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Contraste de hipótesis

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1. Pasos del contraste de hipótesis 1.1 Hipótesis estadísticas: nula y alternativa 1.2 Supuestos 1.3 Estadístico de contraste 1.4 Regla de decisión: zona de aceptación y rechazo. Nivel de significación α (riesgo) y nivel de confianza 1-α 1.5 Decisión 2. Error de tipo I y tipo II. Potencia del contraste (1-β)

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Ejemplo. En las últimas elecciones un partido obtuvo el 40% de los votos. Para comprobar si este porcentaje ha aumentado, un investigador toma una muestra de 30 personas y encuentra que 19 votarán al partido ¿Qué puede concluirse?

X − nπ 19 − (30)0,4 = = 2,6 Z= nπ (1 − π ) 30(0,4)0,6

Si π fuera 0,4 entonces P( X ≥ 19) = P( Z ≥ 2,6) = 0,0047 (muy improbable) En conclusión π > 0,4

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Se utiliza para comprobar si una afirmación sobre alguna propiedad poblacional puede ser sostenida utilizando los datos disponibles Ejemplos: 1) Queremos saber si la media en un examen es mayor que 4,8, 2) si la proporción de votantes de un partido difiere de 0,18. 1. Hipótesis estadísticas Afirmación sobre una o más distribuciones de probabilidad. Sobre su forma o el valor de sus parámetros. Hipótesis nula: Es concreta. Lleva el signo = Hipótesis alternativa: Negación de la nula

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Ejemplos: Unilateral derecho H0:µ ≤ 4,8 H1: µ > 4,8

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Unilateral izquierdo H0: µ ≥ 25 H1: µ < 25

Bilateral H0: π = 0,18 H1: π ≠ 0,18

2. Supuestos Son las condiciones que deben cumplirse para poder tomar una decisión sobre H0. Ejemplos: Normalidad, muestra aleatoria 3. Estadístico de contraste Resultado muestral que se utiliza para tomar una decisión: 1) Proporciona información sobre las hipótesis 2) Distribución muestral conocida bajo H0 Ejemplos: 1) X , 2) P Análisis de Datos en Psicología II

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4. Regla de decisión Criterio para tomar una decisión sobre H0 utilizando el estadístico de contraste Consiste en dividir los posibles valores del estadístico en dos zonas: Zona de aceptación: Valores con los que se mantiene H0 Zona de rechazo o crítica: Valores con los que se rechaza H0 Ambas se establecen en función de: Nivel de significación o riesgo (α). Es la probabilidad de que el estadístico de contraste caiga en la zona crítica si H0 es verdadera. Suele usarse α = 0,05 óα = 0,01 El nivel de confianza es 1- α Análisis de Datos en Psicología II

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Ejemplos: 1) Zona de aceptación X ≤ 6 Zona de rechazo X > 6 2) Zona de aceptación 0,1 ≤ P ≤ 0,26 Zona de rechazo P < 0,1 y P > 0,26 5. Decisión Puede tomarse en función de: a) zona de aceptación y rechazo, b) nivel critico (p), que es la probabilidad asociada al estadístico de contraste. Mantener H0: a) Si el estadístico de contraste cae en la zona de aceptación. b) Mantener H0 si p > α No se concluye que H0 es cierta Rechazar H0: a) Si el estadístico de contraste cae en la zona crítica, b) si p ≤ α Se concluye que H0 es falsa Análisis de Datos en Psicología II

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Ejemplo: Se aplican tres métodos de enseñanza: A, B y C en tres clases. Se toman las notas de los alumnos. Formular las hipótesis para: a) Contrastar si la media con el método B es 5 b) Contrastar si son iguales las medias de los métodos A y B c) Comprobar si la media con el método A es menor que con el B d) Comprobar si la media con el método B es mayor que con el C e) Contrastar si son iguales las medias de los tres métodos

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a) H0: µB = 5 H1: µB ≠ 5 b) H0: µA = µB H1: µA ≠ µB c) H0: µA ≥ µB H1: µA < µB d) H0: µB ≤ µC H1: µB > µC e) H0: µA = µB = µC H1: Alguna µ es distinta

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Bilateral Bilateral Un. izquierdo Un. derecho

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Ejemplo: El cociente intelectual se distribuye N(100, 15) en la población general. Un investigador toma una muestra de 6 niños autistas y desea comprobar si la media es mayor en esta población. Encuentra que la media es 116. a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una media igual o mayor que 116? b) ¿Puede concluirse que la media de esta población es mayor que 112? c) ¿Puede concluirse que la media de esta población es mayor que 115?

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a)

X −µ

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116 − 100 = 2,61 σ 15 n 6 P ( X ≥ 116 ) = P ( Z ≥ 2,61) = 1 − 0,9955 = 0,0045 Z=

=

Luego µ no debe ser 100 b)

X −µ

116 − 112 = 0,65 15 σ n 6 P ( X ≥ 116 ) = P ( Z ≥ 0,65 ) = 1 − 0,7422 = 0,2578 Z=

=

Luego µ podría ser 112 c)

X −µ

116 − 115 Z= = = 0,16 σ 15 n 6 P ( X ≥ 116 ) = P ( Z ≥ 0,16 ) = 1 − 0,5636 = 0,4364

¿Entonces, µ es 112 ó 115? Análisis de Datos en Psicología II

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Errores de tipo I y tipo II Error de tipo I. Rechazar H0 siendo verdadera. Su probabilidad es α Error de tipo II. Mantener H0 siendo falsa. Su probabilidad es β Realidad

Mantener H0 Decisión

H0 es cierta

H0 es falsa

Decisión correcta P = 1-α Nivel de confianza

Error de tipo II P=β

Decisión Error de tipo I correcta P=α Rechazar P=1-β Nivel de H0 Potencia significación o del riesgo contraste

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Ejemplo Un investigador desea contrastar si el porcentaje de votantes de un determinado partido es mayor de 0,5. Para ello toma una muestra de n=5 personas y les pregunta si votarán a este partido. a) Obtener la zona crítica y la potencia (α = 0,05) b) Decisión si 4 personas votarán al partido (Nota: la verdadera proporción de votantes es 0,6, aunque este investigador no lo sabe) a) Solución: 1. Hipótesis H0: π ≤ 0,5 H1: π > 0,5 Análisis de Datos en Psicología II

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2. Supuestos: Muestra aleatoria 3. Estadístico de contraste La variable X (número de votantes) tiene distribución Binomial (n=5, π=0,5) bajo H0 Mirando en las tablas: Zona de Aceptación Z.R. 0 1 2 3 4 5 π=0,5 0,031 0,157 0,312 0,312 0,157 0,031 π= 0,6 0,010 0,077 0,230 0,346 0.259 0,078 4. Regla de decisión Zona de aceptación: X ≤ 4 Zona de rechazo: X = 5 Potencia: 1 - β = 0,078 Prob. Error tipo II: β = 1 - 0,078 = 0,922 b) Mantener H0 Análisis de Datos en Psicología II

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Ejemplo Un estadístico de contraste X tiene la siguiente función de distribución bajo H0 y H1 X 1 2 3 4 5 6 7 F(x) | H0 0,05 0,16 0,39 0,65 0,90 0,95 1,00 F(x) | H1 0,35 0,45 0,63 0,77 0,85 0,94 1,00

En un contraste unilateral izquierdo con α = 0,05. a) ¿Qué valores de X forman la zona de rechazo? ¿y la de aceptación? b) ¿Cuál es la regla de decisión en términos de probabilidad? c) ¿Cuál sería la probabilidad de rechazar H0 si fuera verdadera? d) ¿Cuál sería la probabilidad de mantener H0 si fuera falsa? e) Si X = 2 ¿Qué decisión tomará sobre H0?¿Por qué? f) ¿Cuál será el valor del nivel crítico? g) ¿Cuál es la potencia del contraste? h) ¿A partir de qué nivel de significación puede rechazarse H0? Análisis de Datos en Psicología II

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Solución: X F(x) | H0 F(x) | H1

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α

1 2 3 4 5 6 7 0,05 0,16 0,39 0,65 0,90 0,95 1,00 0,35 0,45 0,63 0,77 0,85 0,94 1,00

a) Rechazo 1. Aceptación: 2, 3, 4, 5, 6 y 7 b) Rechazar H0 si p = P (X ≤ xi) ≤ 0,05 c) Error tipo I: α = 0,05 d) Error tipo II: β = 1 - 0,35 = 0,65 e) Mantener H0 pues X cae dentro de la zona de aceptación f) p = P(X ≤ 2) = 0,16 g) 1 - β = 0,35 h) α = 0,16

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Ejemplo Un estadístico de contraste Y tiene las funciones de probabilidad bajo H0 y bajo H1 que aparecen en la tabla inferior. Y 1 2 3 4 5 6 f (y) | H0 0,025 0,025 0,25 0,45 0,20 0,05 f (y) | H1 0,10 0,05 0,15 0,05 0,25 0,40 En un contraste unilateral derecho con Y = 3 y α = 0,05. a) ¿Qué decidirá sobre H0? b) ¿Cuál es el valor del nivel crítico? c)

¿Cuál es la probabilidad de rechazar H0 y equivocarnos?

d) ¿Cuál es la potencia del contraste? e) ¿Cuál es la probabilidad de mantener H0 y equivocarnos? Análisis de Datos en Psicología II

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α

Solución: Y 1 2 3 4 F (y) | H0 0,025 0,025 0,25 0,45 F (y) | H1 0,10 0,05 0,15 0,05

5 0,20 0,25

6 0,05 0,40

a) Mantener H0 pues Y = 3 cae dentro de la zona de aceptación b) p = P(X ≥ 3) = 1 - P(X ≤2) = 1 - 0,05 = 0,95 c) Error tipo I: α = 0,05 d) 1 - β = 0,40 e) Error tipo II: β = 0,60

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Ejercicios recomendados del libro 3.1 3.2 3.11 3.12 3.13 3.14

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