Índice ●

Conversión analógica a digital

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Señales básicas detiempo discreto

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Relación Exponencial Discreta con sinusoides

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Relación Exponencial discreta con sinusoides

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Propiedades exponenciales complejas continuas y discretas

Conversión Analógica a Digital ●

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Normalmentelas señales digitales seformar muestreando una señal analógica (continua en tiempo y amplitud) en intervalos regulares detiempo y entonces cuantizando las amplitudes a valores discretos El tiempo entremuestras sedenota como T (Periodo demuestreo)

Teorema del muestreo ●

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Una señal desonido muestreada puede reproducir exactamentecualquier sonido cuya frecuencia sea menor quela mitad dela frecuencia demuestreo. Por tanto, para no tener problemas con nuestra señal es necesario elegir una frecuencia de muestreo al menos el dobledela frecuencia más alta presenteen nuestra señal.

Teorema del muestreo ●

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En caso dequenuestra señal tuviera frecuencias muy altas, es necesario filtrarla para eliminar todas aquellas frecuencias que puedan originar problemas. En caso dequetengamos una señal queno cumpla con el teorema, da lugar al aliasing.

Teorema del muestreo ●

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Para queuna onda sinusoidal quedebien descrita necesitamos al menos un punto cerca del máximo y otro cerca del minimo en cada periodo. Si tenemos menos deun punto por periodo no podremos recomponer exactamentela señal original.

Teorema del muestreo ●

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Un compact disc deAudio almacena 44100 muestras desonido cada segundo. Para transmisión telefónica basta con 8000 muestras por segundo.

Teorema del muestreo ●

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El primer requisito quedebesatisfacer el muestreo deuna señal es quesea posible reconstruir deforma unívoca la señal analógica a partir dela señal digital obtenida. La característica fundamental deun muestreo seconocecomo frecuencia demuestreo, es decir el número demuestras queseutilizan para representar un segundo dela señal.

Teorema del muestreo ●

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El primer requisito quedebesatisfacer el muestreo deuna señal es quesea posible reconstruir deforma unívoca la señal analógica a partir dela señal digital obtenida. La característica fundamental deun muestreo seconocecomo frecuencia demuestreo, es decir el número demuestras queseutilizan para representar un segundo dela señal.

Conversión Analógica a Digital

Periodo de muestreo = 1 segundo

Paso de cuantización = 5 unidades

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ym 0 0.20 0.80 1,8 3,2 5 7,2 9,8 12,8 16,2 20 yc 0 0.0 0 0 0 5 5 5 10 15 20 ●

La señal muestreada está en formato PAM, cuando la cuantizamos la convertimos en PCM.

Modulación por pulsos ●

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La modulación por pulsos consisteen utilizar muestras discretas dela señal a transmitir y codificarlas variando un parámetro deuna onda depulsos, ya sea el ancho, la posición o la amplitud. Los cuatro métodos demodulación depulsos más utilizados son los siguientes:

Modulación por pulsos ●

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PWM: Modulación deduración del pulso (pulsewidth). El ancho del pulso es proporcional a la amplitud dela señal analógica. PPM: Pulseposition modulation. La posición deun pulso deancho constantevaría dentro deuna ranura (slot) detiempo constante.

Modulación por pulsos ●

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PAM: Pulseamplitudemodulation. La amplitud deun pulso deposición y ancho constantevaría proporcionalmentea la amplitud dela señal analógica. PCM: Pulsecodemodulation. La señal analógica semuestrea y sefija la posición y duración delos pulsos. Secodifica como un número binario. El número binario varía deacuerdo a la amplitud de la señal analógica.

Cuantización o Cuantificación ●

Lineal: – Se divide el rango de amplitud de la señal

en un número discreto de niveles, de tal manera que el valor de la señal analógica se aproxima al más cercano. – Dado que al final codificaremos en binario, el número de niveles debe ser una potencia de 2.

Cuantización o Cuantificación ●

Mientras no llegueel siguienteintervalo de muestreo, el valor anterior semantiene constante, por lo queexistirá un error entrela señal analógica y la codificada. Esteerror impedirá una reconstrucción perfecta dela señal analógica, incluso aunqueno haya ruido.

Codificación ●

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La señal cuantificada sepuedeutilizar para transmitir cada señal como un pulso discreto. Sin embargo, si existeun número muy grande deniveles deamplitud sevuelvemuy difícil la detección del nivel exacto. Por otro lado, es relativamentefácil distinguir entredos pulsos o entrepulso y ausencia de pulso.

Codificación ●

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Supongamos quecada nivel deamplitud discreta serepresenta por un grupo depulsos y cada pulso sólo puedetomar uno dedos posibles valores. Esto es lo quesedenomina codificación. La codificación mejora la inmunidad dela señal frenteal ruido cuando setransmite

Codificación: Ventajas ●

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Si sepierdealgún pulso, sólo sepierdeuna pequeña partedeinformación. Puesto quesólo hay quedistinguir entredos niveles, sepueden admitir ruidos grandes sin queestropeen la señal. Esto es fundamental en la transmisión de señales.

Utilidad de los conceptos anteriores ●

El proceso anterior secomprendemejor si tenemos en cuenta quequeremos transmitir o almacenar nuestra señal digital. – ¿Cómo se escribe una señal de audio en un CD? – ¿Cómo se transmite una señal de audio digital

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por internet? Es necesario tener en cuenta los procesos anteriores y algunos más para comprimir la señal y queocupe lo menos posibleantes detransmitirla o guardarla.

Señales básicas de tiempo discreto

Señales básicas de tiempo discreto ●

El escalón unitario

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El impulso unitario

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Exponenciales complejas discretas y señales sinusoidales

Escalón Unitario

0 u [n]={ 1

n0 } n≥0

Impulso Unitario

0  [n]={ 1

n≠0 } n=0

Exponencial compleja discreta ●

La señal exponencial compleja discreta está definida por: n

x [n ]=C 

dondeC y  son números complejos en general. ●

También sepuedeexpresar alternativamente como: 

x [n ]=Ce n  =e

Exponencial compleja discreta ●

Si C y  son reales, podemos tener uno delos siguientes comportamientos: – Si ∣∣1

la señal creceexponencialmente

con n – Si ∣∣1 la señal decaeexponencialmente con n alternando el signo. – Si ∣∣=1 x es una constante – Si ∣∣=−1 x alterna entre +C y -C

Exponencial Creciente

Exponencial Decreciente

Exponencial decreciente alternante

Exponencial creciente alternante

Caso particular: constante

Caso particular: Alternante ±C

Relación Exponencial Discreta con Sinusoides

Relación con Sinusoides ●

Consideremos la exponencial discreta en la forma: 

x [n ]=Ce n  =e

Específicamenteconsideremos:  j 0 n 

x [n ]=e

Relación con Sinusoides ●

Su partereal resulta ser:

x [n ]=cos  j 0 n  ●

y su parteimaginaria:

y [n ]= j∗sin j 0 n 

Relación con Sinusoides ●

Por otro lado, el coseno sepuedeescribir como: A  j  n   A − j  n   Acos  j 0 n = e  e 2 2 0

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0

y el seno como:

A  j  n  A − j  n   Asin  j 0 n = e − e 2j 2j 0

0

Expo. Compl. Imaginaria

Expo. Compl. Imaginaria

Expo. Compl. Imaginaria

Expo. Compl. Imaginaria

Notación ●

Si n es adimensional (número dela muestra), entonces  y  deben expresarseen radianes.

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 es una fracción angular del círculo.

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Por tanto, seexpresará como: 2 = n

Notación ●

División del círculo en 8 partes iguales: Angulo en radianes

Propiedades Exponenciales complejas continuas y discretas

Exponenciales Complejas Continuas ●

La ecuación quedefineuna exponencial compleja quedependedeforma continua con el tiempo es:

 j  t

exp  =2  f

Periodicidad Exponenciales Complejas Continuas ●

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A mayor valor dela frecuencia angular le correspondeun mayor valor dela frecuencia lineal, sin límites para ambos. La exponencial compleja es periódica para cualquier valor de. – –

=20 =2000

f=10

periódica

f=1000 periódica

Periodicidad en frecuencia ●

En el caso deexponenciales complejas discretas es necesario tener en cuenta los siguientes aspectos: 

1) Periodicidad en la frecuencia: la exponencial de frecuencia 0+2 es la misma que la de frecuencia 0.  j  02  n

x [n ]=e

=e

 j 0 n   2  n

e

 j  0 n

=e

Periodicidad en frecuencia – Debido a esta periodicidad, la señal no

tiene un ritmo constante de incremento de la frecuencia lineal según aumenta la frecuencia angular. – Por tanto, las exponenciales de baja frecuencia tienen valores de 0 cercanos a 0, 2, o cualquier múltiplo par de 

Periodicidad en tiempo – 2) Periodicidad en el tiempo: Si una

señal es periódica con periodo N:  j  0  N n

x [n]=e

 j  0 n  j  0 N 

=e

– Puesto que:

– Entonces 0N

e

=e

 j 0 N 

e =1  0 N =2 m

2, por lo que:

 j 0n

debe ser múltiplo de

Periodicidad en el tiempo –

O equivalentemente

0 m = 2 N – Por tanto, una exponencial compleja

discreta, no es periódica para cualquier valor de la frecuencia, sino para aquellos que cumplan la ecuación anterior.

Periodicidad en tiempo ●

Por tanto, no es periódica para valores arbitrarios de . Veamos las tres ecuaciones siguientes: 0

2n x [n ]=cos   12

8n x [n ]=cos   31

n x [n ]=cos   6

Número de Exp. Periódicas diferentes ●

En el caso discreto, sólo existen N exponenciales complejas diferentes deperiodo N quesean periódicas, debido a la periodicidad en el tiempo.