Taller matemático Razonamiento Cristóbal Pareja Flores antares.sip.ucm.es/cpareja Facultad de Estadística Universidad Complutense de Madrid

1. Razonamiento matemático… Conocimiento aceptado

Conocimiento nuevo

- Axiomas o postulados

- (Posibles) teoremas nuevos - Teoremas (…) demostrados - Conjeturas - (Definiciones) Demostración - Fundamentos, hipótesis - Razonamiento, procedimiento - Proposiciones o teoremas, tesis

… y ciencias experimentales - Observación - Validación experimental: métodos estadísticos (contraste de hipótesis…) - Conclusiones validadas empíricamente Taller de matemáticas

Razonamiento matemático

2 / 12

2. Tipos de demostración Hipótesis

razonamiento

Conclusión

- Demostración directa, hacia adelante o hacia atrás - Reducción al absurdo - Inducción, simple o compuesta - Otros: contraposición, por casos, descenso finito

Taller de matemáticas

Razonamiento matemático

3 / 12

3. Demostración directa, hacia adelante Ejemplo Demostrar que “El cubo de un número impar es también impar” 𝑛3 es impar

𝑛 es impar La clave es la definición de “impar”:

- Los números pares - Los números impares

son los de la forma 2𝑘, siendo 𝑘 entero. son los de la forma 2𝑘 + 1, siendo 𝑘 entero.

Hipótesis: 𝑛 es impar + la definición de impar:

∃𝑘. 𝑛 = 2𝑘 + 1

¿Cómo será 𝑛3 ? Demostración, en resumen: Si 𝑛 es impar, ∃𝑘. 𝑛 = 2𝑘 + 1. Por tanto, 𝑛3 = (2𝑘 + 1)3 = 8𝑘 3 + 12𝑛2 + 6𝑘 + 1 = 2(4𝑘 3 + 6𝑛2 + 3𝑘) + 1 El paréntesis verde es también un entero: 𝑘 ′ = 4𝑘 3 + 6𝑛2 + 3𝑘. Es decir: 𝑛3 = 2𝑘 ′ + 1. Impar. Q.E.D. Taller de matemáticas

Razonamiento matemático

4 / 12

3. Demostración directa, hacia adelante Ejemplo Demostrar que “Si 𝑎 divide a 𝑏 y 𝑏 divide a 𝑐, entonces, 𝑎 divide a 𝑐” 𝑎|𝑏

y

𝑏|𝑐

𝑏|𝑐

La clave es la definición de “divide”:

𝑎|𝑏 significa que 𝑎 ∙ 𝑘 = 𝑏, para algún 𝑘 entero. Demostración, en resumen:

Hipótesis: 𝑎|𝑏 y 𝑏|𝑐. Esto es, 𝑎 ∙ 𝑘1 = 𝑏 y 𝑏 ∙ 𝑘2 = 𝑐 Por tanto, (𝑎 ∙ 𝑘1 ) ∙ 𝑘2 = 𝑐, es decir, 𝑎 ∙ 𝑘 = 𝑐, es decir, 𝑎|𝑐, con 𝑘 = 𝑘1 𝑘2 ∎

Ejercicio Demuestra que “La suma de tres enteros consecutivos es múltiplo de 3”. Taller de matemáticas

Razonamiento matemático

5 / 12

4. Demostración directa, hacia atrás Ejemplo 1 Demostrar que “si 𝑥 > 0, entonces 𝑥 + ≥ 2” 𝑥

𝑥>0

𝑥+

1 ≥2 𝑥

Partimos de la conclusión. Al simplificarla, vemos la relación con la hipótesis:

1 𝑥 + ≥ 2 ⇔ 𝑥 2 +1 ≥ 2𝑥 ⇔ 𝑥 Demostración, en resumen:

𝑥 2 +1 − 2𝑥 ≥ 0 ⇔ (𝑥 − 1)2 ≥ 0

Gracias a la hipótesis 𝑥 > 0, hemos podido establecer la equivalencia 1 𝑥

(𝑥 − 1)2 ≥ 0 ⇔ ⋯ ⇔ 𝑥 + ≥ 2 1 𝑥

Al ser (𝑥 − 1)2 ≥ 0 cierto, aceptamos también la conclusión: 𝑥 + ≥ 2.

Taller de matemáticas

Razonamiento matemático

6 / 12

∎

4. Demostración directa, hacia atrás Ejemplo 𝑥+𝑦 Demostrar que “Si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝓡+ , 𝑥𝑦 ≤ ” 2

𝑥+𝑦 𝑥𝑦 ≤ 2

𝑥, 𝑦 ≥ 0 Demostración. Partimos de la conclusión: 𝑥𝑦 ≤

𝑥+𝑦 2

⇔ 4𝑥𝑦 ≤ (𝑥 + 𝑦)2 ⇔ 4𝑥𝑦 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦

⇔ 0 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 ⇔ 0 ≤ (𝑥 − 𝑦)2 Esta igualdad siempre es cierta, y equivale a la conclusión deseada.

∎

(La hipótesis importa sólo para asegurar que el radicando sea positivo.) Curiosidad

Taller de matemáticas

Razonamiento matemático

7 / 12

5. Reducción al absurdo 𝐴

𝐵

Demostrar que 𝐴 ⇒ 𝐵 equivale a demostrar que 𝐴 ∧ ˥𝐵 ⇒ Contradicción 𝐴 ∧ ˥𝐵

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛

𝐴 ∧ ˥𝐵 = 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 ⇔˥(𝐴 ∧ ˥𝐵) ⇔˥𝐴 ∨ 𝐵. En la hipótesis de 𝐴, tenemos 𝐴 ∧ (˥𝐴 ∨ 𝐵). Y de aquí, se tiene 𝐵. Ejemplo. Demostrar que 2 es irracional. 𝑎 𝑏

Suponemos que 2 es racional: 2 = , siendo ésta fracción irreducible. Entonces,𝑎2 = 2𝑏 2 ⇒ 𝑎 es par ⇒ 𝑎 = 2𝑘 con 𝑘 entero. Sustituyendo: (2𝑘)2 = 2𝑏 2 ⇒ 4𝑘 2 = 2𝑏 2 ⇒ 2𝑘 2 = 𝑏 2 . ⇒ 𝑏 es par. "𝑎 es par” y "𝑏 es par”. Contradicción con ”La fracción Taller de matemáticas

Razonamiento matemático

𝑎 𝑏

es irreducible”. ∎ 8 / 12

5. Reducción al absurdo Variante: contrarrecíproco 𝐴

𝐵

Demostrar que 𝐴 ⇒ 𝐵 equivale a demostrar que˥𝐴 ⇐ ˥𝐵

˥𝐴

˥𝐵

Ejercicio. Demuestra que “Si el cuadrado de un número es impar, ese número es impar” 𝑛2 es impar

𝑛 es impar

¿…?

¿…? … … …

Taller de matemáticas

Razonamiento matemático

9 / 12

6. Inducción simple 6.1. Un ejemplo Vamos a demostrar la propiedad 𝑃(𝑛): 𝑛 ∙ (𝑛+1) 1 + 2 + 3+ ⋯+ 𝑛 = 2 (a) Caso(s) base: demostrar que se cumple la propiedad 𝑃(1). 1 ∙ (1+1) Para 𝑛 = 1: 1 = =1



2

(b) Paso inductivo: partiendo de 𝑃(𝑛 − 1), demostrar 𝑃(𝑛). (𝑛−1) ∙𝑛 Asumimos: 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 − 1 = (hip. ind.) 2 Calculamos 1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 = 1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛 − 1 + 𝑛 =

(𝑛−1) ∙𝑛 2

+𝑛 =

𝑛−1 ∙ 𝑛+2𝑛 2

=

𝑛 ∙ (𝑛+1) 2



6.2. Ejercicios 1. Demuestra la fórmula de la suma en sucesiones cuadráticas: 𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ∙ (2𝑛 + 1) 2 2 2 1 + 2 + ⋯+ 𝑛 = 6 2. Demuestra la fórmula de la suma en sucesiones cúbicas: 13 Taller de matemáticas

+

23

+ ⋯+

𝑛3

=

𝑛2 (𝑛+1)2 4

Razonamiento matemático

10 / 12

6. Ejercicios sobre inducción Inducción 2. Demuestra lo siguiente: 3.

(el ajedrez y los granos de trigo)

Si 𝑎0 = 1 y 𝑎𝑛 = 2 𝑎𝑛−1 , se tiene que 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 . 𝑚 = 1, 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑛 𝑜 𝑛 = 0 𝑛 𝑚 𝑚−1 𝑚−1 = + , 𝑠𝑖 0 < 𝑛 < 𝑚 𝑛 𝑛 𝑛−1 𝑚 𝑚! Demuestra que = . 𝑚−𝑛 !𝑛! 𝑛

4. Definimos un número par así: def

“n es par” ∃k entero, tal que n = 2k. (a) Escribe una definición similar, para los números impares, y pon un ejemplo de ambas. (b) Demuestra que, si el cuadrado de un número es par, el del siguiente es impar. (c) Demuestra que el cubo de un número tiene su misma paridad. Taller de matemáticas

Razonamiento matemático

11 / 12

Agradecimientos

Estas diapositivas están basadas parcialmente en las siguientes fuentes: • Miguel de Guzmán, José Manuel Gamboa, Cómo hablar, demostrar y resolver en Matemáticas, ed. Anaya 2003. Aunque, obviamente, el responsable de cualquier defecto es mío por completo.

Taller de matemáticas

Razonamiento matemático

12 / 12