobre el eje de las x es un intervalo abierto (a−r, a+r). Pero no es cerrada puesto que la proyecci´on del conjunto cerrado C = {(x, y) ∈ R2 : xy ≥ 1} es el intervalo (0, +∞), que no es cerrado.

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

B((a, b), r)

(a − r, a + r)

.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

C

(0, +∞) 

La u´ ltima parte de esta secci´on est´a dedicada al estudio de los homeomorfismos. Este concepto tiene mucha importancia en Topolog´ıa, ya que dos espacios topol´ogicos que sean homeomorfos se pueden considerar iguales topol´ogicamente. Definici´on 5.2.9 (Homeomorfismo). Dados dos espacios topol´ogicos (X, τ ) e (Y, τ 0 ), se llama homeomorfismo entre (X, τ ) e (Y, τ 0 ) a una aplicaci´on biyectiva f : X −→ Y tal que tanto f como su inversa f −1 sean continuas (se dice que f es bicontinua). Diremos que dos espacios topol´ogicos son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. Diremos que una propiedad en un espacio topol´ogico una propiedad topol´ogica si es invariante por homeomorfismos. La siguiente caracterizaci´on de los homeomorfismos es consecuencia inmediata de las definiciones y de las proposiciones 5.2.2 y 5.2.3. Proposici´on 5.2.10. Sea f : X −→ Y una aplicaci´on biyectiva entre espacios dos topol´ogicos (X, τ ) e (Y, τ 0 ).Son equivalentes: a) f es un homeomorfismo.

´ 5.3. CONTINUIDAD UNIFORME. ISOMETRIAS

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b) Un subconjunto A ⊂ X es abierto (A ∈ τ ) si y s´olo si f (A) ∈ τ 0 . c) Un subconjunto C ⊂ X es cerrado si y s´olo si f (C) es cerrado en (Y, τ 0 ). Ejemplo 5.2.11. (1) Dos espacios topol´ogicos triviales son homeomorfos si y s´olo si existe una biyecci´on entre ellos. (2) Lo mismo pasa si se consideran dos espacios topol´ogicos discretos. (3) La aplicaci´on sen : (0, π/2) −→ (0, 1) es un homeomorfismo, ya que restringida a estos intervalos es biyectiva, y su inversa arcsen : (0, 1) −→ (0, π/2) es tambi´en continua.
(4) La funci´on f : (−1, 1) −→ R definida por f (x) = tan π2 x es un homeomorfismo ya que f es biyectiva y continua y tambi´en lo es f −1 . Esto implica que (−1, 1) y R son topol´ogicamente equivalentes. (5) La longitud y la acotaci´on no son propiedades topol´ogicas. En el ejemplo anterior, (−1, 1) y R tienen longitudes diferentes y, adem´as, el primero de ellos est´a acotado y el segundo no. (6) El que una sucesi´on sea de Cauchy tampoco es una propiedad topol´ogica puesto que f : (0, +∞) −→ (0, +∞) con f (x) =

1 x

es homeomorfismo y a la sucesi´on de Cauchy ( n1 )n le corresponde por f la sucesi´on (n)n que no es de Cauchy.

5.3

Continuidad uniforme. Isometr´ıas

En el caso de los espacios m´etricos, adem´as de las aplicaciones continuas, hay otras clases de aplicaciones interesantes: Definici´on 5.3.1 (Funci´on uniformemente continua). Diremos que una aplicaci´on entre espacios m´etricos f : (X, d) −→ (Y, d0 ) es uniformemente continua si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo x, y ∈ X con d(x, y) < δ se verifica que d0 (f (x), f (y)) < ε. Ejemplo 5.3.2. Obviamente, toda aplicaci´on uniformemente continua es continua, pero el rec´ıproco no es cierto: basta considerar la funci´on f (x) = x2 .  Definici´on 5.3.3 (Isometr´ıa). Dados dos espacios m´etricos (X, d) e (Y, d0 ), diremos que una aplicaci´on biyectiva f : X −→ Y es una isometr´ıa si verifica que para todos los puntos x1 , x2 ∈ X, entonces d(x1 , x2 ) = d0 (f (x1 ), f (x2 )). En este caso decimos que (X, d) e (Y, d0 ) son isom´etricos.

52

´ CAPITULO 5. CONTINUIDAD

Proposici´on 5.3.4. Una isometr´ıa es uniformemente continua. Proposici´on 5.3.5. Si dos espacios m´etricos son isom´etricos, entonces tambi´en son homeomorfos. Ejemplo 5.3.6. El rec´ıproco de la u´ ltima proposici´on no es cierto en general. Si Consideramos R con la distancia discreta y con la distancia ( 2 si x 6= y d(x, y) = 0 si x = y la aplicaci´on identidad es un homeomorfismo que no es isometr´ıa.