Control Eléctrico y Accionamientos Teoría de Circuitos I Unidad 1: Campo Eléctrico.Conductores y dieléctricos.

Índice de temas de la Unidad 1 1- 1.1 .- Introducción 1-1.2.- Aspectos matemáticos básicos 1-1.2.1.- Cálculo numérico 1-1.2.2.- Geometría y trigonometría 1-1.2.3.- Solución ecuación cuadrática 1-1.3.- Naturaleza de la electricidad 1-1.3.1.- Carga eléctrica 1-1.3.2.- Ley de Coulomb 1-1.3.3.- Campo eléctrico 1-1.4.- Estudio del campo eléctrico 1-1.4.1.- Líneas de fuerza 1-1.4.2.- Teorema de Gauss 1-1.4.3.- Aplicaciones del Teorema de Gauss al cálculo de la intensidad de campo eléctrico 1-1.4.3.1.- Conductor cilíndrico recto uniformemente cargado 1-1.4.3.2.- Láminas conductoras paralelas 1-1.4.4.- Potencial del campo eléctrico 1-1.4.4.1.- Fuentes de energía 1-1.5.- Materiales conductores 1-1.5.1.- Comportamiento de un conductor bajo la acción de un campo eléctrico 1-1.5.1.1.- Potencia y energía.Ley de Joule 1-1.5.1.2.- Ley de Joule 1-1.5.1.3.- Naturaleza de la corriente eléctrica 1-1.5.2.- Ley de Ohm 1-1.5.2.1.- Efecto de la temperatura del conductor en el valor de su resistencia eléctrica 1-1.5.2.2.- Definición de la unidad de potencial eléctrico en base a la ley de Ohm 1-1.6.- Materiales dieléctricos 1-1.6.1.- Comportamiento de un dieléctrico bajo la acción de un campo eléctrico 1-1.6.2.- Capacitores 1-1.6.2.1.- Energía del campo eléctrico 1-1.6.2.2.- Energía del campo eléctrico 1-1.6.2.3.- Conexión de capacitores 1-1.7.- Circuito eléctrico 1-1.7.1.- Concepto de circuito eléctrico 1-1.7.2.- Leyes de Kirchhoff

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1- 1.1 .- Introducción La física es la ciencia dedicada al estudio del universo, vale decir que estudia los fenómenos observables que involucran a la materia y la energía.El electromagnetismo es la física de los fenómenos eléctricos y magnéticos.La observación experimental de dichos fenómenos produce un conjunto de ideas o teoría que permite explicar cómo y por qué ocurren dichos fenómenos y, además, sirve de base para predecir comportamientos aún no observados y cuya posterior comprobación experimental permite corrobar la teoría o modificarla. El desarrollo de una teoría requiere la formulación de conceptos ( definiciones ) y la utilización de principios ( comportamientos que no requieren demostración puesto que no se observa nada que los contradiga ) a fin de formular las leyes que rigen a los fenómenos observados.Dichas leyes deben poder ser comprobadas experimentalmente para considerarlas válidas. Para poder expresar con precisión, sin ambigüedades, las ideas que constituyen una teoría física se recurre al uso de las matemáticas como lenguaje universal.Además se recurre a las matemáticas para desarrollar métodos de cálculo que posibiliten la aplicación de una dada teoría.Vale decir que el conocimiento de las matemáticas es indispensable en la ciencia física. Los conceptos, principios y las leyes contenidos en una teoría y los procedimientos matemáticos utilizados en su desarrollo constituyen los fundamentos que permiten su aplicación y la generación de objetos cuya utilización amplía la capacidad de acción de los seres humanos.La física aplicada del electromagnetismo da origen a dos disciplinas técnicas denominadas Electrotecnia y Electrónica. En general puede decirse que para utilizar una dada técnica es indispensable conocer los fundamentos de la teoría que da origen a la misma y por otra parte la solución de un dado problema técnico requiere el uso de los fundamentos adecuados al tipo de problema que se presenta para determinar sus orígenes ( causa raíz ) ya que de otro modo sólo nos queda el recurso de prueba y error.Dicho recurso conduce en general a soluciones imperfectas o parciales que causan la repetición del problema en forma aleatoria. Por otra parte, el técnico debe tener siempre presente que si ha utilizado los fundamentos correctos para resolver un dado problema y la solución obtenida es imperfecta, la causa de ello sólo puede deberse a una aplicación incorrecta de dichos fundamentos y/o una evaluación equivocada de los factores que dan origen al problema. 1-1.2.- Aspectos matemáticos básicos 1-1.2.1.- Cálculo numérico Todo cálculo requiere de la utilización de números y es muy importante establecer a priori el número de dígitos decimales significativos a emplear a fin que, al repetir ( o iterar ) el cálculo, se obtenga siempre el mismo resultado numérico.Dicho procedimiento recibe el nombre de redondeo y se utiliza generalmente el redondeo simétrico. El redondeo simétrico consiste en sumar una unidad al último dígito decimal significativo elegido, si el dígito siguiente es igual a mayor a 5. ejemplo 1 : el número 5,1493478 redondeado a dos decimales es igual a 5,15 ; redondeado a cuatro decimales es igual a 5,14943 ejemplo 2 : el número 7,489 redondeado a dos decimales es igual a 7,50 ejemplo 3 : el número 15,384 redondeado a dos decimales es igual a 15,38 ejemplo 4 : el número 56,3734627 redondeado a cuatro decimales es igual a 56,3735 Frecuentemente es necesario realizar cálculos que involucran números pequeños y números grandes, como por ejemplo : 145789,25 x 0,00056726 = 82,7004 ( aplicando redondeo simétrico a cuatro decimales )

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En éstos casos resulta conveniente expresar los números en potencias enteras de diez ( preferiblemente múltiplos de 3 ).Las potencias de diez empleadas comúnmente son : Tera ( T ) = 1 000 000 000 000 = 1 x 10 12 Giga ( G ) = 1 000 000 000 = 1 x 10 09 Mega ( M ) = 1 000 000 = 1 x 10 06 kilo ( k ) = 1 000 = 1 x 10 03 hecto ( h ) = 1 00 = 1 x 10 02 deca ( da ) = 10 = 1 x 10 01

pico ( p ) = nano ( n ) = micro ( µ ) = mili ( m ) = centi ( c ) = deci ( d ) =

0, 000 000 000 001 = 1 x 10 -12 0, 000 000 001 = 1 x 10 -09 0, 000 001 = 1 x 10 -06 0, 000 1 = 1 x 10- 03 0, 01 = 1 x 10 -02 0, 1 = 1 x 10-01

Empleando ésta forma de representación el cálculo anterior se escribe de la siguiente manera : ( 145,7893 x 103 ) x ( 0,5673 x 10-3 ) = 82,7063 ( resulta una diferencia despreciable prácticamente ) Cuando se multiplican números expresados en potencias de diez, el exponente del producto se obtiene sumando algebraicamente los exponentes de cada número interviniente : ( 4,67 x 10-8 ) x ( 12,35 x 106 ) x ( 0,87 x 105 ) = 50,18 x 103 ( aplicando redondeo simétrico a dos decimales ) Cuando se dividen números expresados en potencias de diez, el exponente del cociente se obtiene como diferencia de los exponentes del numerador menos el del denominador : ( 5,7893 x 10-6 ) / (0,0139 x 10-3 ) = 416,4964 x 10-3 = 0,4165 ( aplicando redondeo simétrico a cuatro decimales ) ( 8,0765 x 109 ) / ( 4,0037 x 10-3 ) = 2,0173 x 1012 ( aplicando redondeo simétrico a cuatro decimales ) ( 6,7835 x 103 ) / ( 0,3419 x 107 ) = 19,4806 x 10-4 = 1,95 x10-3 ( aplicando redondeo simétrico a dos decimales ) Cuando se eleva a una dada potencia un número expresado en potencias de diez, el exponente resultante es igual al producto de los índices de las potencias : [ ( 6,7534 x 10-6 )2 ]-3 = 1,0541 x 1036 Si en el cálculo interviene una raíz de índice n, basta con recordar que es equivalente a una potencia de índice 1/n. En los cálculos de circuitos eléctricos se utilizan frecuentemente ciertos números irracionales cuyo valor se redondea simétricamente a cuatro decimales tal como se indica a continuación : 2 = 1,4142

;

3 = 1,7321

;

π = 3,1416

;

2

π

= 0,6366

1-1.2.2.- Geometría y trigonometría En todo triángulo rectángulo siendo a , la hipotenusa y b , c los catetos, se verifica que : a=

b2 +c2

expresión conocida como Teorema de Pitágoras.

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Sea α, el ángulo formado por el cateto b y la hipotenusa a.Se definen las siguientes funciones e igualdades trigonométricas : sen α =

c a

;

cos α =

b a

;

tg α =

c sen α = b cos α

;

sen 2 ( α ) + cos 2 ( α ) = 1

En el siguiente cuadro se indican los valores de las funciones trigonométricas básicas para ciertos ángulos característicos :

α

0º

30º

sen ( α )

0

0,5

cos ( α )

1

tg ( α )

0

45º

3 = 0,866 2 1 = 0,577 3

2 = 0,707 2 2 = 0,707 2

1

60º

90º

3 = 0,866 2

1

0,5

0

3 = 1,73

∞

En muchos casos la medida de un ángulo se expresa en función de la longitud del arco correspondiente a una circunferencia de radio unidad ( r = 1 ) , vale decir el ángulo se mide en radianes [ rad ].Teniendo en cuenta que en una circunferencia todo ángulo recto describe un arco igual a la cuarta parte del perímetro, resulta : 90 º ≡

2π r 4

de donde, si el radio es igual a la unidad obtenemos : 180 º ≡ π [ rad

]

Por lo tanto, las conversiones de grados sexagesimales a radianes vienen dadas por la siguiente proporción :

α [ º ] α [ rad = 180 º π

]

En el siguiente cuadro se muestran los ángulos típicos expresados en grados sexagesimales y en radianes :

α[º]

0º

α [ rad ]

0

30º

45º

60º

90º

π

π

π

π

6

4

3

2

Cuando se analizan relaciones que pueden representarse como lados de un triángulo cualquiera resulta útil la aplicación de los siguientes teoremas :

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TEOREMA DEL COSENO :

TEOREMA DEL SENO :

a b c = = sen ( α ) sen ( β ) sen ( γ

)

1-1.2.3.- Solución ecuación cuadrática La ecuación cuadrática de la forma : a x 2 + b x + c = 0 , donde los coeficientes a, b y c pueden ser positivos o negativos, es de aplicación común en la resolución de circuitos eléctricos.La solución de dicha ecuación viene dada por la siguiente expresión :

x 1, 2

b =− ± 2a

b 2 − 4ac 2a

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1-1.3.- Naturaleza de la electricidad 1-1.3.1.- Carga eléctrica El átomo es la menor porción de materia conocida y está formado por tres tipos de partículas : protones, neutrones y electrones.Los protones y neutrones tienen aproximadamente la misma masa que es aproximadamente 1840 veces mayor que la masa de los electrones.Usualmente se representan los átomos con forma esférica.En el centro de dicha esfera se agrupan los protones y neutrones en la región denominada núcleo, cuyo diámetro es del orden de una diezmilésima parte del diámetro del átomo.Los electrones giran en torno al núcleo a distancias comparables al diámetro del átomo, agrupados en capas que tienen limitado el número de electrones que pueden contener.A medida que aumenta la distancia al núcleo, se incrementa el límite de electrones por capa y, por tal motivo, la capa más exterior es la que contiene mayor número de electrones. Los protones y los electrones presentan una propiedad que se denomina carga eléctrica ,por cuya causa se ejercen fuerzas de atracción entre protones y electrones y, fuerzas de repulsión entre electrones o entre protones.Arbitrariamente se estableció que la carga eléctrica del protón tiene signo positivo y la del electrón signo negativo.De ahí que se exprese usualmente que : las cargas de igual signo se repelen y las cargas de signo opuesto se atraen. Por otra parte, la menor unidad de carga conocida es la del electrón ( o protón ) y las cantidades de carga eléctrica sólo pueden ser múltiplos enteros de la carga del electrón ( la carga eléctrica sólo tiene valores discretos ) Hoja 5 de 30

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En los átomos, la cantidad de protones es igual a la cantidad de electrones, por lo que la carga eléctrica neta es cero. Algunos elementos químicos poseen átomos que tienden a capturar uno o dos electrones en su capa exterior ( valencia positiva ) y adquieren entonces una carga eléctrica neta negativa, denominándoselos iones negativos o aniones.Por otra parte, existen elementos químicos cuyos átomos tienden a ceder uno o dos electrones de su capa exterior ( valencia negativa ), adquiriendo una carga eléctrica neta positiva, denominándoselos iones positivos o cationes. En general puede decirse que todo cuerpo cuya carga eléctrica no sea nula está ionizado.Por otra parte la cantidad total de carga eléctrica de un dado sistema debe permanecer invariable puesto que la carga eléctrica no se crea ni se destruye.Esto recibe el nombre de ley de conservación de la carga eléctrica. Toda cada carga eléctrica en movimiento ( electrones ) produce un fenómeno denominado corriente eléctrica que da origen a fuerzas de tipo magnético.En consecuencia, la electricidad y el magnetismo están completamente relacionados entre sí y son objeto de estudio de la llamada física del electromagnetismo que dio origen a la Teoría del Campo Electromagnético desarrollada por James Clerk Maxwell. 1-1.3.2.- Ley de Coulomb Cuando las dimensiones de los cuerpos ionizados son pequeñas respecto a la distancia que los separa, puede aceptarse que dichos cuerpos actúan como cargas eléctricas puntuales.El físico Charles Agustín de Coulomb determinó experimentalmente que la fuerza de atracción o repulsión que ejercen entre sí dos cargas eléctricas puntuales en el vacío, en reposo con respecto al observador, es directamente proporcional al producto del valor de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.Esto se conoce como Ley de Coulomb. Utilizando unidades del sistema MKS , el módulo de la fuerza ejercida entre dos cargas eléctricas en el vacío, viene dada por :

F 1, 2 = F

2 ,1 =

1

q1 q 2 4 π ε 0 r 12, 2

donde : F1,2 , fuerza ejercida por la carga q2 sobre la carga q1 expresada en Newton ,[ N ] F1,2 , fuerza ejercida por la carga q1 sobre la carga q2 expresada en Newton, [ N ] si el signo de la fuerza es positivo las cargas se repelen; si el signo de la fuerza es negativo, las cargas se atraen. r1,2 , distancia entre las cargas eléctricas expresada en metros, [ m ] q1 q2 , carga eléctrica expresada en Coulomb, [ C ]  C2  1 є0 , permeabilidad eléctrica del vacío cuyo valor es : ε 0 = 36 π 10 9  N m 2  Considerando el valor de la constante ε0 , la Ley de Coulomb puede escribirse :

F 1, 2 = F 2,1 = 9 x10 9

q1 q 2 r 12, 2

Las cargas eléctricas usuales son pequeñas y por ello se utiliza para medirlas la unidad denominada microcoulomb, [ µC ] cuyo valor es : 1 [ µC ] = 0, 000 001 [ C ] = 1 x 10-6 [ C ]. Hoja 6 de 30

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La fuerza eléctrica es una magnitud vectorial y para poder definirla completamente es necesario conocer además de su módulo, su dirección y sentido.Para ello basta con multiplicar el módulo por un versor o vector de módulo unidad, cuya dirección coincide con la de la recta que pasa por los puntos donde están ubicadas las cargas y, cuyo sentido será tal que las cargas tiendan a alejarse si la fuerza es de repulsión o a acercarse si la fuerza es de atracción. La Ley de Coulomb expresada vectorialmente resulta :

F

=− F

1, 2

2 ,1

= 9 x 10

9

q1 q2 r 1, 2 r 12, 2

1-1.3.3.- Campo eléctrico La fuerza eléctrica definida por la ley de Coulomb tiene intrínsicamente la característica de acción a distancia, vale decir que los cuerpos cargados eléctricamente no necesitan estar en contacto para interaccionar.En base a esto es posible imaginar que la fuerza ejercida sobre un cuerpo cargado en un dado punto del espacio se debe a una propiedad particular de dicho punto. Se define como campo eléctrico a toda región del espacio donde actúan fuerzas de origen eléctrico.Para describir completamente un campo eléctrico es necesario conocer la fuerza por unidad de carga eléctrica positiva que se ejerce en cada uno de sus puntos.Dicha magnitud recibe el nombre de intensidad de campo eléctrico, E y viene dada por el cociente de la fuerza ejercida en un dado punto sobre una carga puntual positiva de prueba. Considerando que el campo eléctrico se debe a una sola carga puntual, q1, la intensidad de campo en el vacío vendrá dada por :

F E = * = 9 x 10 q

9

q1 q* 1 = 9 x 10 r 12, * q *

9

q1 r 12, *

donde, q* es la carga puntual positiva de prueba y r1,* la distancia desde la carga q1 , carga fuente, a la carga de prueba.La unidad de medida, en el sistema MKS, de la intensidad de campo eléctrico es [ N / C ]. La intensidad de campo eléctrico es una magnitud vectorial cuya dirección coincide con la de la recta que pasa por los puntos donde están ubicadas las cargas fuente ( q1 ) y prueba ( q* ) y cuyo sentido está dirigido hacia la carga de prueba si la carga fuente es positiva o, hacia la carga fuente si ésta es negativa La expresión vectorial de la intensidad de campo eléctrico creado por una carga puntual , q1 ,en un punto cualquiera, P, viene dada por :

E

P

= 9 x 10

q1 r r 12, P

9

1, P

El versor r1, P , está dirigido siempre desde la carga fuente hacia el punto considerado, de modo que es el signo de la carga fuente el que impone el sentido del vector intensidad de campo eléctrico. En general, si el campo eléctrico es creado por una distribución finita de cargas puntuales ( q1 , q2 , … , qn ), el valor de la intensidad de campo en un punto cualquiera P, vendrá dado por :

E

P

= 9 x 10

n

9

q

∑r i =1

i

2 i,P

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r

i,P

 N   C 

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Considerando un grupo de tres cargas puntuales, la representación gráfica del cálculo expresado por la ecuación anterior, resulta :

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1-1.4.- Estudio del campo eléctrico 1-1.4.1.- Líneas de fuerza A los fines de tener una imagen gráfica de un dado campo eléctrico se utiliza el concepto desarrollado por Faraday de línea de fuerza que se traza de modo que la dirección de la intensidad de campo eléctrico que actúa en cada uno de los puntos de la línea de fuerza, sea tangente a dicha línea en el punto considerado. Debe tenerse en cuenta que el campo eléctrico existe en el espacio tridimensional y que los mapas de campo obtenidos mediante el trazado de líneas de fuerza están contenidos en un plano bidimensional.En otras palabras, un mapa de campo eléctrico es sólo una vista del campo real según un dado plano de intersección. A los fines de lograr un mapa de campo eléctrico legible es necesario trazar un cierto número de líneas de fuerza aplicando el siguiente criterio : el número de líneas de fuerza ( N ) que atraviesan una superficie ubicada en un dado punto del campo es igual al producto de la intensidad de campo ( E ) según la dirección normal ( perpendicular ) a la superficie considerada multiplicado por el área de la superficie ( S ) y por el coeficiente de permeabilidad eléctrica en el vacío ( ε0 ) , esto es

N = ε 0 E S cos θ donde θ , es el ángulo que forma el vector intensidad de campo eléctrico con la dirección normal a la superficie considerada.La expresión anterior es válida si la dirección del vector intensidad de campo eléctrico es constante en todos los puntos de la superficie considerada Empleando unidades del sistema MKS, la unidad del número de líneas de fuerza N, es el Coulomb.En efecto :

[ ]

 C 2   N 2 [ N ] = [ ε 0 ][ E ][ S ] =  2    m = [ C ]  N m   C El significado de expresar el número de líneas de fuerza en unidades de carga eléctrica se comprenderá al tratar el Teorema de Gauss ( ver 1-1.4.2.- ) Con la aplicación del criterio de cálculo del número de líneas de fuerza, al dibujar el mapa de campo resulta que las líneas de fuerza están más próximas entre sí en las zonas de intensidad de campo elevada y más espaciadas en las zonas de menor intensidad de campo.Esto permite apreciar rápidamente la región del espacio donde la influencia del sistema de cargas considerado produce mayores efectos.

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De acuerdo a la convención de signos adoptada, el campo eléctrico creado por una carga puntual negativa queda descripto por un conjunto de vectores intensidad de campo dirigidos hacia la carga fuente.Si cambiamos el signo de la carga, sólo se modificará el sentido de los vectores intensidad de campo eléctrico ( opuesto al anterior ). Por otra parte, el número de cargas positivas es siempre igual al número de cargas negativas ( los átomos son neutros ). Entonces se puede concluir que toda línea de fuerza se origina en una carga puntual positiva y finaliza en una carga puntual negativa. El campo creado por un par de cargas puntuales de signos opuestos puede representarse de la siguiente manera :

Otra característica relevante es que las líneas de fuerza no se intersectan , puesto que en cada punto de un campo eléctrico sólo existe un vector intensidad de campo y , por lo tanto, sólo puede existir una línea tangente a dicho vector en el punto considerado. En muchos casos cuando se trata de calcular el número de líneas de fuerza que atraviesan normalmente una dada sección del campo se presenta el problema que la dirección del vector intensidad de campo eléctrico cambia de un punto a otro.Para poder efectuar el cálculo es necesario dividir la superficie considerada en pequeños elementos de área dSi ( denominados diferencial o infinitésimo de superficie ) tal que sólo exista un vector intensidad de campo para dicho elemento. Luego se calcula la fracción dNi de líneas de fuerza que atraviesan el elemento dSi ..Finalmente se obtiene el valor total de línea de fuerzas N sumando los valores obtenidos para cada elemento de superficie.Resulta entonces :

N =

i=n

∑ε i =1

0

N = ∫ ε 0 E dS cosθ

E i dS i cos θ i

S

1-1.4.2.- Teorema de Gauss Si se considera una carga eléctrica puntual positiva aislada, el campo eléctrico que crea representado gráficamente en un plano, resulta :

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Observando la figura anterior se deduce que la dirección de los vectores intensidad de campo eléctrico es radial con centro en la carga fuente.El módulo de la intensidad de campo eléctrico viene dado por :

E =

1 4π ε0

q r 2

Encerramos la carga puntual dentro de una esfera con centro en la misma y radio r.La superficie de dicha esfera vale :

S = 4π r

2

La dirección perpendicular a la superficie esférica en cada punto de la misma es radial, por lo que el ángulo entre dicha perpendicular y el vector intensidad de campo eléctrico en el punto considerado es cero ( θ = 0 ).El número total de líneas de fuerza que atraviesa la superficie esférica , vale :

N = ε 0 E S cos θ = ε 0

1 4π ε

0

q 4π r r 2

2

cos ( 0 º ) = q

Éste resultado significa que el número de líneas de fuerza es igual al valor de la carga eléctrica que da origen al campo independientemente de la distancia a la que esté la carga y, además, no depende de la forma de la superficie cerrada considerada.En otras palabras, si se encierra una carga eléctrica puntual positiva dentro de una superficie de forma cualquiera el número total de líneas de fuerza que atravesarán dicha superficie hacia afuera, es el mismo que si consideramos una esfera en cuyo centro está ubicada la carga .Generalizando ésta conclusión al caso de una distribución cualquiera de cargas, Gauss postuló el siguiente teorema : el número neto de líneas de fuerza que atraviesan una superficie cerrada de forma cualquiera es igual a la carga eléctrica neta existente en el interior de dicha superficie. ( se consideran positivas las líneas de fuerza que salen de la superficie y negativas las que entran )

El teorema de Gauss permite calcular de modo sencillo la intensidad de campo eléctrico de sistemas de carga eléctrica distribuídas simétricamente pero, no puede utilizarse para determinar la distribución de carga.Vale decir que para aplicar el teorema de Gauss es necesario conocer cómo están distribuídas las cargas que producen el campo eléctrico a analizar. El teorema de Gauss tiene un corolario que establece que : si la carga eléctrica en el interior de una superficie cerrada de forma cualquiera es nula, entonces el número neto de líneas de fuerza que atraviesan dicha superficie es cero. Desde el punto de vista de la física de la electricidad la materia se clasifica en tres grandes grupos : conductores, semiconductores y dieléctricos ( o aisladores ).Los materiales conductores tienen la propiedad de permitir el desplazamiento de carga eléctrica siendo necesario para ello aplicarles un campo eléctrico.En otras palabras, al someter un material conductor a la acción de un campo eléctrico se origina una corriente eléctrica ( desplazamiento de carga ) que da origen a un campo magnético. Si a un material conductor eléctricamente neutro se le agrega carga eléctrica ( por ejemplo por contacto con otro cuerpo cargado ) dicha carga debe distribuirse necesariamente sobre la superficie del conductor como consecuencia del teorema de Gauss. Hoja 10 de 30

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Considérese una superficie cerrada dentro de un material conductor cargado ubicada de modo que esté tan próxima como se quiera a la superficie exterior de éste. Si el número neto de líneas de fuerza que atraviesan dicha superficie fuese distinto de cero, el teorema de Gauss establece que debe existir una carga eléctrica no nula en el interior del conductor y por lo tanto,un campo eléctrico que origine una corriente eléctrica y, consecuentemente, un campo magnético.Experimentalmente se ha comprobado que al aplicar carga en exceso a un material conductor no se observa campo magnético alguno y puede entonces afirmarse que el campo eléctrico en el interior de un material conductor cargado es nulo.Este resultado es válido aunque el conductor sea hueco y sus paredes de muy delgadas. El comportamiento de los materiales conductores al recibir carga en exceso permite el diseño de las denominadas pantallas electrostáticas ( o jaulas de Faraday ) .Una pantalla electrostástica es sencillamente una superficie conductora cerrada ( construída con láminas, cintas o mallas metálicas ) que impide la acción de campos eléctricos externos a la misma sobre cuerpos ubicados en su interior.Un ejemplo típico son los cables telefónicos donde los conductores están envueltos por cinta de papel aluminizado . Otra conclusión importante derivada de la aplicación del teorema de Gauss a los materiales conductores es que la dirección del campo eléctrico en la superficie de un material conductor cargado debe ser perpendicular o normal a la misma en todos sus puntos. En efecto, si en un dado punto de la superficie de un conductor la dirección del vector intensidad de campo no fuese normal a la superficie, existiría una componente tangencial a la superficie de la intensidad de campo eléctrico que tiene que ocasionar una corriente eléctrica superficial y se deberían manifestar efectos magnéticos.Tal cosa nunca ha sido experimentalmente observada lo que confirma la deducción basada en el Teorema de Gauss. 1-1.4.3.- Aplicaciones del Teorema de Gauss al cálculo de la intensidad de campo eléctrico 1-1.4.3.1.- Conductor cilíndrico recto uniformemente cargado Sea un conductor cilíndrico recto de longitud L y radio a, a lo largo del que se ha distribuído uniformemente una carga eléctrica q, resultando una densidad lineal de carga λ = q / L.De acuerdo a lo establecido por el teorema de Gauss el campo eléctrico en todo punto de la superficie del conductor debe ser perpendicular a la misma, de lo que se deduce que el campo se distribuye radialmente porque, en todo punto de una circunferencia el radio es normal a la tangente que pasa por dicho punto. Si se considera una superficie cilíndrica cerrada de longitud b, radio r y cuyo eje longitudinal coincide con el eje longitudinal del conductor, los vectores intensidad de campo eléctrico en cada punto de dicha superficie serán paralelos a la normal a la superficie correspondiente. El número neto de líneas de fuerza que atraviesa dicha superficie viene dado por :

N = ε 0 E S cos θ = ε 0 E 2 π r b cos

( 0º ) = ε 0

E 2π r b

(1 )

La carga neta en el interior de la superficie cilíndrica considerada vale :

qb = λ b

(2 )

Aplicando el teorema de Gauss sabemos que N = qb y partiendo de las expresiones ( 1 ) y ( 2 ) podemos escribir :

ε0 E 2 π r b = λ b de donde obtenemos la intensidad de campo eléctrico creado por el conductor cilíndrico recto uniformemente cargado :

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E =

λ

1 2 π ε

0

r

Obsérvese que la intensidad de campo es independiente del radio del conductor y el resultado obtenido es válido tanto para un alambre fino como para una barra cilíndrica o un tubo.También es válido para el campo eléctrico creado por un conductor cilíndrico dispuesto en el interior de un tubo de forma tal que sus ejes longitudinales coincidan ( cable coaxil ) También es importante señalar que la intensidad del campo eléctrico creado por un conductor rectilíneo uniformemente cargado disminuye en forma inversamente proporcional a la distancia entre el punto considerado y el centro del conductor, a diferencia de lo que ocurre en el caso de una carga puntual donde la intensidad de campo varía en forma inversamente proporcional al cuadrado de dicha distancia. 1-1.4.3.2.- Láminas conductoras paralelas Considérese dos láminas conductoras de altura H, largo L y espesor g dispuestas de modo que sus caras estén alineadas paralelamente una con respecto a la otra manteniendo una separación constante d.A cada lámina se le aplica la misma cantidad de carga, pero de polaridad opuesta.Si el espesor de las láminas es muy pequeño en comparación con su altura y largo, todo el campo eléctrico quedará prácticamente contenido en el espacio entre las placas ( despreciamos los efectos de borde ). La carga aplicada a cada lámina se distribuye uniformemente por toda la superficie de la cara enfrentada a la lámina opuesta resultando una densidad superficial de carga σ , dada por := q / ( L x H ).

σ =

(1 )

q L H

Si se considera una superficie cerrada de forma de paralelepípedo de altura h, largo l y espesor e, ubicada en la región entre las láminas, paralelo a las mismas y de modo que quede parcialmente en el interior de una de ellas, el número neto de líneas de fuerza que atraviesan dicha superficie vale :

N = ε 0 E S cos θ = ε 0 E h l cos

(0º )= ε 0

E h l

(2 )

el ángulo entre la dirección del vector intensidad de campo eléctrico y la normal a la superficie conductora en cada punto de la misma es igual a 0º, porque no puede existir componente tangencial de intensidad de campo eléctrico en ningún punto de una superficie conductora. La carga neta dentro de la superficie considerada viene dada por :

qS = σ h l

(3 )

Aplicando el teorema de Gauss sabemos que N = qs y partiendo de las expresiones ( 2 ) y ( 3 ) podemos escribir :

ε0 E h l = σ h l de donde resulta que la intensidad de campo eléctrico dos láminas paralelas conductoras uniformemente cargadas, separadas una distancia d, viene dado por :

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E =

σ ε0

Resultado que señala que la intensidad del campo eléctrico no depende de la separación entre las mismas. 1-1.4.4.- Potencial del campo eléctrico Si se desplaza una carga eléctrica puntual positiva dentro del campo eléctrico creado por una distribución cualquiera de cargas positivas, en todos los puntos de la trayectoria seguida por la carga actuarán fuerzas de repulsión. Puesto que la fuerza eléctrica actúa según el vector intensidad de campo E , en general la dirección del movimiento de la carga no coincide con la de la fuerza en cada punto considerado. En cada punto de la trayectoria el vector E forma un ángulo θ con la tangente a la trayectoria que pasa por dicho punto y puede descomponerse en :

E

t

= E cos θ componente del vector intensidad de campo eléctrico según una tangente a la trayectoria

E

n

= E sen θ

componente del vector intensidad de campo eléctrico según una normal a la trayectoria

La fuerza eléctrica en la dirección tangente a la trayectoria de la carga se opone al desplazamiento de ésta, mientras que la fuerza en dirección normal a la trayectoria sólo modifica la dirección del movimiento de la carga. Considerando la trayectoria subdividida en pequeños elementos de longitud, dl , tan pequeños como sea necesario de modo que exista un solo vector E en cada uno de ellos, se puede calcular el trabajo elemental, dW ,realizado para desplazar la carga de la siguiente manera :

(q

dW = −

E dl cos θ

)

donde el signo negativo indica que se está realizando un trabajo en contra del campo.El trabajo total, Wa,b , realizado para desplazar la carga desde un punto a hasta otro punto b, viene dado por : b

W

a ,b

= − ∫dW =− a

b

∫ q E dl cos θ

=W

a

−W

b

a

donde Wa y Wb pueden interpretarse como el trabajo necesario a realizar en contra del campo eléctrico creado por el sistema de cargas positivas, para desplazar una carga puntual positiva desde el infinito ( posición suficientemente alejada de las cargas fuentes tal que la intensidad de campo eléctrico sea prácticamente despreciable ) hasta cada uno de los puntos considerados ( a , b ). En otras palabras, a cada punto de un campo eléctrico cualquiera puede asignársele un valor igual al trabajo a realizar para desplazar una carga puntual positiva desde el infinito hasta el punto considerado.El trabajo asignado a cada punto será positivo si el campo es creado por cargas positivas y, negativo en caso contrario. Si la carga puntual considerada tiene valor unidad ( q = + 1 [ C ] ), el trabajo necesario para desplazarla desde el infinito hasta cualquier punto de un dado campo eléctrico se denomina potencial ( V ) del campo en el punto considerado. La expresión general de cálculo del potencial en un punto P, cualquiera de un dado campo eléctrico viene dada por : P

V P = − ∫ Edl cos θ ∞

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La unidad de medida del potencial eléctrico es el Volt [ V ] , que se define como el potencial existente en un dado punto de un campo eléctrico cuando para trasladar una carga positiva igual a 1 [ C ] desde el infinito hasta el punto considerado, es necesario realizar un trabajo de 1 [ J ]. Otras unidades de potencial eléctrico comúnmente empleadas son : .- milivolt [ mV ] = 0,001 [ V ] = 1 x 10-3 [ V ] .- kilovolt [ kV ] = 1 000 [ V ] = 1 x 103 [ V ] .- megavolt [ MV ] = 1 000 000 [ V ] = 1 x 106 [ V ] Teniendo en cuenta la definición de la unidad de medida del potencial eléctrico se puede realizar el siguiente análisis dimensional :

[ E ] = [ N ] = [ N ][ m ] = [ N m ] 1 = [ V ] [ C ] [ C ][ m ] [ C ] [ m ] [ m ] entonces, la unidad de medida de la intensidad de campo eléctrico se puede expresar como [ V/m ] Para describir completamente un campo eléctrico cuya distribución de carga es conocida, usualmente es más sencillo determinar el potencial en cada uno de sus puntos para luego calcular la intensidad de campo eléctrico correspondiente. Todos los puntos de un campo eléctrico que tienen el mismo potencial definen una superficie equipotencial.Para toda superficie equipotencial se debe cumplir que las líneas de fuerza y por lo tanto, el vector intensidad de campo, deben tener dirección normal a la superficie en todos sus puntos.Esto es así porque no se requiere realizar trabajo para desplazar una carga de un punto a otro de igual potencial. A modo de ejemplo, en el siguiente gráfico se han representado en un plano las líneas de fuerza ( líneas llenas ) y las líneas equipotenciales ( líneas de trazo ) correspondientes a un par de cargas puntuales de igual valor y signos contrarios :

En base a la definición de superficie equipotencial es fácil comprender que toda superficie conductora es equipotencial. Por otra parte, para igualar el potencial entre diferentes puntos de un campo eléctrico basta con unirlos con un conductor realizando de ésta forma lo que se denomina conexión equipotencial.

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1-1.4.4.1.- Fuentes de energía De acuerdo a las convenciones de signos adoptadas si la diferencia de potencial entre dos puntos, Vab , es positiva entonces Va > Vb y toda carga eléctrica libre positiva podrá ser desplazada por el campo desde a hacia b, siendo necesario efectuar un dado trabajo para regresar la carga desde b hacia a.Recordando que el trabajo es equivalente a la energía, queda claro que para lograr un desplazamiento continuo de carga eléctrica ( denominado corriente eléctrica ) es necesario disponer de un suministro o fuente de energía exterior al campo eléctrico. Existen, básicamente, dos tipos de fuentes de energía denominadas : .- fuente de tensión .- fuente de corriente Las fuentes de tensión están concebidas para mantener una diferencia de potencial prácticamente constante entre sus terminales y pueden clasificarse en : .- Estáticas ( Baterías, Celdas de combustible, Fotovoltaicas, entre otras ) .- Motrices ( Térmicas, Hidráulicas, Eólicas, entre otras ) Las fuentes de corriente están concebidas para suministrar una corriente eléctrica prácticamente constante entre sus terminales.Un ejemplo de éste tipo de fuente lo constituyen los equipos de soldadura por arco eléctrico. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1-1.5.- Materiales conductores 1-1.5.1.- Comportamiento de un conductor bajo la acción de un campo eléctrico Considérese un conductor cilíndrico recto, a temperatura constante, de material homogéneo, longitud L y sección transversal S , cuyos extremos se identifican con las letras a y b, en cuyo interior actúa un campo eléctrico uniforme cuya intensidad tiene un valor constante E , paralelo al eje longitudinal del conductor y dirigido desde a hacia b. La acción de un campo eléctrico no nulo en el interior del conductor debe provocar el desplazamiento de carga eléctrica dando origen a una corriente eléctrica cuya intensidad viene dada por :

dq dt

i=

(1 )

donde dq , es la fracción de carga eléctrica que atraviesa una sección transversal S cualquiera del conductor en el tiempo dt. Teniendo en cuenta la naturaleza atómica de la materia las cargas que pueden desplazarse dentro de un material conductor son los electrones cuya carga es negativa.Por consiguiente, en el caso del conductor considerado la carga dq deberá desplazarse en contra del sentido del campo eléctrico y será necesario realizar un trabajo elemental por unidad de carga dado por :

(2)

dV = − Edx

donde dx , es la distancia que se desplaza la carga dq en el intervalo dt.Se define la densidad de corriente eléctrica J , como el cociente dado por :

J =

i S

(3 )

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La densidad de corriente eléctrica es una magnitud vectorial cuyo módulo viene dado por la expresión ( 3 ) y cuya dirección y sentido coinciden con las del vector intensidad de campo eléctrico, porque se define como positiva la corriente eléctrica cuando las cargas se desplazan en el mismo sentido que la intensidad de campo eléctrico.La densidad de corriente eléctrica se expresa habitualmente en [ A / mm2 ]. Cabe señalar que la expresión ( 3 ) sólo es válida si la intensidad de campo eléctrico es la misma en todos los puntos de la sección considerada, que es lo que ocurre en el caso de materiales conductores homogéneos. Se define como coeficiente de conductividad , σ , al cociente entre la densidad de corriente y la intensidad de campo eléctrico, vale decir :

(4 )

J E

σ =

El coeficiente de conductividad es una propiedad del material conductor y depende de su composición química y temperatura.La expresión ( 4 ) señala el hecho que para una dada intensidad de campo eléctrico, los materiales que posean mayor coeficiente de conductividad permitirán mayores densidades de corriente. El coeficiente de conductividad puede ser independiente de la intensidad de campo eléctrico o puede variar en función de ésta.Los materiales conductores cuyo coeficiente de conductividad es independiente de la intensidad de campo eléctrico se denominan conductores lineales.Los materiales conductores de coeficiente de conductividad dependiente de la intensidad de campo eléctrico se denominan conductores alineales. Admitiendo que el conductor considerado es del tipo lineal y en base a las expresiones ( 2 ), ( 3 ) y ( 4 ) puede escribirse :

i dV = σ E = −σ S dx

(5 )

que reordenando términos puede escribirse :

i dx = − σ S dV

(6 )

Recorriendo el conductor desde el extremo a hasta el b, resulta : L

b

∫ i dx = − ∫ σ 0

S dV

(7 )

a

y finalmente :

I =σ

S V ab L

(8 )

La expresión ( 8 ) permite extraer las siguientes conclusiones : .- en todo material conductor es necesario aplicar una diferencia de potencial ( ddp ) para poder establecer una corriente eléctrica.Si la ddp es constante ( continua ) la intensidad de corriente también lo será.Si en cambio, la ddp es variable, la intensidad de corriente variará en la misma forma .- sólo podrá establecerse una corriente eléctrica si el conductor se conecta a una fuente de energía.Esto es así puesto que para desplazar los electrones es necesario realizar un trabajo en contra de las fuerzas del campo eléctrico dentro del conductor Hoja 16 de 30

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.- si el conductor es homogéneo, lineal y está a temperatura constante la intensidad de corriente es directamente proporcional a la diferencia de potencial aplicada. .- la intensidad de corriente eléctrica es directamente poporcional a la sección del conductor e inversamente proporcional a su longitud 1-1.5.1.1.- Potencia y energía El producto de la intensidad de corriente eléctrica multiplicada por la diferencia de potencial aplicada equivale a la energía por unidad de tiempo empleada para mantener la corriente eléctrica y recibe el nombre de potencia eléctrica.

P = I Vab

[ P ] = [ C ] [ N m ] = [ N m ] = [ J ] = [W ] [ s ] [C ] [s ] [s ] La unidad de medida de la potencia eléctrica es el Watt [ W ] que equivale a un [ J / s ] y es la potencia que consume un conductor eléctrico al que se le aplica una tensión constante de 1 [ V ] y que es recorrido por una corriente eléctrica de 1 [ A ] de intensidad. Otras unidades de potencia comúnmente utilizadas son : .- miliwatt [ mW ] = 0,001 [ W ] = 1 x 10-3 [ W ] .- kilowatt [ kW ] = 1 000 [ W ] = 1 x 103 [ W ] .- megawatt [ MW ] = 1 000 000 [ W ] = 1 x 106 [ W ] .- gigawatt [ GW ] = 1 000 000 000 [ W ] = 1 x 109 [ W ] Si la tensión y la intensidad de corriente permanecen constantes durante un dado lapso de tiempo , la cantidad de energía eléctrica transportada durante dicho intervalo viene dada por el producto de la potencia eléctrica ( tensión multiplicada por intensidad de corriente ) multiplicada por la duración en segundos del lapso considerado. En la práctica las unidades empleadas para medir la cantidad de energía eléctrica son : .- kilowatt-hora [ kWh ] .- megawatt-hora [ MWh ] = 1 000 [ kWh ] = 1 x 103 [ kWh ] .- gigawatt-hora [ GWh ] = 1 000 000 [ kWh ] = 1 x 106 [ kWh ] Si un dado conductor, al aplicársele una diferencia de potencial o tensión eléctrica constante U, igual a 150 [ V ],es recorrido por una intensidad de corriente igual a 12 [ A ] durante dos horas y media, la energía necesaria para ello viene dada por :

W

= U I t = 150

x 12 x 2 , 5 = 4500

[Wh ] =

4 ,5

[ k Wh ]

1-1.5.1.2.- Ley de Joule La energía desarrollada en un conductor empleando la ley de Ohm puede expresarse de la siguiente manera :

W

= U I t = I

2

R t

[J ]

El físico Joule demostró experimentalmente que la energía W, desarrollada en un conductor debido a su resistencia eléctrica se transforma íntegramente en calor.Este efecto es conocido bajo el nombre de Ley de Joule.Usualmente al producto I2 R, se lo denomina pérdidas por efecto Joule. Hoja 17 de 30

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La energía eléctrica que se convierte en calor debido a la resistencia de los materiales conductores recibe el nombre de energía activa para diferenciarla de otros tipos de energía de origen eléctrico que no se transforman en energías que pueden utilizarse en otras formas ( calor, trabajo mecánico, sonido, luz, etc ). Asociado a la corriente eléctrica que se transmite por medio de un conductor existe un campo magnético que posee determinada cantidad de energía que no se transforma, quedando almacenada en el campo.Este tipo de energía recibe el nombre de energía reactiva. La potencia desarrollada o disipada debido a la resistencia eléctrica de los materiales conductores se denomina potencia activa ( P ). La potencia que se utiliza para almacenar energía en un campo magnético recibe el nombre de potencia reactiva inductiva ( Qi ). 1-1.5.1.3.- Naturaleza de la corriente eléctrica Si bien al analizar el comportamiento de un material conductor sometido a la acción de un campo eléctrico se definió como intensidad de corriente eléctrica a la fracción de carga ( dq ) que atraviesa una sección transversal de espesor dx en un intervalo de tiempo dt, no debe concebirse la corriente eléctrica como un flujo de electrones que se desplazan de un extremo al otro del conductor.La corriente eléctrica es en realidad el impulso que se transmite a lo largo del conductor como consecuencia de pequeños desplazamientos de electrones, que chocan unos contra otros, al aplicarse el campo eléctrico.Dicho impulso se transmite a una velocidad cercana a la de la luz en el vacío.La velocidad media de desplazamiento de los electrones puede estimarse de la siguiente manera : la intensidad de corriente, i , a través de una sección transversal , S, de espesor dx , de un conductor cilíndrico sometido a la acción de un campo eléctrico de intensidad constante en todos los puntos de la sección S y cuya dirección es paralela al eje longitudinal del conductor, puede expresarse de la siguiente manera :

i=

dq n eS d x = =neS v dt dt

Donde n , es el número de electrones libres por unidad de volumen ; e , carga eléctrica del electrón y v, la velocidad media de desplazamiento de los electrones.La velocidad media de los electrones resulta igual a :

v =

i 1 J = S n e n e

donde J, es la densidad de corriente.En los conductores de cobre utilizados normalmente la densidad de corriente no es superior a 5 [ A / mm2 ] ó 5 x 106 [ A / m2 ].En el cobre se estima que existen 8,5 x 1028 electrones libres por m3.La carga eléctrica de un electrón es igual 1,6 x 10-19 [ C ].Utilizando éstos valores, la velocidad media de los electrones en un conductor de cobre vale:

v=

5 x 10 6 8,5 x 10 28 1,6 x 10

− 19

≅ 0 , 4 x 10

−3

 m  mm  = 0 , 4  s   s 

Este resultado nos indica que si la corriente eléctrica fuese consecuencia de un flujo de cargas ( electrones ), en el caso de una lámpara conectada mediante un cable de cobre de cinco metros de longitud a un interruptor que recibe energía de una fuente de tensión, la corriente eléctrica comenzaría a circular a través de la lámpara, encendiéndola, aproximadamente tres horas y media después de cerrar el interruptor.Puesto que la corriente eléctrica es un impulso que se desplaza casi a la velocidad de la luz, lo que observamos es que la lámpara comienza a brillar “instantáneamente “ luego de cerrar el interruptor. Hoja 18 de 30

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1-1.5.2.- Ley de Ohm El físico Ohm luego de realizar numerosos experimentos aplicando diferencias de potencial constantes a diversos materiales estableció que : para todo material conductor, homogéneo, lineal, a temperatura constante, se verifica la siguiente relación ( conocida como ley de Ohm ) :

U

= I

R

donde U es el valor de la diferencia de potencial aplicada ( o tensión eléctrica ) al conductor; I , es la intensidad de corriente eléctrica que recorre el conductor y R, es una propiedad del conductor denominada resistencia eléctrica. En el sistema MKS la unidad de medida de la resistencia eléctrica recibe el nombre de Ohm [ Ω ] y corresponde a la resistencia ofrecida a una corriente eléctrica continua por una columna de mercurio a la temperatura de fusión del hielo, de masa igual a 14,4521 [ g ], de sección constante y cuya longitud es de 106,300 [ cm ] Otras unidades de resistencia eléctrica comúnmente utilizadas son : .- miliohm [ mΩ ] = 0,001 [ Ω ] = 1 x 10-3 [ Ω ] .- microhm [ µΩ ] = 0,000 001 [ Ω ] = 1 x 10-6 [ Ω ] .- kilo-ohm [ kΩ ] = 1000 [ Ω ] = 1 x 103 [ Ω ] .- megaohm [ MΩ ] = 1000 000 [ Ω ] = 1 x 106 [ Ω ] .- gigaohm [ GΩ ] = 1000 000 000 [ Ω ] = 1 x 109 [ Ω ] .- teraohm [ TΩ ] = 1000 000 000 000 [ Ω ] = 1 x 1012 [ Ω ] Las mediciones obtenidas le permitieron a Ohm establecer que la resistencia eléctrica es directamente proporcional a la longitud del conductor, inversamente proporcional a la sección que ofrece al paso de la corriente eléctrica y varía ( a temperatura constante ) según la composición química del material de acuerdo a un coeficiente de resistividad ( ρ ) vale decir que :

R = ρ

L S

Utilizando la expresión de la resistencia eléctrica, la ley de Ohm puede escribirse :

I =

U U 1 S = = U L R ρ L ρ S

Expresión equivalente a la obtenida al analizar el comportamiento de un material conductor bajo la acción de un campo eléctrico constante si se considera que la resistividad ( ρ ) es igual a la inversa de la conductividad ( σ ). Se pone de manifiesto así, que la ley de Ohm que es una relación empírica puede obtenerse aplicando la teoría del campo eléctrico a materiales conductores homogéneos, lineales y a temperatura constante. El gráfico siguiente permite interpretar fácilmente las relaciones que establece la ley de Ohm entre la resistencia, la intensidad de corriente y la tensión eléctricas :

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1-1.5.2.1.- Efecto de la temperatura del conductor en el valor de su resistencia eléctrica El coeficiente de resistividad , ρ , se expresa en [ Ω m / mm2 ] ,unidad que resulta conveniente para aplicaciones prácticas.En función de la temperatura el coeficiente de resistividad varía según la siguiente ecuación empírica válida para un rango definido de temperaturas :

ρθ = ρ0 + Aθ + B θ 2 + ..... donde ρθ , es la resistividad a la temperatura de θ [ C ] , ρ0 es la resistividad a cero [ C ], y A, B,…. son coeficientes determinados experimentalmente.A los fines prácticos basta con considerar sólo el coeficiente A cuya unidad de medida es : [ U m / mm2 ºC ]..Por otra parte, el coeficiente de resistividad característico de cada uno de los materiales conductores empleados usualmente se determina, por convención, a la temperatura de 20º [ C ].En consecuencia, aplicando la expresión simplificada para calcular ρθ , obtenemos :

ρ 20 = ρ 0 + A ( 20 )

ρ θ = ρ 0 + Aθ

restando miembro a miembro las dos expresiones anteriores, obtenemos :

ρθ = ρ 20 + A (θ − 20) La resistencia eléctrica a la temperatura θ de un dado conductor que obedece a la ley de Ohm, viene dada por :

Rθ = ρθ

L L L A = [ ρ 20 + A ( θ − 20 )] = ρ 20 [1+ (θ − 20)] = R20 [1 + α 20 (θ − 20)] S S S ρ 20

donde R20 , es el valor de la resistencia del conductor a 20º [ C ].A los fines prácticos el coeficiente α20 vale 3,93 x 10-3 [ 1/ ºC ] para conductores de cobre y 4,03 x 10-3 [ 1/ ºC ] para conductores de aluminio ( pureza superior al 99,3 % ). La expresión para el cálculo de la resistencia de un conductor a una temperatura cualquiera , θ , conociendo el valor de la misma a 20 [ ºC ], dada por :

R

θ

= R

20

[1 + α

(θ

20

− 20

puede reescribirse :

1 R R

θ 20

=

α

+ θ − 20

20

1

α

20

Teniendo en cuenta que :

 Ωm    ρ 20  mm 2  1 = A  Ωm  α 20  mm 2 º C    Hoja 20 de 30

)]

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Puede definirse una temperatura de referencia, θref , expresada en [ ºC ] de la siguiente forma :

θ

ref

[ºC ]

=

1

α

ρ

=

20

A

20

Aplicando el concepto de temperatura de referencia a la relación Rθ / R20 , obtenemos la ecuación utilizada en la práctica para calcular valores de resistencia a diferentes temperaturas partiendo del valor determinado a 20 [ ºC ].

R R

θ 20

=

θ + (θ θ

ref

− 20

)

ref

Para conductores de cobre, θref = 254,5 [ ºC ] y, para conductores de aluminio, θref = 248 [ ºC ].Definiendo el coeficiente de corrección por temperatura, kθ , igual al cociente ( Rθ / R20 ), se obtienen las siguientes fórmulas de uso práctico :

kθ ( Cu ) =

234,5 + θ [ º C ] 254,5

kθ ( Al ) =

228 + θ [º C ] 248

No todos los materiales poseen coeficientes positivos de variación de resistencia eléctrica por temperatura.Existen varios, entre ellos el carbón, cuyo coeficiente de variación de resistencia por temperatura es negativo ( la resistencia eléctrica disminuye al elevarse la temperatura ) 1-1.5.2.3.- Definición de la unidad de potencial eléctrico en base a la ley de Ohm Recurriendo a la ley de Ohm se puede definir la unidad de potencial eléctrico , Volt [ V ] , utilizando sólo medidas eléctricas, estableciendo que un Volt corresponde a la diferencia de potencial entre extremos de un conductor de resistencia igual a 1 [ Ω ] cuando es recorrido por una corriente continua de intensidad igual a 1 [ A ]. La unidad de medida de la intensidad de corriente eléctrica, en el sistema MKS es el Ampére [ A ] y equivale a la corriente invariable que, circulando por dos conductores paralelos de longitud infinita, separados por una distancia de un metro, en el vacío, produce sobre cada conductor una fuerza de 2 x 10 e-7 [ N ] por metro de longitud. Otras unidades de intensidad de corriente comúnmente utilizadas en la práctica son : . - miliampere [ mA ] = 0,001 [ A ] = 1 x 10-3 [ A ] .- microampere [ uA ] = 0,000 001 [ A ] = 1 x 10 e-6 [ A ] .- kiloampere [ kA ] = 1000 [ A ] = 1 x 103 [ A ] ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1-1.6.- Materiales dieléctricos 1-1.6.1.- Comportamiento de un dieléctrico bajo la acción de un campo eléctrico La estructura de los materiales dieléctricos o aislantes es tal que no permite el desplazamiento de carga eléctrica a través del mismo hasta un dado valor de intensidad de campo eléctrico conocido como rigidez dieléctrica usualmente expresado en [ kV / mm ].Cuando la diferencia de potencial aplicada al dieléctrico es tal que la intensidad de campo supera la rigidez dieléctrica correspondiente, circula una intensidad de corriente a través del material que, en la mayoría de los casos, ocasiona daños irreversibles. En los materiales dieléctricos existen moléculas cuya carga eléctrica ( electrones y protones ) no está uniformemente distribuída resultando una zona de la molécula más negativa que la otra. Hoja 21 de 30

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Se dice entonces que la molécula se comporta como un dipolo eléctrico y recibe el nombre de molécula polar.En otras palabras, las sustancias dieléctricas poseen moléculas suceptibles de orientarse según la dirección de un campo eléctrico externo. El momento eléctrico de una molécula polar viene dado por el producto de la carga eléctrica ( negativa o positiva ) multiplicado por la distancia que separa las regiones cargadas de la molécula y viene dado en [ C m ].Se admite, como simplificación, que el momento eléctrico de todas las moléculas polares de un dieléctrico tiene el mismo valor. Se define como polarización , P , de una dada sustancia a una dada temperatura,al momento eléctrico de sus moléculas polares por unidad de volumen.La polarización se mide en [ C / m2 ]. Cuando se aplica un campo eléctrico externo a un dieléctrico las moléculas polares tienden a orientarse según la dirección de éste y las moléculas no polares tienden a polarizarse.Este proceso es imperfecto y en consecuencia el campo eléctrico en el interior del dieléctrico no es nulo. Considérense dos láminas conductoras delgadas de superficie S , dispuestas de modo que sus caras internas queden paralelas entre sí a una distancia d.Se aplica igual carga pero de signo opuesto a cada una de las láminas.Como consecuencia sobre las caras enfrentadas de las láminas se establece una distribución de carga σ dada por q / S [ C / m2 ] , dando origen en el espacio entre las láminas a un campo eléctrico de intensidad E. Si se introduce un material conductor de forma de paralelepípedo en el espacio entre las láminas, las cargas del conductor se distribuyen de modo de anular el campo eléctrico en su interior quedando distribuídas uniformemente sobre las superficies exteriores del paralelepípedo que enfrentan a las caras interiores de las láminas cargadas. Dichas cargas distribuídas en la superficie del conductor reciben el nombre de cargas inducidas ( qi ) e igualan a la carga aplicada a las láminas denominada carga libre ( q ).En otras palabras, el campo eléctrico en el espacio comprendido entre las láminas cargadas ha sido neutralizado por el conductor. Si en lugar de un material conductor, el paralelepípedo está construído con un material dieléctrico, al introducirlo entre las láminas cargadas gran parte de las moléculas polares y no polares ( que se polarizan bajo la acción del campo ) se orientan según el campo externo resultando sobre la superficie del dieléctrico un cierto número de cargas inducidas menor al número de cargas libres de las láminas ( qi < q ).Como consecuencia, el campo eléctrico en el espacio comprendido entre las láminas cargadas no se neutraliza completamente.Esta situación se muestra en la siguiente figura :

Si se considera una superficie cerrada colocada de modo que encierre una de las láminas cargadas y parte del dieléctrico el número de líneas de fuerza que atraviesan hacia fuera dicha superficie vale :

N = ε0 E S

(1 )

De acuerdo al teorema de Gauss el número de líneas de fuerza dado por ( 1 ) es igual a la carga neta encerrada por la superficie considerada, es decir :

q − qi = ε 0 E S

(2 )

q qi − S S

(3 )

que puede reescribirse :

ε0 E =

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Se define como suceptibilidad eléctrica, η , en un dado punto de un dieléctrico al cociente de la polarización dividida por la intensidad de campo eléctrico en dicho punto, es decir :

η =

(4 )

P E

La suceptibilidad eléctrica depende de la composición química del dieléctrico, de su temperatura en el caso de dieléctricos polares y de la intensidad de campo eléctrico.Sin embargo, si las intensidades de campo no son muy elevadas y para un rango de temperatura definido se puede considerar que la suceptibilidad eléctrica es constante. Para una dada intensidad de campo eléctrico E, cuanto mayor sea la suceptibilidad eléctrica de una sustancia mayor será el número de cargas inducidas en la misma ( mayor polarización P ). Admitiendo que el momento eléctrico total del dieléctrico colocado entre las láminas cargadas es igual a la carga total inducida, qi , multiplicada por la separación entre láminas, d y, sabiendo que el volumen de dieléctrico en el espacio comprendido entre las láminas es igual a S x d, podemos calcular el valor de la polarización haciendo :

P=

(5 )

qi d q = i Sd S

Teniendo en cuenta las expresiones ( 4 ) y ( 5 ) , reemplazándolas en ( 3 ), obtenemos :

ε0 E =

q qi q q − = − P = −η E S S S S

(6 )

que puede escribirse de la siguiente manera reordenando sus términos :

q = (ε 0 + η ) E = ε E S

donde ε = ε 0 +η

(7 )

El coeficiente є se denomina coeficiente de permeabilidad eléctrica y tiene en cuenta el comportamiento del campo eléctrico cuando actúa en materiales dieléctricos.. El producto del coeficiente de permeabilidad eléctrica por la intensidad de campo eléctrico define una magnitud ( vectorial ) denominada desplazamiento, D , cuya unidad es el [ C / m2 ] .El desplazamiento es una magnitud auxiliar que no tiene interpretación física pero que permite calcular la carga libre en el interior de una superficie cerrada cualquiera. Reemplazando el valor de polarización dado por ( 5 ) y el del desplazamiento dado por ( 7 ) en la expresión ( 3 ) y reordenándola se obtiene la ecuación general de un dieléctrico sometido a la acción de un campo eléctrico externo para el caso particular considerado :

D =ε0 E + P Donde D, es el desplazamiento eléctrico y está asociado la densidad superficial de carga libre; E , es la intensidad de campo eléctrico aplicado al dieléctrico y, P, es la polarización, asociada a la densidad superficial de carga inducida. En el caso general, la ecuación anterior debe escribirse en forma vectorial, esto es : →

→

→

D = ε0 E + P Hoja 23 de 30

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1-1.6.2.- Capacitores Una aplicación práctica ampliamente utilizada del efecto de un campo eléctrico en un material dieléctrico son los componentes denominados capacitores que constan básicamente de dos láminas conductoras delgadas, ubicadas una frente la otra a distancia constante y con una sustancia dieléctrica colocada en el espacio entre las láminas. El capacitor plano consiste de dos láminas conductoras delgadas colocadas una frente a la otra en forma paralela siendo la distancia que las separa muy pequeña comparada con la superficie de las láminas.En el capacitor plano el campo eléctrico existe prácticamente sólo en el volumen encerrado por las láminas.A cada lámina se le aplica la misma carga q pero de signo opuesto. Se denomina capacidad, C, al cociente entre la carga q de una cualquiera de las láminas dividida por la diferencia de potencial existente entre las láminas, vale decir :

C =

q V ab

La capacidad se mide en [ C / V ] y ésta unidad recibe el nombre de Faradio [ F ].En general una capacidad de un faradio es un valor muy grande por lo que en la práctica se utilizan habitualmente las siguientes unidades : milifaradio [ mF ] = 0, 001 [ F ] = 1 x 10-3 [ F ] microfaradio [ µF ] = 0, 000 001 [ F ] = 1 x 10-6 [ F ] nanofaradio [ nF ] = 0, 000 000 001 [ F ] = 1 x 10-9 [ F ] picofaradio [ pF ] = 0, 000 000 000 001 [ F ] = 1 x 10-12 [ F ] La capacidad depende sólo de las dimensiones del capacitor y de las características del dieléctrico utilizado.Para un capacitor plano que utiliza un dieléctrico cuya suceptibilidad vale η, el campo creado por las cargas en sus placas vale ( ver 1-1.4.3.2.- ) :

E=

q εS

donde ε = ε 0 + η

Por otra parte, la diferencia de potencial Vab , viene dada por el producto de la intensidad de campo E ,multiplicado por la separación d , entre placas.La capacidad de un capacitor plano vale :

C=

εSE q S = =ε V ab Ed d

donde se observa que para aumentar la capacidad dado un dieléctrico debe aumentarse la superficie de las placas y reducirse la distancia entre las mismas. Si en lugar de un dielétrico se hace vacío entre las placas del capacitor , la capacidad vale : C0 = є0 ( S / d ) de donde podemos establecer que : C / C0 = є / є0.Surge así un método práctico para medir la suceptancia de un dieléctrico.Por otra parte, el cociente є / є0 se denomina permeabilidad relativa, єr y en la práctica es habitual utilizar la expresión : є = є0 єr La función del dieléctrico sólido colocado entre las placas permite resolver tres problemas de orden práctico : .- permite mantener las capas metálicas paralelas entre sí a una distancia fija sin que haya contacto entre ellas .- la rigidez dieléctrica es mayor que la del aire lo que permite someter el capacitor a mayores diferencias de potencial sin dañarlo .- la suceptancia del dieléctrico permite que la capacidad de un capacitor de dadas dimensiones sea varias veces mayor que si hiciera vacío entre las placas o se dejara aire. Hoja 24 de 30

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Los denominados capacitores electrolíticos utilizan como dieléctrico una delgada capa de óxido no conductor entre una lámina metálica y una solución conductora.Se pueden construir así capacitores relativamente pequeños con capacidad relativamente elevadas ( 50 [ µF ] ) Partiendo de conocer la definición de la unidad de medida de la capacidad ( [ F ] = [ C / V ] ) es posible expresar la unidad de medición de la permeabilidad eléctrica ( ε ) de la siguiente manera :

   C 2   C   C   F [ε ]=  = = =  2  N m   N m m  V m  m  C  1-1.6.2.1.- Energía del campo eléctrico Considerando un capacitor plano entre cuyas placas se aplica una diferencia de potencial Vab , durante el proceso de carga el trabajo elemental que debe realizarse para trasladar un infinitésimo de carga dq desde una placa hasta la otra viene dado por :

dW = dq Vab =

1 q dq C

El trabajo total realizado para obtener la carga final Q en el capacitor viene dado por : Q

W =∫

1 1 Q2 1 dW = ∫ q dq = = C V ab2 C 0 2 C 2

Esta energía está almacenada en el campo eléctrico creado por las cargas distribuídas en las placas y dado que el campo sólo existe en el volumen encerrado por dichas placas se puede calcular la densidad de energía por unidad de volumen del campo de la siguiente manera :

C V ab2 1 C V ab Vab 1 Q W 1 w= = = = E= DE S d 2S d 2 S d 2 S 2 Si bien éste resultado se obtiene partiendo del caso particular de un capacitor plano es completamente general y establece que la densidad de energía por unidad de volumen en un dado punto de un campo eléctrico es igual al semiproducto del desplazamiento multiplicado por la intensidad de campo, correspondientes al punto considerado. La energía almacenada en un campo eléctrico no se transforma en otro tipo de energía y es, por lo tanto, una energía reactiva.La potencia que se emplea para almacenar energía en un campo eléctrico se denomina potencia reactiva capacitiva ( Qc ). Considerando un campo eléctrico establecido en el aire, la densidad de energía por unidad de volumen vendrá dada por :

w=

ε

0

E 2

2

La rigidez dieléctrica del aire es de 1 [ kV / mm ], por lo que la máxima intensidad de campo eléctrico admisible es de 1 x 106 [ V / m ].En consecuencia, obtenemos :

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1 1 x 10 12 9  J  36 π 10 w= ≅ 4,4  3  2 m 

(1 )

En el caso de un campo magnético establecido en el aire , la densidad de energía por unidad de volumen viene dada por :

w =

B 2 µ

2

0

Usualmente es posible obtener valores de inducción magnética en el aire de 1 [ T ], resultando entonces una densidad de energía por unidad de volumen igual a :

w=

1 2 x 4 π 10

−7

 J  ≅ 0,4 x 10 6  3  m 

(2 )

Los resultados obtenidos en ( 1 ) y ( 2 ) permiten comprender que es mucho mayor la energía por unidad de volumen en el aire de un campo magnético respecto de la que puede obtenerse con un campo eléctrico ( prácticamente 90000 veces más).Por dicho motivo la mayoría de los equipos eléctricos funcionan mediante el uso de campos magnéticos. 1-1.6.2.3.- Conexión de capacitores Cuando un conjunto de n capacitores se conecta de modo que resulte igual diferencia de potencial, Va,b , aplicada a cada capacitor individual, se dice que los n capacitores están conectados en paralelo.Un ejemplo de éste tipo de conexión se muestra en la siguiente figura para el caso de n = 3 :

La capacidad señalada con la flecha, Ce,p , es la capacidad equivalente del conjunto de los tres capacitores C1, C2 y C3 conectados en paralelo. Dado un conjunto de n capacitores conectados en paralelo, sometidos a una diferencia de potencial constante Va,b , la carga eléctrica total almacenada, qT, viene dada por la suma de las cargas de cada uno de los capacitores del conjunto.En símbolos podemos expresarlo de la siguiente manera : i=n

q T = q 1 + q 2 +Κ + q n = ∑ q i =1

n

Teniendo en cuenta la definición de capacidad, C = q / Va,b ,la carga eléctrica total almacenada viene dada por : Hoja 26 de 30

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q T = C 1 V a , b + C 2 Va , b + Κ + C n Va , b =

(C 1 + C 2 + Κ

+C

n

) Va , b

De donde obtenemos la expresión de la capacidad equivalente del paralelo, Ce,p :

C

e, p

=

qT =C1 +C Va , b

2

+Κ + C

i=n

n

=∑ C i =1

i

Por lo tanto, dado un conjunto de n capacitores conectados en paralelo, la capacidad equivalente es igual a la suma de las capacidades de cada uno de los capacitores del conjunto.Este resultado es independiente de la diferencia de potencial aplicada. En el caso particular que los n capacitores conectados en paralelo tienen el mismo valor de capacidad, C , la capacidad equivalente del paralelo Ce,p es igual a n C. Cuando un conjunto de n capacitores se conecta de modo que queden unidos como si fueran los eslabones de una cadena, se dice que los n capacitores están conectados en serie. Un ejemplo de éste tipo de conexión se muestra en la siguiente figura para el caso de n = 3 :

La capacidad señalada con la flecha, Ce,s , es la capacidad equivalente del conjunto de los tres capacitores C1, C2 y C3 conectados en serie.En una conexión de éste tipo la carga eléctrica en cada uno de los capacitores debe tener el mismo valor, qs .Teniendo en cuenta la definición de capacidad ( C = q / Va,b ) la diferencia de potencial , Va,b , entre los extremos de la conexión serie de n capacitores, viene dada por :

Va , b = VC1 + VC2 + Κ + VCn =

 1 q q q 1 1 + +Κ + = q  + +Κ + C1 C2 Cn Cn  C1 C2

  

La capacidad equivalente de la conexión en serie de n capacitores, Ce,s , resulta entonces :

C e,s =

q Va ,b

=

1 1 1 1 + +Κ + C1 C2 Cn

=

1 i=n

∑

i =1

1 Ci

La capacidad equivalente de n capacitores conectados en serie es igual a la inversa de la suma de la inversa de la capacidad de cada uno de los capacitores.Este resultado es independiente de la carga eléctrica almacenada.En el caso particular que n = 2, la capacidad equivalente serie resulta :

C e,s =

C1 C 2 C1 + C 2

Por otra parte, si los n capacitores conectados en serie tienen el mismo valor de capacidad, C , la capacidad equivalente del conjunto, Ce,s , resulta igual a C / n. Hoja 27 de 30

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En una conexión serie, la diferencia de potencial o tensión resultante en cada capacitor, Ui , viene dada por :

U i = V a ,b

C e,s Ci

1-1.7.- Circuito eléctrico 1-1.7.1.- Concepto de circuito eléctrico Un campo electromagnético se halla completamente descripto cuando se conocen los vectores intensidad de campo eléctrico E y de campo magnético H en todos sus puntos en función del tiempo.Esto implica el empleo de funciones de cuatro variables ( x, y, z, t ) que requieren matemáticas avanzadas y procedimientos de cálculo complejos. Muchas de las aplicaciones prácticas del electromagnetismo pueden ser interpretadas con suficiente precisión recurriendo al concepto de circuito eléctrico.Los análisis realizados aplicando dicho concepto buscan determinar tensiones ( u ) e intensidades de corriente ( i ) en función del tiempo ( t ) y pueden desarrollarse utilizando procedimientos de cálculo relativamente sencillos. Se denomina circuito eléctrico a todo conjunto de fuentes de energía eléctrica ideales ( de tensión o corriente ) unidas mediante conexiones ideales a un conjunto de elementos ideales ( resistencia, inductancia , capacidad ), de modo tal que se establezca un dado flujo de energía en función del tiempo. Desde un punto de vista práctico todo conjunto de aparatos electromagnéticos interconectados físicamente entre sí puede ser representado y analizado mediante un circuito eléctrico que verifique las siguientes condiciones : .- represente gráficamente las conexiones externas entre los diversos aparatos mediante conexiones ideales ( simples líneas de trazo continuo ) .- todos los aparatos puedan ser representados utilizando elementos ideales ( concentrados, lineales, bilaterales ) de circuito un elemento de circuito es concentrado cuando no tiene dimensión alguna ( en otras palabras : no se tiene en cuenta su tamaño ) un elemento de circuito es lineal cuando a un dado incremento ( positivo o negativo ) de la tensión aplicada le corresponde un incremento igual de la intensidad de corriente eléctrica que lo recorre ) un elemento de circuito es bilateral cuando su comportamiento es independiente del sentido en que es recorrido por la corriente eléctrica . - el flujo de energía en función del tiempo del circuito eléctrico sea análogo al que tiene lugar en el conjunto de aparatos interconectados representado El conjunto de métodos de análisis y procedimientos de cálculo asociados al concepto de circuito eléctrico se denomina teoría de circuitos.En general, la teoría de circuitos es una herramienta que facilita la aplicación de la teoría del campo electromagnético a un amplio conjunto de casos particulares. 1-1.7.2.- Leyes de Kirchhoff Las leyes de Kirchhoff establecen las dos reglas básicas que deben cumplirse en todo circuito eléctrico denominadas ley de los nodos y ley de los lazos (o ley de mallas ), independientemente del tipo de tensiones y/o corrientes consideradas.Estas leyes se basan en las propiedades de los campos eléctricos y de la carga eléctrica. En la siguiente figura se muestra un circuito eléctrico compuesto de dos fuentes ideales de tensión y tres resistencias ( elemento ideal de circuito que responde a la ley de Ohm )

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La diferencia de potencial o tensión que establece entre sus terminales cada una de las fuentes se indica con la letra E, refiriéndose al concepto de fuerza electromotriz. El concepto de fuerza electromotriz surge a partir de la convención adoptada para el sentido de circulación de corriente según la cual una corriente eléctrica se interpreta como un flujo de cargas eléctricas positivas que parte del terminal a mayor potencial ( + ) de la fuente, recorre el circuito y regresa a la fuente por el terminal a menor potencial ( - ).Dentro de la fuente las cargas positivas deben pasar del terminal a menor potencial ( - ) hasta el terminal a mayor potencial ( + ), siendo necesario realizar un trabajo llevado a cabo por una fuerza electromotriz proporcionada por la fuente. En el circuito mostrado en la figura la corriente I1 circula desde el terminal ( + ) de la fuente E1 hacia el punto d, por lo que dicha corriente atraviesa la fuente desde el terminal negativo hacia el positivo ( impulsada por la fuerza electromotriz de dicha fuente ).La corriente I3 , en cambio, circula desde el punto d hacia el punto b, atravesando la fuente E2 desde el terminal positivo hacia el negativo, en contra de la fuerza electromotriz de dicha fuente.Esto no supone contradicción alguna y sólo indica que el potencial del punto d debe ser mayor que el del punto b.Por otra parte se estableció que todos los elementos de un circuito eléctrico son ideales y, por lo tanto, bilaterales ( su comportamiento es independiente del sentido de circulación de corriente ) Puesto que el sentido de circulación de corriente adoptado por convención, establece que la misma circula desde el punto a mayor potencial hacia el de menor potencial , en cada una de las resistencias se verifica una caída de tensión ( la corriente ingresa por el terminal a mayor potencial y egresa por el terminal a menor potencial ). Observando el circuito mostrado en la figura se destacan los puntos b y d donde tiene lugar un cambio en el recorrido de la corriente eléctrica.Dichos puntos reciben el nombre de nodo.Las líneas que interconectan los nodos reciben el nombre de rama. El circuito tomado como ejemplo consta de dos nodos y tres ramas.Las ramas que contienen fuentes de energía se denominan ramas activas.Las ramas que no contienen fuentes de energía, se denominan ramas pasivas.En nuestro caso, el circuito posee dos ramas activas ( recorridas por I1 e I3 ) y una rama pasiva ( recorrida por I2 ). En base al concepto de rama de un circuito eléctrico puede decirse que nodo es todo punto de un circuito que conecta tres o más ramas. La ley de los nodos ( o primera Ley de Kirchhoff ) establece que la sumatoria de las corrientes entrantes a un nodo cualquiera debe ser igual a la sumatoria de las corrientes salientes de dicho punto.También puede expresarse ésta ley enunciando que la suma algebraica de todas las corrientes que concurren a un nodo debe ser igual a cero.La ley de los nodos se basa en la ley de conservación de la carga eléctrica en base a la cual en un nodo de un circuito eléctrico no puede crearse ni destruirse carga eléctrica.Aplicando la ley de nodos al circuito mostrado en la figura resulta :

nodo b

I3 = I1 + I2

o

I1 + I2 + I3 = 0

nodo d

I3 = I1 + I 2

o

I1 + I 2 + I3 = 0

En general, se considera positiva la corriente entrante a un nodo y, negativa la corriente saliente.

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Se denomina lazo en un circuito eléctrico a todo conjunto de ramas que forma una trayectoria cerrada.Tomando como ejemplo el circuito de la figura, el mismo posee tres lazos : .- el lazo formado por las dos ramas activas .- el lazo formado por la rama pasiva y la rama activa E1 .- el lazo formado por la rama pasiva y la rama activa E2 La ley de los lazos ( o segunda ley de Kirchhoff ) establece que en todo trayecto cerrado de cualquier circuito eléctrico se debe verificar que la suma algebraica de las fuerzas electromotrices sea igual a la suma algebraica de las caídas de tensión existentes en todo el trayecto considerado.La ley de los lazos refleja el hecho que en cada punto de un circuito eléctrico sólo puede existir un único valor de potencial ( caso contrario no se podría construir un circuito ) y, en consecuencia, al considerar un lazo cerrado la diferencia de potencial debe ser nula. Dado un sentido de circulación ( horario u antihorario ) para recorrer un cierto lazo perteneciente a un circuito eléctrico se aplica la siguiente convención de signos : .- la fuerza electromotriz de una fuente de tensión se considera positiva si la fuente se recorre desde el terminal a menor potencial hacia el terminal a mayor potencial .- la fuerza electromotriz de una fuente de tensión se considera negativa si la fuente se recorre desde el terminal a mayor potencial hacia el terminal a menor potencial .- una caída de tensión se considera positiva si su dirección se opone al sentido de circulación elegido .- una caída de tensión se considera negativa si su dirección coincide con el sentido de circulación elegido En el caso particular de las resistencias la dirección de la caída de tensión se toma siempre opuesta a la dirección de la corriente que circula a través de la mismas. A modo de ejemplo, aplicando la ley de los lazos al circuito mostrado en la figura, recorriendo en sentido horario el lazo formado por las dos ramas activas, obtenemos :

− E1 + E 2 + I 3 R3 + I 1 R1 = 0 Si en el mismo circuito recorremos en sentido antihorario el lazo formado por la rama pasiva y la rama activa E2 , obtenemos :

− E 2 − I 3 R3 − I 2 R 2 = 0 Ecuación que nos indica que el sentido de las corrientes I2 e I3 debe ser opuesto al indicado en el circuito porque siempre la fuerza electromotriz de la fuente debe ser compensada por las caídas de tensión en las resistencias, para verificar que su suma en el lazo sea igual a cero.Esto es así porque las fuentes de tensión operan en sentido de elevar el potencial Puede verse fácilmente que la conclusión es la misma si el lazo formado por la rama pasiva y la rama activa E2 se recorre en sentido horario.También se llega a una conclusión similar considerando el lazo formado por la rama pasiva y la rama activa E1. Del análisis precedente se concluye que los sentidos de circulación de corriente pueden elegirse libremente al estudiar un circuito eléctrico ya que, aplicando las leyes de Kirchhoff se comprobará si el sentido adoptado a priori es el correcto o no. En todo circuito eléctrico se denominan malla a todo lazo que tienen una y solo una rama en común con los demás lazos del circuito.Para el circuito de la figura, los lazos formados por la rama pasiva con cada una de las ramas activas por separado, constituyen un par de mallas. Hoja 30 de 30