CONTROL PARA LEVITADOR MAGNÉTICO “Control Análogo”

Presentado Por: Oscar Alejandro Torres Cruz Álvaro Mauricio Rojas España Nelson Fabián Gómez Valbuena Diego Felipe Franco Vásquez

Presentado a:

Ing. Javier Martínez

Universidad de los Llanos – Ingeniería Electrónica Villavicencio – Colombia

INTRODUCCION

Con el montaje de este proyecto pretendemos aplicar los conceptos de control aprendidos a lo largo del curso, para este caso se realizó un controlador tipo PD que permite estabilizar una esfera metálica en una posición determinada, usando las características magnéticas de un electroimán. En el caso del levitador magnético, es un sistema netamente no lineal e inestable, por razones que se expondrán en el desarrollo del trabajo y el tratamiento a seguir consiste en buscar un rango de funcionamiento en el que exista estabilidad. En este punto interviene la teoría de control para lograr ese fin.

MARCO TEORICO FUERZA MAGNÉTICA Las ecuaciones que describen los fenómenos electromagnéticos en general, son ecuaciones no lineales [1]. En el caso del levitador las variables que se manejan son la distancia de la esfera al inductor, x; además la corriente en el inductor, i. Se puede expresar la fuerza generado por el electroimán como: i 2 dL f  (1) 2 dx En este caso L es la inductancia total presente en el sistema. La esfera contribuye en el valor de esta inductancia. Este aporte es directamente proporcional a la distancia x, aunque realmente es muy bajo. Se puede expresar la inductancia total como:

L0 x0 x Donde L1 = es la inductancia del inductor en ausencia de la esfera y L0 es la inductancia de la esfera. Se puede notar la dependencia de Lo con respecto a x, dado el caso de que la distancia de la esfera al inductor es variable. (2)

L  L1 

Se puede reescribir (1) tomando dL/dx de (2) y se tiene: (3) 2 L0 x 0  i  f    2 x y expresando C 

(4)

L0 x0 , obtenemos la expresión para la ecuación de fuerza: 2

i f  C   x

2

C corresponde a la constante de fuerza del sistema y se determina experimentalmente. Se puede observar la no linealidad de la ecuación (4), además de tratarse de una ecuación en tres variables. Tratar el sistema de esta manera resulta bastante complicado, debido a este comportamiento no lineal. Pero usando técnicas matemáticas es posible buscar una aproximación lineal al comportamiento de la fuerza en (4), alrededor de unos valores de x e i constantes, que representan el valor de equilibrio de estas variables y se simbolizan como X0 e I0 respectivamente [2]. Aplicando Series de Taylor a la ecuación (4) se obtiene la siguiente aproximación: 2

(5)

 I0   2CI0   2CI02  f (i, x)  C   2 i  3 x  X0   X0   X0 

En la expresión (5) se han despreciado las derivadas parciales de orden superior o igual a 2, en la expansión en Series de Taylor de (4), por ser valores muy pequeños. [3] Merece mención el concepto de equilibrio, representado por X0 e I0, debido a que a ese punto debe tender el sistema. En el equilibrio, la fuerza f debe hacerse igual a la fuerza ejercida por la gravead, mg, de tal forma que:

2

(6)

i f 0  C    mg  x

En este caso m corresponde a la masa de la esfera. El control se debe realizar sobre el incremento de fuerza, que se puede representar como f1  f  f 0 de tal forma que la expresión de la fuerza a controlar queda:

(7)

 2CI 0   2CI 0 2 f1   2 i   3  X0   X0

 x  

Como resultado del trabajo desarrollado se presenta un circuito de control y se enuncian las principales consideraciones que se encontraron.

PROCEDIMIENTO El proyecto consta de la parte electrónica y la planta física, a continuación se presenta el esquema del circuito que se implemento:

Sensor La sección encargada de censar indicara la posición de la esfera y de acuerdo a la interrupción que esta cause en el haz de luz que incide en el foto-resistor esta variará su resistencia incidiendo en la corriente que fluirá en la bobina. Derivador Proporcional Genera ganancia y además genera una derivación en tiempo que mejora el tiempo de respuesta a la variación de la corriente. Planta Esta compuesta por la bobina que junto con el núcleo genera el electroimán, el transistor me dará la ganancia en corriente que demanda el inductor.

Funcionamiento El circuito esta alimentado por dos fuentes, una que alimenta la foto-resistencia y la parte de control y otra que alimentará la bobina. Cuando se enciende el circuito, la luz incide directamente en el sensor y el valor de la resistencia decae afectando el voltaje del punto en el divisor haciendo que la corriente aumente causando que la fuerza generada por el electroimán también aumente. Aquí se procede a poner la esfera en posición asegurándose que la fuerza del electroimán sea suficiente para superar el peso (esto debe suceder justo debajo del haz de luz), la bola comienza a subir debido a la atracción y cuando proyecta sombra sobre la resistencia vuelve a aumentar por tanto la corriente de base vuelve a disminuir haciendo que la corriente de la bobina caiga nuevamente (corriente bobina = β*corriente base), asi el comportamiento oscilara en estos estados hasta que se estabilice en un punto.

DIAGRAMA DE BLOQUES DEL LEVITADOR

Ecuación de transferencia

Sistema de control en Matlab

num=[2 60.60]; den=[1 300.5]; sys=tf(num,den) Transfer function: 2 s + 60.6 ---------s + 300.5 step(sys)

Fotos del levitador

CONCLUSIONES

Debido a la gran demanda de corriente que circula en el electroimán hubo problemas de sobrecalentamiento en el transistor haciendo necesario el uso de disipadores. Dependiendo del peso del objeto que se quiere hacer levitar se requiere de una corriente proporcional a este. Teniendo en cuenta que la fuerza magnética disminuye con la distancia (esfera - núcleo) hay que tener en cuenta la posición del sensor. Este fenómeno de levitación no habría podido realizarse sin la etapa de control, ya que es un sistema inestable.