CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA ► Criptografía

Clásica. ► Teorema de no clonación clonación. ► Seguridad en estados no ortogonales. ► Protocolo BB84 de Criptografía Cuántica. Cuántica.

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CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA CRIPTOLOGÍA CRIPTOGRAFÍA

CRIPTOANÁLISIS

¿? EVA= ESPÍA Í

ALICIA= EMISOR

BLAS RECEPTOR BLAS= 2

MÉTODOS EN CRIPTOGRAFÍA CLÁSICA Transposición (ej. Scytale-400BC): Las letras del mensaje se reorganizan

mediante una permutación especial.

INGENIEROS

NIEGINRESO

• Sustitución ((ej.j Caesar cipher): p )

Las letras del mensaje j se reemplazan p por otras letras, números o símbolos arbitrarios.

A B C INGENIEROS

D E F, etc LQJHQLHURV

3

Problemas de seguridad La seguridad de un criptograma dependía del secreto en los procedimientos de encriptación y desencriptación. Los métodos de transposición y substitución NO son seguros. La frecuencia con la que aparece una determinada letra en un texto inteligible es aproximadamente constante.

100 75 50 25 0

Número de veces (frecuencia) que aparece cada letra en el abecedario inglés (tanto por mil). a b c d e f g h i j k l m n op q r s t u v w x z

• El desarrollo del criptoanálisis está ligado al de la computación. 4

CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PRIVADA (Criptografía Simétrica)

EVA

CLAVE CRIPTOGRAMA

ALICIA

BLAS Criptograma (C)

Mensaje (P) Clave (k)

Criptograma C=Ek(P)

Clave (k)

Mensaje P=Dk(C)

1.

Los algoritmos de encriptación (E) y desciframiento (D) son de conocimiento público.

•

One-time pad (Vernan (Vernan, 1917) 1917), o cifrado de cuaderno de uso único: Clave tan larga como el mensaje mensaje, se usa una sóla vez. Seguro pero muy costoso.

•

Data Encryption Standar (DES, 1979); Triple Data Encryption Algorithm (TDES, 1998): Usa tres veces el DES. Se usan claves privadas pequeñas (64, 128, 256) bits para codificar gran cantidad de información, y hay que sustituirlas cada 20 minutos.

1.

El criptograma puede ser interceptado por un espía.

2.

La seguridad depende del secreto de la clave. Dado que la clave debe ser distribuida entre Alice y Bob, existe un riesgo de que la clave sea interceptada.

3.

“Siempre es posible, en principio, espiar el sistema de distribución de clave sin que emisor y receptor se enteren”, dado que la información clásica puede ser copiada sin modificar el mensaje original. Las alteraciones que sufre el sistema pueden hacerse, en principio, tan pequeñas como permita la tecnología.

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CRIPTOGRAFÍA DE CLAVE PÚBLICA (1976)

Vale Alicia, espera que te mando la clave para encriptar

Blas, quiero mandarte Blas algo.

MENSAJE ALICIA MENSAJE

BLAS Clave pública Clave privada

CRIPTOGRAMA

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1. No necesitan estar de acuerdo en la clave antes de enviar el mensaje. mensaje 2. Dos claves: Una pública, para encriptar el mensaje, y otra privada, para descifrarlo. 3 SE BASAN EN EL DIFERENTE GRADO DE DIFICULTAD DE 3. CIERTAS OPERACIONES MATEMÁTICAS, SEGÚN LA DIRECCIÓN EN QUE SE REALICEN (FACTORIZACIÓN DE GRANDES ENTEROS EN SUS FACTORES PRIMOS). 4. Es posible obtener la clave privada de la pública pero es muy difícil. 5. Para factorizar un número entero de N dígitos decimales, el número de operaciones que debe hacer un ordenador clásico crece exponencialmente con N. EL NÚMERO MÁS GRANDE QUE SE QU S HA CONSEGUIDO CO S GU O FACTORIZAR C O TIENE APROX. O 130 30 CIFRAS, Y SE TARDÓ VARIOS MESES. 6. ¡¡¡SON VULNERABLES A ALGORITMOS DE COMPUTACIÓN CUÁNTICA!!! En este sentido sentido, los computadores cuánticos constituirían un enemigo potencial de los métodos criptográficos actuales. 7 LA CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA RESUELVE EL PROBLEMA 7. PROBLEMA, 7 AUNQUE EXISTIESEN ORDENADORES CUÁNTICOS.

CRIPTOGRAFIA CUÁNTICA Alicia y Blas tienen que compartir una CLAVE SECRETA, pero ¿quién nos asegura que mientras se estaban comunicando dicha clave, un espía no estaba “pinchando” la comunicación?

CRIPTOGRAFÍA CUÁNTICA Alicia (Emisor) Eva (Espía)

Blas (Receptor)

MEDIR ES PERTURBAR Esta perturbación puede ser detectada por Alicia y Blas, percatándose de la existencia de un espía y cortando la comunicación. 8

Teorema de no clonación Es imposible clonar un estado cuántico desconocido Demostración:

Supongamos p g que U es una transformación unitaria q q que clona.

|    | 0    | 1 

Estado que se quiere copiar i

| mi 

Estado inicial de la máquina á i d de clonación l ió

| blank 

Estado inicial de la partícula en la que se va a copiar el estado 9

U (|   | blank  | mi )  ( | 0    | 1 ) ( | 0    | 1 ) | m f |   Pero la máquina debe ser también capaz de clonar los estados de la base computacional: p U (| 0  | blank  | mi )  | 0  | 0  | m f 0  U (| 1  | blank  | mi )  | 1  | 1  | m f 1 

Como la transformación debe ser lineal, entonces:

U [( | 0    | 1 ) | blank  | mi    U ( | 0  | blank  | mi )   U ( | 1  | blank  | mi )   | 0  | 0 | m f 0   | 1  | 1 | m f 1  ¡Este estado es distinto al que se debería obtener en la clonación! 10

Seguridad en estados cuánticos no ortogonales E imposible Es i ibl clonar l dos d estados t d cuánticos á ti no ortogonales t l Demostración:

Sean |a> y |b> dos estados cuánticos, distintos, no ortogonales, es decir: d i no es nulo. Supongamos que existe una máquina de clonación, que opera de la forma siguiente: |a>|blank>|máquina>ö |a>|a>|máquina1> |b>|blank>|máquina>ö |b>|b>|máquina2> 11

Como el producto escalar debe ser invariante ante cualquier operación unitaria, entonces: =

=1/

Sólo puede verificarse si =1, y en este caso ambos estados son indistinguibles, indistinguibles es decir decir, |máquina1>=|máquina2> Los estados finales de la máquina q son el mismo,, de modo que q cualquier proceso que no cause ninguna perturbación en dos estados no ortogonales, no aporta ninguna información a la hora de distinguirlos. 12

Qubits fotónicos ► ►

►

X

Física clásica: la luz es una onda electromagnética. POLARIZACIÓN: Propiedad de la luz asociada al plano donde vibra el campo eléctrico. POLARIZADOR: Aparato que sirve para cambiar la polarización de la luz. La i t intensidad id d d de lla lluz all pasar por ell polarizador es (ley de Malus Malus))

I  I 0 cos 

c E

B

Z Y 

2

►

Mecánica cuántica: la cuantización del campo electromagnético lleva al concepto de fotón fotón,, o cuanto de luz, que conjuga la dualidad onda onda--partícula en el caso de la luz luz.

Eje del polarizador

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ESTADOS DE POLARIZACIÓN DEL FOTÓN Y Magnitud: Polarización en la dirección OX Y

|V>

X

Z

Vectores propios

X Observable correspondiente en la base rectilínea

||H>



 1 0  1   1  ˆ    1  P H    0  1 0   0   1 0  0   0 ˆ    (1)  P V    0  1 1  1

1 0  ˆ  P    0  1

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MEDIDA DE LA POLARIZACIÓN EN LA BASE {|H>, |V>} Detector de fotones

DH Detector de fotones DV

Fotones polarizados horizontal o verticalmente

El analizador de polarización en la base rectilínea, está constituido por el PBS y los detectores DH y DV. Cuando sobre él incide un fotón polarizado horizontalmente (verticalmente), se produce con certeza, en una situación ideal en la que la eficiencia es el 100%, una detección en DH (DV) (DV).

PBS (Polaryzing beam-splitter) SEPARADOR DE POLARIZACIÓN: refleja la componente horizontal y transmite la vertical.

  H  P ( DH )  1 ; P ( DV )  0

  V  P ( DH )  0 ; P ( DV )  1

FUENTE DE FOTONES

|V’>

|V>

  {| H , | V } | |H’>   {| H ' , | V ' }

  45º |H |H>

¿Se puede medir simultáneamente la polarización en ambas bases?

1 1 |H  |V  2 2 1 1 | H '  |H  |V  2 2

|H ' 

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Detector

DH

|   | H '  Detector

¿? SEPARADOR DE POLARIZACIÓN (H, V) Fotón polarizado a 45 grados FUENTE

1 2

|H 

1 2

| V   P ( DH )  P ( DV ) 

1 2

DV

Las polarizaciones en sendas direcciones no pueden tomar valores con certeza simultáneamente.

[ Pˆ , Pˆ ]  0

Es imposible tener, de forma simultánea, valores definidos de la polarización en la base rectilínea y en la base diagonal.

Cualquier intento de medir la polarización en una base, produce una perturbación en la polarización asociada a la otra base.

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PROTOCOLO BB84 de Criptografía Cuántica (1) Alicia genera una clave aleatoria: 10011000100101011110101011001010…………… CANAL CUÁNTICO (2) Alicia codifica cada bit en un qubit (fotones polarizados) y se lo envía a Blas. Para generar cada qub qubit Alicia c a usa dos bases incompatibles co pa b es (dos a alfabetos): abe os) la a base rectilínea ec ea y la a base diagonal. 0

0 |V’>

|V>

1 ||H’>

1

  {| H ' , | V ' }

|H>

  {| H , | V }

(3) Para cada fotón que recibe, Blas mide su polarización, aleatoriamente en la base rectilínea o en la base diagonal. g Alicia ((Blas)) anota la secuencia de bits q que envía ((recibe)) y las bases utilizadas. Resultados de Bob: si su base coincide con la de Alice, sus bits coinciden; si no, la mitad de las veces coincidirán y la mitad no.





1 Alicia

Blas

 1 17

0







0 ALICIA

50% de probabilidad de obtener “0” 0 50% de probabilidad de obtener “1”

BLAS 0

Medida

Los resultados están completamente correlacionados (son idénticos) cuando usan la misma base, y totalmente descorrelacionados cuando usan bases distintas. Por ello, las secuencias de bits anotadas por Alice y Bob coinciden al 75%.

CANAL CLÁSICO (4) Blas anuncia públicamente la base que utilizó para cada medir cada fotón. No dice el resultado obtenido obtenido. (5) Alicia anuncia públicamente la base que utilizó para preparar cada fotón. (6) Ali Alicia i y Bl Blas d desechan h llos bit bits correspondientes di t a cuando d h han usado d b bases di distintas, ti t quedándose con los bits correspondientes al uso de la misma base (la mitad del total). Tienen lo que se conoce como raw key (clave en bruto). 18

En la situación ideal, en la que no hubiese ruido (preparación imperfecta del estado, eficiencia de detección limitada, interacción del qubit transmitido con el ambiente…..), y/o ataques de Eva, las dos secuencias de bits coincidirían. Si Eva ha medido cada qubit emitido por Alice, en uno de los dos alfabetos de forma aleatoria, y los ha reenviado a Bob en la misma base base, entonces entonces, en la situación en la que no hubiese ruido ruido, la clave en bruto de Alice y la correspondiente a Bob discreparían en un 25% de los bits (coincidirían en un 75%). Demostrar esto como ejercicio. Lo mismo ocurre con la clave en bruto de Eva. Ésta coincide en un 75% con la clave en bruto de Alice y en un 75% con la de Bob. Si además, Eva ha espiado la discusión pública sobre las bases que han utilizado, ella sabe cuáles son los bits de su lista que coinciden con los de Alice y Bob, un 50% en la situación en la que no hubiese ruido. Para pasar de la clave en bruto (raw key), a la clave secreta (secret key), deben realizar una serie de pasos, en los que primeramente decidan si continúan o no con el proceso (autenticación autenticación), haciendo una estimación del efecto Eva+ruido a ttravés a és de la a estimación est ac ó de la a tasa de e error, o , (d (discrepancia) sc epa c a) y e en caso de co continuar, t ua , realizar ea a lo o que se co conoce oce co como o unificación de clave y amplificación de la privacidad. privacidad

(6) Autenticación Autenticación: Alicia y Blas anuncian públicamente una parte aleatoria de la clave en bruto (entre un 5% y un 10%). Estos bits se sacrifican. Se aconseja un umbral de error (R=tasa de error) máximo de un 11% por encima del cual se aborta el proceso, y por debajo del cual se continúa. En la práctica, se usa un umbral del 5% para R.

(7) Unificación de clave: clave Alicia y Blas dividen los bits restantes en subconjuntos de longitud L, tal que LR | V’ > |H> |V > | V’> |H > |V>

0 1 1 0 0 1 0 0 1 0

 







 



 



  

 



 



0 1 1 0 0 1 0 0 0 0

Autentificación

NO OK NO OK (0,0) SI OK NO OK (0,0) SI OK ((0,0)) SI NO OK O

CLAVE SECRETA

1

0

0 20

BLAS

ALICIA

Q Qubit eviado Valor del Base usada Base usada Resultado Discusión por Alicia bit por Alicia por Blas obtenido pública por Blas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

|V> | H> | H’> |V> | V’ V > |H> |V > | V’> |H > |V>

0 1 1 0 0 1 0 0 1 0

 







 



 



  

 



 



0 0 1 0 1 1 0 0 0 0

Autentificación

NO OK (1,0) NO NO OK (0,0) SI OK (0,1) NO NO OK (0,0) (0 0) SI OK (0,0) SI NO OK 21