TEMA 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES

Tema 4.

65

Convergencia de sucesiones

´ n 5.4.1. Sea X un conjunto: una sucesi´ Definicio on en X es una aplicaci´on s : N → X; denotaremos xn := s(n) y por S := {xn }n∈N la sucesi´on. En algunas ocasiones nos referiremos a S como un conjunto, en tal caso estamos identificando S con la imagen de s en X, es decir, s(N) = {xn | n ∈ N}. Si X es adem´as un espacio topol´ogico podemos definir la idea de que una sucesi´on {xn }n∈N se acerca a un punto x ∈ X. ´ n 5.4.2. Sea (X, T ) e.t. y S := {xn }n∈N una sucesi´on en X. DireDefinicio mos que x es l´ımite de S (o que S converge a x, en notaci´on xn → x) si ∀V entorno de x en X existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 se tiene xn ∈ V . Al conjunto de puntos l´ımite de S denotaremos por L´ım(X,T ) S. Diremos que x es un punto de aglomeraci´ on de S si ∀V entorno de x en X y ∀n0 ∈ N existe n ≥ n0 tal que xn ∈ V . Al conjunto de puntos de aglomeraci´on de S denotaremos por Agl(X,T ) S. ´ n 5.4.3. Observa que en las definiciones de l´ımite y punto de Observacio aglomeraci´on podemos cambiar la palabra entorno por abierto que contenga a x. En particular: x ∈ L´ım(X,T ) S ⇔ ∀U abierto en X tal que x ∈ U , ∃n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 se tiene xn ∈ U . x ∈ Agl(X,T ) S ⇔ ∀U ∈ T t.q. x ∈ U y ∀n0 ∈ N ∃n ≥ n0 t.q. xn ∈ U . ´ n 5.4.4. Con los mismos criterios que en la Observaci´on 5.4.3, Observacio podemos sustituir entorno o entorno abierto por entorno b´ asico una vez fijada una base de entornos del punto candidato a ser l´ımite o punto de aglomeraci´on. Ejercicio 5.5. ♠ Demuestra que si x es un punto de aglomeraci´ on de la sucesi´ on {xn }n∈N , entonces x es un punto adherente del conjunto {xn | n ∈ N}. Observa que el rec´ıproco no es cierto. Por ejemplo, todo punto de {x n | n ∈ N} es adherente, y no necesariamente de aglomeraci´ on. Ejercicio 5.6. ♠ Sea xn := n1 una sucesi´ on en el espacio topol´ ogico (R, T→ ). Demuestra que xn → x si y s´ olo si x ≤ 0. Es decir, el l´ımite de una sucesi´ on convergente en un espacio topol´ ogico no tiene porqu´e ser u ´nico. Demuestra en cambio que el l´ımite de sucesiones convergentes en espacios m´etricos s´ı es u ´nico. (Por lo tanto (R, T→ ) no es un espacio metrizable).

66

5. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD Y CONVERGENCIA DE SUCESIONES

´ n 5.4.5. Si S es una sucesi´on en el espacio topol´ogico (X, T ) denotaNotacio remos por L´ım(X,T ) S al conjunto de puntos l´ımite de S en (X, T ) y por Agl(X,T ) S a su conjunto de puntos de aglomeraci´on (como es costumbre, omitiremos la referencia a T si no hay lugar a confusi´on). Definiciones 5.4.6. Sea S := {xn }n∈N un sucesi´on en X. 1. Sea {kn }n∈N una sucesi´on estrictamente creciente de n´ umeros naturales; entonces diremos que la sucesi´on {xkn }n∈N es una subsucesi´ on de {xn }n∈N . 2. Una subsucesi´on St de S es truncada si es de la forma St = {xn+n0 }n∈N para cierto n0 ≥ 0. 3. Dos sucesiones son asint´ oticas si poseen subsucesiones truncadas comunes. 4. Diremos que una sucesi´on es constante si la aplicaci´on es constante. Diremos que es casiconstante si es asint´otica a una constante. Observaciones 5.4.7. 1. Es claro que en cualquier espacio topol´ogico, una sucesi´on casiconstante converge a la constante. 2. Otra manera de decir que x ∈ X es l´ımite de la sucesi´on S ⊂ X es que todo entorno de x contiene una subsucesi´on truncada de S. 3. Si St y St0 son dos subsucesiones truncadas de una sucesi´on S dada entonces, o bien St ⊂ St0 , o bien St0 ⊂ St : en cualquier caso St ∩ St0 6= ∅. 4. Como hemos visto en el Ejercicio 5.6, los l´ımites de sucesiones no tienen porqu´e ser u ´ nicos. Si repasamos la demostraci´on de la segunda parte del Ejercicio 5.6 (que el l´ımite de sucesiones convergentes en espaciosm´etricos s´ı es u ´ nico) observaremos que la u ´ nica propiedad que hemos utilizado de un espacio m´etrico es que dados dos puntos distintos x, y existen B x y B y entornos disjuntos de x e y respectivamente. Los espacios que cumplen esta propiedad se denominan espacios Hausdorff. Propiedades 5.4.8 (Sucesiones). Sea S := {xn }n∈N una sucesi´on de X y sea x ∈ X. (1) (2) (3) (4)

Sea S 0 subsucesi´on de S, entonces L´ımX S ⊂ L´ımX S 0 ⊂ AglX S. Sea St subsucesi´on truncada de S, entonces L´ımX St = L´ımX S. Sea Sa una sucesi´on asint´otica a S, entonces L´ımX Sa = L´ımX S. Si S ⊂ A ⊂ X entonces L´ımX S ⊂ AglX S ⊂ A

TEMA 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES

67

(5) Sea Y otro espacio topol´ogico y sea f : X → Y continua, entonces f (L´ımX S) ⊂ L´ımY f (S), es decir, si xn → x entonces f (xn ) → f (x). Lo mismo ocurre para AglX S. (6) El l´ımite de sucesiones convergentes en espacios topol´ogicos Hausdorff es u ´ nico. T (7) AglX = m∈N Sm , donde Sm := {xn | m ≥ n}. ´ n 5.4.9. En el caso de sucesiones convergentes {xn }n∈N con l´ımite Notacio u ´ nico x, denotaremos este como l´ımn→∞ xn .

Ejercicio 5.7. ♠ Sea X un conjunto infinito no numerable. Consideremos en ´el las topolog´ıas (X, Tcn ) (topolog´ıa conumerable) y (X, Td ) (topolog´ıa discreta). Demuestra que s´ olo las sucesiones casiconstantes en X tienen l´ımite, con lo cual se cumple la tesis de Propiedad 5.4.8(6) aunque la topolog´ıa conumerable (X, T cn ) no es Hausdorff. Demuestra tambi´en que la aplicaci´ on identidad i : (X, T cn ) → (X, Td ) no es continua pero que se satisface la tesis de Propiedad 5.4.8(5). Por lo tanto el rec´ıproco de ambas propiedades no es cierto. Parece que la experiencia de sucesiones en R nos dice que si una sucesi´on es convergente, entonces no tiene otros puntos de aglomeraci´on que no sean puntos l´ımite. Veremos que esto no es cierto en general, pero s´ı lo es en el caso de espacios Hausdorff. Ejercicio 5.8. ♠ Sea (X, T ) un e.t. Hausdorff y sea S ⊂ X una sucesi´ on convergente. Demuestra que Agl(X,T ) S = L´ım(X,T ) S y por tanto, toda subsucesi´ on convergente de S tiene el mismo l´ımite que S. En cambio esto no es cierto en general. Sea (R≥0 , T0,→ ) e.t. donde T0,→ := {(a, +∞) | a ≥ 0} ∪ {∅, R≥0 } es decir, T0,→ = T→ |R≥0 (Ejemplo 2.1.2(4)). Consideremos la sucesi´ on S := {1 + n (−1) }n∈N . Demuestra que S tiene l´ımite u ´nico, pero en cambio Agl S ) L´ım S. Obs´ervese que puede ocurrir que S sea una sucesi´on convergente, pero que una subsucesi´on suya no converja al l´ımite. Por ejemplo, con la notaci´on del Ejercicio 5.8, la sucesi´on S := {1 + (−1)n }n∈N tiene por l´ımite u ´ nico al 0, pero la 0 subsucesi´on constante S := {2}n∈N ⊂ S converge a 2, que no es punto l´ımite de S. En cambio, si el espacio es Hausdorff se tiene el siguiente resultado. ´ n 5.4.10. Sea (X, T ) e.t. Hausdorff, sea S = {xn }n∈N una suceProposicio si´ on convergente xn → x y sea S 0 = {yn }n∈N ⊂ S una subsucesi´ on de S, entonces 0 S es convergente y adem´ as yn → x.

68

5. AXIOMAS DE NUMERABILIDAD Y CONVERGENCIA DE SUCESIONES

En este contexto merece la pena introducir una definici´on referente a bases de entornos. ´ n 5.4.11. Diremos que B = {Bn | n ∈ N} es una base ordenada Definicio de entornos de x si es base de entornos de x y si Bm ⊂ Bn siempre que n ≤ m. Las bases ordenadas de entornos tienen un uso muy com´ un en an´alisis, donde se hace principalmente uso de estas dos observaciones. Observaciones 5.4.12. (1) Si X es ian y x ∈ X; entonces x posee una base ordenada de entornos. (2) Si x ∈ X, B x := {Bn | n ∈ N} es una base ordenada de entornos y {xn }n∈N es una sucesi´on tal que xn ∈ Bn , entonces xn → x. Al comparar el concepto de convergencia de sucesiones en R y en un espacio topol´ogico en general observamos que las diferencias m´as notables aparecen destacadas en los Ejercicio 5.9 y 5.7 y en otros que veremos m´as adelante. A continuaci´on veremos que si el espacio topol´ogico en cuesti´on es ian, entonces las Propiedades 5.4.8(4)-(6) a que estos Ejercicios hacen referencia, son equivalencias y por tanto permiten describir las propiedades topol´ogicas de adherencia, aglomeraci´on, continuidad y propiedad Hausdorff en t´erminos de sucesiones y subsucesiones. ´ n 5.4.13. Sea X e.t. ian, S = {xn }n∈N una sucesi´ Proposicio on de X y x un punto de X. Entonces se tiene que: (1) x ∈ AglX S si y s´ olo si x ∈ L´ımX S 0 para cierta S 0 subsucesi´ on de S. olo si x ∈ L´ımX S para cierta sucesi´ on S ⊂ A. (2) Si A ⊂ X, entonces x ∈ A si y s´ (3) Si Y es un e.t. cualquiera y f : X → Y una aplicaci´ on. Entonces f es continua si y s´ olo si para toda sucesi´ on {xn }n∈N y ∀x ∈ X tal que xn → x se tiene f (xn ) → f (x). (4) X es Hausdorff si y s´ olo si las sucesiones convergentes tienen l´ımite u ´nico. Ejercicio 5.9. ♠ Considera el conjunto X = N × N dotado de la siguiente topolog´ıa T definida por entornos:

Si (m, r) 6= (1, 1), E(m,r) = {U ⊆ X | (m, r) ∈ U }, es decir los conjuntos unipuntuales {(m, r)} son abiertos. Si (m, r) = (1, 1) un conjunto U conteniendo (1, 1) es entorno si salvo para un n´ umero finito de enteros m, los conjuntos Um = {(m, r) ∈ U | r ∈ N} son todo {m} × N salvo un n´ umero finito.

Considera la sucesi´ on S = {xn }n∈N definida al numerar N × N por antidiago


nales. Es decir, xn := (m, M − m) con M2+1 ≤ n < M2+2 y m = n − M2+1 . Demuestra:

TEMA 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES

69

a) (1, 1) ∈ AglX (S). b) (1, 1) no es l´ımite de ninguna susbsucesi´ on de S. Los ejemplos m´as importantes que tenemos de espacios ian son los espacios seudometrizables. Veamos c´omo se interpreta la convergencia en estos casos. ´ n 5.4.14. Sea (X, d) un espacio seudom´etrico y sea {xn }n∈N una Proposicio sucesi´ on. Entonces, x ∈ L´ım xn ⇔ l´ımn→∞ d(x, xn ) = 0.